2020届乐山一调理科数学试题
2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学理科试题
绝密★启用前2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学理科试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知实数a ，b 满足()()14a bi i i +⋅+=，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{}4|50A x x x =+-<，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ）A ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦3．已知实数a ，b 满足11122ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．11a b> B ．22log log a b > C <D ．sin sin a b >4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）……装…………………线…………○……※※不※※要※※在※※装※……装…………………线…………○……A．2)96π+B．1)96π+C．2)96π+D．1)96π+5．下列函数中，既是奇函数，又在()1,+∞上单调递减的是（）A．()f x x=B．1()ln||f xx=C．1()f x xx=--D．3()6f x x x=-6．已知正方形ABCD内接于圆O，点E是AD的中点，点F是BC边上靠近B的四等分点，则往圆O内投掷一点，该点落在CEF△内的概率为（）A．12πB．1πC．78πD．74π7．伟大的法国数学家笛卡儿()15961650Descartes～创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，//AB CD，90BAD∠︒＝，60BCD∠︒＝，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若2AB=，AD=，则EB EF⋅=u u u r u u u r（）………○…………装………………订……………○……学校:___________姓名：_________________考号：………○…………装………………订……………○……A ．73B ．113C ．79D ．1198．已知函数()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的周期为23πB ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10,9ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-9．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin xxB ．3sin x xC ．2cos 2x xD ．2cos2x x 10．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为365，则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >11．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于,B C 两点，若20BC BA +=u u u r u u u r r，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．y =B ．4y x =±C ．y =D ．2y x =±12．已知数列{}n a 满足()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭L .令()*15n n n n T a a a n N ++=+++∈L ，则n T 的最小值为（ ）A ．20B ．15C ．25D ．30第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．二项式62x ⎛ ⎝的常数项为a，则(12720a x dx -+=⎰__________. 14．已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -<⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则yx 的取值范围为__________.15．已知A ，B两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC V 面积的最大值为__________. 16．已知0x R ∃∈，使得不等式00002x x x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为__________. 三、解答题17．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+. （1）求A 的大小； （2）若a =3b c +=+ABC V 的面积.18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.…外…………○……………订…………………○……学校:_______________考号：_________…内…………○……………订…………………○……（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数； （2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b+=>>过点12⎫-⎪⎭，()()0000,0A x y x y ≠，30y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =u u u r u u u r.（1）证明：||MN 为定值；（2）如上图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且BD NM λ=u u u r u u u u r，求四边形ABCD 面积的最大值.21．已知函数()ln f x a x x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值. （1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()g()(01)()x m x m f x x -=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，证明：131ln 22x x +⎛⎫>- ⎪⎝⎭.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程. 23．已知定义在R 上的函数()||f x x =. （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若a ，0b >且2a b M +＝，求22114a b +的最小值.参考答案1．B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案. 【详解】实数,a b 满足()()14a bi i i +⋅+=其中i 是虚数单位，∴4()a b a b i i -++=，可得04a b a b -=⎧⎨+=⎩解得2a b ==.422z a bi i =+-=-+,则在复平面内,复数z 所对应的点()2,2-位于第二象限 故选：B . 【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】求出集合A ，B 的补集，再计算即可. 【详解】{}24|5401,5A x x x ⎛⎫=+-<=- ⎪⎝⎭，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，1,3R C B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭则()14,35R A C B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭I ， 故选:B . 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 【详解】Q 11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出. 【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.∴该几何体的表面积为：2212114611)96ππππ⨯⨯⨯+⨯-⨯=+.故选:D . 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据题意，逐项判断即可. 【详解】对于A ，其在定义域上为增函数，不符合题意； 对于B ，其在定义域上为偶函数，不符合题意；对于C ，其是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减，符合题意；对于D ，(2)4f =-，3(3)3189f =-=，其在(1,)+∞上不为减函数，不符合题意. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据已知可分别求解圆的面积及CEF △面积，根据几何概型概率公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416⨯＝，CEF △的面积为111163224147222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，因为圆的直径2R =R =8π， 根据几何概型概率公式可得78P π=. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】过B 作BM DC ⊥于M ，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 【详解】过B 作BM DC ⊥于M ，故2AB DM ==，因为BM AD ==60BCD ∠=︒， 故1CM =，则32DF =()()EB EF EA AB ED DF EA ED AB DF ⋅=+⋅+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r37(1)2=23=-+⨯ 故选:A .【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】化简()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，可得()4sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断，即可求得答案. 【详解】()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-1cos33422xx -=+⨯-32cos3x x =-4sin 36x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，函数()f x 的周期为：23T π=,故A 说法正确； 对于B ，Q 9x π=-时，4sin 4936f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴9x π=-是函数()f x 的一条对称轴，故B 说法正确；对于C ，当109x ππ-≤≤-时， 21193666x πππ-≤-≤-此时()f x 不单调，故C 说法错误； 对于D ， ()4sin 36f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭Q ∴函数()f x 的最小值为4-，故D 说法正确，故选：C. 【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．B 【解析】 【分析】根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐项判断，即可求出结论. 【详解】 若sin ()x f x x =，则()()32f f ππ> ，不符合题意，故A 不正确；若3sin ()xf x x =，当(0,]x π∈时，2323sin cos sin ()x x x x f x x -'=，当[,],()02x f x ππ'∈<，当22sin cos (3tan )(0,),()2x x x x x f x xπ-'∈= 3,tan y x y x ==Q 在(0,)2π存在唯一交点，其横坐标设为0x00(0,),3tan ,()0,(,),3tan ,()02x x x x f x x x x x f x π''∈>>∈<<，而()f x 在2x π=连续，()f x ∴递增区间是0(0,)x ，递减区间是0(,)x π，所以3sin ()xf x x=在(0,]x π∈存在为唯一的最大值点，满足题意；若2cos 2()xf x x =，则当0x →时，()f x →+∞，故选项C 不正确；由图象可知，函数的定义域中不含0，故D 不正确. 故选:B . 【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可. 【详解】模拟程序的运行，可得0S =，1i = 执行循环体，302.5S =，2i =，不满足判断框内的条件，执行循环体，315S =，3i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，327.5S =，4i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，5i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，352.5S =，6i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，365S =，7i =此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为365. 则判断框内的件为6i >【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 11．D 【解析】直线l:y=-x+a 与渐近线1:0l bx ay -=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭,直线l:y=-x+a 与渐近线2:0l bx ay +=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪--⎝⎭,A (),0a ,因为20BC BA u u u r u u u r r +=,所以3AC AB =u u u r u u u r ,223,2,a a a a b a a b a b ⎛⎫∴-=-∴=∴ ⎪-+⎝⎭双曲线E 的渐近线方程为2y x =±,故选D. 点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入20BC BA u u u r u u u r r+=中,通过化简计算,即可得到a,b 的关系式,结合双曲线中222c a b =+,即可求得离心率. 12．B 【解析】 【分析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则可计算出25752n n nS -=-.然后应用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…即可计算出数列{}n a 的通项公式，可得数列{}n a 是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理15n n n n T a a a ++=++⋯+，再根据绝对值的特点可得n T 的最小值.依题意，由()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭L ，可得：212575233n n na a a --+++=L .设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则25752n n nS -=-. 当1n =时，21151751352a S ⨯-⨯==-=.当2n ≥时，2215755(1)75(1)40522n n n n n n n a S S n -⎡⎤----=-=---=-⎢⎥⎣⎦. 1n =也满足上式，故405n a n =-，*n N ∈.数列{}n a 是以35为首项，﹣5为公差的等差数列，12345n n n n n n n T a a a a a a +++++∴=+++++53||15|112|n n a a n +=+=-∴当5n =或6n =时，n T 取得最小值5615T T ==.故选:B . 【点睛】本题考查数列的前n 项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题. 13．2π【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式可得a ，再利用微积分基本定理及其性质即可得出. 【详解】366621661(2)(()23k k kkk k k k T C x C x ---+==-，令3602k -=，解得4k =.52027T a ∴==.27121201111((2a x x dx x dx ----∴⎰=⎰+=+⎰10-=+，11-表示函数y =x 轴围成的面积，即为221(0)x y y +=≥在x轴上方的半圆面积，112π-=，12720(2a x dx π-∴+=⎰.故答案为:2π. 【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题. 14．[]2,1- 【解析】 【分析】首先画出可行域，利用z 的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可. 【详解】由已知得到平面区域如图：yz x=表示区域内的点与原点连接的直线斜率， 由2646x y x y +=⎧⎨-=⎩解得(2,2)A ，由346x y x y -=⎧⎨-=⎩解得(1,2)B -当与(2,2)A 连接时直线斜率最大为1， 与(1,2)B -连接时直线斜率最小为﹣2， 所以yx的取值范围为[-2,1]. 故答案为:[-2,1].【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.15． 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，进而求出直线AB 的方程，及||AB 的长度，当三角形ABC 的面积最大时为过C 点的直线与直线AB 平行且与椭圆相切，设过C 的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解. 