高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

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高中数学圆的方程经典例题(含详细解析)

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(ra r a 解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13124-=--=AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(r b y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．例4、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ．则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为52b a d -=∴2225b a d -=abb a 4422-+=)(242222b a b a +-+≥1222=-=a b当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ．这时有⎩⎨⎧=-=1222a b b a ∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r 故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-．∴2225544d bd b a +±=．将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ．将55=d 代入方程得1±=b ．又1222+=a b ∴1±=a ．由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y即 01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． ∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程．解：设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2， ∴()22|31|21k k k -+=+-，解得34k =-，∴切线方程为31(3)4y x -=--，即34130x y +-=，当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为3x =，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x =也适合题意。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切得，|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－23x ＋2＝0B ．(x －3)2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＋23x ＋2＝0D ．(x －3)2＋y 2＝3[答案] D[解析] 双曲线右焦点F (3,0)，渐近线方程y ＝±22x ，故圆半径r ＝3，故圆方程为(x－3)2＋y 2＝3.2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) [答案] B[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2[答案] A[解析] ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13D ．－15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] ∵方程表示圆∴16m 2＋4－20m >0，∴m <14或m >1.5．已知f (x )＝(x －1)(x ＋2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(0，2)D ．(0，22) [答案] A[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0)，B (－2,0)，与y 轴交于点C (0，－2)，设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，a )，易知a ＝1.6．(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，若直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值πB ．有最小值πC ．有最大值4πD ．有最小值4π[答案] D[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切，所以圆心C 到点F 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2＝4y ，设C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 024，∵⊙C 过点F ，∴半径r ＝|CF |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎫x 024－12＝x024＋1，直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0，x 024到直线3x －4y ＋20＝0的距离d ＝|3x 0－4×x 024＋20|5≤x 024＋1，解得x 0≥103或x 0≤－2，从而得圆C 的半径r ＝x 024＋1≥2，故圆的面积有最小值4π. 7．(文)已知a ≠b ，且a 2sin θ＋a cos θ－π4＝0，b 2sin θ＋b cos θ－π4＝0，则连结(a ，a 2)，(b ，b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] ∵A (a ，a 2)，B (b ，b 2)都在直线x cos θ＋y sin θ－π4＝0上，原点到该直线距离d ＝⎪⎪⎪⎪－π4sin 2θ＋cos 2θ＝π4<1，故直线AB 与单位圆相交．(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163 C.473D ．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝⎛⎭⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝(－4－0)2＋⎝⎛⎭⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.8．(2010·吉林省质检)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0表示圆， ∴4＋36－20a >0，∴a <2，又圆关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形， ∴圆心(1，－3)在直线上，∴－3＝1＋2b ，∴b ＝－2，∴a －b <4. 9．(文)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx－3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 [答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.10．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x＋22y ≥22x＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝⎛⎭⎫12，－14的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 二、填空题11．(文)(2010·金华十校)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 [解析] 设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.(理)已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是________________．[答案] (x －4)2＋y 2＝16[解析] 由抛物线的性质知，A ，B 两点关于x 轴对称，所以△OAB 外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A 点在第一象限，则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立，且f (4)＝1，若f (x 2＋y 2)≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________．[答案] 6－4 2[解析] 依题意得，f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵f (x 2＋y 2)≤1，f (4)＝1，∴f (x 2＋y 2)≤f (4)， ∴x 2＋y 2≥4，又因为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，(x ＋1)2＋(y ＋1)2可以看作是点(x ，y )到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r －|OC |)2＝(2－2)2＝6－4 2.13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6，∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x 241＋y 216＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程为________．[答案] (x －5)2＋y 2＝16[解析] 由c 2＝41－16＝25得c ＝5，∴椭圆右焦点F 2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，∴圆半径r ＝|4×5＋0|42＋32＝4，∴圆方程为(x －5)2＋y 2＝16. 14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是______．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∵圆x 2＋y 2＝r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |＝2 2. 三、解答题15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴过点A 的圆的切线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，过点A 的圆的切线OA ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d ·|AO |＝12. 16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m <3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m <3) 将点A 的坐标代入圆C 的方程得，(3－m )2＋1＝5 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5 ∵m <3，∴m ＝1∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切依题意设直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5 ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112，或k ＝12当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0) ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12 ＝52＋2＝6 2∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为A (p ，q )，则圆C 的方程为(x －p )2＋(y －q )2＝8. ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O ， ∴O 在圆C 上，且直线OA 垂直于直线y ＝x .于是有⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＝8p q＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2q ＝2. 由于点C (p ，q )在第二象限，故p <0. 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)∵椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a ＝10，∴a ＝5.故椭圆右焦点为F (4,0)．若圆C 上存在异于原点的点Q (x 0，y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，则有|QF |＝|OF |，于是(x 0－4)2＋y 02＝42，且x 02＋y 02≠0①由于Q (x 0，y 0)在圆上，故有(x 0＋2)2＋(y 0－2)2＝8.②解①和②得⎩⎨⎧x 0＝45y 0＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.17．(文)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32，由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线PQ 方程为y ＝－x ＋1.(理)已知动圆P 与定圆B ：x 2＋y 2＋25x －31＝0内切，且动圆P 经过一定点A (5，0)． (1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在曲线E 上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围． [解析] (1)定圆B 的圆心B (－5，0)，半径r ＝6， ∵动圆P 与定圆B 内切，且过A (5，0)， ∴|P A |＋|PB |＝6.∴动圆圆心P 的轨迹E 是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝6，a ＝3，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝4. ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由DM →＝λDN →，可得(x 1，y 1－3)＝λ(x 2，y 2－3)，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λ(y 2－3)＋3.∵M ，N 在动点P 的轨迹上，∴⎩⎨⎧(λx 2)29＋(λy 2＋3－3λ)24＝1x 229＋y224＝1，消去x 2得，(λy 2＋3－3λ)2－λ2y 224＝1－λ2.解得y 2＝13λ－56λ(λ≠1)或λ＝1.①当λ＝1时，M 与N 重合，DM →＝DN →，满足条件．高考总复习含详解答案 ②当λ≠1时，∵|y 2|≤2，∴⎪⎪⎪⎪13λ－56λ≤2，解得15≤λ≤5，且λ≠1. 综上可得λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤15，5.。

高中圆的方程基础练习题及讲解

高中圆的方程基础练习题及讲解### 高中圆的方程基础练习题及讲解#### 练习题一题目：已知圆心在原点的圆的方程为 \(x^2 + y^2 = r^2\)，求半径为3的圆的方程。

解答：将 \(r = 3\) 代入圆的标准方程，我们得到：\[ x^2 + y^2 = 3^2 \]\[ x^2 + y^2 = 9 \]这就是半径为3的圆的方程。

#### 练习题二题目：圆 \(x^2 + y^2 + 6x - 8y + 20 = 0\) 与直线 \(x + y - 1 = 0\) 相切。

求圆的半径。

解答：首先，将圆的方程化为标准形式：\[ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 \]\[ x^2 + 6x + y^2 - 8y + 20 = r^2 \]\[ x^2 + y^2 + 6x - 8y = r^2 - 20 \]由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径。

圆心坐标为\((-3, 4)\)，直线方程可以写成 \(y = -x + 1\)。

使用点到直线距离公式：\[ \text{距离} = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]将距离等于半径代入：\[ r = \frac{|-3 + 4 - 1|}{\sqrt{2}} \]\[ r = \frac{1}{\sqrt{2}} \]#### 练习题三题目：已知圆 \(x^2 + y^2 = 1\) 与直线 \(y = x + b\) 相切，求\(b\) 的值。

解答：由于圆与直线相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，即1。

圆心坐标为 \((0, 0)\)，直线方程可以写成 \(x - y + b = 0\)。

使用点到直线距离公式：\[ 1 = \frac{|0 - 0 + b|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \]\[ 1 = \frac{|b|}{\sqrt{2}} \]解得：\[ b = \pm \sqrt{2} \]#### 练习题四题目：求圆 \(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0\) 的圆心坐标和半径。

