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第1讲相交线与三线八角

l1
C．∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60° D．∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
30° 1 60°
23 4
l3
【答案】D
【变 2】如图，直线 AB、CD 相交于点 O，OE 平分∠BOD，∠AOC＝70°，∠COF＝90°，求：（1）∠BOD 的度数；（2）写出图中互余的角；（3）∠EOF 的度数．
BC
【变 6】如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，AB＝13cm，AC＝5cm，BC＝12cm，那么点 B 到 AC 的距离是________，点 A 到 BC 的距离是________，点 C 到 AB 的距离是________．
A D
【答案】12cm，5cm， 60 cm． 13
A
E
32 1
B
C
D
【答案】（1）CE，同位；（2）AC，内错；（3）AB、AC，BC，同旁内角； F （4）AB，AC，BC；（5）AB，CE，同旁内角．
F
C
B
70° O
E
【答案】解：（1）∵∠AOC＝70°∴∠BOD＝∠AOC＝70°；
（2）∠AOC 和∠BOF，∠BOD 和∠BOF，∠EOF 和∠EOD，A∠BOE 和∠EOF； D
（3）因为 OE 平分∠BOD，∠BOD＝70°，所以∠BOE＝35°，

三线八角

课题：5.1.3同位角、内错角、同旁内角课型：新授

学习目标：1、理解同位角、内错角、同旁内角的意义。

2、会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角。

3、培养学生分析、抽象、归纳能力，培养学生的识图能力

学习重点：同位角、内错角、同旁内角的识别。

学习难点：较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别。学习过程：一、探索与思考

如图,直线AB 、CD 与EF 相交（或两条直线AB 、CD 被第三条直线EF 所截）构成个角。

我们来研究其中没有公共顶点．．．．．．的两个角的关系。（1）（一）同位角

1、定义：如图1，∠1和∠5，分别在直线AB 、CD 的，在直线EF 的。具

有这种位置关系的一对角叫做同位角。

2、请你找出图中还有哪几对角构成同位角。

3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对同位角。

（二）内错角 1、定义：如图2，∠3和∠5，分别在直线AB 、CD 的，在直线EF 的。具

有这种位置关系的一对角叫做内错角。

2、请你找出图中还有哪几对角构成内错角。

3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对内错角

(

(三)同旁内角

1、定义：如图2，∠3和∠6，分别在直线AB、CD的，在直线EF的。具

有这种位置关系的一对角叫做同旁内角。

2、请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角。

3、两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对同旁内角

（四）总结：（1）以上三对角都有一边公共，是第三条直线（截线）．（2）识别“第三条直线（两个角一边所在的同一直线）”是关键．

三、应用

（一）例如图，直线DE、BC被直线AB所截，

初一三线八角经典例题

初一学年是学生学习生涯中的关键时期，这一阶段的基础知识打牢了，对接下来高年级的学习极为重要，在学习初中数学的过程中，三线八角是一个非常重要的经典例题，下面我将从四个方面介绍三线八角经典例题的重要性。

一、三线八角的定义

三线八角是初中数学中的一个重要概念，三条相交的线，一条由正方形的一个角点开始，经过正方形中心，另外两条由正方形中心分别与相邻角点相连。图示如下：

-------------- A

| / |

| / |B

| / |

|/ |

-------------- C

在上图中，ACEB所围成的图形就是三线八角。

二、三线八角的求解方法

对于初一学生来说，三线八角的求解可能会比较复杂，正确的求解方法非常重要。常见的解题方法是应用平移对称和三角函数，将八角分割成8个三角形，最终求出三线八角所围成图形的面积。

三、三线八角在数学中的应用

在初中数学的学习中，三线八角不仅仅是一个几何图形，还可以应用于其他知识点中。例如，利用三线八角可以求出正方形面对角线长度的一半。

四、三线八角的意义

学生通过学习三线八角，不仅可以提高数学思维能力和计算能力，还可以提高空间想象力和几何直觉。同时，三线八角还可以培养学生

的耐心和细心，提高学生解决问题的能力，有益于学生全面发展。

总之，初一三线八角经典例题在中学数学的学习中起着非常重要的作用，掌握它可以提高学生的解题能力和对数学的兴趣，同时也为学生以后学习更高级别的数学知识奠定了坚实的基础。我们要认真对待这一知识点，在日常学习中注重掌握解题方法，发挥空间想象力，提高解题的准确度和效率。

