立体几何四解套
2022版高考数学一轮复习 高考大题规范解答系列(四)—立体几何学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列（四）—立体几何学案（含解析）新人教版班级：科目：高考大题规范解答系列(四）——立体几何考点一线面的位置关系与体积计算例1（2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】—-规范答题步步得分（1)取AC的中点O，连接DO,BO．1分错误!因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO．又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分错误!故AC⊥BD．4分错误!（2)连接EO．5分错误!由（1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中,BO2＋AO2＝AB2,又AB＝BD,所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．7分得分点⑤由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝错误!AC．8分错误!又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO ＝错误!BD ．故E 为BD 的中点， 9分错误!从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的错误!,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的错误!，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．【评分细则】①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出AC ⊥DO 和AC ⊥BO 得1分，由线面垂直的判定写出AC ⊥平面DOB ，再得1分．③由线面垂直的性质得出结论得1分．④作出辅助线，并用语言正确表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB ＝90°得2分．⑥由直角三角形的性质得出EO ＝12AC 得1分． ⑦由等边三角形的性质得出E 为BD 的中点，得1分．⑧得出四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的错误!得2分．⑨正确求出体积比得1分．【名师点评】1．核心素养:空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象"的核心素养．2．解题技巧：(1）得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤,有则给分，无则没分,所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC ⊥DO ，AC ⊥BO ；第(2)问中BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2等．(2)利用第（1）问的结果：如果第（1)问的结果对第（2）问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第（1）问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO ＝AO ．〔变式训练1〕（2020·课标Ⅰ,19）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC ＝90°．(1)证明:平面P AB⊥平面P AC；（2)设DO＝错误!,圆锥的侧面积为错误!π，求三棱锥P－ABC的体积．[解析](1)证明：由题设可知，P A＝PB＝PC．由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB,△P AC≌△PBC．又∠APC＝90°,故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC．（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl＝错误!，l2－r2＝2．解得r＝1，l＝错误!．从而AB＝3．由(1）可得P A2＋PB2＝AB2，故P A＝PB＝PC＝错误!．所以三棱锥P－ABC的体积为错误!×错误!×P A×PB×PC＝错误!×错误!×错误!3＝错误!．考点二线面的位置关系与空间角计算（理）例2（2021·山西省联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC,AA1的中点．（1）证明:OM∥平面CB1A1;(2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【分析】①在平面A1B1C内构造与OM平行的直线，并证明；②建立空间直角坐标系，分别求平面MOB1、平面CB1A1的法向量，求两法向量夹角正弦值即可．【标准答案】——规范答题步步得分(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON∥BB1，且ON＝错误!BB1，2分错误!又MA1∥BB1，MA1＝错误!BB1，所以四边形ONA1M为平行四边形，即OM∥A1N．4分错误!因为OM⊄平面CB1A1，A1N⊂平面CB1A1，所以OM∥平面CB1A1.5分错误!(2）解:连接OA，令BC＝2，因为AB＝AC，O为BC的中点,所以AO⊥BC．又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，ON∥BB1，所以OA，OB，ON两两垂直，分别以错误!，错误!,错误!的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．6分错误!因为AB＝AC＝2，BC＝AA1＝2，所以O错误!，B1错误!，M错误!，C错误!，所以错误!＝错误!＝错误!,错误!＝错误!,错误!＝错误!．7分错误!设平面MOB1的法向量为m＝错误!，则错误!即错误!令z＝1，可得y＝－1，x＝2,所以平面MOB1的一个法向量为m＝错误!．8分错误!设平面CB1A1的法向量为n＝错误!，则错误!即错误!令c＝1，可得b＝－1，a＝1，所以平面CB1A1的一个法向量为n＝错误!，9分错误!所以cos<m,n〉＝错误!＝错误!＝错误!，11分错误!所以平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值为错误!．12分错误!【评分细则】①第一问共5分，证出ON∥BB1和ON＝错误!BB1得2分，证出OM∥A1N得2分，未说明OM⊄平面CB1A1，直接证出OM∥平面CB1A1，扣1分．②第二问共7分，建立空间直角坐标系，并正确写出坐标得2分,写出平面MOB1的法向量与平面CB1A1的法向量各得1分．③其他方法按步骤酌情给分．【名师点评】1．核心素养:本题主要考查线面平行的证明以及空间二面角的求解，考查考生的逻辑推理能力与空间想象力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：（1）得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤,有则给分,无则没分，所以对于得分点步骤一定要写,如第(1)问中写出OM∥平面CB1A1成立的条件，写不全则不能得全分．(2)思维发散：①注意到O、M分别为BC、AA1的中点，考虑构造三角形中位线证明（1）．连BM并延长与B1A1的延长线相交于H，连CH，由M为AA1的中点,∴AM＝MA1,又AB∥A1B1，∴∠ABM＝∠MHA1，又∠AMB＝∠HMA1，∴△ABM≌△A1HM，∴BM＝MH，又O为BC中点，∴MO∥CH，又MO⊄平面CB1A1，CH⊂平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．②注意到解答(2）需求平面CB1A1的法向量n，故要证明OM∥平面CB1A1，可直接建立空间直角坐标系，求出n,证明n·错误!＝0，说明OM⊄平面CB1A1即可得证．〔变式训练2〕(2020·浙江，19）如图,在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB＝∠ACD ＝45°,DC＝2BC．（1）证明：EF⊥DB；（2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．[解析](1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O,连接OB．由∠ACD＝45°，DO⊥AC得CD＝错误!CO，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC．由∠ACB＝45°，BC＝错误!CD＝错误!CO得BO⊥BC．所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB．由三棱台ABC－DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB．（2）解法一：过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH．由三棱台ABC－DEF得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角,由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．设CD＝2错误!，由DO＝OC＝2，BO＝BC＝错误!，得BD＝错误!,OH＝错误!,所以sin∠OCH＝错误!＝错误!，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为错误!．解法二:由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ．如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz．设CD＝22．由题意知各点坐标如下：O（0,0,0），B(1,1,0）,C(0，2,0)，D（0，0，2)．因此错误!＝（0,2，0），错误!＝（－1,1，0），错误!＝（0,－2,2）．设平面BCD的法向量n＝（x，y，z)．由错误!即错误!可取n＝（1，1,1)．所以sin θ＝｜cos<错误!，n〉｜＝错误!＝错误!．因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为错误!．考点二线面位置关系与空间距离的计算(文)例2(2021·全国新课改T8联考）如图,在四面体ABCD中，△ABD是等边三角形，且AC＝BC．(1)证明：AB⊥CD．(2)若AB＝2，AC＝错误!,BC⊥CD，求点B到平面ACD的距离．【分析】①利用线面垂直证线线垂直；②利用体积法求点到平面的距离．【标准答案】-—规范答题步步得分(1）证明：取AB的中点E，连接CE，DE,如图,1分因为△ABD是等边三角形,所以DE⊥AB，又AC＝BC，所以CE⊥AB．又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE,4分故AB⊥CD．5分(2)因为BD＝AB＝2，BC＝AC＝错误!,BC⊥CD，所以CD＝错误!＝1．又AD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2,即AC⊥CD，则S△ACD＝错误!．由题可得CE＝错误!＝错误!，DE＝错误!＝错误!，则CD2＋CE2＝DE2，即CE⊥CD，则S△BCD＝错误!．设点B到平面ACD的距离为d，因为AB⊥平面CDE,V B－ACD＝V B－BCD＋V A－ECD，所以错误!·S△ACD·d＝错误!·S BCD·AB，11分即错误!×错误!d＝错误!×错误!×2，解得d＝错误!，即点B到平面ACD的距离为错误!．【名师点评】核心素养：本题主要考查线、面垂直的判定与性质及利用体积法求点到平面的距离，考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力．〔变式训练2〕(2021·黑龙江大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝错误!，AB＝AA1＝2,E是棱CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AE；(2）求点A1到平面ABE的距离．[解析］(1)取A1B中点F，联结AF,EF，AE，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB,又∵E是CC1的中点,A1C1＝BC，∴A1E＝BE,又∵AB＝AA1，∴A1B⊥EF，A1B⊥AF，∴A1B⊥平面AEF，∴A1B⊥AE；(2)VA1－ABE＝VB－A1AE＝错误!×错误!×2×错误!×错误!＝错误!，设A1到平面ABE的距离为h，则错误!×h×S△ABE＝错误!，由已知得AE＝BE＝错误!，∴S△ABE＝错误!，∴h＝错误!．考点三,立体几何中的折叠问题(理）例3(2021·启东模拟）如图，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2,∠ADE＝60°，沿AE,BF折成三棱柱AED－BFC．（1)若M，N分别为AE，BC的中点,求证：MN∥平面CDEF;(2）若BD＝错误!,求二面角E－AC－F的余弦值．【分析】 ①利用面面平行的判定和性质即可证明；②建立空间直角坐标系,分别求出二面角两个面的法向量,利用空间向量法求解． 【标准答案】—-规范答题 步步得分 (1)取AD 的中点G ，连接GM ,GN ，在三角形ADE 中，∵M ，G 分别为AE ,AD 的中点, ∴MG ∥DE ,∵DE ⊂平面CDEF ，MG ⊄平面CDEF ， ∴MG ∥平面CDEF ．由于G ，N 分别为AD ，BC 的中点， 由棱柱的性质可得GN ∥DC ， ∵CD ⊂平面CDEF ，GN ⊄平面CDEF ， ∴GN ∥平面CDEF ．又GM ⊂平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，MG ∩NG ＝G , ∴平面GMN ∥平面CDEF ,∵MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面CDEF ． (2)连接EB ，在Rt △ABE 中,AB ＝1,AE ＝3， ∴BE ＝2，又ED ＝1，DB ＝5， ∴EB 2＋ED 2＝DB 2，∴DE ⊥EB ，又DE ⊥AE 且AE ∩EB ＝E , ∴DE ⊥平面ABFE ．∴EA 、EF 、ED 两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系，可得E （0,0,0),A (3,0，0），F （0，1,0)，C (0，1,1），AC →＝（－错误!,1，1)，错误!＝（－错误!,0，0)，错误!＝（0,0,1)． 设平面AFC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ), 则错误!则z ＝0，令x＝1，得y＝错误!