11-2 瑕积分

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瑕积分的基本知识

瑕积分的基本知识瑕积分（Lebesgue integral）是数学分析中的一个重要概念，它是勒贝格测度论的核心内容之一。

瑕积分的引入，使得我们能够对更广泛的函数进行积分运算，包括那些在有限个点上可能发散的函数。

本文将介绍瑕积分的基本知识，包括定义、性质和计算方法等方面的内容。

一、瑕积分的定义瑕积分的定义是在勒贝格测度论的基础上引入的。

对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果f(x)在[a, b]上除了有限个点外都是有界的，那么我们称f(x)是[a, b]上的瑕函数。

瑕积分的定义如下：设f(x)是[a, b]上的瑕函数，如果存在一个数值I，对于任意给定的ε>0，存在一个分割[a, b]的有限集合D，使得对于任意的分割D'，只要D'是D的一个细分，就有：|∑(f(x_i)-I)Δx_i|<ε其中，x_i是[a, b]上的分点，Δx_i是相应的分割子区间的长度。

如果存在这样的数值I，我们称I是f(x)在[a, b]上的瑕积分，记作∫[a, b]f(x)dx。

二、瑕积分的性质瑕积分具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。

瑕积分的计算

瑕积分的计算
瑕积分（CauchyIntegral）是一种计算函数曲线积分的方法。

它有一些独特的特性，非常适合用来计算定义在非凸区域内的函数积分。

它也可以用来求解凸区域内的函数积分，但速度较慢。

瑕积分最早由法国数学家和天文学家Augustin Cauchy（Cauchy，17891857）提出，故称之为Cauchy Integral。

Cauchy的第一个用瑕积分计算圆面积的论文发表于1827年。

他的用法在法国的数学史上
占有重要的地位，因为他是第一个将极限概念引入分析中的人。

瑕积分的具体计算方法是：首先，把函数分解为一系列连续形状的区域，比如三角形，四边形等；其次，对每一个区域加上其对应的权重；最后，将积分计算结果求和，得到总体积分。

为了有效地计算瑕积分，最好将曲线分割成尽可能小的区域，以降低不同区域之间的差异。

这些区域的体积可以由其面积和对应的权重相乘来得到。

在计算中，需要注意函数的变化，以确定对应区域的权重和曲线长度。

另外，需要注意此类函数可能存在极值，因此也可能存在突变。

如果发现这些情况，可以考虑将函数细分为更小的区域，以减少误差。

此外，在计算瑕积分时还可以采用其他的方法来提高精度，例如使用拓展的瑕积分、Gauss-Lobatto或Gauss-Chebyshev等等，它们都可以让我们得到更精确的结果。

