2011届高考数学第一轮课时精练测试题5

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2011届高考数学第一轮课时精练测试题13

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．若一个四棱柱的四个侧面都是正方形，则这个四棱柱是( )A ．正方体B ．正四棱柱C ．长方体D ．直平行六面体【答案】 D2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥【解析】各侧面为正三角形，若为六棱锥则不能构成空间图形．【答案】 D3．如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有( )A ．1<d 1<d 2B ．d 1<d 2<1C ．d 1<1<d 2D ．d 2<d 1<1 【解析】点C 到平面P AB 的距离d 1＝22，点B 到平面P AC 的距离d 2＝33， ∵33<22<1，∴d 2<d 1<1. 【答案】 D4．正四棱锥的侧棱与底面成45°的角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( )A.32B.22C.1515D.63【解析】过P 作PO ⊥面ABCD 于O ，∵是正四棱锥，∴O 在AC 上且AO ＝CO ，∴∠P AO 为侧棱与底面所成的角为45°，过O 作OE ∥BC 交AB 于E ，连结PE ，∵AO ＝CO ，∴AE ＝BE ，又∵AP ＝BP ，∴PE ⊥AB ，OE ⊥AB ，∴∠PEO 为侧面APB 与底面ABCD 所成的二面角的平面角．在Rt △AOP 中，PO ＝AO ＝22BC ， EO ＝12BC ， ∴PE ＝32BC ， ∴sin ∠PEO ＝PO PE ＝63. 【答案】 D5．(2010年江西师大附中)如图所示，把边长为a 的正方形剪去图中的阴影部分，沿图中所画的折成一个正三棱锥，则这个正三棱锥的高是( )A.133＋23a B.133－3a C.132＋3a D.133＋33a 【解析】由题意得cos 15°＝a2b ，b ＝a 2cos 15°，所折成的正三棱锥的侧棱长是a 、底面边长是b ，因此这个三棱锥的高是a 2－⎝⎛⎭⎫b 32＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 23cos 15°2＝133＋33a .故选D.【答案】 D6．下列命题中，真命题的个数是( )①两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥②两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥③侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥④侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥A ．3B ．2C ．1D ．0【解析】对照定义，构造反例．如图所示，S —ABC 是正三棱锥，两相邻侧棱所成之角相等，两相邻侧面所成之角相等．在SB ，SC 上分别取异于B ，C 的点B 1，C 1，连接AB 1，AC 1，则三棱锥S—AB 1C 1均满足命题①②的条件，但显然不是正三棱锥，所以命题①②为假命题．命题③中，侧棱与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的外心，但外心不一定是中心，因为底面不一定是正多边形，因此命题③也是假命题．在命题④中，侧面与底面所成之角相等，顶点在底面的射影是底面多边形的内心，而内心不一定是中心，所以命题④也是假命题．【答案】 D二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2008年四川高考题)已知正四棱柱的一条对角线长为6，且与底面所成的角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积是________．【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 2＋h 2＝6，cos θ＝2a 6＝33⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，h ＝2⇒V ＝a 2h ＝2.【答案】 28．(2008年天津高考题)一个正方体的各定点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为________．【解析】由4π3R 3＝43π得R ＝3，所以a ＝2，表面积为6a 2＝24. 【答案】 249．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1上，如取A 、B 、C 、D 四个顶点，可得①矩形；取D 、A 、C 、D 1四个顶点，可得③中所述几何体；取A 、C 、D 1、B 1四个顶点可得④中所述几何体；取D 、D 1、A 、B 四个顶点可得⑤中所述几何体．【答案】 ①③④⑤三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．(2008年湖北高考)如图，在直角三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1.(1)求证：AB ⊥BC ；(2)若AA 1＝AC ＝a ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，二面角A 1—BC —A 的大小为φ，求证：θ＋φ＝π2.【证明】 (1)如图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，则由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且平面A 1BC ∩侧面A 1ABB 1＝A 1B ，得AD ⊥平面A 1BC .又BC ⊂平面A 1BC ，所以AD ⊥BC .因为三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，则AA 1⊥底面ABC ，所以AA 1⊥BC ，又AA 1∩AD ＝A ，从而BC ⊥侧面A 1ABB 1，又AB ⊂侧面A 1ABB 1故AB ⊥BC .(2)连结CD ，则由(1)知∠ACD 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，∠ABA 1就是二面角A 1—BC —A 的平面角，即∠ACD ＝θ，∠ABA 1＝φ，于是在Rt △ADC 中，sin θ＝AD AC ＝AD a，在Rt △ADA 1中，sin ∠AA 1D ＝AD AA 1＝AD a， ∴sin θ＝sin ∠AA 1D ，由于θ与∠AA 1D 都是锐角，所以θ＝∠AA 1D ，又由Rt △A 1AB 知，∠AA 1D ＋φ＝π2，故θ＋φ＝π2. 