，则m＝(1，错误!,0)为平面AFC的一个法向量,设平面ACE的法向量为n＝（x1,y1，z1),则错误!则x1＝0，令y1＝1,得z1＝－1,∴n＝（0，1，－1）为平面ACE的一个法向量．设m，n所成的角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!，由图可知二面角E－AC－F的余弦值是错误!．【评分细则】①由线线平行得到线面平行，给2分．②同理再推出一个线面平行,给1分．③由线面平行推出面面平行,给1分．④由面面平行得到线面平行，给1分．⑤由线线垂直证出线面垂直，为建系作好准备，给2分．⑥建立适当坐标系，写出相应点的坐标及向量坐标,给1分．⑦正确求出平面的法向量，给2分．⑧利用公式求出两个向量夹角的余弦值，并正确写出二面角的余弦值，给2分．【名师点评】1．核心素养：本题考查线面平行的判定与性质定理,考查二面角的求解，考查的数学核心素养是空间想象力、推理论证能力及数学运算能力．2．解题技巧:(1）得分步骤:第（1）问中的DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，要写全．(2）得分关键：第（2)中，证明线面垂直从而得到线线垂直，才能建系．（3）折叠问题的求解，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化,对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决．〔变式训练3〕(2021·河北质检）如图1：在△ABC中,AB⊥BC，AB＝2BC＝4,点E，F分别是线段AB和AC的中点．如图2：以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置．(1）证明:平面FPC ⊥平面BPC ；（2）若△PEB 为等边三角形，求二面角C －PF －E 的余弦值． [解析] (1)证明：如图,设M ,N 分别为线段PB ，PC 的中点，连接EM ，MN ，FN ,故MN 綊错误!BC ． 由E ，F 分别是线段AB 和AC 的中点，得 PE ＝BE ,PF ＝CF ，EF 綊12BC ,故EF 綊MN ，所以EM 綊FN ． 又M ，N 分别为线段PB ,PC 的中点， 所以EM ⊥PB ，FN ⊥PC ．又EM 綊FN ，所以FN ⊥PB ,所以FN ⊥平面PBC ． 又FN ⊂平面FPC ，所以平面FPC ⊥平面BPC ．(2）解：因为BC ⊥AB ，所以翻折后有BC ⊥BE ，BC ⊥EP ， 所以BC ⊥平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面BCFE ．若△PEB 为等边三角形，则PB ＝2． 设O 为BE 的中点,连接PO ,故PO ⊥BE ， 故PO ⊥平面BCFE ．以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．则C(1，2,0)，F(－1,1,0），E(－1，0，0)，P(0，0，错误!)．设n＝(x1,y1，z1）为平面PEF的法向量,则错误!即错误!可取n＝(－3,0,1）．设m＝(x2，y2，z2)为平面PCF的法向量,则错误!即错误!可取m＝(1，－2,－错误!）．所以cos〈n，m〉＝错误!＝错误!＝－错误!，由题意,可知二面角C－PF－E为钝角．所以二面角C－PF－E的余弦值为－错误!．考点三，立体几何中的折叠问题（文）例3（2018·课标全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°．以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．(1）证明：平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝错误!DA,求三棱锥Q－ABP 的体积．【分析】①线线垂直推出线面垂直,进而得到面面垂直；②利用锥体的体积公式求解．【标准答案】——规范答题步步得分(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC．又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD．又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC．(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3,DA＝3错误!．又BP＝DQ＝错误!DA，所以BP＝2错误!．作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊错误!DC．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1．因此，三棱锥Q－APB的体积为V Q－ABP＝错误!×QE×S△ABP＝错误!×1×错误!×3×2错误!sin45°＝1．12分错误!【评分细则】①由线线垂直推出线面垂直，给3分．②由线面垂直得面面垂直，给2分．③根据已知，求出BP的长，给2分．④证明QE为三棱锥Q－APB的高，并求出它的值，给3分．⑤利用体积公式正确求解，给2分．【名师点评】1．核心素养：本题考查面面垂直的证明及三棱锥的体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．2．解题技巧：(1)解决翻折问题的关键①一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化;②翻折后不在同一个平面上的性质可能会发生变化,翻折过程中长度、角度和平行、垂直关系是否发生改变是解决问题的关键．（2)计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高,若是不方便求,要注意进行体积的转化．〔变式训练3〕(2021·河北省衡水中学调研)等边三角形ABC的边长为6,O为三角形的重心，EF过点O 且与BC平行，将△AEF沿直线EF折起,使得平面AEF⊥平面BCFE．(1）求证：BE⊥平面AOC；（2)求点O到平面ABC的距离．[解析]（1)因为O为三角形ABC的重心,所以AO⊥BC,因为EF∥BC,所以AO⊥EF，因为平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE＝EF，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面BCFE，因为BE⊂平面BCFE，所以AO⊥BE，因为O为三角形ABC的重心，所以CO⊥BE，因为AO、CO⊂平面AOC，AO∩CO＝O，所以BE⊥平面AOC．（2）∵等边三角形ABC的边长为6，O为三角形ABC的重心，∴AO＝BO＝CO＝2错误!，S△OBC＝错误!×6×错误!＝3错误!，由(1)可知AO⊥OC，∴AC＝26，同理AB＝2错误!，∴S△ABC＝错误!×6×错误!＝3错误!，V O－ABC＝V A－OBC，即错误!×3错误!×h＝错误!×3错误!×2错误!，解得h＝错误!．即点O到平面ABC的距离为错误!．考点四，立体几何中的探索性问题（理)例4 （2021·陕西省西安中学模拟）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为菱形，且P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC中点,F是PC上的点．（1)求证：平面AEF⊥平面P AD；（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为错误!？若存在，请求出错误!的值；若不存在，请说明理由．【分析】①利用面面垂直的判定定理,证AE⊥平面P AD或证AD⊥平面AEF即可；②建立空间直角坐标系，假设符合条件的点F存在，且错误!＝λ错误!，利用向量法求解λ回答．【标准答案】--规范答题步步得分（1)连接AC,因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD,∵P A⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴P A⊥AE，又P A∩AD＝A,∴AE⊥平面P AD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面P AD．（2）又P A⊥AD,∴P A、AE、AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB＝AP＝2，则AE＝3，则A(0,0,0），C（3,1，0)，D(0,2,0），P(0，0,2），E(3,0,0）,M（0，1,1），7分错误!设错误!＝λ错误!＝λ错误!，0≤λ≤1，则错误!＝错误!＋错误!＝(0，0，2)＋λ(错误!，1，－2)＝（错误!λ，λ，2－2λ），又错误!＝错误!，设n＝错误!是平面AEF的一个法向量，则错误!，取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ），设直线EM与平面AEF所成角为θ,由错误!＝错误!，得：sin θ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．化简得:10λ2－13λ＋4＝0， 解得λ＝错误!或λ＝错误!,故存在点F 满足题意，此时错误!为错误!或错误!． 【评分细则】①证出△ABC 是正三角形得1分． ②证出AE ⊥AD 得1分．③由线面垂直性质证出P A ⊥AE 得1分，不写AE ⊂平面ABCD 不得分． ④由线面垂直的判定证出AE ⊥平面P AD 得1分． ⑤证出平面AEF ⊥平面P AD 得1分，条件不全不得分． ⑥建出空间直角坐标系得1分． ⑦设出错误!＝λ错误!得1分．⑧求出平面AEF 的法向量得3分，算错但写出错误!,错误!坐标得1分． ⑨求出λ得2分，算错但写出sin θ＝|cos 〈EM ，→，n 〉｜＝错误!得1分． ⑩得出正确结论得1分． 【名师点评】1．核心素养:本题考查线面的位置关系及线面角，考查学生转化与化归的思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：（1）写全得分步骤：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写,如第（1）问中AE ⊂平面ABCD ．（2）写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分,无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(2)问中空间直角坐标系的建立；再如错误!＝错误!＋错误!等．（3）思维发散：也可通过证AD ⊥P A 、AD ⊥AE 证得AD ⊥平面AEF ，进而证得平面AEF ⊥平面P AD ．〔变式训练4〕（2021·陕西省质检）如图所示,等腰梯形ABCD 的底角∠BAD ＝∠ADC ＝60°,直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ,且∠EDA ＝90°,ED ＝AD ＝2AF ＝2AB ＝2．(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；（2)点M在线段EF上，试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!．[解析](1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴ED⊥AB，∵AB＝1，AD＝2,∠BAD＝60°，∴BD＝错误!＝错误!，∴AB2＋BD2＝AD2,∴AB⊥BD,又∴BD⊂平面BDE,BD∩ED＝D,AB⊥平面BDE,AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD．(2）以B为坐标原点，以BA，BD为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0)，C错误!，D(0，错误!，0），E(0,错误!，2),F（1，0,1）,则错误!＝错误!，错误!＝(0，0,2），错误!＝(1,0，0)，错误!＝（1,－错误!，－1）,设错误!＝λ错误!＝（λ,－错误!λ,－λ)，（0≤λ≤1)，则错误!＝错误!＋错误!＝（λ,错误!－错误!λ,2－λ），设平面CDE的法向量为m＝(x1，y1,z1)，平面ABM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则错误!即错误!不妨取y1＝1，则m＝（－3，1，0)，错误!不妨取y2＝2－λ，则n＝（0,2－λ，错误!λ－错误!)，∴|cos θ|＝错误!＝错误!＝错误!,即λ＝错误!或λ＝错误!(舍)，即点M为线段EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!．考点四,立体几何中的探索性问题（文)例4(2018·全国Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧错误!所在平面垂直,M 是错误!上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；(2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【分析】①看到平面AMD⊥平面BMC，想到利用面面垂直的判定定理寻找条件证明；②看到MC∥平面PBD，想到利用线面平行的定理进行分析．【标准答案】——规范答题步步得分(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为错误!上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连接AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点，连接OP,因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【评分细则】①由平面CMD⊥平面ABCD推出BC⊥DM，给3分．②由线线垂直得到DM⊥平面BMC，给2分．③由线面垂直得到,平面AMD⊥平面BMC，给1分．④点明P为中点时，MC∥平面PBD，给1分．⑤正确作出辅助线并证得MC∥OP,给3分．⑥由线线平行证得MC∥平面PBD，给2分．【名师点评】1．核心素养：探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径,此类问题主要考查考生“直观想象"的核心素养．2．解题技巧：(1）得分步骤要写全：如第（1)问中，面面垂直性质定理的应用，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，不能丢．(2）得分关键：明确探索性试题的解题要领是先假设存在，然后采用相关定理或性质进行论证；第(2)问中,把假设当作已知条件进行推理论证，会起到事半功倍之效．〔变式训练4〕如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形,BC＝CE，点F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；(2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在,请说明理由．［解析］(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF．∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点,∴OF∥AE．又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF．(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H,连接DP，PH,CH．∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P,H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点,∴CH⊥BE．又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC．又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．。
