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江苏省南通市2014届高三上学期期末考试数学试题

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江苏省南通市2014届高三数学 Word版含答案

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A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。

2014年江苏省南通市高三数学最后一卷

2014年江苏省南通市高三数学最后一卷

南通市2014届高三数学临门一脚数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ．(第8题图)(第10题图)(第9题图)9法流程图．若输入A =3，B 则输出A ，B 的值分别▲ ．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．(第15题图)BAC如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程；(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．(第17题图)图1图2(第16题图)设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．D(第21A 图)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．南通市2014届高三数学临门一脚参考答案与评分建议数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ． 答案：3．2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 答案：-2i ．3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ． 答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ． 答案：16． 6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ． 答案：25．(第10题图)(第9题图)8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 ▲ ． 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为 ▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+=▲ ． 答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y+-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ． 答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 答案：ln 31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，(第8题图)a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在△ABC中，|AB AC-|=3，|BC BA-|=5，|CA CB-|=7．(1)求C的大小；(2)设D为AB的中点，求CD的长．解：(1)依题意BC=3，CA=5，AB=7．······························································1分由余弦定理，得222cos2CB CA ABCCB CA+-=⋅⋅=12-．·········································4分因0<C<π，··························································································6分故C=23π．··························································································8分(2)由余弦定理，得13cos14A=．·······························································11分在△ADC中，AD=72，CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos A=194，于是CD．··················································································14分16．（本小题满分14分）如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆上，四边形ABCD3π，M为BD的中点，平面ABCD⊥平面ABEF．求证：(1)BF⊥平面DAF；(2)ME∥平面DAF．(第15题图)B AC(第16题图)解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ············································································3分 因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ···························································4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形， 所以ME ∥NF ．···················································································11分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·············································································14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π．所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (第17题图)图1图2(2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b +=，将(1，1)代入得221112b b+=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．·············································5分(2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．······························································10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以212S OM x =⋅=． ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ·············································16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ······································································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···································16分20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由．解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a -与曲线y =g (x )=ex x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1e xx-=0，得x =1．列表： ·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e)．于是题设等价于0<12a -<1e ⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分 (2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x xx --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02xx x x --<， 于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)，故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分D(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1+的最大值．解：因 a 、b 、c ＞0，故+)2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分+≤，==a =b =c =13时，取“=”．．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议

南通市2014届高三数学最后一卷参考答案与评分建议

(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

江苏省南通市2014届高三数学第一次调研测试试题苏教版

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南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则UA = ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1．现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分 （2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．A 1B 1C 1CDD 1（第15题）从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A BBC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B =-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===．……………………………………………12分所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a3x3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分（2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． (9)分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．.................................................................................11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求． (12)分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． (13)分综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ．（1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S ABAD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．（第18题）②①综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得cos θ=…………………………………………………………… 10分记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ时，矩形的面积最大．………………………………… 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =，2BP PD =．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1.a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分 （2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 （第19题）代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，（第21—A 题）222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以 AC AM BC BM=，① …………………………… 3分又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=，②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB0sin =θ …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． (10)分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x+≥，2x z yz xy y +≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ==． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ==．…… 7分4（第22题）(361235C P S ==，故S 的分 又由（1）知布列为所以331()10510E S =++=．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试卷

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试卷

南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．【答案】{}13x x -<≤．2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．3． 复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为▲ ． ．4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．【答案】48．6． 若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】()4+∞，．7． 若函数32()fx x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-，则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）（第5题）【答案】充要．9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲ ．10y +--=．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ． 【答案】3415．12．设π6是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为▲ ． 【答案】14π313． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】114．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）sin()sin A B C-的值．PABCDE （第16题）【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()25AB AC CB +=， 亦即225AB =，故5AB =． …………………………… 7分（方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分（方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ， 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分由余弦定理得()()2222221191622b c a c a b +-=+-=，，两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分（2）sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A BC C--=………………………… 10分 由正弦定理得s i n ()c o sc o s s i n A B a B bA C c --=22cos cos 169725ac B bc A c c --===． ………… 14分16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：（1）CE ∥平面P AD ；（2）平面PBC ⊥平面P AB ．【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．PABCDE（第16题）FM 因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分 EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EMCM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分（2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥． 因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PAAB A =，所以CE ⊥平面P AB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分17．（本小题满分14分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x xy x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）． 【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂， 所以浓度644048()4202410x x f x y x x ⎧-⎪-==⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤．则当04x ≤≤时，由64448x--≥，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤．…………………… 3分当410x <≤时，由2024x -≥解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分（2）设从第一次喷洒起，经x （610x ≤≤）天， 浓度()1161616()25110(14)428(6)1414a a g x x a x a x a x x x ⎡⎤=-+-=-+-=-+--⎢⎥----⎣⎦．…… 10分 因为14[48]x -∈，，而14a ≤≤，所以[48]，，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a --.令44a --≥，解得244a -≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．……… 14分18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b ab+=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．【解】（1）由题意得2ab ⎧=⎪= 又0a b >>，解得28a =，21b =．因此所求椭圆的标准方程为2218x y +=． ………………………… 4分 （2）①设()M x y ，，()A m n ，，则由题设知：2OM OA =，0OA OM ⋅=．即22224()0x y m n mx ny ⎧+=+⎨+=⎩，，解得22221414m y n x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，． ………………………8分 因为点()A m n ，在椭圆C 2上，所以2218m n +=， 即()()222182y x +=，亦即221432x y +=．所以点M 的轨迹方程为221432x y +=． ………………………10分 ②（方法1）设()M x y ，，则()(0)A y x λλλλ-∈≠R ，，， 因为点A 在椭圆C 2上，所以222(8)8y x λ+=，即22288y x λ+= （i ）又2288x y += （ii ）（i ）+（ii ）得()2228119x y λ+=+， ………………………13分所以()228116||()||99AMB S OM OA x y λλλ∆=⋅=+=+≥.当且仅当1λ=±（即1AB k =±）时，()min 169AMB S ∆=. ………………………16分（方法2）假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组2218x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，得22818A x k =+，222818A k y k =+， 所以22222222888(1)181818A Ak k OA x y k k k +=+=+=+++，222232(1)418k AB OA k +==+. 又22181x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，解得2228+8M k x k =，228+8M y k =，所以2228(1)+8k OM k +=．…………… 12分（解法1）由于22214AMBS AB OM =⋅△2222132(1)8(1)418+8k k k k ++=⨯⨯+222264(1)(18)(+8)k k k +=+ ()2222264(1)18+82k k k +++≥222264(1)2568181(1)4k k +==+， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立，此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169． ……………15分当k ＝0，S △AMB 116129=⨯=>；当k 不存在时，S △AMB 116229=⨯=>．综上所述，△AMB 面积的最小值为169． ……………16分（解法2）因为22222211118(1)8(1)18+8k k OA OM k k +=++++22218+898(1)8k k k ++==+， 又22112OA OM OA OM +⋅≥，于是169OA OM ⋅≥， 当且仅当22188k k +=+时等号成立，即k ＝±1时等号成立．（后同方法1）19．(本小题满分16分)设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2r t SrS t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑． 【解】（1）因为110a S =≠，令1t =，r n =，则()2r t SrS t=，得21nS n S =，即21n S a n =．… 2分当2n ≥时，11(21)n n n a S S a n -=-=-，且当1n =时，此式也成立． 故数列{a n }的通项公式为1(21)n a a n =-． …………… 5分（2）当11a =时，由（1）知1(21)21n a a n n =-=-，S n ＝n 2．依题意，2n ≥时，121n n b n b S b --==， ……… 7分于是233131log log 2log (2)n n n b b b n n --==∈N ≥，，且31log 1b =，故数列{}3log n b 是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分（3）由（2）得113log 122n n n b --=⨯=，所以12*3()n n b n -=∈N ． ……… 12分于是()()()22121222212222231131113131313+131k k k k k k k k k b b --------+-===------． ……… 15分所以()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑． ……… 16分20．(本小题满分16分)设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．【解】（1）()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>，则函数()f x 是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分所以0a >，令()0f x '=，则ln x a =．当ln x a <时，()0f x '<，()f x 是单调减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 是单调增函数；于是当ln x a=时，()f x 取得极小值． ……………………… 4分因为函数()e ()x f x ax a a =-+∈R 的图象与x 轴交于两点1(0)A x ，，2(0)B x ，(x 1＜x 2)， 所以(ln )(2ln )0f a a a =-<，即2e a >．. 此时，存在1ln (1)e 0a f <=>，；存在33ln ln (3ln )3ln a a f a a a a a >=-+，3230a a a >-+>，又由()f x 在(ln )a -∞，及(ln )a +∞，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2e a >为所求取值范围. ……………………………… 6分（2）因为1212e 0e 0xx ax a ax a ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，， 两式相减得2121e e x x a x x -=-．记21(0)2x x s s -=>，则()121221212221e e e e 2(e e )22x x x x x x s sx x f s x x s ++-+-'⎡⎤=-=--⎣⎦-，…………… 8分设()2(e e )s s g s s -=--，则()2(e e )0s s g s -'=-+<，所以()g s 是单调减函数， 则有()(0)0g s g <=，而122e02x x s+>，所以()1202x x f +'<． 又()e x f x a '=-是单调增函数，且122x x +>所以0f '<． ………………………………………… 11分（3）依题意有e 0i x i ax a -+=，则(1)e 0i x i a x -=>⇒112i x i >=（，）．于是122e x x +=，在等腰三角形ABC 中，显然C = 90°，…………………… 13分所以12012()2x x x x x +=∈，，即00()0y f x =<， 由直角三角形斜边的中线性质，可知2102x x y -=-， 所以21002x x y -+=，即1221212e ()022x x x xa x x a +--+++=，所以2112()022x x a x x a --+++=，即2112(1)(1)[(1)(1)]022x x a x x ----+-+=．因为110x -≠，则()2211111110212x x x a x ----++=-，t =，所以221(1)(1)022a at t t -++-=， …………………………………… 15分即211a t =+-，所以(1)(1) 2.a t --= …………………………………… 16分南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）（第21—A 题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．【解】设ab cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则由 1 111a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11a b c d -=⎧⎨-=-⎩，． 再由1311⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ab c d ，得31a b c d +=⎧⎨+=⎩．，联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故2101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．……………………… 10分21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，设动点P ，Q 都在曲线C ：12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A (1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．【解】由题设可知P ( 1 + 2cos α，2sin α )，Q ( 1 + 2cos2α，sin2α )，………………………… 2分于是PQ的中点M ()1cos cos 2sin sin 2αααα+++，． ………………………… 4分从而ABCDD 1A 1B 1C 1E（第22题）()()2222cos cos 2sin sin 222cos d MA ααααα==+++=+ ………………………… 6分因为0＜α＜2π，所以－1≤cos α＜1， ………………………… 8分于是0≤d 2＜4，故d 的取值范围是[)02，． ………………………… 10分21D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 证明：因为|m|+|n|≥|m －n|， 所以|1|||1(x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3． 所以|1||x ax a-++-≥．…………………………………………………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．【证】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， DD 1为z 轴建立空间直角坐标系． 不妨设AD =AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以()2101E λλ+，，，于是()112111D E A D λλ=-=+，，，(－1，0，－1)．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．故D 1E ⊥A 1D ． ……… 5分（2）因为D 1D ⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的法向量为n 1＝(0，0，1)． 又()21201CE λλ=+，-，，1CD =(0，－2，1)．设平面D 1CE 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则n 2·()2201CE x y λλ=+-=+，n 2·120CD y z =-+=，所以向量n 2的一个解为()22121λλ-+，，．因为二面角D 1—EC —D 的大小为π4，则1212|||⋅=n n|n n ．解得λ=±233－1．又因E 是棱AB 上的一点，所以λ＞0，故所求的λ值为233－1． (10)分23.（本小题满分10分）设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数． 【解】（1）当3n =时，131a a ==． 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，， 所以212a =或21a =或22a =．故此时满足条件的数列{a n }共有3个：1112，，； 1，1，1； 1，2，1． ……… 3分（2）令b i ＝a i +1a i(1≤i ≤7)，则对每个符合条件的数列{a n }，满足条件：77181111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且b i ∈{}1122，， (1≤i ≤7)．反之，由符合上述条件的7项数列{b n }可唯一确定一个符合条件的8项数列{a n }．………7分记符合条件的数列{b n }的个数为N ．显然，b i (1≤i ≤7)中有k 个2；从而有k 个12，7－2k 个1．当k 给定时，{b n }的取法有77C C k kk -种，易得k 的可能值只有0，1，2，3，故1122337675741C C C C C C 393N =+++=．因此，符合条件的数列{a n }的个数为393． ……… 10分。