圆的方程高中数学例题课后习题详解

第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上．把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上（图2.4-2）．图2.4-2例2ABC 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC 的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a ，b ，r ，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩即22222222210226,14658,41668,a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2a ，2b ，2r ，得到关于a ，b 的二元一次方程组28,1.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解此方程组，得2,3.a b =⎧⎨=-⎩代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =．所以，ABC 的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．例3已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=，求此圆的标准方程．分析：设圆心C 的坐标为(,)a b ．由已知条件可知，||||CA CB =，且10a b -+=．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b ．因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=．①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB ==，即330a b --=②由①②可得3a =-，2b =-．所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．解法2：如图2.4-3，设线段AB 的中点为D ．由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(22)-，可得点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321AB k --==--．因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组330,10x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解这个方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．图2.4-3练习1.写出下列圆的标准方程.（1）圆心为()3,4C -，半径是；（2）圆心为()8,3C -，且经过点()5,1M --．【答案】（1）（x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C （﹣3，4）x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C （﹣8，3），且经过点M （﹣5，﹣1），故半径为MC ==5，故圆的标准方程为（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．2.已知圆的标准方程是()()223216x y -++=，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）()14.30, 5.72M -；（2）()25.70,1.08M ；（3）()33,6M -．【答案】（1）1M 在圆内；（2）2M 在圆外；（3）3M 在圆上.【解析】【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）22(4.303)(5.722)15.528416-+-+=< ，1M ∴在圆内；（2）22(5.703)(1.082)16.776416-++=> ，2M ∴在圆外；（3）22(33)(62)16-+-+= ，3M ∴在圆上.3.已知()14,9P ，()26,3P 两点，求以12PP 为直径的圆的方程，并判断点()6,9M ，()3,3N ，()5,3Q 与圆的位置关系．【答案】点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【解析】【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心()5,6C ．直径12PP ==．故所求圆的方程为()()225610x y -+-=．CM r == ，∴点M在圆上；CN r => ，∴点N 在圆外；3CQ r =< ，∴点Q 在圆内．综上：点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.4.已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【答案】()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可确定圆的直径为AB ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为52OC =，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=.2.4.2圆的一般方程例4求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点O ，1M ，2M 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=．①因为O ，1M ，2M 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解这个方程组，得8,6,0.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,3)-，半径5r ==．例5已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．分析：如图2.4-4，点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=．建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以利用点A 的坐标所满足的关系式得到点M 的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．图2.4-4解：设点M 的坐标是(),x y ，点A 的坐标是()00,x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以042x x +=，032y y +=．于是有024x x =-，023y y =-．①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即()220014x y ++=．②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理，得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是点M 的轨迹方程，它表示以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆．练习5.求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）2260x y x +-=；（2）2220x y by ++=；（3）222230x y ax a +--+=．【答案】(1)圆心为(30)，，半径为3；(2)圆心为(0)b -，，半径为b ;(3)圆心为()a ，半径为a .【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心为(30)，，半径为3；(2方程2222220()x y by x y b b ++=⇒++=，所以圆心为(0)b -，，半径为b ；(3)方程222222230()()x y ax a x a y a +--+=⇒-+-=，所以圆心为()a ，半径为a ；6.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）220x y +=；（2）222460x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）由方程可得0,0x y ==；（2）化简可得()()221211x y -++=可判断；（3）化简可得()2222x a y a b ++=+，分0a b ==和0a ≠或0b ≠时讨论可得.【详解】（1） 220x y +=，0,0x y ∴==，故220x y +=表示点()0,0；（2）222460x y x y +-+-=可化为()()221211x y -++=，所以方程222460x y x y +-+-=表示以()1,2-为半径的圆；（3）22220x y ax b ++-=可化为()2222x a y a b ++=+，当0a b ==时，方程22220x y ax b ++-=表示点()0,0，当0a ≠或0b ≠时，方程22220x y ax b ++-=表示以(),0a -为半径的圆.7.如图，在四边形ABCD 中，6AB =，3CD =，且//AB CD ，AD BC =，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径长为8.【解析】【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将A,B,C 三点坐标代入求解即可.【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则9309309393042D F D F D E F ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++++=⎩.解得0349D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为223904x y y +--=,其圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,3658=.习题2.4复习巩固8.求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）22250x y x +--=；（2）222440x y x y ++--=；（3）2220x y ax ++=；（4）222220x y by b +--=．【答案】(1)圆心(10)，，半径r =，图见解析；(2)圆心(12)-，，半径3r =，图见解析；(3)圆心(0)a -，，半径r a =，图见解析；(4)圆心(0)b ，，半径r =，图见解析；【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程2222250(1)6x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为(10)，，如图；(2方程22222440(1)(2)9x y x y x y ++--=⇒++-=，所以圆心为(12)-，，半径为3，如图；(3)方程2222220()x y ax x a y a ++=⇒++=，0a ≠所以圆心为(0)a -，，半径为a ；不妨设=2a ，如图；(4)方程222222220()3x y by b x y b b +--=⇒+-=，0b ≠所以圆心为(0)b ，；不妨设=1b ，如图；9.求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3C -，且过点()5,1A ；（2）过()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -三点．【答案】（1）22(8)(3)25x y -++=（图见解析）（2）2242200x y x y +---=（图见解析）【解析】【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径5r ==,所以圆的方程为：22(8)(3)25x y -++=.（2）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=.将()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -代入得：1+255042525550236462020D E F D D E F E D E F F -++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++-+==-⎩⎩所以圆的方程为：2242200x y x y +---=.10.已知圆C 经过原点和点()2,1A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程．【答案】22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()2222220021210a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--=⎪⎩，解得2651102920a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，因此22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.圆C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1A -和()1,3B 两点，求圆C 的方程．【答案】()22210x y -+=【解析】【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C 的圆心坐标为()C a ，0，半径为r ，则圆C 的标准方程为：222()x a y r -+=，有{222222(1)1(1)3a r a r --+=-+=，解得2210a r ==，，所以圆C 的标准方程为：22(2)10x y -+=综合运用12.已知圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．求证：此圆的方程是（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴圆心为C （122x x +，122y y +），半径为2AB =∴此圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+()()22212121224x x y y y y y -+-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即x 2–（x 1+x 2）x +()2124x x ++y 2–（y 1+y 2）y +()()()22212121244y y x x y y +-+-=，即x 2–（x 1+x 2）x +x 1•x 2+y 2–（y 1+y 2）y +y 1•y 2=0，即（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.平面直角坐标系中有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,2D -四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【解析】【分析】以、、A B C 三点，求出圆的方程，再将点D 代入即可得出答案.【详解】设过、、A B C 三点的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.将、、A B C 三点代入得：1+02412069163405E F D D E F E D E F F +==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩.所以圆的一般方程为222650x y x y +--+=.将点()1,2D -代入得：22(1)22(1)6250-+-⨯--⨯+=，满足方程.所以四点在同一个圆上.14.已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以()4,2为圆心，半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆【解析】【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y，腰长为r ==，∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以()4,2为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15.长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.【解析】【分析】设AB 的中点坐标为（x ，y ），当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB 的中点P （x ，y ），若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP 12=AB ，而AB ＝2a ，∴OP ＝a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2＝a 2（a ＞0）；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．故线段AB 的中点的轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.拓广探索16.已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心2为半径的圆【解析】【分析】设出点M ,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点(,)M x y .则12MO MA==，化简得：2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以(1,0)-为圆心2为半径的圆.17.在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标(),x y 满足cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为参数．证明：点P 的轨迹是圆心为(),a b ，半径为r 的圆．【答案】证明见解析.【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩可得cos sin x ary b r θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为22cos sin 1θθ+=，所以221x a y b r r --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222()()x a y b r -+-=，所以点P 的轨迹是圆心为(,)a b ，半径为r 的圆.。

高中数学人教A版必修2 第四章圆与方程高考复习习题(解答题201-300)含答案解析

高中数学人教A 版必修2 第四章圆与方程高考复习习题（解答题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B （,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点,M N ，（O 为坐标原点），求曲线C 的方程．2．已知直线l :y=k 与圆O:224+=x y 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，∆ABO 的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.3．在ΔABC 中，点A,B 的坐标分别是(−√2,0),(√2,0),点G 是ΔABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求ΔABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l:y =kx +m 与轨迹E 相交于P,Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．4．已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．5．已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l .（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．6．（本小题12分）圆C 的半径为3，圆心在直线20xy 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为25．（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．7．（本小题12分）已知点)5,0(P 及圆:C 02412422=+-++y x y x ．（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段AB 长为34，求直线l 的方程；（2）求圆C 内过点P 的弦中点的轨迹方程．8．已知⊙M ：x 2＋（y －2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．（Ⅰ）若AB ＝，求MQ 及直线MQ 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点．9．已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的两条直线交轨迹Q 于点A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点．10．已知点1(2,3)P -，2(0,1)P ，圆C 是以12P P 的中点为圆心，121||2PP 为半径的圆. （1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线方程；（2）若(,)P x y 是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，||||PM PO =，求使||PM 最小的点P 的坐标.11．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问是否存在直线:l y x b =+与圆C 交于,A B 两点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）．若存在，求出l 的方程；若不存在，试说明理由．12．在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 13．如图所示，已知以点A （－1，2）为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B （－2，0）的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当＝2时，求直线l 的方程；（3）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．14．已知12F F 、为椭圆（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆O 是以1F ， 2F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A 、，若32OA OB ⋅=-，求k 的值. 15．已知圆C 的方程为x 2+（y-4）2=4，点O 是坐标原点，直线l:y=kx 与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且=+．请将n 表示为m 的函数．16，动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．17．（原创）（本小题满分12分）已知点(3,0),H -点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在PQ 上，且满足0HP PM ⋅=,3PM MQ =-. （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程C;（2）给定圆N: 222x y x +=，过圆心N 作直线l ，此直线与圆N 和（1）中的轨迹C 共有四个交点，自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程。

