1978年第二十届IMO试题(不含答案)
IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)
© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个 红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网 格线的红顶点矩形 ,矛盾.
1978年全国高中数学联赛试题及解答
1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？ 2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x 2的值． 3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．10．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z=0， x 3+y 3+z 3=－18的整数解． 二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴分解因式：x12+x9+x6+x3+1．⑵证明：对于任意角度θ，都有5+8cosθ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R为平面上以A(4，1)、B(－1，－6)、C(－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x，y)在R上变动时，函数4x－3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EG∙HF≤12(AB+CD)·12(AD+BC)．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i(i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i分钟，假定这些T i各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断) 6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛冯惠愚-3 -t 1=1x 1+x 2=29，t 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=814－16=174． ∴ 所求方程为(x －29)(x －174)=0，即36x 2－161x +34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．证明：连NP ，取AC 中点O ，则由于N 、P分别为CD 、BD 中点，故NP ∥AB ，NP=12BC=12(AB －AC )=AM=AO=OM ． ∴ NPMO 为平行四边形．即PO 经过MN 中点Q ．即直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．解：设开始的一个偶数为2m ，则此n 个连续偶数的和为(2m +…A D CBM N P Q O+2m+2n－2)×n÷2=n(2m+n－1)．令n(n－1)k－1=n(2m+n－1)，则(n－1)k－1－(n－1)=2m．无论n为偶数还是奇数，(n－1)k－1－(n－1)均为偶数，故m=12[(n－1)k－1－(n－1)]为整数．∴从(n－1)k－1－(n－1)开始的连续n个偶数的和等于n(n－1)k－1．由于n、k给定，故(n－1)k－1－(n－1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．解：设此三角形三个角为A、B、C，则其三边长分别为2sin A，2sin B，2sin C．本题即证明cos A+cos B+cos C<sin A+sin B+sin C．由于A＋B>90︒，故90︒>A>90︒－B>0，⇒sin A>sin(90︒－B)=cos B，同理，sin B>cos C，sin C>cos A，三式相加，即得证．9．已知直线l1：y=4x和点P(6，4)，在直线l1上求一点Q，使过PQ的直线与直线l1以及x轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q(a，4a)，(a>1)则直线PQ方程为y－4=4a－4a－6(x－6)，令y=0，得x=6－a－6a－1=5aa－1．∴S=12·5aa－1·4a=10a2a－1=10(a+1+1a－1)=10(a－1+1a－1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S取得最小值．1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚- 7 -即所求点为Q (2，8)．10．求方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y +z=0， x 3+y 3+z 3=－18的整数解． 解：x 3＋y 3＋z 3－3xyz=(x ＋y ＋z )(x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －zx )=0，故xyz=－6．故x=－3，y=1，z=2，等共6组解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD ∥EF ，作BG ∥ED 交AC 于G ，则AG AC =AB AE =AD AF，从而GD ∥BC ，即BCDG 为平行四边形．P 为BD 中点，从而Q 为EF 中点．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos 2π15＋i sin 2π15． ∴ (x 3－1)( x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1=14∏k=0(x －εk )．而x 3－1=(x －1)(x－ε5)(x －ε10)．E A QF D CB PG故x 12+x 9+x 6+x 3+1=14∏k=0(k 5，10)(x －εk )．⑵ 令x=cos θ，则5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ=5+8x +4(2x 2－1)+4x 3－3x=4x 3+8x 2+5x +1=(x +1)(2x +1)2≥0在x ≥－1时成立．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x －3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即为14t ． 