江苏省南通市2014届高三数学学科基地密卷(5) Word版含答案

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（第4题图） 2014年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1.设全集U ={1，2，3，4，5}，若U A =ð{1，2，4}，则集合A = ．2.已知复数z 满足(z 2)i 1i -=+(i 为虚数单位)，则复数z 的模是 ．3.已知曲线4(0)y x x=>的一条切线斜率为1-，则切点的横坐标为 ．4.右图是某算法的流程图，则输出的T 的值为 ．5.已知甲、乙、丙三人在3天中值班，每人值1天，那么甲在乙前面值班的概率为 ．6.为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下表：根据以上数表绘制相应的频率分布直方图时，落在[10.95 11.15)，范围内的矩形的高应为 ．7.已知0x >，0y >，且2520x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．8.要得到函数()3sin 2y x π=-3的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象向右至少平移 个单位．9.设定义在R 上的奇函数()f x 在区间[0 )+∞，上是单调减函数，且2(3)f x x -(2)f +0>，则实数x 的取值范围是 ．10.在锐角三角形ABC 中，3sin 5A =，1tan()3A B -=-，则3ta n C 的值为 ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：23100x y +-=与圆C ：22()()13x a y b -+-=切于点(P 2，2)，则a b +的值构成的集合是 ．12.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为27，点E ，F分别为棱1B B ，1C C 上的点（异于端点），且//EF BC ， 则四棱锥1A AEFD -的体积为 ．BACD 1B1A1C D （第12题图）E F13．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与b 的夹角的正切为12-，b 与c 的夹角的正切为13-，2=b ，则⋅a c 的值为 ．14．已知数列{}n a 满足1234n n n a a a ++=+*()n ∈N ．设*( n n n a b n a λλμμ-=∈-N , , 为均不等于2的且互不相等的常数，若数列{}n b 为等比数列，则λμ的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知△ABC 为锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b ac ac--cos sin C A =sin cos C A -．（1）求角A 的大小；（2）设关于角B 的函数()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6，求()f B 的值域．16.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱1A A ，1C C 的中点，AC ⊥BE ，点F 在棱AB 上，且4AB AF =． （1）求证：1BC C D ⊥；（2）试在线段BE 上确定一点M ，使得1//C D 平面BFM ，并给出证明．（第16题图）1AA B C1C1B F E MD17.（本小题满分14分）如图，在半径为30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？18. (本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过点(1，其左右焦点分别为1F ，2F．（1）求椭圆E 的方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，且MA 交椭圆E 于点P ． ①求证：OP OM ⋅为定值；②设PB 与以PM 为直径的圆的另一交点为Q ，问直线MQ 是否过定点，并说明理由．19.（本小题满分16分）已知函数()()()f x x x a x b =--，其中0a b <<．（1）设函数()y f x =在点() ()A s f s ，，() ()B t f t ，处取得极值，且s t <．求证： ①0s a t b <<<<；②线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）若a b +<问：过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线是否垂直，并说明理由．20.（本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：11a =，11n a +=n ∈*N ，其前n 项和为n S ．（1）求证：①数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；②对任意的正整数n，都有n S >（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足：212211683n n n n T Tn n a a ++=+--．试确定1b 的值，使得数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，C ，D 是直径为AB 的半圆上的两点，AC 与BD交于点E ，点F 在弦BD 上，且△ACD ∽△BCF ，证明：△ABC ∽△DFC ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵110102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ．若1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ，求矩阵B ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）如图，在极坐标系中，求以点)Cπ，为圆心，12为半径的圆的极坐标方程．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设{}222min b h a a b=+，，其中a ，b 均为正实数，证明：h 1≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，B（第21题A）xO（第21—C 题）记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y为小于1的分数，则1ξ=-；若x y为大于1的分数，则1ξ=．（1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．设i 为虚数单位，n 为正整数．（1）证明：(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+；（2）结合等式“[][]1(cos isin )(1cos )isin n nx x x x ++=++”证明：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o s c o s 22n n x nx =．2014年高考模拟试卷(5)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. {3，5}；2. 3. 2；4. 120 ；5. 12； 6. 1.45； 7.1； 8.6π； 9.（1，2）；10. 79.依题意，3tan 4A =，[]311343tan tan ()319143B A A B +=--==-⨯，则313493tan 3tan()379313149C A B +=-+=-⨯=-⨯ ； 11. {1-，9}．依题意，22(2)(2)13a b -+-=，且2322b a -=-，联立方程组解得22 23a b -=⎧⎨-=⎩，或22 23a b -=-⎧⎨-=-⎩，，即4 5a b =⎧⎨=⎩，或0 1a b =⎧⎨=-⎩，，从而9a b +=或1a b +=-； 12. 9.连接DE ，易得11A AED A FED V V --=，又1111A AED E A AD A AD V V S AB --∆==⋅111111119662A ADD ABCD A C D S AB V -=⋅==，所以19A AEFD V -=； 13. 45.易得1123tan tan()1 11123C A B +=-+==-⨯-，sin sin sin A B C =从而2 ====由得，a c ac 45⋅=则 a c ； 14. 3-.11123342223234n n n n n n n n n a a a b a a a λλλλλμμμμμ++++⎡⎤--+⎢⎥---===⎢⎥-+--⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦，因为数列{}nb 为等比数列，所以342λλλ--=-，342μμμ--=-，且公比为22λμ--，故λμ, 为方程342x x x --=-的两不等实根，从而3λμ=-． 二、解答题15. 解：（1）由222b a c --cos sin C A =得，222cos a c b B +-=()1sin cos 2cos sin C C A A =-1sin sin cos cos 2sin cos C A C A A A -=⋅()cos sin 2A C A-+=cos sin 2BA =， 因为△ABC 为锐角三角形，所以cos 0B ≠，从而sin 21A =，又()0 A ∈π，，故A π=4； （2）()22()2cos sin sin cos f B B B B B π=+-+6)12cos cos cos22BB B B =++2cos cos cos2B B B B =++1cos22cos22B B B +=++)11sin 222B B =+()1232B π=++，由0B B π⎧<<⎪2⎨3ππ⎪0<-<⎩42，得，B ππ<<42，从而542633B ππ<+<π，故()1sin 232B π<+<，所以0()f B <<()f B的值域为(0．16．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1C C ⊥平面ABC ，又AC ，BC ⊂平面ABC ，所以1C C ⊥AC ，1C C ⊥BC ，又AC ⊥BE ， 1BE C C E =，1 BE C C ⊂，平面11BCC B ，所以AC ⊥平面11BCC B ，又BC ⊂平面11BCC B ，所以AC ⊥BC ，而1AC C C C =，1 A C C C⊂，平面11ACC A ， 所以BC ⊥平面11ACC A ， 又1C D ⊂平面11ACC A ，所以1BC C D ⊥； （2）当4BE ME =时，1//C D ⊥平面BFM ，下证之：连结AE ，FM ，在△ABE 中，由4AB AF =，4BE M E =得，//AE MF ，又在平面11ACC A 中，易得1//AE C D ， 所以1//MF C D ， 又1C D ⊄平面BFM ， M F ⊂平面BFM ，所以1//C D ⊥平面BFM ．17.解：（1）如图，设圆心为O ，连结OC ，设BC =x ，法一 易得BC =(0 30)x ∈，， 所以矩形ABCD 的面积为()2S x =（第16题图）1AA B C 1C 1BE M D= 22900x x +-≤900=（2cm ）（当且仅当22900x x=-，x =cm ）时等号成立）此时BC =cm ； 法二 设COB θ∠=，()0 θπ∈2，； 则30sin BC θ=，30cos OB θ=， 所以矩形ABCD 的面积为()230sin 30cos 900sin 2S θθθθ=⨯⨯=，当sin 21θ=，即θπ=4时，max ()900S θ=（2cm ），此时BC =cm ； （2）设圆柱的底面半径为r ，体积为V ，由2AB r =π得，r ，所以()231900V r x x x =π=-，其中(0 30)x ∈，， 由()2190030V x '=-=π得x =此时，()31900V x x =-π在(0，上单调递增，在()上单调递减，故当x =cm 3cm ，答：（1）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的侧面积最大．（2）当截取的矩形铁皮的一边BC 为cm 为时，圆柱体罐子的体积最大．18. 解：（1）易得223121 a b c ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ①易得直线MA 的方程为：0042y yy x =+，代入椭圆22142x y +=得，()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+，所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，， ②直线MQ 过定点(0 0)O ，，理由如下： 依题意，02020008822828PB y y k y y y +==----+（）， 由MQ PB ⊥得，02MQ y k =， 则MQ 的方程为：00(2)2y y y x -=-，即0yy x =，所以直线MQ 过定点(0 0)O ，． 19. 解：（1）①依题意，s ，t ()s t <为方程2()32()0f x x a b x ab '=-++=的两个实根，而(0)0f ab '=>，()()0f a a a b '=-<，()()0f b b b a '=-<，故()0f x '=在区间(0 )a ，和( )a b ，内各有一个实根， 所以0s a t b <<<<； ②由①得，2()3a b s t ++=，3ab st =，因为()()3342()()()()()()273f s f t s t a b s tab s t a b ab a b +=+-++++=-+++， ()()321()()23273s t a b f f a b ab a b ++==-+++，所以()()f s f t +=()22s t f +，即证线段AB 的中点C 在曲线()y f x =上；（2）过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直，理由如下： 设过曲线()y f x =上一点()00 P x y ，的切线方程为：20000 32()()y y xa b x a bx x ⎡⎤-=-++-⎣⎦， 因为切线过原点，所以2000032()y x x a b x ab ⎡⎤=-++⎣⎦， 又0000()()y x x a x b =--，所以200032()x x a b x ab ⎡⎤-++=⎣⎦000()()x x a x b --，解得00x =，或02a b x +=，当00x =时，切线的斜率为ab ；当02a b x +=时，切线的斜率为2()4a b ab +-； 因为0a b <<，且a b +< 所以两条切线斜率之积为：ab ⋅22222()1()()()2(1)1144a b ab ab ab a b ab ab ab ⎡⎤+-=-+>-=---⎢⎥⎣⎦≥， 所以过原点且与曲线()y f x =相切的两条直线不垂直．20.证明：（1）①因为11n a +=所以221114n na a +-=，故数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为4的等差数列； ②由①得211(1)4nn a =+-，又易得0n a >，故n a ，因为n a =>，所以n S >+⋅⋅⋅=（2）由212211683n nn n T T n n a a ++=+--得，1(43)(41)(43)(41)n n n T n T n n +-=++-+， 即114143n n T Tn n +-=+-， 所以数列43n T n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1b 为首项，1为公差的等差数列，从而1143n Tb n n =+--，令2n =，3得，2145b b =+，31413b b =+，若{}n b 为等差数列，则2132b b b =+，所以()111245413b b b +=++，解得11b =，此时，243n T n n =-，87n b n =-恰为等差数列，所以，当11b =时，数列{}n b 为等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 证明：因为△ACD ∽△BCF ，所以∠ACD =∠BCF ， 故∠ACD ACF +∠=∠BCF ACF +∠，即∠DCF =∠BCE ，又∠BDC =∠BAC ，所以△ABC ∽△B ．解：因为1()-=AB 11--B A ，所以1-B 11014110022⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， B （第21题A ）解得1-=B 11201⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由逆矩阵公式得，B 11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． C. 解：如图，设圆上任意一点( )P ρθ，，连结PO ，PC ，OC ， 在△POC中，由余弦定理得()212cos 4ρθπ+--=4，整理得()27cos 04ρθπ--+=4，故所求圆的极坐标方程为()27cos 04ρθπ--+=4．D. 证明：依题意h a ≤，222bh a b +≤，由不等式的性质，两式相乘得2222ab h a b+≤， 因为222a b ab +≥，所以22221ab h a b+≤≤（当且仅当a b =时等号成立），即证． 22.解：（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y为整数的有以下8种：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162P ξ===；（2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），故63(1)168P ξ=-==；1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3）， 故21(1)168P ξ===；所以ξ3111()1018284E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，答：ξ的数学期望为14-．23.证明：（1）①当1n =时，cos isin cos isin x x x x +=+，即证； ②假设当n k =时，(cos isin )cos isin k x x kx kx +=+成立， 则当1n k =+时，()1(cos isin )cos isin (cos isin )k x x kx kx x x ++=++ ()()c o s c o s s i ns i ns i n c o s s i n c o sik x x k x x k x x x k x =-++ ()()c o s 1i s i n 1k x k x =+++， 故命题对1n k =+时也成立，由①②得，(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+； （2）由（1）知，[]1(cos isin )C (cos isin )C (cos isin )nn nrrr nn r r x x x x rx rx ==++=+=+∑∑，其实部为121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+；[](1c o s )i s i n nx x ++=()()22c o s 2i s i n c o s 2c o s c o s i s i n2222nnnnx x x x x x +=+()2c o s c o s i s i n n n xnx nx =+， 其实部为2cos cos 22n n x nx ，根据两个复数相等，其实部也相等可得：121C cos C cos2C cos nn n n x x nx +++⋅⋅⋅+2c o sc o s 22n n x nx =．。

