线段垂直平分线经典练习题

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《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

例1．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .

求证：D 在AB 的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.

证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），

∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）

又∵BD 平分ABC ∠（已知）

∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302

1. ∴AD BD =（等角对等边）

∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

求证：BF CF 2=。

分析：由于︒=∠120BAC ，AC AB =，可得︒=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证︒=∠90FAC 就可以了.

证明：连结AF ，

∵EF 垂直平分AB （已知）

∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知），

∴C B ∠=∠（等边对等角）

又∵︒=∠120BAC （已知），

∴︒=∠=∠30C B （三角形内角和定理）

∴︒=∠30BAF

∴︒=∠90FAC

∴FA FC 2=（直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半）

∴FB FC 2=

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

令狐采学

例1．如图，已知：在中，，，BD平分交AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明即可.

证明：∵，（已知），

∴（的两个锐角互余）

又∵BD平分（已知）

∴.

∴（等角对等边）

∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2．如图，已知：在中，，，AB 的垂直平分线交AB于E，交BC于F。

求证：。

分析：由于，，可得，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得. 要证，只需证，即证就可以了.

证明：连结AF，

∵EF垂直平分AB（已知）

∴（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

∴（等边对等角）

∵（已知），

∴（等边对等角）

又∵（已知），

∴（三角形内角和定理）

∴

∴（直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）

∴

说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.

例3．如图，已知：AD平分，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF。

求证：。

分析：与不在同一个三角形中，又，所在的两个三角形不全等，所以欲证，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF垂直平分AD，可得，因此，又因为，

，而，所以可证明.

证明：∵EF垂直平分AD（已知），

∴（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.

∴（等边对等角）

∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），

，

又（角平分线定义），

初二垂直平分线练习题

首先，让我们来回顾一下垂直平分线的概念。垂直平分线是指将一条线段垂直地平分成两个相等的部分的线。在几何学中，垂直平分线是十分重要的概念之一，常常用于解决各种几何问题。

下面，我们将通过一些练习题来巩固对初二垂直平分线的理解和应用。

练习题一：

已知线段AB的中点为M，令点C在线段AB上。若MC垂直平分线段AB，并且MC的长度为5cm，求线段AB的长度。

解答一：

根据题意可知，MC是AB的垂直平分线，也就是说MC与AB垂

直且等长。所以，线段AB的长度为10cm。

练习题二：

在△ABC中，点D是边BC的中点，且AD垂直平分BC。已知AB = 12cm，AC = 9cm，求BD的长度。

解答二：

由于AD垂直平分BC，所以AD与BC垂直且等长。由于D是BC 的中点，所以BD = CD = BC/2。根据题意，AB = 12cm，AC = 9cm，那么BC = AB - AC = 12cm - 9cm = 3cm。因此，BD = CD = BC/2 =

3cm/2 = 1.5cm。

练习题三：

在△ABC中，点D是边AC的中点，且BD垂直平分AC。已知AB = 5cm，BD = 3cm，求AC的长度。

解答三：

根据题意可知，BD垂直平分AC，所以BD与AC垂直且等长。又由于D是AC的中点，所以AD = DC = AC/2。根据题意，BD = 3cm，那么DC = 3cm。设AC = x，根据勾股定理可得：

AD² + DC² = AC²

(AC/2)² + 3² = x²

(x/2)² + 3² = x²

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线

一、选择题（共8小题）

1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2

1AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20

第1题第2题第3题

2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（）

A 、6

B 、4

C 、6

D 、4

3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（）

A 、6

B 、5

C 、4

D 、3

4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（）

A 、80°

B 、70°

C 、60°

D 、50°

第4题第 5题第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：

（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；

（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A 、两人都正确

B 、两人都错误

C 、甲正确，乙错误

D 、甲错误，乙正确

6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（）

垂直平分线专项练习30题(有答案)ok

垂直平分线专项练习30题（有答案）

1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．

2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．

3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．

6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．

求证：∠BAF=∠ACF．

7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．

（1）求证：PA=PB=PC；

（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．

10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：

线段垂直平分线习题

线段垂直平分线专题试题

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．

4．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

5．如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．

（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．

（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．

6．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于D，E．若∠CAE=∠B+30°，求∠AEB的度数．

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

例1.如图，已知：在ABC中，C 90 , A 30 , BD平分ABC

交AC于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD DA即可.

证明：T C 90 , A 30 （已知），

二ABC 60 （Rt的两个锐角互余）

又T BD平分ABC （已知）

二DBA 丄ABC 30 A.