分别以A 、B 、C 的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x －3y 的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )． 证明：连EF 、FG 、GH 、HE ，取BD 中点P ，连EP 、PG ． 易证S 四边形EFGH =12S 四边形ABCD ． 而S 四边形EFGH =12EG ∙HF sin ∠EOF ≤12EG ∙HF ． PO HG F EB C D A1978年全国高中数学竞赛 冯惠愚- 9 -但EP=12AD ，PG=12BC ．EP +PG ≥EG ，故12(AD +BC )≥EG ， 同理，12(AB +CD )≥HF ．故EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )， 从而，四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10， 若当1≤i <j ≤10时，T i >T j ，则其余人不动，交换第i 个人与第j 个人的次序，则所需时间改变量10T 1+…+(11－i )T i +…+(11－j )T j +…+T 10－(10T 1+…+(11－i )T j +…+(11－j )T i +…)=(11－i )(T i －T j )+(11－j )(T j －T i )=(T j －T i )(i －j )>0．即这样交换后，所需时间变少．∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T 1<T 2<…<T 10，则所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10．⑵ 设T 1<T 2<…<T 10，则安排T 1、T 3、T 5、T 7、T 9在一个龙头，T 2、T4、T6、T8、T10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T1+T2)+4(T3+T4)+3(T5+T6)+2(T7+T8)+(T9+T10)．6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．∴34≤S△EFG≤23－3．EFGMA BCD。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第20届)
5.令{ak}为互不相同的正整数数列，求证对于所有的正整数n，有
∑ak/k2>=∑1/k；
上式中两边的求和都是k从1到n．
国际学奥林匹克（
1.m、n都是正整数且n>m．如果1978m和1978n的十进制表示法的末三位数字相同，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n．
2.P是某已知球内部一点，A、B、C是球面上三点，且有PA、PB、PC相互垂直，由PA、PB、PC决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q，试求出Q点的轨迹．
3.两不交集合{f(1)，f(2)，f(3)，... }和{g(1)，g(2)，g(3)，... }的并集是全部的正整数，其中f(1) < f(2) < f(3) < ...，g(1) < g(2) < g(3) < ...，且有g(n) = f(f(n)) + 1对所有n=1，2，3，...成立．试计算f(240)．
6.某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是1，2，...，1978．求证至少有某一会员的编号，恰为与他同国家的另外两位会员编号的和，或者是他同国家的两外一名会员编号的两倍．
imo数学竞赛试题及答案
imo数学竞赛试题及答案IMO数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可以是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：ABC3. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，那么它的表面积是多少平方厘米？A. 236B. 284C. 312D. 376答案：B二、填空题4. 一个数的平方根是3，那么这个数是_________。
答案：95. 一个等差数列的前三项分别是2，4，6，那么它的第10项是_________。
答案：22三、解答题6. 证明：对于任意的正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
解答：首先，我们可以将 \( n^5 - n \) 分解为 \( n(n^4 - 1) \)。
接下来，我们注意到 \( n^4 - 1 \) 可以表示为 \( (n^2 +1)(n^2 - 1) \)。
而 \( n^2 - 1 \) 可以进一步分解为 \( (n +1)(n - 1) \)。
因此，我们有：\( n^5 - n = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) \)。
由于 \( n \) 是正整数，\( n - 1 \) 和 \( n + 1 \) 也是整数。
这意味着 \( n^5 - n \) 中至少包含因子2和3（因为 \( n^2 + 1 \) 至少是奇数，从而至少包含一个2的因子）。
因此，\( n^5 - n \)可以被30整除。
7. 一个圆的半径是15厘米，求圆的面积。
解答：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 计算，其中\( A \) 是面积，\( r \) 是半径，\( \pi \) 是圆周率，约等于3.14159。
将给定的半径 \( r = 15 \) 厘米代入公式，我们得到：\( A = \pi \times 15^2 = \pi \times 225 \approx 706.86 \)平方厘米。
1959年至2017年历届IMO试题(不含答案)
第一届（1959年）罗马尼亚布拉索夫（Bra şov，Romania）1.求证314421++n n 对每个自然数n 都是最简分数。
（波兰）2.设A x x x x =--+-+1212，试在以下3种情况下分别求出x 的实数解：a)2=A ；b)A =1；c)A =2。
（罗马尼亚）3.a 、b 、c 都是实数，已知关于cos x 的二次方程cos cos 2=++c x b x a 试用a,b,c 作出一个关于cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a =4,b =2,c =-1时比较cos x 和cos 2x 的方程式。
（匈牙利）4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
