方法技巧训练三 几何中与角平分线有关的计算或证明

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专题4 与角平分线有关的辅助线作法(含答案)

专题4 与角平分线有关的辅助线作法(含答案)

专题4 与角平分线有关的辅助线作法

知识解读

角平分线所在直线是所在角的对称轴,因此角平分线的性质都是以轴对称为基础的,其辅助线作法也应多从轴对称的角度来考虑,其常用的辅助线构造方法有:(1)过角平分线上一点作到角的两边的垂线段,如图1-4-1①.(2)以顶点为圆心,在角两边截取两条相等的线段,构造全等三角形,如图1-4-1②.(3)利用三线合一定理构造等腰三角形,如图1-4-1③.(4)过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,如图1-4-1④.

培优学案

典例示范

一、过角平分线上一点作两边的垂线段.

例1如图1-4-2,AB//CD,E为AD上一点,且BE,CE分别平分∠ABC,∠BC D.求证:AE=E D.

【提示】由于角平分线上一点到角的两边的距离相等,而点E是两条角平分线的交点,因此我们可以过点E,分别作AB,BC,CD的垂线段,如图1-4-3.

【解答】

【技巧点评】过一点作角两边的垂线段,构造的是一对全等的直角三角形,可以得到一些相等的线段和相等的角,但利用角平分线的性质,可以省去证明全等这一环节,直接证得线段相等。同样由“距离”相等,也能直接得到角平分线.让证明来得更简捷。

跟踪训练

1.如图1-4-4,在△ABC中,DC⊥AC,∠1=∠2,DA=D B.求证:AB=2A C.

二、角平分线+高=全等三角形

例2如图1-4-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC,CELBE.求证:CE=1

2

B D.

【提示】由于BE平分∠ABC,因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形。

中考数学角平分线四大模型专题知识解读

中考数学角平分线四大模型专题知识解读

N M O A B P

P

O N M B A

角平分线四大模型专题知识解读

【专题说明】

角平分线在几何中占有重要地位,是解决许多问题的桥梁和纽带,角平分线把一个角分成相等的两个部分,其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质,而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形,也常在解题中给我们带来帮助,本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

如图,P 是∠MON 的平分线上一点,过点P 作PA ⊥OM 于点A ,PB ⊥ON 于点B 。 结论:PB=PA 。

【模型分析】

利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等

如图,P 是∠MON 的平分线上一点,点A 是射线OM 上任意一点,在ON 上截取OB=OA ,连接PB 。

结论:△OPB ≌△OPA 。

【模型分析】

P O N M B A

Q

P O N M 利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图,P 是∠MO 的平分线上一点,AP ⊥

OP 于P 点,延长AP 于点B 。

结论:△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

中考数学复习题 方法技巧专题(七)角平分线训练 (新版)浙教版

 中考数学复习题 方法技巧专题(七)角平分线训练 (新版)浙教版

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方法技巧专题(七) 角平分线训练

【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.

2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.

(3)过角平分线上的点作边的垂线.

1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()

图F7-1

A.30°

B.35°

C.45°

D.60°

2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()

图F7-2

A.B.2

C.D.3

3.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()

图F7-3

A.B.2

C.D.3

4.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()

专题 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题  角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-中考数学(全国通用)

N M O A B P

P

O N M B A

专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)

【专题说明】

角平分线在几何中占有重要地位,是解决许多问题的桥梁和纽带,角平分线把一个角分成相等的两个部分,其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质,而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形,也常在解题中给我们带来帮助,本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】

