高考数学函数与导数相结合压轴题精选(含具体解答)
(完整版)高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型
1. 高考命题回顾
例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）
(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.
(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )⇒f ′(x )＝e x －1x ＋m ⇒f ′(0)＝e 0－1
0＋m
＝0⇒m ＝1，
定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x
－1
x ＋m
＝
e x x ＋1－1
x ＋1
，
显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1
x ＋2
(x >－2)．
h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)⇒h ′(x )＝e x ＋1
x ＋22>0，
所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，
又g ′(－12)＝1e －13
2
<0，g ′(0)＝1－1
2>0，
所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间⎝⎛⎭
⎫－1
2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1
t ＋2＝0⎝⎛⎭⎫－12<t <0， 所以，e t ＝1
t ＋2
⇒t ＋2＝e －t ，
当x ∈(－2，t )时，g ′(x )<g ′(t )＝0，g (x )单调递减； 当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类(精讲精练)(原卷版)
专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类
【命题规律】
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
【核心考点目录】
核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题
核心考点七：不等式恒成立问题
核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则
核心考点十二：导数与三角函数结合问题
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．
高考数学真题——函数压轴题(含答案)
2018年数学全国1卷 已知函数1()ln f x x a x x
=-+．
（1）讨论()f x 的单调性； （2）若
()
f x 存在两个极值点
12
,x x ，证明：
()()
1212
2f x f x a x x -<--．
解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，222
11
()1a x ax f x x x x
-+'=--+=-. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减. （ii ）若2a >，令
()0f x '=
得，x =
或x =
.
当2(0,()22a a a x +
∈+∞时，()0f x '<；
当
(,)
22
a a x +∈
时，()0
f x '>.所以()
f x 在(0,),(,)
2
2
a a -
++∞单
调递减
，
在
单调递增.
（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >. 由于
()
f x 的两个极值点1
2
,x x 满足2
10
x
ax -+=，所以
121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于
121212212121212
22
()()ln ln ln ln 2ln 1
1221f x f x x x x x x a a a
x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，
所以1
2
12()()2f x f x a x x -<--等价于2
22
12ln 0x
x x -+<.
设函数1()2ln g x x x x
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考必备)
函数与导数压轴题题型与解题方法(高考
必备)
题型与方法（选择、填空题）
一、函数与导数
1、抽象函数与性质
主要知识点：定义域、值域（最值）、单调性、奇偶性、周期性、对称性、趋势线（渐近线）
对策与方法：赋值法、特例法、数形结合
例1：已知定义在$[0,+\infty)$上的函数$f(x)$，当
$x\in[0,1]$时，$f(x)=\frac{2}{3}-4x$；当$x>1$时，$f(x)=af(x-1)$，$a\in R$，$a$为常数。下列有关函数$f(x)$的描述：
①当$a=2$时，$f(\frac{3}{2})=4$；
②当$a<\frac{1}{2}$时，函数$f(x)$的值域为$[-2,2]$；
③当$a>\frac{1}{2}$时，不等式$f(x)\leq 2a$恒成立；
④当$-\frac{1}{2}
\frac{1+(-1)^n}{2}$。
其中描述正确的个数有（。）【答案】C
分析：根据题意，当$x>1$时，$f(x)$的值由$f(x-1)$决定，因此可以考虑特例法。当$a=2$时，$f(x)$的值域为$[0,4]$，因此①正确。当$a\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[0,1]$上单调递减，
在$[1,+\infty)$上单调递增，因此不等式$f(x)\leq 2a$恒成立，
③正确。当$-\frac{1}{2}
单调递减，在$[1,+\infty)$上单调递增，因此$f(x)$与直线
$y=2an-1$（$n\in N^*$）在$[1,n]$内的交点个数为$n-
\frac{1+(-1)^n}{2}$，④正确。因此，答案为
压轴题10 导数的简单应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题10导数的简单应用
题型/考向一：导数的计算及几何意义题型/考向二：利用导数研究函数的单调性题型/考向三：利用导数研究函数的极值、最值
○
热○点○题○型一导数的计算及几何意义
1.复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′.2.导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.(3)切点既在切线上，又在曲线上.
3.导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养.
