线段垂直平分线经典练习题
线段的垂直平分线典型问题综合训练(含解析)
线段的垂直平分线典型问题综合训练（含解析）一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条中线的交点3．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥ABC．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB4．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm．A．13 B．19 C．10 D．166．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对9．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A．50°B．45°C．30°D．20°10．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．不能确定11．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处二．填空题（共6小题）12．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD DC，点D在的垂直平分线上．13．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=cm．14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O，下列判断正确的有．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是．16．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B、C、D、E在同一直线上，则AB+BD DE （用“＜”，“＞”，“=”填空）．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=．三．解答题（共7小题）18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）19．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上．20．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．21．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．22．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC 内一点P，连接PC．（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式：．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．线段的垂直平分线典型问题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线【分析】由作图可知DA=DB，EA=EB，所以点D，E在线段AB的垂直平分线上，问题得解．【解答】解：∵分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，∴DA=DB，EA=EB，∴点D，E在线段AB的垂直平分线上，故选D．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条中线的交点【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：C．3．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（）A．MA=MB，NA=NB B．MA=MB，MN⊥AB C．MA=NA，MB=NB D．MA=MB，MN平分AB【分析】根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．【解答】解：∵MA=MB，NA=NB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；∵MA=MB，MN⊥AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；当MA=NA，MB=NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；∵MA=MB，MN平分AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故选：C．4．如图，在△ABC中，AB的中垂线交AB于点，交BC于点D，若△ADC的周长为17cm，AC=5cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm【分析】根据垂直平分线的性质得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的中垂线，∴DB=DA，∵△ADC的周长为17cm，∴AD+DC+AC=17cm，∴BD+DC+AC=17cm，即BC+AC=17cm，∴BC=17﹣5=12cm，故选：C．5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）cm．A．13 B．19 C．10 D．16【分析】根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出三角形ABD周长=AB+BC=13cm，即可求出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∵AC=6cm，∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13cm+6cm=19cm，故选B．6．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC，求得∠DAC=30°，根据三角形的内角和得到∠BAC=95°，即可得到结论．【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．7．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．8．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OC，然后判断出△AOE和△COE 全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，又∵OE=OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选D．9．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（）A．50°B．45°C．30°D．20°【分析】从已知条件进行思考，由∠BAC=100°得∠B+∠C=80°，根据垂直平分线的性质，得∠BAD+∠EAC=80°于是答案可得．【解答】解：根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=GE．故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°﹣100°=80°，∴∠DAE=100°﹣∠BAD﹣∠EAC=20°．故选D10．如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，如果边BC长为8cm，则△ADE的周长为（）A．16cm B．8cm C．4cm D．不能确定【分析】根据线段垂直平方根性质得出BD=AD，AE=CE，求出△ADE的周长=BC，代入即可求出答案．【解答】解：∵DF是AB的垂直平分线，∴AD=BD，同理AE=EC，∴△ADE的周长是AD+AE+ED=BD+CE+DE=BC=8cm，故选B．11．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．二．填空题（共6小题）12．如图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD=DC，点D在AC的垂直平分线上．【分析】结合图形易得AD=DC；根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”解答．【解答】解：∵BC=BD+DC，BC=BD+AD，∴AD=CD；∴D在AC的垂直平分线上．故答案为：=，AC．13．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC=7cm．【分析】由已知条件，根据垂直平分线的性质得到AD=BD，进行等量代换后可得答案．【解答】解：∵DE为AB边的垂直平分线∴DA=DB∵△ACD的周长为7cm∴AD+AC+CD=AC+BC=7．故填7．14．两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD 相交于点O，下列判断正确的有①③⑤．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．【分析】根据题意AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O可以证明△ABC≌△ADC、△ABO≌△ADO，可得AC、BD互相垂直，AC平分∠BAD、∠BCD．【解答】解：∵在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC•BO+AC•OD=AC•BD．故⑤正确；综上所述，正确的说法是①③⑤．故答案是：①③⑤．15．如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是40°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，得到∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，结合图形计算即可．【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴PA=PB，QA=QC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，∴∠PAB+∠QAC=∠B+∠C=70°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=40°，故答案为：40°．16．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B、C、D、E在同一直线上，则AB+BD=DE（用“＜”，“＞”，“=”填空）．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC，BD=CD，然后可得AB=CE，利用等量代换可得AB+BD=DC+CE=DE．【解答】解：∵AD垂直平分BC，∴AB=AC，BD=CD，∵AC=EC，∴AB=CE，∴AB+BD=DC+CE=DE，故答案为：=．17．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=48°．【分析】根据角平分线定义求出∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据线段垂直平分线性质求出FC=FB，求出∠FCB，即可求出答案．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣60°﹣48°=72°，∵FE是BC的中垂线，∴FB=FC，∴∠FCB=∠DBC=24°，∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°．