模型1 角平分线上的点向两边作垂线

如图,P 是∠MON 的平分线上一点,过点P 作PA ⊥OM 于点A ,PB ⊥ON 于点B 。 结论:PB=PA 。

【模型分析】

利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等

如图,P 是∠MON 的平分线上一点,点A 是射线OM 上任意一点,在ON 上截取OB=OA ,连接PB 。

结论:△OPB ≌△OPA 。

P O N M B A

Q

P O N M 【模型分析】

利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形

如图,P 是∠MO 的平分线上一点,AP

⊥OP 于P 点,延长AP 于点B 。

结论:△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

与三角形的角平分线有关的角

与三角形的角平分线有关的角
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翩唆

零分
三 角形 的角平 分 线是 有 关 三角 形 学 习 中的一 条 重要 线 段 , 计 算 与三角 形角平 分 线有关 的角是几 何 中一种 常 见 的题 型 ,那 么该 如何 分析 、 思考 、 解决这 种类 型题 呢? 这里 , 在 我给 大家举 几个 常见
的例 子.
变 式 1 如 图 2 在 ,

例 1 如 图 1 已知 , C 中, C= 4 . , △ 6o
B =5 。A 平 分 B , 交 C于 D. 0 ,D AC 且 C于 . 求 D H 的度 数. A 方法 1 : 上
G4 C 中 , 曰=5  ̄ C = : B 0,
C 交 BC
6 。, 平 分 4 AD
于 D, E为 A 上 一 点 , l 上 D Ei

D H

曰 于 H. : D 日 的度 数 . C 求 E ;
分 析 /D H是 R aA H 的一个 内角 . _ A t D 图 1 若 知道 AA H 的度数 , 可 以求 出 ZD D 就 .AH 的大小 . 那 么 , . H 的度数 如何解 决呢 ? ZAD 由已知条件 可知 , =5 。 C=6 。 由三角形 内角和定 理 , 0, 4, 可 求得 C=6 o 6.

角平分线三个定理-概述说明以及解释

角平分线三个定理-概述说明以及解释

角平分线三个定理-概述说明以及解释

1.引言

1.1 概述

角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时,非常重要且常用的定理。它们分别应用于角的平分线问题,帮助我们更深入地理解角的性质与构造。这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用,而且在实际生活中也具有重要的意义。

在解释这三个定理之前,我们先回顾一下角的基本概念。在几何学中,角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。以公共端点为中心,可以将角分为两个部分,分别称为角的两个腿。角的大小通常用度或弧度来表示,这取决于所用的单位。

第一个定理是角的平分线定理,它指出:如果一条直线将一个角平分成两个相等的角,那么这条直线称为这个角的平分线。换句话说,平分线将角分为两个相等的部分。这个定理有广泛的应用,例如在三角形中,利用角平分线定理可以证明角的大小相等,从而推导出三角形的一些特殊性质。

第二个定理是外角平分线定理,它指出:如果一条直线通过一个三角

形的外角的顶点,并将外角的两个邻角平分成两个相等的角,那么这条直线称为该三角形的外角平分线。这个定理在解决外角问题时非常有用,它保证了外角平分线的存在性,并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。

第三个定理是内角平分线定理,它指出:如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点,并将内角的两个邻角平分成两个相等的角,那么这条直线称为该三角形的内角平分线。这个定理与外角平分线定理类似,但是涉及的是三角形的内角。利用内角平分线定理,我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。

角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位,是研究角度关系和解决几何问题的基础。它们不仅具有理论意义,还具有广泛的应用价值。通过深入理解和熟练运用这三个定理,我们能够提高问题解决的效率,并在实际生活中更好地应用几何知识。

角的平分线数学教案

角的平分线数学教案

角的平分线数学教案

标题:《探索角的平分线》

一、教学目标

1. 知识与技能目标:理解并掌握角的平分线的概念,能够熟练地运用尺规作图法作出任意角的平分线。

2. 过程与方法目标:通过观察、思考、实践,提高学生的空间观念和逻辑思维能力。

3. 情感态度价值观目标:培养学生对几何学习的兴趣,增强他们解决问题的信心。

二、教学重点和难点

重点:理解和掌握角的平分线的概念,掌握尺规作图法作出任意角的平分线的方法。

难点:理解和应用角的平分线的性质。

三、教学过程

1. 导入新课:通过实例引入角的平分线的概念,引发学生的好奇心和求知欲。

2. 新课讲授:

(1) 角的平分线的概念:讲解角的平分线的定义,并让学生自己画出一些角的平分线,加深理解。

(2) 尺规作图法:详细解释如何使用尺规作图法作出任意角的平分线,包括步骤和注意事项。

(3) 角的平分线的性质:引导学生通过实验、讨论等方式发现角的平分线的一些性质,如等腰三角形的判定定理等。

3. 巩固练习:设计一些习题,让学生在实践中巩固所学知识。

4. 总结反思:回顾本节课的主要内容,鼓励学生分享他们的学习体验和收获。

四、作业布置

设计一些题目,要求学生在家中完成,以检验他们对角的平分线的理解和掌握程度。

五、教学评价

根据学生在课堂上的表现和作业完成情况,对学生的学习效果进行评估。

六、教学反思

教师应反思自己的教学方法是否有效,是否有需要改进的地方,以便更好地满足学生的学习需求。

2019年浙江中考数学复习方法技巧专题七:角平分线训练(含答案)

2019年浙江中考数学复习方法技巧专题七:角平分线训练(含答案)

方法技巧专题七 角平分线训练

1.与角平分线有关的判定和性质 (1)角平分线的判定和性质.

(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.

(3)三角形的内心及其性质.

(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系. 2.与角平分线有关的图形或辅助线

(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形. (2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形. (3)过角平分线上的点作边的垂线. 一、选择题

1.[2019·台州] 如图F7-1,点P 是∠AOB 平分线OC 上一点,PD ⊥OB ,垂足为D.若PD =2,则点P 到边OA 的距离是( )

A .1

B .2 C. 3 D .4

图F7-1 图F7-2

2.[2019·眉山] 如图F7-2,在△ABC 中,∠A =66°,点I 是内心,则∠BIC 的大小为( ) A .114° B .122° C .123° D .132°

3.如图F7-3,半圆O 的直径AB =10 cm ,弦AC =6 cm ,AD 平分∠BAC,则AD 的长为( ) A .4 5 cm B .3 5 cm C .5 5 cm D .4 cm

图F7-3

4.如图F7-4,在直角梯形ABCD 中,DC ∥AB ,∠DAB =90°,AC ⊥BC ,AC =BC ,∠ABC 的平分线分别交AD ,AC 于点E ,F ,则BF

EF

的值是( )

图F7-4

A.2-1 B.2+ 2

图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习

图形的初步认识与三角形方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习

方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型

方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算 类型1 两个内角平分线的夹角

如图1,在△ABC 中,∠ABC ,∠ACB 的平分线BE ,CF 相交于点G ,则∠BGC =90°+1

2

∠A.

图1 图2图3

解题通法:三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和. 类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角

如图2,在△ABC 中,BP 平分∠ABC ,CP 平分∠ACB 的外角,BP 与CP 相交于点P ,则∠P =1

2∠A.

解题通法:三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半. 类型3 两外角平分线的夹角

如图3,在△ABC 中,BO ,CO 是△ABC 的外角平分线,则∠O =90°-1

2

∠A.

解题通法:三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差.K

1.如图,在△ABC 中,∠A =40°,点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点,则∠BDC =110°.

【变式1】如图,若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点,则∠D =20°.

【变式2】如图,若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点,则∠D =70°.

【变式3】如图,BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线,BA 2是∠A 1BD 的平分线,CA 2是∠A 1CD 的平分线,BA 3是∠A 2BD 的平分线,CA 3是∠A 2CD 的平分线.若∠A 1=α,则∠A 2 019=α

2

2 018.