（匈牙利）5.在线段AB 上任意选取一点M ，在AB 的同一侧分别以AM 、MB 为底作正方形AMCD 、MBEF ，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P 、Q ，设这两个外接圆又交于M 、N 。
a)求证：AF 、BC 相交于N 点；b)求证：不论点M 如何选取，直线MN 都通过定点S ；c)当M 在A 与B 之间变动时，求线段PQ 的中点的轨迹。
（罗马尼亚）6.两个平面P 、Q 的公共边为p ，A 为P 上给定一点，C 为Q 上给定一点，并且这两点都不在直线p 上。
试作一等腰梯形ABCD （AB 平行于CD ），使得它有一个内切圆，并且顶点B 、D 分别落在平面P 和Q 上。
（捷克斯洛伐克）第二届（1960年）罗马尼亚锡纳亚（Sinaia，Romania）1.找出所有具有下列性质的三位数N ：N 能被11整除且商等于N 的各位数字的平方和。
（保加利亚）2.寻找使下式成立的实数x ：（匈牙利）()92211422+<+-x x x 3.直角三角形ABC 的斜边BC 的长为a ，将它分成n 等份（n 为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A 到BC 边的高长为h ，求证：（罗马尼亚）()a n nh14tan 2-=α4.已知从A 、B 两点引出的高线长h a 、h b 以及从A 引出的中线长m a ，求作三角形ABC 。
imo试题答案
imo试题答案[正文]imo试题答案1. 概述国际数学奥林匹克（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是全球最具影响力的数学竞赛之一。
每年，来自各国的高中生代表队齐聚一处，共同参与这场为期两天的激烈角逐。
本文将介绍并回答最近一次IMO试题的答案。
2. 第一题答案第一题要求计算一个三角形的面积。
给定三条边的长度a、b、c，我们可以使用海伦公式来求解。
根据海伦公式，设三角形的半周长为s，面积可以通过以下公式计算得到：面积 = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中，sqrt表示开平方运算。
将给定的边长代入公式，即可得到最终的答案。
3. 第二题答案第二题是一道几何问题，要求证明或者推导一些几何结论。
根据题目的描述，我们可以采取不同的方法来解决。
例如，可以运用数学归纳法、反证法或者特殊案例等思路。
根据题目的具体要求，给出相应的证明过程和结论即可。
4. 第三题答案第三题通常是一道代数或者组合数学的题目。
它要求我们运用一些数学定理和技巧，进行一系列的计算和推导。
解答这类题目时，可以运用数学归纳法、数学分析、数学推理等思维方式。
根据题目的要求，给出详细的推导过程和最终的答案。
5. 第四题答案第四题常常是一道数论题或者图论题。
我们需要根据题目的描述和给定的条件，构建一些数学模型或者图论模型，并通过一系列的计算和推理找到最终的答案。
在解答这类问题时，可以借助一些已知的数论定理、图论算法等。
附上详细的计算过程和最终的答案，确保答案的准确性和完整性。
6. 第五题答案第五题是一道综合性较强的问题，可能涉及多个数学分支的知识。
解答这类题目时，需要结合题目的要求，迅速找到解题思路，并采取相应的数学方法求解。
根据题目的指导，给出详细的解题过程和最终的答案。
7. 第六题答案第六题常常是一道较为复杂的几何问题或者数学推理题。
解答这类题目时，需要对较深入的几何知识或者数学推理进行充分的理解和运用。
imo试题及答案
imo试题及答案1. IMO试题1题目：请证明对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 + 2 \) 总是可以被3整除。
答案：设 \( n \) 为任意正整数。
- 情况1：\( n \) 是3的倍数，即 \( n = 3k \)（\( k \) 为整数）。
\( n^3 + 2 = (3k)^3 + 2 = 27k^3 + 2 \)，显然 \( 27k^3 \) 是3的倍数，所以 \( n^3 + 2 \) 也是3的倍数。
- 情况2：\( n \) 不是3的倍数，即 \( n = 3k + 1 \) 或 \( n = 3k + 2 \)（\( k \) 为整数）。
- 如果 \( n = 3k + 1 \)，则 \( n^3 + 2 = (3k + 1)^3 + 2 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 2 = 3(9k^3 + 9k^2 + 3k) + 3 \)，显然 \( 9k^3 + 9k^2 + 3k \) 是整数，所以 \( n^3 + 2 \) 是3的倍数。
- 如果 \( n = 3k + 2 \)，则 \( n^3 + 2 = (3k + 2)^3 + 2 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 2 = 3(9k^3 + 18k^2 + 12k + 3) + 1 \)，显然 \( 9k^3 + 18k^2 + 12k + 3 \) 是整数，所以 \( n^3 + 2 \) 是3的倍数。
因此，对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 + 2 \) 总是可以被3整除。
2. IMO试题2题目：给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
从圆上一点 \( A \) 向圆内作切线 \( AB \) 和 \( AC \)，连接 \( B \) 和\( C \) 两点。
求 \( BC \) 的长度。
答案：设 \( O \) 为圆心，\( r \) 为半径，\( A \) 为圆上一点，\( B \) 和 \( C \) 分别为切线 \( AB \) 和 \( AC \) 与圆的切点。
1979年第二十一届IMO试题(不含答案)
第二十一届（1979年）英国 伦敦（London ，United Kingdom ）1. 设p 和q 都是自然数并且满足11111123413181319p q =-+-+-+ 。
求证：p 可被1979整除。
（联邦德国）2. 一个棱柱的顶面是五边形A 1A 2A 3A 4A 5，底面是B 1B 2B 3B 4B 5。
这两个五边形的每条边和每条线段A i B j （i 、j=1，…，5），都用红色或者绿色着色。
每条边都被着色和每个顶点都是棱柱的顶点的三角形都有两边被涂上不同的颜色。
说明上下底面的所有10条边都是同一颜色。
（保加利亚）3. 在平面上有两个圆相交。
设A 是其中一个交点。
从A 点同时出发的两点以恒定的速度，并以相同的方向绕各自的圆运动。
在转完一圈后两个点又同时回到了A 点。
求证：平面内存在一定点P ，在任一时刻P 与这两个动点的距离相等。
（苏联）4. 给定一平面π，点P 在平面π上，点Q 不在平面π上，找到所有在平面上的点R ，其比值QP PA QR +最大。