总之，瑕积分是一种用来计算函数曲线积分的方法，它可以提高精度，令我们能够计算出定义在非凸区域内的函数积分。

它有一些独
特的特性，非常适合用来研究定义在凸区域内的函数积分。

通过正确地使用瑕积分，可以得到准确可靠的计算结果。

瑕积分的计算

瑕积分的计算瑕积分是属于复杂数学运算，把它界定为定积分的变种。

瑕积分是一种把复杂的定积分的计算过程分解为若干简单定积分的计算，然后将简单定积分的结果加起来，以求解原复杂定积分的方法。

它有时也叫多步积分或分段积分，但本文简称为瑕积分。

瑕积分的计算只要基本的定积分知识就可以完成。

它要求根据定积分的求法，将定积分计算区间划分为几个短区间，然后将每个短区间上的定积分分别计算，最后将所有短区间上的定积分的结果求和，从而获得原定积分的结果。

首先，我们以瑕积分的计算过程为主题，介绍一下它的详细步骤：1、确定定积分的计算区间[a,b]。

2、确定划分短区间的方法，一般分两种：等分法和不等分法。

3、根据划分短区间的方法，将定积分的计算区间划分为若干短区间，分别为[x0,x1], [x1,x2]……[xn-1,xn]。

4、假定定积分的计算区间[a,b]上的函数f(x)，在各短区间上给出近似的表达式，一般有三种形式：常数法、线性法和拉格朗日插值法。

5、利用近似的表达式求出各短区间上的定积分结果，然后将各短区间上的定积分结果累加起来，得到原定积分的计算结果。

瑕积分的计算，是定积分技术里最主要的计算方式之一。

它可以有效地解决定积分的非线性性和复杂性带来的困难，在实际工程中有广泛的应用，甚至在日常的数学计算中也有不可替代的作用。

瑕积分的计算技术，需要用到比较高级的定积分知识，首先要对定积分的求法有一定的掌握，其次要对多变量的函数求导、积分计算、拉格朗日插值和分段插值等技术有所了解。

瑕积分的计算是有效率的，但也有其局限性，因为它没有考虑到定积分求解的准确性。

瑕积分的结果，与定积分的精确求解结果有较大的差距，但是在一定情况下，它的结果仍然是可接受的。

总之，瑕积分的计算是一种有效且方便的定积分求解方法，在实际应用中也有重要的价值。

它可以有效地解决复杂定积分的计算，在很多实际应用中，也可以更快捷、更准确地解决定积分问题。

11-2瑕积分

可相消吗?
例 1 求积分
提示：
x=0是瑕点
例 2 讨论积分 3 1 dx 的敛散性. 0 (x 2)2
解：
3 dx 0 (x 2)2

x
1
2
3
0
1

1 2

3 2
这种解法对吗？
正确解法：当
x
2时，
(x
1 2)2

，故x=2是瑕点
3 dx

ln | sec t tan t | 3 ln ( 2 3) . 0
例8 解
计算 d x .
0 x (x 2)
这是无穷积分与瑕积分混合在一起的广义积分, 应设分开.
易知, x 0 , x 2 为被积函数的瑕点, 故

dx
1
2
3

( )
定义设 f (x) C (a, b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的广义积分, 记作
这时称广义积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
计算
1 1
dx x2
.
解
因为
lim
x0
1 x2
,
所以,
x0
为 f (x)
1 x2
的瑕点
.
1 1
dx x2

0 1
dx x2

1 dx 0 x2

11.3 瑕积分的性质与收敛判别

a a
b
b
任意常数 k1 , k2 , 有
a [k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x )] dx
k1 f1 ( x ) dx k2 f 2 ( x ) dx .
a a b b
b
性质2：设函数 f ( x ) 的瑕点为x a, 则对任意
对c (a , b) , 瑕积分 f ( x )dx 与 f ( x )dx
推论2: 设非负函数 f ( x ) 与 g( x ) 的瑕点同为 x a ,
f ( x) 在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且 lim c. x a g( x )
(i ) 若0 c , 则 f ( x )dx 与 g( x )dx 同敛散；
a a b b
u1 , u2 (a, a ) 时 ,
b
u
b
1
f ( x )dx f ( x )dx
u2
b
u
u2
1
f ( x )dx .
性质1：设函数 f1 ( x ) 与 f 2 ( x ) 的瑕点同为a , 若瑕
积分 f1 ( x )dx 与 f 2 ( x )dx 都收敛 , 则对
(1)
1
sin 1 x x
r
0
dx (0 r 2).
( 2)
1 x 0
ln x dx ( R).

例3、讨论反常积分 ( )
0
x 1 dx 的收敛性. 1 x
在任何 [u, b] (a, b] 上可积 , 且
x a
lim ( x a ) p f ( x ) , 则
b a
(i )当 0 p 1 , 0 时, f ( x )dx 收敛； (ii)当 p 1 , 0 时, f ( x )dx 发散 .

定积分的瑕积分

定积分的瑕积分定积分是微积分中的一个重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积大小，也具有许多其他应用。

但是，在某些情况下，定积分并不能完全解决问题，需要引入瑕积分的概念。

瑕积分是对具有奇点的函数进行积分的一种方法。

奇点指的是函数在某一点处的极限值不存在或者是无穷大。

在这种情况下，直接进行定积分的计算是无法得出正确结果的。

为了解决这个问题，我们可以将区间分解成若干个小区间，在每一个小区间内，对于奇点的位置要进行特殊处理。

这种处理方式就是瑕积分。

具体来说，我们需要用到“主部”和“余部”的概念。

主部是函数在奇点附近的主要部分，而余部是剩余部分。

其计算方法如下：设函数f(x)在点x0处有瑕点，则可以将函数f(x)在该点附近展开成一个洛朗级数，即：f(x) = Σa_n(x - x0)^n其中a_n是常数系数。