方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线

三角形三个角平分线的交点的定理

三角形三个角平分线的交点的定理

题目:三角形三个角平分线的交点的定理

在数学中,三角形是一个基础且重要的图形,而三角形内部的一些点

和线也有着很多有趣的性质和定理。其中,三角形的三个角平分线的

交点的定理就是其中之一。在本文中,我们将会深入探讨这个定理,

并从不同的角度进行全面的评估和分析。

1. 定理概述

我们来看看三角形三个角平分线的交点的定理是什么。这个定理指出,三角形的三个内角平分线的交点构成一个等腰三角形,并且该等腰三

角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。这个定理在三角形的平面几何

中有着重要的地位,也是许多相关问题的重要基础。

2. 定理证明

接下来,我们将着重从证明的角度来探讨这个定理。我们可以利用角

平分线的定义和性质,结合几何作图的方法,来逐步证明三个角平分

线的交点构成一个等腰三角形。我们可以借助三角形内接角和外接角

的关系,来证明该等腰三角形的顶点正是三角形外接圆的圆心。通过

这样的证明过程,我们不仅能够理解定理的几何意义,同时也能够加

深对相关几何知识的理解和掌握。

3. 定理应用

定理的应用是评价其重要性的重要标准之一。在实际的数学问题和解

题过程中,三角形三个角平分线的交点的定理也经常被运用到各种证

明和推论中。在证明三角形内部一些角度的关系时,可以利用该定理

来简化证明过程,减少求解步骤。又在圆心几何中,该定理也是解决

相关问题的常用工具之一。我们可以说,定理的应用不仅体现了其在

数学理论中的地位,同时也反映了其在实际问题中的实用性。

4. 个人观点

我想共享一下我对这个定理的个人观点和理解。在我看来,这个定理

不仅是一个理论性的结果,更是一种几何思维的体现。通过对这个定

中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)

中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)

方法技巧专题(七) 角平分线训练

【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.

2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.

(3)过角平分线上的点作边的垂线.

1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()

图F7-1

A.30°

B.35°

C.45°

D.60°

2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()

图F7-2

A.B.2

C.D.3

3.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()

图F7-3

A.B.2

C.D.3

4.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()

图F7-4

A.-1

B.2+

C.+1

D.

5.[2017·滨州] 如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为()

八年级上阶段方法技巧训练:角平分线中常用作辅助线的方法PPT实用课件

八年级上阶段方法技巧训练:角平分线中常用作辅助线的方法PPT实用课件

证明: 如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点 F, ∴∠PEC=∠PFD=90°. ∵OM是∠AOB的平分线, ∴PE=PF. ∵∠AOB=90°,∠CPD=90°, ∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°= 180°. 而∠PDO+∠PDF=180°, ∴∠PCE=∠PDF.
在△PCE和△PDF中, ∠PCE=∠PDF, ∠PEC=∠PFD, PE=PF,
习题课 阶段方法技巧训练(二)
专训1 角平分线中常用 作辅助线的方法
因为角的平分线已经具备了全等三角形的两个 条件(角相等和公共边),所以在处理角的平分线的 问题时,常作出全等三角形的第三个条件,截两边 相等(SAS)或向两边作垂线段(AAS)或延长线段等来 构造全等三角形.
类型 1 作一边的垂线段
∴△PCE≌△PDF(AAS). ∴PC=PD.
类型 3 延长作对称图形法
3.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°, BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD延 长线于点E,求证:BD=2AE.
证明: 如图,延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE, ∴∠AEB=∠FEB=90°. ∵BD平分∠ABO, ∴∠ABE=∠FBE. 又∵BE=BE, ∴△ABE≌△FBE(ASA). ∴AE=FE.∴AF=2AE. ∵∠AEB=∠AOB=90°,
1.如图,已知△ABC的周长是20 cm,BO,CO 分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D, 且OD=1.8 cm,求△ABC的面积.