三．解答题（共7小题）18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA=PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．【解答】解：如上图所示19．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，探究：点P是否也在边AC的垂直平分线上．【分析】因为到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以点P是否在AC的垂直平分线上，只需判断PA是否等于PC即可．【解答】证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．∴点P必在AC的垂直平分线上．20．某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置．【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．【解答】解：如图，①连接AB，AC，②分别作线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线相较于点P，则P即为售票中心．21．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE=∠A+∠ACB．【分析】根据线段垂直平分线的想知道的CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC，根据三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE=BE，∴∠ECB=∠EBC，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠A+∠ACB．22．如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC 内一点P，连接PC．（1）若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写出m，n满足的关系式：m+3n=120．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC=∠PCB=∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（2）运用（1）中的方法，即可得出m，n满足的关系式．【解答】解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP，∵∠A=60°，∠ACP=24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣24°，∴3∠ABP=120°﹣24°，∴∠ABP=32°；（2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=∠ABP，∴∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°，∵∠A=60°，∠ACP=m°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP=120°﹣m°，∴3∠ABP=120°﹣m°，∴3n°+m°=120°，故答案为：m+3n=120．23．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出2DE+2EC=7cm，即可得出答案．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°；（2）∵△ABC周长13cm，AC=6cm，∴AB+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DE+EC=DC=3.5cm．24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，若PM、QN分别垂直平分AB、AC．（1）求∠PAQ的度数；（2）如果BC=10cm，求△APQ的周长．【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得PA=PB，再根据等边对等角的性质可得∠PAB=∠B，同理求出∠QAC=∠C，然后根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C=60°，然后进行计算即可得解；（2）求出△APQ的周长=BC，然后代入数据即可得解．【解答】解：（1）∵PM垂直平分AB，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，同理，QA=QC，∴∠QAC=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°﹣120°=60°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=120°﹣60°=60°；（2）由（1）可知：PA=PB，QA=QC，∴PA+PQ+QA=PB+PQ+QC=BC=10cm，即△APQ的周长为10cm．。
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
线段的垂直平分线练习及答案
线段的垂直平分线练习及答案一、选择题（共8小题）1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A．6B．5C．4D．3第1题图第2题图第5题图2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分ABC．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB3．下列说法中错误的是（）A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等C．线段有且只有一条垂直平分线D．线段的垂直平分线是一条直线4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．67．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( )A．28°B．25°C．22.5°D．20°D第6题图第7题图第8题图二、填空题（共10小题）9．到线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是_________ ．10．如图，有A、B、C三个居民小区是位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个休闲广场，使广场到三个小区的距离相等，则广场应建在_________ ．第10题图第12题图第13题图第14题图11.在阿拉伯数字中，有且仅有一条对称轴的数字是____________.12、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．13、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________ cm．14．如图，已知在△ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于D，若△BDC的周长为16，则BC= _________ ．15．如图，在△ABC中，∠B=30°，直线CD垂直平分AB，则∠ACD的度数为_________ ．16．已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．17．如图，AB=AC，AC的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，BC=6，△CDB的周长为15，则AC= _________ ．18．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．则∠BCD=_________ 度．第15题图第16题图第17题图第18题图三、解答题（共5小题）19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21.如图，已知：在ABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P. 求证：点P在AC的垂直平分线上.22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD垂直平分EF．23．如图，已知∠C=∠D=90°，AC与BD交于O，AC=BD．（1）求证：BC=AD；（2）求证：点O在线段AB的垂直平分线上．参考答案一、选择题（共8小题）1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．C 7．A 8．A二．填空题（共10小题）9. 线段AB的中垂线；10. 三边垂直平分线的交点处；11. 3；12. 50；3. 13 ；14. 6 15. 60°；16. 8 ；17. 9 ；18.35°三．解答题（共5小题）19.（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；（2）证明△ABC≌△AD C．证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），又∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC．20. 解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，∴AC+BC=8cm…①，∵AC﹣BC=2cm…②，①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．故AB=5cm、BC=3cm．21.证明：∵P在AB、BC的垂直平分线上∴AP=BP，BP=CP∴AP=CP，∴P点在AC 的垂直平分线上.22.证：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，在Rt△AED和Rt△AFD中∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∵AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分EF（三线合一）23. 证明：（1）∵∠C=∠D=90°，∴在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA，∴AD=BC；（2）∵Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．。
线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)
线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE的长为_________．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。
初二线段的垂直平分线测试题与答案