数学_2014-2015学年江苏省南通市某校高三(上)调研数学试卷(文科)(一)(含答案)

数学_2014-2015学年江苏省南通市某校高三(上)调研数学试卷(文科)(一)(含答案)

2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）一、填空题1. 已知集合A ={1, 3, m +1}，B ={1, m}，A ∪B =A ，则m =________．2. 已知a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−b →)，则实数λ=________．3. 圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为2π3，那么它的表面积为________．4. 函数函数y =x a 2−2a−3是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则整数a 的取值为________．5. 若命题“∃x ∈R ，使得x 2+4x +m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=12，则S 7=________．7. 若实数x ，y 满足{y ≥2x −2y ≥−x +1y ≤x +1，则z =2x +y 的最小值为________．8. 已知函数f(x)=2sin(ωx +π6)(ω>0)，函数f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f(x)的单调递增区间是________．9. 曲线y =x 3+mx +c 在点P(1, n)处的切线方程为y =2x +1，其中m ，n ，c ∈R ，则m +n +c 的值为________．10. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，则折起后形成的三棱锥D −ABC 的体积是________．11. 已知f(x)=log 4(x −2)，若实数m ，n 满足f(m)+f(2n)=1，则m +n 的最小值是________．12. 已知|OA →|=4，|OB →|=2，OA →与OB →的夹角为120∘，点P 为线段AB 上得一点，且BP →=3PA →，则OP →⋅AB →=________．13. 已知数列{a n }满足：a n +a n+1=2n +1(n ∈N ∗)，且a 1=3，则a 2014=________．14. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=|x −a 2|+|x −3a 2|−4a 2．若对任意x ∈R ，f(x)≤f(x +2)，则实数a 的取值范围为________．二、解答题15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．（1）若sin(A +π6)=2cosA ，求A 的值． （2）若cosA =13，b =3c ，求sinC 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA=AB，D，E分别为PB，BC的中点．（1）求证：AD⊥平面PBC；（2）若点F在线段AC上，且满足AD // 平面PEF，求AF的值．FC17. 已知关于x的不等式(ax−1)(x+1)>0．（1）若此不等式的解集为{x|−1<x<−1}，求实数a的值；2（2）若a∈R，解这个关于x的不等式．18. 已知数列a n的前n项和S n:a n+3S n=1，b n+10=3log1a n(n∈N∗)4（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等差数列；（3）若c n=a n⋅b n，则是否存在正整数k，使c k，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．19. 某公司为了公司周年庆典，先将公司门前广场进行装饰，广场上有一垂直于地面的墙面AB高8+8√3，一个垂直于地面的可移动柱子CD高为8m，现用灯带对它们进行如下装饰（如图）：设柱子CD与墙面AB相距8m，在AB上取一点E，以C为支点将灯带拉直并固定在地面的F处，再讲灯带拉直依次固定在D处、B处、E处，形成一个三角形型的灯带（图中虚线所示）设∠EFB=θ，灯带总长为y（单位：m）（1）求y关于θ的函数表达式及θ的取值范围；（2）当BE多长时，所用灯带总长最短？20. 已知函数f(x)=xlnx．（1）求函数y=f(x)的单调区间；（2）是否存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．若存在，求出x1，x2的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年江苏省南通市某校高三（上）调研数学试卷（文科）（一）答案1. 32. 93. 4π4. 15. [4, +∞)6. 287. 18. [−2π3+2kπ, π3+2kπ]，k∈Z9. 510. √21211. 3+2√212. −1313. 201214. [−√22, √2 2]15. 解：（1）若sin(A+π6)=2cosA，即sinA⋅√32+cosA⋅12=2cosA，变形可得sinA⋅√32=32cosA，即sinA=√3cosA，则tanA=√3，则A=π3；（2）cosA=b 2+c2−a22bc=10c2−a26c2=13，∴ 8c2=a2，∴ a=2√2c，∴ 2√2sinC=sinA=√1−cos2A=2√23，∴ sinC=13．16. 解：（1）∵ BC⊥平面PAB，AD⊂平面PAB，∴ BC⊥AD．∵ PA=AB，D是PB的中点，∴ AD⊥PB∵ PB、BC是平面PBC内的相交直线，∴ AD平面PBC；（2）连结DC，交PE于点G，连结FG、DE∵ AD // 平面PEF，AD⊂平面ADC，平面ADC∩平面PEF=FG，∴ AD // FG．∵ D、E分别是PB、BC的中点，∴ DE为△BPC的中位线，因此，△DEG∽△CPG，可得DGGC =DEPC=12，∴ AFFC =DGGC=12，即AFFC的值为12．17. 解：（1）∵ 不等式(ax−1)(x+1)>0的解集为{x|−1<x<−12}，∴ 方程(ax−1)(x+1)=0的两根是−1，−12；∴ −12a−1=0，∴ a=−2；（2）∵ (ax−1)(x+1)>0，∴ a<0时，不等式可化为(x−1a)(x+1)<0；若a<−1，则1a >−1，解得−1<x<1a；若a=−1，则1a=−1，解得不等式为⌀；若−1<a<0，则1a <−1，解得1a<x<−1；a=0时，不等式为−(x+1)>0，解得x<−1；当a>0时，不等式为(x−1a)(x+1)>0，∵ 1a >−1，∴ 解不等式得x<−1或x>1a；综上，a<−1时，不等式的解集为{x|−1<x<1a}；a=−1时，不等式的解集为⌀；−1<a<0时，不等式的解集为{x|1a<x<−1}；a=0时，不等式的解集为{x|x<−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x<−1, 或x>1a}．18. 解：（1）∵ a n+3S n=1，∴ a n+1+3S n+1=1，两式相减得a n+1−a n+3(S n+1−S n)=0a n+1−a n+3a n+1=0，则a n+1=14a n，则数列{a n }是公比q =14的等比数列， 当n =1时，a 1+3S 1=1，解得a 1=14， 则a n =14⋅(14)n−1=(14)n ．（2）∵ b n +10=3log 14a n =3n ， ∴ b n =3n −10，则b n −b n−1=3，则数列{b n }是等差数列，公差d =3，首项b 1=−7．（3）∵ b n =3n −10，c n =a n ⋅b n ，∴ c n =(3n −10)•(14)n ，则c k =(3k −10)•(14)k ， c k+1=(3k −7)•(14)k+1，c k+2=(3k −4)•(14)k+2， 若存在正整数k ，使c k ，c k+1，c k+2重新排列后成等比数列，则满足c k+12=c k c k+2，即[(3k −7)⋅(14)k+1]2=(3k −10)•(14)k )(3k −4)•(14)k+2，即(3k −7)2•(14)2k+2=(3k −10)⋅(3k −4)•(14)2k+2，则(3k −7)2=(3k −10)⋅(3k −4)，展开得49=40，方程不成立，即k 不存在． 19. 解：（1）过C 点作CM ⊥BE ，垂足为E ．在Rt △CME 与Rt △CFD 中，CE =CM cosθ，EM =CMtanθ，CF =CD sinθ，FD =CD tanθ， ∴ y =CE +CF +BF +BE =8cosθ+8sinθ+8+8tanθ+8+8tanθ=8(1+sinθcosθ+cosθ+1sinθ)+16 =8(sinθ+cosθ+1)sinθcosθ+16．在△CEM 中，0<tanθ≤√3，∴ θ∈(0,π3]．（2）设sinθ+cosθ=t=√2sin(θ+π4)，∵ θ∈(0,π3]，∴ (θ+π4)∈(π4，7π12)．∴ sin(θ+π4)∈(√22，1]，∴ t∈(1,√2]．∴ t2=1+2sinθcosθ，∴ sinθcosθ=t2−12．∴ y=8(t+1)t2−12+16=16t−1+16，∵ t∈(1,√2]，∴ 1t−1≥√2−1=√2+1．∴ y≥16(√2+1)+16=32+16√2，当t=√2时，θ=π4，此时EM=CM=8，∴ BE=16<8+8√3．20. 解：（1）∵ f(x)=xlnx，定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=lnx+1，∴ 由f′(x)>0得，x>1e ，由f′(x)<0得，0<x<1e，∴ f(x)=xlnx的单调递增区间是(1e , +∞)，单调递减区间是(0, 1e)．（2）不存在．假设存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)，不妨令x1<x2，则由f(x1)= f(x2)得，x1lnx1=x2lnx2，即x2lnx2−x1lnx1=0，∴ x2(lnx2−lnx1)<0，即ln x2x1<0，∴ x2x1<1，即x2<x1，这与|x1−x2|≥1相矛盾，故不存在正数x1，x2，且|x1−x2|≥1，使得f(x1)=f(x2)．。

江苏省南通市第一中学2014-2015学年高三上学期10月阶段测试(月考) 数学(理) Word版含解析(苏教版)

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2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试题(解析版)

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试题(解析版)

