赤峰市中学数学骨干教师培训班

高观点下的中学数学

◇ 宁城县教研室赵国义

内容提要：

一、实践的观点；

二、现代数学的观点；

三、对称的观点；

四、站在系统高度的观点。

关键词：现代数学、实践、对称、系统高度。

现代数学对数学教师的素质提出了更高的要求，尤其在知识素养方面。因为精深的知识是教师在教学中顺利完成教学任务的基本条件，为了掌握精深的专业知识，教师必须钻研所教学科，精通其基础知识，熟悉其基本结构及各部分之间的内在联系，了解学科的历史发展、现实状况、发展动向及最新研究成果。形成较全面、系统、完善的专业知识体系。因此教师的专业知识无论在深度和广度上都必须远远超过教学大纲的要求。教师对所教学的专业知识越精深，对教材的理解才能透彻，处理教材才能灵活、准确、深入浅出。如果教师所掌握的只是教材上的那点知识，不进行专业知识的探索研究，甚至显露出对所教学学科专业知识的无知，浅薄的错误，那么他就失去了做教师的资格。学生可以原谅教师的严厉、盲从刻板，甚至吹毛求疵，但却不能原谅教师的不学无术。所以中学数学教师应该具有精深的、系统的专业知识，有较高的认识问题的观点，才能适应现代教学的要求。

一、实践的观点

这里，我们展示一个学生对教材的一个习题的认识。

例1．某采石厂爆破时，为了确保安全，点燃炸药导火线后，要在炸药爆破前转移到400米以外的安全区域；导火线燃烧的速度是1厘米/秒，人离开的速度是5米/秒，导火线至少需要多长？（初中代数第一册（下）P73 人民教育出版社）

这是一道解不等式的应用题，学生的解法如下：

设导火线至少需要米长. (1)01.0x ＞5400 (2)01.0x ≥5

400 (3)01.05x x ≥400 列出(1)式的学生认为，人要转移到来400米以外的安全区域, 所以应用“＞”号， 列出(2)式的学生认为问的是导火线至少需要多长，所以应用“≥”号；列出(3)式的大多是平时成绩比较好的学生，他们考虑问题严谨，认为还需要考虑导火线的长度，最后的答案也是绝对正确：导火线至少需要501

400米。 由此引起了一些教师的争论，意见也不一致，取号“＞”者抓住了“以外”，取“≥”号者坚持“至少”。有人认为这两种情况都算对，便马上遭到反对：同一个数学问题，出现两种不同的结果，必然一对一错；也有的老师认为这个题意不明确，孰是孰非，谁也说服不了谁。

制造炸药的厂家会有这样的问题吗？点燃炸药的人会这样想吗？他们会感到不好解吗？他们会感到题意不明吗？恐怕不会，那么为什么我们的学生、老师会有这样的问题呢？

事实上，我们可以清楚看到，在实际生活中人们运用数学处理问题时还常常伴随着“估算”和“逼近”的做法，而我们的学生、教师则习惯于“书本数学”、“学校数学”，纯粹是为了做数学题而做数学题，即使是应用题，也很少考虑实际需要，仅仅从形式上追求逻辑上的严谨，死抠一些字眼“以外”、“至少”，并不考虑其在实际中的价值，把“书本数学”、“学校数学”与实际需要完全隔离开来。

我们在培养学生分析问题和解决问题能力的同时，应该努力引导学生将书本知识与实际生活联系起来，也就是说，我们一方面要培养学生数学地看待现实生活问题；另一方面，也要培养他们能从现实的角度去看待数学，运用数学。否则，如果不把应用问题与实际背景结合进来，即使增加些应用题的训练，也未必真正地使学生形成用数学的意识。

例2．今有一控制室，欲知道X 、Y 、Z 三条导线的电阻。这三条导线，一端在控制室，另一端在楼上同一地点。现手头有一只电表可在控制室内测量电阻，试设计一种数学方法求三根导线的电阻。