线段的垂直平分线测试题一、选择题1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是（）A.∠CAD<∠CBDB.∠CAD＝∠CBDC.∠CAD>∠CBDD.无法判断2．如图，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A. AB＋DB>DEB. AB＋DB<DEC. AB＋DB＝DED. 无法判断第二题第三题3．如图，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，作法（）A.连接BA并延长与l的交点为PB.连接AB，并作线段A月的垂直平分线与l的交点为PC.过点B作l的垂线，垂线与l的交点为PD.过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，使A′O＝AO，再连接A′B，A′B与L的交点为P，点P为所求。
4．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24 cm和12 cm B.16 cm和22 cm C．20 cm和16 cm D．22 cm和16 cm5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三条边上，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定二、填空题6．到线段AB两个端点距离相等的点，在.7．直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC的垂直平分线交AB于D，若AD＝2 c m，则BD＝cm．三、解答题8．如图. 在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，求∠PAQ9．如图在△ABC中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC边的垂直平分线DE交BC于E，交AC于D，求△ABD的周长．10．如图已知AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC 于点D，若△DBC的周长为35 cm，求BC的长．第8题第9题第10题11．如图1－80所示，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，已知△ADE的周长为12 cm，求BC的长．12．如图1－81所示，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1 km，B村到公路l的距离BD＝2 km，B村在A村的南偏东45°方向上．（1）求A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置．（保留清晰的作图痕迹，不写作法）13．如图1－82所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．参考答案与解析：1．B[提示：△CAD≌△CBD]2．C[提示：因为AB＝AC，BD＝CD，所以AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE]3．D[提示：由D中作法知，直线l垂直平分AA′，则PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，两点之间线段最短．]4．D[提示：AB的垂直平分线与边AC交于D，则BD＝AD，故BD＋DC＝AC，所以AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．]5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．]6．线段AB的垂直平分线上7．2[提示：AD＝CD＝BD．]8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B ＋∠C ；180°－110°=70°．∵PM ，QN 分别垂直平分AB ，AC ，∴△BP M ≌△APM ，△CQN ≌△AQN ．∴∠B ＝∠BAP ，∠C ＝∠CAQ ． ∴∠BAP ＋∠CAQ ＝∠B ＋∠C ＝70°．∴∠PAQ=∠BAC －∠BAP －∠CAQ ＝110°－ 70°＝40°．9．解：∵DF 垂直平分BC ，∴BD ＝DC ，∴AC=AD ＋DC=AD ＋B D ＝8 cm ．又∵AB ＝6 cm ，∴AB ＋AD ＋DB ＝14 cm ，即△ABD 的周长为14 cm ．10．解：因为D 正垂直平分AB ，垂足为正，D 正交AC 于点D ，所以DA ＝DB ，所以BD ＋DC ＝AD ＋DC ＝20 cm ．又因为△DBC 的周长为35 cm ，即BD ＋DC ＋BC ＝35 cm ，所以BC=15 cm ．11．解：因为AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，所以DA ＝DB ，EA=EC ，所以BC ＝BD ＋DE ＋EC ＝DA 十DF ＋AE ，即为△ADE 的周长．又因为△ADE 的周长为12 cm ，所以BC ＝12 cm ．12．解：如图1－83所示．（1）方法1：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO 和△BDO 都是等腰直角三角形，∴AO ＝2，BO ＝22，∴A ，B两村的距离为AB=AO ＋BO ＝2＋22＝32 （km ）．方法2：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ，易证四边形CDBE 是矩形，∴C E ＝BD＝2．在R t △AEB 中，由∠A=45°，可得EF ＝CA ＝3，∴AB ＝233322=+ （km ）．（2）作法：①分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于两点M ，N ，作直线MN ；②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求．13．解：OE ⊥AB 证明如下：在△BAC 和△ABD 中，AC=BD ，∠BAC=∠ABD ， AB ＝BA ，∴△BAC ≌△ABD ，∴∠O BA ＝∠OAB ，∴OA ＝OB ．又AE ＝BE ，∴OE ⊥AB ．。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
线段垂直平分线的练习题
一、填空题1、如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，P 为MN 上一点，则PA,PB 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。
2、如图，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，∠1：∠2=2:3，则∠CAB=＿＿＿＿＿＿＿＿。
3、如图，点O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，点O 到顶点A 的距离为5㎝，则AO+BO+CO=＿＿＿＿＿＿＿＿㎝。
4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D 、E 两点，∠BEC=60°，EC=1，则AE=＿＿＿＿＿＿。
5、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是＿＿＿＿＿＿。
(1)POABN M (3)OCBA(4)DE BCA (5)ED BC A二、选择题1、给出下列命题：①如果等腰三角形内有一点到底边的两个端点的距离相等，那么这个点与顶点的连线必垂直平分底边；②等腰三角形底边的高上任意一点到底边两端点的距离相等；③M 点在线段AB 外，MB=MA ，则过M 点所作直线l 是AB 的垂直平分线；④三角形三边的垂直平分线必相交于一点。
其中正确的命题有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、 42、等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P ，则（ ） A 、点P 在三角形内； B 、点P 在三角形底边上；C 、点P 在三角形外D 、点P 的位置与三角形的边长有关 3、如图，△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，NE 垂直平分AC 于N ，交交BC 于E ，若∠BAC=120°，则∠DAE=（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80°4、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC 边上的垂直平分线交AB 于D ，AB=12，AC=6，，则图中等于6的线段共有（ ）条A 、2B 、3C 、4D 、 55、下列命题中，是假命题的是（ ）A 、斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B 、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等C 、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等D 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等 三、如图 ，△ABC 中，AB=AC=16，D 为AB 的中点，且DE⊥AB 交AC 于E ，△BCE 的周长为26 求BC 的长EDCB AADE BC N M ED CB A。
初二线段垂直平分线练习题带答案
初二线段垂直平分线练习题带答案题目一：在平面直角坐标系中，已知线段AB的坐标分别为A(-2,1)和B(4,-3)，求线段AB的垂直平分线方程。
解析：要求线段AB的垂直平分线方程，我们需要找到线段AB的中点以及线段AB的斜率。
线段AB的中点坐标为：x坐标：(x_A + x_B)/2 = (-2 + 4)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_A + y_B)/2 = (1 + (-3))/2 = -2/2 = -1所以线段AB的中点为M(1, -1)。
线段AB的斜率为：斜率 k = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)= (-3 - 1)/(4 - (-2))= -4/6= -2/3由于垂直平分线与线段的斜率乘积为-1，所以垂直平分线的斜率为斜率 k 的相反数的倒数：k_2 = -1/(-2/3) = 3/2。
通过中点和斜率，我们可以得到垂直平分线的方程：y - y_M = k_2(x - x_M)y - (-1) = (3/2)(x - 1)y + 1 = (3/2)(x - 1)2(y + 1) = 3(x - 1)2y + 2 = 3x - 32y = 3x - 5所以线段AB的垂直平分线方程为2y = 3x - 5。
题目二：在平面直角坐标系中，直线L过点A(-3,3)，且与直线x = -1垂直，求直线L的方程。
解析：首先，直线L与直线x = -1垂直，说明直线L的斜率为0。
由于直线L过点A(-3,3)，我们可以确定直线L的y截距为3。
所以直线L的方程为y = 3。
题目三：在平面直角坐标系中，已知线段CD的两个端点分别为C(-4,2)和D(6,2)，求线段CD的垂直平分线方程。
解析：要求线段CD的垂直平分线方程，我们需要找到线段CD的中点以及线段CD的斜率。
线段CD的中点坐标为：x坐标：(x_C + x_D)/2 = (-4 + 6)/2 = 2/2 = 1y坐标：(y_C + y_D)/2 = (2 + 2)/2 = 4/2 = 2所以线段CD的中点为N(1, 2)。
线段的垂直平分线练习题