（美国）5. 找到所有满足条件的实数a ，使得存在非负实数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足关系5553253111,,k k k k k k kxa k x a k x a ======∑∑∑。
（以色列） 6. 设A 和E 是一个正八边形上的两个相对顶点。
一只青蛙从顶点A 开始起跳。
它从除了E 以外的任何一个顶点，可能跳到两个相邻顶点的任何一个。
当它到达顶点E 时，青蛙停下来并留在这里。
设a n 为恰好n 次跳到E 点的不同路线的总数。
证明a 2n -1=0，112),1,2,3,n n n a x y n --=-= ，其中2x =2y = 注意：n 次跳跃的路径是满足下列条件的顶点（P 0，…，P n ）的序列： i) P 0=A ，P n =E ；ii) 对于每一个i （0≤i ≤n -1），P i 与E 不同；iii) 对于每一个i （0≤i ≤n -1），P i 和P i +1是相邻的。
国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第30届)
3.设n，k是正整数，S是由平面上n个点构成的集合并且无三线共点，对任何S中的点P至少存在S中的k个点与P等距离．
求证k<1/2+ ．
4.凸四边形ABCD的边AB，AD，BC满足AB=AD+BC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，
求证：1/ <=1/ +1/ ．
5.试证明对每个正整数n，存在n个连续的正整数使得其中无素数或素数的幂．
6.设{x1，x2，...，xm}是{1，2，...，2n}的一个排列，其中n是一个正整数．如果|xi-xi+1|=n对至少{1，2，...，2n-1}中的一个i成立就说这个排列{x1，x2，...，xm}具有性质P．试证明对于任意的n，具有性质P的排列都比不具有的多．
国际数学奥林匹克（
1.试证明集合{1，2，...，1989}可以分拆成117个子集合A1，A2，...，A117（即这些子集合互不相交且并集为整个集合），满足每个Ai包含17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等．
2.锐角△ABC，内角∠A的角平分线交△ABC的外界圆于A_1，类似定义B1，C1点．设AA1与∠ B，∠C的外交平分线交于A0点，类似定义B0，C0点．
最新1978年全国高中数学联赛试题及解答
1978年全国高中数学竞赛题一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？ 2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x2的值．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和． 8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．10．求方程组⎩⎨⎧x +y +z=0，x 3+y 3+z 3=－18的整数解．二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y 的极大值和极小值．(须证明你的论断)4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )· 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)1978年全国高中数学竞赛题解答 一试题1．已知y=log 121x +3，问当x 为何值时，(Ⅰ) y >0；(Ⅱ) y <0？解：当x >－3时，y=log 2(x +3)，⑴ x +3>1⇒x >－2时，y >0；⑵ 0<x +3<1，⇒－3<x <－2时，y <0．2．已知tan x=2 2 (180°<x <270°)，求cos2x ，cos x2的值．解：cos2x=1－(22)21+(22)2=－79；cos x=－1 1+tan 2x=－13．cos x 2=－1+cos x 2=－33．3．设椭圆的中心为原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离是10－5，求椭圆方程．解：由已知c=b ，故a=2c ，a －c=10－5=5(2－1)=c (2－1)，∴ c=5，a=10．所求椭圆方程为x 210+y 25=1．4．已知方程2x 2－9x +8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一个根为原方程两根差的平方．解：设已知方程两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=92，x 1x 2=4．所求方程两根为t 1，t 2，t 1=1x 1+x 2=29，t 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=814－16=174． ∴ 所求方程为(x －29)(x －174)=0，即36x 2－161x +34=0．5．把半径为1的四个小球叠成两层放在桌面上：下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高点离桌面的高度．解：边长为2的正四面体的高h=263．故所求高度=1+263+1=2+263．6．如图，设线段AB 的中点为M ，从线段AB 上的另一点C 向直线AB 的一侧引线段CD ，令线段CD 的中点为N ，BD 的中点为P ，MN 的中点为Q ，求证：直线PQ 平分线段AC ．证明：连NP ，取AC 中点O ，则由于N 、P 分别为CD 、BD 中点，故NP ∥AB ，NP=12BC=12(AB －AC )=AM=AO=OM ．∴ NPMO 为平行四边形．即PO 经过MN 中点Q ．即直线PQ 平分线段AC ．7．证明：当n 、k 都是给定的正整数，且n >2，k >2时，n (n －1)k －1可以写成n 个连续偶数的和．ADCBMN PQO解：设开始的一个偶数为2m ，则此n 个连续偶数的和为(2m +…+2m +2n －2)×n ÷2=n (2m +n －1)．令n (n －1)k －1= n (2m +n －1)，则(n －1)k －1－(n －1)=2m ．无论n 为偶数还是奇数，(n －1)k －1－(n －1)均为偶数，故m=12[(n －1)k －1－(n －1)]为整数．∴ 从(n －1)k －1－(n －1)开始的连续n 个偶数的和等于n (n －1)k －1．由于n 、k 给定，故(n －1)k －1－(n －1)确定．故证．8．证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半． 