2023-2024学年浙江省湖州市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-15-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省湖州市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(15)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）点直线与是共面直线与是异面直线1. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（ ）A. B. C.D. 2. 一个直角梯形上底、下底和高之比为， 将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）A. B. C. D.3. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 ，外径 ，筒高 ，方高 ，则其体积约为（单位： ）（ ）A. B. C. D.直四棱柱是长方体两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台正棱锥的侧面是全等的等腰三角形平行六面体不是棱柱4. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 内的所有直线与a 异面 内不存在与a 平行的直线内存在唯一的直线与a 平行 内的直线与a 都相交5. 直线a 不平行于平面，且直线a ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 若，，则若，，，则若，，，则若，，则6. 设，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 若，，，则若，，，则若，，，则若，，，则7. 设m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. B. C. D.平面平面直线与平面的夹角为平面平面8. 在长方体中，点 ，，，分别为 ，，，的中点，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D.若 ， ，则 若 ， ，则若 ，则 若 ， 与 所成的角相等，则9. 已知 和 是平面 内两条不同的直线， 是－个平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直该四面体的外接球球心与内切球球心重合该四面体的各面是全等的锐角三角形该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为110. 在四面体ABCD 中，AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，以下判断错误的是（ ）A. B. C. D. 123411. 设是两条不同的直线， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（ ）①若则 ②若 则 ③若则 ④若 则 A. B. C. D. 13. 边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为 .14. 过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA=6，AC=9，PB=8，则BD 的长为15. 半径为2的球的表面积为 .17. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝ ，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1) 证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．18. 如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1(1) 求证：AB∥平面PCD；(2) 求证：BC⊥平面PAC；(3) 若M是PC的中点，求三棱锥C﹣MAD的体积．19. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，， .(1) 证明：平面；(2) 求点到平面的距离.21. 正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1， AB的中点．（I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.13.14.15.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)21.。
2023-2024学年河南省高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(4)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）90°60°45°30°1. 在正方体 中， 为 的中点， 为侧面 的中心 为棱 上任意一点，则异面直线与 所成的角等于（ ）A. B. C. D. 49π36π32π28π2. 在正三棱锥P －ABC 中，O 为△ABC 的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO ，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 与x 有关，与y无关与x 无关，与y 无关与x 无关，与y 有关与x 有关，与y 有关3. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E ，F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF=1，D 1N=x ， AE=y ，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）A. B. C. D. 4. 在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）A.B.C.D.1235. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S 1 ， S 2 ， 则的值为（）A. B. C. D.4806. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（）A. B. C. D.0条或无数条2条0条或1条或无数条1条7. 若平面∥平面，直线平面，点平面，则过点M且与直线m平行的直线有（）A. B. C. D.01238. 下列命题中，正确命题的个数是（）．①若直线l上有无数个点不在平面内，则∥；②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点．A. B. C. D.2π9. 一个几何体的三视图如图所示，其表面积为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.123410. 下列说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A. B. C. D.1311. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（）A. B. C. D.1个2个3个4个12. 已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面， . ，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（）（1）平面（2）四棱锥的体积为12（3）平面（4）四棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.13. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则 =14. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．15. 正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为．16. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为 .17. 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，PA=AB,E是PD的中点.(1) 求证：平面EAC；(2) 求证：平面平面PAD．18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且.(1) 求证：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值.19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，E为CD的中点．(1) 求证：；(2) 在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.20. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点．(1) 求证：平面；(2) 求证：平面；21. 如图，在四边形ABCD中，，且，，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将折起，使点A到达点的位置，且 .(1) 证明：平面平面BCD；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
立体几何(学生版)-2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破
立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。
考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。
2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。
题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)求证：AO⊥CD；(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.1、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2 ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．3、异面直线所成角：若n 1 ,n 2分别为直线l 1,l 2的方向向量，θ为直线l 1,l 2的夹角，则cos θ=cos <n 1 ,n 2 > =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2.1(2023·江西萍乡·高三统考期中)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是BB 1,CD 的中点.(1)证明：EF ⎳平面AB 1C 1D ；(2)若AB =2A 1B 1，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为22，O 为ABCD 的中心，求异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值.2(2023·辽宁丹东·统考二模)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，二面角D 1-AD -C 的大小为120°，E 为棱C 1D 1的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)点F 在棱CC 1上，AE ⎳平面BDF ，求直线AE 与DF 所成角的余弦值．题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024·安徽合肥·统考一模)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，N 为C 1E 上一点.(1)证明：BN ⎳平面A 1DC ；(2)若AB =AC ,C 1E =3C 1N ，求直线DN 与平面A 1DC 所成角的正弦值.1、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A ，过点A 向平面α做垂线，确定垂足O ；(2)连结斜足与垂足为斜线AB 在面α上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；(3)把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
