导数的实际应用第二课时

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基本初等函数的导数(2)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册

教学目标
教学目标：会使用基本初等函数的导数公式求函数的导数，能利用导数解决实际问题.
教学重点：求基本初等函数的导数.
教学难点：基本初等函数的导数公式的应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
问题1上节课我们根据导数的定义求出了六个常用函数的导数，同学们还记得它们的导数是什么吗？
函数
导函数
追问1：在上述6个函数中，除第1个外，其余5个都是哪一类基本初等函数？
生：它们是幂函数.
追问2：你能发现它们的导数与函数之间的关系吗？
生：若则
问题2还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？
生：指数函数、对数函数、三角函数.它们的导数也可以根据定义计算求得.
师：实际上，对于其它的基本初等函数，我们确实可以根据导数的定义求其导数的，但是由于我们目前的知识结构还不够完善，求导数的计算过程还有些困难，因此这些函数的导数我们直接给出，今后可以直接使用.
基本初等函数的导数公式
1.若则
2.若则
3.若则
4.若则
5.若则
特别地，若则
6.若则
特别地，若则
追问：这些公式有什么特点？
常值函数的导数是0.
幂函数的导数是将原来幂函数的幂指数提到前面作为幂的系数，再将原来的幂指数减1作为新的幂指数.
正弦函数的导数是余弦函数.
余弦函数的导数是负的正弦函数.
那么函数p(t)的导数怎么求？可否用f(t)和g(t)的导数来表示它们乘积的导数？这将是下一节课我们要讨论的主要问题.
例题小结：
（1）通过这三个例题，我们熟悉了运用基本初等函数导数公式求导数，求曲线的切线方程的方法，并通过关于指数函数求导的实际问题，体会了导数的实际应用.

导数在函数中应用(2)说课稿

第2课时《导数在函数中的应用》说课稿杭集中学杭圣平导数这一块内容的教学分为五个课时，第一课时导数的概念与几何意义；第二课时导数的基本运算；第三课时导数在研究函数中的运用（1）；第四课时导数在研究函数中的运用（2）；第五课时导数在实际问题中的应用。

一、说教材导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。

在近年来年的高考题都涉及这个知识点，主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。

运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。

二、说教学目标通过本节课的学习让学生进一步建立利用导数解决与函数有关问题的意识。

并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。

第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。

第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立，解析几何中距离相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。

三、说教学方法多媒体教学与诱导法，在教学过程中与学生进行互动式教学四、说重点与难点在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。

本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。

例1主要是从导数与函数单调性关系出发，找出不等式恒成立，通过分离变量或数形结合，解决有关的参数的范围。

例2则是导数在解析几何中的应用，在求距离的最小值时，从数的角度出发重点应放在函数构造及求函数值域上；若从形的角度出发重点应放在距离的转化上与切线方程求法上。

例3则是应用导数求含参数函数的极值与参数范围，重点在于熟练求极值方法。

解决这三个重点就要对导数的基础知识透彻理解。

例1和例2的难点都是问题的转化上。

如例1中将f(x)在区间I上单调递减转化为不等式恒成立；例2中求距离最小值时构造函数或转化为两平行线之间的距离这一步是最关键的，例3对题意的把握，对参数范围讨论及极大极小值的判断是关键，需要学生具备对导数与函数单调性、极值、最值关系的理解能力和分析问题简化问题的能力。

1.3.导数的实际应用-人教B版选修2-2教案

1.3. 导数的实际应用-人教B版选修2-2教案课时目标
1.理解导数在实际应用中的意义。

2.掌握导数在实际问题中的应用方法。

3.能够解决实际问题，掌握应用思路和方法。

课前预习
1.复习导数的定义和求导方法。

2.阅读课本p45-47，理解例题和思考题的解法方法。

课堂互动
活动一：实例解析
1.举例说明导数在物理学中的应用。

2.引导学生思考导数在其他领域中的应用。

3.通过互动讨论，巩固学生对导数实际应用的理解。

活动二：实际问题解决
1.给学生提供一个实际问题，如求函数y=x2在x=3处的切线方程。

2.引导学生分析问题，确定求解思路和方法。

3.学生自行解答，并互相交流和讨论答案的正确性。

课后作业
1.完成课后练习。

2.预习下一课时，了解导数的应用题型。

教学反思
导数的实际应用是高中数学中十分重要的一部分，通过实际问题的解决，可以帮助学生更深入地理解导数的含义和应用方法。

在教学中，要尽可能多地举例说明导数在不同领域中的应用，让学生充分感受到导数在实际生活中的重要性和实用性。

同时，也要引导学生思考和分析问题的能力，注重学生对问题的理解和推理能力的培养。

导数的实际应用课件(人教B版选修2-2)