一、单选题
1．函数()()ln 322f x x x =--的图象在点()()1,1f 处的切线方程是（）
A ．10x y ++=
B ．230x y ++=
C ．230x y --=
D ．30
x y --=
2．若函数的图象在点处的切线方程为，则=a （
）
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．e
．已知直线l为曲线
A B．10C．
5
D
与函数()的图象都相切，则a b
+=（）A．1-B．0C．1D．3
5．曲线22
e2
4
x
y x-
=⋅+在1
x=处的切线与坐标轴围成的面积为（）
A．
3
2
B．3C．
49
16
D．
49
8
6．已知函数()()21
220232023ln 22
f x x xf x '=-++-，则()2023f '=（
）
A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019
7．若对m ∀∈R ，,a b ∃∈R ，使得()f m a b
2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）
1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为2
3
-，求a ．
2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出
a ，
b 的所有值；若不存在，说明理由．
3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．
4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当3
4
a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）对任意2
1
[
x e ∈，)+∞均有()f x …
，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．
5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；
（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；
2020年高考数学压轴题函数与导数专项(解析版)
2020年高考数学压轴必刷题
专题01函数概念与基本初等函数(理科数学)
1．【2019年天津理科08】已知a ∈R ．设函数f （x ）={x 2−2ax +2a ，x ≤1，
x −alnx ，x ＞1．若关于x 的不等式f （x ）≥
0在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，1]
B ．[0，2]
C ．[0，e ]
D ．[1，e ]
【解答】解：当x ＝1时，f （1）＝1﹣2a +2a ＝1＞0恒成立；
当x ＜1时，f （x ）＝x 2
﹣2ax +2a ≥0⇔2a ≥x 2
x−1恒成立，
令g （x ）=x 2x−1=−x 21−x =−(1−x−1)21−x =−(1−x)2
−2(1−x)+11−x =−（1﹣x +1
1−x
−2）≤﹣（2√(1−x)⋅
1
1−x
−2）＝0， ∴2a ≥g （x ）max ＝0，∴a ＞0．
当x ＞1时，f （x ）＝x ﹣alnx ≥0⇔a ≤x
lnx 恒成立，
令h （x ）=x
lnx ，则h ′（x ）=lnx−x⋅1
x (lnx)2=lnx−1(lnx)
2， 当x ＞e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增， 当1＜x ＜e 时，h ′′（x ）＜0，h （x ）递减， ∴x ＝e 时，h （x ）取得最小值h （e ）＝e ， ∴a ≤h （x ）
min
=e ，
综上a 的取值范围是[0，e ]． 故选：C ．
2．【2019年新课标3理科11】设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ） A ．f （log 31
高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题
高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．
[典例]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()
A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[思路点拨]
观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝f(x)
x
求解．
[方法演示]
法一：构造抽象函数求解
设F(x)＝f(x)
x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)
x2
，易知当
x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.
法二：构造具体函数求解
设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
压轴题04 函数与导数常见经典压轴大题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题04函数与导数常见经典压轴大题
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
考向一：导数与数列不等式的综合问题
考向二：双变量问题
考向三：证明不等式
考向四：零点问题
考向五：不等式恒成立问题
考向六：极值点偏移问题与拐点偏移问题
考向七：导数中的同构问题
考向八：导数与三角函数结合问题
1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点0x ．
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120
x x x >，则令0
2()()(
)x F x f x f x
=-．（3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．
（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．
（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．
压轴题04 函数与导数常见经典压轴大题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题04函数与导数常见经典压轴大题
函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
考向一：导数与数列不等式的综合问题
考向二：双变量问题
考向三：证明不等式
考向四：零点问题
考向五：不等式恒成立问题
考向六：极值点偏移问题与拐点偏移问题
考向七：导数中的同构问题
考向八：导数与三角函数结合问题
1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极值点为0x ），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点0x ．
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数0()()(2)F x f x f x x =--，若证2120
x x x >，则令0
2()()(
)x F x f x f x
=-．（3）判断单调性，即利用导数讨论()F x 的单调性．
（4）比较大小，即判断函数()F x 在某段区间上的正负，并得出()f x 与0(2)f x x -的大小关系．
（5）转化，即利用函数()f x 的单调性，将()f x 与0(2)f x x -的大小关系转化为x 与02x x -之间的关系，进而得到所证或所求．
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数【1】
1. 已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（Ⅰ）解：当时，
所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）解：，令，解得
因为，以下分两种情况讨论：
（1）若变化时，的变化情况如下表：
+ +
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。
（2）若，当变化时，的变化情况如下表：
+ +
所以，的单调递增区间是的单调递减区间是
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当时，在（0，1）内单调递减，
所以对任意在区间（0，1）内均存在零点。
（2）当时，在内单调递减，在内单调递增，若
所以内存在零点。
若
所以内存在零点。
所以，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
综上，对任意在区间（0，1）内均存在零点。
2.已知函数，．
（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求F(x)的单调区间与极值；
（Ⅱ）设，解关于x的方程；
（Ⅲ）设，证明：．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．解：（Ⅰ），
．
令，得（舍去）．
当时．；当时，，
故当时，为增函数；当时，为减函数．
为的极大值点，且．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为，
即为，且
高考导数压轴题---函数与导数核心考点(精编完美版)
导数与函数核心考点
目录
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
2.求过某点的切线方程
3.已知切线方程求参数
题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型
2.主导函数为“一次函数”型
3.主导函数为“二次函数”型
4.已知函数单调性，求参数范围
题型三极值最值型
1.求函数的极值
2.求函数的最值
3.已知极值求参数
4.已知最值求参数
题型四零点型
1.零点(交点，根)的个数问题
2.零点存在性定理的应用
3.极值点偏移问题
题型五恒成立与存在性问题
1.单变量型恒成立问题
2.单变量型存在性问题
3.双变量型的恒成立与存在性问题
4.等式型恒成立与存在性问题
题型六与不等式有关的证明问题
1.单变量型不等式证明
2.含有e x与lnx的不等式证明技巧
3.多元函数不等式的证明
4.数列型不等式证明的构造方法
题型一 切线型
1.求在某处的切线方程
例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x ²
e x 在点(1，
f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝3x ²e x ，得f ′(x )＝6x －3x ²e x ，切点为(1，3e ) ，斜率为f ′(1)＝3
e
由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3
e ；
∴切线方程为y －3e ＝3
e (x －1)，即3x －ey ＝0.