11．如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别为AB 、SC 的中点．(1)证明EF ∥平面SAD ；(2)设SD ＝2DC ，求二面角A —EF —D 的大小．【解析】 (1)证明：如图所示，作FG ∥DC 交SD 于点G ，连结AG ，则G 为SD 的中点，FG 綊12CD ，又CD 綊AB ，所以FG 綊AE .故四边形AEFG 为平行四边形，所以EF ∥AG .又AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .(2)不妨设DC ＝2，则SD ＝4，DG ＝2，△ADG 为等腰直角三角形，取AG 中点H ，连结DH ，则DH ＝2，DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ，所以AB ⊥DH .而AB ∩AG ＝A ，所以DH ⊥平面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ＝1，HM ⊥EF .连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角．12．如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，AD ＝2，DC ＝SD ＝2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°.(1)证明：M 是侧棱SC 的中点；(2)求二面角S —AM —B 的大小．【解析】方法一：(1)证明：作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD .连结AE ，则四边形ABME 为直角梯形．作MF ⊥AB ，垂足为F ，则AFME 为矩形．设ME ＝x ，则SE ＝x ，AE ＝ED 2＋AD 2＝(2－x )2＋2， MF ＝AE ＝(2－x )2＋2，FB ＝2－x .由MF ＝FB ·tan 60°，得(2－x )2＋2＝3(2－x )，解得x ＝1.即ME ＝1，从而ME ＝12DC ，所以M 为侧棱SC 的中点．(2)MB ＝BC 2＋MC 2＝2，又∠ABM ＝60°，AB ＝2，所以△ABM 为等边三角形．又由(1)知M 为SC 的中点，SM ＝2，SA ＝6，AM ＝2，故SA 2＝SM 2＋AM 2，∠SMA ＝90°.取AM 的中点G ，连结BG .取SA 的中点H ，连结GH ，则BG ⊥AM ，GH ⊥AM ，由此知∠BGH 为二面角S —AM —B 的平面角．连接BH .在△BGH 中，BG ＝32AM ＝3，GH ＝12SM ＝22，BH ＝AB 2＋AH 2＝222，所以cos ∠BGH ＝BG 2＋GH 2－BH 22·BG ·GH ＝－63. 故二面角S —AM —B 的大小为arccos(－63)．方法二：以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DS 为x 、y 、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz .设A (2，0,0)，则B (2，2,0)，C (0,2,0)，S (0,0,2)．(1)证明：设SM →＝λMC →(λ＞0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2λ1＋λ，21＋λ，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，21＋λ，－21＋λ. 又AB →＝(0,2,0)，〈MB →，AB →〉＝60°，故MB →·AB →＝|MB →|·|AB →|cos 60°，即41＋λ＝(2)2＋(21＋λ)2＋(－21＋λ)2 解得λ＝1，即SM →＝MC →.所以M 为侧棱SC 的中点．(2)由M (0,1,1)，A (2，0,0)，得AM 的中点G (22，12，12)．又GB →＝(22，32，－12)，MS →＝(0，－1,1)， AM →＝(－2，1,1)．GB →·AM →＝0，MS →·AM →＝0，所以GB →⊥AM →，MS →⊥AM →.因此〈GB →，MS →〉等于二面角S —AM —B 的平面角．cos 〈GB →，MS →〉＝GB →·MS →|GB →|·|MS →|＝－63. 所以二面角S —AM —B 的大小为arccos(－63)．。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题6

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交，当α∥β时，a与b一定无公共点，∴q⇒p，但p⇒/ q.【答案】 B2．已知△ABC的两个顶点A，B∈平面α，下面四个点：①△ABC的内心②△ABC的外心③△ABC的垂心④△ABC的重心其中因其在α内而可判定C在α内的是()A．②③B．②④C．①③D．①④【解析】①△ABC内心O1在α内，由内心定义CO1与AB交点D(与A、B不重合)．∵AB⊂α，∴D∈α，∴CO1⊂α；∴C∈α；②△ABC的外心O2可以在直线AB上(如Rt△ABC中，角C为直角时)，故由AB⊂α，O2∈α，不能确定C在α内；③△ABC的垂心O3，可以是线段AB的一个端点，如Rt△ABC，∠A为直角，垂心O3为A点，不能得出C∈α；④△ABC的重心O4，设AB中点为E，则由O4E⊂α，C∈O4E，∴C∈α.∴①④符合题意．【答案】 D3．(2008年辽宁)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【解析】先说明“对于空间内任意三条两两异面的直线a、b、c，与直线a、b、c都相交的直线有无数条”这个结论的正确性．无论两两异面的三条直线a、b、c的相对位置如何，总可以构造一个平行六面体ABCD—A1B1C1D1，使直线AB、B1C1、DD1分别作为直线a、b、c，在棱DD1的延长线上任取一点M，由点M与直线a确定一个平面α，平面α与直线B1C1交于点P，与直线A1D1交于点Q，则PQ在平面α内，直线PM不与a平行，设直线PM与a交于点N.这样的直线MN就同时与直线a、b、c相交．由于点M的取法有无穷多种，因此在空间同时与直线a、b、c相交的直线有无数条．依题意，不难得知题中的直线A1D1、EF、CD是两两异面的三条直线，由以上结论可知，在空间与直线A1D1、EF、CD都相交的直线有无数条，选D.【答案】 D4．