(第2题）E D C BA 线段的垂直平分线一、基础知识：1、线段垂直平分线的性质因为 ，所以AB ＝AC.理由：2、线段垂直平分线的判定因为 ，所以点A 在线段BC 的中垂线上.理由：1、 如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.（第1题） （第3题） （第4题）2、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（ ）.A.4B.2C.3D.123、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.64、如图，NM 是线段AB 的中垂线,下列说法正确的有： .①AB ⊥MN,②AD=DB ， ③MN ⊥AB ， ④MD=DN ，⑤AB 是MN 的垂直平分线.5、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，P A =PB ；②若P A =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若P A =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例1、已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。
例2、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B(第1题)(第8题）E D CB A一、选择：1、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。
线段地垂直平分线经典习题及答
线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21错误!未找到引用源。
AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ）A 、7B 、 14C 、17D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6错误!未找到引用源。
B 、4错误!未找到引用源。
C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下： （甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ）A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分ABC 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= _________ 度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________ °．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为_________ ．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________ 度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC= _________ 度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________ 度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________ 个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=错误!未找到引用源。
线段的垂直平分线(有答案)
线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．263．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．145．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 _________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 _________ cm ．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 _________ ． 9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 _________ ．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= _________ ．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC． 线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质即可得出答案．解答：解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ） A．18B．22C．24D．26考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，∴AB=2AE=8，AD=BD，∵△ACD的周长为18，∴AD+DC+AC=18，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=8+BD+DC+AC=8+AD+DC+AC=8+18=26，故选D．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（ ） A．∠ADC=45°B．∠DAC=45°C．DB=DA D．BD=DC考点：线段垂直平分线的性质．专题：数形结合．分析：由∠ACB=90°，∠B=22.5°，根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB与DA相等，利用等边对等角得到∠BAD与∠B相等，求出∠BAD的度数，由∠BAC的度数减去∠BAD 的度数，求出∠DAC的度数，又因为∠ADC是三角形ADB的外角，由三角形的外角性质得到∠ADC等于2∠B ，求出∠ADC的度数，从而得到选项A，B，C的结论正确，在直角三角形ACD中，根据斜边总大于直角边，判定得到AD大于CD，而AD与BD相等，等量代换得到BD大于CD，选项D的结论错误．解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=22.5，∴∠BAC=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，又AB的垂直平分线交BC于D，∴DB=DA，故选项C正确；∴∠BAD=∠B=22.5°，∴∠DAC=67.5°﹣22.5°=45°，选项A正确，∠ADC=22.5°+22.5°=45°，选项B正确，在直角三角形ACD中，∵AD＞CD，又AD=BD，∴BD＞CD，选项D错误，则不正确的选项为D．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质，外角性质及直角三角形的边角关系．遇到线段垂直平分线，往往根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，构造出等腰三角形，从而利用等腰三角形的有关知识解决问题．4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（ ） A．20B．18C．16D．14考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：先根据线段垂直平分线的性质得到AD=CD，即BD+CD+BC=12，再根据CE=4得到AC=8即可进行解答．解答：解：∵ED是线段AC的垂直平分线，∴AD=CD，∵△BCD的周长等于12，∴△BCD的周长=BC+BD+CD=AB+BC=12，∵CE=4，∴AC=8．∴△ABC的周长=AB+BC+AC=12+8=20．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ） A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点D．三边中线的交点考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）可得到△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．解答：解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）．二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为 18 cm．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE=5cm，代入AB+AE+BE求出即可．解答：解：∵DE是线段AB的垂直平分线，BE=5cm，∴AE=BE=5cm，∵AB=8cm，∴△ABE的周长是AB+AE+BE=8cm+5cm+5cm=18cm，故答案为：18．点评：本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是 14 cm．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线得出CE=AE=2，AD=DC，根据已知得出AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10，即可求出答案．解答：解：∵DE是AC的中垂线，∴AE=CE=2，AD=DC，∵△ABD的周长是10cm，∴AB+BD+AD=10，∴AB+BD+DC=AB+BC=10，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=10+2+2=14，故答案为14．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出AB+BC=10，题目比较典型，难度适中．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于 9 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，求出△BCD的周长=AB+BC，代入求出即可．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴△BCD的周长是BD+DC+BC=BD+AD+BC=AB+BC=5+4=9，故答案为：9．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出△BCD的周长等于AB+BC．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为 23 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质得到线段相等，由△BCE的周长=EC+BE+BC得到答案．解答：解：AB的垂直平分线交AB于点D，所以EA=BE．∵AC=13，BC=10，∴△BCE的周长是EC+BE+BC=BC+CE+EA=AC+BC=13+10=23，故答案为23．点评：本题考查了垂直平分线的性质；由于已知三角形的两条边长，根据垂直平分线的性质，求出另一条的长，相加即可．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB= 4 ．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出AD=DC，根据BC长求出AD+BD=8，代入AB+AD+BD=12即可求出答案．解答：解：∵MN垂直平分AC，∴AD=DC，∵BC=8，∴BD+DC=8=AD+BD，∵△ABD的周长为12，∴AB+AD+BD=12，∴AB=12﹣8=4，故答案为：4．点评：本题考查了线段的垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：（1）根据线段的垂直平分线性质求出AC即可；（2）根据线段的垂直平分线性质求出AD=DC，AC=2AE=6，根据△ABD的周长为13求出AB+BC的值即可求出答案．