几何证明练习题角平分线定理

几何证明练习题角平分线定理

几何证明练习题角平分线定理几何证明练习题:角平分线定理

几何证明题常常令人头疼,但只要理解并掌握了一些定理和常用的证明方法,就能够应对不同的证明问题。本文将讨论几何证明练习题中的角平分线定理。

角平分线定理是几何中的一个重要定理,它阐述了一个角的角平分线将把该角分成两个相等的角。以下将介绍该定理以及其中一个相应的证明。

定理1:角平分线定理

在平面几何中,若一条线段从一个角的顶点开始并与该角的两边相交于两个点,将该角分成两个相等的角,则这个线段被称为该角的角平分线。

证明:

假设∠ABC是一个角,其中线段AD作为∠ABC的角平分线,交于点D。

我们要证明∠BAD ≡ ∠DAC。

首先,连接线段BD和CD。

根据角的定义,∠ABD + ∠DBC = ∠ABC (1)

同理,∠CAD + ∠ADC = ∠ACB (2)

又根据角的补角定义,∠ABC + ∠ACB = 180°

将以上两式相加可得,

∠ABD + ∠DBC + ∠CAD + ∠ADC = 180°(3)

由于∠BAD和∠DAC构成∠BAC的角平分线,因此∠BAD =

∠DAC。

代入(3)式可得,

∠ABD + ∠DBC + ∠BAD + ∠ADC = 180°

由于∠BAD = ∠DAC,上式可简化为

∠ABD + ∠DBC + ∠DAC + ∠ADC = 180°

根据(1)和(2)的关系可得

∠ABC + ∠ACB + ∠DAC + ∠ADC = 180°

由于∠ABC + ∠ACB = 180°,所以上式变为

180° + ∠DAC + ∠ADC = 180°

八年级上阶段方法技巧训练:角平分线中常用作辅助线的方法

八年级上阶段方法技巧训练:角平分线中常用作辅助线的方法

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1、不是井里没有水,而是你挖的不够深。不是成功来得慢,而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀,给来的人一个惊喜,也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你,让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事,所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求,自然苦就少。口里不说多余的话,自然祸就少。腹内的食物能减少,自然病就少。思绪中没有过分欲,自然忧就少。大悲是无泪的,同样大悟无言。缘来尽量要惜,缘尽就放。人生本来就空,对人家笑笑,对自己笑笑,笑着看天下,看日出日落, 花谢花开,岂不自在,哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服,脏了就拿去洗洗,晒晒,阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好,何必自寻烦恼,过好每一个当下,一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么,你都要从落魄中站起来重振旗鼓,要继续保持热忱,要继续保持微笑,就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽,永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽,是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽,是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽,是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事,不可避免地发生,阴晴圆缺皆有规律,我们只能坦然地接受;有些事,只要你愿意努力,矢志不渝地付出,就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界,不如改变自己。管好自己的心,做好自己的事,比什么都强。人生无完美,曲折亦风景。别把失去看得过重,放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人,人做到了,心悟到了,相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了,你就会明白,在世上,你就是你,你痛痛你自己,你累累你自己,就算有人同情你,那又怎样,最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落,而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间,再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始,重要的是开始以后不要停止;不管在什么时候结束,重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情,全世界都会为你让路。 