[例3]
(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的
成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为
(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式． (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出利润L的最大值Q(a)．
当0＜y＜16时，l′＜0；当y＞16时，l′＞0.所以y＝16是 512 函数l＝2y＋ (y＞0)的极小值点，也是最小值点．此 y 512 时，x＝＝32. 16 所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省．
答案：A
4．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本 1 1 3 4 P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝ v－ v 19 200 160 ＋15v， (1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．
[例1]
如图，某地有三家工厂，分别
位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P
处，已知AB＝20 km，CB＝10 km，为了
处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为y km.
(1)设∠BAO＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
利润问题是经济生活中最为常见的问题．一
般来说，利润L等于总收入减去总成本，而总收入等于产量
乘以价格．由此可以得到利润L与产量的函数关系式，进而

《导数的应用2》PPT课件

调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0) 仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件应是 f′(x)≥0 ［或 f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0, 甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x); ②解方程 f′(x)=0 .
③对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)
在 x0 左、右两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极
值点：
h
2
a．若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极大值点； b．若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为极小值点；
h
11
解（1）由已知f′(x)=3x2-a.
∵f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f′（x）=3x2-a≥0在（-∞，+∞）上恒成立.
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴只要a≤0.
又∵a=0时，f′(x)=3x2≥0，
∴f（x）=x3-1在R上是增函数，∴a≤0.
（2）由f′(x)=3x2-a≤0在（-1，1）上恒成立.
a=3.
h
10
题型分类深度剖析
题型一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)=x3-ax-1.
（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由. 思维启迪求f′(x)→f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立 →a的范围.

§3.3-导数的应用(二)

第5页
●利用导数解决实际问题中的最值问题的注意事项 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)＝0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的取值范围.
A.－2
B.0
C.2
D.4
解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去).
比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2. 答案：C
第9页
3.已知函数f(x)= 1 x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数 2
m的取值范围是()
第30页
创新预测3某地政府为科技兴市,欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分),形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边),已知 AB=2km,BC=6km,AE=BF=4km,其中AF是以A为顶点､AD为对称轴的抛物线段.试求该高科技工业园区的最大面积. 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD 所在直线为y轴建立直角坐标系,如图,则 A(0,0),F(2,4),
第24页
规律方法:不等式f(x)≥m(或≤m)恒成立的问题可以转化为求函数f(x)的最小(大)值问题,f(x)≥m恒成立,即m≤f(x)min,f(x)≤m恒成立即f(x)max≤m.
第25页
创新预测2设函数f(x)= 1 x2+ex-xex. 2
(1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈【 -2，2】时,不等式f(x)>m恒成立,求实数m. 解析:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,由f′(x)<0得x>0, 则f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).

《2.13导数的应用(Ⅱ)》教案

导数的应用（Ⅱ）
适用学科适用区域知识点数学新课标用导数处理恒成立问题利用导数解决生活中的优化问题 1.能利用导数研究函数的单调性、极值或最值，并会解决与之有关的不等式问题． 2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 用导数处理恒成立问题用导数处理恒成立问题适用年级课时时长（分钟）高三 60
)
21 / 34
x＋ 3 3 解析：选 B 2xln x≥－x2＋ax－3，则 a≤2ln x＋x＋x ，设 h(x)＝2ln x＋x＋x (x>0)，则 h′(x)＝
x－ x
2
.当 x∈
(0,1)时，h′(x)<0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min＝h(1)＝4.所以 a≤h(x)min ＝4.
7 / 34
【解析】 (1)依题意，知 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 1 1 当 a＝b＝2时，f(x)＝ln x－4x2－2x， 1 1 1 －x＋2x－1 f′(x)＝x－2x－2＝， 2x 令 f′(x)＝0，解得 x＝1(x＝－2 舍去)．当 0<x<1 时，f′(x)>0，此时 f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，此时 f(x)单调递减． 3 所以 f(x)的极大值为 f(1)＝－4. 3 又因为 f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有唯一解，所以 f(x)的最大值为－4. a (2)由题意得 F(x)＝ln x＋ x，x∈(0,3]，则 x0 － a 1 k＝F′(x0)＝ x2 ≤2在 x0∈(0,3]上恒成立， 0 1 所以 a≥－2x2 0＋x0max，x0∈(0,3]． 1 1 1 当 x0＝1 时，－2x2 0＋x0 取得最大值，所以 a≥ . 2 2

