二倍角的正弦、余弦和正切公式(导学案)

合集下载

5.5.1 第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式

+

2
2
即 cos 2α=cos α-sin α;tan(α+α)=
,即 tan 2α=
.
-
-
？
2.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
(2)降幂或升幂.
2.证明恒等式,要观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从
复杂到简单,高次到低次,复角化单角;如果两端都比较复杂,
那么将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
？
【变式训练 3】证明:
°-
=-4 .
°( °-)
证明:因为左边=

°-°

.
分析:首先切化弦,然后利用二倍角公式统一角,最后化简得结
果.
？
解:方法一:
原式=
-

-
·
-
方法二:
原式=

+

-
=

-
·
-

-

-

-

+
所以 cos2α+2sin 2α=

(完整版)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学设计

高一A 组韩慧芳

年级：高一科目：数学内容：二倍角的正弦、余弦、正切公式课型：新课

一、教学目标

1、知识目标：

（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题.

(2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用）,使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

2、能力目标:通过二倍角公式的推导，了解知识之间的内在联系，完善知识结构，培养逻辑推理能力。

3、情感目标：通过二倍角公式的推导，感受二倍角公式是和角公式的特例，进一步体会从一般化归为特殊的基本数学思想。在运用二倍角公式的过程中体会换元的数学思想。

二、教学重难点、关键

1、教学重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式

2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用.

3、关键：二倍角的理解

三、学法指导

学法：研讨式教学

四、教学设想：

1、问题情境

复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式

()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-;

()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

++=-. 思考：在这些和角公式中，如果令βα=，会有怎样的结果呢？

2、建构数学

公式推导：

()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=;

()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；

二倍角的正弦、余弦和正切公式学案

任务一：补充完成下列公式。

()=+βαsin ；()=+βαcos ； ()=+βαtan 。

我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？

=α2sin ；=α2cos ；

=α2tan ；

任务二：可否把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？ =α2cos = 。任务三：完成下列各题。

例1：已知5sin 2,,1342ππαα=

<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．

例2：已知1tan 2,3α=

求tan α的值．

例3：在ABC ∆中，2tan ,54cos ==B A ，求()B A 22tan +的值。

二倍角的正弦余弦正切公式教案

马鞍山中加双语学校数学组学引用清教学设计学科：数学年级：高一授课时间：一课时主备人：朱坤坤

cos71cos36；②求sin10sin30sin50sin70的值

本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.

sin10cos10

二倍角的正弦余弦和正切公式教案

§3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案

珠海市田家炳中学：温世明

一、知识与技能

1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；

3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力.

4.结合三角函数值域求函数值域问题。二、过程与方法

1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.

2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点

教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具

学法：研讨式教学，多媒体教学；六、教学设想：

（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式，

《二倍角的正弦余弦正切公式》导学案

导学目标：

1.了解二倍角的概念及其正弦、余弦、正切公式。

2.掌握求解二倍角的正弦、余弦、正切的方法。

3.能够应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决实际问题。

导学内容：

一、二倍角的概念

在三角函数中，二倍角是指原角的角度的两倍。例如，如果原角为θ，则二倍角为2θ。

二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin(2θ) = 2sinθcosθ

cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 2cos^2θ - 1 = 1 - 2sin^2θtan(2θ) =2tanθ / (1 - tan^2θ)

二、求解二倍角的正弦、余弦、正切的方法

1.已知角θ，直接使用公式计算sin(2θ)，cos(2θ)，tan(2θ)。

2.已知sinθ，cosθ，tanθ的值，代入公式计算sin(2θ)，

cos(2θ)，tan(2θ)。

3.已知sin(2θ)，cos(2θ)，tan(2θ)的值，反推出θ的值。

三、实际问题的应用

1.利用二倍角的正弦、余弦、正切公式可以简化一些三角函数的运算，例如求解复杂三角方程。

2.可以应用二倍角的公式，计算角θ的值，以及计算sinθ，c osθ，tanθ的值。

导学步骤：

第一步：组织知识

复习正弦、余弦、正切的定义与性质，探究二倍角的概念。

第二步：引导思考

1.你觉得为什么要学习和应用二倍角的公式？

2.如何求解二倍角的正弦、余弦、正切的值？

3.在实际问题中，我们如何应用二倍角的公式解决问题？

第三步：解答疑惑

对学生提出的问题进行解答，并引导学生形成正确的思维方式和解题

二倍角公式导学案

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式（导学案）

一、重点与难点：

1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式。

2、难点是倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系、和角公式的综合应用。

二、教学过程：

1、探究公式的形成：(请把化归的过程填入下面的式中)

