第五章 离散化设计方法

满足输入的要求 与 Gc ( z ) 相匹配
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由
可得 从而
Gc ( z ) Ge ( z ) 1 a 0.5824,b0 1,b1 0.4176
Gc ( z ) 1.5826(1 0.3687 z 1 ) D( z ) Ge ( z ) HG ( z ) (1 0.4176 z 1 )
从而
1 Ge ( z ) z 1 D( z ) Gc ( z ) HG ( z ) (1 z 1 ) HG ( z )
调节时间为T
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对于单位速度系统 1 2 Ge ( z ) (1 z ) , 1 2 Gc ( z ) 1 Ge ( z) 2 z z 从而
从而得到 D ( z )
1
1
Gc ( z ) 0.5457(1 0.6065 z 1 )(1 0.0067 z 1 ) D( z ) Ge ( z ) HG ( z ) (1 0.597 z 1 )(1 0.5355 z 1 )
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最后，对 D ( z ) ，根据Y ( z ) Gc ( z ) R( z ) 进行仿真，可 以调节 D ( z )和 Gc ( z )的传递函数，以及采样周期T
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有限拍数字控制系统的设计
对于
HG ( z )
可以设计控制器
z r (1 zi z 1 )
i 1 1 (1 p z ) i i 1 n n
l
D( z )
z r (1 pi z 1 )Gc ( z )
1 (1 z z i )Ge ( z) i 1 i 1 l
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可以看出 D ( z )主要与三者，即对象 HG ( z ) ，闭环 Gc ( z )，和误差 Ge ( z )相关； 有限拍的控制目标是时间最优，即使得系统误差 为零或恒定的调节时间最短；
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对于
E ( z ) e(kT ) z k
i 1

e(0) e(T ) z 1 e(2T ) z 2
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例题： 设有限拍随动系统的对象特性为 10 G( s) s(1 s)(1 0.1s)
s H ( s ) (1 e ) s ，采样周期为 零阶保持器特性为 0 T 0.5s，试设计单位阶跃输入时的有限拍调节器。
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求出 HG ( s ) HG ( z )
1 e Ts 10 HG ( z ) Z s (1 s )(1 0.1s ) s 11 100 9 1 9 s 10 Z (1 e ) 2 s 1 s 10 s s 0.7385 z 1 (1 1.4815 z 1 )(1 0.05355 z 1 ) (1 z 1 )(1 0.6065 z 1 )(1 0.0067 z 1 )
Y ( z)
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采样无差亦即保证了 E1 ( z ) Ge ( z ) z 1的有限次多式 R( z ) 但不能保证 E2 ( z )也为 z 1的有限次多项式，因为 E2 ( z ) D( z ) E1 ( z ) D( z )Ge ( z ) R( z )
Gc ( z ) Gc ( z ) HG ( z )
五. 计算机控制的离散化设计方法
连续化设计方法是沿用了模拟控制系统的基本理论 和校正技术；离散化设计方法是直接根据被控对象 特征和系统所要求的性能指标，直接在Z域内进行全 数字化设计，直接离散化的设计方法是基于某一个 主要目标来进行的，如时间最优，误差最小，能量 最优等；最基本和典型的方法有 1. 有限拍的设计方法 2. 离散状态空间设计方法 模糊方法，大多数的智能控制，自学习以及许多的 目前控制系统中使用的方法都是直接数字化的方法
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三. 有限拍数字无纹波控制器的设计
有限拍系统采用 Z 变换方法进行设计，只能做到在 采样点上的误差为零，不能保证在两个采样点之间 的误差也为零，这就形成了纹波，纹波造成了系统 误差，功率损耗和器件的磨损等。
Gc ( z )
D( z )
R( s)
E1 ( z )
E2 ( z )
H 0 (s)
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G (s)
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选择 Gc ( z ) ，以对消 HG ( z )分子项 z r，以及单位圆外 的零点 z 1.4815 ， Gc ( z ) az 1 (1 1.4815z 1 ) 选择 Ge ( z ) ，以