例2.求f (x )＝e x (1
x ＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.
解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x ²＋1
x ＋2)
由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ； ∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0. 例3.求f (x )＝ln 1－x
压轴题11 导数的综合应用(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题11
导数的综合应用
题型/考向一：导数与不等式的证明题型/考向二：导数与函数的零点题型/考向三：不等式恒成立或有解问题
○
热
○点○题○型一导数与不等式的证明
导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等.
利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f (x )＞g (x )(或f (x )＜g (x ))转化为证明f (x )－g (x )＞0(或f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－
g (x ).
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.
1．已知函数2
3()ln a
f x x x x =+
-．(1)若0a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若12,x x （12x x <）是()f x 的两个极值点，证明：()()1212
3
4f x f x x x a
-<-．
2．设整数，*N n ∈，1x >-且0x ≠，函数11f x x px =+--．
(1)求证：()0f x >；
(2)求证：1111111113521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+++⋅⋅⋅+> ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3．已知函数()ln ()e x
f x k x k =+
∈R .(1)若函数()y f x =为增函数，求k 的取值范围；(2)已知120x x <<.
函数与导数经典常考压轴大题
函数与导数经典常考压轴大题
命题预测
本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨
论、构造函数、等价转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算
量不低.可以说，只要考生啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分
析、直观想象等核心素养.
预计预测2024年高考，函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点：
(1)含参函数的单调性、极值与最值；
(2)函数的零点问题；
(3)不等式恒成立与存在性问题；
(4)函数不等式的证明．
(5)导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点．
高频考法
(1)双变量问题
(2)证明不等式
(3)不等式恒成立与有解问题
(4)零点问题
(5)导数与三角函数结合问题
01双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
1(2024·广东·二模)已知f x =12
ax 2+1-2a x -2ln x ,a >0.(1)求f x 的单调区间；(2)函数f x 的图象上是否存在两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 (其中x 1≠x 2)，使得直线AB 与函数f x 的图象在x 0=x 1+x 2
压轴题03--函数与导数常见经典压轴小题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题03函数与导数常见经典压轴小题
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．
考向一：函数、零点嵌套问题
考向二：函数整数解问题
考向三：等高线问题
考向四：零点问题
考向五：构造函数解不等式
考向六：导数中的距离问题
考向七：导数的同构思想
考向八：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
1、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
2、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点，具体来说，对于三次函数
()()32 0f x ax bx cx d a =+++＞，其导函数为()()232 0f x ax bx c a '=++＞，根的判别
式()243b ac ∆=-．
a ＞()232f x ax bx c
'=++判别式
∆＞0
∆=0
∆＜图象
()32f x ax bx cx d
=+++单调性
增区间：()1, x -∞，
()2, x +∞；
函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数
1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、
函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
（1）若0,,t
t t x <<-则
当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
。
（2）若0,t