江苏省南通市2014届高三第二次调研测试数学试题（解析版）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.已知集合{}{}31A x x x x =<-≥，则A =R ð ▲ ．2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．3.复数i 1iz =-（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．4.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 ▲ ．考点：系统抽样5.根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．6.若12log 11a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．7.若函数32()f x x ax bx =++为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-b 的值为 ▲ ．8.设l，m表示直线，α表示平面，m是α内任意一条直线．则“l m⊥”成立⊥”是“lα的▲条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）9.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：222x≥）上一点，直线OA的倾斜+=（0x y角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB 的方程是▲．10.在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则AB AC⋅的值为▲．11.设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且1x ，1y，1z成等差数列，则x zz x+的值是▲．12.设π6是函数()()sin2f x xϕ=+的一个零点，则函数()f x在区间()02π，内所有极值点之和为▲．13.若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0对任意(0)m∈+∞，恒成立，则实数x的值为▲．14.设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为▲．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在△ABC中，已知916AB AC AB BC⋅=⋅=-，．求：（1）AB的值；（2）sin()sinA BC-的值．试题解析：（1）因为916⋅=⋅=-，，…………………………… 4分AB AC AB BC16.在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．求证：（1）CE∥平面PAD；（2）平面PBC⊥平面PAB．EF CD，于是四边形DCEF是平行四边形，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为161048154102x x y x x ⎧-⎪-=⎨⎪-<⎩，≤≤，，≤． 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a （14a ≤≤）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a 的最小值（精确到0.11.4）．18.在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：1(0)x y a b a b +=>>所围成的封闭图形的面积为C 1上的点到原点O ．以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2．（1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．M 是l 上的点（与O 不重合）．①若MO ＝2OA ，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程； ②若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值①由l是线段AB的垂直平分线，可转化为：0⋅=，又由MO＝2OA，可转化得到：OA OM=，这2OM OA所以22222222888(1)181818A Ak kOA x yk k k+=+=+=+++，222232(1)418kAB OAk+==+.19.设数列{a n }的首项不为零，前n 项和为S n ，且对任意的r ，t ∈N *，都有()2rt S r S t=．（1）求数列{a n }的通项公式（用a 1表示）；（2）设a 1=1，b 1=3，()1*2n n b b S n n -=∈N ≥，，求证：数列{}3log n b 为等比数列； （3）在（2）的条件下，求121nk n k k b T b -==-∑消的方法，可得：()211122222111112313131k k n nnk n k k k b T b ----====-=-----∑∑．20.设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt =，求(1)(1)a t --的值．所以(ln)(2ln)0a>．.=-<，即2ef a a a数学Ⅱ（附加题）21.A．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC内接于圆O，D为弦BC上一点，过D作直线DP // AC，交AB于点E，交圆O在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．21.B ．选修4—1：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值1λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦e ，且M 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵M ．21.C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P，Q都在曲线C：12cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数）上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ的中点M与定点A(1，0)间的距离为d，求d的取值范围．21.D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． (10)分考点：含有绝对值不等式的运用22.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，112AD AA AB ==，点E 是棱AB 上一点．且AE EB λ=．（1）证明：11D E A D ⊥；（2）若二面角D 1—EC —D 的大小为π4，求λ的值．一点，所以λ＞0，故所求的λ值为2 33－1．所以()11211(101)01D E A D λλ⋅=-⋅--=+，，，，．23.设数列{a n }共有n （3n n ∈N ≥，）项，且11n a a ==，对每个i (1≤i ≤1n -，i ∈N )，均有{}11122i i a a +∈，，． （1）当3n =时，写出满足条件的所有数列{a n }（不必写出过程）； （2）当8n =时，求满足条件的数列{a n }的个数．第 21 页 共 21 页 因为{}211122a a ∈，，，{}321122a a ∈，，，即{}21122a ∈，，，{}211122a ∈，，，。

2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷

2014-2015学年江苏省南通一中高三(上)段考数学试卷

2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．2014-2015学年江苏省南通一中高三（上）段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．设复数z满足zi=1+2i（i为虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：计算题．分析：根据所给的关于复数的等式，写出复数z的表达式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，得到结果，然后求出复数的模即可得到答案．解答：解：∵复数z满足zi=1+2i，∴z=，所以z的模为．故答案为．点评：本题考查复数的代数形式的除法运算，以及复数的求模运算，是一个基础题，这种题目一般出现在高考卷的前几个题目中，是一个必得分题目．3．由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．考点：特称命题．专题：计算题．分析：原命题为假命题，则其否命题为真命题，得出∀x∈R，都有x2+2x+m＞0，再由△＜0，求得m．解答：解：∵“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”，∴其否命题为真命题，即是说“∀x∈R，都有x2+2x+m＞0”，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1．∴m的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）点评：本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题．考查转化、计算能力．4．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．解答：解：x=2，=（1，1），=（3，3），显然“∥”，但是x=﹣2时“∥”也成立．“x=2”⇒“∥”；充分不必要条件．故答案为充分不必要条件点评：理解向量平行的坐标运算以及会充分必要条件的判断．5．函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣=令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．6．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如右图所示，则f （x）的函数解析式为f（x）=3cos（x+）．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的顶点（﹣，3）、（，﹣3）可得A=3，T==，求得ω=．再根据五点法作图可得•（﹣）+φ=0，求得φ=，故有函数f（x）=3cos（x+），故答案为：f（x）=3cos（x+）．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a 的取值范围是（﹣1，0）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：讨论a的正负，以及a与﹣1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．解答：解：（1）当a＞0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＜0，当x＞a时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；（2）当a=0时，函数f（x）无极值，不符合题意；（3）当﹣1＜a＜0时，当﹣1＜x＜a时，f′（x）＞0，当x＞a时，f′（x）＜0，则f（x）在x=a处取到极大值，符合题意；（4）当a=﹣1时，f′（x）≤0，函数f（x）无极值，不符合题意；（5）当a＜﹣1时，当x＜a时，f′（x）＜0，当a＜x＜﹣1时，f′（x）＞0，则f（x）在x=a处取到极小值，不符合题意；综上所述﹣1＜a＜0，故答案为（﹣1，0）．点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．8．已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出不等式组表示的平面区域；通过x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；结合图象求出（1，0）到直线的距离即可．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；点到直线的距离公式可得：，x2+y2﹣2x的最小值为：（）2﹣1=1故答案为：1．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；9．设等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q、首项是a1，当q=1时，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不满足S3，S9，S6成等差数列；当q≠1时，因为S3，S9，S6成等差数列，所以2×=+，化简得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），则===，故答案为：．点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n 项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．10．设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是[，）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义．专题：计算题．分析：由f′（x）==+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．解答：解：∵函数，∴y′==+≥2=（当且仅当=取等号），∴y′∈[，+∞），∴tanθ，又0≤θ＜π，∴≤θ．故答案为：[，）．点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．11．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB上的一个三等分点，则=4．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意建立直角坐标系，可得及，的坐标，而原式可化为，代入化简可得答案．解答：解：由题意可建立如图所示的坐标系可得A（2，0）B（0，2），P（，）或P（，），故可得=（，）或（，），=（2，0），=（0，2），所以+=（2，0）+（0，2）=（2，2），故==（，）•（2，2）=4或=（，）•（2，2）=4，故答案为：4点评：本题考查平面向量的数量积的运算，建立坐标系是解决问题的关键，属基础题．12．已知函数当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．解答：解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，又函数，所以f（f（t）=，因为f（f（t））∈[0，1]，所以解得：，又t∈[0，1]，所以实数t的取值范围．故答案为：．点评：本题考查函数一方程的综合应用，指数与对数不等式的解法，函数的定义域与函数的值域，函数值的求法，考查计算能力．13．已知直线y=ax+2与圆x2+y2+2x﹣3=0相交于A、B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x 上，且PA=PB，则x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得CP垂直平分AB，且y0=2x0．直线垂直的关系，解得x0与a的关系，把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0化为关于x的一元二次方程，由△＞0，求得a的范围，从而可得x0的取值范围．解答：解：圆x2+y2+2x﹣3=0即（x+1）2+y2=4，表示以C（﹣1，0）为圆心，半径等于2的圆．∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x0，y0）在直线y=2x上，∴y0=2x0．又CP的斜率等于，∴•a=﹣1，解得x0=．把直线y=ax+2代入圆x2+y2+2x﹣3=0可得，（a2+1）x2+（4a+2）x+1=0．由△=（4a+2）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2+16a＞0，得a＞0或a＜﹣．∴﹣1＜＜0，或0＜＜．故x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，），故答案为：（﹣1，0）∪（0，）点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，不等式的性质应用，属于中档题．利用直线和圆的位置关系结合判别式△是解决本题的关键．14．给出定义：若x∈〔m﹣，m+]，（m∈z），则m叫做实数x的“亲密函数”，记作{x}=m，在此基础上给出下列函数f（x）=|x﹣{x}|的四个命题：①函数y=f（x）在x∈（0，1）上是增函数；②函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；③函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称；④当x∈（0，2]时，函数g（x）=f（x）﹣lnx有两个零点其中正确命题的序号是②③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据题意先对函数化简，然后作出函数的图象，根据函数的图象可判断各个选项是否正确．解答：解：①当x∈（，]时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣0|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣1|，当时，f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣2|，…作出函数的图象如右图：由图可知：①错，②，③对，再作出y=lnx的图象可判断x∈（0，2]时有两个交点，④对故答案为：②③④．点评：本题为新定义题目，解题的关键是读懂定义内涵，尝试探究解决，属难题，考查由函数图象研究函数的性质，作图及识图能力、数形结合思想．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．设命题p：关于x的不等式1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据条件求出命题p，q成立的等价条件，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，2x∈（0，1]，∵1﹣a•2x≥0在x∈（﹣∞，0]上恒成立，∴1≥a•2x，∴a≤，∵当x≤0时，≥1，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．∵命题p和q有且仅有一个正确，∴①若p正确而q不正确，则，即a≤，②若q正确而p不正确，则，即a＞1，故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．求出命题的等价条件是解决本题的关键．注意函数的定义域的合理运用．16．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C﹣的范围，再由sin（2C﹣）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围．解答：解：（1）∵a2+b2＜c2，∴由余弦定理得：cosC=＜0，∴C为钝角，∴＜2C﹣＜，∵sin（2C﹣）=，∴2C﹣=，则C=；（2）由（1）得C=，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2，即（）2≤，≤，又a+b＞c，即＞1，则的范围为（1，]．点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD，在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设∠PAB=θ，tanθ=t．（1）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值．（2）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少（平方百米）？考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；转化思想．分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形，直接用t表示出PQ的长度，然后推出△CPQ 的周长l为定值．（2）利用S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ，推出探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S，利用基本不等式求出面积的最小值（平方百米）．解答：解：（1）BP=t，0≤t≤1，∠DAQ=45°﹣θ，DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，∴PQ===．∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2．（2）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1﹣﹣=2﹣≤2．当t=时取等号．探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为2（平方百米）．点评：本题考查三角形的实际应用，函数值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．18．若半径为r的圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的范围；（2）求证：d2﹣r2为定值；（3）是否存在定圆M，使得圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请求出定圆M 的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据圆的标准方程求出即可；（2）先求出圆心和半径以及圆心C到直线l的距离d，从而得到答案；（3）分别证明圆M与直线l相切，圆M与圆C相离，从而证出结论．解答：解：（1）∵D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，∴F2＞4F，解得：F＞4；（2）易得圆C的圆心C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离d==，∴d2﹣r2=﹣=1；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明如下：1°：∵M（0，0）到直线l的距离为：=1=R，∴圆M与直线l相切；2°：∵CM==，且R+1=+1，∴＞+1⇔＞⇔4＞0，∴CM＞R+1，∴圆M与圆C相离，综上，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．点评：本题考察了直线和圆的位置关系，考察圆的标准方程，是一道中档题．19．已知函数f（x）=mx2﹣x+lnx．（1）当m=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）若在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；（3）当m＞0时，若曲线C：y=f（x）在点x=1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m 的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；（2）在函数f（x）的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，等价于2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解，分类讨论，可求m的取值范围；（3）求出切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx ﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解，分类讨论，可求m的值．解答：解：（1）当m=﹣1时，f（x）=﹣x2﹣x+lnx，所以f′（x）=﹣2x﹣1+=﹣，所以当0＜x＜，f′（x）＞0，当x＞，f′（x）＜0，因此当x=时，f（x）max=f（）=﹣﹣ln分）（2）f′（x）=2mx﹣1+=，即2mx2﹣x+1＜0在（0，+∞）上有解．①m≤0显然成立；②m＞0时，由于对称轴x=＞0，故△=1﹣8m＞0，所以m＜，综上，m＜．（8分）（3）因为f（1）=m﹣1，f′（1）=2m，所以切线方程为y﹣m+1=2m（x﹣1），即y=2mx﹣m﹣1，从而方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1在（0，+∞）上只有一解．令g（x）=mx2﹣x+lnx﹣2mx+m+1，则g′（x）=2mx﹣1﹣2m+==（10分）所以1°m=，g′（x）≥0，所以y=g（x）在x∈（0，+∞）单调递增，且g（1）=0，所以mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1只有一解．（12分）2°0＜m＜，x∈（0，1），g′（x）＞0；x∈（1，），g′（x）＜0；x∈（，+∞）），g′（x）＞0，由g（1）=0及函数单调性可知g（）＜0，因为g（x）=mx[x﹣（2+）]+m+lnx+1，取x=2+，则g（2+）＞0．因此在（，+∞）），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意（14分）3°m＞，x∈（0，），g′（x）＞0；x∈（，1）），g′（x）＜0；x∈（1，+∞），g′（x）＞0，同理在（0，），方程mx2﹣x+lnx=2mx﹣m﹣1必有一解，从而不符题意．（16分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为q k．（1）若q k=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，设b k=．①求证：{b k}成等差数列，并指出其公差；②若d1=2，试求数列{d k}的前k项的和D k．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由题设知，由此能求出a1+a3+a5+…+a2k﹣1的值．（2）①由a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，知2a2k+1=a2k+a2k+2，再由，能够证明{b k}是等差数列，且公差为1．②由d1=2，得a3=a2+2，解得a2=2，或a2=﹣1．由此进行分类讨论，能够求出D k．解答：解：（1）∵数列{a n}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等比数列，公比q k=2（k∈N*），∴，∴a1+a3+a5+…+a2k﹣1==．（2）①∵a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，其公差为d k，∴2a2k+1=a2k+a2k+2，而，a2k+2=a2k+1•q k+1，∴，则，得，∴，即b k+1﹣b k=1，∴{b k}是等差数列，且公差为1．②∵d1=2，∴a3=a2+2，则有，解得a2=2，或a2=﹣1．（i）当a2=2时，q1=2，∴b1=1，则b k=1+（k﹣1）×1=k，即，得，∴=，则==（k+1）2，∴，则d k=a2k+1﹣a2k=k+1，故．（ii）当a2=﹣1时，q1=﹣1，∴，则=k﹣．即，得，∴=××…××1=（k﹣）2．则=（2k﹣1）（2k﹣3），∴d k=a2k+1﹣a2k=4k﹣2，从而D k=2k2，综上所述，D k=，或．点评：本题考查数列的前n项和的计算，等差数列的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意计算能力的培养．声明：此资源由本人收集整理于网络，只用于交流学习，请勿用作它途。

