平行线及平行公理-word

合集下载

初中数学公理有哪些

初中数学中公理如下：
1、线段公理：两点之间，线段最短。

2、直线公理：过两点有且只有一条直线。

3、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

4、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

5、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

6、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

7、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS）
8、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA）
9、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）
10、全等三角形的对应边相等，对应角相等。

扩展资料
证明两直线平行，同位角相等的方法：
平行线的性质：两直线平行，同位角相等。

两直线平行，内错角相等。

两直线平行，同旁内角互补平行线的判定：同位角相等，两直线平行。

内错角相等，两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角。

两条直线a，b被第三条直线c所截会出现“三线八角”，其中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。

平行线的判定、性质公理及定理【最新】

一、学习内容：平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理二、学习目标：1、熟练掌握平行线的判定、性质公理及定理；三角形的内角和定理2.能对平行线的判定、性质进行灵活运用，并把它们应用于几何证明中．三、学习重难点重点：平行线的判定性质公理及定理. 难点：推理过程的规范化表达.四、学习方法：教师精讲点拨与学生自主探究相结合五、使用课时：2课时六、学习导航考点一平行线的判定公理1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC +∠CDE =∠BCD ．（1）（2） 3．如图，如果AB ∥CD ，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC ，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练：一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a ∥b 的条件是( )A ．(1)(3)B ．(2)(4)C ．(1)(3)(4)D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CDC ．∠3=∠4D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°二．填空题5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．αγβED CBAD6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空．（1）∵∠A =_______（已知） ∴AC ∥ED （）（2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （）（3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ．求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：CFDEBAOHG321EFD C BA1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等.定理：两直线平行，内错角相等.定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D ，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

平行线(定义、平行公理及推论)

么这两条直线也互相平行（平行于同一条
直线的两条直线互相平行）
几何语言：∵a∥b b∥c（已知）
∴a∥c （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
试一试
1、在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
则在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系
是相交和平行.
D 2 、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行.
A
B
AB∥ CD，AD∥ BC.
3、完成下列推理，并在括号内注明理由。
（1）如图1，因为AB // DE，BC // DE, 则A,B,C三点在同
一条直线上吗？ _在__同__一__直__线__上（
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
）
（2）如图2，因为AB // CD，CD // EF（已知），所以 ____A_B___ // ___E_F_____( 如果两条直线都和第三条直线平行，)
2、平行线的表示方法：
如何用几何语言描述平行呢？
A
B
C
D
(1)平行用符号“∥”表示，
直线AB与直线CD平行
记作：AB∥CD，读作“AB平行于CD”.
(2)注意：平行线是相互的，使用平行符号“∥” 时，可写成AB∥CD，也可以写成： CD∥AB.
a
b
直线a与直线b平学科网行，记作：a∥b．也可以写成： b ∥ a .
那么这两条直线也互相平行
·· · A B C
A
B
C
D
D