如图是正方体或四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )【解析】在A 图中分别连接PS 、QR ，易证PS ∥QR ，∴P 、S 、R 、Q 共面；在C 图中分别连接PQ 、RS ，易证PQ ∥RS ，∴P 、Q 、R 、S 共面．如图，在B 图中过P 、Q 、R 、S 可作一正六边形，故四点共面，D 图中PS 与RQ 为异面直线，∴四点不共面，故选D.【答案】 D5．正四面体P ABC 中，M 为棱AB 的中点，则P A 与CM 所成角的余弦值为( ) A.32 B.34C.36D.33【解析】如图，取PB 中点N ，连接CM 、CN 、MN .∠CMN 为P A 与CM 所成的角(或所成角的补角)，设P A =2，则CM =3)，MN =1， CN =3)，∴cos ∠CMN =36.故选C. 【答案】 C6．以下四个命题中，正确命题的个数是( )①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面；③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①中若有三点共线，则四点共面，所以①正确；②中，当A 、B 、C 三点不共线时，正确；当A 、B 、C 三点共线时，A 、B 、C 、D 、E 不一定共面；③中，b 、c 可能共面，也可能异面；④中以空间四边形为例知其错误．综上，只有①正确．【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】如题干图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，∴GH 与MN 异面．所以图②、④中GH 与MN 异面．【答案】 ②、④8．(2010年云南模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．【解析】在平面ABC 内，过A 作DB 的平行线AE ，过B 作BH ⊥AE于H ，连接B 1H ，则在Rt △AHB 1中，∠B 1AH 为AB 1与BD 所成角，设AB ＝1，则A 1A ＝2，∴B 1A ＝3，AH ＝BD ＝32， ∴cos ∠B 1AH ＝AH AB 1＝12， ∴∠B 1AH ＝60°.【答案】 60°9．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________．【解析】如图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.【答案】 (0，3)三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：E 、C 、D 1、F 四点共面．【证明】分别连结EF 、A 1B 、D 1C ， ∵E 、F 分别是AB 和A 1A 中点，∴EF ∥A 1B 且EF=12A 1B . 又∵A 1D 1綊B1C1綊BC ， ∴四边形A 1D 1CB 是平行四边形．∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1.由推论3，EF与CD1确定一个平面．∴E、F、C、D1四点共面．11．已知空间四边形ABCD的对角线AC、BD，点E、F、G、H、M、N分别是AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点．求证：三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．【证明】如图所示，连结EF、FG、GH、HE.∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．设EG∩FH＝O，则O平分EG、FH.同理，四边形MFNH是平行四边形，设MN∩FH＝O′，则O′平分MN、FH.∵点O、O′都平分线段FH，∴点O与点O′重合，∴MN过EG和FH的交点，即三线段EG、FH、MN交于一点且被该点平分．12．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解析】(1)不是异面直线．理由：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面，假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．。

2011届高考数学第一轮复习全套系列专项测试题(含详解)：32

·高三数学·单元测试卷(十一)第十一单元排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．1024更多成套系列资源请您访问：（请按ctrl 键单击网址）成套资源仅2元，以最低成本为您服务，谢谢您的大力支持，欢迎您的宝贵意见！5．如果(n x +的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．5710C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有A．24种B．36种C．60种D．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为A．8 B．9 C．10 D．11 17．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有A．36种B．42种C．50种D．72种18．若1021022 012100210139 ),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：34510121012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯- 13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0． 14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种 18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。

广东2011高考数学一轮复习课时训练第七章5(理科)

________( 用区间表示 ) ．
1
答案：
，1 3
4．关于 x 的不等式 |x － 1| ＋ |x －2| ≤ａ2＋ a＋1 的解集为空集，则实数
a 的取值范围是
________．
答案： ( － 1,0)
1 5．若不等式 x＋ x ＞|a － 2| ＋ 1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是
解析：方程即
1 a－4
＋ | a| ＝－ x2－ x∈
1 0，4
，利用绝对值的几何意义
( 或零点分段法进
用心爱心专心
-1-
1 行求解 ) 可得实数 a 的取值范围为 0，4 .