江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模 数学试卷

江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模 数学试卷

江苏省南通市高级中学2014-2015学年高三一模数学试卷 试题Ⅰ注 意 事 项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1． 已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U C A B = ▲ ．2． 若9z z ⋅=（其中z 表示复数z 的共轭复数），则复数z 的模为 ▲ ． 3． 已知函数()af x x =在1x =处的导数为2-，则实数a 的值是 ▲ ． 4． 根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 (GB19522—2004)中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：“饮酒驾车”的临界值为20mg/100ml ；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100ml ．某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车” 发生的频率等于 ▲ ．5． 要得到函数sin 2y x =的函数图象，可将函数()πsin 23y x =+的图象向右至少平移 ▲ 个单位．6．在平面直角坐标系xOy 中，“直线y x b=+，b ∈R与曲线x =”的充要条件是“ ▲ ”．7． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩，已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、 372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ ．8． 在△ABC 中，若tan :A tan :tan 1:2:3B C =，则A = ▲ ． 9． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ ． 10．设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ▲ ． 11．已知平面向量a ，b ，c 满足1=a ，2=b ，a ，b 的夹角等于π，且()()0-⋅-=a c b c ，则c的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，过点11( 0)A x ，、22( 0)A x ，分别作x 轴的垂线与抛物线22x y =分别交于点12A A ''、，直线12A A ''与 x 轴交于点33( 0)A x ，，这样就称12x x 、确定了3x ．同样，可由23x x 、确定4x ，…，若12x =，23x =，则5x = ▲ ．13．定义：min {x ，y}为实数x ，y 中较小的数．已知{}22min 4b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221 (1)x y a a +=>上，其中0 1A （，）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知函数()()2ππ()sin cos sin sin f x x x x x x x =+++-∈R，． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若x x =()0π2x ≤≤为()f x 的一个零点，求0sin 2x 的值．16．（本题满分14分）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，将正三角形BCD 沿BD 向上折起，折起后的点C（第7题）记为C '，且CC a '=（0a <<）．（1）若a ，求二面角C —BD —C '的大小； （2）当a 变化时，线段CC '上是否总存在一点 E ，使得A C '//平面BED ？请说明理由．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 是双曲线2212y x -=上的两点，(12)M ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点． （1）求直线AB 与CD 的方程；（2）判断A 、B 、C 、D 四点是否共圆？若共圆，请求出圆的方程；若不共圆，请说明理由． 18．（本题满分15分）某省高考数学阅卷点共有400名阅卷老师，为了高效地完成文、理科数学卷的阅卷任务，需将400名阅卷老师分成两组同时展开阅卷工作，一组完成269捆文科卷，另一组完成475捆理科卷．根据历年阅卷经验，文科每捆卷需要一位阅卷老师工作3天完成，理科每捆卷需要一位阅卷老师工作4天完成．（假定每位阅卷老师工作一天的阅卷量相同，每捆卷的份数也相同）（1）如何安排文、理科阅卷老师的人数，使得全省数学阅卷时间最省？（2）由于今年理科阅卷任务较重，理科实际每捆卷需要一位阅卷老师工作4.5天完成，在按（1）分配的人数阅卷4天后，阅卷领导小组决定从文科组抽调20名阅卷老师去阅理科卷，试问完成全省数学阅卷任务至少需要多少天？（天数精确到小数点后第3位）（参考数据：807 6.782119≈，95 6.78614≈，331 3.34399≈，1013.5 3.367301≈）19．（本题满分16分） 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且()0f x '=的两根为1±．若()f x 的极大值与极小值 之和为0，(2)2f -=．（1）求函数()f x 的解析式；（第16题）D C 'A BC（2）若函数在开区间(99)m m --,上存在最大值与最小值，求实数m 的取值范围． （3）设函数()()f x x g x =⋅，正实数a ，b ，c 满足()()()0ag b bg c cg a ==>，证明：a b c ==．20．（本题满分16分） 设首项为1的正项数列{}n a的前n 项和为n S ，数列{}2na 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数.（1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．试题Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切 半圆于点D ，CD=2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的 中点，求BC 的长． B ．（矩阵与变换）已知矩阵122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的属于特征值b 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 、b 的值．C ．（极坐标与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1 2)A -，在曲线22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数，p 为正常数），求p 的值．D ．（不等式选讲）设123 a a a ，，均为正数，且1231a a a ++=，求证：1231119.a a a ++≥【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．已知函数2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--，[)0x ∈+∞，，求()f x 的最大值.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n nn n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．南通市数学一模试卷 参考答案1.{}5； 2. 3； 3. 2； 4. 0.09； 5.π6； 6. b =； 7. 8361，；8. π4；9. (01)，； 10. ； 11. ⎣⎦； 12. 1； 13. 1； 14. 3． 答案解析 1．易得{}1 3 9A B A ==，，U ，则()U A B =U ð{}5；2.3z =；3. 易得2()af x x '=-，则(1)2f a '=-=-，即2a =； 4. “饮酒驾车” 发生的频率等于11520.09200++=；5. 将()()πsin 2sin 23y x x π=+=+6向右至少平移π6个单位得sin 2y x =；6. 1=，且0b <，即b =7. 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8361，； 8. 设tan A k=，则t a n B k=，tan 3C k=，且k >，利用t an t a n t a n t a n ()1t a n t a nA B C A B A B +=-+=--可 求得1k =，所以A π=；9. 易得(0)0f =，20x x -<，故所求解集为(0 1)，； 10. 法 1 设正四棱锥的底面边长为x ，则体积13V x =，记()22y t t =-，0t >，利用导数可求得当43t =时，max 3227y=，此时max V =； 法2 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则()22122cos sin 1sin sin 33V θθθθ=⨯⨯=-⨯，0<θπ<，记()21 01y t t t =-<<，，利用导数可求得当t =时，max y =，此时max V ；15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质、两角和与差的正、余弦公式，考查运算求解 能力．（1）易得()2221()sin 2sin cos 2f x x x x x =+-1cos212cos222x x x -=+- 1s i n 2c o s 22x x =-+＝()π12sin 262x -+，（5分）所以()f x 周期π，值域为35 ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（7分）（2）由()00π1()2sin 2062f x x =-+=得()0π1sin 2064x -=-<，（9分） 又由0π02x ≤≤得02ππ5π666x ≤≤--，所以02ππ0 66x ≤≤--，故()0πcos 26x -=，（11分）此时，()00ππsin 2sin 266x x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()00ππππsin 2cos cos 2sin 6666x x =-+-1142=-．（14分）O AB2CM 1C（第11题图）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象、推理论证能力．解：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结OC '， 菱形ABCD 中，CO BD ⊥，因三角形BCD 沿BD 折起，所以C O BD '⊥， 故C OC '∠为二面角C —BD —C '的平面角，（5分）易得C O CO '==CC '= 所以C OC π'∠=3，二面角C —BD —C '的大小为π3；（7分）（2）当a 变化时，线段CC '的中点E 总满足A C '//平面BED ，下证之：（9分） 因为E ，O 分别为线段CC '，AC 的中点， 所以//OE AC '，（11分） 又AC '⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ， 所以A C '//平面BED. （14分） 17．命题立意：本题主要考查求双曲线、直线、圆等基础知识，考查运算求解与探究能力．解：（1）设A 11()x y ，，则11(24)B x y --，， 代入双曲线2212y x -=得2211221112(4)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，，解得110x y ⎧⎨=⎩=-1，或1134x y =⎧⎨=⎩，， 即A B 、的坐标为10-（，）、34（，），所以AB ：1y x =+，CD ：3y x =-+；（7分）（2）A 、B 、C 、D 四点共圆，下证之：（9分）证明：由3y x =-+与221y x -=联立方程组可得C D 、的坐标为(36--+、(36-+-，（11分）由三点A 、B 、C 可先确定一个圆22(3)(6)40x y ++-=①，（13分）经检验(36D -+-适合①式，所以A 、B 、C 、D 四点共圆．（15分）（注：本题亦可以利用圆的几何性质判断四点共圆）（第16题图）DC 'ABCOE18．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力． 解：（1）设文科阅卷人数为x ，且x ∈*N ，则阅卷时间为2693119.246()4754119.246400x x f x x x ⨯⎧⎪=⎨⨯⎪>-⎩≤，，，，（5分） 而(119) 6.782f =，(120) 6.786f =，故(119)(120)f f <，答：当文、理科阅卷人数分别是119,281时，全省阅卷时间最省；（8分）（2）文科阅卷时间为：1269311943347.34399⨯-⨯⨯⨯+=，（11分） 理科阅卷时间为：1475 4.52814 4.54.547.367301⨯-⨯⨯⨯+=，（14分） 答：全省阅卷时间最短为7.367天．（15分）19．命题立意：本题主要考查利用导数研究三次函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形解：（1）设()(1)(1)f x a x x '=+-，则可设()3()3x f x a x c=-+，其中c 因为()f x 的极大值与极小值之和为0， 所以(1)(1)0f f -+=，即0c =，由(2)2f -=得3a =-，所以3()3f x x x =-；（5分）（2）由（1）得3()3f x x x =-，且()3(1)(1)f x x x '=-+-列表：由题意得，三次函数在开区间上存在的最大值与最小值必为极值（如图），（7分） 又(2)2f -=，故(2)2f =-， 所以192m <-≤，且291m --<-≤，x (21)--,1- (11)-, 1 (12),y '- 0 + 0 - y ↘ 极小值2- ↗ 极大值2 ↘解得78m <≤；（10分）（3）题设等价与222(3)(3)(3)a b b c c a -=-=-，且a ，b ，c >0，所以a ，b ，c假设在a ，b ，c 中有两个不等，不妨设a ≠b ，则a >b 或a <b ．若a >b ，则由22(3)(3)a b b c -=-得2233b c -<-即b c >， 又由22(3)(3)b c c a -=-得c >a ． 于是a >b >c >a ，出现矛盾．同理，若a <b ，也必出现出矛盾． 故假设不成立，所以a b c ==．（16分）20．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）n = 1时，由24(1)13p --=得p = 0或2，（2分） 若p = 0时，243n n S T -=， 当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-， 而0n a >，所以p = 0不符合题意，故p = 2；（5分）（2）当p = 2时，241(2)33n n T S =-- ①，则21141(2)33n n T S ++=--②，②-①并化简得1134n n n a S S ++=-- ③，则22134n n n a S S +++=-- ④， ④-③得2112n n a a ++=（n *∈N ），又易得2112a a =， 所以数列{an}是等比数列，且112n na -=；（10分） （3）充分性：若x = 1，y = 2，由112n n a -=知n a ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n ，142n +，满足112142222n nn -+⨯=+，即an ，2xan +1，2yan +2成等差数列；（12分）必要性：假设n a ，12xn a +，22yn a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n na -=，所以11111222222x y n nn -+⋅⋅=+⋅， 化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k ≥时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证． （16分）21．A ．命题立意：本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证、运算求解能力． 解：连接OD ，则OD ⊥DC ， 在Rt △OED 中，12OE =OB 12=OD ， 所以∠ODE =30°，（5分）在Rt △ODC 中，∠DCO =30°，由DC =2得OD =DCtan30°=，所以BC =．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量，考查运算求解能力．解：由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知122a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=11b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（5分）所以3 2 b b a =⎧⎨=+⎩，，解得1 3a b ==，.（10分） C ．命题立意：本题主要考查参数方程，考查运算求解能力．解：由22 2 x pt y pt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（t 为参数，p 为正常数），消去参数t 得22y px =，（8分）将点(1 2)A -，代入22y px =得2p =.（10分）D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力． 证明：因为a1，a2，a3均为正数，且12310a a a ++=>，所以123111a a a ++()123123111()a a a =++++()()11123123111339a a a a a a ⋅=≥，（8分）当且仅当12313a a a ===时等号成立，所以1239111a a a ++≥.（10分）22．命题立意：本题主要考查复合函数求导等知识，考查运算求解、推理论证能力．证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，（2分）令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =，（6分）故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数，（8分）则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0．（10分）23．命题立意：本题主要考查组合数的性质、二项式定理，考查推理论证能力．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!k n n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----，所以11C C k k n n k n --=；（3分）（2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+[][]0110010010C (1)+()C (1)+()Cn n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C n n n n n n n n a x x a a n x x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦ []1010()(1)n a a a n x x x -=+-+-010()a a a nx =+-， 所以对任意的正整数n ，()p x 是关于x 的一次式．（10分）。