2023-2024学年湖北省十堰市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省十堰市高中数学人教B 版必修四-立体几何初步-专项提升(18)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则若 ，， ， 则 1. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）.A. B. C. D. 12342. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行．②CN 与BE 是异面直线．③CN与AF 垂直．④DM 与BN是异面直线．以上四个命题中正确的个数是（ ）A. B. C. D. 3. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在整席A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD=4，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D.5π20π4π4. 三棱锥中，平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.5. 在等腰三角形中，，顶角为，以底边所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为（）A. B. C. D.6. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.7. 设有以下四个命题：：若直线在平面外，则；：过空间中任意两条相交直线有且仅有一个平面；：若平面平面，，直线，则；：若平面平面，直线，则.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.个个个个8. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，，，②，③，，④，其中正确命题的个数有（）A. B. C. D.9189. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A. B. C. D.10. 如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（）AC=BCVC ⊥VD AB ⊥VC S △VCD ·AB=S △ABC ·VO A. B. C. D. 若 ， ，则 若 ， ，则若 ， ，则 若 ， ，则11. 已知， 表示两条不同的直线， 表示平面.下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为 ， 到平面的距离为 ， 为 ， 则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空13. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .14. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：① m ⊥n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .15. 已知正三棱柱中 中， ， ， ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 .16. 已知四面体的顶点都在同一个球的球面上， ， ，且 ， ， . 若该三棱锥的体积为 ，则该球的表面积为 .17. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1) 已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；(2) 已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．18. 在四棱锥中，底面为菱形，且，，是的中点.(1) 求证：面(2) 求直线和平面所成的角的正弦值．19. 如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.(1) 求证：平面；(2) 求二面角的余弦值.20. 三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD= ，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD的中点，P、Q分别为线段AO，BC上的动点，且AP=CQ，求三棱锥PQCO体积的最大值．21. 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．(1) 求证：AD⊥PB；(2) 已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)。
2023-2024学年陕西省西安市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年陕西省西安市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知长方体内接于球 ，底面 是边长为2的正方形， 为 的中点， 平面 ，则球 的表面积是（ ）A. B. C. D.若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊂β，则α⊥β若α∥β，n ⊥α，m ⊥β，则m ∥n 若m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β，则α⊥β若α∥β，n ⊂α，m ∥β，则m ∥n2. 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m ，n ，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为的球面上，那么该正方体的体积是（ ）A. B. C. D.线段BM 的长度是定值点M 在某个球面上运动存在某个位置，使DE ⊥A 1C 存在某个位置，使 平面A 1DE4. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A. B. C. D.120°150°180°240°5. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）A. B. C. D. c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βb ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αa ，b ⊂α，a∩b=P ，c ⊥a ，c ⊥b ，若α⊥β，则c ⊂β6. 设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）A. B. C. D. 这两个球的体积之和的最小值是这两个球的表面积之和的最小值是7. 在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则（ ）A. B.C. D. AD CD PC PD8. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA≠AD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，则MN 垂直于（ ）A. B. C. D. 不一定存在与a 平行的直线只有两条与a 平行的直线存在无数条与a 平行的直线存在唯一一条与a 平行的直线9. 已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中（ ）A. B. C. D. 10. 如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（）A. B. C. D.存在直线 ， 使存在直线 ， 使存在直线 ， 使l ，m 相交存在直线 ， 使l ，m 所成角为11. 已知直线 ， 平面 ， 满足， 则下列命题一定正确的是（ ）．A. B. C. D. 12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.213. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积为 .14. 如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 .15. 球内接直三棱柱，则球表面积为 .16. 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.17. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．(1) 证明：平面PBE⊥平面PAC(2) 试在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．18. 如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形.(1) 证明：平面平面；(2) 若，求二面角的余弦值.19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F(1) 求证：AD⊥平面CFG；(2) 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20. 在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.(1) 求证：平面；(2) 若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.21. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．(1) 求证：．(2) 若，，求二面角的余弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年江苏省南京市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-12-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省南京市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(12)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 在长方体中，，则异面直线与 所成角的正切值为（ ）A. B. C.D.在空间中，若两条直线没有交点，则两条直线一定相互平行若一条直线与平面没有公共点，则直线一定与这个平面平行若一条直线不平行于平面，则这条直线一定和这个平面相交若一条直线上的两个点在平面内，则这条直线可能不在平面内2. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 在 轴上在平面内在 平面内在 平面内3. 点 (2，0，1)在空间直角坐标系中的位置是（ ）A. B. C. D. 若则若则若则若 ， 则4. 已知是两个不同的平面，l,m,n 是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A. B. C. D. 圆椭圆双曲线抛物线5. 设m 是平面内的一条定直线，P 是平面外的一个定点，动直线n 经过点p 且与m 成30度角，则直线n 与平面的交点Q 的轨迹是 ( )A. B. C. D.①③①②②③③④6. 下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在 这条直线和平面间的相等线段平行A. B. C. D. 7. 如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（）A. B. C. D.若，则若，则若，则若，则8. 已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 23459.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用( )个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，，，现分别沿将矩形折叠使得与重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11. 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①②③①②①③①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 234612. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且 ， 则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 设正四面体的内切球半径为 ， 外接球半径为 ， 则 ．14. 已知三棱锥内接于表面积为 的球中，平面 平面 ， ， ，，则三棱锥 体积为 .15. 如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为，则该三棱锥的体积为 ．16. 对于四面体ABCD ，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号）①若AB=AC ，BD=CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ；②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，平面为等边三角形，.(1) 若平面，求的值；(2) 在（1）的条件下，求二面角的余弦值.18. 如图，在四棱锥中，底面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．19. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE =2EB=2(1) 证明：DE⊥平面PCD(2) 求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20. 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点.(1) 求证：平面平面；(2) 若，求直线与平面所成角的正弦值.21. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：；(3) 若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥最长的棱长为（ ）A. B. C. D.平面 2. 如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. B. C. D.3. 已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（ ）A. B. C. D.4. 在四面体PABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直且相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 和PE 所成角为（ ）A. B. C. D.AP ⊥EF点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心二面角A －EF －P 的余弦值为若四面体P －AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是245. 如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则下列结论错误的是（）A. B. C. D. 6. 如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点 ， 截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（）A. B. C. D.1247. 在长方形ABCD 中，AB=2AD ，过AD ，BC 分别作异于平面ABCD 的平面，，若，则l 与BD 所成角的正切值是（ ）A. B. C. D.