解答：解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，∴AC=BC=6，答：BC的长是6．（2）∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABD的周长为13，∴AB+AD+BD=13，∴AB+CD+BD=13，即AB+BC=13，∴△ABC的周长是AB+BC+AC=13+6=19．答：△ABC的周长是19．点评：本题主要考查对线段的垂直平分线性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗为什么（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可；（2）求出四边形ABCD的面积为S=S△ABD+S△CBD=BD×AC，代入求出即可．解答：解：（1）∵在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，BE=DE（三线合一定理）；（2）∵AC=a，BD=b，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=×BD×AE+×BD×CE=×BD×（AE+CE）=BD×AC=ab．点评：本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线性质，三角形的面积等知识点的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等腰三角形的顶角的平分线垂直于底边，且平分底边．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线性质得出AM=BM，推出∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理得出方程x+x+3x+50°=180°，求出即可．解答：解：∵MN是边AB的中垂线，∴AM=BM，∴∠BAM=∠B，设∠B=x，则∠BAM=x，∵∠C=3∠B，∴∠C=3x，在△ABC中，由三角形内角和定理，得x+x+3x+50°=180°，∴x=26°，即∠B=26°．点评：本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，关键是求出关于x的方程，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC ，求证：BF=AC+AF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，推出DN=DF，DB=DC，根据HL证Rt△DBF≌Rt△DCN，推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．解答：证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线定理，角平分线性质等知识点，会添加适当的辅助线，会利用中垂线的性质找出全等的条件是解此题的关键．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线性质求出CE长，代入BE+CE+BC=18求出BC即可．解答：解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是8．点评：本题考查了线段垂直平分线的应用，关键是求出CE长，题目较好，难度不大．16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．考点：线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．解答：证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．点评：本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．考点：一次函数综合题；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．专题：综合题．分析：（1）连接AB，作出线段AB的垂直平分线，与x轴的交点即为所求的点；（2）找到点A关于x轴的对称点，连接对称点与点B与x轴交点即为所求作的点．解答：解：（1）存在满足条件的点C；作出图形，如图所示．（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，﹣2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P．设A′B所在直线的解析式为：y=kx+b，把（2，﹣2）和（7，3）代入得：，解得：，∴y=x﹣4，当y=0时，x=4，所以交点P为（4，0）．点评：本题是一道典型的一次函数综合题，题目中还涉及到了线段的垂直平分线的性质及轴对称的问题．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AC=BC，BD=AD，推出∠CBE=∠CAF，证△BCE≌△ACF，推出BE=AF，即可得出答案．解答：证明：∵线段CD垂直平分AB，∴AC=BC，AD=BD，∴∠CAB=∠CBA，∠BAD=∠ABD，∴∠CAB+∠BAD=∠CBA+∠ABD，即∠CBE=∠CAF，在△BCE和△ACF中∵，∴△BCE≌△ACF（ASA），∴BE=AF，∵BD=AD，∴BE﹣BD=AF﹣AD，即DE=DF．点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：连接AC、AD，根据线段垂直平分线定理求出AC=AD，根据全等三角形的判定SSS证△ABC≌△AED即可．解答：证明：连接AC，AD，∵AF⊥CD，F为CD的中点，∴AC=AD，在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED，∴∠B=∠E．点评：本题考查了对线段的垂直平分线定理和全等三角形的性质和判定的应用，关键是构造三角形ABC和三角形AED，并推出两三角形全等，题目比较典型，难度适中．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）根据全等三角形的判定SSS证出△ABC和△ADC即可；（2）根据线段垂直平分线定理得出点A，C都在线段BD的垂直平分线上即可．解答：证明：（1）在△ABC和△ADC中∴△ABC≌△ADC，∴∠ABC=∠ADC．（2）∵AB=AD，CB=CD，∴点A，C都在线段BD的垂直平分线上，∴AC⊥BD．点评：本题综合运用全等三角形的性质和判定和线段的垂直平分线定理，难度适中，题型较好．通过作题培养了学生分析问题和解决问题的能力．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考点：线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE ，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE ，同理可得出DE=2EF即可得出结论．解答：解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠AOE=∠BOE=30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°，∴DE=2EF，∴OE=4EF．点评：本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．考点：线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：根据线段垂直平分线得出AF=DF，推出∠FAD=∠FDA，根据角平分线得出∠BAD=∠CAD，根据三角形外角性质推出即可．解答：证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B．点评：本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质等知识点的运用，关键是推出∠FAD=∠FDA，培养了学生综合运用性质进行推理的能力．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：利用线段的垂直平分线的性质得到：AD=BD，AF=CF，就可以将△ADF的周长转化为线段BC的长．解答：解：∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线∴AD=BD，AF=CF∴△ADF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+CF=BC=10∴△ADF的周长是10．点评：本题考查了线段的垂直平分线的性质以及转化思想的应用．24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．考点：线段垂直平分线的性质；三角形三边关系．专题：数形结合．分析：PA大于PB，理由是：如图连接PA，与直线l交于C，连接PB，BC，因为直线l为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定理得直线l上的点C到线段两端点的距离相等，即AC=BC，在三角形PBC中，根据三角形的两边之和大于第三边得到PC+BC大于PB，然后利用等量代换把其中的BC换为AC，根据图形可得证．解答：解：PA＞PB．理由如下：（3分）如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．（2分）因为直线l是线段AB的垂直平分线，所以CA=AB；（2分）因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；（2分）所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．（1分）点评：此题考查了线段垂直平分线的定理，以及三角形的三边关系．遇到线段垂直平分线，常常连接垂直平分线上的点与线段的两端点，构造等腰三角形．同时注意运用在三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由已知和BC=BC，根据SSS即可推出两三角形全等；（2）由全等得出∠DBC=∠ACB，推出MB=MC，根据线段垂直平分线定理得出即可．解答：（1）证明：∵在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）证明：∵由（1）知：△ABC≌△DCB，∴∠ACB=∠DBC，∴MB=MC，∴点M在BC的垂直平分线上．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线定理的应用，关键是推出△ABC≌△DCB，题目比较好，难度适中．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线得出BD=AD=16cm，推出∠B=∠BAD=15°，根据三角形的外角性质求出∠ADC=30°，根据含30度角的直角三角形性质得出AC=AD，代入求出即可．解答：解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD=16cm，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=8cm，点评：本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．考点：三角形的五心；线段垂直平分线的性质．专题：作图题．分析：首先根据线段的垂直平分线的性质，推出垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上，作△H1H2H3的外接圆O，根据线段的垂直平分线的性质作出弧H1H2、弧H2H3、弧H1H3的中点即可得到答案．解答：作法：1、作△H1H2H3的外接圆O，2、连接H1H2，作H1H2的垂直平分线EF交圆O于A，同法可作H2H3和H1H3的垂直平分线，分别交圆于B、C，3、连接AB、BC、AC，则△ABC为所求．点评：本题主要考查了三角形的五心，线段的垂直平分线的性质等知识点，解此题的关键是理解△ABC的垂心H 关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上．题型较好，但有一定的难度．21。