• •• BD AD （等角对等边）

••• D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2.如图，已知：在ABC中，AB AC , BAC 120 , AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F。

求证：CF 2BF。

分析：由于BAC 120 , AB AC，可得 B C 30，又因为

EF垂直平分AB连结AF,可得AF BF .要证CF 2BF，只需证

CF 2AF ，即证FAC 90 就可以了.

证明：连结AF，

T EF垂直平分AB（已知）

FA FB （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相

等）

二FAB B （等边对等角）

T AB AC （已知），

••• B C （等边对等角）

又J BAC 120 （已知），

二B C 30 （三角形内角和定理）

二BAF 30

二FAC 90

• •• FC 2FA （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）/. FC 2FB

线段的垂直平分线练习及答案

一、选择题（共8小题）

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）

A．6B．5C．4D．3

第1题图第2题图第5题图

2．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）

A．A B垂直平分CD B．C D垂直平分AB

C．A B与C D互相垂直平分D．C D平分∠ACB

3．下列说法中错误的是（）

A．过“到线段两端点距离相等的点”的直线是线段的垂直平分线

B．线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等

C．线段有且只有一条垂直平分线

D．线段的垂直平分线是一条直线

4．到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）

A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点D．三边中线的交点

5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）

A．100°B．105°C．115°D．120°

6．如图，△ABC中，AD是BC的中垂线，若BC=8，AD=6，则图中阴影部分的面积是（）

A．48 B．24 C．12 D．6

7．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC

于F，交AB于D，连接BF．若BC=6cm，BD=5cm，则△BCF的周长为（）A．16cm B．15cm C．20cm D．无法计算

8．如图△ABC中，∠B=40°,AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C=( )

A．28°B．25°C．22.5°D．20°

《垂直平分线》练习题(含答案)

1题A B E C 2题D A B C 3题D A

B E

C 4题A B C O 5题

D A B

E C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C

6题

D A B

E C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题

'9题《垂直平分线》练习题

1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。

2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为，底边长为。

3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。

4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为。

5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为。

6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为。

7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为。

线段垂直平分线的练习题

一、填空题

1、如图，MN 是线段AB 的垂直平分线，P 为MN 上一点，则PA,PB 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿＿。

2、如图，∠C=90°，DE 垂直平分AB ，∠1：∠2=2:3，则∠CAB=＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、如图，点O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，点O 到顶点A 的距离为5㎝，则AO+BO+CO=＿＿＿＿＿＿＿＿㎝。

4、如图，在△ABC 中，∠C=90°，DE 是斜边AB 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于D 、E 两点，∠BEC=60°，EC=1，则AE=＿＿＿＿＿＿。

5、如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是＿＿＿＿＿＿。

(1)

N M (3)O

(4)

E B

A (5)

D B

C A

二、选择题

1、给出下列命题：①如果等腰三角形内有一点到底边的两个端点的距离相等，那么这个点与顶点的连线必垂直平分底边；②等腰三角形底边的高上任意一点到底边两端点的距离相等；③M 点在线段AB 外，MB=MA ，则过M 点所作直线l 是AB 的垂直平分线；④三角形三边的垂直平分线必相交于一点。其中正确的命题有（）个

A 、1

B 、2

C 、3

D 、 4

2、等腰三角形的顶角为100°，两腰的垂直平分线交于点P ，则（） A 、点P 在三角形内； B 、点P 在三角形底边上；

C 、点P 在三角形外

D 、点P 的位置与三角形的边长有关 3、如图，△ABC 中，MD 垂直平分AB 于M ，交BC 于D ，N

线段垂直平分线经典练习题

本文介绍了关于线段垂直平分线的题和变式。在第一道题变式中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交

AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。根据图形变化，结论不变，可以得出△XXX的周长也等于AC+BC。在第二个变式中，Rt△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E。若BE=2，∠B =15°求：AC的长。应用直角三角形的有关性质，可以解决该问题。在第三个变式练中，需要求解△XXX

的周长、∠EAN的度数和△XXX的形状。

在△ABC中，已知∠BAC =70°，BC=12，AB的垂直平

分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N。要求解出∠XXX的度数。

根据前面的例题和变式练，我们可以得出一些结论：

1.△XXX的周长等于BC的长度。

2.△AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形

到一般三角形，与△XXX的形状有关。

3.∠XXX的度数与∠BAC的度数有关，其中

∠EAN=180°-2∠BAC。

根据已知条件，我们可以先求出∠B和∠C的度数：B+∠C=180°-∠BAC=110°

再根据垂直平分线的性质，得出：

XXX∠B，∠XXX∠C

因此，∠XXX∠CNE=180°-∠B-∠C=70°。

根据三角形内角和定理，得出∠EAN=180°-∠AEB-∠XXX°。

因此，答案为∠EAN的度数为40°。

线段的垂直平分线练习题

(第2题）E D C B

A 线段的垂直平分线

一、基础知识：

1、线段垂直平分线的性质

因为，所以AB ＝AC.