一般而言，洛朗级数前几项是主要项，对应的系数为a_(-1)、a_0、a_1等，而之后的项则是余项。

在计算瑕积分时，我们将主部作为积分被积函数，而余项则被忽略。

这样在求出主部的积分后，我们再将余项加回来，就可以得到整个区间内的瑕积分值。

需要注意的是，在奇点处，函数的极限值不存在或者是无穷大，因此在计算主部时可能会出现很多特殊情况。

一般而言，这需要通过具体的例子来进行演示和探究。

例如，在计算f(x) = 1/x在区间[0,1]上的瑕积分时，可以将该函数在x=0处展开为洛朗级数：1/x = 1/x0 + (x - x0)^2/x0^3 + ...其中a_(-1) = 1/x0，因此可以将1/x在x=0处的主部写成1/x0。

而将该主部在区间[0,1]上进行积分，则可得：∫(0,1)1/x dx = ln(1/x0)再根据余项的定义，我们可以将f(x)写成：f(x) = 1/x0 + (x - x0)^2/x0^3 + ...如果我们将(x - x0)^2忽略不计，则可以说我们忽略了余项。

而在本例中，当x在[0,1]内时，(x - x0)^2/x0^3非常小，因此我们可以忽略余项而得到一个较好的近似值。

举例说明瑕积分

举例说明瑕积分
瑕积分是一种计算复杂函数积分的方法，主要用于处理函数在有限点处不连续的情况。

下面举两个例子来说明瑕积分的应用。

例一：计算函数f(x) = 1 / (x-2) 在区间[1,3]上的积分。

由于函数在x=2处不连续，因此无法直接用定积分求解。

可以将积分区间分成两部分：[1,2)和(2,3]。

对于[1,2)，使用基本积分公
式得到积分为ln|x-2|，对于(2,3]，使用同样的方法得到积分为
-ln|x-2|。

因此，原函数在[1,3]上的积分为ln|2-1| - ln|2-3| = ln 2。

例二：计算函数f(x) = x / (x^2-1) 在区间[-1,1]上的积分。

函数在x=-1和x=1处有瑕点，因此需要将区间分成三部分：[-1,-ε]、[-ε,ε]和[ε,1]。

其中ε是一个小正数，可以近似认为是0。

对于[-1,-ε)和(ε,1]，使用部分分式分解得到积分为1/2ln|x^2-1|，对于[-ε,ε]，可以通过极限的方法计算得到积分为0。

因此，原函数在[-1,1]上的积分为ln|1-(-1)| = ln 2。

通过以上两个例子可以看出，瑕积分的核心思想是将函数在有限点处不连续的部分拆成若干个可以直接处理的部分，然后将它们分别计算出来再合起来得到最终结果。

- 1 -。

瑕积分的计算范文

瑕积分的计算范文瑕积分是一种数学上的概念，用于计算曲线或平面图形的面积。

在数学分析中，瑕积分的计算是通过将曲线或平面图形分割成无穷多个小区域，并对每个小区域的面积进行求和得到的。

本文将介绍瑕积分的基本概念和计算方法。

首先，我们来定义瑕积分的基本概念。

设$D$是一个有界闭区域，假设它可以被有限个简单曲线分成若干个连通的有界闭区域，这些区域除了有一些有限的面积外，还可能包含一些孤立点，这些孤立点可能使得面积无穷增大。

那么瑕积分的定义为：$$\int_{D} f(x) d x=\int_{D_{0}} f(x) d x+\sum_{i=1}^{n}A\left(x_{0 i}\right),$$其中$D_{0}$是去掉所有的孤立点后得到的区域，$A\left(x_{0i}\right)$表示点$x_{0 i}$的孤立点的面积。

可以看出，瑕积分分为两部分，一部分是对去掉孤立点的区域求面积，另一部分是对孤立点的面积进行求和。

接下来我们来讨论瑕积分的求解方法。

一般来说，瑕积分的计算分为两种情况：一种是瑕积分的交集为空集，也就是没有孤立点的情况；另一种是瑕积分的交集不为空集，也就是存在孤立点的情况。

对于第一种情况，不难得出结论，瑕积分的计算结果就等于对去掉孤立点的区域求面积。

这种情况下的瑕积分也称为广义积分，可以用一般的积分计算方法来求解。

对于这种情况的具体计算方法是，将区域$D$分成若干个小区域，对每个小区域求面积并将其进行求和，即：$$\int_{D} f(x) d x=\int_{D_{0}} f(x) d x.$$对于第二种情况，瑕积分的计算相对较复杂。