1 答案： 0， 4
x－ 3 8．不等式 x－ 1 <x 的解集是 ________．答案： { x| x> 3} 二、解答题 9．(2009 年海南宁夏卷 ) 如下图， O为数轴的原点， A， B， M为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动点．设 x 表示 C与原点的距离， y 表示 C到 A 距离的 4 倍与 C到 B 距离的 6 倍的和．
此时不等式的解为－ 3≤x<0. 故原不等式的解集为 {x| －3≤x≤1}
答案： {x| －3≤x≤1} 2．不等式 |x| ＋ |x － 1| ＜ 2 的解集是 ________．
13 答案：－ 2，2 3．已知方程 x 2－ ax ＋ b ＝ 0 的两根分别为
1 和 2 ，则不等式 | ax － b| ≤１的解集为
______．
答案： 1＜ a＜ 3 6．对任意 x∈ R，不等式 |2 － x| ＋ |3 ＋ x| ≥ a2－ 4a 恒成立，则 a 的取值范围是 ________．

2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京理

2011年北京理一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合P = x x 2≤1 ，M ={a }．若P ∪M =P ，则a 的取值范围是 A. −∞,−1 B. 1,+∞C. −1,1D. −∞,−1 ∪ 1,+∞2. 复数i −21+2i = A. iB. −iC. −45−35iD. −45+35i 3. 在极坐标系中，圆ρ=−2sin θ的圆心的极坐标是 A. 1,π2B. 1,−π2C. 1,0D. 1,π4. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A. −3B. −12C. 13D. 25. 如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论： ①AD +AE =AB +BC +CA ；②AF ⋅AG =AD ⋅AE ；③△AFB ∽△ADG ．其中正确结论的序号是 A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③6. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为f x =x x <AAx ≥AA ,c 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 A. 75，25B. 75，16C. 60，25D. 60，167. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 A. 8B. 62C. 10D. 828. 设A0,0，B4,0，C t+4,4，D t,4t∈R．记N t为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N t的值域为 A. 9,10,11B. 9,10,12C. 9,11,12D. 10,11,12二、填空题（共6小题；共30分）9. 在△ABC中，若b=5，∠B=π4，tan A=2，则sin A=；a=．10. 已知向量a=3,1，b=0,−1，c= k,3．若a−2b与c共线，则k=．11. 在等比数列a n中，a1=12，a4=−4，则公比q=；a1+a2+⋯+a n=．12. 用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有个．（用数字作答）13. 已知函数f x=2x,x≥2,x−13,x<2,若关于x的方程f x=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．14. 曲线C是平面内与两个定点F1−1,0和F21,0的距离的积等于常数a2a>1的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=4cos x sin x+π6−1．（1）求f x的最小正周期：（2）求f x在区间 −π6,π4上的最大值和最小值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60∘．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．17. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．x1−x2+x2−x2+⋯+x n−x2，其中x为x1,x2,⋯,x n的平均数）（注：方差s2=1n（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．18. 已知函数f x=x−k2e x k．（1）求f x的单调区间；（2）若对于任意的x∈0,+∞，都有f x≤1，求k的取值范围．e+y2=1．过点m,0作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．19. 已知椭圆G:x24（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将 AB 表示为m的函数，并求 AB 的最大值．20. 若数列A n:a1,a2,⋯,a n n≥2满足a n+1−a k=1k=1,2,⋯,n−1，则称A n为E数列．记S A n=a1+a2+⋯+a n．（1）写出一个满足a1=a5=0，且S A5>0的E数列A5；（2）若a1=12，n=2000，证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n=2011；（3）对任意给定的整数n n≥2，是否存在首项为0的E数列A n，使得S A n=0 ?如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．答案第一部分 1. C 2. A【解析】i −21+2i=i −2 1−2i5=5i 5=i ．3. B【解析】ρ=−2sin θ⇔ρ2=−2ρsin θ⇔x 2+y 2=−2y .∴圆心直角坐标为 0,−1 ，极坐标为 1,−π2 ． 4. D【解析】i =1，s =2−12+1=13；i =2，s =13−11+1=−12； i =3，s =−12−1−1+1=−3；i =4，s =−3−1−3+1=2． 5. A【解析】①正确，BC =BF +FC =BD +CE ； ②正确，AF ⋅AG =AD 2=AD ⋅AE ；③错误，若△AFB ∽△ADG ，则ABAG =AFAD ，AF ⋅AG =AB ⋅AD ，这与AF ⋅AG =AD 2矛盾． 6. D 【解析】f x = x在 0,A 上是减函数，所以由题意可得f 4 = 4=30,f A =A=15,解得c =60，A =16． 7. C【解析】原四面体的图形如下图，其中AB ⊥BC ，AB =4，BC =3；PA ⊥面 ABC ，PA =4．于是PB =4 2，AC =5，S △BCA =6，S △PAB =8，S △PBC =6 2，S △PAC =10．8. C 【解析】当t =0时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 4,4 ,D 0,4 ，此时符合条件的点有 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 ，共九个，于是N t =9，故选项D 不正确；当t =1时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 5,4 ,D 1,4 ，同理，知N t =12，故选项A 不正确；当t =2时，平行四边形ABCD 的四个顶点是A 0,0 ,B 4,0 ,C 6,4 ,D 2,4 ，同理，知N t =11，故选项B 不正确．综上，选C ．第二部分 9.2 55，2 1010. 111. −2，2n−1−12【解析】根据第一空求得的结果可知{ a n }仍旧是一个等比数列，公比为2． 12. 