E
F
图1
图2
4、读下列语句，并画出图形
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行。

平行公理及其推论

平行公理及其推论平行公理是几何学中的基本公理之一，它是建立在直觉上的，没有证明过程。

平行公理表明，通过一点外一直线的直线只有一条与给定直线平行的直线。

平行公理的推论可以帮助我们解决一些与平行直线相关的问题。

根据平行公理，我们可以得出如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。

这个推论可以通过反证法来证明。

假设两条直线分别与第三条直线平行，但它们不是平行的。

那么通过这两条直线和第三条直线可以构造出一个三角形，根据三角形内角和定理，这个三角形的内角和应该等于180度，但这与我们的假设相矛盾。

所以，我们可以得出结论，如果两条直线分别与第三条直线平行，那么这两条直线也是平行的。

平行公理的推论还可以帮助我们解决一些与平行线之间的角相关的问题。

例如，如果两条平行线被一条横切线所截，那么所得的对应角相等。

这个推论可以通过同位角定理来证明。

根据平行公理，我们知道这两条平行线被一条横切线所截，所以我们可以得到一组对应角。

根据同位角定理，这些对应角相等。

平行公理的推论还可以帮助我们解决一些与平行线之间的距离相关的问题。

例如，如果两条平行线被一条横切线所截，那么所得的相交线段是等长的。

这个推论可以通过平行线性质来证明。

根据平行公理，我们知道这两条平行线被一条横切线所截，所以我们可以得到一组相交线段。

根据平行线性质，这些相交线段是等长的。

总结起来，平行公理及其推论在几何学中起着重要的作用。

它们帮助我们解决了很多与平行直线相关的问题，包括角和距离的性质。

通过运用这些推论，我们可以更好地理解和应用平行公理，进一步推导出更多的结论和定理。

平行公理是几何学中的一个基本概念，它为我们建立起了一个严密而完整的几何体系，为我们研究和探索几何学提供了基础。

平行线及其性质和判定

平行线及其性质和判定核心纲要1．平行线（1）定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，记作a∥b．（2）平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1）相交；（2）平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行;3．两直线平行的判定方法(1）平行线的定义．（2）平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等．（2)两直线平行，内错角相等．（3)两直线平行，同旁内角互补．本节重点讲解：一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．基础演练1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交2．下列说法正确的是( )A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．如图所示,下列推理中错误的是（ )A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CD B．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CDC．∵∠3=∠4,∴AD∥BC D．∵∠1=∠2,∴AD∥BC4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°5．（1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．(2)如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．(3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．图1 图2 图36．解答题．(1)填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：∠EDF=∠A．解：∵DF∥AB( ）∴∠A＋__________=180°( ）∵DE∥AC(已知)∴∠AFD＋__________=180°（）∴∠EDF=∠A（ )(2)推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：解：∵EF∥AD（）∴∠2=__________（）又∵∠1=∠2( ）∴∠1=∠3( )∴AB∥__________( )∴∠BAC＋__________=180°( ）又∵∠BAC=70°（ )∴∠AGD=__________7．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:AD平分∠BAC．能力提升8．若α和β是同位角，且a=30°，则β的度数是( )A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（ )①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（ )个数A．1 B．2 C．3 D．412．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：AD∥BE．15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC．16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,求证：DA⊥EF17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．19．阅读材料：材料1:如图(a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．材料2：如图(b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．根据上述结论，解决下列问题：（1)如图(c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;(2)在（1)中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；(3)由（1)(2)请你猜想：当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD（1)如图(a）所示，若DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．（2)若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图(b)所示）?试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1）求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．（3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．中考连接22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是( ) A．17°B．34°C．56°D．68°23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°,那么∠2的度数是（ )A．30°B．25°C．20°D．15°巅峰突破24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为( )A．①②B．①③C．③④D．①②④25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:∠EDF=∠BDF．平行线及其性质和判定26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．11 / 11。

平行线定义及平行公理

课前小测
5.如图四组直线，其中两直线互相平行的是（2）（4）（填序号）
6．如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画一条；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行（填“平行”或“不平行”）。
课堂精讲
知识点1.平行线的定义及其表示方法【例1】下列说法中，正确的是（ C ）
A．两直线不相交则平行 B．两直线不平行则相交 C．若两线段平行，那么它们不相交 D．两条线段不相交，那么它们平行
类比精练
1.如图，在同一平面内，有三条直线a、b、c，且a//b，如果直线a与c交于点O，那么直线c与b 的位置关系是相交．
课堂精讲
知识点2.平行公理及其推论【例2 】三条直线a、b、c，若a//c，b//c，则a与b 的位置关系是（ B ）
（1）不相交的两条直线是平行线
（2）同一平面内，两直线的位置关系有两种，即
相交或平行
（3）若线段AB与CD没有交点则AB//CD
（4）若a//b,b//c,则a 与c不相交
Hale Waihona Puke A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个
5．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是
平行的，那么交点有（C ）．
A．0个
B．1个
第五章相交线与平行线
第5课时平行线
目录 contents
课前小测课堂精讲课后作业
课前小测
1.如果直线a与b互相平行,记作 a//b .
2.在同一平面内, 两直线的位置关系：相交和平行 .
3.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平. 行
4.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

平行线(定义、平行公理及推论)

5.2.1 平行线教学目标1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念.2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论.3.会用符号语方表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.重点、难点重点:探索和掌握平行公理及其推论.难点:对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.课前准备分别将木条a、b与木条c钉在一起,做成图所示的教具.教材分析本节课学习的内容是平行线的概念、平行公理及其推论，这是在研究了两条直线相交的基础上进行的，是进一步研究平行关系、平行线的性质和判定，进一步认识三角形、平行四边形等图形性质的基础.教才首先给出了一个两条直线被第三条直线所截的模型，说明在转动直线的过程中，存在直线与不相交的情况，由此给出平行线的概念和表示方法，并说明在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系.接着，要求学生列举生活中存在的平行线现象，帮助学生理解和巩固平行线的概念.然后，教科书安排了一道思考题，通过转动木条和用三角尺与直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线的画图过程，让学生体验平行公理及其推论.最后，用符号语言表示出平行公理的推论.本节课的教学重点是平行线的概念，本节课的教学难点是探究与理解平行公理及其推论.学情分析学生来自于丰都县董家镇农村中学的孩子，班级基础参差不齐，有48人。