【详解】由椭圆方程可得(0,)(2,0),||2,B A AB -=∴ 所以直线AB 的方程为：20x y -+=，由题意可得当过C 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时， 两条平行线间的距离最大时，三角形ABC 的面积最大， 设过C 点与AB 平行的切线方程l 为：0x y m -+=，直线l 与直线AB 的距离为d =联立直线l 与椭圆的方程可得：22280x y x y m⎧+-=⎨=-⎩ ， 整理可得：223280y my m -+-=，()2241280m m ∆=--=，可得212m =，解得m =±，所以当m =-2d ==+ 这时ABC S V 的最大值为：max 1||2AB d⋅1(22=⋅=. 故答案为:. 【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题. 16．1m <或324m e >. 【解析】 【分析】由题意可得()()000121x m x ex ->-，分别01x=，01x >，01x <，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围. 【详解】 不等式00002x x x emx e m <+-，即为()()000121x m x e x ->-，若01x =则不等式显然不成立；当01x >时，可得()000211x e x m x ->-，设(21)()1x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -'=- ， 则()f x 在31,2（）时递减，在3,2+∞（）递增，即有()f x 在32x =处取得最小值324e ， 由题意可得324m e >，又当01x <时，可得()000211x e x m x -<-，设(21)()1x e x f x x -=- ，则()f x 在(0,1)时递减， 在(,0)-∞递增，即有()f x 在0x =处取得最大值1， 由题意可得1m <，综上可得m 的范围是1m <或324m e >， 故答案为:1m <或324m e >. 【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 17．（1）13π；（2【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得2B C A +＝，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求bc ，然后结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+Q . ()cos cos cos b c A a B a C ∴+=+，cos 0,02A A π>∴<<，sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=+，即sin()sin()B A A C -=-，所以B A A C -=-，或B A A C π-+-=或B A A C π-+-=- 即2B C A +=，或B C π-=（舍去），或B C π-=-（舍去）， 又因为A B C π++=，故13A π=， （2）由余弦定理可得，22216()26222b c b c bc bc bc +-+--===，2bc ∴=，11csin (222ABC S b A ==⨯+=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.18．（1）茎叶图见解析，中位数为：86；（2）分布列见解析，94【解析】 【分析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E （）ξ. 【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：8686862+=. （2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===， 2193312108(2)220C C P C ξ===，3931284(3)220C P C ξ===，ξ∴的分布列为：数学期望127108849()01232202202202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 19．（1）答案见解析.（2）7【解析】 【分析】（1）要证AB ⊥平面1AB C ，只需求证1AB AB ⊥，结合已知，即可求得答案； （2）以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面11AB C 的法向量1n r 和平面1BCB 的法向量2n r ，根据121221cos ,n n n n n n ⋅=⋅r r r r r r ，即可求得答案. 【详解】（1）Q 1120BAA ︒∠=,∴160ABB ︒∠=.在1ABB △中,111,2AB BB AA ===,由余弦定理得22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=,∴22211BB AB AB =+, ∴1AB AB ⊥.又Q 90BAC ︒∠=,∴AC AB ⊥,又Q 1AC AB A ⋂=,∴AB ⊥平面1AB C .（2）由（1）1AB =，1AC = 又Q 112B C AA ==在1AB C V 中，可得()()()12212AB AA AC =+∴1AB AC ⊥又1AB AB ⊥∴1AB ⊥平面ABC ；由（1）得AB ⊥平面1AB C ， 又Q 90BAC ∠=︒∴以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则()()1(00,,00,0,1,0,(0,1,0)0,B C A B1(,,)C x y zQ 11BB CC =u u u r u u u u r,又Q 1(BB =-u u u r∴((,1,)x y z -=-解得：11x y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故1(1,1C =-∴111(1,1(1,1,0),(1AB AC BC BB ==-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r设平面11AB C 法向量为()1111,,n x y z =r由1111n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u v u u u v u u v u u u u v ，可得111100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v故：111100x y =-+=⎪⎩取11y =，则1(1,1,0)n =r设平面1BCB 法向量为()2222,,n x y z =r由221n BC n BB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u v r u u v u u u v ，可得22100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v r u u u v r故：222200x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩取21x =可得：221,y z ==21,1,3n ⎛= ⎝⎭u u rQ 122121cos ,n n n n n n ⋅==⋅r rr rr r7===∴平面11AB C与平面1BCB所成二面角的余弦值7.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．（1）证明见解析；（2）4.【解析】【分析】（1）其上顶点(0,)b30y++=的距离为2，求出b，点12-）代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点A的直线方程为：()00y y k x x-=-，可得0,0yM xk-（），()000,N y kx-.利用2AN MA=u u u r u u u r，可得02yxk=-，利用两点之间的距离公式可得MN；（2）由（1）得直线BD的方程为02yy xx=-，与椭圆方程联立求出||BD，由点到直线距离公式，求出A到直线BD距离，求出四边形ABCD面积的关于00,x y的表达式，结合00,x y关系，由基本不等式求出最大值.【详解】（1）其上顶点(0,)b30y++=的距离为2，322b+∴=，解得1b=.又椭圆2222:1(0)x yO a ba b+=>>过点12⎫-⎪⎭，23114a∴+=，解得24a=.∴椭圆的标准方程为：2214xy+=.点A 在椭圆上，220014x y ∴+=.设经过点A 的直线方程为：()00y y k x x -=-， 可得00,0y M x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()000,N y kx -. 2AN MA =u u u r u u u r Q ，002y x k ∴-=即02k x y =-.3MN ∴===为定值.（2）由（1）得直线MN 斜率为02k x y =-， ,BD NM BD λ=∴u u u u u r u u u u r Q 方程为02y y x x =-， 即0020y x x y +=，220044x y +=，联立0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22022004,||16x x x x y =∴=+，||BD ∴==点A 到直线BD 的距离为003||2x y d ==，||ABCD S BD d =⋅==Y 202222022200002200009416116116()()54x y x y x y y x y x +=++=++≥ 当且仅当20202,4x y =，即2083x =时，等号成立，3,04,4ABCD S ≥<≤∴≤Y ， 四边形ABCD 面积的最大值为4. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题. 21．（1）y =-1；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，由()01f '=求解a 值，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程可求；（2）求出函数()g x 的解析式，由2()211()1m x m nx x g x n x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=，根据已知()0g x '=有 三个解，2ln 10x x m +-=存在两个不同于m 的零点， 设()2ln 1h x x xm=+-，求出m 取值范围，结合()h x 的函数特征，可判断213,,x m x x =是函数()h x 的两个零点，构造函数13()2ln ,()()x x x x x x ϕϕϕ=-=，研究()x ϕ的单调性，把证明131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭转化为证明()11)x x ϕϕ>即可. 【详解】（1）()ln f x a x x =-，()1af x x'=- ， Q 函数()f x 在1x =处取到极值，(1)10f a '∴=-=，即1a =.则()ln f x x x =-，(1)1f =-，∴曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y =-；（2）222()()()()(01)()11x m x m x m g x m f x x nx x x nx---===<<++-，函数的定义域为(0,)+∞且1x ≠，2221()2112()ln ()()11m x m nx x m x x m x x g x n xn x⎛⎫-+----⋅⎪⎝⎭'∴==令()2ln 1h x x x m =+-，22()x m h x x -'∴=， ()h x 在0,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()2h m是()h x 的最小值；()g x Q 有三个极值点123x x x <<， 2ln 1022m m h ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭，得m <.m ∴的取值范围为⎛ ⎝，当0m <<时，()2ln 0h m m =<，(1)10h m =-<， 2x m ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点.112221n 1021n 10m x x m x x ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+-=⎪⎩，消去m 得1113332ln 2ln x x x x x x -=-； 令()2ln x x x x ϕ=-，()2ln 1x x ϕ'=+，()x ϕ'的零点为x =，且13x x <<. ()x ϕ∴在⎛ ⎝上递减，在⎫+∞⎪⎭上递增.要证明131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭，即证13x x +>，等价于证明31x x >，即()31x x ϕϕ⎫-⎪⎭>.()()13x x ϕϕ=Q ，∴即证()11x x ϕϕ⎫>⎪⎭.构造函数()()F x x x ϕϕ⎫=--⎪⎭，则0F =； ∴只要证明在⎛ ⎝上()F x 单调递减， 函数()x ϕ在⎛ ⎝单调递减； x Qx减小，x ϕ⎫⎪⎭增大，x ϕ⎫-⎪⎭减小，x ϕ⎫∴--⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.()x x ϕϕ⎫∴-⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.∴当0a <<时，13x x +> . 即131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.22．（1）C ：22(4)(2)20x y -+-=，l ：240x y -+=；（2）46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数） 【解析】 【分析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；由代入法可得直线l 的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲【详解】（1）4(2cos sin )ρθθ=+，得24(2cos sin )ρρθθ=+由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，曲线C 的直角坐标方程为2284x y x y +=+， 即为22(4)(2)20x y -+-=；直l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去t ，可得240x y -+=；（2）设曲线22:(4)(2)20C x y -+-=关于直线l 对称曲线为圆22()()20x a y b -+-=，由22144224022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩可得46a b =-⎧⎨=⎩ ， 则曲线C 关于直线l 对称曲线方程为22(4)(6)20x y ++-=，其参数方程为46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数）. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，普通方程和参数方程互化，以及圆关于直线对称方程等基础知识，意在考查直观想象、查逻辑推理能力，属于中档题. 23．（1）3；（2）89【解析】 【分析】（1）去绝对值化简函数，然后结合函数的单调性，即可求解函数的最值， （2）结合基本不等式及二次函数的性质可求.解：（1）因为()||f x x =.所以(1)(24)|1||24|f x f x x x ++-=++-， 当-1x ≤时，()33f x x =-单调递减， 当12x -<<时，()5f x x =-+单调递减，当2x …时，()33f x x =-单调递增， 故当2x =时，函数取得最小值3M =； （2）若a ，0b >且23a b +=，2a b ∴+ (9)8ab …， 当且仅当2a b ＝即32a =，34b = 时，等号成立，则 2222222222114(2)4914444()b a a b ab a b a b a b ab ab ++-+===- ， 令1t ab =，98≥t ，而294t y t =-的开口向上，对称轴方程为29t =，在8,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当89t =，取得最小值89，22114a b ∴+的最小值为89. 【点睛】本题考查分类讨论求绝对值函数的最值，以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。
四川省乐山市高中2020届高三一诊数学理科试题(解析版)