14【解析】数字2，3组成四位数，共有24=16个，其中都是2或都是3组成的数有2个，故符合题意的有16−2=14个．其他解法：应当分三种情况：一个2三个3的四位数有4个；两个2两个3的四位数有C 42=6个；三个2一个3的四位数有4个．所以，这样的四位数一共有14个． 13. 0,1【解析】函数f x 的图象如图所示，原方程有两个不同根等价于f x 的图象与直线y =k 有两个不同的交点，结合图形，得0<k <1． 14. ②③【解析】对于①，若C 过原点，则 OF 1 OF 2 =a 2，但a 2>1， OF 1 OF 2 =1，矛盾，故①错误；对于②，对于C 上任一点P ，其关于原点的对称点设为Q ，由于F 1和F 2也关于原点对称，故 QF 2 = PF 1 ， QF 1 = PF 2 ，于是 QF 1 ⋅ QF 2 = PF 1 ⋅ PF 2 =a 2，故Q 点也在C 上，②正确．对于③，直接使用三角形面积公式有：S ΔPF 1F 2=12 PF 1 ⋅ PF 2 sin ∠F 1PF 2≤a 22，③正确．第三部分 15. （1）因为f x =4cos x sin x +π−1=4cos x 32sin x +12cos x −1= 3sin2x +2cos 2x −1= 3sin2x +cos2x=2sin 2x +π6,所以f x 的最小正周期为π．（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−π6≤2x +π6≤2π3，于是，当2x+π6=π2，即x=π6时，f x取得最大值2；当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f x取得最小值−1．16. （1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，而AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．（2）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60∘,PA=AB=2,所以BO=1,AO=CO= 3.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O−xyz，则P 0,− 3,2,A 0,− 3,0,B1,0,0,C 0,3,0.所以PB=1,3,−2,AC=0,23,0.设PB与AC所成角为θ，则cosθ=PB⋅ACPB AC=22×23=6.故PB与AC所成角的余弦值为64．（3）由（2）知BC= −1,3,0.设P 0,−3,t t>0，则BP= −1,− 3,t .设平面PBC的法向量m=x,y,z，由m⋅BC=0,m⋅BP=0,得−x+3y=0,−x−3y+tz=0,令y=3，则m = 3, 3,6.同理，平面PDC 的法向量n = −3, 3,6.因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以m ⋅n =−6+36t 2=0, 解得t = 6,所以PA = 6．17. （1）当X =8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数为8+8+9+104=354;方差为s 2=1 8−35 2+ 8−35 2+ 9−35 2+ 10−35 2 =11.（2）当X =9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21．事件“ Y =17 ”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P Y =17 =216=18. 同理可得P Y =18 =1;P Y =19 =1;P Y =20 =1;P Y =21 =1.所以随机变量Y 的分布列为Y 1718192021P1814141418所以数学期望为EY =17×1+18×1+19×1+20×1+21×1=19.18. （1）fʹ x =1k x 2−k 2e x k，令fʹ x =0，得x =±k ．当k >0时，f x 与f ′ x 的情况如下：x −∞,−k −k−k ,k kk ,+∞fʹ x +0−0+f x ↗4k 2e −1↘0↗所以，f x 的单调递增区间是 −∞,−k 和 k ,+∞ ；单调递减区间是 −k ,k ．当k<0时，f x与fʹx的情况如下：x−∞,k k k,−k−k−k,+∞fʹx−0+0−f x↘0↗4k2e−1↘所以，f x的单调递减区间是−∞,k和−k,+∞；单调递增区间是k,−k．（2）当k>0时，因为f k+1=e k+1>1e，所以不会有x∈0,+∞，f x≤1e．当k<0时，由（1）知f x在0,+∞上的最大值是f−k=4k 2e．所以x∈0,+∞，f x≤1e 等价于f−k=4k2e≤1e，解得−12≤k<0．故当x∈0,+∞，f x≤1e 时，k的取值范围是 −12,0．19. （1）由已知得a=2,b=1,所以c=a2−b2= 3.所以椭圆G的焦点坐标为− 3,0,3,0,离心率为e=ca=32.（2）由题意知，m ≥1．当m=1时，切线l的方程为x=1，点A,B的坐标分别为1,32,1,−32，此时AB=当m=−1时，同理可得AB=3；当m>1时，设切线l的方程为y=k x−m．由y=k x−m,x2+y2=1,得1+4k2x2−8k2mx+4k2m2−4=0.设A,B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，则x1+x2=8k2m2,x1x2=4k2m2−42.又由l与圆x2+y2=1相切，得k2+1=1,即m2k2=k2+1.所以AB=2121=1+k2［x1+x22−4x1x2］=1+k264k4m222−44k2m2−42=43m m2+3.由于当m=±1时，AB=3，所以AB=43m,m∈ −∞,−1］∪［1,+∞ .因为AB=43mm2+3=43m+3m≤2,且当m=±3时，AB=2，所以AB的最大值为2．20. （1）0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5．（答案不唯一）（2）必要性：因为E数列A n是递增数列，所以a k+1−a k=1k=1,2,⋯,1999.所以A n是首项为12，公差为1的等差数列，所以a2000=12+2000−1×1=2011.充分性：由于a2000−a1999≤1,所以a2000−a1≤1999,即a2000≤a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011，所以a2000=a1+1999.故a k+1−a k=1>0k=1,2,⋯,1999,即A n是递增数列．综上，结论得证．（3）令c k=a k+1−a k k=1,2,⋯,n−1，则c k=±1．因为a2=a1+c1,a3=a1+c1+c2,⋯a n=a1+c1+c2+⋯+c n−1,所以S A n=na1+n−1c1+n−2c2+n−3c3+⋯+c n−1=n−1+n−2+⋯+1−1−c1n−1−1−c2n−2−⋯−1−c n−1=n n−1−1−c1n−1+1−c2n−2+⋯+1−c n−1.因为c k=±1，所以1−c k为偶数k=1,2,⋯,n−1．所以1−c1n−1+1−c2n−2+⋯+1−c n−1为偶数．所以要使S A n=0，必须使n n−12为偶数，即4整除n n−1，亦即n=4m或n=4m+1m∈N∗．当n=4m m∈N∗时，E数列A n的项满足a4k−1=a4k−3=0，a4k−2=−1，a4k=1k=1,2,⋯,m时，有a1=0，S A n=0；当n=4m+1m∈N∗时，E数列A n的项满足a4k−1=a4k−3=0，a4k−2=−1，a4k=1k=1,2,⋯,m，a4m+1=0时，有a1=0，S A n=0；当n=4m+2或n=4m+3m∈N时，n n−1不能被4整除，此时不存在E数列A n，使得a1=0，S A n=0．。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题7