我又是借班上课，不了解学生情况。

他们对抽象知识的理解能力较差，所以我把很多抽象的知识进行逐步分解，针对难点的平行公理的阐述就回避，不敢深挖。

教学过程一、创设问题情境1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?2.教师演示教具.顺时针转动木条b两圈,让学生思考:把a、b 想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?在这个过程中, 有没有直线b与c木相交的位置?3.教师组织学生交流并形成共识.转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a 的交点就会从A点的左边又转动A 点的左边……可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都没有交点.二、平行线定义,表示法a C 1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a 与直线b 不相交的位置,这时直线a 与b 互相平行.换言之,同一平面内, 不相交的两条直线叫做平行线.直线a 与b 是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号. 教师应强调平行线定义的本质属性,第一是同一平面内两条直线,第二是设有交点的两条直线.2.同一平面内,两条直线的位置关系教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论1.在转动教具木条b 的过程中,有几个位置能使b 与a 平行? 本问题是学生直觉直线b 绕直线a 外一点B 转动时,有并且只有一个位置使a 与b 平行.2.用直线和三角尺画平行线.已知:直线a,点B,点C.(1)过点B 画直线a 的平行线,能画几条? (2)过点C 画直线a 的平行线,它与过点B 的平行线平行吗?3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.(1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.(2)在学生充分交流后,教师板书.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.(3)比较平行公理和垂线的第一条性质.共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.4.归纳平行公理推论.(1)学生直观判定过B 点、C 点的a 的平行线b 、c 是互相平行.(2)从直线b 、c 产生的过程说明直线b ∥直线c.(3)学生用三角尺与直尺用平推方验证b ∥c.(4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书.结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行. 结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论: 如果b ∥a,c ∥a,那么b ∥c.(5)简单应用.练习:如果多于两条直线,比如三条直线a 、b 、c 与直线L 都平行, 那么这三条直线互相平行吗?请说明理由.本练习是让学生在反复运用平行公理推论中掌握平行公理推论以及说理规范.四、小结c b a。

(完整版)平行线知识点+四大模型

平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. （2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) 如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系（用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．。

平行线的判定、性质公理及定理

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一平行线的判定：1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）若∠5=∠B，则_________∥_________（）若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______（）2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）∠3+∠2=180°（）∴∠1=_________∴AB∥CD（）课堂练习：1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．（1）（2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练：一．选择题1．下列命题中，不正确的是( )A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B ．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D ．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如右图，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件： ( ) (1)∠1=∠2，(2)∠3=∠6，(3)∠4+∠7=180°，(4)∠5+∠8=180°，其中能判定a ∥b 的条件是( ) A ．(1)(3) B ．(2)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 3．如右图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是( ) A ．AD ∥BC B ．AB ∥CD C ．∠3=∠4 D ．∠A =∠C4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( ) A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130° C ．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D ．第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 二．填空题αγβED C BAAB D E12FOCABDE5．如右图，∠1=∠2=∠3，则直线l 1、l 2、l 3的关系是________．6．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________ ． 7．同垂直于一条直线的两条直线________． 8．根据图形及上下文的含义推理并填空．（1）∵∠A =_______（已知）∴AC ∥ED （）（2）∵∠2=_______（已知）∴AC ∥ED （）（3）∵∠A +_______=180°（已知） ∴AB ∥FD （）三．解答题9．已知：如图7，∠1=∠2，且BD 平分∠ABC ．求证．AB ∥CD ．10、.如图，∠A BC =∠BCD, ∠1=∠2,求证：BE ∥CF.11．如图，是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明．已知：如图，BC//AD ，BE//AF ． (1) 求证：B A ∠=∠；(2) 若︒=∠135DOB ，求A ∠的度数．12.已知:如图,∠3与∠1互余,∠3与∠2互余.求证:AB ∥CD.考点二：1．平行线的性质．公理：两直线平行，同位角相等. 定理：两直线平行，内错角相等.CFDEBAOHG321ED C BA定理：两直线平行，同旁内角互补.例1．如图，BE∥DF，∠B =∠D，求证．AD∥BC．课堂作业：1．如上图，AB∥CD，AD∥BC则下列结论成立的是( )A．∠A+∠C=180°B．∠A+∠B=180°C．∠B+∠D=180°D．∠B=∠D2．若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补3．如右图，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________．4．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C．求证：∠1=∠2．5．如图所示，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，且AB=CD，BC=DE，那么AC与CE有什么关系？写你的猜想，并说明理由6、如图所示：已知：AB∥DE。

空间中平行关系--线面平行判定定理

b
a
b

• 例题1 中点
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的求证：EF//平面BCD
A
证明：连接BD，在∆ABD中，
∴EF//平面BCD
∵E，F分别是AB，AD的中点 ∴ EF//BD（EF是∆ABD 的中位线）① 又∵BD 平面BCD②，EF 平面BCD③
E
F
D
总结：1.通过辅助线寻找线线平行 2.表述线在面内和直线在面外 3.下结论
线面位置关系
直线在平面内有无数个公共点有且仅有一个公共点
直线和平面相交直线和平面平行
线面平行的定义
没有公共点
想一想？？
• 若a b a//b如图所示，能否使用定义判定a//？应该怎么证明？
已知：a b a//b 求证：a//
(1) a,b确定平面，=b 1.假设反面成立 (2) 假设a与不平行则a与有公共点P
则P =b (3) 这与已知a//b矛盾 (4) ∴a //
3.所求证命题成立
a
2.从从假设出发,经过推理得出和条件矛盾

b

P
知识链接——反证法
• 反证法的步骤：1、假设反面成立；2、从假设出发,经过推理得出和假设矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设不成立是错误的,即所求证成立. • 矛盾的来源：1、与条件矛盾；2、导出与假设相矛盾；3、导出一个恒假. • 适用结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、 “唯一”等字眼时.
线面平行判定定理：若a b a//b 则a//
a b α
• 说明：1.该定理实现线线平行到线面平行 • 2.定理中a b a//b 三个条件缺一不可 • 3.要证明线面平行，关键在平面内找到和已知直线平行的直线