2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）2．已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i3．（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣404．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有A．30名B．40名C．50名D．60名5．函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名7．设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜08．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．9．已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10D．2010．函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0）C．D．12．如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45C．D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是．14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝．15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝．16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：，n＝a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y 轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3]C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，A∩（∁R B）＝（﹣2，1）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i【分析】根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．【解答】解：∵＝（5，﹣1），＝（3，2），∴＝﹣（﹣）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，则＝﹣2﹣3i，故选：D．【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．3．（5分）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80B．﹣80C．40D．﹣40【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x3y2的系数．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r（2x）5﹣r•y r，令r＝2，可得含x3y2的系数为•23＝80，故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．（5分）在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A．30名B．40名C．50名D．60名【分析】由频率直方图可求出绩在[80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．【解答】解：成绩在[80，90）内的学生所占的频率为1﹣（0.005×2+0.025+0.045）×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名，故选：B．【点评】本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【分析】利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．【解答】解：函数f（x）＝，可得x＞0时，3x﹣2＝0，解得x＝log32，x≤0时，x+log36＝0，解得x＝﹣log36．所以函数f（x）＝的零点之和为：log32﹣log36＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．6．（5分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z＝x+y对应的最优解，计算可行域内使得z 取得最大时的最优解．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z＝x+y取得最大值，目标函数化为y＝﹣x+z；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z＝9+7＝16．故选：B．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．7．（5分）设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜0【分析】先求出m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，由此能推导出m+n＜0＜mn．【解答】解：∵m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+log0.30.3）＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，∴m+n＜0＜mn．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1，i＝2时，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3时，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4时，退出循环，此时8x﹣7＝x解得x＝，故选：C．【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．9．（5分）已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10D．20【分析】由已知可得•＝0，可得⊥，可得平面四边形ABCD的面积＝•||•||．【解答】解：•＝（3﹣）•（2+6）＝6﹣6＝0，∴⊥，又||＝＝，||＝＝2，∴平面四边形ABCD的面积＝•||•||＝×2＝10，故选：C．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，π）上的符号，利用排除法分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x•ln，则f（﹣x）＝（﹣x）ln＝x•ln＝f（x），则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；在（0，π）上，sin x＞0，则有0＜＜1，必有ln＜0，则f（x）＝xln＜0，据此排除B；故选：A．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0）C．D．【分析】令F（x）＝f（x）﹣＝，利用分段函数通过函数的导数，求解函数的极值，利用函数的图象通过F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，求解即可．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣＝，当x＞0时，函数F'（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，由F'（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，由F'（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x＝e时，函数F（x）取得极大值，极大值为F（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，当x≤0时，，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数F（x）的图象如图：要使F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，即若函数g（x）有两个不同零点，实数a的取值范围是，故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系，函数的导数的应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．12．（5分）如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x 轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45C．D．【分析】可求得A2，A3的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解．【解答】解：由题意得，函数f（x）的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，则，因为，故，故＝＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是∃x0∈R，f（x0）＞x0．．【分析】否定：否定量词，否定结论．【解答】解：否定：否定量词，否定结论．故命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是为：∃x0∈R，f（x0）＞x0．故答案为：：∃x0∈R，f（x0）＞x0．【点评】本题考查命题否定，属于基础题．14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝2；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝﹣2．【分析】（1）要求f（f（0））的值，可先求f（0）＝4，再求f（4），此即为所求；（2）函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．【解答】解：（1）由图象可知f（0）＝4，f（4）＝2，即f（f（0））＝2（2）∵f（0）＝4，f（4）＝2，f（2）＝4，∴由函数的图象可知，，当0≤x≤2时，f'（x）＝﹣2∴f'（1）＝﹣2故答案为：2，﹣2【点评】本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝．【分析】由7S△PON＝2，得到，故90°＜α+60°＜120°，得，再由sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]展开代入即可．【解答】解：设∠POM＝α，因为7S△PON＝2，所以，又△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，所以，故90°＜α+60°＜120°，得，∴sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]＝，故答案为：．【点评】考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题．16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为[2，]．【分析】利用三角形面积公式得到a2＝bc sin A，由余弦定理和两角和与差公式＝＝sin A+2cos A＝φ），结合基本不等式求出的范围．【解答】解：已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，所以，所以a2＝bc sin A，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以＝＝sin A+2cos A＝φ），其中tanφ＝2，所以，由根据基本不等式，当且仅当b＝c时，取等号，故，故答案为：．【点评】本题考查均值不等式的应用，三角形面积，余弦定理，三角函数辅助角公式，三角函数求最值，考查逻辑推理能力，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．【分析】（1）设公差为d，则d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．【解答】解：（1）{a n}是递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，a2+a4＝20，a1•a5＝36，可得a1+a5＝20，解得a1＝2，a5＝18，d＝＝4，则a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（2）b n＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，可得前n项和T n＝n（﹣29+2n﹣31）＝n2﹣30n＝（n﹣15）2﹣225，当n＝15时，前n项和T n取得最小值﹣225．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行化简，然后结合两角和的正弦公式及诱导公式可求cos C，进而可求C；（2）由，代入可求ab．然后由，结合向量数量积的性质及余弦定理，基本不等式可求．【解答】解：（1）由正弦定理：，又，由题，所以＝．因为sin A≠0，所以cos C（2sin B﹣sin A）＝cos A sin C，即cos C sin A+cos A sin C＝2sin B cos C，即sin B＝sin（A+C）＝2sin B cos C，因为sin B≠0，所以，则．（2）由，即，所以ab＝12．由，所以＝当且仅当a＝b时取等，所以边CD的最小值为3．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．【分析】（1）推导出CD⊥AB，连结B 1D，设AB＝2a，则，推导出CD⊥B1D，由此能证明CD⊥平面ABB1A1．（2）设CD与平面BCC 1B1所成角为θ，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，由，求出d＝，由此能求出CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵D为AB中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，连结B1D，如图，设AB＝2a，∵四边形ABB1A1是菱形，D为AB中点，∠ABB1＝，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，，CD＝a，∴，∴CD⊥B1D，∵AB∩B1D＝D，∴CD⊥平面ABB1A1．（2）解：设CD与平面BCC1B1所成角为θ，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，由（1）知B1D⊥平面BCD，则，∴＝，∵BC＝，B 1B＝B1C＝2a，∴＝，∴＝，∵，∴，解得d＝，∴sinθ＝＝．∴CD与平面BCC1B1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：，n＝a+b+c+d．【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2＝6＞5.024，从而有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．（2）由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取1名学生，恰为“阅读爱好”的概率为，由题意知ξ～B（4，），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）完成2×2列联表如下：K2＝＝6＞5.024，∴有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．（2）由频率分布直方图知：从该校学生中任意抽取1名学生，恰为“阅读爱好”的概率为，由题意知ξ～B（4，），P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：∴E（ξ）＝4×＝．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．【分析】（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），求得f（x）的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得m，n的方程和a，b的方程，解方程组可得a，b，进而得到所求f（x）的解析式；（2）求得y＝g（x）的解析式，g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，两式相加和相减，相除可得x1+x2+2＝•（x1﹣x2），令x1﹣x2＝t（t＞0），可得要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，即证t（1+e t）﹣2（e t﹣1）＞0，可令h（t）＝t（1+e t）﹣2（e t﹣1），t＞0，求得二阶导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），函数f（x）＝e ax+b的导数为f′（x）＝ae ax+b，由题意可得ae am+b＝1，e am+b＝m+1，且ae a+b＝e，解得a＝1，b＝0，m＝0，可得f（x）＝e x；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，可得g（x）＝kf（﹣x）＝ke﹣x，由g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，可得ke﹣x1＝x1+1，ke﹣x2＝x2+1，两式相加可得k（e﹣x1+e﹣x2）＝x1+x2+2，两式相加可得k（e﹣x1﹣e﹣x2）＝x1﹣x2，两式相除可得＝，则x1+x2+2＝•（x1﹣x2），令x1﹣x2＝t（t＞0），则x1+x2+2＝•t，要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，即证t（1+e t）﹣2（e t﹣1）＞0，可令h（t）＝t（1+e t）﹣2（e t﹣1），t＞0，h′（t）＝1+te t﹣e t，h″（t）＝te t＞0，h′（t）在t＞0递增，h′（t）＞h′（0）＝0，可得h（t）在t＞0递增，即有h（t）＞h（0）＝0，可得x1+x2＜﹣4成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算能力，属于中档题．请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数φ，得曲线C1的普通方程．把ρ＝4cosθ两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C2的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；（2）由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得M（0，4），写出直线l的参数方程，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，再由参数t的几何意义求解．【解答】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x﹣5）2+y2＝10．由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．由两圆心的距离，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为﹣6x+21＝5，即．∴直线的极坐标方程为；（2）由，得，∴直线l的直角坐标方程：x+y＝4，则与y轴的交点为M（0，4）．直线l的参数方程为，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，得．设A，B两点的参数为t1，t2，∴，t 1t2＝31，则t1，t2同号．∴．【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【分析】（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥＝，再根据0＜xy＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）由＝，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz ⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。
【精准解析】四川省乐山一中2020届高三下学期模拟考试数学(理)试题
【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.