南通市2014届高三第三次调研测试

南通市2014届高三第三次调研测试

连云港南通市2014届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ．【答案】{}1,22． 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】1i -3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ． 【答案】154． 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ．5． 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ．【答案】16． 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．【答案】7． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C且过点(1,则曲线C 的标准方程为 ．【答案】221y x -=8． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()2,+∞9. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．【答案】810． 在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ．（第5题）【答案】1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f =． 【答案】12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】⎡-⎣13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ． 【答案】3+14．在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ． 【答案】3二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． …………………………… 7分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分 因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分 因为B C ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．【解】（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =． …………………………… 3分 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-，CE A B DF（第15题）因为4b =，所以2232a c +=． …………………………… 6分 （2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， …………………………… 8分 所以81cos 2B ac =≥．因为()0,πB ∈，所以π03B <≤． …………………………… 10分因为21π1()cos cos 2(1cos2)sin(2)f B B B B B B B =+=++=++，…… 12分由于ππ5π2666B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………… 14分17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧 BC 的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ． 在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=， 所以100cos AC θ=．由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分 所以()2100cos 100s θθθ=⨯+，即()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈． ……………………………7分（2）()100(2sin 1)s θθ'=-+， ……………………………9分 令 ¢s (q )=0，则π6θ=， ……………………………11分列表如下：所以，当π6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值． ……………………………13分答：当π6θ=时，绿化带总长度最大． ……………………………14分O（第17题）ABCθ18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围．【解】（1）由题意知，12c e a ==，72CD a =-，所以22224,3a c b c ==． ……………………………2分因为点74(,)2c c -在椭圆上，即222274()2143c c c c -+=，所以1c =．所以椭圆的方程为22143y x +=． ……………………………6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=； ……………………………7分 ② 当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，所以1x =2x =所以212212(1)|34k AB x x k +=-=+． ……………………………10分同理，2222112(1)12(1)4343k k CD k k++==++． 所以2222222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++， ………………………12分令21t k =+，则1t >，23441k t +=-，23431k t +=+， 设222(41)(31)111149()12()24t t f t t t t t-+==-++=--+，因为1t >，所以1(0,1)t∈，（第18题）所以49()(12,]4f t ∈，所以8448[,7)()7AB CD f t +=∈．综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48[,7]7． ……………………………16分19．已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．【解】（1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =． …………………………… 2分 当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意； 当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =． …………………………… 5分 （2）因为()0f x ≥，所以0m ≥． …………………………… 7分 ① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． …………… 9分 设2(2)()e (2)x x g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥，所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．…………………………… 11分 ② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<． （Ⅰ）2n m >>时，2424()(2)e e ()(2)e e m n f m m mf n n n⎧=-=⎨=-=⎩， 由①可知不存在满足条件的,m n ． …………………………… 13分（Ⅱ）02m n <<<时，2424(2)e e (2)e e m n m nn m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e (2)e m n m m n n -=-．设2()(2)e (02)x h x x x x =-<<，则32()(44)e (2)(1)(2)e x x h x x x x x x x '=--+=+--，()h x 在(0,1)递增，在(1,2)递减，由()()h m h n =得01m <<，12n <<，此时24(2)e 4e e m m n -<<，矛盾．综上所述，满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．……………………………16分 20．各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分 即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112n n b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分（Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc c m m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分）南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．【解】因为//EF CB ，所以BCE FED ∠=∠， ………………3分 又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠， ………………6分 又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EAF ． ………………10分 21B ．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值． 【解】设直线l 上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩……………………………4分 将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=， 得(1)240a x y -+-=．（第21—A 题）即直线l 的方程为1202a x y -+-=．所以3a =． ……………………………10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．【解】设直线l 的参数方程为cos ,1sin .x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角）设A ，B 两点对应的参数值分别为1t ，2t ． 将cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2220x y x +-=， 整理可得22(sin cos )10t t αα+-+=．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以） 所以121PA PB t t ⋅==． ……………………………10分 21D ．选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()222ax by a x b yx y x y++++≤，即证222()()()ax by x y a x b y +++≤．即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分 即证2()0a b -≥， 而2()0a b -≥显然成立，故()222ax by a x b yx y x y++++≤． ……………………………10分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证： 1202k k k +=．【解】（1）设点(),N x y ，(,0)M a ，(0,)P b ． 由PM PN +=0可知，点P 是MN 的中点，所以0,20,2a xy b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,,2a x y b =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以点(),0M x -，0,2y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以,2y PM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,2y PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………3分由0PM PF ⋅=，可得204y x -+=，即24y x =．所以动点N 的轨迹C 的方程为24y x =．……………5分 （2）设点()1,Q t -，由于过点Q 的直线()1y t k x -=+与轨迹C ：24y x =相切，联立方程()241y xy t k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，整理得()()2222220k x k kt x k t ++-++=．…………7分则()()22224240k kt k k t ∆=+--+=，化简得210k tk +-=．显然，1k ，2k 是关于k 的方程210k tk +-=的两个根，所以12k k t +=-． 又02t k =-，故1202k k k +=． 所以命题得证． ……………………………10分 23．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．【证明】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，所以1102n n x x +<<-，所以112n nx x +>-，且20nx ->．数学参考答案及评分建议 第11页 （共11页） 因为2221(1)1n n n n n n nx x x x -+--==≥0． 所以12n nx x -≥， 所以12n n n x x x +<-≤1，即1n n x x +<． ……………………………4分 （注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：11n x n >-． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k >-， 当1n k =+时，由（1）得，()11111211121k k k x x k k k +>>==--++--． 由①，②可得，11n x n >-． ……………………………7分 下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+． 因为112k k x x ++<，()11121121k k m x x m m +>>=---+， ()21111221211k k m x x m m ++->>=---+-，…，()()1221k m m m x m m +--->=--， 与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1n x <成立． ……………………………10分。