2024年高考数学一轮复习考点48圆的方程必刷题理含解析

考点48 圆的方程1．（广东省2025届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满意a b ≠，0c ≠，且()()0c a c b -⋅-=，则a b a bc++-的最小值是（）A ．3B ．22C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB ，因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++ 1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而2a b a bc++-≥，选C.2．（河南省重点中学2025届高三4月联合质量检测数学理）设是圆上的点，直线与双曲线：的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为8，则（）A ．9B ．C ．9或D ．9或【答案】C 【解析】因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，所以，解得. 圆的圆心坐标是，半径为，因为圆心到直线距离为，所以点到直线距离的最大值为，解得或.当时，；当时，.综上，或.故选.3．（广西桂林市、崇左市2025届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值5．故选：．4．（福建省龙岩市2025届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x =上，则||AB 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】由题得圆()2221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2221x y -+=的圆心，由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0，所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A5．（新疆2025届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【答案】B 【解析】解：因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，221a b<+，即1<因为点P 1，所以点P 在圆外，故选B ．6．（河南省焦作市2024-2025学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（）A ．y 2＝xB ．y 2C ．y 2＝2xD ．y 2＝x【答案】C 【解析】【分析】如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2p，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，依据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴32N x p =， ∴|NA|＝322p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ．故选：C ．7．（闽粤赣三省十校2025届高三下学期联考数学理）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)17x y +++=C ．22(1)(2)26x y +++= D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-()()2212135-++-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A ．8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省试验中学)2025届高三第一次模拟数学理）Rt ABC ∆中，090ABC ∠=，23AB =，4BC =，ABD ∆中，0120ADB ∠=，则CD 的取值范围是（） A ．[272,272]-+ B ．(4,232]+ C ．[272,232]-+ D ．[232,232]-+【答案】C 【解析】由题，以点B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立直角坐标系；(0,0);(23,0);(0,4)B A C 设点(,)D x y ，因为0120ADB ∠=，所以由题易知点D 可能在直线AB 的上方，也可能在AB 的下方；当点D 可能在直线AB 的上方；直线BD 的斜率1yk x=；直线AD 的斜率223y k x =-由两直线的夹角公式可得：212123tan12031123y yk k xx y y k k xx ---=⇒-=+⋅+⋅-化简整理的22(3)(1)4x y -++=可得点D 的轨迹是以点(3,1)M -为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的上方，所以是圆在AB 上方的劣弧部分；此时CD 的最短距离为：22(3)(41)2272CM r -=++-=- 当当点D 可能在直线AB 的下方；同理可得点D 的轨迹方程：22(3)(1)4x y -+-= 此时点D 的轨迹是以点(3,1)N 为圆心，半径2r 的圆，且点D 在AB 的下方，所以是圆在AB 下方的劣弧部分；此时CD 的最大距离为：22(3)(41)2232CN r +=+-+=+所以CD 的取值范围为272,232⎡⎤-+⎣⎦．9．（湖北省黄冈市2025届高三上学期元月调研理）已知圆关于对称，则的值为A．B．1 C．D．0【答案】A【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A．10．（北京市朝阳区2024-2025学年度高三期末）在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】依据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.11．（江西省名校学术联盟2025届高三年级教学质量检测考试12月联考)数学理）已知点，，则以线段为直径的圆的方程为A． B．C ．D ．【答案】D 【解析】圆心为的中点，半径为，则以线段为直径的圆的方程为.故选D.12．（四川省南充市2024-2025学年上学期高2025届高三年级第一次高考适应性考试）点，是圆上的不同两点，且点，关于直线对称，则该圆的半径等于A ．B ．C ．1D ．3【答案】D 【解析】圆x 2+y 2+kx+2y-4=0的圆心坐标为（，因为点M ，N 在圆x 2+y 2+kx+2y-4=0上，且点M ，N 关于直线l ：x-y+1=0对称，所以直线l ：x-y+1=0经过圆心，所以．所以圆的方程为：x 2+y 2+4x+2y-4=0，圆的半径为：故选：C ．13．（2025届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）在直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在唯一一点M ，使2MA MO =，则圆心C 的非零横坐标是__________．【答案】125【解析】圆心在l 上,设(),24C a a -,点(),M x y ,因为2MA MO =()222232x y x y +-=+化简得:()2214x y ++=,所以点(),M x y 在以()0,1D -为圆心,以2为半径的圆上,又点(),M x y 在圆C 上,所以圆C 与圆D 有唯一公共点,即两圆相切,211CD =-=,或者213CD =+=,即251280a a -+=或25120a a -=,解得0a =(舍)或125,故填125. 14．（广东省肇庆市2025届中学毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______．【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ，过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 15．（宁夏石嘴山市第三中学2025届高三四模考试数学理）点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 【答案】1 【解析】曲线C 可整理为：()22225x y -+= 则曲线C 表示圆心为2,0，半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离则max 515d ==2max 15222t a b ∴=--=，整理得：14a b ++=()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又112211b a b a a b a b+++≥⋅=++（当且仅当11b a a b +=+，即1a =，2b =时取等号） 1114114a b ∴+≥⨯=+，即111a b ++的最小值为1 本题正确结果：116．（贵州省贵阳市2024年高三5月适应性考试二理）圆与曲线相交于，，，四点，为坐标原点，则__________．【答案】.【解析】 ∵圆的圆心为M （-3，2）， ∴圆关于M （-3，2）中心对称，又曲线，关于（-3，2）中心对称， ∴圆与曲线的交点关于（-3，2）中心对称，不妨设与，与关于（-3，2）中心对称，则，,∴，故答案为.17．（北京市房山区2024年高考第一次模拟测试数学理）已知点A （-2，0），B （0，2），若点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，则面积的最小值为______．【答案】4 【解析】∵点A （-2，0），B （0，2），∴AB 的直线方程为=1，即x-y+2=0．圆心C （3，-1）到直线AB 的距离为d=，因为点P 在圆（x-3）2+（y+1）2=2上运动，所以点P 到直线AB 距离的最小值为：=，且.则ABP面积的最小值为.故答案为：4．（湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟卷三数学理）已知直线18．过定点，线段是圆的直径，则________.【答案】7.【解析】直线可化为，联立，解得点，∵线段是圆的直径，∴19．（广西桂林市、崇左市2025届高三下学期二模联考数学理）以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于__________．【答案】.【解析】如图：，，，，，，，，解得：，故答案为：．20．（北京市大兴区2025届高三4月一模数学理）在极坐标系下，点π(1,)2P 与曲线2cos ρθ=上的动点Q距离的最小值为_________． 21 【解析】由题得点P 的直角坐标为（0,1），222222cos 2cos +201)1x y x x y ρθρρθ=∴=∴-=∴-+=，，，（，所以曲线是以点（1，0）为圆心，以1为半径的圆，所以点P 221+1121=.21．21．（江苏省南京市、盐城市2025届高三其次次模拟考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A -，()5,0B .若圆()()22:44M x y m -+-=上存在唯一点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为______. 【答案】21【解析】依据题意，设P 的坐标为(,)a b ，直线PA 的方程为(1)1by x a =++，其在y 轴上的截距为1b a +，直线PB 的方程为(5)5b y x a =--，其在y 轴上的截距为55b a --，若点P 满意使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有5()()515b b a a ⨯-=+-，变形可得22(2)9b a +-=，则点P 在圆22(2)9x y -+=上，若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一点P ，则圆M 与22(2)9x y -+=有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为22(42)2m -+，则两圆只能外切，则有2425m +=，解可得：21m =±，故答案为：21±．22．（湖北省十堰市2025届高三年级元月调研考试理）已知圆22:(6)(6)16M x y -+-=，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为______．【答案】12 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边62OM =，故当N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，半径为2，直线OM的方程为0x y -=，点()7,5到直线OM 的距离为222=，所以N 到直线OM 的距离的最大值为22，故OMN ∆的面积的最大值为16222122⨯⨯=. 故答案为：1223．（江西省名校学术联盟2025届高三年级教学质量检测考试12月联考数学理）已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于点，，且，设点是圆上的动点，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，可设圆C 的方程为，则，，所以，则圆C 的方程为，即，可得，设，则===，由题意可知，，所以.故答案为：.24．（江苏省苏州市2025届高三调研测试理）在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】依据题意，设圆C 的圆心为（m ，n ），半径为r ，则圆C 的标准方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝r 2，则有，解可得：m ＝1，n ＝﹣2，r，则圆C 的方程为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝2，故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝225．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省试验中学)2025届高三第一次模拟数学理）已知椭圆1C ：2214xy +=的左、右两个顶点分别为,A B ，点P 为椭圆1C 上异于,A B 的一个动点，设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，若动点Q 与,A B 的连线斜率分别为34,k k ，且3412(0)k k k k λλ=≠，记动点Q的轨迹为曲线2C .（1）当4λ=时，求曲线2C 的方程；（2）已知点1(1,)2M ，直线AM 与BM 分别与曲线2C 交于,E F 两点，设AMF ∆的面积为1S ，BME ∆的面积为2S ，若[1,3]λ∈，求12S S 的取值范围. 【答案】(1) 224(2)x y x +=≠± (2) []5,7 【解析】（1）设()00,P x y ()02x ≠±，则220014x y +=，因为()()2,0,2,0A B -，则2020001222000011422444x y y y k k x x x x -=⋅===-+---(),Q x y 设 ()2x ≠±所以2341222244y y y k k k k x x x λλ=⋅===-+--，整理得 2214x y λ+= ()2x ≠±.所以，当4λ=时，曲线2C 的方程为 ()2242x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,E x y F x y . 由题意知，直线AM 的方程为：62x y =-，直线BM 的方程为：22x y =-+.由（Ⅰ）知，曲线2C 的方程为2214x y λ+= ()2x ≠±，联立 ()2262244x y x x y λλ=-⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()29160y y λλ+-=，得 1691y λλ=+ 联立()2222244x y x x y λλ=-+⎧≠±⎨+=⎩，消去x ，得()2120y y λλ+-=，得 221y λλ=+2212111111sin 91222211111sin 2222MA MF AMF y y MA MF S S MB ME MB ME BME y y λλ∠--+=====+∠-- 设()918911g ，λλλλ+==-++ 则()g λ在[]1,3上递增又()()15,37g g ==，12S S ∴的取值范围为[]5,7 26．（四川省成都市高新区2025届高三上学期“一诊”模拟考试数学理）已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为. （Ⅰ）证明：点在轴上的射影为焦点；（Ⅱ）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆且过点，求直线与圆的方程.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点的直线方程为，由消去整理得，又因为直线与抛物线相切，所以，解得．当时，直线方程为，可得点坐标为，又因为焦点，所以点在轴上的射影为焦点．（Ⅱ）设直线的方程为，由，其中恒成立. 设，，则，所以，．由于圆是以线段为直径的圆过点，则，所以所以，解得或．当时，直线的方程为，圆的方程为；当时，直线的方程为，圆的方程为．27．（江西省抚州市七校2025届高三10月联考数学理）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的方程；（2）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积分别是．求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，，解得，，所以圆的方程为．（2）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为．又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．由题可知，，．因此，又，同理，所以，当且仅当时取等号．又，所以的取值范围是．。