解：设此三角形三个角为A 、B 、C ，则其三边长分别为2sin A ，2sin B ，2sin C ． 本题即证明 cos A +cos B +cos C <sin A +sin B +sin C ．由于A ＋B >90︒，故90︒>A >90︒－B >0，⇒sin A >sin(90︒－B )=cos B ，同理，sin B >cos C ，sin C >cos A ，三式相加，即得证．9．已知直线l 1：y=4x 和点P (6，4)，在直线l 1上求一点Q ，使过PQ 的直线与直线l 1以及x 轴在第Ⅰ象限内围成三角形面积最小．解：设Q (a ，4a )，(a >1)则直线PQ 方程为y －4=4a －4a －6(x －6)，令y=0，得x=6－a －6a －1=5aa －1．∴ S=12·5a a －1·4a=10a 2a －1=10(a +1+1a －1)=10(a －1+1a －1+2)≥10(2+2)=40．当且仅当a=2时S 取得最小值．即所求点为Q (2，8)．10．求方程组⎩⎨⎧x +y +z=0，x 3+y 3+z 3=－18的整数解．解：x 3＋y 3＋z 3－3xyz=(x ＋y ＋z )(x 2＋y 2＋z 2－xy －yz －zx )=0，故xyz=－6． 故x=－3，y=1，z=2，等共6组解． 二试题1．四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD ∥EF ，作BG ∥ED 交AC 于G ，则 AG AC =AB AE =ADAF，从而GD ∥BC ，即BCDG 为平行四边形．P 为BD 中点，从而Q 为EF 中点．2．⑴ 分解因式：x 12+x 9+x 6+x 3+1．⑵ 证明：对于任意角度θ，都有5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ≥0．解：⑴令ε=cos 2π15＋i sin 2π15．∴ (x 3－1)( x 12+x 9+x 6+x 3+1)=x 15－1=14∏k=0(x －εk )．而x 3－1=(x －1)(x －ε5)(x －ε10)．EAQF DCBP G故x 12+x 9+x 6+x 3+1=14∏k=0(k 5，10)(x －εk )．⑵ 令x=cos θ，则5+8cos θ+4cos2θ+cos3θ=5+8x +4(2x 2－1)+4x 3－3x=4x 3+8x 2+5x +1=(x +1)(2x +1)2≥0在x ≥－1时成立．3．设R 为平面上以A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)三点为顶点的三角形区域(包括三角形的边界)．试求当(x ，y )在R 上变动时，函数4x －3y 的极大值和极小值．(须证明你的论断)解：令4x －3y=t ，则此直线在x 轴上的截距即为14t ．分别以A 、B 、C 的值代入，得相应的t=13，14，－18．即4x －3y 的极大值为14，极小值为－18．4．设ABCD 为任意给定的四边形，边AB 、BC 、CD 、CA 的中点分别为E 、F 、G 、H ，证明：四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．证明：连EF 、FG 、GH 、HE ，取BD 中点P ，连EP 、PG ． 易证S 四边形EFGH =12S 四边形ABCD ．而S 四边形EFGH =12EG ∙HF sin ∠EOF ≤12EG ∙HF ．但EP=12AD ，PG=12BC ．EP +PG ≥EG ，故12(AD +BC )≥EG ，同理，12(AB +CD )≥HF ．故EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )，从而，四边形ABCD 的面积≤EG ∙HF ≤12(AB +CD )∙ 12(AD +BC )．5．设有十人各拿提桶一只到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i=1，2，…，10)个人的提桶需时T i 分钟，假定这些T i 各不相同，问：(Ⅰ) 当只有一个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间(包括各人自己接水所花时间)为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)(Ⅱ) 当有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使你们的总的花费时间为最少？这时间等于多少？(须证明你的论断)解：当只有1个水龙头可用时，所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10，若当1≤i <j ≤10时，T i >T j ，则其余人不动，交换第i 个人与第j 个人的次序，则所需时间改变量 10T 1+…+(11－i )T i +…+(11－j )T j +…+T 10－(10T 1+…+(11－i )T j +…+(11－j )T i +…)=(11－i )(T i －T j )+(11－j )(T j －T i )=(T j －T i )(i －j )>0．即这样交换后，所需时间变少． ∴ 应使注满桶所需的时间少的人先注水．不妨设T 1<T 2<…<T 10，则所需时间为10T 1+9T 2+8T 3+…+T 10．⑵ 设T 1<T 2<…<T 10，则安排T 1、T 3、T 5、T 7、T 9在一个龙头，T 2、T 4、T 6、T 8、T 10在另一个龙头．且注水时间短的先注水．这样，共需时间5(T 1+T 2)+4(T 3+T 4)+3(T 5+T 6)+2(T 7+T 8)+(T 9+T 10)． P OH GFE BCDA6．设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．(须证明你的论断)解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME=∠GAE=90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG=∠MEG=60°，同理，∠MBG=60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1=AB≤EF≤ABsec15°=6－2．∴34≤S△EFG≤23－3．此文档基本上包括了所有课后问题的答案不过因为是乱序，所以只好下载下来然后通过word关键词搜索法方法如下，把题目复制到word搜索框，就会弹出。
历届IMO数论问题详解
9n 1 ，矛
②当 n 2 时， p ( x) x 10 x 22 81 ，所以 ( x 5) 128 ，因此 x 17 。也就是说十
2 2
位数只能是 1 ，设 x 10 k , 0 k 7 ，则 p ( x) (10 k ) 10(10 k ) 22 k ，解得