南通市2014届高三上学期期末检测数学试题

南通市2014届高三上学期期末检测数学试题

数学试卷一、填空题（每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上）1. 复数 z i（此中 i 是虚数单位）的虚部为．2i2.某同学在 7 天内每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数. 则这 7 天该同学每日参加体育锻炼时间（单位：分钟）的均匀数为．4. 分别在会合A{1 ， 2，3， 4} 和会合B{5 ， 6， 7， 8} 中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为．【答案】3410 6.如图是计算k11的值的一个流程图，则常数 a 的取值范围是．2k1n 19时，S11,n19221，可得a的范围为：19 211，．1319考点：算法的循环构造7. 函数y = sin2xπ的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换获得，第一次变换是针3对函数 y = sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出以下四个变换：A.图象上全部点向右平移π个单位；6B.图象上全部点向右平移π个单位；3C. 图象上全部点的横坐标变成本来的 2 倍（纵坐标不变）；D. 图象上全部点的横坐标变成本来的1倍（纵坐标不变） .2请按次序写出两次变换的代表字母：．9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆 1：x 2 y 24 x 8y 19 0对于直线 l ： x 2 y5 0 对C称的圆 C 的方程为．2【答案】 x 2y 21【分析】10. 给出以下三个对于 x 的不等式：① x 24x 3 0 ，② x 31 1 ，③ 2x2 m 2 x m 0．若③的解集非空，且知足③的x 起码知足①和②中的一个，则 m 的取值范围 ．11. 设π1132，且 cos7，cos()14，则 tan的值为．012. 设平面向量a， b 知足a3b≤ 2 ，则 a· b 的最小值为．1【答案】614. 设函数 y f ( x) 是定义域为 R，周期为 2 的周期函数，且当 x1，1时， f ( x) 1 x 2 ；lg | x |，x0，5 ，10已知函数 g (x)则函数 f (x) 和 g( x) 的图象在区间内公共点的个数1，x0．为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或15. 设向量a(cos，sin) ，b(cos，sin) ，此中 0π．（1）若a b ，求a3b的值；（2）设向量c0 ， 3，且a+ b =c，求，的值．16. 如图，在三棱锥中，平面PAC 平面， BAC60，，F分别是，的P—ABC ABC E AP AC 中点，点 D在棱 AB上，且AD AC ．求证：（ 1） EF // 平面PBC；（ 2）平面DEF平面PAC．二、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.如图，港口 A 在港口 O的正东120海里处，小岛 B 在港口 O的北偏东60的方向，且在港口 A 北偏西30的方向上．一艘科学观察船从港口O出发，沿北偏东30 的OD方向以 20海里 / 小时的速度驶离港口O．一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物质后以同样的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为 1 小时．（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？18. 设公差不为零的等差数列 a n的各项均为整数， S n为其前 n 项和，且满足a2 a35，S77 ．a14（1）求数列 a n的通项公式；（2）试求全部的正整数m，使得am+1am 2为数列 a n中的项．a m【答案】（ 1）311;（2）m的值为3和 4．a n n【分析】19. 在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆 C上的点到右焦点的距离的最小值为5 1．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l 与椭圆 C订交于 A， B 两点，且AOBπ2．①求证：原点O到直线 AB的距离为定值；②求 AB的最小值．20. 设函数 f x a ln x bx2，其图象在点P 2， f2处切线的斜率为 3 ．（1）求函数 f x 的单一区间（用只含有 b 的式子表示）；（2）当 a 2 时，令 g x f x kx ，设 x1， x2 x1x2是函数 g x0 的两个根， x0是 x1，x2的等差中项，求证：g' ( x0 )0 （ g' ( x) 为函数 g x的导函数）．。

江苏省南通市通州区2014届高三数学4月最后一卷试题苏教版

江苏省南通市通州区2014届高三数学4月最后一卷试题苏教版

江苏省南通市通州区2014届4月高三数学最后一卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上． 1．设集合1|2A x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}|21x B x =>，则AB = ▲ ．2．复数512i +的共轭复数是 ▲ ．3．已知集合|,9n A n Z παα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，若从A 中任取一个元素作为直线l 的倾斜角，则直线l 的斜率小于零的概率是 ▲ ．4．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是 ▲ ．（填写序号）①1a b >-； ②1a b >+； ③22a b >； ④33a b >5．设函数1()1f x x b =+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为零），则()()f a f c +=▲ ．6．执行如图所示的程序框图，输出n = ▲ ．7f ')1x y +≤，则8．设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，KLM ∆为等腰直角三角形，90,1KML KL ∠==，则1()6f 的值为 ▲ ．9．若两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，其中,,0a b R ab ∈≠，则2241a b +的最小值为 ▲ ．第6题x 第8题10．如图，在直角梯形ABCD 中，,,,BC DC AE DC M N ⊥⊥分别是,AD BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起．下列说法正确的是 ▲ （填上所有正确的序号）． ①不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN DEC 平面；②不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥； ③不论D 折至何位置（不在平面ABC 内）， 都有//MN AB ；④在折起的过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥．11．已知函数()221,11,1x ax x f x ax x x ++≥⎧=⎨++<⎩在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设12,F F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且12PF PF λ=，则λ的值为 ▲ ．13．在ABC ∆中，3AB AC =，AD 是A ∠的平分线，且AD mAC =，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q 的取值集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知()sin sin sin cos cos B C A B C +=+．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若角A 所对的边1a =，试求ABC ∆内切圆半径的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，已知ABCD 是直角梯形，90,//,2,1ABC AD BC AD AB BC ∠====，PA ABCD ⊥平面．BAED CMNPE（1）证明：PC CD ⊥；（2）若E 是PA 的中点，证明：//BE PCD 平面； （3）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积．17．（本小题满分14分）诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人．每年发 放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以 便保证奖金数逐年递增．假设基金平均年利率为 6.24%r =．资料显示：2002年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元．设()f x 表示为第x (*x ∈N )年诺贝尔奖发奖后的基金总额(2002年记为()1f )．（1）用()1f 表示()2f 与()3f ，并根据所求结果归纳出函数()f x 的表达式．（2）试根据()f x 的表达式判断网上一则新闻 “2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：101.0624 1.83≈，101.0312 1.36≈） 19．（本小题满分16分） 已知函数()ln f x x=．（1）求函数()()1g x f x x=+-的最大值；（2）若0x ∀>，不等式()21f x ax x ≤≤+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若120x x >>，求证：()()1222212122f x f x x x x x x ->-+．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈．（1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式；（2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．①记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；②若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．南通市通州区2012届高三数学最后一卷 参考答案及评分标准 一、填空题1．{}0x x ≠ 2．12i + 3．49 4．② 5．2 6．10 7．88． 9．139 10．①②④ 11．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12．2 13．3(0,)2 14．1} 二、解答题15．解：由已知等式利用正、余弦定理得222222()22a c b a b c b c a ac ab +-+-+=+， …………………………3分整理得()()2220b c bc a ++-=，222b c a ∴+=，所以，ABC ∆为直角三角形，且90A ∠=． …………………………6分 （2）由ABC ∆为直角三角形，知内切圆半径11(sin sin 1)(sin cos 1)222b c a r B C B B +-==+-=+-， …………11分sin cos )4B B B π+=+≤r ∴≤． …………………………14分16．（1）证明：由已知易得AC CD ==，222,90AC CD AD ACD +=∴∠=，即AC CD ⊥． …………………………3分又PA ABCD ⊥平面，CD ABCD ⊂平面，PA CD ∴⊥，由PAAC A =，CD PAC ∴⊥平面，PC PAC ⊂平面，CD PC ∴⊥． …………………………6分 （2）证明：取AD 的中点F ，连接,BF EF ．2,1,//,AD BC BC FD BC FD ==∴=， ∴四边形BCDF 是平行四边形，即//BF CD，BF PCD ⊄平面，//BF PCD ∴平面．………8分 ,E F 分别是,PA AD 的中点，//EF PD ∴，EF PCD ⊄平面，//EF PCD ∴平面．………10分EFBF F =，//BEF PCD ∴平面平面，,//BE BEF BE PCD ⊂∴平面平面．………11分（3）解：由已知得12BCD S ∆=，所以，1132B PCD P BCD BCD V V PA S --∆==⨯⨯=． …………………………14分 17．解：（1）由题意知：1(2)(1)(1 6.24%)(1)6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅(1)(1 3.12%)f =⋅+， 一般地：1(3)(2)(1 6.24%)(2)6.24%2f f f =⋅+-⋅⋅2(1)(1 3.12%)f =⋅+ ，…4分∴ 1()19800(1 3.12%)x f x -=⋅+（*x ∈N ）． ……………………………………7分（2）2011年诺贝尔奖发奖后基金总额为：9(10)19800(1 3.12%)26100f =⋅+≈ ， …………………………………………10分2012年度诺贝尔奖各项奖金额为11(10) 6.24%13662f ⨯⨯⨯≈万美元， ………12分与150万美元相比少了约14万美元．答：新闻 “2012年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”不真，是假新闻． ……14分18．解：（1）点()3,1A 代入圆C 方程，得2(3)15m -+=． PDCBAEF∵m ＜3，∴m ＝1． …………………… 2分圆C ：22(1)5x y -+=． 设直线PF1的斜率为k ，则PF1：(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=．∵直线PF1与圆C =．解得11122k k ==或． …………………… 4分 当112k =时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当12k =时，直线PF1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4．()()124,0,4,0F F ∴-．∴2a ＝AF1＋AF2＝=a =a2＝18，b2＝2．所以，椭圆E 的方程为：221182x y +=． ………………………8分2（2）(1,3)AP =，设(),Q x y ，(3,1)AQ x y =--，(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-． …………………… 10分∵221182x y +=，即22(3)18x y +=， 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥，∴33xy -≤≤． …………………… 12分 则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是[]0,36． 3x y +的取值范围是[]6,6-．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是[]12,0-． …………………… 16分（注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决）19．解：（1）()()()ln 11g x x x x =+->-，则()1111xg x x x -'=-=++．…………2分 当()1,0x ∈-时，()0g x '>，则()g x 在()1,0-上单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在()0,+∞上单调递减，所以，()g x 在0x =处取得最大值，且最大值为0． ………………………4分（2）由条件得ln 1x a x a x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩在0x >上恒成立． ………………………6分 设()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=． 当()1,x e ∈时，()0h x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，所以，()1h x e ≤．要使()f x ax≤恒成立，必须1a e ≥． ………………………8分另一方面，当0x >时，12x x +≥，要使21ax x ≤+恒成立，必须2a ≤．所以，满足条件的a 的取值范围是1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………………………10分 （3）当120x x >>时，不等式()()1222212122f x f x x x x x x ->-+等价于112212222ln ()1x x x x x x ->-． (12)分令12x t x =，设()()222ln 11t t t t t μ-=->+，则()()()()22221101tt t t t μ-+'=>+，()t μ∴在()1,+∞上单调递增，()()10t μμ∴>=，所以，原不等式成立． ……………………………16分 20．解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n n a =-+．……………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n nn n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列． …………………… 8分②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列． …………………… 10分设()677767766666666i i k i i k i k a i a i a a k f k i i k i k i k +++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =； …………………… 12分 当76i a i≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a if f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）若76i a i>，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列； （Ⅱ）若76i a i<，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列． 综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次． (16)分。

期初江苏省南通市2014届高三第一次调研测试数学

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南通市2014届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）．【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对（第6题）称，则ϕ等于 ▲ ． 【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m的最小值是 ▲ ． 【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ． 【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ． 【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M ∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分A 1B 1C 1CDD 1（第15题）（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，故四边形11A ABB 为菱形．从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分 又1AB BC ⊥，而1A B I BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ． ………………………………………………………………… 14分16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得 sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为cos cos 0A B ≠，所以tan 4tan A B =-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()tan tan 1A B C A B A B +=-+=-，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1tan 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B =，3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 35c A a C ===．……………………………………………12分所以△ABC的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x 2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f ′(x )＝2＋2a 3x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ……………………… 4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增． x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．……………………… 6分 综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x 2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x 2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分 ②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分 ③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数．所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． ………………… 13分 综上所述，a 的取值范围是[0,)+∞．…………………………………………………… 14分18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为»EF的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在»EF上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；（2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S ABAD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为（第18题）②①()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分 （2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦． 令0S '=，得cos θ= 10分记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表：又当32θππ<≤时，32sin2S θ=在[ )32ππ，上的单调减函数， 所以当0θθ=即cos θ时，矩形的面积最大．………………………………… 16分19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =u u u r u u u r，2BP PD =u u u r u u u r ．（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得2241. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分 （2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC =u u u r u u u r ，得()1133428x y C --，．…………………………………………………… 8分 （第19题）代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()04216x y x y +-+-=，………………………………………………… 10分即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分 设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ …………………………………………… 14分 ③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--． …………………… 16分 20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ． （1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2．故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A ． 选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．证明：如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，（第21—A 题） ABCMN O所以 AC AM BC BM=，① …………………………… 3分 又因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的割线， 所以BM BA BN BC ⋅=⋅， 即 BA BN BC BM=，…………………………………… 6分 又BN =2AM ，所以2 BA AM BC BM=，②…………………………… 8分 由①②，得AB 2=AC ． ……………………… 10分B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分 所以10120134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即21 20 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 3 21 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点， 3AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分 则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分 又3AB 03sin =θ …………………………………………………………… 7分解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l 的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x yz zx z x y z++≥≥．……………………………… 4分同理可得2yz xy zx x+≥，2x z yz xy y +≥． ………………………………………………… 7分当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2，得111yx z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一 个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S =的为有一个角是 30o 的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ===． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120o 的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分4（第22题）S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分 又由（1）知(361235C P S ==，故S 的分布列为所以331()10510E S =++=．……………………………………… 10分23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）．（1）求(3)f ；（2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)， (3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有 (1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，所以(3)4f =．………………………………………………………………………… 3分 （2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序 排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n =，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分 综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。