北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数在实际问题中的应用(二) 课件

2013-4-2
3
2
课堂小结：
1、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 2、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：（1）、与几何有关的最值问题；（2）、与物理学有关的最值问题；（3）、与利润及其成本有关的最值问题；（4）、效率最值问题。
4 3 S 3 S 3 h h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h 3
S 3h h
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= 3 3
解

即半径越大利润越高半径r 2时, f r 0,它表 , ; 示f r 单调递减即半径越大利润越低 , , . ① 半径为 cm时, 利润最小这时f 2 0, 表示此种 2 , 瓶内饮料的利润还不够瓶子成本此时利润是负值 , .
'
当r 0,2时, f r 0;当r 2,6时, f r 0. ' 因此,当半径r 2时, f r 0,它表示f r 单调递增 ,
2
o
3
r
好相等;当r 3时, 利润才为正值. 当r 0,2时, f r 是减函数你能 , 图1.4 4 解释它的实际意义吗 ? 通过此问题的解决我们很容易回答开始时 , 的问题.请同学们自己作出回答 .
2013-4-2
练习 1.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时，使得湿周 l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.

导数在实际生活中的应用(二)

分层训练：必做题：P40习题1、2 选做题：P40习题4
作业：P40习题6 思考题：P4离为d , 试问：在连结两光源的线段AB上,何处的照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源的距离成反比)
例5在经济学中, 生产x单位产品的成本称为成本函数, 记为C(x)出售x单位产品的收益称为收益函数,记为 , R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x). (1)如果C(x)=10-6 x3 0.003x 2 5 x 1000, 那么生产多少单位产品时, 边际成本C ( x)最低 ? (2)如果C ( x) 50 x 10000, 产品的单价p 100 0.01x, 那么怎样定价可使利润最大 ?
§1.4导数在实际生活中的应用（2）
学习目标： 1.体会导数在解决实际问题中的作用; 2.会利用导数解决实际问题中的最值问题。自学指导： • 1、在课本的例题4中，照度是怎样定义的?照度与光源距离的函数关系式是怎样的? • 2、在课本的例题5中，什么叫做边际成本？什么叫做利润函数？本例可否用初等方法求解? 自学检测：P39练习4

高中数学导数在实际生活中的应用苏教版选修2-2 教案

导数在实际生活中的应用教学目的：知识与技能：理解极大值、极小值的实际问题。

过程与方法：使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。

情感、态度与价值观：进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题。

教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：学生探究过程：一、复习引入：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值二、讲解范例：例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -==)600(<<x ．23()602x V x x '=- )600(<<x令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3 解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R '=-+4πR=0解得，R=32V π，从而h=2V Rπ=23()2VV ππ=34V π=23V π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

《导数的应用举例》课件

导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
感谢您的观看
汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在某点处的极值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
极值的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最小值，解决实际问题
导数在物理中的应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导数是描述函数在某一点处变化率的概念，可以用于描述物体在某一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近似
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题导数在经济学中的应用：求解边际效益导数在经济学中的应用：求解边际成本导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等

数学14导数在实际生活中的应用课件苏教版选修22

导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.
1.几何方面的应用 (面积和体积等的最值)
2.物理方面的应用 (功和功率等最值)
3.经济学方面的应用 (利润方面最值)
三、新课讲授 1.几何方面的应用：
例1 ：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
因此，16000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是 16000cm3 .
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S=2πRh+2πR2
由V=πR2h，得 h V ，则
R2
S(R)
2
即可。
三、新课讲授 2.物理方面的应用：
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为 r，电动势为ε，外电阻Ｒ为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少?
rε
R
解：电功率P＝I2R，其中I＝E/(R+r) 为电流强度，则
P＝[E/(R＋r)]2R= E2R/(R＋r) 2
P
'
(E2R)
'(R
r)2 (R
从而，P
点的总照度为
Ix
8k x2
k
3 x2
0
x
3.
由I
x
16k x3
3
2k x
3
18k
x
2 x2 x33
6x
x3
12
0
解得x=2,故当0<x<2时，Ix 0;当2 x 3时, I(x) 0.