② n 为偶数时， f ( n)
2k 而 f (0) [ k 1 ] 0 ，所以 f (1) 1 f (0) 1 。 k 0 2
结合①、②，由数学归纳法易证 f (n) n 。
1969 年第 11 届问题 1：求证：存在无限多个自然数 a 满足如下性质，对于所有的自然数 n ，
k k 1
4) 13 ，所以
(10k 1 4) 可以被 13 整除，因为我们要求最小的 n ，当然首先要 k 最小，可以验算当 k 6
时， (10
k 1
4) 可以被 13 整除，此时 a 15384, n 153846 ，容易验证 153846 的确满足
要求，所以 n 153846 为所求。
n 1 1 (n 1) 2k n 2 k n 20 n 2 k 1 k 1 2 2k 1 k 1 2 k 0 2 k 1 k 1 2
imo测试题及答案
imo测试题及答案IMO测试题及答案1. 题目：一个圆的半径是5厘米，求这个圆的周长和面积。
答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为半径。
将半径r=5厘米代入公式，得到周长C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4厘米。
圆的面积公式为A = πr²，代入半径r=5厘米，得到面积A = 3.14 × 5² = 78.5平方厘米。
2. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为10厘米、8厘米和6厘米，求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积公式为V = 长× 宽× 高。
将长10厘米、宽8厘米和高6厘米代入公式，得到体积V = 10 × 8 × 6 = 480立方厘米。
3. 题目：一个等差数列的首项是3，公差是2，求这个数列的第10项。
答案：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n - 1)d，其中a_1为首项，d为公差，n为项数。
将首项a_1=3，公差d=2和项数n=10代入公式，得到第10项a_10 = 3 + (10 - 1) × 2 = 3 + 18 = 21。
4. 题目：一个函数f(x) = 2x + 3，求这个函数在x=2时的值。
答案：将x=2代入函数f(x) = 2x + 3，得到f(2) = 2 × 2 + 3= 4 + 3 = 7。
5. 题目：一个三角形的两边长分别为4厘米和6厘米，求这个三角形的周长，如果第三边长为5厘米。
答案：已知三角形的两边长分别为4厘米和6厘米，第三边长为5厘米。
根据三角形的周长公式，周长P = 边1 + 边2 + 边3。
将边长代入公式，得到周长P = 4 + 6 + 5 = 15厘米。
以上即为本次IMO测试题及答案的全部内容。
同余—解答
同余理论同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。
设m 是一个给定的正整数，如果两个整a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡。
1. 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性(1) 反身性：)(mod m a a ≡；(2) 对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；(3) 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡; 2. 加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ）， c d ≡（mod m ），则a cb d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），n n a b ≡（mod m ）3. 除法设 ac bd ≡（mod m ），则 a b ≡（mod (,)mc m ）。
4. 剩余类、完系和缩系设m 是大于1的正整数，则下述集合{|(mod ),01,}r A n n r m r m n Z =≡≤≤-∈是模m 的一个同余类，也叫剩余类。
这样的集合恰有m 个，即011,,,m A A A -⋅⋅⋅，且011m A A A Z -⋃⋃⋅⋅⋅⋃=。
从011,,,m A A A -⋅⋅⋅中各取一个数，构成模m 的一个完全剩余系，简称完系。
最典型的例子是0,1,,1m ⋅⋅⋅-。
定理：若有m 个整数12,,,m a a a ⋅⋅⋅，若对任意的1i j m ≤<≤，(mod )j i a a m ≠，则12,,,m a a a ⋅⋅⋅是模m 的完全剩余系。
定理：若12,,,m a a a ⋅⋅⋅是模m 的完全剩余系，并且(,)1b m =，则12,,,m a bc a b c a b c ++⋅⋅⋅+也是模m 的完全剩余系，这里c 是任意常数。
IMO预选题1978
2. (Bulgaria 2) If
n
2 2n
k · xk = ak · xk, prove that
IMO LongList 1978
IMO ShortList/LongList Project Group June 19, 2004
1. (Bulgaria 1) The set M = 1, 2, . . . , 2n is represented as a disjoint reunion of k sets M1, . . . , Mk, where n ≥ k3 + k. Prove that there exist i,j ∈ 1, . . . , k, not including the situation when i = j, and
15. (Finland 3) Let p(x, y) and q(x, y) be two polynomials in two variables, so that for x, y ≥ 0 the following conditions are fulfilled: a) p(x, y) and q(x, y) are increasing in x for any fixed y; b) for any fixed x, p(x, y) is increasing and q(x, y) is decreasing, in y; c) p(x, 0) = q(x, 0) and p(0, 0) = 0. Prove that if 0 ≤ b ≤ a, then the system of equations p(x, y) = a, q(x, y) = b has an unique solution in the set x ≥ 0, y ≥ 0, and if a < b then this system has no solution in this set.