15、只有在开水里,茶叶才能展开生命浓郁的香气。 15、如果没有人为你遮风挡雨,那就学会自己披荆斩棘,面对一切,用倔强的骄傲,活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人,迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求,他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣,比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人,我们只需要做好自己的本分,不与过多人建立亲密的关系,也不要因为关系亲密便掏心掏肺,切莫交浅言深,应适可而止。 19、大家常说一句话,认真你就输了,可是不认真的话,这辈子你就废了,自己的人生都不认真面对的话,那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力,就别放纵善变的情绪。 16、成功的反义词不是失败,而是从未行动。有一天你总会明白,遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮,也不会有一件事情可以让你一步登天,慢慢走,慢慢看,生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功,可是那段追逐梦想的努力,会让你找到一个更好的自己,一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想,梦想才会相信你。有一种落差是,你配不上自己的野心,也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行,它会给你一段时间,让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处,多看一本书,去做可以做的事,放下过去的人,等你度过低潮,那些独处的时光必定能照亮你的路,也是这些不堪陪你成熟。所以,现在没那么糟,看似 生活对你的亏欠,其实都是祝愿。 10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻,你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔,一天数次。不痛了不代表你能完全无视,留下的那个空缺永远都在,偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的,但牙总是要拔,因为太痛,所以终归还是要放手,随它去。 11、这个世界其实很公平,你想要比别人强,你就必须去做别人不想做的事,你想要过更好的生活,你就必须去承受更多的困难,承受别人不能承受的压力。 12、逆境给人宝贵的磨炼机会。只有经得起环境考验的人,才能算是真正的强者。自古以来的伟人,大多是抱着不屈不挠的精神,从逆境中挣扎奋斗过来的。 13、不同的人生,有不同的幸福。去发现你所拥有幸运,少抱怨上苍的不公,把握属于自己的幸福。你,我,我们大家都可以经历幸福的人生。 14、给自己一份坚强,擦干眼泪;给自己一份自信,不卑不亢;给自己一份洒脱,悠然前行。轻轻品,静静藏。为了看阳光,我来到这世上;为了与阳光同行,我笑对忧伤。 15、总不能流血就喊痛,怕黑就开灯,想念就联系,疲惫就放空,被孤立就讨好,脆弱就想家,不要被现在而蒙蔽双眼,终究是要长大,最漆黑的那段路终要自己走完。 16、在路上,我们生命得到了肯定,一路上,我们有失败也有成功,有泪水也有感动,有曲折也有坦途,有机遇也有梦想。一路走来,我们熟悉了陌生的世界,我们熟悉了陌生的面孔,遇人无数,匆匆又匆匆,有些成了我们忘不掉的背影,有些成了我们一生的风景。我笑, 便面如春花,定是能感动人的,任他是谁。 17、努力是一种生活态度,与年龄无关。所以,无论什么时候,千万不可放纵自己,给自己找懒散和拖延的借口,对自己严格一点儿,时间长了,努力便成为一种心理习惯,一种生活方式! 18、自己想要的东西,要么奋力直追,要么干脆放弃。别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断,做别人茶余饭后的笑点。 19、即使不能像依米花那样画上完美的感叹号,但我们可以歌咏最感人的诗篇;即使不能阻挡暴风雨的肆虐,但我们可以左右自己的心情;即使无法预料失败的打击,但我们可以把它当作成功的一个个驿站。 20、能力配不上野心,是所有烦扰的根源。这个世界是公平的,你要想得到,就得学会付出和坚持。每个人都是通过自己的努力,去决定生活的样子。