11.过双曲线 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的右顶点
A 作斜率为 1的直线，该直线与 E 的渐近
线交于 B,C 两点，若 BC 2BA 0 ，则双曲线 E 的渐近线方程为 （ ）
A. y 3x
B. y 4x
，逐项判断，
即可求得答案.
【详解】 f x 4 3 sin 3 x cos 3 x 4 sin2 3 x 2
22
2
2 3 sin 3x 41 cos3x 2 2
2 3 sin 3x 2cos 3x
4
sin
3x
6
对于 A，函数 f x 的周期为： T 2 ,故 A 说法正确；
根据几何概型概率公式可得
P
7 8
.
故选:C.
【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题.
7.伟大的法国数学家笛卡儿 Descartes1596～1650 创立了直角坐标系.他用平面上的一点
-4-
到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又
3
对于
B，
x
9
时，
f
9
4
sin
3
6
4
x 是函数 f x 的一条对称轴，故 B 说法正确；
9
对于 C，当 10 x 时， 9
21 3x 19
6
66
此时 f x 不单调，故 C 说法错误；
对于 D，
f
(
x)
4
sin
3x
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乐山一中2020届高三理科数学模拟试题无答案
乐山一中2020届高三理科数学模拟试题满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知实数,a b 满足()()i 1i 4i a b +⋅+=，其中i 是虚数单位，若i 4z a b =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2540A x x x =+-<,13B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()A B =R I ð（ ）A ．14,35⎛⎫⎪⎝⎭B ．14,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,3⎛-⎫ ⎪⎝⎭D ．11,3⎛-⎤ ⎥⎝⎦3．已知实数,a b 满足11122ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．11a b >B ．22log log a b >C ．a b <D ．sin sin a b >4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．()22296π++B ．()22196π++C ．()2296π++D ．()2196π++5．下列函数中，既是奇函数，又在()1,+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．()1lnf x x= C ．()1f x x x=--D ．()36f x x x =- 6．已知正方形ABCD 内接于圆O ，点E 是AD 的中点，点F 是BC 边上靠近B 的四等分点，则往圆O 内投掷一点，该点落在CEF △内的概率为（ ）A ．12πB ．1πC ．78πD ．74π7．伟大的法国数学家笛卡儿（Descartes 1596~1650）创立了直角坐标系．他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD中，AB CD//,90BAD∠=︒,60BCD∠=︒，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若2,3AB AD==，则EB EF⋅=u u u r u u u r（）A．73B．113C．79D．1198．已知函数()233343sin cos4sin2222f x x x x=+-，则下列说法错误的是（）A．函数()f x的周期为23πB．函数()f x的一条对称轴为9πx=-C．函数()f x在10,9ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D．函数()f x的最小值为4-9．已知函数()f x的图象如图所示，则()f x的解析式可能是（）A．sin xxB．3sin xxC．2cos2xxD．2cos2xx10．执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为365，则判断框中可以填（）A．4i＞B．5i＞C．6i＞D．7i＞11．过双曲线2222:1(,0)x ya ba bΓ-=>的右顶点A作斜率为1-的直线，该直线与Γ的渐近线交于,B C两点，若2BC BA+=0u u u r u u u r，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．3y x=±B．4y x=±C．2y x=±D．2y x=±12．已知数列{}n a 满足21257521333()3n n na a a n -*⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭N L ．令15=()n n n n T a a a n *+++++∈N L ，则n T 的最小值为（ ） A ．20 B ．15 C ．25 D ．30第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13．二项式61(2)3x x -的常数项为a ，则122720(1)d ax x x -+-=⎰.14．已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≥≤，则y x 的取值范围为 .15．已知,A B 两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC △面积的最大值为 .16．已知0x ∃∈R ，使得不等式00002+x x x e mx e m <-能成立，则实数m 的取值范围为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin 2cos cos b c A aB C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+. （1）求A 的大小；（2）若6,33a b c =+=+，求ABC △的面积.18．（12分）在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望．19．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，190,120BAC BAA ∠=︒∠=︒. （1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>过点13,2⎛⎫-⎪⎝⎭， ()()0000,0A x y x y ≠，其上顶点到直线330x y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与,x y 轴的交点分别为,M N ，且2AN MA =uuu r uuu r.（1）证明：MN 为定值；（2）若如图所示，,A C 关于原点对称，,B D 关于原点对称，且BD NM λ=uu u r uuur，求四边形ABCD 面积的最大值.21．（12分）已知函数()ln f x a x x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值. （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()()()()201x m g x m f x x-=<<+，且函数()g x 有3个极值点()123123,,x x x x x x <<，证明：131ln 22x x +⎛⎫>- ⎪⎝⎭.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为5152525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的直角坐标系方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程. 23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知定义在R 上的函数()f x x =. （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若,0a b >且2a b M +=，求22114a b +的最小值.选题题号（请在所选的题号后√）：22□ 23□ 选考题答题区：。
2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学（理）试题（解析版）
2020届四川省乐山一中高三下学期模拟数学（理）试题一、单选题1．已知实数a ，b 满足()()14a bi i i +⋅+=，其中i 是虚数单位，若4z a bi =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案. 【详解】实数,a b 满足()()14a bi i i +⋅+=其中i 是虚数单位，∴4()a b a b i i -++=，可得04a b a b -=⎧⎨+=⎩解得2a b ==.422z a bi i =+-=-+,则在复平面内,复数z 所对应的点()2,2-位于第二象限 故选：B. 【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2．已知集合2{}4|50A x x x =+-<，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则()AB =R（ ）A ．14,35⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．14,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．14,35⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】求出集合A ，B 的补集，再计算即可. 【详解】{}24|5401,5A x x x ⎛⎫=+-<=- ⎪⎝⎭，1|3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，1,3R C B ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭则()14,35R AC B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选:B . 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．11a b> B ．22log log a b >C ．<D ．sin sin a b >【答案】B【解析】首先利用指数函数的性质得到a ，b 的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案. 【详解】11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由指数函数的单调性, 可得：0a b >>对于A ，由0a b >>，可得11a b<，故A 错误； 对于B ，由0a b >>，可得22log log a b >，故B 正确；对于C ，由0a b >>>C 错误；对于D ，根据sin y x =图象可得，由0a b >>，sin a 与sin b 的大小无法确定，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．(222)96π+B ．(221)96π+C ．(22)96π+D ．21)96π+【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出. 【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.∴该几何体的表面积为：221221146121)96ππππ⨯⨯⨯+⨯-⨯=+.故选:D . 【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题. 5．下列函数中，既是奇函数，又在()1,+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()ln||f x x = C ．1()f x x x=--D ．3()6f x x x =-【答案】C【解析】根据题意，逐项判断即可. 【详解】对于A ，其在定义域上为增函数，不符合题意； 对于B ，其在定义域上为偶函数，不符合题意；对于C ，其是奇函数，又在(1,)+∞上单调递减，符合题意；对于D ，(2)4f =-，3(3)3189f =-=， 其在(1,)+∞上不为减函数，不符合题意. 故选：C . 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题.6．已知正方形ABCD 内接于圆O ，点E 是AD 的中点，点F 是BC 边上靠近B 的四等分点，则往圆O 内投掷一点，该点落在CEF △内的概率为（ ）A ．12πB ．1πC ．78πD ．74π【答案】C【解析】根据已知可分别求解圆的面积及CEF △面积，根据几何概型概率公式，即可求解. 【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为4416⨯＝，CEF △的面积为111163224147222-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， 因为圆的直径242R =22R =8π， 根据几何概型概率公式可得78P π=. 故选:C . 【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题.7．伟大的法国数学家笛卡儿()15961650Descartes ～创立了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90BAD ∠︒＝，60BCD ∠︒＝，E 是线段AD 上靠近A 的三等分点，F 是线段DC 的中点，若2AB =，3AD =，则EB EF ⋅=（ ）A ．73B ．113C ．79D ．119【答案】A【解析】过B 作BM DC ⊥于M ，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可. 【详解】过B 作BM DC ⊥于M ，故2AB DM ==， 因为3BM AD ==，60BCD ∠=︒， 故1CM =，则32DF =()()EB EF EA AB ED DF EA ED AB DF ⋅=+⋅+=⋅+⋅123733(1)2=3323=⨯⨯-+⨯ 故选:A .【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题. 8．