理由：

2、线段垂直平分线的判定

因为，所以点A 在线段BC 的中垂线上.

理由：

1、如图，△ABC 中，AD 垂直平分边BC ，AB ＝5，那么AC ＝_________.

（第1题）（第3题）（第4题）

2、如图，在△ABC 中，AB 的中垂线交BC 于点E ，若BE=2则A 、E 两点的距离是（）.

A.4

B.2

C.3

D.12

3、如图，AB 垂直平分CD ，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（）cm.

A.3.9

B.7.8

C.4

D.4.6

4、如图，NM 是线段AB 的中垂线,下列说法正确的有： .

①AB ⊥MN,②AD=DB ， ③MN ⊥AB ， ④MD=DN ，⑤AB 是MN 的垂直平分线.

5、下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA =EB ，P A =PB ；②若P A =PB ，EA =EB ，则直线PE 垂直平分线段AB ；③若P A =PB ，则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点；④若EA =EB ，则过点E 的直线垂直平分线段AB ．其中正确的个数有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

例1、已知：如图，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB 、BC 于D 、E ，AE 平分∠BAC ，若∠B=300，求∠C 的度数。

例2、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E

《线段的垂直平分线》习题

1、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3，则CE长为_______．

2、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____．

3、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CB D的度数为_________．

4、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．

5、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=________．

6、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=______．

7、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是________．

8、如图，AC=AD，BC=BD，则有( )

A、AB垂直平分CD

B、CD垂直平分AB

C、AB与CD互相垂直平分

D、CD平分∠ACB

9、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE 交BC的延长线于点F．

求证：(1)FC=AD；(2)AB=BC+AD．

线段地垂直平分线经典习题及答

线段的垂直平分线

一、选择题（共8小题）

1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的

21错误!未找到引用源。AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，

交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（）

A 、7

B 、 14

C 、17

D 、20

第1题第2题第3题

2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（）

A 、6错误!未找到引用源。

B 、4错误!未找到引用源。

C 、6

D 、4

3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3

4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（）

A 、80°

B 、70°

C 、60°

D 、50°

第4题第 5题第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；

（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A 、两人都正确

B 、两人都错误

线段的垂直平分线典型例题

典型例题

例1.如图，已知：在ABC中， C 90 , A 30 , BD平分ABC交

AC 于D.

求证：D在AB的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD DA即可.

证明：：C 90， A 30 （已知），

••• ABC 60 （Rt的两个锐角互余）

又••• BD平分ABC （已知）

1 DBA

ABC 30

••• BD AD （等角对等边）

••• D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2.如图，已知：在ABC中，AB AC，BAC 120，AB的垂直平分线交AB 于E,交BC于F。

求证：CF 2BF。

分析：由于BAC 120，AB AC，可得 B C 30，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得AF BF .要证CF 2BF，只需证CF 2AF，即证FAC 90就可以了.

证明：连结AF,

••• EF垂直平分AB （已知）

二FA FB （线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

••• FAB B （等边对等角）

V AB AC （已知），

••• B C（等边对等角）

又V BAC120 （已知），

二B C30 （三角形内角和定

理）

••• BAF 30

••• FAC 90

••• FC 2FA （直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）

••• FC 2FB

线段的垂直平分线典型例题

典型例题

例1．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .

求证：D 在AB 的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.

证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），

∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）

又∵BD 平分ABC ∠（已知）

∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302

∴AD BD =（等角对等边）

∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

求证：BF CF 2=。

分析：由于︒=∠120BAC ，AC AB =，可得︒=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，

即证︒

FAC就可以了.

∠90

证明：连结AF，

∵EF垂直平分AB（已知）

∴FB

FA=（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）∴B

∠（等边对等角）

FAB∠

∵AC

AB=（已知），

∴C

∠（等边对等角）

B∠

又∵︒

BAC（已知），

∠120

∴︒

∠30

B（三角形内角和定理）

∠

∴︒

∠30

BAF

∴︒

FAC

∠90

∴FA

=（直角三角形中，︒

30角所对的直角边等于斜边的一半）FC2

∴FB

FC2

说明：线段的垂直平分线的定理及逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理及逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.