八年级数学上册《第二章 线段的垂直平分线》练习题-含答案(湘教版)
八年级数学上册《第二章线段的垂直平分线》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误．．的是( ) A.① B.② C.③ D.④2.如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，适当长度(大于BC长的一半)为半径作圆弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AB＝9，AC＝4，则△ACD的周长是( )A.12B.13C.17D.184.如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于12AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为( )A.8B.10C.11D.135.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AD＝AC，∠A＝80°则∠ACB的度数为( )A.65°B.70°C.75°D.80°6.如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC＝BC，若∠A＝70°，则∠C＝( )A.100°B.110°C.115°D.120°7.如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则( )A.BC＞PC＋APB.BC＜PC＋APC.BC＝PC＋APD.BC≥PC＋AP8.如图，已知在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D 恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为( )A.10°B.20°C.30°D.35°二、填空题9.如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为 .10.如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为 .11.如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC＋BC＝ cm.12.小军做了一个如图所示的风筝，其中EH＝FH，ED＝FD，小军说不用测量就知道DH是EF的垂直平分线.其中蕴含的道理是 .13.如图，在△ABC中，∠C＝35°，AB＝AD，DE是AC的垂直平分线，则∠BAD＝度.14.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2.连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN的周长为.三、作图题15.尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所示).(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；(2)作∠AOB的平分线；(3)过点M作OB的垂线.四、解答题16.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度数.17.在△ABC中，AB＞BC，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D点，交AC于点E. (1)若∠ABE＝38°，求∠EBC的度数；(2)若△ABC的周长为36cm，一边为13cm，求△BCE的周长.18.如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD＝29°，求∠B的度数.19.如图，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，连接AF.求证：∠B＝∠CAF.20.如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.(1)若∠B＝70°，则∠NMA的度数是________.(2)连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.参考答案1.C．2.B.3.B.4.A.5.C.6.D.7.C8.B.9.答案为：14.10.答案为：28cm.11.答案为：7.12.答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线线上.13.答案为：40.14.答案为：6.15.解：(1)点P为所求作；(2)OC为所求作；(3)MD为所求作；16.解：设∠CAD＝x°则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°.∵DE是AB的垂直平分线∴DA＝DB∴∠B＝∠BAD＝2x°.∵∠C＝90°∴∠CAB＋∠B＝90°即3x＋2x＝90，解得x＝18∴∠B＝2×18°＝36°.17.解：∵DE是AB的垂直平分线∴AE＝BE∴∠A＝∠ABE＝38°∵AB＝AC∴∠ABC＝∠C＝71°∴∠EBC＝∠ABC-∠ABE＝71°-38°＝33°由△ABC的周长为36cmAB＞BC，AB＝AC可知AB＝AC＝13cm BC＝10cm△BCE的周长＝BE＋CE＋BC＝AC＋BC＝13＋10＝23(cm) 18.解：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAE∵∠BAD＝29°∴∠DAE＝29°∴∠BAC＝58°∵DE垂直平分AC∴AD＝DC∴∠DAE＝∠DCA＝29°∵∠BAC＋∠DCA＋∠B＝180°∴∠B＝93°.19.证明：∵EF垂直平分AD∴AF＝DF，∠ADF＝∠DAF∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠DAF＝∠CAF＋∠CAD又∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAF.20.解：(1)50°(2)猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°.理由：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∴∠A＝180°﹣2∠B又∵MN垂直平分AB∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣(180°﹣2∠B)＝2∠B﹣90°. 如图：①∵MN垂直平分AB.∴MB＝MA又∵△MBC的周长是14cm∴AC＋BC＝14cm∴BC＝6cm.②当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm.。
经典题_垂直平分线40道
计算题1. 如图.矩形中...点为射线上一个动点.把沿折叠.点的对应点为。
（1）求点刚好落在对角线上时.线段的长。
（2）求点刚好落在线段的垂直平分线上时.的长。
（3）求点刚好落在线段的垂直平分线上时.的长。
2. 如图.中..于点.于点..与交于点. 连接。
（1）求证：。
（2）若.求的长。
3. 如图1.直线.所成的角跑到画板外面去了.你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？（1）①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图。
（简要说明画法过程）②说出该画法依据的定理。
（2）小明在此基础上进行了更深入的探究。
①在图3的画板内.作出“直线、所成的跑到画板外面去的角”的平分线（已知这条线平分线经过点）。
请你帮小明完成上面操作过程。
（所有的线不能画到画板外.只能画在画板内）②若直线、与画板的边直线所成的钝角分别为、，试求①中所画的直线与所成的钝角。
4. 如图.在中..为三角形内一点.且为等边三角形。
（1）求证：直线垂直平分；（2）以为一边.在的右侧画等边.连接.试判断以..三条线段是否能构成直角三角形？请说明理由。
5. 如图1.在中..的平分线交于点.点为上一动点.过点作直线于.分别交直线、、于点、、。
（1）当直线经过点时（如图2）.证明：；（2）当是中点时.写出和之间的等量关系.并加以证明；（3）请直接写出、和之间的等量关系。
6. 如图1.把一张长方形的纸片ABCD沿对角线BD折叠.点C落在E处.BE交AD于点F。
（1）求证：FB＝FD；（2）如图2.连接AE.求证：AE∥BD；（3）如图3.延长BA.DE相交于点G.连接GF并延长交BD于点H.求证：GH垂直平分BD。
7. 如图.中....垂足为点.平分.交于.交于.点为的中点.连接.交于点。
（1）求的度数；（2）证明：。
8. 已知：如图.平分..垂足为.点与点关于点对称.分别与线段. 相交于.。
（1）求证：；（2）若.请你判断与的数量关系.并说明理由。
尺规作图：线段的垂直平分线专项训练(含解析)印刷版
尺规作图：线段的垂直平分线专项训练一．选择题（共8小题）1．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线2．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°3．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°5．如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（）A．PA+PC=BC B．PA=PB C．DE⊥AB D．PA=PC6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q作直线PQ，分别交AC于点D，交AB于点E；连接BD．则下列结论中：①AD=BD，②∠CBD=30°③BC=AB；④S△ABC=4S△BCD正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则下列说法中正确的是（）A．DF平分∠ADC B．AF=3CF C．BE=8 D．DA=DB8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列结论：①BH垂直平分线段AD；②AC平分∠BAD；③S△ABC=BC•AH；④AB=AD正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共4小题）9．如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=．10．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点．（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．11．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为．12．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC=°．三．解答题（共4小题）13．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴=（）．同理可得，PB=．∴=（等量代换）．