第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 课下作业

第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算

1.①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同． ②若|a |＝|b |，则a ＝b .

③若A B

＝D C ，则四边形ABCD 为平行四边形．

④在▱ABCD 中，一定有A B

＝D C .

⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .

其中不．正确的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．|a |＝|b|，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．正确的是③④⑤. 答案：B

2．判断下列命题是否正确，不正确的说明理由． (1)若向量a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ；

(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； (5)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．

解：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确．

(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能判断方向． (3)正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件可得a ＝b . (4)不正确．由零向量性质可得0与任一向量平行，可知(4)不正确． (5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的．

3.若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①A B ＋D C ＝B C ＋D A

；②A C

＋B D ＝B C ＋A D ；③A C －B D ＝D C ＋A B

.其中正确的有 ( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：①式的等价式是A B －B C ＝D A －C D ，左边＝A B ＋C B ，右边＝D A

＋D C

，不一定相等；

②式的等价式是A C －B C ＝A D －B D ，A C ＋C B ＝A D ＋D B ＝A B

成立；

③式的等价式是－D C ＝A B ＋B D ，A D ＝A D

成立．

答案：C

4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量C D

＝ ( )

A ．－

B

C ＋1

2B A B ．－B C －12

B A

C ．B C －12B A D. B C ＋12

B A

解析：C D ＝C B ＋B D ＝－B C ＋12

B A

.

答案：A

5．(2009·安徽高考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若A C

＝λA E ＋μA F

，其中，λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.

解析：如图，∵ABCD 为▱，且E 、F 分别为CD 、BC 中点．

∴A C ＝A D ＋A B

＝(A E －D E )＋(A F －B F ) ＝(A E ＋A F )－12(D C

＋B C )

＝(A E ＋A F )－12

A C ， ∴A C ＝23

(A E

＋A F )，

∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝4

3.

答案：4

3

6．如图，若四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M 、

N 分别是DC ，AB 的中点，已知＝a ，A D

＝b ，D C ＝

c ，试用a ，b ，c 表示B C ，M N ，D N

＋C N .

解：A B ＝B A ＋A D

＋D C ＝－a ＋b ＋c .

∵M N ＝M D ＋D A ＋A N ，

M N ＝M C ＋C B ＋B N

，

∴2M N ＝M D ＋D A ＋A N ＋M C ＋C B ＋B N ＝D A ＋C B ＝－A D

＋C B

＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c ，

∴M N ＝12a －b －12

c .

D N ＋C N ＝D M ＋M N ＋C M ＋M N

＝2M N

＝a －2b －c .

7.(2009·湖南高考)b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：由a ＋b ＝0知道a 与b 互为相反向量，从而a ∥b ，充分性成立. 由a ∥b 知a ＝λb.λ≠－1时，a ＋b ≠0，∴必要性不成立． 答案：A

8．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 1、b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示另一组基向量a 、b 的线性组合，则e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解析：设e 1＋e 2＝xa ＋yb ， 即e 1＋e 2＝(x －y )e 1＋(2x ＋y )e 2.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x －y ＝1，2x ＋y ＝1.

∴x ＝23，y ＝－13.

答案：23 －1

3

9.非零不共线向量O A 、O B ，且2O P ＝x O A ＋y O B ，若P A ＝λA B

(λ∈R)，则点

Q (x ，y )的轨迹方程是 ( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x ＋y －2＝0

解析：P A ＝λA B

，得O A －O P ＝λ(O B －O A )， 即O P ＝(1＋λ) O A －λO B .

又2O P ＝x O A ＋y O B ，