几何证明的技巧与方法

几何证明的技巧与方法

几何证明的技巧与方法

几何证明是数学中的一项重要内容,通过严谨的逻辑推理和几何性

质的运用,来解决各种几何问题。在学习几何证明时,使用一些有效

的技巧和方法可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。本文将介绍

一些几何证明的常见技巧和方法,希望能为您的学习提供一些帮助。

一、反证法

反证法是一种常用的证明方法,它通过假设结论不成立,通过逻辑

推理来得出矛盾的结论,从而证明所要证明的命题是正确的。在几何

证明中,反证法常常用于证明直线平行、角平分线相交于一点等命题。

例如,要证明一个三角形的两条边平行,可以假设这两条边不平行,通过推理得出矛盾的结论,进而证明这两条边实际上是平行的。

二、相似性判定

相似性是几何中一个重要的概念,它指的是两个图形在形状相似的

情况下,对应边的比值相等。相似性判定是一种常见的几何证明方法,通过比较两个图形的边长比值、角度等特征来确定它们是否相似。

在几何证明中,如果能够证明两个图形是相似的,那么它们之间的

几何性质也将是相似的,可以通过相似性来解决一些难题。

三、利用垂直、平行关系

垂直和平行是几何中常见的关系,它们之间具有一些特殊的性质和

定理。在几何证明中,合理地应用垂直和平行关系,可以简化问题的

难度,提高证明的效率。

举例来说,当需要证明一个角是直角时,可以通过证明它所对的两

条边互相垂直来实现。同样地,如果需要证明两个线段平行,可以通

过证明它们所对的两组交角相等来完成。

四、利用三角形的性质

三角形是几何中最基本的图形之一,它具有许多独特的性质和定理。在几何证明中,我们可以通过运用三角形的性质来解决一些问题。

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

一道昆明市统测解三角形题目的思考

题目:2015年10月昆明市统测

文科:在△ABC 中,D 是BC 的中点,若AB=4,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______; 理科:在△ABC 中,D 在BC 上,AD 平分∠BAC ,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______;

常规解法及题根:

(15年新课标2理科)∆ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求C

B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1,D

C =

22求BD 和AC 的长.

(15年新课标2文科)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .

(I )求sin sin B C

∠∠ ; (II )若60BAC ∠=,求B ∠.

重点结论:角平分线性质:

(1)平分角

(2)到角两边距离相等

(3)线段成比率

中点性质与结论:

(1)平分线段;

(2)向量结论;

(3)两个小三角形面积相等。

题目解法搜集:

解法1(方程思想):两边及夹角,利用余弦定理求第三边,然后在小三角形中求解;

在△ABC 中,D 在BC 上,AD 平分∠BAC ,若AB=3,AC=1,∠BAC=60°,则AD=_______;

解:在△ABC 中,222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠,则7

因为AD 平分∠BAC ,则AB BD AC DC =

,所以BD=374,DC=74;

在△ABD 中,设AD=x ,利用cos ∠BAD=cos30°=222

2AB AD BD AB AD +- 即2

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方法技巧训练三几何中与角平分线有关的计算或证明

[方法概述]1.与角平分线有关的判定和性质(1)角平分线的判定和性质.

(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半。(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.

2.与角平分线有关的图形或辅助线

(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.

(3)过角平分线上的点作角两边的垂线.

[方法训练]

1. (2017●滨州)如图,直线AC//BD,AO,B0分别是∠BAC,∠ABD的平分线,那么下列结论错误的是( )A.∠BAO与∠CA0相等 B.∠BAC与∠ABD互补

C.∠BAO与∠ABO互余

D.∠ABO与∠DBO不等

2. (2017●襄阳)如图,BD//AC, BE平分∠ABD,交AC于点E.若∠A=50°,则∠1的度数为( ) A:65° B.60° C.55° D.50

3.如图,在△ABC中,AB =AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE//BD交CB的延长线于点E,若∠E= 35°,则∠BAC的度数为( )

A.40°

B.45°

C.60°

D.70°

4. (2017.无锡)如图,已知AB//CD,0A,0C分别平分∠BAC和∠ACD,OE⊥AC于点E,且OE=2,则AB,CD之间的距离为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

5. (2017 ●盐城)如图,0是△ABC中∠ABC,∠ACB的平分线的交点,0D//AB交BC于点D,OE//AC 交BC 于点E,若BC= 10 cm,则△ODE的周长是_cm.

6.如图,在△ABC中,AB=8 cm,AC=5 cm,AD平分∠BAC,且AD⊥CD,E为BC中点,则DE= cm

7.如图,已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D,∠A=40°,那么∠D=_ .度.

8.(2017,黄石)如图,00是△ABC的外接圆,BC为00的直径,点E为△ABC的内心,连接AE 并延长交00于D点,连接BD并延长至点F,使得BD=DF,连接CF,BE.

(1)求证:DB =DE; (2)求证:直线CF为00的切线.

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