20200213《平行线、平行公理及其推论》

20200213《平行线、平行公理及其推论》副标题一、选择题（本大题共20小题，共60.0分）1.在同一个平面内，两条直线的位置关系有()．A. 平行或垂直B. 垂直或相交C. 平行或相交D. 平行、垂直或相交【答案】C【解析】【分析】本题考查了同一平面两条直线的位置关系，解决本题的关键是在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行．在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行，据此解答即可．【解答】解：在同一个平面内的两条直线一定是平行或相交．故选：C．2.下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②如果a∥b，b∥c，那么a∥c；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种．其中错误的说法有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】略3.下列说法中正确的是( )A. 在同一平面内，不相交的两条射线是平行线B. 在同一平面内，相交的两条线段是平行线C. 在同一平面内，两条不同的直线的位置关系不相交就平行D. 不相交的两直线是平行线【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的定义.，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．根据平行线的定义进行判断即可.【解答】解：A.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．故本选项说法错误；B.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．故本选项说法错误；C.同一平面内，两条不同直线的位置关系不相交就平行.故本选项说法正确；D.在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．故本选项说法正确.故选C.4.下列说法中，正确的个数有（）个①平面内，过一点作一条直线的平行线，只能作一条；②平面内，过一点与一条已知直线垂直的直线只有一条；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短;④两点之间的距离是指连接两点的线段．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：①平面内，过直线外一点作一条直线的平行线，只能作一条，故①错误；②平面内，过一点与一条已知直线垂直的直线只有一条，故②正确；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故③正确；④两点之间的距离是指连结两点的线段的长度，故④错误．故选B.根据平行公理、垂线的性质、垂线段的性质以及两点间的距离的概念进行判断即可．本题主要考查了平行线的性质，平行公理以及垂线的性质，解题时注意：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．5.下列说法中，正确的个数为（）（1）过一点有无数条直线与已知直线平行（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c（3）如果两线段不相交，那么它们就平行（4）如果两直线不相交，那么它们就平行A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；（2）根据平行公理的推论，正确；（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；（4）应该是“在同一平面内”，故错误．正确的只有一个，故选A．根据平行线的定义、公理及推论判断．掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法．6.下列结论正确的是（）．A. 如果a⊥b,b⊥c,那么a⊥cB. a⊥b,b∥c,那么a∥cC. 如果a∥b,b⊥c, 那么a∥cD. 如果a⊥b,b∥c,那么a⊥c【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理，根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．【解答】解：A.a⊥b，b⊥c，则a∥c，故A错误；B、D.a⊥b，b∥c，则a⊥c，故B错误，D正确；C.a∥b，b⊥c，则a⊥c，故C错误.故选D.7.有三条直线，，，如果，，那么，这个推理的依据是( ).A. 等量代换B. 经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 两直线平行，同位角相等D. 平行于同一直线的两直线平行【答案】D【解析】【分析】本题考查的就是平行于同一直线的两直线平行，是需要记忆的内容．因为平行于同一直线的两直线平行，所以如果a∥b，b∥c，那么a∥c．【解答】解：这个推理的依据是平行于同一直线的两直线平行．故选D．8.下列说法：①相等的角是对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行公理及推论，对顶角和同旁内角等知识，熟记其概念和性质是解题的关键．根据对顶角的性质、同旁内角的概念、平行公理及推论逐一进行判断即可．【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故错误；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故错误；③同位角不一定相等，故错误；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是正确的．故其中正确的有1个．故选A．9.已知直线ａ、ｂ、ｃ在同一平面内，则下列说法错误的是（）A. 如果ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，那么ａ∥ｃB. 如果ａ⊥ｂ，ｃ⊥ｂ，那么ａ∥ｃC. 如果ａ与ｂ相交，ｂ与ｃ相交，那么ａ与ｃ一定相交D. 如果ａ与ｂ相交，ｂ与ｃ不相交，那么ａ与ｃ一定相交【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定以及平行公理的推论.根据平行公理，平行线的判定对各选项作出图形判断即可得解.【解答】解：A.如图，，如果ａ∥ｂ，ｂ∥ｃ，那么ａ∥ｃ，故本选项正确；B.如图，，如果ａ⊥ｂ，ｃ⊥ｂ，那么ａ∥ｃ，故本选项正确；C.如图，，如果ａ与ｂ相交，ｂ与ｃ相交，那么ａ与ｃ有可能平行，故本选项错误；D.如图，，如果ａ与ｂ相交，ｂ与ｃ不相交，那么ａ与ｃ一定相交，故本选项正确.所以说法错误的是C.故选C.10.在同一平面内，一条直线与另外两条平行直线的位置关系是( )A. 一定与两条平行直线相交B. 与两条平行直线中的一条平行，而与另一条相交C. 一定与两条平行直线平行D. 与两条平行直线都平行或都相交【答案】D【解析】【分析】本题是对概念和公理的考查，准确记忆是解答本题的关键．根据直线平行、相交的定义及平行公理和推论对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A.一定与两条平行直线相交，有可能平行于两条平行直线，故本选项错误；B.与两条平行直线中的一条平行，而与另一条相交，若与其中的一条平行直线平行，则与另一条平行直线也平行，故本选项错误；C.一定与两条平行直线平行，有可能与两条平行直线相交，故本选项错误；D.与两条平行直线都平行或都相交，故本选项正确.