(完整word)14022014届江苏省南通市高三数学一模试卷

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南通市2014届高三一模试卷--数学试题填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 已知集合 U {1 , 2, 3, 4, 5}, A {1 , 2, 4}，则 e u A _______________ .已知复数Z 1 1 3i , Z 2 3 i (i 为虚数单位).在复平面内，Z 1 Z 2对应的点在第 ___________________ 象限. 命题：“ x R , x < 0 ”的否定是 __________ .xOy 中，抛物线y 2 8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为x > 0, 设实数x , y 满足 尸0 则z 3x 2y 的最大值是 __________________ . x y <3, 2x y < 4, 如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为2,则输出y 的值是 _______________ 抽样统计甲，乙两个城市连续 5天的空气质量指数(AQI)，数据如下： “、 空气质量指数(AQI)则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 __________ (填甲或乙).已知正三棱锥的侧棱长为 1,底面正三角形的边长为2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 __________ . 将函数f(x) sin 2x 0的图象上所有点向右平移—个单位后得到的图象关于原点对称，则等于 _____11 4 等比数列{a n }的首项为2，公比为3,前n 项和为S n .若log 3 : ?a n (®m +1)］ =9，则的最小值 是 .若向量 a cos , sin , b cos , sin ，且 a b <2a b ，则 cos( )的值是______________________________ . 在平面直角坐标系 xOy 中，直线y x b 是曲线y alnx 的切线，则当 a > 0时，实数b 的最小值 是 ______ .已知集合 M={(x, y)|x 3 < y < x 1} , N={P|PA > . 2PB, A( 1,0), B(1,0)}，则表示 M n N 的图形面 积等于 ______ .若函数f (x)ax 2 20x 14 (a 0)对任意实数t ，在闭区间［t 1,t 1］上总存在两实数 石、x 2，使得1. 2. 3.4. 5.6. 7.8.9.10.11. 12.13.14.第1天 第2天 第3天 第4天第5天 甲 109 111 132 118 110乙 110 111 115 132 112 在平面直角坐标系|f(xj f(X2)|》8成立，则实数a的最小值为二、解答题：本大题共 6小题，共90分•请在答题卡指定区域.内作答•解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，在四棱柱 ABCD AB I GU 中，AB//CD , AB }16. (本小题满分14分)(1) 求tanB 的值；(2) 若c 2，求△ ABC 的面积. 17. (本小题满分14分)a 已知a 为实常数，y=f(x)是定义在(—3 0) U (0, + g )上的奇函数，且当 x<0时，f(x)=2x —冷+1 .X (1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 若f(x) >a — 1对一切x > 0成立，求a 的取值范围.BC ，且 AA(1)求证：AB //平面 DQCO ；(2)求证：AB 丄平面ABC .在厶ABC 中, a , b , c 分别为C 所对的边长，且 c=—3bcosA ,3 tanC=-.（第 15 题）内），/ EOF =2_ .将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片D 在?F 上，设/ AOD = 2 （1） 求矩形铁片ABCD 的面积S 关于 的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos 的值.（第 18题）如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为 4 dm （圆心 O 在弓形 EMF ABCD （不计损耗），AD II EF ，且点A 、2 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 笃a 1(ab 0)过点(1,四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线 「、十- 1 uu AC , BD 相交于点P(1, 4，且AP，离心率为，又椭圆内接2uuu iur iuur 2PC , BP 2PD .(1) 求椭圆的方程； (2) 求直线AB 的斜率.已知等差数列｛a n｝、等比数列｛b n｝满足a i+a2= a3, b i b2 = b3，且a3, a2+ b i, a i+ b2成等差数列，a i, a2, b2成等比数列.(1)求数列｛a n｝和数列｛ b n｝的通项公式；(2)按如下方法从数列｛a n｝和数列｛b n｝中取项：第i次从数列｛a n｝中取a i，第2次从数列｛ b n｝中取b i，b2，第3次从数列｛a n｝中取a2，a3，a4，第4次从数列｛b n｝中取b3，b4, b5, b6.第2n—i次从数列｛a n｝中继续依次取2n —i个项, 第2n次从数列｛ b n｝中继续依次取2n个项，由此构造数列{c n}: a i, b i, b2, a2, a3, a4, b3, b4, b5, b6, a5, a6, a7, a8, a9, b7, b8, b9, b io, b ii, b i2，…，记数列{c n}的前n和为S n .求满足S v220i4的最大正整数n.数学n （附加题）参考答案与评分标准21. 【选做题】A .选修4—1:几何证明选讲（本小题满分10分）B .选修4—2:矩阵与变换（本小题满分10分）设二阶矩阵A , B满足A 1 1 2, BA3 4 ，求B在厶ABC中，已知CM是/ ACB的平分线, △ AMC的外接圆交BC于点N,且 BN 2AM . 求证：AB 2AC .C .选修4— 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线 C : 2sin，过极点0的直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点,AB 3，求直线I 的方程.D .选修4— 5:不等式选讲（本小题满分10分）y z》1 丄丄zxxyxyz 已知x, y, z均为正数，求证：2yz【必做题】22. (本小题满分10分)如图，设P , P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点•现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S .(1)求S -2的概率；(2)求S的分布列及数学期望E(S).23. (本小题满分10分)已知1, 2，…，n满足下列性质T的排列Q , a2，…，a n的个数为f(n) ( n> 2，且n€ N*).性质T：排列a1 , a2，…，a n中有且只有一个a j a j 1 ( i {1 , 2,…，n 1}).(1)求f(3) ; (2)求f(n).数学I 参考答案与评分标准、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案直接填写在答题卡相应位置上1. _____________________________________________________________ 已知集合 U {1，2, 3，4，5}，A {1，2，4}，则 e u A _____________________________________________ •【答案】{3 , 5}. 2.已知复数Z 1 1 3i , z 2 3 i （i 为虚数单位）•在复平面内，Z 1z 2对应的点在第 ______ 象限.【答案】二.3. ______________________________________ 命题：“ x R , x < 0”的否定是 .【答案】 x R , |x| 0.【答案】3.x > 0,5. ________________________________________________________ 设实数x , y 满足 尸0 则z 3x 2y 的最大值是 ___________________________ .x y <3,2x y < 4,【答案】7. 6.如图是一个算法的流程图.若输入 x 的值为2,则输出y 的 值是 _______ . 【答案】3.2 7.抽样统计甲，乙两个城市连续 5天的空气质量指数（AQI ），数据如 下：空气质量指数 (AQI)城市 第1天第2天 第3天 第4天 第5天甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112则空气质量指数（AQI ）较为稳定（方差较小）的城市为 ______ （填甲或乙） 【答案】乙.& 已知正三棱锥的侧棱长为 1，底面正三角形的边长为2 .现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条棱,则这两条棱互相垂直的概率是 ________ . 【答案】2 .54. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2 8x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为（第6题）9.将函数f（x） sin 2x 0的图象上所有点向右平移 -个单位后得到的图象关于原点对称, 则等于________ .【答案】—.1 1 410. 等比数列{a n}的首项为2，公比为3,前n项和为S n.若log3 :-a n(S4m+1) : =9，则千+不的最小值是______ .【答案】5.211. 若向量a cos , sin __________________________________________ , b cos , sin ，且a b < 2a b，则cos( )的值是 _________________________________________________________ .【答案】1.12 .在平面直角坐标系xOy中，直线y x b是曲线y al nx的切线，则当a > 0时，实数b的最小值是______ .【答案】1 .13.已知集合M={(x,y)|x 3 < y w x 1} , N={P|PA2PB, A( 1,0), B(1,0)}，则表示M n N 的图形面积等于______ .【答案】4 2 3 .14.若函数f (x) ax2 20x 14 (a 0)对任意实数t，在闭区间［t 1,t 1］上总存在两实数洛、x?，使得|f(xj f (x2) |> 8成立，则实数a的最小值为____________ .【答案】8 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分)如图，在四棱柱ABCD AB1C1D1 中，AB//CD , AB1 BC，且AA1 AB .(1)求证：AB //平面UDC。

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2014届南通市高三数学期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i z =（其中i 是虚数单位）的虚部为 ． 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ．4.分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ．5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的离心率为 . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y = sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：A. 图象上所有点向右平移π个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1EADCF P东北11. 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ．12. 设平面向量a，b 满足3-a b a ·b 的最小值为 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．（1）若⊥a b ，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60 的方向，且在港口A 北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的OD 方向以20海里/小时的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时．（1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？C18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项．19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C上1． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）．21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ．21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值．21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【填空题答案】1. 22. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ）8. 充分不必要9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 1515.【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……2分因为⊥a b ，所以a ·b = 0．……………………………4分于是22234+=++⋅=a a b b，故2+=a ． …………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，…………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………10分代入sin sin αβ+=，得sin sin αβ=．…………………12分而0πβα<<<，所以2ππ33αβ==，．…………………14分16. 【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠= ，AD AC =，所以△ACD 为正三角形． 因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．…………………7分因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． ……………………11分因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分 17.【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，． 于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分 在△OAB中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠，即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？…14分 18.【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．…2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或38d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分 （2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，18ma 必须是3的倍数， 于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+1213471m m m a a a a +⨯==；当3m =时，+123142m m m a aa a +⨯==-． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，2333(4)1m ⨯⨯-+必须是3的倍数， 于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19.【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ． 于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF 取得最小值，所以1a c -．……………………………………………………………………3分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，， 所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB ⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得2222211154A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，．………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB⋅⋅==+， 则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++ ()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分另解：()()()()()()222222222222222222111111111554411111111155441115544k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kk k ++⋅++++⋅===+++++++++++222212999920201020k k k k ++==++，所以h =．②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB⋅()()()()2222222211121114111120400554204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k=+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 409AB == 所以AB．…………………………………………………………16分 20. 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2a f x bx x '=-，则()2432af b '=-=-，即86a b =-． 于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若34b >，令()0f x '=，得x =，所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，， 相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦．……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++，则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减，则()()10t ϕϕ>=，又1220x x <-，则()00g'x <．命题得证．………………16分C附加题：21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o，．因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A 1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |31<，1|2|6x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ===． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231P ξ===．………………………5分从而(()(331111P P P ξξξ==-=-==--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1777E ξ=⨯． …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，． 同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =．故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分（2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，．由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②． 设直线MP 的方程为2x t y =+，由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④．同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．4312122143121222114422y y y y y y k k x x x x x x ---===⋅=---， 即122k k =．…………………………………………………………………………10分。

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