高中平面解析几何圆的方程知识点+例题

辅导讲义――圆的方程题型四：与圆有关的轨迹问题[例] 自圆x 2＋y 2＝4上的点A (2,0)引此圆的弦AB ，求弦AB 的中点轨迹方程．设AB 的中点P (x ，y )，B (x 1，y 1)，则有x 12＋y 12＝4，且x ＝x 1＋22，y ＝y 1＋02. ∴x 1＝2x －2，y 1＝2y .∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，即(x －1)2＋y 2＝1.当A ，B 重合时，P 与A 点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠2)．[巩固1]设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4. N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． [巩固2] (2014·课标全国Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，求M 的轨迹方程.圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.题型五：圆的对称问题1．自对称[例]已知点A 是圆C ：030422=++++y ax y x 上任意一点，A 关于直线x+2y-1=0的对称点也在圆C 上，则实数a 的值是___-10________.[巩固]若直线y=kx 与圆1)1(22=+-y x 的两个交点关于直线x-y+b=0对称，则k=__-1_____；b=__-1________.2．互对称[例]已知圆C 1：1)1()1(22=-++y x ，圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称，则圆C 2的方程是________________. 1)2()2(22=++-y x[巩固] 022=++++c by ax y x 与圆122=+y x 关于直线y=2x-1对称，则a+b=_______________. 54- 题型六：圆的实际应用[例]如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m ，水面宽12 m ，当水面下降1 m 后，水面宽多少米？以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知得A (6，－2)．设圆的半径为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.①将点A 的坐标(6，－2)代入方程①，解得r ＝10，∴圆的方程x 2＋(y ＋10)2＝100.②当水面下降1 m 后，可设点A ′的坐标为(x 0，－3)(x 0>0)，代入方程②，求得x 0＝51.即水面下降1 m 后，水面宽为2x 0＝251≈14.28 m.[巩固]如图，森林的边界是直线L，兔子和狼分别在L的垂线AC上的点A和点B处（AB=BC=a），现兔子沿线AD 以速度2v准备越过L向森林逃跑，同时狼沿线BM（点M在AD上）以速度v进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M处，狼就会吃掉兔子.求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S.1．方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是____________.方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示一个圆，则(－2)2＋22－4a>0，∴a<2，2．点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为_______________.由题意可知圆心Q(1,0)，故k PQ＝－1.∴k AB＝1，∴AB的方程为y＋1＝1×(x－2)．即x－y－3＝0.3．已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝|1－0＋2|2＝322.则点C到直线AB的最短距离为322－1.又|AB|＝2 2.夯实基础训练∴S △ABC 的最小值为12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2.4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是_______________.设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为___________. 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 6．(2013·江西)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254解析如图，设圆心坐标为(2，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋4＝r 2，|1－y 0|＝r ，解得y 0＝－32，r ＝52， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254.7．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为_______． ∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，∴2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.8．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5.答案 π2解析作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求．易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13， tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．14．(2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.15．在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0.（1）求AB →的坐标；（2）求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程．(1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.。

高中数学圆的方程知识点及习题(含答案)

圆的方程【考纲要求】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【知识网络】【考点梳理】考点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.考点二：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. 圆的方程圆的一般方程简单应用圆的标准方程点与圆的关系(2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 考点三：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<圆的标准方程与一般方程的转化：标准方程垐垐?噲垐?展开配方一般方程. 【典型例题】类型一：圆的标准方程例1. 已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，且这个圆经过点A(6，1)，求该圆的方程.【思路点拨】已知圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题.解析：设圆心为||3a a r a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，，()2226133111a a a a a ⎛⎫∴-+-= ⎪⎝⎭∴==或 ∴圆心为(3，1)(111，37)∴圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x-111)2+(y-37)2=1112. 总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程. 举一反三：【变式1】若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. 22(2)(1)1x y -+-= B.22(2)(1)1x y -++=C. 22(2)(1)1x y ++-= D. 22(3)(1)1x y -+-=解析：依题意，设圆心坐标为(,1)a ，其中0a >，则有|43|15a -=，由此解得2a =，因此所求圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=，选A.类型二：圆的一般方程例2.求过三点A(1，12)，B(7，10)，C(-9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径，作出图形. 【思路点拨】因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程. 解:设所求的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=++-+=++++=++++.029481,010710049,0121441F E D F E D F E D解得D=-2，E=-4，F=-95.于是所求圆的方程为x 2+y 2-2x-4y-95=0. 将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.于是，圆的圆心D 的坐标为(1，2)，半径为10，图形如图所示.总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得2221(2)(4)(4)4(95)102r=-+-+---=.举一反三：【变式1】圆与y轴相切，圆心P在直线30x y-=上，且直线y x=截圆所得弦长为27，求此圆的方程。