t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是,.2t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数与导数相结合压轴题精选（二）
11、已知)0()(2
3
>+++=a d cx bx ax x f 为连续、可导函数，如果)(x f 既有极大值M ，又有极小值N ，求证：.N M >
证明：由题设有),)((323)(212
x x x x a c bx ax x f --=++='不仿设21x x <，
则由时当时当时当知),(,0)(),(,0)(),(:02211+∞∈<'∈>'-∞∈>x x x f x x x x f x x a
1)(,0)(x x f x f 在故>'处取极大值，在x 2处取极小值，
)()()()()(212
221323121x x c x x b x x a x f x f -+-+-=-
])()()[(212122121c x x b x ax x x a x x +++-+-=
)]
3(92
)[(]3232)32()[(22121ac b a
x x c a
b
b a
c a a b a x x ---=+-⋅+⋅--
⋅-=
由方程0232
=++c bx ax 有两个相异根，有,0)3(412)2(2
2>-=-=∆ac b ac b
又)()(,0)()(,0,0212121x f x f x f x f a x x >>-∴><-即，得证. 12、已知函数ax x x f +-=3
)(在（0，1）上是增函数. （1）求实数a 的取值集合A ；
（2）当a 取A 中最小值时，定义数列}{n a 满足：)(21n n a f a =+，且b b a )(1,0(1=为常
数），试比较n n a a 与1+的大小；
（3）在（2）的条件下，问是否存在正实数C ，使20<-+<
c
a c
a n n 对一切N n ∈恒成立？
（1）设))(()()(,102
2212
1122121a x x x x x x x f x f x x -++-=-<<<则
由题意知：0)()(21<-x f x f ，且012>-x x
)3,0(,2
22121222121∈++<++∴x x x x a x x x x 则
}3|{,3≥=≥∴a a A a 即 （4分）
（注：法2：)1,0(,03)(2
∈>+-='x a x x f 对恒成立，求出3≥a ）. （2）当3时，由题意：)1,0(,2
3
21131∈=+-
=+b a a a a n n n 且
以下用数学归纳法证明：*
∈∈N n a n 对),1,0(恒成立.
①当1时，)1,0(1∈=b a 成立；
②假设时，)1,0(∈k a 成立，那么当1+=k n 时，
k k k a a a 232131+-=+，由①知)3(2
1
)(3x x x g +-=
在（0，1）上单调递增，10)
1()()0(1<<<<∴+k k a g a g g 即，
由①②知对一切*
∈N n 都有)1,0(∈n a （7分）
而0)1(2
12121231>-=+-
=-+n n n n n n a a a a a a n n a a >∴+1 （9分） （3）若存在正实数c ，使20<-+<
c
a c
a n n 恒成立 （10分
令),(,21+∞-+=-+=
c c
x c
c x c x y 在上是减函数， n n n a c
a c
a 随着-+∴
增大，而小， 又}{n a 为递增数列，所以要使20<-+<
c
a c
a n n 恒成立，
只须3
0,302011
11b
c a c c a c
a c a <<<
<∴⎪⎩⎪
⎨⎧<-+>-即 （14分） 13、已知)(2
2)(2
R x x a
x x f ∈+-=
在区间[－1，1]上是增函数. （1）求实数a 的值所组成的集合A. （2）设关于x 的方程x
x f 1
)(=
的两根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求出m 的取值
范围；若不存在，请说明理由
（1）2
22)
2()
2(2)(+---='x ax x x f ]1,1[)(-在x f 是是增函数 ]1,1[,0)(-∈≥'∴x x f 对恒成立.
设110
)1(0
)1(,2)(2≤≤-⇔⎩⎨
⎧≤-≤--=a ax x x ϕϕϕ则有
)(],1,1[x f x -∈对 是连续函数，且只有当0)1(,1=-'=f a 时，
以及当}11|{,0)1(,1≤≤-=∴='-=a a A f a 时 （2）由
02,1222
2
=--=+-ax x x
x a x 得 212,,08x x a ∴>+=∆ 是方程022=--ax x 的两实根.
⎩⎨
⎧-==+∴2
2121x x a
x x 从而84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x 38||1
1221≤+=-∴≤≤-a x x a
要使不等式||1212
x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立， 当且仅当]1,1[312
-∈≥++t tm m 对任意恒成立， 即022
≥-+tm m 对任意]1,1[-∈t 恒成立. 设22)(2
2
-+=-+=m mt tm m t g
则有220
2)1(02)1(2
2
-≤≥∴⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=≥--=-m m m m g m m g 或
∴存在m ，其范围为}22|{-≤≥m m m 或
14、已知二次函数(x )的图象过原点和点（m ，0）与点（1, 1），
（1）求(x )的表达式；
（2）设)(x f =(x －n)g(x )(m>n>0)且)(x f 在和(b ②若22，则过原点且与曲线)(x f 相切的两条直线能否互相垂直？若能，则给出证明；若不能，请说明理由？ （文科生做．．．． ）设常数a >0, a ≠1，函数5 5 log )(+-=x x x f a ， （1）讨论)(x f 在区间（－∞，－5）上的单调性，并予以证明； （2）设g(x )=1(x －3),如果)(x f (x )有实数根，求a 的取值范围. （理科生做．．．． ）解：（1）设g(x )2(a ≠0)，由题意得