北师大版高中数学选修2-2《导数的实际应用》第二课时教案-新版

第二课时导数的实际应用（二）一、教学目标：1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程：（一）．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（二）．新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：（三）．典例分析例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x=++-=++>。

求导数，得'2512()2S x x =-。

令'2512()20S x x=-=，解得16(16x x ==-舍去）。

于是宽为128128816x ==。

当(0,16)x ∈时，'()S x <0；当(16,)x ∈+∞时，'()S x >0.因此，16x =是函数()S x 的极小值，也是最小值点。

高二数学(选修-人教B版)-导数的实际应用-2PPT

x
解：如图所示，设断面宽度为 x ，高为h ,则 d 2 h2 x2
横梁的强度函数为
f ( x) kxh2（k 为强度系数，k 0）所以 f ( x) kx(d 2 x2 )(0 x d )
d h
x
解：如图所示，设断面宽度为 x ，高为h ,则 d 2 h2 x2
横梁的强度函数为
即x 3 d 时，f ( x) 取最大值.这时 h d 2 x2 6 d
3
3
即当宽为
3d 3
时，高为
6 d 时，横梁的强度最大. 3
例4 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为 h ，底半径为 R，则表面积
R
S 2πRh 2πR2
x
解：设版心的高为 x ，则版心的宽为 128 ，
x
四周空白面积为
x 128
S( x) ( x 4)(128 2) 128
1
x
2
2x 512 8( x 0)
x
解模
解：设版心的高为 x ，则版心的宽为 128 ，
x
四周空白面积为
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
所以
S ( R )
2V R2
4πR
解方程
2V R2
4πR
0
得 R3 V
2
所以
V 当 x (0 ，3
)时，S(R) 0 ，S(R) 单调递减；
2π
当 x(
V
3
，)π
所以 R 3 V 是函数在(0，)极小值点,且是区间上唯一的 2π
极小值点.
所以当 R 3 V 时，S(R) 取最小值. 2π

人教版高中选修(B版)2-21.3.3导数的实际应用教学设计 (2)

人教版高中选修(B版)2-21.3.3 导数的实际应用教学设计一、教学目标1.了解导数的基本概念和求导方法；2.理解导数在实际应用中的意义和作用；3.能够运用导数解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和求导方法；2.导数在实际应用中的意义和作用；3.导数的实际应用举例。

三、教学方法1.讲授法：通过课堂讲授掌握基础概念和求导方法；2.问题导入法：通过引入实际问题导入，引发学生的兴趣并加深对导数的理解；3.分组探究法：通过分组合作，团队合作解决实际问题，增强合作意识，培养实际解决问题的能力；4.讨论法：通过讨论，深化对导数在实际应用中的理解。

四、教学重点和难点1.教学重点：导数的概念和求导方法，导数在实际应用中的意义和作用；2.教学难点：如何运用导数解决实际问题。

五、教学过程设计1. 导入（5分钟）通过引入实际问题，如汽车行驶中的加速度、弹簧自由振动等，引发学生对导数的兴趣，加深对导数的理解。

2. 讲授导数的概念和求导方法（10分钟）讲解导数的概念，刻画导数的几何意义，讲解导数的计算方法。

3. 分组探究导数的实际应用（20分钟）将学生分成小组，每组给出一个实际应用问题，让学生通过合作讨论，解决问题并展示给所有的学生，其他学生需要提出问题或建议。

例如：问题1：假如车速仪表是恒定的，用车速仪表中的读数作为车速，那么误差大小是多少？司机行驶一辆车，要求计算车速仪表的误差大小。

问题2：山顶上的标准重力加速度为9.8m/s2，端点高度为3000m的斜面为直角三角形，一铅球从山顶垂直落下并在斜面上滚动，求铅球运动学参数。

4. 讨论导数在实际应用中的作用（10分钟）通过讨论，总结导数在实际应用中的作用，如加速度的概念和计算、最大值和最小值的求解、曲线切线问题的求解等。

5. 总结与展望（5分钟）总结本节课的内容和重点，展望下节课的教学内容和目标。

六、教学反思通过本节课的设计，使学生加深了对导数的理解，并掌握了求导的方法。