考点36 高中数学-圆的方程-考点总结和习题

考点36圆的方程【命题趋势】圆的方程是高考的重要考查点，常与直线、圆锥曲线结合起来进行考查.（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能用圆的方程解决一些简单的问题.【重要考向】一、圆的方程二、点与圆的位置关系与最值问题三、与圆有关的对称问题四、与圆有关的轨迹问题圆的方程【巧学妙记】1.已知方程为222220x y x y +---=，则圆心坐标为________，圆半径为__________．【答案】()1,12【分析】将圆一般方程化为标准方程即可求解.【详解】()()22222220114x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆的圆心为()1,1，半径2r =.故答案为：()1,1；22.（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知a ∈R ，方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是______．【答案】()1,4--【分析】先利用方程得到220a a =+≠，求出1a =-或2a =，然后分别求解即可．【详解】方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，所以220a a =+≠，解得1a =-或2a =，当1a =-时，方程222850x y x y +++-=，配方可得()()221422x y +++=，所得圆的圆心坐标为()1,4--；当2a =时，方程224428100x y x y ++++=，即22152022x y x y ++++=，此时221523240224⎛⎫+-⨯=-< ⎪⎝⎭，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是()1,4--．故答案为：()1,4--．3.（2021·全国高二专题练习）已知圆的圆心M 是直线2x ＋y －1＝0与直线x －2y ＋2＝0的交点，且圆过点P (－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A (2，2)，B (1，8)，C (6，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？【答案】x 2＋(y －1)2＝50，A 在圆内，B 在圆上，C 在圆外.【分析】由方程组210,220,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩求得圆心，再根据圆过点P (－5，6)求得半径，写出圆的标准方程，然后由点到圆心的距离和半径的关系，判断点与圆的位置关系.【详解】由方程组210,220,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩∴圆心M 的坐标为(0，1)，半径r ＝|MP |＝.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50.∵|AM |r ，∴点A 在圆内.∵|BM |＝r ，∴点B 在圆上.∵|CM |r ，∴点C 在圆外.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50，且点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外.点与圆的位置关系与最值问题点与圆的位置关系标准方程的形式一般方程的形式点（x 0，y 0）在圆上22200()()x a y b r -+-=2200000x y Dx Ey F ++++=点（x 0，y 0）在圆外22200()()x a y b r -+->2200000x y Dx Ey F ++++>点（x 0，y 0）在圆内22200()()x a y b r -+-<2200000x y Dx Ey F ++++<最值问题1.对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，2.然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．【巧学妙记】圆外的点与圆上一点距离最小值等于圆外这点到圆心距离减半径；圆外的点与圆上一点距离最大值等于圆外这点到圆心距离加半径.【典例】4.（2021·全国高三专题练习）已知点O (0，0)在圆x 2+y 2+kx +2ky +2k 2+k −1=0外，求k 的取值范围.【答案】12(2,1)(,)23-- 【分析】根据方程表示圆的条件以及点在圆外列式可解得结果.【详解】∵方程x 2+y 2+kx +2ky +2k 2+k −1=0表示圆，∴224D E F +-=k 2+(2k )2−4(2k 2+k −1)>0，即3k 2+4k −4<0，解得−2<k <23，又∵点O (0，0)在圆外，∴2k 2+k −1>0，解得k >12或k <−1.综上所述，k 的取值范围是12(2,1)(,)23-- .【点睛】易错点点睛：容易忽略方程表示圆的条件2240D E F +->导致出错.5.（2021·河南高一期中）已知圆224410x y x y +---=上的点到直线34150x y --=的距离的最大值是a ，最小值是b ，则a b +=（）A ．345B ．335C ．175D ．225【答案】A 【分析】先求得圆心()2,2到直线34150x y --=的距离d ，再由圆上的点到该直线的距离的最大值为a d r =+，最小值为b d r =-求解.【详解】圆224410x y x y +---=即圆()()22229x y -+-=，∴圆心()2,2到直线34150x y --=的距离175d ==，∴圆上的点到该直线的距离的最大值1732355a d r =+=+=，最小值172355b d r =-=-=，∴345a b +=，故选：A ．6.（2021·全国高三月考）已知点P 为直线l ：1y x =+上一点，点Q 为圆C ：()2211x y -+=上一点，则PQ 的最小值为（）A1-BC ．1D ．212-【答案】A 【分析】根据直线与圆的相离关系，利用圆上动点到直线的距离最小，则有P 、Q 在过圆心与直线l 的垂线段上，结合点线距离公式及圆的半径即可求PQ 的最小值.【详解】如下图示，由题意知，圆心(1,0)C 且1r =，则圆心到直线的距离为||d CH r ===>，P 、Q 是直线l 和圆C 上的动点，CH l ⊥.∵由图知，||||||PQ CP CQ ≥-，而||1CQ =，∴要使PQ 最小，当P 和H 重合时min ||||1PQ CH =-，∴min ||1PQ =.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线距离，求圆上一点到直线上一点的最小距离.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置;（2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．【巧学妙记】7.（2021·河南商丘市·高三月考（理））若直线:30l mx ny ++=始终平分圆22:2310C x x y y -++-=，则23m n -=（）A ．﹣6B ．﹣3C ．3D ．6【答案】A 【分析】根据圆的一般方程求得圆的圆心，再根据圆的直径的性质可得选项.【详解】解：由22:2310C x x y y -++-=得圆心31,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为直线平分圆，所以直线必过圆心31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3302m n -+=，则236m n -=-．故选：A.8.（2021·四川雅安市·高三三模（理））已知圆()22:21C x y -+=及点()0,2A ，点P 、Q分别是直线0x y +=和圆C 上的动点，则PA PQ +的最小值为__________.【答案】3【分析】由圆的性质可得||||1PQ PC =-，求出点A 关于直线0x y +=的对称点A '，A C '-1即为所求.【详解】作出点A 关于直线0x y +=的对称点A '，如图：设点00(,)A x y '，则有000021002022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0020x y =-⎧⎨=⎩，即(2,0)A '-，而C (2，0)由圆的性质知：圆外点P 与圆C 上点Q 距离||PQ 满足||||1PQ PC ≥-(当且仅当Q 是线段PC 与圆C 的交点时取“=”)，连接A C '交直线0x y +=于点O ，P 为直线0x y +=上任意一点，连,,PA PA PC '(线段PC 交圆C 于点Q )，则min (||||)||||1||||1||13PA PQ PA PC PA PC A C ''+=+-=+-≥-=，当且仅当点P 在线段A C '上，即与点O 重合时取“=”，所以PA PQ +的最小值为3.故答案为：39.（2021·北京高三其他模拟）已知圆224x y +=与圆22620x y x y m +-++=关于直线对称，则直线l 方程___________.【答案】350x y --=【分析】由于两圆的半径相等，可得6m =，求出两圆的圆心O (0，0)，(3,1)A -，则求出OA 的中点坐标，13OA k =-，从而可得直线的斜率为3k =，从而可求出直线l 的方程【详解】由于半径相等，易求6m =，由圆224x y +=的圆心坐标为O (0，0)，圆226260x y x y +-++=的标准方程为()()22314x y -++=，可得圆心(3,1)A -，则OA 的中点坐标为31,22⎛⎫-⎪⎝⎭，且OA 的斜率为13OA k =-，可得所求直线的斜率为3k =，所以直线l 的方程为13322y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即350x y --=.故答案为：350x y --=.与圆有关的轨迹问题1.建系，设点：建立适当的坐标系，设曲线上任一点坐标,()M x y ．2.写集合：写出满足复合条件P 的点M 的集合(){}|M P M ．3.列式：用坐标表示()P M ，列出方程(),0f x y =．4.化简：化方程(),0f x y =为最简形式．5.证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．求与圆有关的轨迹方程的方法【巧学妙记】求动点轨迹方程的常用方法：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点法.【典例】10.（2021·安徽合肥市·高三三模（理））已知圆22:410C x y x +++=，过圆外一点P 作圆C 的切线，切点为A ，若||2||PA PO =（O 为坐标原点），则||PC 的最小值为（）A ．4B ．42-C ．43-D ．45【答案】D 【分析】根据题意得圆心C 的坐标与半径，设点11(,)P x y ，然后利用勾股定理列式求解动点P 的轨迹方程，然后根据圆上任意点到定点的最小距离计算||PC 的最小值.【详解】圆22:410C x y x +++=，化简可得22(2)3x y ++=，所以(2,0)C -3，由题意，过圆外一点P 作圆C 的切线，切点为A ，所以PAC △为直角三角形，222||PA PC AC =-，又由||2||PA PO =，可求得动点P 的轨迹方程，设11(,)P x y ，则222211121(3(2)2()x y x y -++=+，可得2211(2)5x y -+=，点P 在圆2211(2)5x y -+=上，圆心为(2,0)，则||PC 的最小值为：[]()22min ||(2)200545PC =--+-=.故选：D.11.（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系中，从点(3,2)P -向直线20kx y k ---=作垂线，垂足为M ，则点(2,4)Q 与点M 的距离的最小值是（）A ．5-B ．C ．D ．17【答案】A 【分析】首先求出直线过定点()1,2N -，依题意可得M 在以PN 为直径的圆上，求出圆的方程，即可判断点(2,4)Q 在圆外，求出Q 到圆心的距离，减去半径即为距离最小值；【详解】解：因为20kx y k ---=，所以()120k x y ---=，所以1020x y -=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线20kx y k ---=过定点()1,2N -；从点(3,2)P -向直线20kx y k ---=作垂线，垂足为M ，则M 在以PN 为直径的圆上，因为(3,2)P -，()1,2N -，所以PN 的中点为()1,0G -，PN ==G 的方程为()2218x y ++=，即M 的轨迹方程为()2218x y ++=，因为(2,4)Q ，()222148++>，所以点(2,4)Q 在圆外，5QG ==，所以min5QMQG r =-=-故选：A12.（2021·浙江杭州市·学军中学高三其他模拟）已知直线:0l ax by c ++=被圆22:16C x y +=截得的弦的中点为M ，若320a b c +-=，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为_________，OM 的最大值为_________.【答案】22230x y y x +++=【分析】首先设出所求轨迹的点(),M x y ，然后根据l CM ⊥以及320a b c +-=消参数即可得到轨迹方程；由于直线过定点，分析可知OM 最大即O 与圆22230x y y x +++=的圆心之间的距离＋半径.【详解】圆22:16C x y +=的圆心为()0,0，半径为4设(),M x y ，显然,x b 不能同时为0，则（1）若0,0x b ≠≠，则有,CM l y ak k x b==-又因为1CM l k k ⋅=-，所以1y a x b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，所以bx a y =又因为320a b c +-=，所以332322bx bx by c a b b y y+=+=+=将,c a 带入直线:0l ax by c ++=320bx bx byx by y y+⋅++=，即22230x y y x +++=（2）若0,0x b =≠，即()0,M y ，则此时直线为平行于x 的直线，即0a =，此时()0,2M -在22230x y y x +++=上；（3）若0,0x b ≠=，即直线为平行于y 轴的直线，此时0y =即()3,0M -，在22230x y y x +++=上；综上可知：点M 的轨迹方程为22230x y y x +++=圆22230x y y x +++=的圆心为3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径为2所以max2OM==故答案为：22230x y y x +++=一、单选题1．直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定2．已知集合(){}2,3,A x y y x x y N =≤-∈，则集合A 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．圆C ：221x y +=的内接等边三角形ABC 的顶点2222A ⎛⎫⎪⎝⎭，则ABC 的面积为（）A ．334B ．32C 3D ．234．曲线2224200x y x y +-+-=上的点到直线34190x y -+=的最大距离为（）A ．10B ．11C ．12D ．135．已知点()6,0P ，点()1,1A ，动点C 满足0OC PC ⋅=（O 为坐标原点），过A 点的直线被动点C 的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为（）A ．21y x =-B ．21y x =-+C ．112y x =-D ．112y x =-+6．不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于22，则直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（）A ．22440x y x y +--=B ．22440x y x y +++=C ．22330x y x y +++=D ．22220x y x y +--=7．已知点P 为直线l ：1y x =+上一点，点Q 为圆C ：()2211x y -+=上一点，则PQ 的最小值为（）A1-BC ．1D．12-8．已知()2,0A -，()10B ,，()3,0M -三点，动点P 不在x 轴上，且满足2PA PB =，则直线PM 的斜率取值范围是（）A．,2121⎡-⎢⎣⎦B．,2121⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．2210,21⎛ ⎝⎦D ．221221,00,2121⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦二、多选题9．已知圆22:68210C x y x y +--+=，O 为坐标原点，以OC 为直径的圆C '与圆C 交于AB 两点，则（）A ．圆C '的方程为22340x y x y +--=B ．直线AB 的方程为34210x y --=C ．,OA OB 均与圆C 相切D ．四边形CAOB的面积为三、填空题10．已知三个点()0,0A ，()2,0B ，()4,2C ，则ABC 的外接圆的圆心坐标是___________.11．已知圆C 的圆心坐标是()0,m ，若直线230x y -+=与圆C 相切于点()2,7A ，则圆C 的标准方程为___________.12．圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是_____.13．已知平面上到两直线y x =与y kx =的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k =___________.14．已知平面向量,,a b c满足：12,1,,02a a b b c c b b ⎛⎫=-==-⋅= ⎪⎝⎭ ，则12a c - 的最大值是___________.四、双空题15．已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>内切，则实数r 的值是_______，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最小值是____________．五、解答题16．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长.（1）x 2＋y 2－4x ＝0；（2）2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0；（3）x 2＋y 2＋2ax ＝0.一、单选题1．（2021·北京高考真题）已知圆22:4C x y +=，直线:l y kx m =+，当k 变化时，l 截得圆C 弦长的最小值为2，则m =（）A ．2±B ．C ．D ．2．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．73．（2020·全国高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题4．（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切5．（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =6．（2020·海南高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题7．（2020·天津高考真题）已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．四、双空题8．（2020·浙江高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．五、解答题9．（2021·全国高考真题（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．一、单选题1．（2022·河南高三月考（文））若直线:(2)(3)50()l m x m y m ++-+=∈R 与圆22:(1)(2)16P x y -++=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A 10B ．22C ．23D ．322．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N 两点，若3MN =，则k 的值是（）A ．34-B ．0C ．0或34-D ．343．（2021·广东佛山市·石门中学高三其他模拟）已知两点()1,3M 、()2,3N --，在曲线上存在点P 满足MP NP =的曲线方程是（）A ．2410x y +-=B ．22125x y +=C ．2212y x +=D ．2212y x -=4．（2021·浙江高二期末）已知直线:30l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为23(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））若圆224210x y x y +-++=被直线220(0,0)ax by a b --=>>截得的弦长为4，则11a b+的最小值是（）A ．9B ．4C ．12D ．146．（2020·山东高三月考）已知圆22:4240C x y x y ++--=关于直线:240l x ay -+=对称，则原点O 到直线l 的距离为（）A ．