故选D.11.下列说法正确的是( )．A. 经过一点有无数条直线与已知直线平行B. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行C. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D. 以上说法都不正确【答案】C【解析】【分析】本题考查平行公理及推论，平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此即可得解．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有C选项正确.故选C.12.在同一平面内，下列说法正确的有（）①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交②若a∥b，b与c相交（不重合），则a与c相交③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c④若a∥b，b∥c，则a∥c．A. 1个B. 2个C. 3个D. 都不正确【答案】B【解析】解：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交或平行，故本小题错误；②若a∥b，b与c相交（不重合），则a与c相交，正确；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故本小题错误；④若a∥b，b∥c，则a∥c，正确；综上所述，正确的有②④共2个．故选B．根据相交线的定义，在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，平行公理对各小题分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行公理与相交线的定义，熟记公理是解题的关键．13.已知∠AOB，P是任一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（）A. 有且仅有一条B. 有两条C. 不存在D. 有一条或不存在【答案】D【解析】解：①若点P在OA上，则不能画出与OA平行的直线，②若点P不在OA上，则过点P有且只有一条直线与OA平行，所以，这样的直线有一条或不存在．故选D．分点P在OA上和不在OA上两种情况，根据平行公理解答即可．本题考查了平行公理，难点在于要考虑点P与OA的位置．14.在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，则b与c的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 重合D. 平行或相交【答案】B【解析】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，∴b与c的位置关系是相交，故选B．根据直线a与直线b，直线a与直线c的位置关系，即可判断出直线b与直线c的位置关系本题考查了平行线，相交线的应用，能根据定理进行判断是解此题的关键.15.同一平面的三条直线a，b，c，下列说法错误的是（）A. a∥b，b∥c，则a∥cB. a⊥b，b⊥c，则a⊥cC. a⊥b，b⊥c，则a∥cD. a⊥b，b∥c，则a⊥c【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了平行公理及推论，关键是熟练掌握所学定理．根据如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行分析即可．【解答】解：A.a∥b，b∥c，则a∥c，故A选项说法正确，不合题意；B.a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B选项说法错误，符合题意；C.a⊥b，b⊥c，则a∥c，故C选项说法正确，不合题意；D.a⊥b，b∥c，则a⊥c，故D选项说法正确，不合题意；故选B.16.下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：①不相交的两条直线是平行线；此说法错误，应强调在同一平面内；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，正确，有相交或平行两种关系；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；此说法错误，还有可能其延长线相交；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确．故②④说法正确，选B．根据平行线的性质或举出反例判断各说法正误即可．本题考查了平行线的判定和平面内直线的位置关系，同学们要灵活掌握．17.下列说法中错误的个数是( )(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种；(4)不相交的两条直线叫做平行线．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行公理及推论，垂线，平行线的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义，难度不大.分别利用平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义判断后即可确定正确的选项．【解答】解：（1）在同一平面内，过直线外一点一点有且只有一条直线与已知直线平行，原来的说法错误；（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原来的说法错误；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种，原来的说法正确；（4）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，原来的说法错误．故说法中错误的个数是4个．故选C.18.下列说法中，错误的是( )A. 如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥cB. 如果a∥b，b∥c，那么a∥cC. 如果a⊥b，a∥c，那么b⊥cD. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【解析】略19.如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 平行或垂直D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线与平行公理，需要熟练掌握．根据平行公理，可以用动手操作的方法得出答案．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，两次折痕互相平行，∴折痕与折痕之间平行．故选A．20.下列说法中正确的是( )A. 一条直线的平行线有且只有一条B. 经过一点有两条直线与某一直线平行C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是平行公理，熟知过直线外一点与这条已知直线平行的直线有且只有一条是解答此题的关键．根据平行公理进行解答即可．【解答】解：A.一条直线的平行线有无数条，故A错误；B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B错误；C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C错误；D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D正确.故选D.。