一般来说，我们需要分别对整个区域和每个孤立点的面积进行计算。

对于区域$D_{0}$的计算，可以使用类似于广义积分的方法进行计算。

具体计算方法是，将区域$D_{0}$分成若干个小区域，对每个小区域求面积并将其进行求和。

对于孤立点的面积计算，我们需要先确定孤立点的位置以及面积的求解方法。

数学分析反常积分113瑕积分的收敛判别法

单调性
如果函数在瑕点附近单调，则瑕积分收敛。
3
有界性
如果函数在瑕点附近有界，则瑕积分收敛。
瑕积分的收敛性质与积分区间的关系
01
积分区间长度
积分区间长度有限时，瑕积分收敛。
02
积分区间端点
03
积分区间形状
积分区间端点处的函数值不影响瑕积分收敛性。
积分区间形状不影响瑕积分收敛性。
瑕积分的收敛性质与积分变量的关系
积分变量范围
积分变量范围有限时，瑕积分收敛。
积分变量变化趋势
积分变量变化趋势不影响瑕积分收敛性。
积分变量与瑕点的关系
积分变量与瑕点位置关系不影响瑕积分收敛性。
05
瑕积分的收敛判别法的应用
在解决数学问题中的应用
判断反常积分的收敛性
01
通过使用瑕积分的收敛判别法，可以判断反常积分是否收敛，
从而确定积分的值或其不存在性。
解决物理中的反常现象
有些物理现象可以归结为反常积分的问题，通过应用瑕积分的收敛判别法，可以深入理解这些现象的内在机制。
建立物理模型的边界条件
在建立物理模型时，边界条件的确定非常重要，而瑕积分的收敛判别法可以为确定边界条件提供重要的依据。
在解决工程问题中的应用
分析工程的稳定性
在工程设计中，系统的稳定性是非常重要的，而瑕积分的收敛判别法可以用来分析系统的稳定性，如振动分析、流体动力学
分类
反常积分可以分为两种类型，即无穷积分和瑕积分。
瑕积分的定义
定义
如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的某点$c$处不连续，且$f(x)$在$[a, c]$和$[c, b]$上的积分都存在，则称这个定积分为瑕积分。

瑕积分

b
+∞
a
∫
+∞
a
f ( x )dx(或) ∫ f ( x )dx自然也收敛；自然也收敛；
b a
当判得
∫
+∞
a
| f ( x ) |dx (或)
∫
b
a
| f ( x ) |dx 发散时，发散时，
还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（还需依赖其它方法（如狄利克雷判别法阿贝尔（Abel））判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）判别别法. 或者直接使用收敛定义或柯西收敛准则）来判别
b a
结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分) 结合例题及习题总结对无穷积分(或瑕积分)收敛判别的一般步骤：别的一般步骤首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 首先用比较法则及其推论来判别是否绝对收敛, 收敛时, 当判得 ∫ | f ( x ) |dx(或) ∫a | f ( x ) |dx 收敛时,
ln x
3 此瑕积分的瑕点为x=0.由上述推论3 当取p= =0.由上述推论 1）此瑕积分的瑕点为 =0.由上述推论3，当取 = ＜1时，有 4
λ = limx
x →0
+
3 4
⋅
ln x x
= −lim
x → 0+
ln x x
− 1 4
＝
1 lim 4 x 4 x → 0+
＝0
x
+ +
x −1
推知该瑕积分发散. 推知该瑕积分发散.
最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子. 例2 讨论反常积分
Φ (α ) = ∫

数学分析反常积分11.3瑕积分的收敛判别法

1 x
x 0 1
x
作业 (习题集)
习题11.3 1、偶; 3、偶.
如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f的瑕点, 作代换x a 1 , 那么 y
lim
0
b a
f ( x)dx lim 0
1
ba 1
f
(a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f , g R[a ,b]
定理11.2' (比较审敛法) 设0 f ( x) g( x), ( x a且充分靠近a), 那么
1
ln x
1
1
1
x4
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
11 0
x4
xx 4Βιβλιοθήκη sinxcos1例11： 0
x x dx
解： 0
sinx x dx
收敛
{cos 1 } 有界 x
收敛
收敛
例5： 0
sin2 xm
xdx
1<m<3,收敛
解： 0
sin2 xm
xdx
1 0
1
而对于 2
ln x dx， ln x
2 ln x
0 1 x2
1 x2
1
1
1
2 ln xdx lim 2 ln xdx lim x ln x x 2 存在
0
0
0
例4：1 0
lnxln(1+ x) x(1+ x) dx
lnxln(1+ x)