43737B ．1C ．455D 57．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高二期中）如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（）A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题8．（2021·重庆高三其他模拟）直线y x =被圆22(2)4x y -+=截得的弦长为___________.9．（2019·吉林高三其他模拟（文））已知直线l ：kx ﹣y ﹣2k +2＝0与圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣6y +6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为______________．10．（2021·甘肃兰州市·兰州一中高一期中）在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a +2)，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是_____________．（注：PA 表示点P 与点A 之间的距离）三、解答题11．（2021·浙江高二期末）已知圆C 经过(4,2),(1,3)A B -两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2，（1）求圆C 的方程；（2）求过点P 且与圆C 相切的直线方程．12．（2020·南昌县莲塘第三中学高二期中）在以O 为原点的直角坐标系中，点(4,3)A -为OAB 的直角顶点，已知2AB OA =，且点B 的纵坐标大于0．（1）求AB的坐标；（2）求圆22620x x y y -++=关于直线OB 对称的圆的方程参考答案跟踪训练1．B 【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.【详解】解：直线()20ax y a a R --=∈，即()20a x y --=，由200x y -=⎧⎨=⎩得20x y =⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()2,0，因为22209+<，所以定点()2,0在圆内，所以直线与圆相交，故选：B.2．B 【分析】根据集合的描述知：集合A 为半径的圆(含圆上)满足条件的非负整数点，即可判断集合中元素的个数.【详解】由集合A 的描述知：223x y +≤且,x y N ∈，∴以原点为圆心为半径的圆(含圆上)，满足条件的非负整数点有()()()(),0,0,0,11,0,1,1，即集合A 中元素的个数为4,故选：B .3．A 【分析】作出图形，然后等边三角形边长为a ，根据23AO AD =⋅以及三角形面积公式计算可得结果.【详解】如图假设等边三角形边长为a ，则32AD a =，所以231333AO AD a =⋅==⇒=所以213sin23334ABC S π=⋅=△故选：A 4．B 【分析】确定圆心和半径后，求得圆心到直线距离d ；利用圆上点到直线最大距离为d r +可求得结果.【详解】曲线为圆()()221225x y -++=，圆心()1,2-到直线34190x y -+=距离为223819634d ++=+，即直线与圆相离，故圆上的点到直线34190x y -+=的最大距离为6511+=，故选：B.5．A 【分析】设(),C x y ，根据0OC PC ⋅=得到动点C 的轨迹为圆，再由圆的性质求解.【详解】设(),C x y ，由0OC PC ⋅=得动点C 的轨迹方程为2260x y x +-=，即()2239x y -+=，则动点C 的轨迹曲线为圆，圆心为()3,0D ．又点()1,1A 在圆内，所以101132AD k -==--，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为()121y x -=-，即21y x =-．故选：A 6．A 【分析】由曲线C 方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得m 的值，从而得到直线l 方程，进而得到l 与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程.【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r =∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.【点睛】方法点睛：圆的弦长的求法：（1）几何法，设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为L ，则2222L r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）代数法，设直线与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与圆的方程()()222y kx mx a y b r=+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y 得到一个关于x 的一元二次方程，从而可求出12x x +，12x x，根据弦长公式AB =，即可得出结果.7．A 【分析】根据直线与圆的相离关系，利用圆上动点到直线的距离最小，则有P 、Q 在过圆心与直线l 的垂线段上，结合点线距离公式及圆的半径即可求PQ 的最小值.【详解】如下图示，由题意知，圆心(1,0)C 且1r =，则圆心到直线的距离为||d CH r ===>，P 、Q 是直线l 和圆C 上的动点，CH l ⊥.∵由图知，||||||PQ CP CQ ≥-，而||1CQ =，∴要使PQ 最小，当P 和H 重合时min ||||1PQ CH =-，∴min ||1PQ =.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用圆心到直线距离，求圆上一点到直线上一点的最小距离.8．D 【分析】设点(),P x y ，由2PA PB =，由两点间距离公式列式计算可得动点P 得轨迹为C ，设直线PM 的方程，由直线与曲线C 有公共点，可得斜率的取值范围.【详解】设动点(),P x y ，因为2PA PB ==整理得动点P 得轨迹为C ：()()22240x y y -+=≠；设直线PM 的方程为()3y k x =+，即30kx y k -+=，所以圆心()2,0C 到直线PM的距离为2d ==，所以22121k =±；又因为动点P 不在x 轴上，所以直线PM 的斜率取值范围是221221,00,2121⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦.故选：D .【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．9．AC 【分析】A ．将圆C 的方程化为标准方程，求解出圆心C 的坐标，则圆C '的标准方程可求，最后化为一般方程并判断；B ．联立两个圆的一般方程，通过相减消去22,x y 得到直线AB 的方程并判断；C ．根据切线的定义进行判断；D ．根据2AOC CAOB S S = 四边形结合线段长度求解出结果并判断.【详解】解：由圆22:68210C x y x y +--+=，得()()22344x y -+-=，则圆心()3,4C ，线段OC 的中点坐标为3,22⎛⎫⎪⎝⎭，则以OC 为直径的圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，整理得：22340x y x y +--=，即圆C '的方程为22340x y x y +--=，故A 正确；联立222234068210x y x y x y x y ⎧+--=⎨+--+=⎩，两式作差可得：34210x y +-=，即直线AB 的方程为34210x y +-=，故B 错误；∵,A B 在以OC 为直径的圆上，∴,CA OA CB OB ⊥⊥，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得,OA OB 均与圆C 相切，故C 正确；∵CA OA ⊥，且5,2OC CA ==，∴OA ==∴四边形CAOB的面积为1222S =⨯⨯⨯=D 错误．故选：AC ．10．(1，3)【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解.【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则04202042+0F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得260D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以圆方程为22216910x x y y -++-+=，即22(1)(3)10x y -+-=，所以圆心坐标为(1,3).故答案为：(1,3).11．()2285+-=x y 【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m ，再求半径，即可写出圆的方程．【详解】解：如图所示，由圆心()0,C m 与切点A 的连线与切线垂直，得71022-=--m ，解得8m =.所以圆心为()0,8，半径为==r .所以圆C 的标准方程为()2285+-=x y .故答案为：()2285+-=x y .12．3【分析】由题意可得直线80(0,0)ax by a b -+=>>过圆心，从而可得238a b +=，即3148a b+=，所以3232348a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简后利用基本不等式可得答案【详解】解：由224610x y x y ++-+=，得22(2)(3)12x y ++-=，所以圆心为(2,3)-，因为圆224610x y x y ++-+=关于直线80(0,0)ax by a b -+=>>对称，所以直线80(0,0)ax by a b -+=>>过圆心(2,3)-，所以238a b +=，即3148a b+=，所以323233933482822a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当982b a a b =，即42,3a b ==时取等号，故答案为：313．1-【分析】根据题意列出方程，再化简，满足圆的方程的条件得到关于k 的方程，最后解方程即可.【详解】设此点的坐标为(,)x y，则依题意有221+=，化简得2222222112()()(1)121211k k k x y xy k k k +++-+=+++，此方程要表示圆，则221011kk k +=⇒=-+.故答案为：1-.141【分析】先得到,3b c π= ，然后假设坐标，得到b的终点坐标满足的方程，同时得到c 的终点的轨迹方程，最后使用参数方程进行求解，计算即可.【详解】由2110022c b b c b b ⎛⎫-⋅=⇒⋅-= ⎪⎝⎭，又b c = ，所以可知1cos ,2b c =又[],0,b c π∈ ，所以,3b c π=设()2,0,a =b 的终点为(),B x y ，c 的终点为(),C m n ，其中0,0n y ≥≥由()22121a b x y -=⇒-+= ①，设BOx θ∠=，则cos θθ==，所以333222333222x m m y x y n n y πθπθ⎧⎧⎛⎫+=+=-⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=+=+= ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩，②将②代入①并化简可得()(2211m n -+-=令设1cos sin m n ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以12a c -=当sin 1ϕ=时，max112a c -=1+【点睛】关键点睛：利用坐标求解并得到c的终点轨迹方程()(2211m n -+-=是关键.15．6；3-．【分析】由两个圆内切得，圆心距等于大圆半径减去小圆半径，从而可求出r 的值；点在圆上，点的坐标满足圆的方程，由圆的方程可得横坐标的取值范围，进而求出220004x y x +-的最小值．【详解】解：由两个圆内切得，圆心距等于大圆半径减去小圆半径，1r =-，解得6r =；由点0(A x ，0)y 在圆1C 上，所以22001x y +=，且0[1x ∈-，1]，所以220000414[3x y x x +-=-∈-，5]，所以220004x y x +-的最小值为3-.故答案为：6；3-．16．（1）圆，(2，0)，r ＝2；（2）不表示任何图形；（3）当a ＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a ≠0时，方程表示以(－a ，0)为圆心，|a |为半径的圆.【分析】将方程配方，根据圆的标准方程判断求解.【详解】①方程可变形为(x －2)2＋y 2＝4，故方程表示圆，圆心为C (2，0)，半径r ＝2.②方程可变形为()2232322148x y ⎛⎫-++=- ⎪⎝⎭，此方程无实数解.故方程不表示任何图形.③原方程可化为(x ＋a )2＋y 2＝a 2.当a ＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a ≠0时，方程表示以(－a ，0)为圆心，|a |为半径的圆真题再现1．C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =，则弦长为则当0k =时，弦长取得最小值为2=，解得m =.故选：C.2．A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y ，则1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345=+=，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.3．B 【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)2CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.4．ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =，若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5．ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM =，4MP =，由勾股定理可得BP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.6．ACD 【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以11m n<，即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=，此时曲线C表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 不正确；对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，此时曲线C 表示双曲线，由220mx ny +=可得y =，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=，y n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7．5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d ，进而利用弦长公式||AB =，即可求得r ．【详解】因为圆心()0,0到直线80x +=的距离4d ==，由||AB =6==5r ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．8．333-【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可.【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得,33k b ==-.故答案为：323;33-【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.9．（1）抛物线2:C y x =，M 方程为22(2)1x y -+=；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与1x =相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,P Q 坐标，由OP OQ ⊥，即可求出p ；由圆M 与直线1x =相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑12A A 斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,A A A A A A 斜率存在，由123,,A A A 三点在抛物线上，将直线121223,,A A A A A A 斜率分别用纵坐标表示，再由1212,A A A A 与圆M 相切，得出2323,y y y y +⋅与1y 的关系，最后求出M 点到直线23A A 的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)C y px p P y Q y =>-，20,1120,21OP OQ OP OQ y p p ⊥∴⋅=-=-=∴= ，所以抛物线C 的方程为2y x =，(0,2),M M 与1x =相切，所以半径为1，所以M 的方程为22(2)1x y -+=；（2）设111222333(),(,),(,)A x y A x y A x y 若12A A 斜率不存在，则12A A 方程为1x =或3x =，若12A A 方程为1x =，根据对称性不妨设1(1,1)A ，则过1A 与圆M 相切的另一条直线方程为1y =，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在3A ，不合题意；若12A A 方程为3x =，根据对称性不妨设12(3,A A 则过1A 与圆M 相切的直线13A A为3(3)3y x -=-，又131********,03A A y y k y x x y y -====∴=-+，330,(0,0)x A =，此时直线1323,A A A A 关于x 轴对称，所以直线23A A 与圆M 相切；若直线121323,,A A A A A A 斜率均存在，则121323121323111,,A A A A A A k k k y y y y y y ===+++，所以直线12A A 方程为()11121y y x x y y -=-+，整理得1212()0x y y y y y -++=，同理直线13A A 的方程为1313()0x y y y y y -++=，直线23A A 的方程为2323()0x y y y y y -++=，12A A 与圆M相切，1=整理得22212121(1)230y y y y y -++-=，13A A 与圆M 相切，同理22213131(1)230y y y y y -++-=所以23,y y 为方程222111(1)230y y y y y -++-=的两根，2112323221123,11y y y y y y y y -+=-⋅=--，M 到直线23A A的距离为：2123|2|1y y -+=22121111y y +===+，所以直线23A A 与圆M 相切；综上若直线1213,A A A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切.【点睛】关键点点睛：（1）过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用1213,A A A A 的对称性，抽象出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示.模拟检测1．C 【分析】首先求出直线经过的定点，然后结合圆的性质分析出当AB PE ⊥时，AB 最小即可得出结果.【详解】(2)(3)50m x m y ++-+=可化为()2350x y m x y ++-+=，令02350x y x y +=⎧⎨-+=⎩，，1,1.x y =-⎧∴⎨=⎩∴直线l 恒过定点(1,1)E -，∴当AB PE ⊥时，AB 最小，此时AB ===.故选：C.2．C 【分析】利用垂径定理求弦长，列方程，求出k 即可.【详解】由题意，知MN =，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则2r =，所以圆心到直线的距离1d ===.由点到直线的距高公式，得1=，解得0k =或34k =-.故选：C.3．C 【分析】本题首先可根据MP NP =得出点P 在线段MN 的中垂线上，然后求出线段MN 的中垂线方程为2410x y ++=，最后依次判断四个选项对应的曲线是否与2410x y ++=有交点即可得出结果.【详解】因为点P 满足MP NP =，所以点P 在线段MN 的中垂线上，线段MN 中点坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()33212MN K --==--，中垂线的斜率12k =-，。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习57 圆的方程