相交线—三线八角

2、、
辩一辩：
如图：是同位角吗？如图：∠1与∠2是同位角吗？与是同位角吗
如图：是内错角吗？如图：∠1与∠2是内错角吗？与是内错角吗
如图：是同旁内角吗？如图：∠1与∠2是同旁内角吗？与是同旁内角吗
有两条直线被第三条直线所截的条件时才能产生同位内错角、同旁内角. 角、内错角、同旁内角
1.如果把图看作是直线AB截直线CD,EF 则∠1与∠5是一对同旁内角 ∠1与∠6是一对同位角 ∠4与∠5是一对内错角
C 1 4 来自百度文库 2 7
A
3 F D
2.如果把图看作是直线EF截直线 E 6 AB,CD 则∠2与∠5是一对同位角 B ∠2与∠7是一对内错角在∠ 1,∠ 2,∠3, ∠4,∠5 ∠ 6，∠7中哪一个角与∠2是同旁内角？没有
变一变：将上图整体旋转90度变一变：将上图整体旋转度，
请找出图中的同位角、请找出图中的同位角、内错角和同旁内角。同旁内角。 A E 1 4 5 2 3 B 6
D C
8 F 7
活动一画直线m,n被直线d截于点M,N,打乱次序标出8个交角，并和你的同桌互相说说看，你的图中有哪些同位角，内错角和同旁内角
（4）∠2与∠4是直 A BC 线_____ 和 EF 被直 D 线 DE 所截而得的 2 1 同位角 _____ . C B 3 5 4 （5）∠4与∠5是直 F E BC EF ____和____被直线____和____被直 DE ____所截而得的线____所截而得的同旁内角 _________.

三线八角模型

A
D
4
E
2 3
1
B
C
例2 如图：∠1与∠2是什么角？∠2与 ∠3是什么角？∠4与∠5是什么角？它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截的？
DE
E
D
C
3
D E
5
F
1
A
2B
2
4
C
（1）
F
A
B
（2） F
AC
（3）
B
练习4
写出图中用数字表示的角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？
1 23 45
┃考点攻略┃
► 考点一邻补角与对顶角
例 1 如图 5－1 所示，直线 AB、CD 相交于 O，作∠DOE＝∠BOD，OF 平分∠AOE，若∠AOC＝28°，则∠EOF＝___6_2_°___.
图 5－1
数学·新课标（RJ）
第五章过关测试 ┃ 考点攻略
[解析] 因为∠DOE＝∠BOD，
所以∠DOE＝12∠BOE，OF 平分∠AOE；
练习3
识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角。
1
2 （1）
同位角
1
1
22
（2）
（3）
同位角
同位角
ba
1
2
c
(6)
同位角
1 2 (7)

同位角、内错角、同旁内角(不分层)知识讲解

同位角、内错角、同旁内角知识讲解

责编：康红梅

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

图1

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

【高清课堂：平行线及其判定403102三线八角】

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠

释：巧妙

识别三线

八角的两

种方法：

(1)巧记

口诀来识

别：一看

三线，二

找截线，

三查位置

来分辨.

(2)借助

方位来识

别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

七年级三线八角课件

角的度量单位是度，用符号°表示。一个平角等于180°，一个周
角等于360°。
角的分类
根据度数的不同，角可以分为锐角（小于90°）、直角（等于90° ）、钝角（大于90°但小于180° ）和优角（大于180°但小于360°
பைடு நூலகம்）。
常见题型解析
根据角的定义判断角的大小
在两条射线的位置固定时，如果两条射线之间的距离变大，那么形成的角也变大。同样地，如果两条射线之间的距离变小，那么形成的角也变小。
角的基本定义
01
角是由两条射线或线段在同一直线上相交而形成的图形。这两条射线或线段称为角的边，它们相交的点称为角的顶点。
02
角可以根据其度数分为锐角（小于90度）、直角（等于90度）、钝角（大于90度）和平角（等于 180度）。
角的度量单位
• 角的度量单位是度，符号为“°”。我们通常使用量角器来测量角的度数。
七年级三线八角课件
汇报人：
汇报时间：日期:
目录
• 引言 • 三线八角基本概念 • 三线八角的认识 • 三线八角的表示方法 • 三线八角的性质证明 • 三线八角的应用题解析 • 复习与总结
01
引言
主题概述
01
主题背景
介绍三线八角的几何图形在实际生活中的应用，如建筑、艺
术等。
阐述三线八角在几何学中的基础地位，以及其对后续学习几何学

三线八角

第一讲：三线八角一．【知识要点】

1. 余角、补角及其性质

定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角.，如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。

2、邻补角与对顶角

概念：直线AB 与CD 相交于点O ，∠1与∠2有公共顶点O ，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

邻补角：∠1与∠3；∠3与∠2；∠2与∠4；∠4与∠1 对顶角：∠1与∠2；∠3与∠4 性质：对顶角相等

例1，一个角的余角是30º，则这个角的大小是 .