∴（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且．14．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°（1）作边AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）（2）在已知的图中，若MN交AC于点D，连结BD，求∠DBC的度数．16．尺规作图如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）尺规作图：线段的垂直平分线专项训练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（）A．尺规作线段的垂直平分线B．尺规作一条线段等于已知线段C．尺规作一个角等于已知角D．尺规作角的平分线【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线．故选：A．2．如图，已知线段AB，分别以A、B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB=25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，故可得出AC=BC，再由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=25°，∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．故选B．3．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EF C．GH垂直平分EF D．GH平分AF【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．故选C．4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【分析】利用线段垂直平分线的性质得出DC=BD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得出即可．【解答】解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC=BD，故∠DCB=∠DBC=25°，则∠CDA=25°+25°=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠CDA=50°，∴∠ACB=180°﹣50°﹣25°=105°．故选：D．5．如图，已知△ABC中，AC＜BC，分别以点A、点B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点D、点E；作直线DE交BC边于点P，连接AP．根据以上作图过程得出下列结论，其中不一定正确的是（）A．PA+PC=BC B．PA=PB C．DE⊥AB D．PA=PC【分析】根据作图过程可得DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义和性质可得AP=BP，DE ⊥AB，利用等量代换可证得PA+PC=BC．但是AP和PC不一定相等．【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵DE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，DE⊥AB，∴AP+CP=BP+CP=BC，故A、B、C选项结论正确；∵P在AB的垂直平分线上，∴AP和PC不一定相等，故D选项结论不一定正确，故选：D．6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．按下列步骤作图：分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q作直线PQ，分别交AC于点D，交AB于点E；连接BD．则下列结论中：①AD=BD，②∠CBD=30°③BC=AB；④S△ABC=4S△BCD正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据作已知线段的垂直平分线可对①进行判断；利用∠DBA=∠CBD=30°可对②进行判断；利用含30度的直角三角形三边的关系可对③进行判断；通过证明△DCB≌△DEB≌△DEA，可对④进行判断．【解答】解：①用作法可得PQ垂直平分AB，则AD=BD，故此选项正确；②因为DA=DB，则∠A=∠DBA=30°，则∠CBD=30°，故此选项正确；③∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB，故此选项正确；④由以上可得：在△DCB和△DEB中，∴△DCB≌△DEB（AAS），在△ADE和△BDE中，，∴△ADE≌△BDE（SAS），故△DCB≌△DEB≌△DEA，∴S△ABC=3S△BCD，故此选项错误．故选：C．7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：①分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；②连接MN分别交AB、AC于点E、F；③连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则下列说法中正确的是（）A．DF平分∠ADC B．AF=3CF C．BE=8 D．DA=DB【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴=，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴=，∴BE=8，故选：C．8．如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列结论：①BH垂直平分线段AD；②AC平分∠BAD；③S△ABC=BC•AH；④AB=AD正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【解答】解：①、正确．如图连接CD、BD，∵CA=CD，BA=BD，∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，∴直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确．②、错误．CA不一定平分∠BAD．③、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．④、错误．根据条件AB不一定等于AD．故选：A．二．填空题（共4小题）9．如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接FA，FB．若FA=5，则FB=5．【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．【解答】解：由题意直线CD是线段AB的垂直平分线，∵点F在直线CD上，∴FA=FB，∵FA=5，∴FB=5．故答案为5．10．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点．（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．【分析】直接利用作图方法得出C点到A，B点距离相等，D点到A，B点距离相等，即可得出直线CD 垂直平分AB．【解答】解：小芸的作图依据是：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．故答案为：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．11．如图，在△ABC中，AB＞AC，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D；连结CD．若AB=8，AC=3，则△ACD的周长为11．【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=8，进而可得△ACD的周长．【解答】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，∵MN是BC的垂直平分线，∴CD=DB，∵AB=8，∴CD+AD=8，∴△ACD的周长为：3+8=11，故答案为：11．12．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC=8°．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接OA，∵∠BAC=82°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB=OA，OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°，∴∠OBC=8°，故答案为：8．三．解答题（共4小题）13．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F．求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴PB=PA（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．同理可得，PB=PC．∴PA=PC（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上，（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得出PB=PA，同理可得出PA=PC，由此即可得出PA=PC，再根据线段垂直平分线的性质可得出点P是AC边垂直平线上的一点，从而证出结论．【解答】证明：∵点P是AB边垂直平线上的一点，∴PB=PA （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．同理可得，PB=PC．∴PA=PC（等量代换）．∴点P是AC边垂直平线上的一点（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC．故答案为：PB；PA；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；PC；PA；PC；点P在AC的垂直平分线上，垂直平分线上；PA=PB=PC．14．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．【分析】连接AB．根据“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”知，点P应是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．【解答】解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．15．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°（1）作边AB的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法）（2）在已知的图中，若MN交AC于点D，连结BD，求∠DBC的度数．【分析】（1）分别以A、B点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN，即MN为线段AB的垂直平分线；（2）由AB的垂直平分线MN交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，又由∠A=40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ABD的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得∠DBC 的度数．【解答】解：（1）如图：（2）解：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，∵∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=70°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．16．尺规作图如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．【解答】解：如图所示：P点即为所求．。