已知函数()233343cos 4sin 2222x f x x x =+-，则下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 的周期为23π B ．函数()f x 的一条对称轴为9x π=-C ．函数()f x 在10,9ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的最小值为4-【答案】C【解析】化简()2333cos 4sin 2222x f x x x =+-，可得()4sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，逐项判断，即可求得答案.【详解】()2333cos 4sin 2222x f x x x =+- 1cos33422xx -=+⨯-32cos3x x =-4sin 36x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于A ，函数()f x 的周期为：23T π=,故A 说法正确； 对于B ，9x π=-时，4sin 4936f πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴9x π=-是函数()f x 的一条对称轴，故B 说法正确；对于C ，当109x ππ-≤≤-时， 21193666x πππ-≤-≤-此时()f x 不单调，故C 说法错误；对于D ，()4sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴函数()f x 的最小值为4-，故D 说法正确，故选：C. 【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．sin x xB ．3sin x xC ．2cos 2x xD ．2cos2x x 【答案】B【解析】根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐项判断，即可求出结论. 【详解】 若sin ()x f x x =，则()()32f f ππ> ，不符合题意，故A 不正确； 若3sin ()x f x x =，当(0,]x π∈时，2323sin cos sin ()x x x xf x x -'=， 当[,],()02x f x ππ'∈<，当22sin cos (3tan )(0,),()2x x x x x f x x π-'∈=3,tan y x y x ==在(0,)2π存在唯一交点，其横坐标设为0x00(0,),3tan ,()0,(,),3tan ,()02x x x x f x x x x x f x π''∈>>∈<<，而()f x 在2x π=连续，()f x ∴递增区间是0(0,)x ，递减区间是0(,)x π，所以3sin ()xf x x=在(0,]x π∈存在为唯一的最大值点，满足题意；若2cos 2()xf x x =，则当0x →时，()f x →+∞，故选项C 不正确；由图象可知，函数的定义域中不含0，故D 不正确. 故选:B . 【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题.10．执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为365，则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >【答案】C【解析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可. 【详解】模拟程序的运行，可得0S =，1i = 执行循环体，302.5S =，2i =，不满足判断框内的条件，执行循环体，315S =，3i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，327.5S =，4i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，5i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，352.5S =，6i = 不满足判断框内的条件，执行循环体，365S =，7i =此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为365. 则判断框内的件为6i > 故选:C . 【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.11．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与E的渐近线交于,B C 两点，若20BC BA +=，则双曲线E 的渐近线方程为 （ ） A ．3y x = B ．4y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】D【解析】直线l:y=-x+a 与渐近线1:0l bx ay -=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭,直线l:y=-x+a 与渐近线2:0l bx ay +=交于2,a ab B a b a b ⎛⎫⎪--⎝⎭,A (),0a ,因为20BC BA +=,所以3AC AB =,223,2,a a a a b a a b a b ⎛⎫∴-=-∴=∴ ⎪-+⎝⎭双曲线E 的渐近线方程为2y x =±,故选D.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入20BC BA +=中,通过化简计算,即可得到a,b 的关系式,结合双曲线中222c a b =+,即可求得离心率.12．已知数列{}n a 满足()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭.令()*15n n n n T a a a n N ++=+++∈，则n T 的最小值为（ ）A ．20B ．15C ．25D ．30【答案】B【解析】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则可计算出25752n n nS -=-.然后应用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩即可计算出数列{}n a 的通项公式，可得数列{}n a 是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理15n n n n T a a a ++=++⋯+，再根据绝对值的特点可得n T 的最小值. 【详解】 依题意，由()2125752*13333n n na a a n N -⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭，可得：212575233nn na a a --+++=.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则25752n n nS -=-. 当1n =时，21151751352a S ⨯-⨯==-=.当2n ≥时，2215755(1)75(1)40522n n n n n n n a S S n -⎡⎤----=-=---=-⎢⎥⎣⎦. 1n =也满足上式，故405n a n =-，*n N ∈.数列{}n a 是以35为首项，﹣5为公差的等差数列，12345n n n n n n n T a a a a a a +++++∴=+++++53||15|112|n n a a n +=+=-∴当5n =或6n =时，n T 取得最小值5615T T ==.故选:B . 【点睛】本题考查数列的前n 项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．二项式62x ⎛ ⎝的常数项为a，则(12720a x dx -=⎰__________. 【答案】2π 【解析】利用二项式定理的通项公式可得a ，再利用微积分基本定理及其性质即可得出. 【详解】366621661(2)(()23k k kkk k k k T C x C x ---+==-，令3602k -=，解得4k =.52027T a ∴==. 27121201111((2a x x dx x dx ----∴⎰+=⎰=+⎰10-=+，11-表示函数y 与x 轴围成的面积，即为221(0)x y y +=≥在x轴上方的半圆面积，12π-=，12720(2a x dx π-∴+=⎰.故答案为:2π. 【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.14．已知点(,)x y 满足34626x y x y x y -<⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则yx 的取值范围为__________.【答案】[]2,1-【解析】首先画出可行域，利用z 的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可. 【详解】由已知得到平面区域如图：yz x=表示区域内的点与原点连接的直线斜率， 由2646x y x y +=⎧⎨-=⎩解得(2,2)A ，由346x y x y -=⎧⎨-=⎩解得(1,2)B -当与(2,2)A 连接时直线斜率最大为1， 与(1,2)B -连接时直线斜率最小为﹣2， 所以yx的取值范围为[-2,1]. 故答案为:[-2,1].【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.15．已知A ，B 两点分别为椭圆22184x y +=的左焦点与上顶点，C 为椭圆上的动点，则ABC 面积的最大值为__________. 【答案】32)【解析】由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，进而求出直线AB 的方程，及||AB 的长度，当三角形ABC 的面积最大时为过C 点的直线与直线AB 平行且与椭圆相切，设过C 的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解. 【详解】由椭圆方程可得2(0,)(2,0),||2,B A AB -=∴ 所以直线AB 的方程为：20x y -+=，由题意可得当过C 的直线与直线AB 平行且与椭圆相切时， 两条平行线间的距离最大时，三角形ABC 的面积最大， 设过C 点与AB 平行的切线方程l 为：0x y m -+=， 直线l 与直线AB 的距离为22m d -=联立直线l 与椭圆的方程可得：22280x y x y m ⎧+-=⎨=-⎩， 整理可得：223280y my m -+-=，()2241280m m ∆=--=，可得212m =，解得23m =±，所以当m =-2d ==+ 这时ABCS的最大值为：max 1||2AB d⋅1(22=⋅=. 故答案为:. 【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.16．已知0x R ∃∈，使得不等式00002x x x e mx e m <+-能成立，则实数m 的取值范围为__________.【答案】1m <或324m e >. 【解析】由题意可得()()000121x m x ex ->-，分别01x=，01x >，01x <，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围. 【详解】 不等式00002x x x emx e m <+-，即为()()000121x m x e x ->-，若01x =则不等式显然不成立；当01x >时，可得()000211x e x m x ->-，设(21)()1x e x f x x -=-，2(23)()(1)x xe x f x x -'=- ， 则()f x 在31,2（）时递减，在3,2+∞（）递增，即有()f x 在32x =处取得最小值324e ， 由题意可得324m e >，又当01x <时，可得()000211x e x m x -<-，设(21)()1x e x f x x -=- ，则()f x 在(0,1)时递减， 在(,0)-∞递增，即有()f x 在0x =处取得最大值1，由题意可得1m <，综上可得m 的范围是1m <或324m e >， 故答案为:1m <或324m e >. 【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+. （1）求A 的大小； （2）若a =3b c +=ABC 的面积.【答案】（1）13π；（2【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得2B C A +＝，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求bc ，然后结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）()sin 2cos cos b c A aB Cπ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=+. ()cos cos cos b c A a B a C ∴+=+，cos 0,02A A π>∴<<，sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=+，即sin()sin()B A A C -=-，所以B A A C -=-，或B A A C π-+-=或B A A C π-+-=- 即2B C A +=，或B C π-=（舍去），或B C π-=-（舍去）， 又因为A B C π++=，故13A π=， （2）由余弦定理可得，22216()2663622222b c b c bc bcbc bc bc+-+--+-===， 232bc ∴=+，11333csin (223)2222ABC S b A +==⨯+⨯=△. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.18．在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数； （2）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数，求ξ的分布列及期望【答案】（1）茎叶图见解析，中位数为：86；（2）分布列见解析，94【解析】（1）由这12名学生的测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E （）ξ. 【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：8686862+=. （2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩不低于76分的学生人数， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，333121(0)220C P C ξ===，129331227(1)220C C P C ξ===， 2193312108(2)220C C P C ξ===，3931284(3)220C P C ξ===， ξ∴的分布列为：ξ0 1 2 3P1220 27220 108220 84220数学期望127108849()01232202202202204E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题. 19．