例2、一个角的余角比它的补角的1

2少20°.则这个角为（）

A.30°

B.40°

C.60°

D.75°

课堂练习：

1、∠A 的余角是20°，那么∠A 等于________度.

2、如果∠A ＝35°18′，那么∠A 的余角等于＿＿＿＿＿；

3、∠A 与∠B 互补，如果∠A=36°，那么∠B 的度数为_________.

4、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有个，

它们分别是。

∠A=∠ ,根据是。 5.若∠A ＋∠B ＝90°，∠B ＋∠C ＝90°，则∠A ______∠C ，理由是_______. 6、一个角与它的补角之差是20º，则这个角的大小是 .

7、一个角的余角比它补角的还少12°，求这个角。

8、如图，∠AOC 和∠BOD 都是直角，∠AOB ：∠AOD ＝5：17，求∠AOB 和 ∠BOC 的度数。

C A

D B

图1

例3．如图1，直线AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE =60°，则∠AOC 的

相交线、三线八角-学生版

一、什么是相交线？

如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线．相交线的性质：两直线相交只有一个交点．二、什么是对顶角？

一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 三、什么是邻补角？

两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角.

1.相交线

如图所示，直线a 与直线b 只有一个公共点，称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的

相交线．

相交线的性质：两直线相交只有一个交点．

2.邻补角

如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

相交线、三线八角

知识回顾

知识讲解

3.对顶角

（1）一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4.垂线的概念及性质：

（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.

如图所示，可以记作“AB CD ⊥于O ”

（2）垂线的性质：

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.

5.同位角、内错角、同旁内角的概念：

①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且

同位角内错角同旁内角课件-PPT精品文档

3、如图：（1）∠4和∠8与截线及两条被截直线在位
置上有什么特点？这样的一对角叫做_____________, 图中还有其他同位角吗？
知识清单
应用新知
典例分析
例：如图，直线AB，CD被DE所截，则∠1和_______是同位角，∠1和_____ 是内错角，∠1和_____是同旁内角．
5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
自主学习：
1、如图，三条直线AB、CD、EF相交
则有Βιβλιοθήκη Baidu种相交的情形？请画出来.
2、两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，
这样图中就构成___个角，在这八个角中，有公共顶点的两个角的
关系前面已经学过，他们是_________ 和_________,简称（三线八角）。
自主学习：
3、如图：（1）∠4和∠8与截线及两条被截直线在位
置上有什么特点？这样的一对角叫做_____________, 图中还有其他同位角吗？
自主学习：
（2）∠3和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？
这样的一对角叫做_____________,图中还有其他内错角吗？
自主学习：
3、如图：
（3）∠4和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？
这样的一对角叫做_____________,图中还有其他同旁内角吗？
自主学习：

七年级数学三线八角知识点

三线八角是中学数学中常见的一个知识点，也是七年级数学中

必须掌握的重点内容。在这份文章中，我们将详细介绍三线八角

的定义、性质以及解题技巧。

一、定义

三线八角，顾名思义，就是由三条直线和八个角所组成的图形，如图1所示。

图1

其中三条直线相交于一点O，八个角分别为∠AOC、∠AOB、

∠BOD、∠EOC、∠EOF、∠FOG、∠GOH和∠BOH，且每两条

直线之间的夹角均相等。

二、性质

1.每一对相邻的外角互补，即

∠AOC+∠BOD+∠EOF+∠GOH=180°。

2.每一对相邻的内角互补，即

∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。

3.相邻的外角与其对应的内角互补，即

∠AOC+∠EOC=∠AOB+∠BOH=∠BOD+∠FOG=∠EOF+∠GOH =180°。

三、解题技巧

对于三线八角的解题，主要是应用它的性质进行推导和运用。

以例题为例：

例1 在图2中，∠AOB=30°，∠EOC=110°，则∠BOD和

∠EOF的和为多少度？

图2

解：由三线八角的性质可知，

∠AOB+∠BOH+∠EOC+∠FOG=180°。

则∠BOH+∠FOG=180°-∠AOB-∠EOC=180°-30°-110°=40°。

而∠BOD+∠EOF=（180°-∠AOC）÷2+（180°-∠EOC）

÷2=(180°-∠BOH)÷2+(180°-∠FOG)÷2=80°。

因此，∠BOD和∠EOF的和为80°。

例2 在图3中，AB//CD，∠BAE=55°，∠CFE=40°，则∠BEF 为多少度？

图3

解：由三线八角的性质可知，

鲁教版6年级下册数学识三线辨八角

识三线辨八角

山东王勇

两条直线被第三条直线所截，构造了八个角，一般称为“三线八角”，其中没有公共顶点的角可分为三类：同位角、内错角、同旁内角.现有四种方法辨别这三类角，一起去看一下吧！

一、形象识别法

如图1，直线a ，b 被第三条直线l 所截得到八个角，其中同位角有4对：∠1与∠5，∠2

与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.不难发现，每一对同位角的边所在直线均可构成“F ”型.