数学分析11.3瑕积分的性质与收敛判别

第十一章反常积分 3 瑕积分的性质与收敛判别定理11.5：瑕积分⎰ba f(x )dx(瑕点为a)收敛的充要条件是：任给ε>0，存在δ≥0，只要u 1,u 2∈(a,a+δ)，总有 |⎰b u 1f(x)dx-⎰bu 2f(x)dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：设函数f 1与f 2的瑕点同为x=a ，k 1,k 2为任意常数，则当瑕积分⎰b a 1(x )f dx 与⎰ba 2(x )f dx 都收敛时，瑕积分⎰+ba 2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛，且⎰+ba2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰b a1(x )f dx+k 2⎰ba2(x )f dx.性质2：设f 的瑕点为x=a, c ∈(a,b)为任一常数，则瑕积分⎰ba f(x )dx 与⎰caf(x )dx 同敛态，且有⎰b af(x )dx dx=⎰c af(x )dx+⎰bcf(x )dx .性质3：设函数f 的瑕点为x=a ，f 在(a,b]内任一[u,b]上可积，则当⎰ba|f(x )|dx 收敛时，⎰b af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.证：∵⎰ba |f(x )|dx 收敛，∴任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时，有|⎰21u u f(x)dx |=|⎰21u u |f(x)|dx | <ε，∴⎰ba f(x )dx 收敛，且|⎰b af(x )dx |≤⎰ba|f(x )|dx.注：当⎰b a |f(x )|dx 收敛时，称⎰ba f(x )dx 为绝对收敛. 又称收敛而不绝对收敛的瑕积分为条件收敛.定理11.6：(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f 和g ，瑕点同为x=a ，在任何[u,b]⊂(a,b]上都可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，则当⎰bag(x )dx 收敛时,⎰b a|f(x )|dx 必收敛(或当⎰b a|f(x )|dx 发散时,⎰bag(x )dx 必发散).证：若⎰ba g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时，总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰ba |f(x )|dx 收敛.若⎰ba |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何δ>0，当u 2,u 1∈(a,a+δ]时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈(a,b]，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰ba g(x )dx 发散.推论1：若g(x)>0，且)x (g |)x (f |lima x +→=c ，则有：(1)当0<c<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态； (2)当c=0时，由⎰ba g(x )dx 收敛可推知⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰ba g(x )dx 发散可推知⎰ba |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim a x +→=c ，∴任给ε>0，存在δ>0，当x ∈(a,a+δ)时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε，即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰b a |f(x )|dx 与⎰ba g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰ba g(x )dx 收敛，则⎰ba |f(x )|dx 也收敛； (3)∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，∴任给M>0，存在σ>0，当x ∈(a,a+σ)时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰b a g(x )dx 发散，⎰b a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在任何[u,b]⊂(a,b]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤pa)-(x 1, 且0<p<1时，⎰b a |f(x )|dx 收敛； (2)当|f(x)|≥pa)-(x 1, 且p ≥1时，⎰b a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于(a,b]，a 为其瑕点，且在[u,b]⊂(a,b]上可积，且+→ax lim (x-a)p|f(x)|=λ.则有：(1)当0<p<1, 0≤λ<+∞时，⎰ba |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≥1, 0<λ≤+∞时，⎰ba |f(x )|dx 发散.例1：判别下列瑕积分的收敛性： (1)⎰1xlnx dx ；(2)⎰21xln xdx. 解：(1)∵xlnx≤x 1, x ∈(0,1]，0<p=21<1，∴⎰10x lnx dx 绝对收敛.(2)当p=1时, λ=xln x1)-(x lim 1x ⋅+→=1，∴⎰21x ln x dx 发散.例2：讨论反常积分φ(a)=⎰+-+∞01a x1x dx 的收敛性. 解：记φ(a)=⎰+-+∞1a x 1x dx=⎰+-101a x 1x dx+⎰+-+∞11a x1x dx=I(a)+J(a). 