若则若则若则若 ， 则8. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是( )A. B. C. D. 四面体最小体积四面体最小表面积四面体最短棱长四面体最小高9. 正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶；正四面体的重心，四条高的交点，外接球、内切球球心共点.4个半径为1的小球装入一个正四面体内，下列四个结论中错误的是（ ）A. B. C. D.2410. 一梯形用斜二测画法得到的直视图是如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积1，则原梯形的面积为（ ）A. B. C. D. 若 ，则 若 ，则若 ，则 若 ，则11. 设l,m 表示空间中不同的直线，表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 若 ， 则若 ， 则若 ， 则若 ， 则12. 已知l ，m 是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 13. 长宽高分别为5cm 、4cm 、3cm 的长方体的顶点均在同一球面上，则该球的表面积是 cm 2 ．14. 四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形．则在四棱锥P ﹣ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 对．15. 如图，在正方体中，O 为底面ABCD 的中心，E 为 的中点，则异面直线 与EO 所成角的余弦值为.16. 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.17. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，点是线段的中点.(1) 求证：面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18. 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.(1) 求证:PA//平面MBD.(2) 试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.19. 如图甲，在四边形中，，是边长为4的正三角形，把沿折起到的位置，使得平面平面，如图乙所示，点分别为棱的中点．(1) 求证：平面；(2) 求三棱锥的体积．20. 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：(1) 试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）(2) 求异面直线B1D1与C1D所成的角；(3) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．21. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.。
2023-2024学年湖南省湘潭市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖南省湘潭市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(11)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）直线与平面所成角最大值为面积的最小值是当时，平面平面1. 如图，在边长为2的正方体中，点是该正方体对角线上的动点，则以下结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 若，则若，则若，则若，则2. 设 ， 是两个不同的平面，， 是两条不同的直线，且 ， A. B. C. D. 3. 在棱锥P ﹣ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，Q 为底面△ABC 内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的体积为（ ）A.B.C.D.4. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A.B.C.D.5.某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该四棱锥的体积是( )A. B. C. D.16326. 三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是底面，PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ⊥PC ，且这四个顶点都在半径为2的球面上，PA=2PB ，则这个三棱锥的三个侧棱长的和的最大值为（ ）A. B.C.D. 7. 已知四面体中，平面，，，且，则四面体的外接球的表面积为（ ）A.B. C. D.3 3 998. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. B. C. D. ①②①④①③②④9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面.考查下列命题：①若，，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则 .其中真命题是（ ）A. B. C. D. a 310. 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=A 1D 1=a ，A 1B 1=2a ，点P 在线段AD 1上运动，当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，则三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积为（ ）A.B.C.D. -323或-2-3或211. 直线： ，： ，若∥ ， 则a=（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.12. 已知三棱锥S﹣ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（）A. B. C. D.13. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①；②与是异面直线；③与所成的角为；④．其中正确命题的序号是．14. 已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 .15. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④ .其中正确的说法的序号是．16. 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为．17. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，， .(1) 证明：平面；(2) 若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.18. 如图，在正方体中，为棱的中点．求证：(1) ∥平面；(2) 平面⊥平面19. 图1为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．(1) 图2方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；(2) 求证：BE∥平面PDA．(3) 求四棱锥B﹣CEPD的体积．20. 如图，在四棱锥中，平面PBC 平面，(1) 求证：平面；(2) 若直线与底面所成的角的余弦值为，求二面角的正切值.21. 如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为.（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积；（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)(3)20.(1)(2)21.。
2023-2024学年湖北省孝感市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-5-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省孝感市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-专项提升(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）8cmcmcmcm1. 在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是( )A. B.C.D.x 为直线, y,z 为平面x,y,z 为平面x,y 为直线,z 为平面x,y,z 为直线2. 设x,y,z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若，且 ，则”为真命题的是( )A. B. C.D. ①和②②和③③和④①和④3. 设、是两条不同的直线， 、 是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是（ ）①若，，则； ②若， ，则 ；③若，，则 ； ④若 ， ， 则 。
A. B. C. D. 4. 如图，在直棱柱中，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.5. 已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且 ， 则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.6. 已知长方体的高，则当最大时，二面角的余弦值为（ ）A.B.C. D.7. 若圆锥的底面半径与高均为1，则圆锥的表面积等于（ ）A.B.C.D.任意四边形都可以确定唯一一个平面若 ， 则直线m 与平面内的任意一条直线都垂直若 ， 则直线m与平面内的任意一条直线都平行若直线m 上有无数个点不在平面内，则8. 下列命题正确的是（ ）A. B. C. D.若， 则若， 则若 ， 则若则9.已知不同平面 ， 不同直线和 ， 则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. MN 与CC 1垂直MN 与AC 垂直MN 与BD 平行MN 与A 1B 1平行10.如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1 ， CD 1的中点，则下列判断错误的是（）A. B. C. D. 若，，则若，，则若，，则若，，则11. 已知是平面，是直线．下列命题中不正确的是（ ）A. B. C. D.123412. 已知为正方体，P ，Q ，R 分别为棱的中点，则①平面；②平面；③；④平面， 上述四个结论正确的个数为（ ）A. B. C. D. 13. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 ， AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于14. 如图，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是平行直线的图是 (填序号).15. 在正三棱柱中， ， 过且与平行的平面交直线于点P ，则CP ＝ ．16. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是 ．阅卷人得分三、解答17. 如图，四棱锥中，底面 是平行四边形， 在平面上的射影为 ，且 在 上，且，， 是的中点，四面体的体积为 ．(Ⅰ)求异面直线 与 所成的角余弦值；(Ⅱ)求点 到平面 的距离；(Ⅲ)若点是棱上一点，且，求的值．18. 已知多面体 ABCDE 中， DE ⊥ 平面 ACD ， BC ∥DE ， AC=CD=DA=DE=2BC=2 .(1) 求点 B 在平面 ADE上投影的位置，请说明具体位置并说明理由；(2) 求多面体 ABCDE 的体积.19. 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2 ，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．20. 如图，在三棱柱， F为AC中点．(1) 求证：平面．(2) 若此三棱柱为正三梭柱，且，求的大小.21. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，.(1) 证明：平面平面；(2) 若，，试在棱上确定一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年浙江省高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省高中数学人教B 版必修四-立体几何初步-专项提升(1)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若，则若，则若，则若，则1. 已知直线和平面，下列命题正确的是（）A. B.C.D.2寸3寸4寸5寸2. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=）A. B. C.D.，，则与异面，与异面，则与异面与相交，与相交，则与相交与所成的角与与所成的角相等，则3. 已知直线，，，下列说法正确的是（）A. B.C. D.4.如图所示，正四棱锥（即底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）P-ABCD的底面面积为3，体积为， E 为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为（）A. B. C. D.存在两条异面直线， .存在一条直线， .存在一条直线， .存在两条平行直线，.5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）A. B. C. D. 8πcm 2 12πcm 216πcm 220πcm 26. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）A. B. C. D. 12 π12π8π4π7. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则球O 的表面积为（ ）A. B. C. D. 64328. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=4，E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，则过E ，F ，H 的平面分别交直线PA ，CD 于M ，N 两点，则PM+CN=（ ）A. B. C. D. 9. 