内错角2对：∠3与∠5，∠4与∠6，每一对内错角的边所在直线均可构成“Z ”型.

同旁内角2对：∠4与∠5，∠3与∠6，每一对同旁内角的边所在直线均可构成“U ”型.

二、简化法

简化就是排除次要的部分，把复杂图形中需要识别的图形无关的部分略去不考虑，使隐藏于其

中的基本图形显现出来，如图2中的∠1与∠2是否是同位角？将∠1与∠2的两边描粗，可知两角

无共线边，故∠1与∠2不是同位角．

三、图形分离法

由于较复杂的图形都是由一些基本图形组合而成的，因此，在识别这三类角时，可以把

相关的基本图形从复杂的图形中分离出来，排除其他直线的干扰，从而把问题转化为对简单

的基本图形的识别.

如图3所示，图中∠1与∠4，∠2与∠3，∠1与∠BAD ，∠2与∠BAD ，

∠2与∠CAE 分别是什么位置关系的角.

分别把这些角所对应的基本图形从图3中分离出来，如图4所示.这样很容易判断出∠1

与∠4是内错角，∠2与∠3是同旁内角，∠1与∠BAD 是内错角，∠2 与∠BAD

是同位角，∠2与∠CAE 是同旁内角.

23D

1A A B 2D 2C E A

图 4

同位角、内错角、同旁内角(不分层)知识讲解

同位角、内错角、同旁内角知识讲解

撰稿：孙景艳审稿：赵炜

【学习目标】

1.了解“三线八角”模型特征；

2．掌握同位角、内错角、同旁内角的概念，并能从图形中识别它们．

【要点梳理】

要点一、同位角、内错角、同旁内角的概念

1. “三线八角”模型

如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图1.

图1

要点诠释：

⑴两条直线AB,CD与同一条直线EF相交．

⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成．

2. 同位角、内错角、同旁内角的定义

在“三线八角”中，如上图1，

（1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

（2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.

（3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.

要点诠释：

(1)“三线八角”是指上面四个角中的一个角与下面四个角中的一个角之间的关系，显然是没有公共顶点的两个角.

(2)“三线八角”中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．

【高清课堂：平行线及其判定403102三线八角】

要点二、同位角、内错角、同旁内角位置特征及形状特征

要点诠释：巧妙识别三线八角的两种方法：

(1)巧记口诀来识别：一看三线，二找截线，三查位置来分辨.

(2)借助方位来识别

根据这三种角的位置关系，我们可以在图形中标出方位，判断时依方位来识别，如图2．

_三线八角_巧识别

图1 中学生数理化七年级数学·配合华师大教材
30
内错角的基本图形如图 2 所示 .
归纳总结
图2
同旁内角的基本图形如图 3 所示 .
图3 通过观察图 1 、图 2 、图 3 可以看出，同位角的基本图
形就像英文字母 “F ”，称之为 “F ” 形 . 同样地把内错角形象地称为 “Z ” 形，把同旁内角形象地称为 “U ” 形 . 这样在复杂的图形中就可以很快辨认出同位角、内错角、同旁内角 . 你看多简单易记！读者朋友，你记住了吗？
二、两点说明
1. 同位角、内错角不一定相等，同旁内角不一定互补 . 因为两条被截直线不一定平行 . 2. 研究 “ 三线八角 ” 采用的是 “ 数形结合 ” 的思想，同
位角、内错角、同旁内角的定义中既有两个对应角的位置关系，也有数量关系 . （责任编辑：田心红）
1．用象形符号识别同位角、内错角、同旁内角 .
用象形符号表示几何图形，是几何中最常见的形式，如用 “△ ” 表示三角形，用 “⊙ ” 表示圆，既直观又形象，便于记忆 . 有一些几何图形课本上没规定符号，我们可以自己根据它的特点，结合自己对知识的理解，形象地用符号表示，以帮助记忆. 学习几何的 “ 三线八角 ” 时，可以将同位角、内错角、同旁内角从图形中分离出来，其基本形式如下：同位角的基本图形如图 1 所示 .

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第1讲 相交线与三线八角

三线八角

初一三线八角经典例题

相交线—三线八角

三线八角模型

同位角、内错角、同旁内角(不分层)知识讲解

七年级三线八角课件

三线八角

相交线、三线八角-学生版

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七年级数学三线八角知识点

鲁教版6年级下册数学识三线 辨八角

同位角、内错角、同旁内角(不分层)知识讲解

_三线八角_巧识别

第1讲相交线与三线八角

鲁教版6年级下册数学识三线辨八角