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010年南充模拟)已知球面上的三个点A 、B 、C ，且AB ＝6，BC ＝8，AC ＝10，球半径R ＝15，则球心到平面ABC 的距离是( )A ．10B ．10 2C ．15D ．15 2 【解析】由题意截面圆的半径为5，∴球心到截面距离d ＝152－52＝10 2.【答案】 B2．(2008年江西)连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】当AB ，CD 相交时，是一个球的一个截面圆的两条弦，由AB ＝28<CD ＝48得，①是真命题，②是假命题；当以AB ，CD 为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O 的两侧时，MN 最大，此时M ，O ，N 三点共线，OM ＝42－(7)2＝3，ON ＝42－(23)2＝2，故MN 的最大值为5；当以AB ，CD 为直径的两个小圆所在平面互相平行且在球心O 的同侧时，MN 最小，故MN 的最小值为1，③，④是真命题，故选C.【答案】 C3．(2008年湖北)用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3【解析】 S圆＝πr 2＝1⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，∴球的半径为R ＝r 2＋d 2＝2，∴V ＝43πR 3＝82π3，故选B. 【答案】 B4．(2008年湖南)长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是( )A ．22π B.2πC.2π2D.2π4【解析】记长方体的外接球球心为O ，半径为R ，连结OA 、OB ，则有(2R )2＝22＋(3)2＋12＝8，R 2＝2，OA 2＝OB 2＝2，在△AOB 中，OA 2＋OB 2＝AB 2＝4，∠AOB ＝π2.因此，顶点A 、B 间的球面距离等于π2×2＝2π2，选C.【答案】 C5．已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC ＝2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 ∵SO ⊥底面ABC ，∴SO 为三棱锥的高线，∴SO ＝r ，又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝2r ，∠ACB ＝90°，∴BC ＝2r ，∴V S —ABC ＝13×12×2r ×2r ×r ＝13r 3. 又∵球的体积V ＝43πr 3， ∴V V S —ABC ＝43πr 313r 3 ＝4π. 【答案】 D6．球的直径为d ，体积为V 球，一正方体的棱长为a ，体积为V 正，若它们的表面积相同，则有( )A ．d ＞a ，V 球＞V 正B ．d ＞a ，V 球＜V 正C ．d ＜a ，V 球＞V 正D ．d ＜a ，V 球＜V 正【解析】由于球的体积为43πR 3＝V 球，表面积为4πR 2，因直径为d ，故表面积为πd 2，而正方体的表面积为6a 2＝πd 2，∴d ＞a ，从而正方体的体积为a 3＝π6d 3·π6，而V 球＝43π⎝⎛⎭⎫d 23＝π6d 3. ∵π6＜1，∴V 球＞V 正．【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是________．【解析】沿球面距离运动其路程最短， SA ＋AB ＋BC ＋CS ＝2(SA ＋AB )＝2⎝⎛⎭⎫π2R ＋23πR ＝73πR . 【答案】 73πR8．(2008年浙江)如图所示，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________．【解析】将四面体补成一个球的内接正方体，由题意可得DC 为正方体的体对角线，即球O 的直径．则4R 2＝3＋3＋3＝9，可得R 2＝94，∴R ＝32，故V ＝43π·⎝⎛⎭⎫323＝92π. 【答案】 92π 9．球面上有三个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的半径为________．【解析】如图所示，O 为球心，设球面上A 、B 、C 三点任意两点的球面距离都等于大圆周长的16，则∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝π3， ∴四面体O —ABC 是正四面体．∵经过A 、B 、C 三点的小圆周长为4π，小圆的圆心为O 1，∴小圆半径O 1A ＝2，又O 1A ＝32AB ，∴AB ＝43＝433， ∴球的半径为433. 【答案】 433三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．球面上三点A ，B ，C 组成这个球的一个截面的内接三角形．AB ＝18，BC ＝24，AC ＝30，且球心到该截面的距离为球半径的一半．(1)求球的体积；(2)求A ，C 两点的球面距离．【解析】 (1)∵AB 2＋BC 2＝AC 2，∴过A ，B ，C 三点的截面圆的半径为15.设球的半径为R ，根据题意R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋152，34R 2＝152， R 2＝300，R ＝103，V 球＝43πR 3＝43π(103)3＝4 0003π. (2)由(1)可知∠AOC ＝120°，∴A 、C 两点的球面距离为：13·2πR ＝23π×103＝2033π.11．如图所示，球O 的截面BCD 把球的直径分成1∶3的两部分，BC 是截面圆的直径，D 为圆周上的一点，CA 是球O 的直径，若D 分BC为BD ∶DC ＝1∶2，求AC 与BD 所成角的余弦值．【解析】在BCD 内作CE ∥BD 交圆面于E 点，连结BE 、AE ，则AC 与CE 所成角为AC 与BD 所成角．∵BC 为小圆的直径，∴CE ＝BD ，设小圆面圆心为O 1，球半径为R .∵面BCD 将球O 的直径分成1∶3，∴OO 1＝12R ，BC ＝32R . 又∵D 分BC 成为BD ∶DC ＝1∶2，∴BD ＝34R .又∵AB ＝2OO 1＝R ， ∴在Rt △ACE 中，AE ＝2R ，CE ＝34R ，cos ∠ACE ＝38，即AC 与BD 所成角的余弦值为38. 12．正三棱锥A —BCD 的高为1，底面边长为26，内有一个球O 与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【解析】方法一：过侧棱AB 与球心O 作截面(如图)，在正三棱锥中，BE 是底面正三角形的高，O 1是底面正三角形的中心，且AE 为斜高．因为底面边长为26，∴O 1E ＝2，且AE ＝ 3.S 棱锥全＝3×12×26×3＋34×(26)2 ＝92＋6 3.作OF ⊥AE 于F ，设内切球半径为r ，则OF ＝r ，AO ＝1－r .∵Rt △AFO ∽Rt △AO 1E ，∴FO O 1E ＝AO AE. ∴r 2＝1－r 3， ∴r ＝6－2，S 球＝8(5－26)π.方法二：在Rt △AO 1E 中，设∠E ＝θ，则sin θ＝33， ∴cos θ＝63， ∴tan θ＝22. 连结OE .在Rt △OO 1E 中，OO 1＝O 1E ·tan θ2＝6－2， S 球＝8(5－26)π.连结OA、OB、OC、OD，则V A—BCD＝V O—ABC＋V O—ABD＋V O—ACD＋V O—BCD. 设内切球的半径为r，则V A—BCD＝13·34·(26)2＝13·r·S棱锥全，∴S棱锥全＝63r＝92＋63，∴S棱锥全＝92＋6 3.。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题22

