方法技巧训练三 几何中与角平分线有关的计算或证明
专题4 与角平分线有关的辅助线作法（含答案）
专题4 与角平分线有关的辅助线作法
知识解读
角平分线所在直线是所在角的对称轴，因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的，其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑，其常用的辅助线构造方法有：（1）过角平分线上一点作到角的两边的垂线段，如图1－4－1①.（2）以顶点为圆心，在角两边截取两条相等的线段，构造全等三角形，如图1－4－1②.（3）利用三线合一定理构造等腰三角形，如图1－4－1③.（4）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，如图1－4－1④.
培优学案
典例示范
一、过角平分线上一点作两边的垂线段.
例1如图1－4－2，AB//CD，E为AD上一点，且BE，CE分别平分∠ABC，∠BC D.求证：AE＝E D.
【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们可以过点E，分别作AB，BC，CD的垂线段，如图1－4－3.
【解答】
【技巧点评】过一点作角两边的垂线段，构造的是一对全等的直角三角形，可以得到一些相等的线段和相等的角，但利用角平分线的性质，可以省去证明全等这一环节，直接证得线段相等。同样由“距离”相等，也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。
跟踪训练
1.如图1－4－4，在△ABC中，DC⊥AC，∠1＝∠2，DA＝D B.求证：AB＝2A C.
二、角平分线＋高＝全等三角形
例2如图1－4－5，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CELBE.求证：CE＝1
2
B D.
【提示】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。
中考数学角平分线四大模型专题知识解读
N M O A B P
P
O N M B A
角平分线四大模型专题知识解读
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
【模型分析】
P O N M B A
Q
P O N M 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥
OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
中考数学复习题 方法技巧专题(七)角平分线训练 (新版)浙教版
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方法技巧专题(七) 角平分线训练
【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.
2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.
(3)过角平分线上的点作边的垂线.
1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()
图F7-1
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()
图F7-2
A.B.2
C.D.3
3.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()
图F7-3
A.B.2
C.D.3
4.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()
专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)
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专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）
【专题说明】
角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。
【方法技巧】
模型1 角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。
【模型分析】
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2 截取构造对称全等
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
P O N M B A
Q
P O N M 【模型分析】
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形
如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP
⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。
结论：△AOB 是等腰三角形。
【模型分析】
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
与三角形的角平分线有关的角
翩唆
静
零分
三 角形 的角平 分 线是 有 关 三角 形 学 习 中的一 条 重要 线 段 ， 计 算 与三角 形角平 分 线有关 的角是几 何 中一种 常 见 的题 型 ，那 么该 如何 分析 、 思考 、 解决这 种类 型题 呢？ 这里 ， 在 我给 大家举 几个 常见
的例 子．
变 式 １ 如 图 ２ 在 ，
￣
例 １ 如 图 １ 已知 ， Ｃ 中， Ｃ＝ ４ ． ， △ ６ｏ
Ｂ ＝５ 。Ａ 平 分 Ｂ ， 交 Ｃ于 Ｄ． ０ ，Ｄ ＡＣ 且 Ｃ于 ． 求 Ｄ Ｈ 的度 数． Ａ 方法 １ ： 上
Ｇ４ Ｃ 中 ， 曰＝５ ￣ Ｃ ＝ ： Ｂ ０，
Ｃ 交 ＢＣ
６ 。， 平 分 ４ ＡＤ
于 Ｄ， Ｅ为 Ａ 上 一 点 ， ｌ 上 Ｄ Ｅｉ
曰
Ｄ Ｈ
Ｃ
曰 于 Ｈ． ： Ｄ 日 的度 数 ． Ｃ 求 Ｅ ；
分 析 ／Ｄ Ｈ是 Ｒ ａＡ Ｈ 的一个 内角 ． ＿ Ａ ｔ Ｄ 图 １ 若 知道 ＡＡ Ｈ 的度数 ， 可 以求 出 ＺＤ Ｄ 就 ．ＡＨ 的大小 ． 那 么 ， ． Ｈ 的度数 如何解 决呢 ？ ＺＡＤ 由已知条件 可知 ， ＝５ 。 Ｃ＝６ 。 由三角形 内角和定 理 ， ０， ４， 可 求得 Ｃ＝６ ｏ ６．
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释
1.引言
1.1 概述
角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角
形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
角的平分线数学教案
角的平分线数学教案
标题：《探索角的平分线》
一、教学目标
1. 知识与技能目标：理解并掌握角的平分线的概念，能够熟练地运用尺规作图法作出任意角的平分线。
2. 过程与方法目标：通过观察、思考、实践，提高学生的空间观念和逻辑思维能力。
3. 情感态度价值观目标：培养学生对几何学习的兴趣，增强他们解决问题的信心。
二、教学重点和难点
重点：理解和掌握角的平分线的概念，掌握尺规作图法作出任意角的平分线的方法。