imo数学奥林匹克历届试题
imo数学奥林匹克历届试题IMO（International Mathematical Olympiad）是国际数学奥林匹克竞赛的英文简称，是世界范围内最具影响力的数学竞赛之一。
自1959年起，IMO每年都在不同国家举办，每个国家都会派出一支由高中生组成的代表队参赛。
这场竞赛旨在挑战学生的数学智力、培养他们的创新思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们将回顾IMO数学奥林匹克的历届试题，展示一些经典问题的解决方法。
1. 第一届IMO（1959年）题目：证明当n为整数时，n^2 + n + 41为素数。
解析：我们可以通过代入不同的整数n来验证这个结论。
当n=1时，结果为43，为素数；当n=2时，结果为47，同样为素数。
我们可以继续代入更多的整数，发现每次结果都是素数。
虽然这种代入法不能证明对于所有的整数n都成立，但是通过大量的例子验证，我们可以有很高的信心认为这个结论是成立的。
2. 第十届IMO（1968年）题目：证明不等式(1+1/n)^n < 3，其中n是大于1的整数。
解析：我们可以通过数学归纳法证明这个不等式。
首先，当n=2时，不等式成立：(1+1/2)^2 = 2.25 < 3。
假设当n=k时不等式成立，即(1+1/k)^k < 3。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。
通过观察(1+1/k)^k，我们可以发现随着k的增大，(1+1/k)^k的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。
而e约等于2.71828，小于3。
因此，当n=k+1时，(1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^k < 3。
根据数学归纳法原理，我们可以得出对于所有的n大于1的整数，不等式(1+1/n)^n < 3成立。
3. 第二十二届IMO（1981年）题目：设a、b、c是一个正数的三个边长，证明不等式(a^2 + b^2)/(a+b) + (b^2 + c^2)/(b+c) + (c^2 + a^2)/(c+a) ≥ a + b + c。
imo中文试题及答案
imo中文试题及答案1. 请解释“对称性”在数学中的含义，并给出一个具体的例子。
答案：对称性在数学中指的是一个对象在某种变换下保持不变的性质。
例如，在几何学中，一个正方形在旋转90度后，其形状和位置与旋转前相同，因此正方形具有旋转对称性。
2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值。
答案：首先对函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。
由于平方项(x-2)^2总是非负的，所以f(x)的最小值出现在(x-2)^2 = 0时，即x = 2。
此时f(x)的最小值为-1。
3. 请列举至少三种不同的数学证明方法。
答案：数学证明方法有很多种，以下是三种常见的方法：a) 直接证明：直接从已知条件出发，通过逻辑推理得出结论。
b) 反证法：假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原结论的正确性。
c) 归纳法：通过观察特定情况下的规律，归纳出一般性的结论。
4. 计算下列定积分的值：∫(0到1) (x^2 - 3x + 2) dx。
答案：首先找到被积函数的原函数，即∫(x^2 - 3x + 2) dx =(1/3)x^3 - (3/2)x^2 + 2x。
然后计算定积分：[(1/3)x^3 -(3/2)x^2 + 2x](0到1) = [(1/3)(1)^3 - (3/2)(1)^2 + 2(1)] - [(1/3)(0)^3 - (3/2)(0)^2 + 2(0)] = (1/3 - 3/2 + 2) = 1/6。
5. 证明：如果一个三角形的两边相等，则其对应的两个角也相等。
答案：设三角形ABC中，AB = AC，我们需要证明∠B = ∠C。
根据等边对等角定理，如果两边相等，则其对应的角也相等。
因此，∠B = ∠C。
高中数学竞赛 历届imo竞赛试题(-46届完整中文版)
第1届I M O1.求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。
2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。
3.a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程a cos2x +b cos x +c = 0,试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。
当a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。
4.试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。
5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.) 求证 AF、BC相交于N点；（b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S；(c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。
6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。
试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。
第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。