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2＜(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．【答案】 D2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确(k ∈N *)B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确(k ∈N *)C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确(k ∈N *)D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N *)【解析】因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题即假设n ＝2k －1正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1正确．【答案】 B3．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时，该命题不成立B ．当n ＝6时，该命题成立C ．当n ＝4时，该命题不成立D ．当n ＝4时，该命题成立【解析】因为当n ＝k 时，命题成立可推出n ＝k ＋1时成立，所以n ＝5时命题不成立，则n ＝4时命题也一定不成立．【答案】 C4．用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2(n ∈N *)的过程中，第二步假设n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝k 2B ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2C ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋2)2D ．1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋3)2【解析】 ∵n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2.故选B.【答案】 B5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c 【解析】 ∵等式对一切n ∈N *均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b )＋c 1＋2×3＝32(2a －b )＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34解得a ＝12，b ＝c ＝14. 【答案】 A 6．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1)C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)【解析】由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a 2，即a 1＋a 2＝6a 2，∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．【解析】 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)28．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2(n ≥3，n ∈N *)个图形中共有________个顶点．【解析】当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，故第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个，∴第n －2个图形共有顶点n (n ＋1)个．【答案】 n (n ＋1)9．下面三个判断中，正确的是( )①f (n )＝1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)，当n ＝1时，f (n )＝1；②f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，当n ＝1时， f (n )＝1＋12＋13； ③f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则 f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4. 【解析】 ①中n ＝1时，f (n )＝f (1)＝1＋k 不一定等于1，故①不正确；②中n ＝1时，f (1)＝1＋12＋13，故②正确； ③中f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，故③不正确．【答案】 ②三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．(2010年平顶山模拟)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝sin(π2a n )(n ∈N *)．证明：0＜a n ＜a n ＋1＜1.【证明】 ①n ＝1时，a 1＝12， a 2＝sin(π2a 1)＝sin π4＝22. ∴0＜a 1＜a 2＜1，故结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即0＜a k ＜a k ＋1＜1，则0＜π2a k ＜π2a k ＋1＜π2.∴0＜sin(π2a k )＜sin(π2a k ＋1)＜1，即0＜a k ＋1＜a k ＋2＜1，也就是说n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *均有0＜a n ＜a n ＋1＜1.11．数列{a n }满足a n ＞0，S n ＝12(a n ＋1a n)，求S 1，S 2，猜想S n ，并用数学归纳法证明．【解析】 ∵a n ＞0，∴S n ＞0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得 S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n .用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立，即S k ＝k .那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1) ＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k) ＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k) 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．由①、②可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 成立．12．平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成n 2－n ＋2个部分．【证明】 (1)n ＝1时，1个圆将平面分成2部分，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，k 个圆将平面分成k 2－k ＋2个部分．当n ＝k ＋1时，第k ＋1个圆C k ＋1 交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆C k ＋1分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，于是增加了2k 个区域，所以这k ＋1个圆将平面分成k 2－k ＋2＋2k 个部分，即(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分．故n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *命题成立．。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题16