初中数学平行线以及平行公理

初中数学平行线以及平行公理平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行线性质：两条直线没有公共点，并且与另外两条直线没有公共点。

平行线定理：任意一对内角和为180°的角都是平行的。

平行线性质：过一条直线的两个内角和分别为60°和120°的三角形叫做平行三角形，记作 BD。

平行线定理：过一点作直线的两条平行线，这两条直线平行。

平行线定理：平行公理：一条直线与两条直线相交，如果这两条直线都在第三条直线上，那么它们一定互相平行。

平行线公理：在同一平面内，两个互相垂直的线段，如果它们相交于一点，那么它们会分别平行于这两个交点。

一、平行线的判定定理平行线的判定定理：如果两条直线被第三条直线平行，那么这两条直线一定不相交。

（1）在同一平面内，一条直线和它的两个端点所组成的图形是全等图形。

（2）平行线的性质：平行线两边和它们的夹角都相等。

二、平行公理定义：两条直线分别平行于第三条直线，并且相互垂直。

公理3:如果一条直线与它的非对边相交，那么它与这条相交边的两个内角之和仍然平行于这个交点。

公理4:过一个图形的某一点有且只有一条直线与它相交。

公理5:任何一个三角形都是等边三角形。

公理6:同延长线平行。

三、平行线的性质（包括平行线定理和平行线公理化）1、平行线的两条平行线互相平行2、平行线的性质定理：直线与另一条直线相交，并与另一条直线平行。

3、平行线公理化：将任意两条平行线的位置关系进行分类，得出如下定理，即：过两个交点，且其中一个是第三条直线上的两个点。

四、平行公理和性质的证明方法（1）平行公理的证明：在平面内，两条直线相平行，两条直线被第三条直线所截，两个内角的和为180°，过一点，有两个角相等。

（2）平行线性质的证明：在平面内，过一点，有一条直线与两条直线互相平行；如果这两条直线被第三条直线所截，那么这两个直线被第三条直线所截，并且都和第三条直线平行。

（3）证明方法：①运用平行线的性质定理；③运用平行线的性质定理。

平行公理及应用

平行公理及应用平行公理是欧几里得几何中的基本公理之一，它是描述平行线性质的重要公理。

在平面几何中，平行公理可以简述为：通过一个点外一条直线上的点只有一条与该直线平行的直线。

其内容是：给定一条直线L和平面上的一点P，可以作出另一条直线与直线L平行，并且只有一条。

平行公理的应用非常广泛，下面将从数学、物理和日常生活中分别举例说明。

在数学中，平行公理是构建平面几何学体系的基础。

通过平行公理，可以证明出一系列重要的定理和性质。

例如，平行公理与角的三等分构成定理、平行线与角的对应角等式等紧密相关。

这些定理和性质为建立几何学的一些重要工具，如解决三角形、四边形等问题，提供了坚实的理论基础。

在物理学中，平行公理也有广泛的应用。

在相对论中，平行公理对描述时空的性质起到重要的作用。

相对论认为，时空是一个弯曲的四维空间，质量和能量分布会弯曲并改变时空的几何结构。

通过平行公理，可以研究光线在弯曲时空中的传播、引力场中物体的运动等现象。

平行公理对于解释宇宙的结构、黑洞的形成等问题也有重要的作用。

在日常生活中，平行公理也有一些实际的应用。

例如，在建筑设计中，平行公理可以帮助设计师确保墙面、地面等结构的垂直与水平。

在道路交通中，平行公理可以帮助交通规划师设计车道的宽度、路口的角度等，确保车辆能够平行行驶，提高交通效率。

在地图制作中，平行公理可以帮助绘制地理线，如纬线和经线，并且能够更准确地表示地球上各个地区的距离和相对位置。

总之，平行公理作为欧几里得几何学的基本公理之一，具有广泛的应用。

它在数学、物理和日常生活中都有重要的作用。

通过平行公理，我们可以研究和理解几何学的性质，解决各种实际问题，并为其他学科提供理论基础。

无论是学术研究还是实际应用，平行公理都是不可或缺的重要内容。

平行线公理推论

平行线公理推论
平行线公理推论是欧几里得几何学中的一条基本公理，也是一种基本的推理原理。

它
是指，如果两条线平行，那么它们之间的所有夹角必然是相等的，这里的定义也被称为
“均等夹角定理”。

在欧几里得几何学中，平行线公理是非常重要的，因为它提供了一种使几何问题更容
易解决的方法。

该公理允许解决者将一个复杂的几何问题分解为许多小问题，并可以从这
些小问题得出准确的结论。

例如，要找出AB和CD之间的夹角，可以先行使用平行线公理，即以AB和CD为相交轴，假设AB和CD是平行的，求出AB和CD之间的夹角，然后以同样
的方法求出AB和CD之间的其他夹角。

另外，平行线公理也可以应用于其他几何证明中。

例如，要证明ABCD为平行四边形，可以假设AB和CD是平行的，然后使用平行线公理得出AC和BD也是平行的，最后得出ABCD为平行四边形的结论。

此外，平行线公理也常常用于凸多边形的证明。

在这种情况下，假设某多边形中的两
条边是平行的，并假设这两条边之间的夹角是相等的。

如果该多边形的其他边也都是平行的，并且这些边之间的夹角是相等的，那么就可以得出这个多边形是凸多边形。

总之，平行线公理对于欧氏几何学的理解和应用至关重要，它可以用于解决复杂的几
何问题，并可以简化许多几何证明中的推理过程。

初二数学平行线及平行公理[人教版]