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.10. 设棱锥的底面是正方形，且, 的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为（ ）A. B. C. D.11. 设m 、n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（ ）①// ，则； ②；③； ④．①和②②和③③和④①和④A. B. C. D. 3个2个1个0个12. 已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，给出下列命题：①若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；③若n ，m 为异面直线n ⊂α，n ∥β，m ⊂β，m ∥α，则α∥β．其中正确命题的个数是（ ）A. B. C. D. 13. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2 ，则该球的体积为 ．14. 如图，P 为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱AA 1上的一个动点，若四棱锥P ﹣BCC 1B 1的体积为V ，则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为 （用V 表示）15. 学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为cm ，高为8cm ．打印所用原料密度为1g/cm 3 ， 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g ．（取 ，精确到0.1）．16. 已知三棱锥A ﹣BCD 的侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝AC ＝AD ＝1，则三棱锥的外接球的表面积是 .阅卷人17. 如图所示，四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，点 是 的中点．(1) 求证：平面 ；(2) 已知平面 底面 ，且 ．在棱 上是否存在点 ，使 ？请说明理由．18. 如图，在四棱锥中，点E，F分别在棱QA，QC上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，AC 交BD于点O．(1) 求证：平面ABCD；(2) 求平面ADQ与平面BCF所成角的余弦值．19. 在三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，点是的中点．(1) 求证：平面；(2) 求证： .20. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．(1) 在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；(2) 求二面角的余弦值．21. 如图，正方体中，，，，分别是，，，的中点.(1) 求证：平面 //平面；．(2) 求异面直线与所成角的大小答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年河南省周口市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-9-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省周口市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-专项提升(9)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 下列四个正方体图形中，分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）A. B. C.D.1232. 已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，有以下命题：①m ，n 相交且都在平面α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β．其中正确命题的个数是（ ）A. B. C. D. R=rR=rR=2rR=3r3. 正四面体的外接球和内切球的半径的关系是（ ）A. B. C.D. 4. 设 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是（ ）A.B.C.D.30°45°60°90°5. 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，点D 1 ， F 1分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点，若BC=CA=2CC 1 ， 则BD 1与AF 1所成的角是（ ）A. B. C. D.14斛22斛36斛66斛6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的高，底面圆O 的直径，C 是圆上一点，且，则直线PC 和平面AOC 所成角的正弦值为A. B. C. D.①③②③①④②④8. 下列命题中，m ，n 表示两条不同的直线，a ，b ，γ表示三个不同的平面①若m ⊥a ，n ∥a ，则m ⊥n ；②若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b ；③若m ∥a ，n ∥a ，则m ∥n ；④若a ∥b ，b ∥γ，m ⊥a ，则m ⊥γ．正确的命题是（ ）A. B. C. D. 39. 长方体的各个顶点都在表面积为的球的球面上，其中， 则四棱锥的体积为（ ）A.B.C.D.10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V=（ ）A. B. C. D. 11.已知 ， 为平面， ，，为直线，则下列说法正确的是（ ）若 ， ， 则若 ， ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， ， ， ， 则A. B. C. D. 12. 已知 ， 表示两条不同直线， ， 表示两个不同平面．设有四个命题： ：若 ， ，则 ；：若，，则；：若，，则；：若，，则．则下列复合命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.13. 在三棱锥 中，， 在底面 上的投影为 的中点 ， ，对于下列结论：①三棱锥 的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；③若三棱锥的四个顶点都在球 的表面上，则球 的体积为 ；其中所有正确结论的编号是 ．14. 已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的四个面是全等的锐角三角形.在等腰四面体中， ，， 则该四面体的内切球表面积为 .15. 如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点 ，.过椭圆上一点 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点.由球和圆的几何性质可知， ，.已知两球半径分为别 和 ，椭圆的离心率为 ，则两球的球心距离为.16. 如图，二面角 等于 ， 、 是棱 上两点， 、 分别在半平面 、 内， ， ，且，则的长等于 ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点.(1) 求证：平面；(2) 求二面角的大小；(3) 求直线与平面所成角的正弦值.18. 在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，，．(1) 证明：平面；(2) 证明：；(3) 求直线与平面所成角的正弦值．19. 如图，直四棱柱中，四边形是菱形.(1) 求证：平面；(2) 求证：平面 .20. 如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）若AC=4，求证：平面ADE⊥平面BCDE；（Ⅲ）若AC=4，求几何体C﹣BDF的体积．21. 如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD= ．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）求以C为顶点，△PBD为底面的棱锥C﹣PBD的高．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)20.21.。
2023-2024学年天津市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-2-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年天津市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-专项提升(2)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1861.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ，若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（ ）A. B. C. D.2. 如图，在圆锥中，为圆锥的底面直径，为等腰直角三角形，B 为底面圆周上一点，且 ， M为上一动点，设直线与平面所成的角为 ， 则的最大值为（ ）A. B. C. D.13. 如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A′，B′，C′，若，则＝（ ）A. B. C. D. 4. 在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是（ ）A. B.C. D.α∩β=m ，n ⊂α，m∩n=Aα∩β=m ，n ∈α，m∩n=A α∩β=m ，n ⊂α，A ⊂m ，A ⊂nα∩β=m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈n 5.如图所示，用符号语言可表达为（ ）A. B. C. D. 166. 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面边长为， 侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点， ． 则三棱锥B1-EFD 1的体积V= （ ）A. B. C. D. 1998立方尺2012立方尺2112立方尺2324立方尺7. 我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（ ）A. B. C. D. 8. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为 .那么这个斗的体积是（）A. B. C. D.9. 已知长方体的底面为正方形，与平面所成角的余弦值为，则与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.垂直于同一直线的两条直线相互平行若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行垂直于同一平面的两个平面相互平行若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直10. 给定下列四个命题，其中真命题是（ ）A. B. C. D. 13. 已知菱形的边长为2，.将沿折起，使得点至点的位置，得到四面体.当二面角的大小为120°时，四面体的体积为 ；当四面体的体积为1时，以为球心，的长为半径的球面被平面所截得的曲线在内部的长为 .14. 如下图，在一个棱长为2的正方体内挖去一个倒置圆锥，圆锥的上底圆周与正方体底面正方形相切，圆锥的顶点在正方体的底面上，用一个与正方体下底面平行且距离为d 的平面去截这个几何体，截得的图形面积为 .15. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有 个．16. 设α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α则n ∥α；②若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β；③若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．其中所有真命题的序号是 ．17. 如图，边长为2的等边三角形ABC 中，D 为BC 的中点，将△ABC 沿AD 翻折成直二面角B ﹣AD ﹣C ，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点．(1) 求证：BC ∥平面DEF ；(2) 求多面体D﹣BCEF的体积．18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面，，，，、分别是、的中点.(1) 证明：平面平面；(2) 若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19. 已知如图：四边形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2 ，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF⊥平面ACE．(1) 求证：AE∥平面BFD；(2) 求三棱锥A﹣DBE的体积；(3) 求二面角D﹣BE﹣A的大小．20. 如图，直三棱柱中，，，，，点是棱上不同于的动点.(1) 证明：；(2) 若是的中点，求四面体的体积.21. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为矩形，点F在棱PD上，且P与E位于平面ABCD的两侧．(1) 证明：平面PAB．(2) 若，，，且在上的投影为3，求平面ACF与平面ACE所成锐二面角的余弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)(3)20.(1)(2)(1)(2)。