难点：理解和应用角的平分线的性质。
三、教学过程
1. 导入新课：通过实例引入角的平分线的概念，引发学生的好奇心和求知欲。
2. 新课讲授：
(1) 角的平分线的概念：讲解角的平分线的定义，并让学生自己画出一些角的平分线，加深理解。
(2) 尺规作图法：详细解释如何使用尺规作图法作出任意角的平分线，包括步骤和注意事项。
(3) 角的平分线的性质：引导学生通过实验、讨论等方式发现角的平分线的一些性质，如等腰三角形的判定定理等。
3. 巩固练习：设计一些习题，让学生在实践中巩固所学知识。
4. 总结反思：回顾本节课的主要内容，鼓励学生分享他们的学习体验和收获。
四、作业布置
设计一些题目，要求学生在家中完成，以检验他们对角的平分线的理解和掌握程度。
五、教学评价
根据学生在课堂上的表现和作业完成情况，对学生的学习效果进行评估。
六、教学反思
教师应反思自己的教学方法是否有效，是否有需要改进的地方，以便更好地满足学生的学习需求。
2019年浙江中考数学复习方法技巧专题七：角平分线训练(含答案)
方法技巧专题七 角平分线训练
1．与角平分线有关的判定和性质 (1)角平分线的判定和性质．
(2)角平分线的夹角：①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和；②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差；③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半．
(3)三角形的内心及其性质．
(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系． 2．与角平分线有关的图形或辅助线
(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形． (2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形． (3)过角平分线上的点作边的垂线． 一、选择题
1．[2019·台州] 如图F7－1，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PD ⊥OB ，垂足为D.若PD ＝2，则点P 到边OA 的距离是( )
A ．1
B ．2 C. 3 D ．4
图F7－1 图F7－2
2．[2019·眉山] 如图F7－2，在△ABC 中，∠A ＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为( ) A ．114° B ．122° C ．123° D ．132°
3．如图F7－3，半圆O 的直径AB ＝10 cm ，弦AC ＝6 cm ，AD 平分∠BAC，则AD 的长为( ) A ．4 5 cm B ．3 5 cm C ．5 5 cm D ．4 cm
图F7－3
4．如图F7－4，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠DAB ＝90°，AC ⊥BC ，AC ＝BC ，∠ABC 的平分线分别交AD ，AC 于点E ，F ，则BF
EF
的值是( )
图F7－4
A.2－1 B．2＋ 2
图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习
方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型
方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算 类型1 两个内角平分线的夹角
如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC ＝90°＋1
2
∠A.
图1 图2图3
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和． 类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角
如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P ＝1
2∠A.
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半． 类型3 两外角平分线的夹角
如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O ＝90°－1
2
∠A.
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ
1．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°．
【变式1】如图，若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝20°．
【变式2】如图，若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．
【变式3】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α
2
2 018．
方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线
三角形三个角平分线的交点的定理
题目：三角形三个角平分线的交点的定理
在数学中，三角形是一个基础且重要的图形，而三角形内部的一些点
和线也有着很多有趣的性质和定理。其中，三角形的三个角平分线的
交点的定理就是其中之一。在本文中，我们将会深入探讨这个定理，
并从不同的角度进行全面的评估和分析。
1. 定理概述
我们来看看三角形三个角平分线的交点的定理是什么。这个定理指出，三角形的三个内角平分线的交点构成一个等腰三角形，并且该等腰三
角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。这个定理在三角形的平面几何
中有着重要的地位，也是许多相关问题的重要基础。
2. 定理证明
接下来，我们将着重从证明的角度来探讨这个定理。我们可以利用角
平分线的定义和性质，结合几何作图的方法，来逐步证明三个角平分
线的交点构成一个等腰三角形。我们可以借助三角形内接角和外接角
的关系，来证明该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。通过
这样的证明过程，我们不仅能够理解定理的几何意义，同时也能够加
深对相关几何知识的理解和掌握。
3. 定理应用
定理的应用是评价其重要性的重要标准之一。在实际的数学问题和解
题过程中，三角形三个角平分线的交点的定理也经常被运用到各种证
明和推论中。在证明三角形内部一些角度的关系时，可以利用该定理
来简化证明过程，减少求解步骤。又在圆心几何中，该定理也是解决
相关问题的常用工具之一。我们可以说，定理的应用不仅体现了其在
数学理论中的地位，同时也反映了其在实际问题中的实用性。
4. 个人观点
我想共享一下我对这个定理的个人观点和理解。在我看来，这个定理
不仅是一个理论性的结果，更是一种几何思维的体现。通过对这个定
中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)
方法技巧专题(七) 角平分线训练
【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.