sin 2α= 简记： 2()S α cos 2α= 简记： 2()C α tan 2α= 简记：2()T α

2、公式的运用：

☆ 梯度一 (倍角的相对性)

sin 22sin cos ααα= 22cos 2cos sin ααα=-

cos 4α= 2cos 2sin - sin 2α

= sin cos

sin α= cos α=

☆ 梯度二：(熟练公式结构并会用公式的逆用)

（1）2sin15°cos15°= (公式的逆用)

（2）22cos sin 8

8π

π-= (公式的逆用) （3）22cos 112π

-= (公式的逆用)

（4） 0

202tan 22.51tan 22.5

=- (公式的逆用) 三、课后提升

1，已知 12cos 13α= ，)2

,0(πα∈，求 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的值 ?

2、已知 5

tan 12α= ，3(,)2π

απ∈，求 tan 2α 的值。

四、课后思考：

（1）二倍角公式中角的取值范围是任意的吗？

（2） C S αα22中角α没有限制条件，

T α2 中，α有限制条件公式中(2k παπ≠+且)()42k k Z π

α≠+∈

二倍角正弦、余弦、正切公式教案

知识引入一、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

()

sin sin cos cos sin

αβαβαβ

±=±

()

cos cos cos sin sin

αβαβαβ

±=

()tan tan

tan

1tan tan

αβ

±=

二、提出问题：若β

α，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。

让学生板演得下述二倍角公式：

2222

sin22sin cos

cos2cos sin2cos112sin

ααα

ααααα

=-=-=-

cot

tan

剖析：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对

的，如：

是

的倍角。

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—

升次）

3．特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos

sin

cos

cos2

α这两个形式

今后常用

由已

掌握

的认

识得

出本

节课

所要

学习

的内

容，

找到

知识

之间

的联

系

程序教学行为教学

意图

知识巩固一、例题：

例一、（公式巩固性练习）求值：

1．sin22︒30’cos22︒30’=

sin

2．=

cos

cos=

3．=

cos

sin2

cos-

4．=

cos

sin

cos

sin

cos

sin

例二、

1．

5555

(sin cos)(sin cos)

12121212

ππππ

5553

sin cos cos

《二倍角的正弦余弦正切公式》导学案

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》导学案

【学习目标】

1. 学会利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，

知道各公式之间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程 2. 能记住二倍角公式及相关变形 3. 能用二倍角公式进行化简，求值【重难点】

重点：二倍角公式的推导及应用难点：二倍角公式的变形式的应用【学法指导】自主探究公式的内在联系【预习案】知识链接：

两角和的正弦、余弦、正切公式

cos(βα+)= sin(βα+)= tan(βα+)= 【学习过程】

阅读课本第132页到133页的内容，尝试回答下面的问题知识点1.二倍角公式的推导

在上面和角公式中，若令αβ=，会得到怎样结果

α2sin = α2cos = tan α2= （其中tan α有意义α≠ ，tan α2有意义α≠ ）

知识点2.二倍角公式的变形由sin

α+cos 2α=1，你能填写下面的结果吗

)c o s (s i n αα±=

cos2α=αα22sin cos -= =

它们还可以写成

α2c o s

1+ = α2cos 1- = α2

sin =

α2cos =

基础训练：你能根据上面的公式解答下列问题吗？化简求值(1)0

015

cos 15sin (2)cos

8sin 82

- (3)020

.22tan 15.22tan - (4)15.22cos 20

例1.