Ge ( z ) 含有(1 z 1 ) ； 对阶跃输入，满足无静差要求， 对消 HG ( z )中的不稳定极点； 要与 Gc ( z ) 同阶；
因此可选择 Ge ( z ) (1 z 1 )(b0 b1z 1 )
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根据
可以求得 进而得到
Gc ( z ) Ge ( z ) 1 a 0.403,b0 1,b1 0.597
Gc ( z ) 0.403z (1 1.4815z ) 1 1 Ge ( z) (1 z )(1 0.597 z )
e(kT ) z k
目的是使 k N，其中 N是某正整数； M m ，其中F ( z )不含 若选择 Ge ( z ) (1 z 1 )M F ( z) ， 1 1 (1 z ) z 有 因子，是 的有限多项式；
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对于单位阶跃系统
Ge ( z ) 1 z 1, 1 Gc ( z ) 1 Ge ( z ) z
1 Ge ( z ) 2 z 1 z 2 D( z ) Ge ( z ) HG( z ) (1 z 1 ) 2 HG( z )
调节时间为 2T
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若 HG ( z )是最小相位系统，这上述方法完全成立， 无需修正就可以直接使用。当然，使用要结合系统 的具体情况。从上面的分析可以看出有限拍的一个 基本方法，具体的设计还与 HG ( z ) 的情况有关，不 同的情况需要不同的设计。
并有Gc ( z ) D( z ) HG( z )Ge ( z ) ，可以看出， HG ( z ) ， Gc ( z ) ， Ge ( z )， D ( z )的关系是设计有限拍系统的基础。
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几点说明
D ( z )分子中不能含 z r，所以HG ( z ) ，分子若有z r ， 用 Gc ( z ) 来对消； D ( z )不能含有不稳定极点，所以 HG ( z ) 中若含有单 位圆外的零点 zi ，( zi 1 除外)，用 Gc ( z )的零点来 对消； zi 1 Gc ( z )必须稳定，即 HG ( z )所有不稳定极点， 除外，用 Ge ( z ) 中的零点来对消；
这时
E2 ( z) D( z)Ge ( z) R( z) 1.5826 0.5824 z 1 一拍就可以使 E2 ( z )为零。
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3
闭环传递函数为 Y ( z) D( z ) HG( z ) Gc ( z ) R( z ) 1 D( z ) HG( z ) 误差传递函数为 E( z) 1 Ge ( z ) R( z ) 1 D( z ) HG( z )
从而可以得到控制器为 Gc ( z ) D( z ) Ge ( z ) HG ( z )
1
有限拍控制的基本原理
考虑如下的单位反馈系统
HG ( z )
D( z )
R( s)
H 0 (s)
G (s)
Y ( z)
讨论 R( z ),Gc ( z )( ( z )),Ge ( z )(e ( z )),HG( z ),D( z ) 的 特点与相互关系。
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典型输入
一般情况下考虑典型输入 r (t ) 2 r (t ) 1 At 1 A2t 从而 Z 变换具有如下形式 B( z ) R( z ) (1 z 1 )n
1 (1 p z ) i i 1
n
z r (1 zi z 1 )
i 1
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l
不能够保证分子被分母在有限项被整除。
为了使 E2 ( z )为 z 1的有限次多项式，可以在 E2 ( z ) 中去掉分母即可以，具体方法是用 Gc ( z ) 的零点去 全部对消 HG ( z )中的全部零点，而不仅仅是不稳 定零点，其他方法与有纹波的有限拍设计方法相 同；
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例题：对于一个单位反馈系统，对象的特性为 10 G( s) s(0.1 s)
T 0.1s ，试设计单位阶跃输入时的 采用零阶保持器， 有限拍无纹波调节器 D ( z )
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首先，计算
1 eTs 10 HG ( z ) Z s s (0.1s 1) 1 1 0.368 z (1 0.717 z ) (1 z 1 )(1 0.368 z 1 ) 因此，取 Gc ( z) az 1 (1 0.717 z 1 ) 1 1 Ge ( z ) (1 z )(b0 b1z )