已知三棱柱111ABC A B C -中，1222AA AB AC ===，90BAC ∠=︒，1120BAA ∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面1AB C ；（2）若11B C AA =，求平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）427【解析】（1）要证AB ⊥平面1AB C ，只需求证1AB AB ⊥，结合已知，即可求得答案； （2）以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面11AB C 的法向量1n 和平面1BCB 的法向量2n ，根据121221cos ,n n n n n n ⋅=⋅，即可求得答案.【详解】 （1）1120BAA ︒∠=,∴160ABB ︒∠=.在1ABB △中,111,2AB BB AA ===,由余弦定理得22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=,∴22211BB AB AB =+, ∴1AB AB ⊥.又90BAC ︒∠=,∴AC AB ⊥,又1AC AB A ⋂=,∴AB ⊥平面1AB C .（2）由（1）13AB =，1AC =又112B C AA ==在1AB C 中，可得()()()12212AB AA AC =+∴1AB AC ⊥又1AB AB ⊥∴1AB ⊥平面ABC ；由（1）得AB ⊥平面1AB C ，又90BAC ∠=︒∴以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以1AB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图：则()()1(00,,00,0,3),1,0,(0,1,0)0,B C A B1(,,)C x y z11BB CC =,又1(3)BB =-∴(3)(,1,)x y z -=-解得：113x y z ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故1(1,13)C =-∴111(0,0,3),(1,1,3),(1,1,0),(13)AB AC BC BB ==-=-=-设平面11AB C 法向量为()1111,,n x y z =由1111n AB n AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，可得111100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 故：11113030z x y =⎪⎨-++=⎪⎩ 取11y =，则1(1,1,0)n =设平面1BCB 法向量为()2222,,n x y z =由221n BC n BB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，可得22100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 故：2222030x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 取21x =可得：221,y z ==2n ⎛= ⎝⎭122121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅⋅7===∴平面11AB C 与平面1BCB 所成二面角的余弦值7.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y O a b a b+=>>过点12⎫-⎪⎭，()()0000,0A x y x y ≠，30y ++=的距离为2，过点A 的直线l 与x ，y 轴的交点分别为M 、N ，且2AN MA =.（1）证明：||MN 为定值；（2）如上图所示，若A ，C 关于原点对称，B ，D 关于原点对称，且BD NM λ=，求四边形ABCD 面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4.【解析】（1）其上顶点(0,)b 330x y ++=的距离为2，求出b ，点13,2-（）代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点A 的直线方程为：()00y y k x x -=-，可得00,0y Mx k-（），()000,N y kx -.利用2AN MA =，可得002y x k =-，利用两点之间的距离公式可得MN ；（2）由（1）得直线BD 的方程为02y y x x =-，与椭圆方程联立求出||BD ，由点到直线距离公式，求出A 到直线BD 距离，求出四边形ABCD 面积的关于00,x y 的表达式，结合00,x y 关系，由基本不等式求出最大值. 【详解】（1）其上顶点(0,)b 330x y ++=的距离为2，322b +∴= ，解得1b =. 又椭圆2222:1(0)x y O a b a b+=>>过点13,2⎫-⎪⎭，23114a ∴+=，解得24a =. ∴椭圆的标准方程为：2214x y +=.点A 在椭圆上，220014x y ∴+=.设经过点A 的直线方程为：()00y y k x x -=-， 可得00,0y M x k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()000,N y kx -. 2AN MA =，002y x k∴-=即002k x y =-.3MN ∴===为定值.（2）由（1）得直线MN 斜率为02k x y =-， ,BD NM BD λ=∴方程为02y y x x =-， 即0020y x x y +=，220044x y +=，联立0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22022004,||16x x x x y =∴=+，||BD ∴==，点A 到直线BD的距离为003||2x y d ==，||ABCDSBD d =⋅==202222022200002200009416116116()()54x y x y x y y x y x +=++=++≥ 当且仅当20202,4x y =，即2083x =时，等号成立，3,04,4ABCDS≥<≤∴≤，四边形ABCD 面积的最大值为4. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题. 21．已知函数()ln f x a x x =-，且函数()f x 在1x =处取到极值. （1）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数2()g()(01)()x m x m f x x -=<<+，且函数()g x 有3个极值点1x ，2x ，3x 123()x x x <<，证明：131ln 22x x +⎛⎫>- ⎪⎝⎭.【答案】（1）y =-1；（2）证明见解析【解析】（1）求出原函数的导函数，由()01f '=求解a 值，则曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程可求；（2）求出函数()g x 的解析式，由2()211()1m x m nx x g x n x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=，根据已知()0g x '=有三个解，2ln 10x x m +-=存在两个不同于m 的零点， 设()2ln 1h x x xm=+-，求出m 取值范围，结合()h x 的函数特征，可判断213,,x m x x =是函数()h x 的两个零点，构造函数13()2ln ,()()x x x x x x ϕϕϕ=-=，研究()x ϕ的单调性，把证明131ln 22x x +⎛⎫>- ⎪⎝⎭转化为证明()11)x x ϕϕ>-即可. 【详解】（1）()ln f x a x x =-，()1af x x'=- ， 函数()f x 在1x =处取到极值，(1)10f a '∴=-=，即1a =. 则()ln f x x x =-，(1)1f =-，∴曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y =-；（2）222()()()()(01)()11x m x m x m g x m f x x nx x x nx---===<<++-， 函数的定义域为(0,)+∞且1x ≠，2221()2112()ln ()()11m x m nx x m x x m x x g x n xn x⎛⎫-+----⋅⎪⎝⎭'∴==令()2ln 1h x x x m =+-，22()x m h x x -'∴=， ()h x 在0,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；()2h m是()h x 的最小值；()g x 有三个极值点123x x x <<， 2ln 1022m m h ⎛⎫∴=+< ⎪⎝⎭，得m <.m ∴的取值范围为⎛ ⎝，当0m <<时，()2ln 0h m m =<，(1)10h m =-<， 2x m ∴=；即1x ，3x 是函数()h x 的两个零点.112221n 1021n 10m x x m x x ⎧+-=⎪⎪∴⎨⎪+-=⎪⎩，消去m 得1113332ln 2ln x x x x x x -=-；令()2ln x x x x ϕ=-，()2ln 1x x ϕ'=+，()x ϕ'的零点为x =，且13x x <<. ()x ϕ∴在⎛ ⎝上递减，在⎫+∞⎪⎭上递增.要证明131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭，即证13x x +>，等价于证明31x x >-，即()31x x ϕϕ⎫-⎪⎭>. ()()13x x ϕϕ=，∴即证()11x x ϕϕ⎫>⎪⎭.构造函数()()F x x x ϕϕ⎫=-⎪⎭，则0F =；∴只要证明在⎛ ⎝上()F x 单调递减， 函数()x ϕ在⎛ ⎝单调递减； xx -减小，x ϕ⎫⎪⎭增大，x ϕ⎫-⎪⎭减小，x ϕ⎫∴--⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.()x x ϕϕ⎫∴-⎪⎭在⎛ ⎝上是减函数.∴当0a <<时，13x x +> . 即131ln 22x x +⎛⎫>-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4(2cos sin )ρθθ=+.现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为152x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求曲线C 关于直线l 对称曲线的参数方程.【答案】（1）C ：22(4)(2)20x y -+-=，l ：240x y -+=；（2）46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，可得曲线C 的直角坐标方程；由代入法可得直线l 的普通方程；（2）由圆关于直线的对称为半径相等的圆，由点关于直线对称的特点，解方程可得所求曲线的方程. 【详解】（1）4(2cos sin )ρθθ=+，得24(2cos sin )ρρθθ=+ 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，曲线C 的直角坐标方程为2284x y x y +=+， 即为22(4)(2)20x y -+-=；直l的参数方程为1525x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去t ，可得240x y -+=；（2）设曲线22:(4)(2)20C x y -+-=关于直线l 对称曲线为圆22()()20x a y b -+-=，由22144224022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪-⎨++⎪⋅-+=⎪⎩可得46a b =-⎧⎨=⎩ ， 则曲线C 关于直线l 对称曲线方程为22(4)(6)20x y ++-=，其参数方程为46x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩ （θ为参数）. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，普通方程和参数方程互化，以及圆关于直线对称方程等基础知识，意在考查直观想象、查逻辑推理能力，属于中档题. 23．已知定义在R 上的函数()||f x x =. （1）求(1)(24)f x f x ++-的最小值M ； （2）若a ，0b >且2a b M +＝，求22114a b+的最小值. 【答案】（1）3；（2）89【解析】（1）去绝对值化简函数，然后结合函数的单调性，即可求解函数的最值， （2）结合基本不等式及二次函数的性质可求.【详解】解：（1）因为()||f x x =.所以(1)(24)|1||24|f x f x x x ++-=++-， 当-1x ≤时，()33f x x =-单调递减， 当12x -<<时，()5f x x =-+单调递减， 当2x 时，()33f x x =-单调递增， 故当2x =时，函数取得最小值3M =； （2）若a ，0b >且23a b +=，222a b ab ∴+即98ab， 当且仅当2a b ＝即32a =，34b = 时，等号成立，则 2222222222114(2)4914444()b a a b ab a b a b a b ab ab ++-+===- ， 令1t ab =，98≥t ，而294t y t =-的开口向上，对称轴方程为29t =，在8,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当89t =，取得最小值89，22114a b ∴+的最小值为89. 【点睛】本题考查分类讨论求绝对值函数的最值，以及应用基本不等式、二次函数的性质求最值，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。
四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试(12月)数学理科试题 含解析答案