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题57 圆的方程考点知识1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(×)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(√)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)教材改编题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y－1)2＝2.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为()A．(－2,0)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．[－2,0]D ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) 答案B解析由x 2＋y 2＋2ax －4ay －10a ＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝5a 2＋10a ，由该曲线表示圆，可知5a 2＋10a >0，解得a >0或a <－2.3．(多选)下列各点中，在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝25的内部的是() A ．(0,2) B ．(3,3) C ．(－2,2) D ．(4,1) 答案AD解析由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．题型一圆的方程例1(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案(x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925解析依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0. 若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0，即(x －2)2＋(y －3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F >0，所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________．答案(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析方法一设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，(3－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(1－b )2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.方法二设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 方法三设A (3,0)，B (0,1)，⊙M 的半径为r ，则k AB ＝1－00－3＝－13，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴AB 的垂直平分线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即3x －y －4＝0.联立⎩⎨⎧3x －y －4＝0，2x ＋y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1，∴M (1，－1)，∴r 2＝|MA |2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5， ∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 思维升华求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，求出a ，b ，r 的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．跟踪训练1(1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是() A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4 答案A解析根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)若圆C 经过坐标原点，且圆心在直线y ＝－2x ＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．答案⎝⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝95解析设圆心坐标为(a ，－2a ＋3)，则圆的半径r ＝(a －0)2＋(－2a ＋3－0)2＝5a 2－12a ＋9＝5⎝⎛⎭⎪⎫a －652＋95.当a ＝65时，r min ＝355.故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －352＝95.题型二与圆有关的轨迹问题例2已知Rt△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解(1)方法一设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，且BC ，AC 斜率均存在，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝yx ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．方法二设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)． (2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，且M 是线段BC 的中点，所以由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝2|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．解(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝2|PM|，所以(x－2)2＋y2＝2·(x－1)2＋y2，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x A，y A)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以AQ →＝2QB →，即(x －x A ，y －y A )＝2(6－x ，－y )，解得⎩⎨⎧x A ＝3x －12，y A ＝3y ，又点A 在轨迹C 上运动，由(1)有(3x －12)2＋(3y )2＝2，化简得(x －4)2＋y 2＝29，即点Q 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝29.题型三与圆有关的最值问题命题点1利用几何性质求最值例3(2022·泉州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解(1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由|2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3，∴k max ＝3，k min ＝－ 3. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆相切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x 轴相交于点B 和C ′(点B 在点C ′左侧)，则(x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.命题点2利用函数求最值例4(2023·湘潭质检)设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)．则PA →·PB →的最大值为________．答案12解析由题意，得PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，所以PA →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以PA →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4 ＝6y －12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|PA→＋PB→|的最大值为________．答案10解析由题意，知PA→＝(－x,2－y)，PB→＝(－x，－2－y)，所以PA→＋PB→＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|PA→＋PB→|＝4x2＋4y2＝26x－5.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|PA→＋PB→|的值最大，最大值为2×6×5－5＝10.思维升华与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝y－bx－a，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是()A．6B．25C．26D．36答案D解析(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[(2－5)2＋(0＋4)2＋1]2＝36.(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则yx＋1的最大值为________．答案4 3解析圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，yx＋1表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得|k－1＋k|k2＋1＝1，解得k＝0或k＝43，所以0≤k≤43，即yx＋1的最大值为43.课时精练1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案D解析因为圆心为(1，－2)，半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为()A．－6<k<12B．k<－6或k>12C．k>－6D．k<1 2答案A解析∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝1－2k.若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足(3－1)2＋(1＋2)2>1－2k，且1－2k>0，即13>1－2k且k<12，即－6<k<12.3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为()A ．(1，－1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－2,1) 答案C解析由题意得△AOB 是直角三角形，且∠AOB ＝90°. 所以△AOB 的外接圆的圆心就是线段AB 的中点，设圆心坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得x ＝2＋02＝1，y ＝0－42＝－2. 故所求圆心坐标为(1，－2)．4．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0关于直线l ：y ＝x 对称的圆的方程为() A ．x 2＋y 2－2y －3＝0B ．x 2＋y 2－2y －15＝0 C ．x 2＋y 2＋2y －3＝0D ．x 2＋y 2＋2y －15＝0 答案A解析由题意，得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心为(1,0)，半径为2，故其关于直线l ：y ＝x 对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2，故对称圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－2y －3＝0.5．点M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上的不同两点，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径等于() A.22B.2C ．3D ．9 答案C解析圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的标准方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝5＋k 24，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1，半径为r ＝5＋k 24，因为点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，所以直线l ：x －y ＋1＝0经过圆心，所以－k2＋1＋1＝0，解得k ＝4.所以圆的半径r ＝5＋k 24＝3.6．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P 引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为() A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0 C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0 答案D解析由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图所示．设P (x 0，y 0)，由题意可知|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 20＋y 20＋4＝(x 0－3)2＋(y 0＋4)2，即6x 0－8y 0－21＝0，结合选项知D 符合题意．7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．答案(－2，－4)5解析由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22－4×52＜0，∴a ＝2不符合题意；当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.8．已知等腰△ABC ，其中顶点A 的坐标为(0,0)，底边的一个端点B 的坐标为(1,1)，则另一个端点C 的轨迹方程为______________________. 答案x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))解析设C (x ，y )，根据在等腰△ABC 中|AB |＝|AC |，可得(x －0)2＋(y －0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x 2＋y 2＝2.考虑到A ，B ，C 三点要构成三角形，因此点C 不能为(1,1)和(－1，－1)．所以点C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．9．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和点B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．解设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎨⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝(－3－1)2＋(－2－1)2＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. 设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．因为点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎨⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254. 10．已知圆C 1经过点A (1,3)和B (2,4)，圆心在直线2x －y －1＝0上． (1)求圆C 1的方程；(2)若M ，N 分别是圆C 1和圆C 2：(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝9上的点，点P 是直线x ＋y ＝0上的点，求|PM |＋|PN |的最小值，以及此时点P 的坐标．解(1)由题意知AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，72，k AB ＝4－32－1＝1， ∴AB 的垂直平分线为y ＝5－x ，联立⎩⎨⎧y ＝5－x ，y ＝2x －1，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即圆C 1的圆心坐标为(2,3)，半径r ＝1，其方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)注意到点C 1(2,3)和点C 2(－3，－4)在直线x ＋y ＝0的两侧，直线x ＋y ＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|－1＋|PC 2|－3≥|C 1C 2|－4＝74－4，当且仅当M ，N ，P 在线段C 1C 2上时取等号，此时点P 为直线C 1C 2与x ＋y ＝0的交点，过C 1，C 2的直线方程为7x －5y ＋1＝0，联立⎩⎨⎧x ＋y ＝0，7x －5y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－112，y ＝112，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－112，112.11．若直线ax －by －6＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0的周长，则3a ＋3b的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案D解析圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，于是得3a＋3b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝32时取“＝”，所以3a＋3b的最小值为4.12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为()A．－12B．－8C．6D．－1答案ABD解析由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，圆心为(1,2)，半径为r＝10－a(a<10)，圆心到已知直线的距离为d＝|3－8－15|32＋(－4)2＝4，则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，由题意得3<10－a<5，解得－15<a<1.13．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是()A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上B．圆M的面积的最大值为50πC．圆M的半径的最小值为1D．满足条件的所有圆M的半径之积为8答案AB解析∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝a2＋(a－2＋2)2＝2|a|，∵圆M被x轴截得的弦长为2，∴2r2－(a－2)2＝2a2＋4a－4＝2，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；当a＝1时，圆M的半径最小，为2，故C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为52×2＝10，故D错误．14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足|PA||PB|＝2，则△PAB面积的最大值是()A.2B．2C．22D．4 答案C解析设以经过点A ，B 的直线为x 轴，AB →的方向为x 轴正方向，以线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A (－1,0)，B (1,0)．设P (x ，y )，∵|PA ||PB |＝2，∴(x ＋1)2＋y 2(x －1)2＋y2＝2，两边平方并整理得x 2＋y 2－6x ＋1＝0，即点P 的轨迹为(x －3)2＋y 2＝8.要使△PAB 的面积最大，只需点P 到AB (x 轴)的距离最大，此时面积为12×2×22＝2 2.。