《线段的垂直平分线》习题
《线段的垂直平分线》练习一、选择题(1)如图，已知：BD BC AD AC ==,，那么( )(A )CD 垂直平分AB (B )AB 垂直平分CD(C )CD 与AB 互相垂直平分 (D )以上说法都正确(2)如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是( )(A )直角三角形 (B )锐角三角形(C )钝角三角形 (D )以上都有可能二、填空题(1)和线段两个端点距离相等的点的集合是________.(2)在ABC ∆中，AC AB =，AD 为角平分线，则有AD ______BC (填⊥或//)，=BD _____.如果E 为AD 上的一点，那么=EB _______.如果︒=∠120BAC ，8=BC ，那么点D 到A D 的距离是______.(3)已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，DE 垂直平分AB ，且交CA 的延长线于D ，则DBC ∠的度数为_______.(4)在等腰三角形ABC 中，8cm AB AC ==，腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，若BCD ∆的周长为10cm ，则底边BC 的长为______.(5)如图，在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，BC 的垂直平分线交AB 于D ，垂足为E . ①若︒=∠60A ，则=∠DCB ______，=∠ADC ________.②若︒=∠30B ，5=BD ，则ACD ∆的周长为______.(6)如图，在ABC ∆中，BC AC >，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，8=AC ，BCE∆的周长为12，则=BC _____.(7)如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠65ABC ，DE 是AB 的垂直平分线，则=∠CBE _______.5. 6. 7.(8)如图，在ABC ∆中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，ABD ∆的周长为12cm ，5cm AC =，则ABC ∆的周长为_______cm .(9)如图，已知在直角三角形ABC 中，︒=∠90C ，︒=∠15B ，DE 垂直平分AB ，交BC 于E ，5=BE ，则=AC ______.(10)在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，交AC 于E ，若5cm DE =，则BC 的长度为______cm .8. 9.。
线段的垂直平分线练习(培优)
线段的垂直平分线练习（培优）一、选择题1.到三角形三个顶点距离相等的是( )A.三条中线交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条中垂线的交点2.线段AB外有两点C，D(在AB同侧)使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°, ∠CAD=10°,则∠ACB=( )A.90°B.100°C.110°D.120°3.BD为CE的中垂线，A在CB延长线上，∠C=34°,则∠ABE=( )A.17°B.34°C.68°D.136°4.O为△ABC三边中垂线的交点，则O称为△ABC的( )A.外心B.内心C.垂心D.重心5. 如图,△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=30°AC的中垂线交AC于E.交AB于D，则图中60°的角共有( )A．6个 B.5个 C.4个D3个三、填空1.△ABC中，AB=AC，P为形内一点，PB=PC，则P在的中垂线上，P还在∠的平分线上.2.△ABC中，AB=AC=14，腰AB的中垂线交AC于D，△BCD周长为4cm,则BC= .3.正△ABC内一点O到三边距离相等，且OA=OB=OC.则∠BOC= .4.△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC=BC，则∠A= .5.若PA=PB，DA=DB，则PD是AB的.四、解答1.△ABC中，∠C=90°,AB的中垂线交AB于D，AC于E.且∠EBC=40°,求∠A及∠BED的度数.2．如下图，在△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB ＝20cm，求△ABC两锐角及AD、DE、EB各为多少？CH M D B A 3．如图，AD 、BE 分别是等边△ABC 中BC 、AC 上的高，M 、N 分别在AD 、BE 的延长线上，∠CBM ＝∠ACN ．求证：AM ＝BN ．NM E D CBA4．已知，△ABC 中，∠ABC 为锐角，且∠ABC ＝2∠ACB ，AD 为BC 边上的高，延长AB 到E ，使BE ＝BD ，连结ED 并延长交AC 于F ．求证：AF ＝CF ＝DF ．5.如图，AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=︒75，∠DMC=︒45，AM=MD ．求证：AB=BC ．F ED C B参考答案【同步达纲练习】一、×××√×√二、D B C A B三、1.BC,BAC 2.10 3. .120° 4.30° 5.中垂线四、1. ∠C=180°, ∠EBC=40°∴∠BEC=50°又AE=BE∴∠A=25°∠DEB=65°。
线段垂直平分线习题
线段垂直平分线习题1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.2变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？3变式2：如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。
AB C DE 图2AE D C B 图3 B C A ED图1如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E.若BE=2，∠B =22.5°求：AC 的长.例2: 如图5，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.[变式练习2]:如图6，在△ABC 中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.(3) 判断△AEN 的形状.A E D CB 图4 A BCDE M N 图5A B C D E M N图6[变式练习3]:如图7，在△ABC 中， BC=12,∠BAC =100°,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.(1) 求△AEN 的周长.(2) 求∠EAN 的度数.[变式练习4]如图8，△ABC 中, ∠BAC =70°, BC=12,AB 的垂直平分线交BC 边于点E, AC 的垂直平分线交BC 边于点N.求:∠EAN 的度数.A C 图7图8答案1解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23.点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°.点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1.点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。
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《线段垂直平分线》中一道习题的变式
例1：如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线
交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长.
点评：此题是△ABC 中一边AB 的垂直平分线AC 相交;那么当AB 的垂直平分线与BC 相交时，(如图2),对应的是△ACE 的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.
变式1：如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=
.
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
变式2：
如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。
若BE=2，∠B =15°求：AC 的长。
点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。
图1 图2 图3
[变式练习1]
如图4，在Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，∠B =°求：AC的长.
图4
例2: 如图5，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求∠EAN的度数.
(2) 求△AEN的周长.
(3) 判断△AEN的形状.
图5
[变式练习2]:如图6，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.
图6
[变式练习3]:如图7，在△ABC中， BC=12,∠BAC =100°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
图7
.
点评：例2和它的两道变式练习题中发现：三个图形由特殊到一般，从顶角是120°的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形，△AEN的形状也不断的变化，∠EAN的度数也变化，但△AEN的周长不变，因此得出结论：1）△AEN的周长=BC 长.2）△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与△ABC的形状有关.3）∠EAN的度数与∠BAC的度数有关.因为∠EAN=180°-2∠B-2∠C=180°-2（∠B+∠C）=180°-2（180°-∠BAC）=2∠BAC -180°.从等式中也得出∠BAC必须大于90°.
[变式练习4]
如图8，△ABC中, ∠BAC =70°, BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
求:∠EAN的度数.
点评:由上题的方法得出∠AEC+∠
BNA =2∠B+2∠C,由平角性质可得: ∠
AEB+∠CNA=360°-(2∠B+2∠C),由三角形
内角和定理得∠EAN=180°-2∠BAC
图8
总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件变化，都和基本图形及由基本图形得出的结论有关.因此同学们在以后的学习或解题中，善于在复杂图形中找出基本图形，这样就会将图形简单化.应用由基本图形得出的相关结论，就会找出解题思路.。