当a ≥1时，I(a)是定积分；当a<1时，I(a)是瑕点为x=0的瑕积分.又当0<a<1时，|x 1x 1a +-|≤a -1x1, 0<p=1-a<1，∴I(a)收敛.当a ≤0时，p=1-a ≥1，λ=x1x xlim 1a a10x +⋅--→+=1，∴I(a)发散. 对J(a)有，λ=x1x x lim 1a a2x +⋅--+∞→=1；当p=2-a>1，即a<1时，J(a)收敛；当a ≥1时，J(a)发散. 综上，由下表可知：反常积分φ(a)只有当0<a<1时才收敛.习题1、讨论下列瑕积分的收敛性： (1)⎰22)1-x (dx ；(2)⎰π023x sinx dx ；(3)⎰10xln x dx；(4)⎰-10x 1lnx dx ； (5)⎰103x -1arctanx dx ；(6)⎰2π0m x cosx -1dx ；(7)⎰10a x 1sin x1dx ；(8)⎰-∞+0x x ln e dx. 解：(1)令p=2>1, ∵λ=221x )1-x (dx1)-(x lim ⋅→=1， ∴⎰202)1-x (dx 发散.(2)令0<p=21<1, ∵λ=23x sinx x lim 210x ⋅+→=1， ∴⎰π023xsinx dx 收敛.(3)令⎰1xln x dx =⎰axln x dx +⎰1axln x dx =I+J, a ∈(0,1)对I ，令0<p=21<1，则λ=xln x dx x lim 210x ⋅+→=0，∴⎰a 0x ln x dx 收敛.对J ，令p=1, 则λ=xln x dx 1)-(x lim 1x ⋅-→=1，∴⎰1axln x dx 发散.∴⎰1xln x dx 发散.(4)令0<p=21<1，则λ=x 1lnx x )-(1lim 211x -⋅-→=0，∴⎰-10x1lnx dx 收敛.(5)令p=1，则λ=31x x-1arctanx x)-(1lim ⋅-→=12π，∴⎰103x -1arctanx dx 发散. (6)令p=m-2，则λ=m1-m 0x x cosx-1x lim ⋅+→=1， ∴当m ≤0时，原积分是定积分；当0<m<3时收敛；当m ≥3时发散.(7)⎰10a x 1sin x1dx =⎰+∞12-a sint t dt.当0≤a<1时，∵|t a-2sint|≤t a-2；又⎰+∞12-a t dt 收敛，∴原积分绝对收敛. 当1≤a<2时，t a-2单调减即+∞→t lim t a-2=0，又|⎰u1sint dt |≤2，∴积分收敛.且当t ∈[1,+∞)时，|t a-2sint|≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t，其中⎰+∞12t1dt 发散，⎰+∞12t cos2t dt 收敛，∴原积分条件收敛.当a ≥2时，令p=1，∵λ=sint t t lim 2-a t ⋅+∞→=+∞，∴积分发散. (8)⎰-∞+0xx ln e dx=⎰-10xx ln e dx+⎰-∞+1x x ln e dx=I+J.对I ，令0<p=21<1，则λ=x ln e x lim x 210x -→⋅+=0，∴⎰-10x x ln e dx 收敛.对J ，令p=2>1，λ=x ln e x lim x20x -→⋅+=0，∴⎰-∞+1x x ln e dx 收敛.∴原积分收敛.2、计算下列瑕积分的值(其中n 为正整数)： (1)⎰10n)x (ln dx ；(2)⎰1n x-1x dx.解：(1)记I n =⎰10n )x (ln dx=x(lnx)n |10-⎰10x d(lnx)n =-n ⎰101-n )x (ln dx=-nI n-1. ∴I n =(-1)n-1n!I 1=(-1)nn!⎰10dx =(-1)n n!. (2)⎰10n x-1x dx=2⎰10n2)t -(1dt=2⎰+2π012n θcosdt=!)!1n 2(!!n)2(2+=!)!1n 2(!n 21n ++.3、证明瑕积分J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛，且J=-2πln2. (提示：利用⎰2π0)x ln(sin dx=⎰2π0)x ln(cos dx ，并将它们相加).证：∵lnxlnsinxlim 0x +→=1, 又⎰2π0x ln dx 收敛，∴J=⎰2π0)x ln(sin dx 收敛.又J=⎰2π0)x ln(sin dx=-⎰2π0x )]-2πln[sin(d x)-2π(=⎰2π0x)ln(cos dx. ∴2J=⎰2π0)x ln(sin dx+⎰2π0x)ln(cos dx=⎰⎪⎭⎫⎝⎛2π2x 2sin ln dx =⎰2π0)x 2ln(sin dx-⎰2π02ln dx=⎰π0)x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π0π2π)x ln(sin )x ln(sin 21dx-2πln2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰2π02π0dx )x ln(cos dx )x ln(sin 21-2πln2 =J-2πln2. ∴J=-2πln2.4、利用上题结果，证明： (1)⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2； (2)⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2. 证：(1)令θ=π-φ，则J=⎰π0)θln(sin θd θ=⎰π0)]φ-πln[sin()φ-(πd(π-φ) =⎰π0)φln(sin )φ-(πd φ=π⎰π)φln(sin d φ-J.∴2J=π⎰π)φln(sin d φ=-π2ln2. ∴J=⎰π)θln(sin θd θ=-2π2ln2. (2)∵⎰2π0)θln(sin d θ=θln(sin θ)|2π0-⎰2π0θd(ln(sin θ))=-⎰2π0sin θθcosθd θ=-⎰2π0sin θθcosθd θ =-⎰2π02θsin θsin2θ21d θ=-⎰2π0cos2θ-1sin2θ 2θ41d2θ=-⎰π0cos θ-1sin θ θ41d θ=-2πln2. ∴⎰π0cos θ-1θsin θd θ=2πln2.。