2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.
(3)过角平分线上的点作边的垂线.
1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()
图F7-1
A.30°
B.35°
C.45°
D.60°
2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()
图F7-2
A.B.2
C.D.3
3.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()
图F7-3
A.B.2
C.D.3
4.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()
图F7-4
A.-1
B.2+
C.+1
D.
5.[2017·滨州] 如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为()
八年级上阶段方法技巧训练：角平分线中常用作辅助线的方法PPT实用课件
证明： 如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点 F， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝ 180°. 而∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中， ∠PCE＝∠PDF， ∠PEC＝∠PFD， PE＝PF，
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训1 角平分线中常用 作辅助线的方法
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个 条件(角相等和公共边)，所以在处理角的平分线的 问题时，常作出全等三角形的第三个条件，截两边 相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来 构造全等三角形．
类型 1 作一边的垂线段
∴△PCE≌△PDF(AAS)． ∴PC＝PD.
类型 3 延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°， BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD延 长线于点E，求证：BD＝2AE.
证明： 如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE. 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)． ∴AE＝FE.∴AF＝2AE. ∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
1．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO 分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D， 且OD＝1.8 cm，求△ABC的面积．
几何证明练习题角平分线定理
几何证明练习题角平分线定理几何证明练习题：角平分线定理
几何证明题常常令人头疼，但只要理解并掌握了一些定理和常用的证明方法，就能够应对不同的证明问题。本文将讨论几何证明练习题中的角平分线定理。
角平分线定理是几何中的一个重要定理，它阐述了一个角的角平分线将把该角分成两个相等的角。以下将介绍该定理以及其中一个相应的证明。
定理1：角平分线定理
在平面几何中，若一条线段从一个角的顶点开始并与该角的两边相交于两个点，将该角分成两个相等的角，则这个线段被称为该角的角平分线。
证明：
假设∠ABC是一个角，其中线段AD作为∠ABC的角平分线，交于点D。
我们要证明∠BAD ≡ ∠DAC。
首先，连接线段BD和CD。
根据角的定义，∠ABD + ∠DBC = ∠ABC （1）
同理，∠CAD + ∠ADC = ∠ACB （2）
又根据角的补角定义，∠ABC + ∠ACB = 180°
将以上两式相加可得，
∠ABD + ∠DBC + ∠CAD + ∠ADC = 180°（3）
由于∠BAD和∠DAC构成∠BAC的角平分线，因此∠BAD =
∠DAC。
代入（3）式可得，
∠ABD + ∠DBC + ∠BAD + ∠ADC = 180°
由于∠BAD = ∠DAC，上式可简化为
∠ABD + ∠DBC + ∠DAC + ∠ADC = 180°
根据（1）和（2）的关系可得
∠ABC + ∠ACB + ∠DAC + ∠ADC = 180°
由于∠ABC + ∠ACB = 180°，所以上式变为
180° + ∠DAC + ∠ADC = 180°
八年级上阶段方法技巧训练：角平分线中常用作辅助线的方法
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1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落， 花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似 生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。 11、这个世界其实很公平，你想要比别人强，你就必须去做别人不想做的事，你想要过更好的生活，你就必须去承受更多的困难，承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人，才能算是真正的强者。自古以来的伟人，大多是抱着不屈不挠的精神，从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生，有不同的幸福。去发现你所拥有幸运，少抱怨上苍的不公，把握属于自己的幸福。你，我，我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上，我们生命得到了肯定，一路上，我们有失败也有成功，有泪水也有感动，有曲折也有坦途，有机遇也有梦想。一路走来，我们熟悉了陌生的世界，我们熟悉了陌生的面孔，遇人无数，匆匆又匆匆，有些成了我们忘不掉的背影，有些成了我们一生的风景。我笑， 便面如春花，定是能感动人的，任他是谁。 17、努力是一种生活态度，与年龄无关。所以，无论什么时候，千万不可放纵自己，给自己找懒散和拖延的借口，对自己严格一点儿，时间长了，努力便成为一种心理习惯，一种生活方式！ 18、自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号，但我们可以歌咏最感人的诗篇；即使不能阻挡暴风雨的肆虐，但我们可以左右自己的心情；即使无法预料失败的打击，但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心，是所有烦扰的根源。这个世界是公平的，你要想得到，就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力，去决定生活的样子。