四川省乐山市2020届高考一诊试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）2．已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i3．（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣404．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A．30名B．40名C．50名D．60名5．函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．26．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名7．设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0 B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜08．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．9．已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10 D．2010．函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0）C．D．12．如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45 C．D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是．14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝．15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝．16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：P（K2≥k0）0.01 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828，n＝a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣2，1）B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，A∩（∁R B）＝（﹣2，1）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（）A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i【分析】根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．【解答】解：∵＝（5，﹣1），＝（3，2），∴＝﹣（﹣）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，则＝﹣2﹣3i，故选：D．【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．3．（5分）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x3y2的系数．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r（2x）5﹣r•y r，令r＝2，可得含x3y2的系数为•23＝80，【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．（5分）在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（）A．30名B．40名C．50名D．60名【分析】由频率直方图可求出绩在[80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．【解答】解：成绩在[80，90）内的学生所占的频率为1﹣（0.005×2+0.025+0.045）×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名，故选：B．【点评】本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝的零点之和为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【分析】利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．【解答】解：函数f（x）＝，可得x＞0时，3x﹣2＝0，解得x＝log32，x≤0时，x+log36＝0，解得x＝﹣log36．所以函数f（x）＝的零点之和为：log32﹣log36＝﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．6．（5分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（）A．21名B．16名C．13名D．11名【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z＝x+y对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解．【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；要求招入的人数最多，即z＝x+y取得最大值，目标函数化为y＝﹣x+z；在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z＝9+7＝16．故选：B．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．7．（5分）设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（）A．m+n＜mn＜0 B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜0 【分析】先求出m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，由此能推导出m+n＜0＜mn．【解答】解：∵m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+log0.30.3）＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，∴m+n＜0＜mn．【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1，i＝2时，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，i＝3时，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，i＝4时，退出循环，此时8x﹣7＝x解得x＝，故选：C．【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．9．（5分）已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（）A．B．C．10 D．20【分析】由已知可得•＝0，可得⊥，可得平面四边形ABCD的面积＝•||•||．【解答】解：•＝（3﹣）•（2+6）＝6﹣6＝0，∴⊥，又||＝＝，||＝＝2，∴平面四边形ABCD的面积＝•||•||＝×2＝10，故选：C．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，π）上的符号，利用排除法分析可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x•ln，则f（﹣x）＝（﹣x）ln＝x•ln＝f（x），则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；在（0，π）上，sin x＞0，则有0＜＜1，必有ln＜0，则f（x）＝xln＜0，据此排除B；故选：A．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，0）C．D．【分析】令F（x）＝f（x）﹣＝，利用分段函数通过函数的导数，求解函数的极值，利用函数的图象通过F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，求解即可．【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣＝，当x＞0时，函数F'（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，由F'（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，由F'（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x＝e时，函数F（x）取得极大值，极大值为F（e）＝2e﹣elne＝2e ﹣e＝e，当x≤0时，，是二次函数，在轴处取得最大值，作出函数F（x）的图象如图：要使F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，即若函数g（x）有两个不同零点，实数a的取值范围是，故选：C．【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系，函数的导数的应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．12．（5分）如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D 为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（）A．B．45 C．D．【分析】可求得A2，A3的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解．【解答】解：由题意得，函数f（x）的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，则，因为，故，故＝＝．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是∃x0∈R，f（x0）＞x0．．【分析】否定：否定量词，否定结论．【解答】解：否定：否定量词，否定结论．故命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是为：∃x0∈R，f（x0）＞x0．故答案为：：∃x0∈R，f（x0）＞x0．【点评】本题考查命题否定，属于基础题．14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝ 2 ；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝﹣2 ．【分析】（1）要求f（f（0））的值，可先求f（0）＝4，再求f（4），此即为所求；（2）函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．【解答】解：（1）由图象可知f（0）＝4，f（4）＝2，即f（f（0））＝2（2）∵f（0）＝4，f（4）＝2，f（2）＝4，∴由函数的图象可知，，当0≤x≤2时，f'（x）＝﹣2∴f'（1）＝﹣2故答案为：2，﹣2【点评】本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝．【分析】由7S△PON＝2，得到，故90°＜α+60°＜120°，得，再由sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]展开代入即可．【解答】解：设∠POM＝α，因为7S△PON＝2，所以，又△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，所以，故90°＜α+60°＜120°，得，∴sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]＝，故答案为：．【点评】考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题．16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为[2，] ．【分析】利用三角形面积公式得到a2＝bc sin A，由余弦定理和两角和与差公式＝＝sin A+2cos A＝φ），结合基本不等式求出的范围．【解答】解：已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，所以，所以a2＝bc sin A，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以＝＝sin A+2cos A＝φ），其中tanφ＝2，所以，由根据基本不等式，当且仅当b＝c时，取等号，故，故答案为：．【点评】本题考查均值不等式的应用，三角形面积，余弦定理，三角函数辅助角公式，三角函数求最值，考查逻辑推理能力，中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n的最小值．【分析】（1）设公差为d，则d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．【解答】解：（1）{a n}是递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，a2+a4＝20，a1•a5＝36，可得a1+a5＝20，解得a1＝2，a5＝18，d＝＝4，则a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；（2）b n＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，可得前n项和T n＝n（﹣29+2n﹣31）＝n2﹣30n＝（n﹣15）2﹣225，当n＝15时，前n项和T n取得最小值﹣225．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角C；（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行化简，然后结合两角和的正弦公式及诱导公式可求cos C，进而可求C；（2）由，代入可求ab．然后由，结合向量数量积的性质及余弦定理，基本不等式可求．【解答】解：（1）由正弦定理：，又，由题，所以＝．因为sin A≠0，所以cos C（2sin B﹣sin A）＝cos A sin C，即cos C sin A+cos A sin C＝2sin B cos C，即sin B＝sin（A+C）＝2sin B cos C，因为sin B≠0，所以，则．（2）由，即，所以ab＝12．由，所以＝当且仅当a＝b时取等，所以边CD的最小值为3．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．【分析】（1）推导出CD⊥AB，连结B 1D，设AB＝2a，则，推导出CD⊥B1D，由此能证明CD⊥平面ABB1A1．（2）设CD与平面BCC1B1所成角为θ，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，由，求出d＝，由此能求出CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵D为AB中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，连结B1D，如图，设AB＝2a，∵四边形ABB1A1是菱形，D为AB中点，∠ABB1＝，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，，CD＝a，∴，∴CD⊥B1D，∵AB∩B1D＝D，∴CD⊥平面ABB1A1．