2020高考数学复习专题56 圆的方程(解析版)

22
2
( D , E ) ；当 D2＋E2－4F<0 时，该方程不表示任何图形． 22
AC 0
3．二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示圆的充要条件是 B 0
；而 A＝C，

D
2

E2

4F

0
B＝0 是方程表示圆的必要不充分条件．
4．以两个不同点 A(x1，y1)和 B(x2，y2)为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0 ． 5．点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆外、点在圆内．具体内容如下：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M 的坐标为(x0，y0)． (1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； (3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．
x y
2

0
解得圆心为
（1，1）半径为 112 112 2 ，所以圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 4 ．
2.经过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程为________ ．【解析】法一设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
2)到直线 kx－y－4k＝0 的距离不大于圆的半径 2，即 2 5k 2 ，解得 20 k 0 ，所以 y 的最大
（2）圆 C : (x 3)2 ( y 3)2 18 的圆心 C(3, 3) ，根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为 M，可
以得 M、O、C 共线，所以圆心 M 在直线 y x 上.又因为圆 C 过点 A(0, 2) 和原点 O，所以 C 在 OA 的中垂

高考数学复习、高中数学圆的方程附答案解析

第3节圆的方程【课标要求】1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．2．能用圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．【知识衍化体验】知识梳理1．圆的定义在平面内，到的距离等于的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是和． 2．圆的标准方程（1）以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为．（2）特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r >0)的圆心为，半径为． 3．圆的一般方程方程220x y Dx Ey F ++++=变形为22224()()224D E D E Fx y +-+++=．（1）当2240D E F +->时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，该方程表示一个点；（3）当2240D E F +-<时，该方程不表示任何图形． 4．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，M 到C 的距离为d ，M 与圆C 的位置关系：（1）点M (x 0，y 0)在圆上⇔ ⇔ ；（2）点M (x 0，y 0)在圆外⇔ ⇔ ；（3）点M (x 0，y 0)在圆内⇔ ⇔ ． [微点提醒]1．到两定点距离之比等于定值（大于0且不为1）的点的轨迹也是圆（阿波罗尼斯圆）． 2．圆心在坐标原点半径r 的圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，圆的标准方程可以通过三角换元得到圆的参数方程：cos ,sin .x a r y b r =+⎧⎨=+⎩θθ3．直径式方程：以11()A x y ，，22()B x y ，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=．4．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.基础自测疑误辨析多项选择题1．下列说法正确的是（） A ．确定圆的几何要素是圆心与半径． B ．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．C ．若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0． D ．圆x 2＋2x ＋y 2＋y ＝0的圆心是1(1,)2．教材衍化2．（必修2P111练习3（2）改编）圆心在直线y x =-上，且过两点(20)A ，，(04)B -，的圆的标准方程为．3．（必修2P111练习8改编）若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围是．考题体验4．若点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．a ＝±15．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝16．已知三点(10)A ，，(0B ，(2C ，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A ．53B ．3CD ．43【考点聚焦突破】考点一求圆的方程问题【例1】（1）过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆的方程为________．（2）已知圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，且与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________．规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：⇔圆心在过切点且垂直切线的直线上； ⇔圆心在任一弦的中垂线上； ⇔相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．【训练1】（1）已知点A 是Rt △ABC 的直角顶点，且A (a ，2)，B (－4，a )，C (a ＋1，1)，则△ABC 的外接圆的方程是____________．（2）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M 在圆C 上，且圆心到直线20x y -=，则圆C 的方程为．考点二与圆有关的最值问题角度1 斜率型、截距型、距离型最值问题【例2-1】已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．（1）求P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；（2）求x －2y 的最大值和最小值；（3）求y －2x －1的最大值和最小值．规律方法1．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解． 2．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：（1）形如μ＝y －bx －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如m =(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．角度2 利用对称性求最值【例2-2】已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17规律方法求解形如|PM |＋|PN |（其中M 、N 为动点）且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和（差）转化为同一条直线上的两线段和（差），一般要用对称性解决．【训练2】（1）已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋2C ．3－22D ．3－22（2）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=（3）光线从A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．考点三与圆有关的轨迹问题【例3】（1）设定点M (－3，4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，P 为线段MN 的中点，求点P 的轨迹方程．（2）已知点M （x ，y ）与两个定点O （0，0），A （3,0）的距离之比为12，求点M 的轨迹方程为．规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程．（3）几何法：利用圆的几何性质列方程．（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】（1）圆224240：中经过原点O的弦的中点M的轨迹方程是C x y x y++--=________．（2）已知圆22+=和点(2,0):1O x yb≠-和常数λ满足：对圆OB b(2)A-，若定点(,0)上任意一点M，都有||||b=λ=MB MA=λ，则（Ⅰ）；（Ⅱ）. 反思与感悟[思维升华]1．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法．确定圆的方程，不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个参数，需要三个独立的条件，因此利用待定系数法求解时需要建立三个方程的方程组．2．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．[易错防范]1．在研究圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0时，要注意D2＋E2－4F>0这一隐含条件．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，求轨迹在得出方程后还要指明轨迹的具体曲线．第3节圆的方程【知识衍化体验】知识梳理1．定点定长圆心半径2．（1） (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 （2） (0，0) r3．（1）()22D E --，（2）()22D E--，4．（1）d=r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2 （2）d >r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2 （3）d <r (x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2 基础自测 1．AC2． 22(3)(3)10x y -++= 3． (1+)-∞， 4． A 5． A 6． B【考点聚焦突破】【例1】 (1)x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0 (2)(x －2)2＋(y ＋3)2＝5解（1）由已知三点求出圆的方程，设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0．（2）圆C 关于直线2x －y －7＝0对称，则圆心在直线2x －y －7＝0上，所以圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，则圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，则圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5．【训练1】（1）(x ＋2)2＋y 2＝5 （2）22(2)9x y -+=（1）24AB a k a -=--，1AC k =-．因为 AB ⇔AC ，所以 2(1)14AB AC a k k a-⋅=⋅-=---，解得a ＝－1．所以 ⇔ABC 的外接圆是以B (－4，－1)，C (0，1)为直径的圆，所以所求圆的方程是(x ＋2)2＋y 2＝5．（2）设(,0),(0)C a a >2,3a r ⇒===，故圆C 的方程为22(2)9.x y -+=【例2-1】（1）最大值为115，最小值为15；（2）最大值为5－2，最小值为－2－5；（3）最大值为3＋34，最小值为3－34．解（1）圆心C (－2，0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3×（－2）＋4×0＋12|32＋42＝65．所以P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d－r ＝65－1＝15．（2）设t ＝x －2y ，则直线x －2y －t ＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点．所以|－2－t |12＋22≤1．所以－5－2≤t ≤5－2，所以t max ＝5－2，t min ＝－2－5．（3）设k ＝y －2x －1，则直线kx －y －k ＋2＝0与圆(x ＋2)2＋y 2＝1有公共点，所以|－3k ＋2|k 2＋1≤1，所以3－34≤k ≤3＋34，所以k max ＝3＋34，k min＝3－34．【例2-2】 A两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4．故选A ．【训练2】（1）A ；（2）A ；（3）62－2 。

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高中有关圆的练习题及讲解### 高中数学：圆的练习题及讲解#### 练习题一：圆的方程题目：已知圆心在(2,3)，半径为5，求这个圆的标准方程。

解答：圆的标准方程为 \( (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \)，其中 \( (h,k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。

将已知的圆心坐标(2,3)和半径5代入公式，得到：\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 5^2 \]\[ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \]#### 练习题二：圆与直线的位置关系题目：已知直线 \( y = x + 1 \) 与圆 \( (x-1)^2 + (y-2)^2 = 9 \)，求直线与圆的位置关系。

解答：首先，确定圆心和半径。

圆心为(1,2)，半径为3。

接着，计算圆心到直线的距离 \( d \)：\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]对于直线 \( y = x + 1 \)，即 \( Ax + By + C = 0 \)，我们有\( A = 1, B = -1, C = -1 \)，圆心坐标 \( (x_0, y_0) = (1, 2) \)。

代入公式计算得：\[ d = \frac{|1\cdot1 - 1\cdot2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \]因为 \( d < r \)（\( \sqrt{2} < 3 \)），所以直线与圆相交。

#### 练习题三：圆的切线题目：在圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 上求一点P，使得过P的切线与直线 \( y = x \) 平行。

解答：圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 的圆心在原点(0,0)，半径为5。

过P的切线与直线 \( y = x \) 平行，意味着切线的斜率为1。

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