（1）sin4α = 2sin( )cos( ) （2）sin α = 2sin( )cos( ) （3）cos 6α = =()()22

二倍角的正弦余弦正切数学教案

（一）教学具准备

投影仪

（二）教学目标

1．应用倍角公式解决本章开头的一个应用问题．

2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教学过程

1．设置情境

请同学看教材第3页上的一段文字，它叙述的是一个生活中的实际问题：

“如图1，是一块以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上画出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上．已知半圆的半径为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？”根据教材提示应用所学的倍角公式，同学们能尝试解答它吗？

2．探索研究

分析：要使矩形的面积最大，就必须想办法把面积表示出来，不妨利用我们所学的三角知识，从角的方面进行考虑，设，则，，所以可以用表示．

解：设则

∵∴

当时，即，

这时，

答：点、分别位于点的左、右方处时取得最大值．

变式：把一段半径为的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？

生：根据上题的结果可知这时圆内接矩形为内接正方形时面积最大．

以上是倍角公式在实际生活中的运用，请同学们观察以下例题，并分析、思考后能否得出证明．

3．例题分析

【例1】求证：

（1）；（2）；

（3）．

思考，讨论．

我们知道公式中是任意的，所以我们可以用来替换，这样就得到

即

上面三式左边都是平方形式，当的值已知，角的终边所在象限已知时，就可以将右边开方，从而求得：

以上两式相除又得：

这三个式子称之为半角公式，“±”号的取舍得由终边所在象限确定．

【例2】求证：

．

分析：从例1引出例2，，右边是同一个三角函数，并且还要附上正负号，而所要证明的式子右边有两个三角函数，不带正负号．故我们不能利用上法，得另想办法．师：（边叙述边板书）

二倍角的正弦、余弦、正切学案

必修四 3．1．4 二倍角的正弦、余弦、正切公式

【学习目标】

1.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能说出这些公式的结构特征．

2.会用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简、证明．

3.体会化归思想在推导、应用公式中所起的作用．提高同学们观察分析能力、应用意识、数学素养．

【学习重点】二倍角公式的推导及其应用．【难点提示】灵活二倍角公式的推导及其应用．

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材第128-131相结合进行自主学习、小组组织讨论，积极思考

提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.本节课型属于“公式法则课”，则需要同学们在学习过程中定要弄清公式的产生、推导、运用，并进一步挖掘拓展，弄清公式特征、联系、记忆方法、深度运用.

前面我们学习了三角函数及相关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题和做好学习新课的情感准备：

（1）同角三角函数关系式为、，运用时需注意些什么？

（2）两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

=-)cos(βα ，=+)cos(βα ， =+)sin(βα ，=-)sin(βα ， tan()αβ+= (≠α ，≠β ，≠+βα )，

tan()αβ-= (≠α ，≠β ，αβ-≠ )，

以上几组公式各有哪些特征？有何联系？如何记忆？有易混点吗？这些公式中各有几个量？有哪些运用方式？公式使用范围是什么？

二、学习探究

前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式.那么，同学们自然就要问由前面这些公式还能

(完整版)二倍角正弦、余弦、正切公式教案

二倍角的正弦、余弦、正切

王业奇

sin sin αtan tan 1tan tan αβ

αβ

提出问题:若β=α，则得二倍角的正弦、

一、例题:

例一、（公式巩固性练习)求值: 1．sin22

30'cos22

30’=4

245sin 2

2．=-π

cos 22

224cos =

π 3．=π

-π8

cos 8sin 22

224cos -

=π- 4．=ππππ12

cos 24

cos 48

sin 8

16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin

4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin

cos )(sin cos )12121212ππππ+- 2

25553

sin cos cos 121262

πππ=-=-=

2．=α-α2sin 2cos 44

α=α

-αα+αcos )2

sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3．

=α+-α-tan 11tan 11α=α

-α

2tan tan 1tan 22

4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+

例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值.

解：sin2

cos2

tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22

22222=θ

+-θ+θ=θ+θθ-θ+θ

例四、

条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ+θ2

cos 2sin ，那么甲是乙的什么条件？

解:=θ+sin 1a =θ+θ2)2

cos 2

(sin

即a =θ+θ

高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

课题: 二倍角的正弦、余弦、正切公式

教材:人教A版高中数学必修4§3.1.3第一课时

一、教学目标

1.知识目标：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角

的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍

角公式解决有关问题。

2.能力目标：灵活运用二倍角公式，培养学生观察分析问题的能力，

寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化

归的数学思想及问题转化的数学思想，提高学生分析问

题、解决问题的能力。

3.德育目标：激发学生的学习兴趣，培养学生认真参与、积极交流的

主体意识，培养学生的发散性思维、创新意识，提高数学素养。二、教学重点与难点

重点：掌握二倍角公式，灵活运用二倍角公式解决有关问题。

难点：二倍角公式的灵活运用，培养学生的转化、化归的数学思想。

三、教学方法与手段

教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学并通过多媒体辅助教学。

四、教学过程

二倍角的正弦、余弦、正切公式教案说明在教学中，我遵循以学生为主体，教师为主导的教学原则，采用启发式教学，逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去“发现”。整个教学过程的设计主要体现以下五点：