（2）解：设CD与平面BCC1B1所成角为θ，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，由（1）知B1D⊥平面BCD，则，∴＝，∵BC＝，B1B＝B1C＝2a，∴＝，∴＝，∵，∴，解得d＝，∴sinθ＝＝．∴CD与平面BCC1B1所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？非阅读爱好阅读爱好合计男50女14合计（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．附：P（K2≥k0）0.01 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828，n＝a+b+c+d．【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2＝6＞5.024，从而有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．（2）由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取1名学生，恰为“阅读爱好”的概率为，由题意知ξ～B（4，），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）完成2×2列联表如下：非阅读爱好阅读爱好合计男24 26 50女36 14 50合计60 40 100K2＝＝6＞5.024，∴有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．（2）由频率分布直方图知：从该校学生中任意抽取1名学生，恰为“阅读爱好”的概率为，由题意知ξ～B（4，），P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4P∴E（ξ）＝4×＝．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝e ax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．（1）求f（x）；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．【分析】（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），求得f（x）的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得m，n的方程和a，b的方程，解方程组可得a，b，进而得到所求f（x）的解析式；（2）求得y＝g（x）的解析式，g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，两式相加和相减，相除可得x1+x2+2＝•（x1﹣x2），令x1﹣x2＝t（t＞0），可得要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，即证t（1+e t）﹣2（e t﹣1）＞0，可令h（t）＝t（1+e t）﹣2（e t﹣1），t＞0，求得二阶导数，判断单调性，即可得证．【解答】解：（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），函数f（x）＝e ax+b的导数为f′（x）＝ae ax+b，由题意可得ae am+b＝1，e am+b＝m+1，且ae a+b＝e，解得a＝1，b＝0，m＝0，可得f（x）＝e x；（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，可得g（x）＝kf（﹣x）＝ke﹣x，由g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，可得ke﹣x1＝x1+1，ke﹣x2＝x2+1，两式相加可得k（e﹣x1+e﹣x2）＝x1+x2+2，两式相加可得k（e﹣x1﹣e﹣x2）＝x1﹣x2，两式相除可得＝，则x1+x2+2＝•（x1﹣x2），令x1﹣x2＝t（t＞0），则x1+x2+2＝•t，要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，即证t（1+e t）﹣2（e t﹣1）＞0，可令h（t）＝t（1+e t）﹣2（e t﹣1），t＞0，h′（t）＝1+te t﹣e t，h″（t）＝te t＞0，h′（t）在t＞0递增，h′（t）＞h′（0）＝0，可得h（t）在t＞0递增，即有h（t）＞h（0）＝0，可得x1+x2＜﹣4成立．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算能力，属于中档题．请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数φ，得曲线C1的普通方程．把ρ＝4cosθ两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C2的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；（2）由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得M（0，4），写出直线l的参数方程，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，再由参数t的几何意义求解．【解答】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x﹣5）2+y2＝10．由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．由两圆心的距离，得两圆相交，∴两方程相减可得交线为﹣6x+21＝5，即．∴直线的极坐标方程为；（2）由，得，∴直线l的直角坐标方程：x+y＝4，则与y轴的交点为M（0，4）．直线l的参数方程为，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，得．设A，B两点的参数为t1，t2，∴，t 1t2＝31，则t1，t2同号．∴．【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【分析】（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥＝，再根据0＜xy ＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）由＝，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题。
2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(2)(3)0},{|A x x x B x y =+-<==，则()R A B =I ð（ ）A ．[2,1)-B ．[1,3]C ．(,2)-∞-D ．(2,1)-【答案】D【解析】可以求出集合,A B ,然后进行交集、补集的运算即可． 【详解】此题考查集合的基本运算,考查学生求解二次不等式的一个易错点,属于较易题.由题知{|23},{|1}A x x B x x =-<<=≥,则{|1}R B x x =<ð,则(){|21}R A C B x x ⋂=-<<.故选:D . 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算,考查了计算能力,难度容易．2．.已知()()5,1,3,2OA OB =-=u u u r u u u r ，AB u u u r对应的复数为z ，则z =（ ）A ．5i -B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【答案】D【解析】根据向量的减法坐标公式，解得AB u u u r坐标，再写出对应的复数和其共轭复数. 【详解】由题可知()2,3AB =-u u u r，故AB u u u r对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--， 故选：D. 【点睛】此题考查复平面内点对应的向量，以及共轭复数的概念，属于容易题. 3．5(2)x y -的展开式中，含32x y 的系数为（ ）A ．80B ．80-C ．40D ．40-【答案】A【解析】在二项展开式的通项公式中,令y 的幂指数等于2,求出r 的值，即可求得展开式中含32x y 的系数．【详解】依题意可知,555155(2)()2(1)rrr r r r r r r T C x y C x y ---+=⋅⋅-=⋅⋅⋅-,故含32x y 系数为352280C ⋅=.故选:A . 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,难度较易. 4．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据此绘制了如下图所示的频率分布直方图.则这200名学生中成绩在[80,90)中的学生有（ ）A ．30名B ．40名C ．50名D ．60名【答案】B【解析】根据面积之和为1，计算出[80,90)所在长方形的面积，即为频率，乘以样本容量即可. 【详解】由题知，成绩在[80,90)内的学生所占的频率为1(0.00520.0250.045)100.2-⨯++⨯=，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有2000.240⨯=名， 故选：B. 【点睛】本题考查频率分布直方图的概念及应用，属于容易题.5．函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】A【解析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解. 【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =， 令3log 60x +=，解得3log 6x =-， 则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.6．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若,x y 满足约束条件251127x y y x x -⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩……„，则该小组最多选拔学生（ ）A ．21名B ．16名C ．13名D ．11名【答案】B【解析】根据不等式组画出可行域，构造目标函数z x y =+，数形结合即可求得. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示：目标函数z x y =+，求得(7,9)A ，观察可知，当直线y x z =-+过点(7,9)A 时，z 有最大值16， 故选：B. 【点睛】本题考查线性规划的实际应用以及最优解，考查数形结合思想，属于中档题. 7．设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则（ ） A ．0m n mn +<< B ．0mn m n <<+ C ．0m n mn +<< D ．0mn m n <+<【答案】B【解析】由对数性质可知0,0m n ><,则0mn <,由0.3log 0.6m =,可知0.61log 0.3m=,由21log 0.62n =,可知2142log 0.6=log 0.6n =,则0.61=log 4n ,进而可知110m n +<,即可得出0m n mn +>>. 【详解】由题易知0,0m n ><，故0mn <，又因为0.60.60.611log 0.3log 4log 1.20m n m n mn ++==+=<，即0m nmn+<，即0m n mn +>>.故选:B .【点睛】此题考查对数的基本性质、不等式的基本性质,逻辑推理能力等,难度一般.8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =（ ）A ．35B ．47.0810-⨯C ．2123D ．4547【答案】C【解析】模拟执行程序框图，使得最后退出循环时1873x x -=，即可得解. 【详解】1i =时，21x x =-；2i =时，()221143x x x =--=-；3i =时，()243187x x x =--=-；4i =时，退出循环.此时，1873x x -=，解得2123x =.故选：C 【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确结论，属于基础题.9．已知单位向量12,e e u v u u v分别与平面直角坐标系,x y 轴的正方向同向，且向量123AC e e =-u u u v u v u u v ，1226BD e e =+u u u v u v u u v，则平面四边形ABCD 的面积为（）A ．10B ．10C ．10D ．20【答案】C【解析】由已知可得0AC BD ⋅=u u u r u u u r，可得AC BD ⊥uuu r uu u r ，可得平面四边形ABCD 的面积1||||2AC BD =⋅⋅u u ur u u u r ． 【详解】由向量正交分解的定义可知，(3,1)AC =-u u u r ，(2,6)BD =u u u r，则22||3(1)10AC =+-=u u u r ，2226210BD =+=u u u r .因为32(1)60AC BD ⋅=⨯+-⨯=u u u r u u u r ，所以AC BD ⊥uuu r uu u r，所以平面四边形的对角线互相垂直，所以该四边形的面积为||||10210102AC BD S ⋅⨯===u u u r u u u r .故选：C. 【点睛】本题考查向量数量积运算性质、对角线互相垂直的四边形面积的计算，考查推理能力与运算求解能力． 10．函数2sin ()ln2sin -=+xf x x x的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先由奇偶性的概念，判断()f x 是偶函数，排除C 、D ；再由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的正负，排除B ，进而可得出结果. 【详解】因为()()12sin 2sin 2sin ln ln ln 2sin 2sin 2sin x x x f x x x x f x x x x -+--⎛⎫-=-=-== ⎪-++⎝⎭， 所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C 、D ； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]sin 0,1∈x ，2sin 012sin -<<+x x ，2sin ln 02sin -<+x x ， 即()0f x <，故排除B ， 选A 。