2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - √(1 + 2x))2< 2x + 93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令α为从A 点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tan α = 4nh/(an2 - a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。
5.正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。
imo试题答案
imo试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是IMO历史上最年轻的金牌获得者？A. 彼得·舒尔茨B. 陶哲轩C. 陈景润D. 约翰·纳什答案：B. 陶哲轩2. IMO竞赛中，每天的试题解答时间是多少小时？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时答案：C. 5小时3. IMO试题通常由哪个组织提供？A. 各国数学奥林匹克委员会B. 国际数学联合会C. 主办国的数学学会D. 国际奥林匹克委员会答案：C. 主办国的数学学会4. 在IMO竞赛中，参赛者需要解决多少个问题？A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：B. 4个5. IMO试题的答案需要满足什么条件？A. 必须是唯一的B. 必须是普遍接受的C. 必须是简洁的D. 必须是证明过程完整的答案：D. 必须是证明过程完整的二、填空题1. IMO竞赛始于______年，首届比赛在______举行。
答案：1959年，罗马尼亚2. 每位参赛者在IMO竞赛中每天需要解答______个问题，共计______分。
答案：3个，45分3. IMO试题的难度通常分为三个等级，分别是______、______和______。
答案：简单、中等、困难4. 参赛者在IMO竞赛中获得的最高分是______分。
答案：42分5. 根据IMO规则，每个国家可以派出最多______名参赛者。
答案：6名三、解答题1. 请简述IMO竞赛的评分标准。
答：IMO竞赛的评分标准非常严格。
每个问题的满分为7分，参赛者需要提供完整且正确的解答过程才能获得满分。
评委会根据解答的正确性、完整性和逻辑性来评分。
如果解答过程中有错误或者不完整，将会扣除相应的分数。
每个参赛者需要在两天内解答四个问题，每天三个问题，总分42分。
2. 描述IMO竞赛的选拔过程。
答：各国选拔参加IMO竞赛的选手通常通过国内数学奥林匹克竞赛进行选拔。
选拔过程包括初赛、复赛和最终的国家集训队选拔。
在国家集训队中，选手们会接受高强度的培训和模拟比赛，最终选拔出最优秀的选手代表国家参加国际数学奥林匹克竞赛。
北京市1978年中学生数学竞赛题解
北京市1978年中学生数学竞赛题解
1978年北京市中学生数学竞赛题解
一、一元一次方程
（1）解：设x表示锅中的鱼，则有 x+20=30，解得x=30-20=10.
二、二元一次方程
（2）解：设x和y分别表示小张和小李的鸡蛋，则有x+y=21, 3x-2y=18，
联立方程得x=18+2y/3, 代入x+y=21，则y=15,故
x=18+2*15/3=18+10=28.
三、不等式
（3）解：设x表示小明吃的苹果数，则有2x-3≥9，解得x≥6.
四、一元二次方程
（4）解：设x表示小刚吃的桃子数，则有x²-5x+4=0，
对应一元二次方程ax²+bx+c=0，代入得 a=1,b=-5,c=4，
解得 x1=(-b+√(b²-4ac))/2a = (-5+√(25-16))/2 = (9+√9)/2 = 6+3√3/2 x2=(-b-√(b²-4ac))/2a = (-5-√(25-16))/2 = (9-√9)/2 = 6-3√3/2.
五、混合型方程
（5）解：设x表示小楠买的青苹果数，y表示小美买的青苹果数，则有 2x/3+y=20，3x-y=14，联立方程解得 x=12, y=8.
六、分式方程
（6）解：设x表示小强花费的金钱数，则有 2x/(x-2)=7，解得 x=14.。
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第二十届（1978年）
罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest ，Romania ）
1.已知 m 和n 是自然数且1≤m <n 。
在十进制中，1978m 的后三位数字和1978n 的后三位数字相同。
找出使得m+n 最小的m 和n 值。
（古巴）
2. P 是球内一定点。
三条从P 发出的互相垂直的射线与球面分别相交于点U 、V 、W ；Q 代表由PU 、PV 、PW 决定的平行六面体中P 的相对的顶点。
求出Q 点的轨迹。
（美国）
3. 所有正整数的集合是两个不相交的子集{f (1)，f (2)，…，f (n )，…}，{g (1)，g (2)，…，g (n )，…}的并集，这里f (1)<f (2)<…<f (n )<…，g (1)<g (2)<…<g (n )<…，以及对于所有n ≥1都有g (n )=f (f (n ))+1。
判断f (240)的值。
（英国）
4. 在三角形ABC 中，AB=AC 。
一个圆与三角形ABC 的外接圆内切并分别与AB 、AC 相切于P 、Q 。
求证：线段PQ 的中点是三角形ABC 的内切圆的圆心。
（美国）
5. 令{a k }(k =1,2,3,…,n ,…)是不同正整数组成的数列。
证明对于所有的自然数n 都有2111n
n k k k a k k ==≥∑∑。
（法国） 6. 一个国际组织有来自六个不同国家的成员。
成员列表中共有1978个名字，编为1,2，…，1978。
求证：至少有一个成员的编号是来自他同一国家的其它两个成员的编号的和，或者是来自他同一国家的一个成员的编号的两倍。
（荷兰）。