t;/br>属病理生理诊断的是（）</br>属病理解剖诊断的是（）A.心房颤动B.心慌气短C.下肢浮肿D.二尖瓣狭窄E.风湿性心脏病 [单选]（）不是物料需求计划的目标。A.保证尽可能低的库存水平B.对资源进行计划与保证C.及时取得所需要的原材料及零部件D.零部件、外购配套件与装配需求紧密衔接 [填空题]医疗保险方对医疗服务提供方和参保人的监督形式主要有（）、（）和（）3种。 [单选]合作社可以从制度上弥补（）和政府调控作用的不足。A.市场缺陷B.生产力发展C.基础设施建设D.农产品质量管理 [单选]书刊外表的主要部位不包括（）。A.面封和底封B.书脊和书口C.书页和书心D.书顶和书根 [问答题,简答题]主变型号？ [单选]下列有关神经纤维膜上通道的叙述，哪一项是错误的A．是电压门控的B．在去极化达阈电位时，可引起正反馈C．有开放和关闭两种状态D．有髓纤维，主要分布在郎飞结处E．与动作电位的去极相有关 [单选]校对人员通读的主要任务是（）。A.校是非B.校异同C.对片D.誊样 [单选]公司法规定，有限责任公司可以设经理，经理对()负责，行使职权。A.董事会B.监事会C.股东会D.经理会 [多选]股份经营战略的特点有（）。A.所有权多元化B.产权经营独立化C.公司股权分散化D.股东利润平均化E.股东责任无限化 [单选]催吐适用于哪种情况（）。A.昏迷患儿B.惊厥患儿C.婴儿D.强酸中毒E.神清能合作的患儿 [单选]关于流动比率下列说法正确的是（）。A.流动比率是衡量企业长期偿债能力的指标之一B.流动比率应维持为1：1左右比较理想C.流动比率越高，说明资产的流动性越大，短期偿付能力越强D.流动比率可以用来衡量盈利能力对债务偿付的保证程度 [单选,案例分析题]某新建电厂装有2×300MW机组，选用一组200V动力用铅酸蓄电池容量2000Ah，二组控制用铅酸蓄电池容量600Ah，蓄电池布置在汽机房层，直流屏布置在汽机房，电缆长28m。该厂直流系统有微机监控装置，请说明直流柜上可装设下列哪项测量表计（）？A.直流母线电压表B.蓄 [名词解释]等离子切割 [单选]（）是现代人力资源管理理论的基本前提和基础。A．人力资源管理目标B．人力资源管理对象C．人力资源管理活动D．人力资源管理概念 [填空题]普通经纬仪在整平后，要求竖轴应铅垂，水平度盘处于（）。 [单选,A1型题]按照药品说明书和标签管理的规定，药品的最小销售单元系指直接供上市药品的（）A.外包装B.内包装C.大包装D.小包装E.所有包装 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列情况属于中性粒细胞毒性变化的是（）Alder-Reilly畸形B.May-Hegglin畸形C.Pelger-Huet畸形Dohle小体E.Auer小体 [单选]下列各项中，不应在利润表“营业收入”项目列示的是()。A.政府补助收入B.设备安装劳务收入C.代修品销售收入D.固定资产出租收入 [单选]颅骨凹陷性骨折的好发部位为（）A.枕骨B.颞骨C.额骨和顶骨D.颞骨磷部E.乳突区 [单选]社区健康护理诊断的目的不包括（）A.发现社区存在的健康问题B.明确社区内居民的卫生服务要求C.收集与社区整体健康状况相关的资料D.确定社区中需要优先解决的健康问题E.为实施社区健康护理提供依据 [单选]（）质量发展的重要基石。A.诚信守法；B.夯实基础；C.创新驱动。 [单选,A2型题,A1/A2型题]对面神经断伤的描述，不正确的是（）。A.神经功能可自然恢复B.神经干完全断离C.近端形成神经瘤D.远端神经变性E.神经功能不能自然恢复 [单选,A1型题]下列各项中，与中暑定义不符的是（）。A.中暑多发于暑热天气湿度大环境下B.中暑时表现为水电解质丧失过多C.中暑时主要表现中枢神经和呼吸功能障碍D.中暑时体温调节中枢功能障碍E.中暑时汗腺功能衰竭 [名词解释]人工饲料 [单选,A1型题]下列各项中，不符合休克诊断标准的是（）。A.意识异常B.末梢循环灌注不足C.有诱发休克的病因D.脉细数，＜100次/分E.收缩压100mmHg [问答题,简答题]PT二次小开关的作用？ [单选]高瓦斯矿井、低瓦斯矿井的高瓦斯区域，必须使用安全等级不低于（）的煤矿许用炸药。A.1级B.2级C.3级D.4级 [单选,A2型题,A1/A2型题]右眼瞳孔扩大，直接对光反应消失，间接光反应存在，左侧瞳孔间接反应消失提示病灶部位在（）。A.右视束B.视交叉C.右侧视反射D.右侧视神经E.左侧视神经 [单选]在积累与消费关系的处理上，企业应贯彻积累优先的原则，合理确定提取盈余公积金和分配给投资者利润的比例。这样的处理体现的利润分配基本原则是()。A、依法分配的原则B、资本保全的原则C、充分保护债权人利益的原则D、多方及长短期利益兼顾的原则 [单选]以下属于皮肤病客观体征的是（）A.瘙痒B.麻木感C.痛觉D.风团E.疼痛 [单选]花卉施肥应掌握（）原则。A、薄肥少施B、浓肥勤施C、浓肥少施D、薄肥勤施 [多选]目前我国消防产品实行哪些市场准入制度？()A、强制性产品认证制度B、型式认可制度C、强制检验制度D、产品公告制度E、登记备案制度 [单选,A1型题]佝偻病肾虚骨弱型的治法是()A.健脾补肾，填精补髓B.平肝熄风C.补中益气D.调和营卫E.补气养血 [填空题]正常生产中，压力的通用单位是（）。 [单选,A1型题]不属于红细胞生成不足性贫血的是（）A.营养性缺铁性贫血B.原发性再生障碍性贫血C.继发性再生障碍性贫血D.自身免疫性溶血性贫血E.营养性巨幼细胞贫血 [单选]男性雄激素的作用不包括（）A.皮脂腺分泌多，有痤疮B.腋毛多C.阴毛呈菱形分布D.声音高调E.睾丸和阴茎的发育 [单选]航行中的顶推船队发生舵机失灵时，首先应()。A.停车B.报告船长并通知机舱备车C.通知驳船帮舵D.抛锚 [单选,A2型题,A1/A2型题]鼻中隔脓肿最常见的病因是（）。A.鼻前庭疖B.鼻旁窦炎C.流感D.猩红热E.鼻中隔血肿继发感染 [问答题,计算题]B-2857号飞机从广州飞往北京，该飞机起飞全重、落地全重、无油全重分别为97650kg，89961kg，83456kg，修正后飞机基本重量为52350kg，飞机起飞油量12000kg，其中航段耗油量4000kg，飞机最大业载限额为31500kg，从广州到北京的旅客人数为176/02/00，行李750kg，邮件