常见的瑕积分的公式

常见的瑕积分的公式
“哎呀，这道题好难呀！”我愁眉苦脸地对着同桌说道。

那是一个阳光明媚的上午，教室里同学们都在安静地做着数学作业。

我看着眼前的题目，脑袋里一团乱麻。

同桌凑过来瞧了瞧，说：“这不是瑕积分嘛，你忘了常见的瑕积分公式啦？”我摇摇头，一脸茫然。

这时，数学老师走了过来，笑着问：“怎么啦，小家伙们？”我赶忙说：“老师，我对瑕积分的公式不太清楚呀。

”老师摸摸我的头，说：“别着急，咱们一起来好好讲讲。

”
老师在黑板上写下了一个例子，说：“就像这个积分，当积分区间内有间断点的时候，就是瑕积分啦。

常见的瑕积分公式有很多呢，比如当被积函数是 1/(x-a)^p 这样形式的时候，如果 p<1，那么积分就是收敛的哦。

”我似懂非懂地点点头。

同桌也在一旁说：“对呀对呀，就好像我们玩游戏，不同的情况有不同的规则，瑕积分也有它自己的规则呀。

”我眼睛一亮，说：“哇，你这个比喻好形象呀！”
老师接着说：“还有像那种无穷限的积分，也是瑕积分的一种呢。

同学们要好好记住这些公式呀，这样以后遇到相关的题目就不会头疼啦。

”我在心里暗暗下决心，一定要把这些公式都记住。

经过老师和同桌的讲解，我感觉自己对瑕积分公式有了更深刻的理解。

原来数学也可以这么有趣呀！
我觉得呀，学习就像一场冒险，而这些公式就是我们的武器，有了它们，我们就能在数学的世界里披荆斩棘！以后我一定要更加努力地学习数学，探索更多的奥秘！。

瑕积分收敛的柯西准则

瑕积分收敛的柯西准则
摘要：
一、瑕积分收敛的柯西准则概述
二、瑕积分收敛的柯西准则的应用
1.简单示例
2.复杂示例
三、瑕积分收敛的柯西准则在实际问题中的意义
四、总结与展望
正文：
瑕积分收敛的柯西准则（Cauchy"s criterion for convergence of瑕积分）是数学分析中的一个重要概念。

它用于判断瑕积分序列是否收敛，以及收敛的充分条件。

柯西准则的应用广泛，不仅限于数学领域，还涉及到物理、工程等实际问题。

一、简单示例
考虑一个瑕积分序列：f_n(x) = n^2 * sin(nx)，其中n为正整数。

我们可以计算其瑕积分：
I = ∫（从0到2π）n^2 * sin(nx) dx
通过观察sin函数的周期性，我们可以发现这个瑕积分序列是收敛的。

根据柯西准则，我们可以得出结论：瑕积分收敛。

二、复杂示例
现在考虑一个更复杂的瑕积分序列：f_n(x) = (x^2 + n^2)^(1/2) *
sin(nx)，其中n为正整数。

同样计算其瑕积分：
I = ∫（从0到2π）(x^2 + n^2)^(1/2) * sin(nx) dx
通过数学运算和柯西准则，我们可以证明这个瑕积分序列也是收敛的。