2023-2024学年河南省周口市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-11-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省周口市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(11)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）A 1D⊥AF 三棱锥A ﹣BCF 外接球的表面积为9π点C 到平面AEF的距离为 平面AEF 截正方体所得的截面面积为1. 在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC 、CC 1的中点，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 2.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.18273. 用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为2，高为4，一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，当圆柱侧面积为4π时该圆柱的体积为（ ）π2π3π4πA. B. C. D. 5. 已知中， ，，， 以为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）A. B. C. D.平面平面平面平面6. 正方体ABCD －中，与平面AC 平行的是（ ）A. B. C. D. 17. 在三棱柱中, 是等边三角形, 平面,则异面直线和所成角的正弦值为（）A. B. C. D.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直对任意位置，三对直线“AC 与BD”，“AB 与CD”，“AD 与BC”均不垂直8. 已知矩形ABCD ，AB=1，BC= ． 将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）A. B. C. D. 9. 运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，与半球（如图一）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥（如图二），用任何一个平行与底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图三），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A. B. C. D.10. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面， ，， 底面扇环所对的圆心角为， 弧的长度是弧长度的2倍， ， 则该曲池的体积为（ ）A. B. C. D.11. 在四面体ABCD 中，△ABC 和△BCD 均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为（ ）A. B. C. D.494mL506mL 509mL 516mL 12. 西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具（如图1）．西施壶的壶身可近似看成一个球体截去上下两个相同的球缺的几何体．球缺的体积（R 为球缺所在球的半径，h 为球缺的高）．若一个西施壶的壶身高为8cm ，壶口直径为6cm （如图2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶壁厚度，π取3.14）（ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 三棱锥中， 平面 ，直线 与平面 所成角的大小为 ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ．14. 已知三棱锥 中，侧面 底面 ， ， ， ，则三棱锥 外接球的半径为 .15. 已知三棱锥P ﹣ABC 内接于球O ，PA=PB=PC=2，三棱锥P ﹣ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为 ．16. 如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线 ， 相交于点 ， 将沿折起到的位置，使平面平面 ． 给出以下5个结论：①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和 ．其中所有正确结论的序号是 ．阅卷人三、解答得分17. 如图，在四棱锥中，是正方形，平面．，E，F，G分别是，，的中点．(1) 求证：平面平面．(2) 在线段上确定一点Q，使平面，并给出证明．18. 已知三棱锥中，是底面正边的中点，，分别为，的中点.(1) 求证：平面；(2) 若平面，求证：平面 .19. 如图，已知是圆锥的底面直径，O是底面圆心，，，是母线的中点，C是底面圆周上一点，．(1) 求直线与底面所成的角的大小；(2) 求异面直线与所成的角．20. 在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点. .(1) 求证：；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21. 如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，．(1) 证明：平面；(2) 设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(1)(2)。
2023-2024学年浙江省舟山市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省舟山市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(18)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）+8π +8π +16π +16π1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C.D. 2. 在棱长为6的正方体中，为侧面内一动点，且满足平面 ， 若 ，三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.长方体 的体积3. 给定两个不共线的空间向量 与 ，定义叉乘运算：规定：① 为同时与 垂直的向量；② ， 三个向量构成右手系(如图1)；③如图2，在长方体中 ， ，则下列结论错误的是（ ）A.B.C. D.BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形4. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB=AF ∶FD=1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则（ ）A. B. C. D. 4个3个1个2个5. 如图，AB 是⊙O 直径，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，PA 与平面ABC 垂直，则四面体P_ABC 的四个面中，直角三角形的个数有（）A. B. C. D. ①②③④①③②④6. 设 m 、n 是两条不同的直线， α 、β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（ ）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A. B. C. D. 若，，，则若，，，则若，，则若，，，则7. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）A. B. C. D. π8. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A. B. C. D.9.如图，A 1B 1C 1-ABC 是直棱柱，，点D 1 ， F 1分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点. 若BC=CA=CC 1 ， 则BD 1与AF 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.若，则若，则若，则若，则10. 已知l ，m 是两条不同的直线，是平面，且，则（ ）A. B. C. D.①和②②和③③和④①和④11. 设 是两条不同的直线， 是三个不同的平面．给出下列四个命题：①若 ⊥ ， ，则 ； ②若 ，则 ；③若 ，则 ； ④若，则 ．其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 12. 设是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是（ ）A.B. C.D. 13. 如图，在直角中， ， ， 为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为 ， 则线段长度的最小值为 ．14. 已知圆锥的顶点为P ，母线的夹角为 ， 与圆锥底面所成角为 ， 若的面积为 ， 则该圆锥的侧面积为 ．15. 已知某圆台的上、下底半径和高的比为 ， 母线长为 ， 则该圆台的体积为 （）.16. 所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥中，AM 是PC 的中点，且 ，底面边长 ，则正三棱锥的外接球的表面积为 ；AM 与底面AB C 所成角的正弦值为 ．阅卷人得分三、解答17. 如图，在底面是正方形的四棱锥中， 面 ， 交 于点 ， 是 中点， 为 上一点．(1) 求证：．(2) 确定点 在线段 上的位置，使 平面 ，并说明理由．18. 已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC ，， E为CD的中点，(1) 证明:平面PBD 平面ABCD；(2) 若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N ，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 , ，E是的中点，作交于点F ．(1) 证明 : 平面；(2) 证明: 平面 .20. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，， .(1) 证明：；(2) 若，求二面角的正弦值.21. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C．(1) 求证：BC⊥平面ACD1；(2) 若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年湖南省衡阳市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-19-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖南省衡阳市高中数学人教B 版必修四-立体几何初步-强化训练(19)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， ，则 若 ， ，则若，，则 若，，则1. 是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题是真命题的是（）A. B. C.D.a ∥α直线a 与平面α至少有一个公共点a∩α=A 直线a与平面α至多有一个公共点2. 已知直线a 在平面α外，则（ ）A. B. C. D. 若 ， ，，则若， ，，则若 ， ， ，则 若 ， ， ，则3. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为（）A. B. C. D.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ）A. B. C. D.①②②③①②③②④6. 利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（ ）A. B. C. D. 7. 三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，且这个三棱锥的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为 （ ）A. B. C. D.①②①③①②③②③8. 已知三棱柱，平面截此三棱柱，分别与，，，交于点，，，，且直线平面.有下列三个命题：①四边形是平行四边形；②平面平面；③若三棱柱是直棱柱，则平面平面.其中正确的命题为（ ）A. B. C. D. 19.如图所示，点在平面外，分别是和的中点，则的长是（）A. B. C. D.10. 某几何体的三视图如图所示(单位： )，则该几何体的外接球的体积(单位： )是（）A. B. C. D.11. 圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm 的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹15cm 20cm没了玻璃球，则玻璃球的半径为（ ）A. B. C. D. 异面平行相交平行或异面12. 如果直线 与 没有公共点 ，那么直线 与 的位置关系是（ ）A. B. C. D. 13. 设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则 a ∥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线；③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中真命题的个数是14. 已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 ．15. 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于16. 如图所示，平面ABC ⊥平面ABD ，∠ACB=90°，CA=CB ，△ABD 是正三角形，则二面角的平面角的正切值为 .17. 在三棱柱中中，为中点，平面平面.(1) 求证：平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值.18. 已知三棱柱中， ， ， ， .(1) 求证：平面平面；(2) 若，为线段的中点，求三棱锥的体积.19. 如图1，在中，MA是BC边上的高，，.如图2，将沿MA进行翻折，使得二面角为，再过点B作，连接AD，CD，MD，且，.(1) 求证：平面MAD；(2) 在线段MD上取一点E使，求直线AE与平面MBD所成角的正弦值.20. 如图，底面为矩形的直棱柱满足：，， .(1) 求直线与平面所成的角的大小；(2) 设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值.21. 如图，已知在矩形中，，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：面；(3) 求二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年安徽省池州市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-1-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年安徽省池州市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(1)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1.