解：只需将X ，Y ；Y ，Z ；Z ，X 在楼上的一端两两接上，以形成闭合电路，在控制室量出它们的电阻为

解此方程即可得

2

,

2

,

2

α

γ

β

γ

β

α

β

γ

α-

+

=

-

+

=

-

+

=Z

Y

X

说明：这是上海某宾馆中的一个实例，很有启发性。它不是单纯地要求解现成的方程，而更重要的是用方程观点来观察和解决问题。

二、现代数学的观点

众所周知，教学大纲和教材是教学的主要依据，教师能否通晓并驾驭教材，则是提高教学质量的一个关键。实践证明，只要运用现代数学的观点，才能高屋建瓴握教材。

例3．在中学平面几何课本中对于构造一个命题的逆命题是这样写的：设原命题是“若A则B”，那么逆命题是“若B则A”。

如命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”。现在的问题是当一个命题的题设或结论所含的事项不止一条时，制造它的逆命题便有所不同了。如“在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行”，用数学符号写成：

它的逆命题是或

而未闻以与交换后作为逆命题的说法。

通过数理逻辑的学习，澄清了逆命题制作中的混乱和分歧：制作逆命题时要在原命题的题设和结论中各取出一般多条的事项交换【1】。

同时我们建议课本将“每个命题都是由题设和结论两部分组成”改为“许多命题都是由题设和结论两部分组成”。按现行教材命题都可写成“如果…，那么…”的形式。事实上并非都是如此，命题“△ABC是直角三角形”就不能写成“如果…，那么…”的形式。由现代逻辑我们知道，特称直言命题都不能写成条件命题的形式，即“如果…，那么…”的形式。集合｛｝不是完备的联结词集。这从理论上说说明了并非每个命题都是条件命题。

例4．高中课本有这样一道题：判断命题“复数集C与复平内所有向量的集合一一对应”的真假，并说明理由。

答好这道题，无疑是对加深无穷集合、一一对应等要概念的理解，但是从80年代初课本引入这道以来，与之配套的教学参考书的答案一直是“假，因为实际上是复数集C与复平面内所有以原点为起向量所成的集合一一对应”。为什么众多高等数学教材早就明确指出同方向，等长度的向量不加区别地看成同一向量的情况下，还会错近20年？足见传统的、静态、绝对主义的数学观影响之深。其实，现代数学抽象地将向量定义为同方向、等长度的有向线段的一个等价类，这和坐在教室里上课的张三同学与在足球场上踢球的张三同学是同一个人，没有什么两样。

例5．函数的概念。初中课本将函数描述性地定义为两个变量间的一个对应：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内每确定一个值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应。到了高中学了映射后，对函数概念的描述有了进一步的深化。

我们在听课中了解到，一些数学教师死抠“定义”中“两个变量”、“唯一确定”的字眼，竟用这样的题来“考查”学生对函数概念的理解程度：

判断下列式子是不是函数：①三角形面积ah

S

2

1

=，②x

y=

2。答案都不是，前者是因为有两个自变量a、h，后者是因为对于一个x有两个不同的y值与之对应。事实上，中学对于函数的定义仅仅是描述性的，这样符合学生认知规律。但我们不能据此来“咬文嚼字”来“考查”学生。因为根据现代数学观点，函数不仅有单变量函数，还有多变量函数；不仅有单值函数，还有多值函数。

例6．为什么要把“0”作为一个自然数？

现在已明确地把数“0”作为一个自然数，为什么？如果把这看成一个规定，就是说，可以把“0，1，2，…n，…”作为自然数，也可以把“1，2，…n，…”作为自然数。显然，这样的“解释”是不够的。

首先是自然数的功能，自然数具有三个基本功能，一是刻划某一类“东西”的多少，用现代的数学语言来说就是描述一个有限集合的基数；二是刻划一类“事物”的顺序，第一、第二、……，用现代数学语言来说，描述a⊥c

b⊥c a∥b

a∥b

b⊥c a⊥c

a∥b

a⊥c b⊥c

a⊥c

b⊥c

a∥b

X+Y=α

Y+Z=β

Z+X=γ