2011浙江数学高考试题及答案

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
选择题部分(共50分)
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率
()=(1)k k
n k n n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n )
台体的体积公式
11221
()3
V h S S S S =+
其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh
其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式
13
V Sh ＝
其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2
球的体积公式
3
43
V R π＝
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设函数2,0
(),0
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2
2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·
z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．3
3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
4．下列命题中错误．．
的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪
+->⎨⎪≥≥⎩
，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是
( )
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
6．若02
πα<<，02
π
β-
<<，1cos(
+)=43π
α，3cos()=
42πβ-，则cos()2
β
α+等于( )
A 3
B ．3-
C ．539
D ．69
-
7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1
b a
>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：22
14
y x -
=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，
则( )
A ．a 2＝
13
2 B ．a 2＝1
3 C ．b 2＝1
2
D ．b 2＝2
9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )
A ．
15 B ．25 C ． 35 D ．45
10．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合
S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．
的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0
B ．|S |＝1且|T |＝1
C ．|S |＝2且|T |＝2
D ．|S |＝2且|T |＝3
非选择题部分(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.
12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．
13．设二项式6
()x x
(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．
14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为
1
2
，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕
业生得到甲公司面试的概率为
2
3
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12
，则随机变
量X 的数学期望E (X )＝________.
16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
17．设F 1，F 2分别为椭圆2
213
x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B =，则点A 的坐标是________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且2
14
ac b =
. (1)当p ＝5
4
，b ＝1时，求a ，c 的值；
(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．
19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且
11a ，21a ，4
1a 成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝
1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-1
12221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．
20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝
2.
(1)证明：AP ⊥BC ；
(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M
.
(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；
(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1
于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．
22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .
(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；
(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.
注：e 为自然对数的底数．
参考答案
1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D
11．答案：0 12．答案：5 13．答案：2
14．答案：[6π，56π] 15．答案：5
3
16．210
17．答案：(0，1)或(0，－1)
18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得54
14
a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.
a c ⎧
=⎪⎨
⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B
＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝22
22
11cos 22
p b b b B -
-， 即2
31cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32
，2)，
由题设知p ＞06
2p <<19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214
111
()a a a =⋅，
得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．
所以a n ＝na ，(1)
2
n an n S +=. (2)因为
1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1
n n A S S S S a n =++=-++…+．
因为a 2n －1＝2n －1a ，
所以2112221
1()1111121
12
n n
n B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2
n a =-． 当n ≥2时，0122n n
n n n n C C C C =+++…+＞n ＋1，
即11
1112
n n -
=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一：
(1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，
A P ＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅=，
所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．
(2)解：设PM PA λ=，λ≠1，则PM ＝λ(0，－3，－4)．
BM BP PM BP PA λ=+=+
＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，
AC ＝(－4，5，0)，BC ＝(－8，0，0)．
设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．
由11·0,·
0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩ 即1110,
23,44x z y λ
λ=⎧⎪
+⎨=⎪-⎩
可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,
450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,
4
x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得2
5
λ=，故AM ＝3.
综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.
方法二：
(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．
因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．
(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM . 由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ， 所以平面BMC ⊥平面APC ．
在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2， 所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6. 在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.
又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB ++⋅＝1
3
，
从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3. 综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.
21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：1
4
y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是
174
.
(2)设P (x 0，2
0x )，A (x 1，2
1x )，B (x 2，2
2x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.
设过点P 的圆C 2的切线方程为y －2
0x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋2
0x .① 2002
1k
+＝1，
即(x 02
－1)k 2＋2x 0(4－x 02
)k ＋(x 02
－4)2－1＝0.
设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以
k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝2202
0411
x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02
＝0，
由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝22
1212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋
k 2－2x 0＝2002
0241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝200
4
x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000
200
244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得2
0235x =， 即点P 的坐标为(235235
)，所以直线l 的方程为3115
4y x =+. 22．解：(1)求导得()2
2()ln x a f x x a x x
(-)'＝－＋
()(2ln )1x a x a
x
＝－＋－．
因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e
)0f a a
'＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检
验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.
(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，
解得ln(33e 3e)
e a ≤≤＋ln(3e)由(1)知()()(2ln 1)
f x x a x a
x
'＝－＋－，
令h (x )＝2ln x ＋1－a
x
，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，
且()()()3e+
ln(3e)
3e 2ln 3e 12ln 3e 13a
h e
≥＝＋－＋－32l (l n3n3e 0e
>＝－
.
又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．
从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。