三、瑕积分收敛的柯西准则在实际问题中的意义
瑕积分收敛的柯西准则在实际问题中具有重要意义。

例如，在物理领域，质点在弹性绳上的振动问题可以转化为求解瑕积分。

通过应用柯西准则，我们可以判断振动能量的收敛性，进一步分析系统的稳定性和振动特性。

在其他领域，如工程、经济学等，瑕积分收敛的柯西准则同样具有实用价值。

瑕积分的收敛判别法

例3 计算广义积分
2 dx . 1 x ln x
解
2 dx
2
lim
dx
1 x ln x 0 1 x ln x
lim 0
2
1
d (ln x) ln x

lim ln(ln
0
x)
2
1
lim ln(ln 2) ln(ln(1 )) 0
收敛收敛发散1m3收敛是瑕点易见sinsin收敛原理所以由auchydirichlet积分收敛判别法所以是发散的而此时判断积分dx存在不是瑕点因此dx由于对充分小的对于lnlnlimlim故所给积分收敛例11是瑕点易见把积分分成两部分为此dx的收敛性现讨论i的收敛性讨论积分的收敛性和显然的收敛性相同dx的收敛性再讨论isin条件收敛dx绝对收敛dx条件收敛所以的收敛性讨论积分arctanarctandx发散时积分收敛其他情况所以当sincoscosdxcossinsincossincossin收敛发散时积分收敛其他情况综上主值无穷积分的cauchylim主值称此极限为存在如果极限cauchydx此内容选讲主值瑕积分的cauchy定义中的唯一瑕点在区间暇积分收敛的判别法1
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，如果f ( x), g( x)满足
下列条件：
1 M 0, 使得对0 b a，有
| b a
f ( x)dx |
M;
2 g 在(a, b]上单调,且 lim g( x) 0, x a
则 b a
二. 瑕积分的性质
性质１
若f1 ( x), f1 ( x)的瑕点同为x a, k1 ,k2为任意常数，
则当瑕积分ab

关于瑕积分收敛的判断

关于瑕积分收敛的判断课本中关于瑕积分收敛的判断主要是基于定理3与其推论（课本下册p.283）。

由这一推论可以看出：推论是根据 +→a x （视具体情况亦可是 -→b x ）时无穷大量 ()x f 相对于无穷大量ax -1 的阶来判断。

因为：()()d x f a x a x =-+→λlim 等价于()()d a x x f ax =-+→λ1lim ，当 +∞<<d 0 时，无穷大量 ()x f 与无穷大量 ()λa x -1是同阶无穷大量（即：相对于无穷大量a x -1，无穷大量 ()x f 的阶是 λ ），由于例3 （课本下册p.280），相对于无穷大量 ax -1，无穷大量 ()x f 的阶 1<λ 时瑕积分()⎰b ax d x f 收敛，阶1≥λ 时瑕积分()⎰bax d x f 发散。

当然，由于存在不可比较的无穷大量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：例1．判别瑕积分⎰-2sin 1πθθd 的敛散性（课本下册p.289：2（6））解：由于∞+=--→θπθsin 11lim 2，点 2πθ= 是其瑕点。

又由于（注1）22sin 22cos 1sin 1θπθπθ-=⎪⎭⎫⎝⎛--=- ，122sin 22lim 2=---→θπθππθ ，当 -→2πθ 时，相对于无穷大量θπ-21，无穷大量22sin 1θπ-的阶为1 ，故：这一瑕积分发散。

（注2）（若直接用推论，判定发散的理由是 2sin 12lim 2=---→θθππx 。

）例2．判别瑕积分⎰10ln xx xd 的敛散性（课本下册p.289：2（5））解：由于 01ln = ，1=x 显然是瑕点。

当 +→0x 时，由洛必达法则有()02lim 211lim 211lim 1ln lim ln lim 0000=-=-=-==+++++→→→→→x x x xx x x xx x x x x x x x ，因而 0=x 亦是瑕点。