如图，在三棱锥S －ABC 中，SB ＝SC ＝AB＝AC ＝BC ＝4，SA ＝2 ，则异面直线SB 与AC 所成角的余弦值是（）A. B.C. D.直线与直线异面，且 直线 与直线 共面，且直线 与直线 异面，且 直线 与直线 共面，且2. 如图，在正四棱柱中， ， 分别为 的中点，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，则（ ）A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形ABCD （A ，B ，C ，D 不共面）中，一个平面与边AB ，BC ，CD ，DA 分别交于E ，F ，G ，H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）若AE ：BE=CF ：BF ，则AC ∥平面EFGH若E ，F ，G ，H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC=BD ，则四边形EFGH 为矩形若E ，F ，G ，H 分别为各边中点且AC ⊥BD ，则四边形EFGH 为矩形A. B. C. D. 如果，则如果，则如果 ,则如果 ,则4. 对于不同直线以及平面，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. D. 相交异面平行异面或相交5. 若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 ( )A. B. C. D. 6π9π18π6. 已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）A. B. C. D. 三棱柱四面体六棱锥四棱柱7. 下列几何体中，顶点总数最多的是（ ）A. B. C. D. 若，，则若且，则若，，，，则若，，则8. 在空间中，已知l ，m ，n 为不同的直线，，，为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 9. 圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（ ）（参考数据：）60.22米63.23米66.22米70.50米A. B. C. D. 10. 已知三棱锥的四个顶点在球 的球面上， 平面 ， ， 与平面 所成的角为，则球 的表面积为（ ）A. B. C. D.16πcm 225πcm 275πcm 2100πcm 211. 一个平面截一个球得到截面面积为16πcm 2的圆面，球心到这个平面的距离是3cm ，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 123412. 设 ， 为两条直线，以下选项中能推出的个数是（ ）① ， 与同一个平面所成角相等② ， 垂直于同一条直线③ ， 平行于同一个平面④ ， 垂直于同一个平面A. B. C. D. 13. 设 . . 是三个不同的平面， . . 是三条不同的直线，则的一个充分条件为 ．① ； ② ；③ ； ④ .14. 如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为3 ，则它的侧棱长为15. 正方体 的棱长为1， ， 分别为 ， 的中点．则平面 截正方体所得的截面面积为 ；以点 为球心，以 为半径的球面与对角面 的交线长为 ．16. 已知平面 ， ，直线 ，若， ，则直线 与平面 的位置关系为 .17. 在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形．AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE ∥平面APD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ．18. 如图，底面是边长为3的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为45°．(1) 求证：平面⊥平面；(2) 求二面角的余弦值．19. 如图，四棱锥中，平面平面，，四边形是正方形.(1) 直线与平面是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；(2) 若二面角的平面角为60°，求直线与平面所成角的正弦值.20. 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB ， AE⊥EB ， AD∥EF ， EF∥BC ， BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．（Ⅰ）求证：AB∥平面DEG；（Ⅱ）求证：BD⊥EG；（Ⅲ）求多面体ADBEG的体积．21. 如图1，在中，，，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2.(1) 求证：平面；(2) 线段上是否存在一点，使得平面与平面成的角？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.16.17.18.(1)(2)(1)(2)20.21.(1)(2)。
2023-2024学年湖南省常德市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-13-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖南省常德市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(13)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）30°45°60°90°1. 空间四边形ABCD 中，E 、F分别为AC 、BD 中点，若，EF ⊥AB，则EF与CD 所成的角为（）A. B.C. D.∥与异面与相交与没有公共点 2. 若直线∥平面， 直线 ， 则与的位置关系是 （ ）A. B. C. D. 若 ，则 若 ，则若 ，则 若 ，则3. 设 是直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 4. 已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）A. B. C. D.平方尺 平方尺 平方尺 平方尺5. 《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。
”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图）。
”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（ ）A. B. C. D.12306. 设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l ⊥α，α⊥β，则l ⊂β，②若l ∥α，α∥β，则l ⊂β③若l ⊥α，α∥β，则l ⊥β，④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β 其中正确命题的个数是（ ）A. B. C. D. 若不平行于，则在内不存在，使得平行于若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于若不平行于，则在内不存在，使得平行于若不垂直于，则在内不存在，使得垂直于7. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. B. C. D. 90º60º45º30º8. 在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D. 若，，则若，，，则若，，则若，，，则9. 已知，是空间内两条不同的直线，，是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知正四棱柱的底面边长为1，高为2，为的中点，过作平面平行平面，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（ ）A. B. C. D.11. 平面过正方体的顶点A ，平面，平面，平面，则m ， n 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.12. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d 的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）A. B. C. D.13. 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是．14. 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则球O的表面积为 .15. 球的内接圆柱的底面积为4π，侧面积为12π，则该球的体积为．16. 如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（用V表示）17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，，，点M在棱PC上，且PB⊥DM，PA=AB=3．(1) 证明：EF平面PAB；(2) 求DM与平面BEF所成角的正弦值．18. 在正方体中，、、分别是和的中点.(1) 求证：平面 //平面 .(2) 求二面角的正切值19. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．（1）求证：直线A1B1∥平面ABD；（2）求证：平面ABD⊥平面BCC1B1．20. 如图，在多面体中，，四边形和四边形是两个全等的等腰梯形.(1) 求证：四边形为矩形；(2) 若平面平面，，，，求多面体的体积.21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．(1) 求证：AB1⊥CC1；(2) 若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年甘肃省定西市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-8-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年甘肃省定西市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-专项提升(8)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）81π9π1.球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的，且AB=2 ，AC⊥BC ，则球O 的表面积是（ ）A. B. C. D.若 ， ，则若 ， ，则若， ，则 若 ， ，则2. 设、、 是三个不重合的平面，、是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（ ）A.B. C. D. 充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件3. 对于直线m 、n 和平面， 若 ， 则“”是“”的（ ）A. B. C. D. 4. 已知长方体内接于球 ，底面 是边长为2的正方形，为 的中点， 平面 ，则球 的表面积是（ ）A. B. C. D.5. 如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB 和A 1D 1的中点分别为E ，F ，AB ＝6，AD ＝8，AA 1＝7，则异面直线EF 与AA 1所成角的正切值为（ ）A. B. C. D.①②①②④③④①④6. 如图，在正方体，点P 在线段上运动，则下列判断正确的是（）①平面平面②平面③异面直线与所成角的取值范围是④三棱锥的体积不变A. B. C. D. 两个平面可以只有一个交点一条直线与一个平面最多有一个公共点两个平面有一个公共点，它们可能相交两个平面有三个公共点，它们一定重合7. 以下命题正确的是A. B. C. D. 垂直平行直线在平面内直线在平面内或平行8. 设直线 的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面 的位置关系是（）A.B. C. D. 不存在2条4条无数条9. 在正方体中，过点 做直线 ，使得直线 与直线和 所成的角均为 ，则这样的直线 （ ）A. B. C. D. 24+8π18+8π24+4π18+4π10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 1：12：13：13：211. 在底面是菱形的四棱锥P ﹣ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ：ED=2：1，在棱PC 上存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，则PF ：FC 的值为（ ）A. B. C. D. 一个圆柱、两个圆锥两个圆台、一个圆柱两个圆柱、一个圆台一个圆台、两个圆锥12. 将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周 ，所得的几何体包括（ ）A. B. C. D.A. B. C. D.13. 如图所示，一个圆锥的侧面展开图为以为圆心，半径长为2的半圆，点、在上，且的长度为，的长度为，则在该圆锥中，点到平面的距离为 .14. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF＝，则下列结论中正确的序号是．①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③△AEF的面积与△BEF的面积相等．④三棱锥A﹣BEF的体积为定值15. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为．16. 若圆锥的侧面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的半径为 .17. 2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.18. 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是1 2 cm，求圆锥SO的母线长．19. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′C的中点．（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．20. 如图，在三棱柱中，和均是边长为2的等边三角形，平面平面，点为中点.(1) 证明：平面；(2) 求三棱锥的体积.21. 已知P是底面为正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面与棱交于点D．若，则三棱锥的体积为．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.(1)(2)21.。