平行线公理的

平行线公理的
"平行线公理：一直在，一直无需改变"
平行线公理是几何中一个经典的问题，它也被称为和谐性公理，据说最早在古希腊提出。

公理是用来说明某个客观情形的一组最基本的假设，是数学原理的基础。

平行线公理说明的是任何两条直线都不会交叉（相交），即：
1. 对于任意两条不同的直线a、b，它们不会相交。

2. 不存在一个点，同时属于两条不同的直线a、b。

3. 不存在直线a也是直线b上的一部分。

4. 不存在两条不同的直线a和b，它们在某空间段上共面且相切。

平行线公理可以用来证明许多几何事实。

它将帮助你解释不太容易看清楚的几何图形。

如果知道平行线公理，就可以对不同的几何图形进行说明和分析。

比如你可以说明，三角形的三条边都不平行；四边形
的四边都不平行；圆的半径都不是直线（每个点均相互到圆心的距离
相等）等等。

另外，平行线公理有助于更好地理解投射运算，以及空间中的各种几
何图形的形状和运动。

同时，有很多相关的定理和结论建立在平行线公理的基础上。

例如相
似定理：设直线a和b隔开，且两条直线p1、p2均经过点A，则直线
p1和p2是平行的，即∠AP1P2＝0；对称定理：若直线a、b是对称轴，且另一条直线p经过a、b的中点，则p也是对称轴；等价定理：若四
边形ABCD，且∠A＝∠D，∠B＝∠C，则AB﹖﹗CD。

可以看到，平行线公理不仅仅是一个简单的公理，它是一系列更强的
几何关系的基础，非常重要。

若没有它，将无法进行几何事实的证明，也就没有可靠的几何结论及后续的研究和发展。

平行关系

【思路点拨】 (1)证线面垂直；(2)利用相似三角形中的边应成比例证明线线平行．
(1)证明：因为PA＝PD，Q为A D的中点，所以PQ⊥AD. 连结BD，因为ABCD为菱形， ∠DAB＝60°，所以AB＝BD，所以BQ⊥AD. 因为BQ⊂平面PQB，PQ⊂平面PQB， BQ∩PQ＝Q，所以AD⊥平面PQB，因为AD⊂平面PAD，所以平面PQB⊥平面PAD.
(4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．其符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b . 为：图形语言如图(3)：
(5)线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行，其符号语言
l⊥α，m⊥α⇒l∥m 为： .
图形语言如图(4)：
因为AA1⊂平面AA1E，AE⊂平面AA1E， AA1∩AE＝A，所以平面AA1E∥平面DCC1D1. 因为A1E⊂平面AA1E，所以A1E∥平面 DCC1D1. 【点评】证明过程中需要构造出新的几何图形，通过对题目条件的分析，本题中给出的线段长较多，这说明出现的与数量有关的图形较多，如等腰、等边三角形，这都比较容易地想到连结某些线段，同时也出现了与证明问题有关的图形．
(2)由(1)得AD⊥BC.在正三角形ABC中，
D是BC的中点．当 B1E ＝1，即E为B1C1的中点时，A1 EC1 E∥平面ADC1. 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形 BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1 的中点，∴B1B∥DE. 又B1B∥AA1，且B1B＝AA1， ∴DE∥AA1，且DE＝AA1.
.
(5)平行公理：如果两平面平行于同一平面，则这两个平面平行．其符号语言为： α∥γ，β∥γ⇒α∥β.