几何证明的技巧与方法
几何证明的技巧与方法
几何证明是数学中的一项重要内容，通过严谨的逻辑推理和几何性
质的运用，来解决各种几何问题。在学习几何证明时，使用一些有效
的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。本文将介绍
一些几何证明的常见技巧和方法，希望能为您的学习提供一些帮助。
一、反证法
反证法是一种常用的证明方法，它通过假设结论不成立，通过逻辑
推理来得出矛盾的结论，从而证明所要证明的命题是正确的。在几何
证明中，反证法常常用于证明直线平行、角平分线相交于一点等命题。
例如，要证明一个三角形的两条边平行，可以假设这两条边不平行，通过推理得出矛盾的结论，进而证明这两条边实际上是平行的。
二、相似性判定
相似性是几何中一个重要的概念，它指的是两个图形在形状相似的
情况下，对应边的比值相等。相似性判定是一种常见的几何证明方法，通过比较两个图形的边长比值、角度等特征来确定它们是否相似。
在几何证明中，如果能够证明两个图形是相似的，那么它们之间的
几何性质也将是相似的，可以通过相似性来解决一些难题。
三、利用垂直、平行关系
垂直和平行是几何中常见的关系，它们之间具有一些特殊的性质和
定理。在几何证明中，合理地应用垂直和平行关系，可以简化问题的
难度，提高证明的效率。
举例来说，当需要证明一个角是直角时，可以通过证明它所对的两
条边互相垂直来实现。同样地，如果需要证明两个线段平行，可以通
过证明它们所对的两组交角相等来完成。
四、利用三角形的性质
三角形是几何中最基本的图形之一，它具有许多独特的性质和定理。在几何证明中，我们可以通过运用三角形的性质来解决一些问题。
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
一道昆明市统测解三角形题目的思考
题目：2015年10月昆明市统测
文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
常规解法及题根：
（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D
C =
22求BD 和AC 的长.
（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .
（I ）求sin sin B C
∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
重点结论：角平分线性质：
（1）平分角
（2）到角两边距离相等
（3）线段成比率
中点性质与结论：
（1）平分线段；
（2）向量结论；
（3）两个小三角形面积相等。
题目解法搜集：
解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7
因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =
，所以BD=374，DC=74；
在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222
2AB AD BD AB AD +- 即2
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方法技巧训练三几何中与角平分线有关的计算或证明
[方法概述]1.与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质.
(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半。(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.
2.与角平分线有关的图形或辅助线
(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.
(3)过角平分线上的点作角两边的垂线.
[方法训练]
1. (2017●滨州)如图,直线AC//BD,AO,B0分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是( )A.∠BAO与∠CA0相等 B.∠BAC与∠ABD互补
C.∠BAO与∠ABO互余
D.∠ABO与∠DBO不等
2. (2017●襄阳)如图，BD//AC, BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠1的度数为( ) A:65° B.60° C.55° D.50
3.如图，在△ABC中,AB =AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE//BD交CB的延长线于点E,若∠E= 35°，则∠BAC的度数为( )
A.40°
B.45°
C.60°
D.70°
4. (2017.无锡)如图，已知AB//CD,0A,0C分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E，且OE=2,则AB,CD之间的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
5. (2017 ●盐城)如图,0是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,0D//AB交BC于点D,OE//AC 交BC 于点E,若BC= 10 cm,则△ODE的周长是_cm.
6.如图,在△ABC中,AB=8 cm,AC=5 cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点，则DE= cm
7.如图,已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D,∠A=40°,那么∠D=_ .度.
8.(2017，黄石)如图，00是△ABC的外接圆,BC为00的直径,点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交00于D点,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE.
(1)求证:DB =DE; (2)求证:直线CF为00的切线.