第一、提出问题，纠正学生常犯直觉性错误,激发学生新的求知欲。引导学生自主探究二倍角公式，让学生亲身经历公式的“发现”过程。这样设计突出学生的主体地位，能够让学生明白知识的来龙去脉，加深对知识的理解，培养学生的探究意识和丰富的联想能力。

第二、在学生推导出二倍角公式后，立即让学生做些简单练习，目的是为了使学生更好的理解、运用和记忆二倍角公式，以及让学生感到找出

二倍角的正弦余弦正切公式导学案

一、引入：

在学习二倍角的正弦、余弦、正切公式之前，我们先来回顾一下倍角的概念。在三角学中，倍角就是角的两倍。设角θ的倍角为2θ，那么我们可以用二倍角公式来计算正弦、余弦、正切。

二、正弦的二倍角公式：

1.弧度制下的二倍角公式：

根据单位圆定义，点(x, y)是单位圆上的一个点，那么角θ的终边与单位圆的交点就是点(x, y)。那么点(2x, 2y)就是角2θ的终边与单位圆的交点，也就是角2θ的角度。通过观察，可以发现点(2x, 2y)的坐标是(sin 2θ, cos 2θ)。

2.度数制下的二倍角公式：

通过转换角度制和弧度制的关系，我们可以得到正弦的二倍角公式：sin 2θ = 2sinθcosθ。

三、余弦的二倍角公式：

1.弧度制下的二倍角公式：

同样地，通过观察点(x, y)与点(2x, 2y)的关系，可以发现点(2x, 2y)的坐标是(cos 2θ, sin 2θ)。

2.度数制下的二倍角公式：

将角度制转化为弧度制，我们可以得到余弦的二倍角公式：cos 2θ = cos²θ - sin²θ。

四、正切的二倍角公式：

1.弧度制下的二倍角公式：

正切的定义是t anθ = sinθ / cosθ。通过观察，我们可以发现

tan 2θ = sin 2θ / cos 2θ。

2.度数制下的二倍角公式：

将角度制转化为弧度制，然后代入正切的二倍角公式，我们可以得到tan 2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)。

五、证明：

1.正弦的二倍角公式：

要证明sin 2θ = 2sinθcosθ，我们首先将2θ分解成θ + θ，

二倍角的正弦余弦正切公式导学案

高一数学《必修4》导学案4 高一____班第___组姓名__________

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

教学目标：1、能从S C T αβαβαβ+++、、、公式推导出二倍角2α的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，领会其中体现出来的数学基本思想、方法. 2、能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。教学重点、难点：二倍角正弦、正切公式的推导与简单应用.

【课前导学】

1、复习：sin()_____________________αβ+=；cos()_____________________αβ+=；

tan()_________________αβ+=.

2、试据上述公式推导出sin 2cos2tan 2ααα、、的公式吗？（提示：令=βα）

sin 2______________α=；tan 2______________α=；

cos 2_______________________________________________α===.

思考:二倍角公式中的α有限制条件吗？

【预习自测】

1、求值：（1）sin 150cos 150=_______；（2）2cos 8π—2sin 8

π=__________；（3）020tan 22.51tan 22.5

-=_________；（4）22cos 22.50—1=__________。 2、若sin()απ-=35

，则sin α=_______，cos 2α=______. 3、若tan α=17

，则tan 2α=______. 【课内探究】

二倍角的正弦、余弦和正切公式(导学案)

5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式

(完整版)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

二倍角的正弦、余弦和正切公式学案

二倍角的正弦余弦正切公式教案

二倍角的正弦余弦和正切公式教案

《二倍角的正弦余弦正切公式》导学案

二倍角公式导学案

二倍角正弦、余弦、正切公式教案

《二倍角的正弦余弦正切公式》导学案

二倍角的正弦余弦正切数学教案

二倍角的正弦、余弦、正切学案

(完整版)二倍角正弦、余弦、正切公式教案

高中数学必修4《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教案

二倍角的正弦余弦正切公式导学案

二倍角的正弦余弦正切公式导学案

5.5.1 第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式