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A.14 B ．－14C ．4D ．－4【解析】抛物线方程为x 2＝1ay ，其准线方程为y ＝－14a， ∴－14a ＝1，∴a ＝－14. 【答案】 B2．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x【解析】由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝13， ∴抛物线方程为y 2＝8x .【答案】 A3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( ) A ．4 B ．－4C ．p 2D ．－p 2【解析】设AB 的方程为x ＝my ＋p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px x ＝my ＋p 2得y 2－2pmy －p 2＝0. ∴y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝14p 2y 21y 22＝p 24. ∴y 1y 2x 1x 2＝－p 2p 24＝－4. 【答案】 B4．(2008年辽宁高考)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5 D.92【解析】如图：设A (0,2)，抛物线焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，根据抛物线的定义，P 点到A 点的距离与P 点到准线的距离之和可转化为P 点到A 点的距离与P 点到焦点F 的距离之和|P A |＋|PF |，显然和最小时，应有A 、P 、F 共线，且P 在A 、F 之间，∴所求最小值为|AF |＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝174＝172. 【答案】 A5．已知直线y ＝kx －k 和抛物线y 2＝2px (p ＞0)，则( )A ．直线和抛物线有一个公共点B ．直线和抛物线有两个公共点C ．直线和抛物线有一个或两个公共点D ．直线和抛物线可能没有公共点【解析】因直线y ＝kx －k 过定点(1,0)，∴当k ＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点．【答案】 C6．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作两弦AB 和CD ，其所在直线的倾斜角分别为π6与π3，则|AB |与|CD |的大小关系是( ) A ．|AB |＞|CD |B ．|AB |＝|CD |C ．|AB |＜|CD | D ．|AB |≠|CD |【解析】设过焦点F 的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，交抛物线于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 24p 2＝0， ∴x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2. ∴|MN |＝x 1＋x 2＋p ＝p (k 2＋2)k 2＋p ＝2pk 2＋2p k 2＝2p (k 2＋1)k 2＝2p (tan 2θ＋1)tan 2θ＝2p sin 2θ(θ为直线MN 的倾斜角)， ∴|AB |＝2p sin 2π6＝8p ，|CD |＝2p sin 2π3＝83p ， ∴|AB |＞|CD |.【答案】 A二、填空题(每小题6分，共18分)7．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线C 于A 、B 两点，设|F A |＞|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，∴过F 且斜率为1的直线方程为y ＝x －1，将其代入y 2＝4x 得x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝6±36－42＝3±22， ∵|F A |＞|FB |，∴x A ＝3＋22，x B ＝3－22，又|F A |＝x A ＋1，|FB |＝x B ＋1，∴|F A ||FB |＝4＋224－22＝3＋2 2.【答案】 3＋2 28．在抛物线y ＝4x 2上求一点，使该点到直线y ＝4x －5的距离最短，该点的坐标是________．【解析】设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋b ，当直线y ＝4x ＋b 与y ＝4x 2相切时，切点到直线y ＝4x －5的距离最短．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ＋b y ＝4x 2得4x 2－4x －b ＝0① Δ＝16＋16b ＝0，∴b ＝－1，代入①式得x ＝12， y ＝4×⎝⎛⎭⎫122＝1，故切点为⎝⎛⎭⎫12，1. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫12，19．(2010年湖南模拟)已知A (x 1，y 1)是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B (x 2，y 2)是椭圆x 24＋y 23＝1上的一个动点，N (1,0)是一定点，若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x x 24＋y 23＝1得⎩⎨⎧x ＝23y ＝±263， ∵AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，∴0＜x 1＜23，23＜x 2＜2，又N (1,0)是抛物线的焦点，∴|AN |＝x 1＋1，|AB |＝x 2－x 1，又|BN |2＝(x 2－1)2＋y 22＝(x 2－1)2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 224 ＝14(4－x 2)2， ∴|BN |＝12(4－x 2)＝2－12x 2， ∴周长l ＝3＋12x 2，而23＜x 2＜2， ∴103＜l ＜4. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫103，4三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10如图所示，已知F (0,1)，直线l ：y＝－2，圆C ：x 2＋(y －3)2＝1.(1)若动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小1，求动点M 的轨迹方程E ；(2)过轨迹E 上一点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ，要使四边形P ACB 的面积S 最小，求点P 的坐标及S 的最小值．【解析】 (1)设M (x ，y )，得x 2＋(y －1)2＝|y ＋2|－1.当y ≥－2时，化简得x 2＝4y ；当y ＜－2时，有x 2＝8y ＋8，则y ≥－1与y ＜－2矛盾，故舍去．∴点M 的轨迹E 的方程为x 2＝4y .(2)设P (x ，y )，∵S ＝2S △P AC ，|AC |＝1，∴若要S 最小，则要S △P AC 最小．要S △P AC ＝12|P A |最小，即|P A |最小． ∵|PC |2＝1＋|P A |2，又∵|PC |2＝x 2＋(y －3)2＝4y ＋(y －3)2＝(y －1)2＋8，当y ＝1时，|PC |2min ＝8，∴S min ＝7，此时点P 的坐标为(±2,1)．11．(2010年青岛模拟)已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点N 的直线l 的斜率为k ，且与曲线C 相交于点S 、T ，若S 、T 两点只在第二象限内运动，线段ST 的垂直平分线交x 轴于Q 点，求Q 点横坐标的取值范围．【解析】 (1)设点P (x ，y )，根据题意则有：MN →＝(4,0)，|MN →|＝4，|MP →|＝(x ＋2)2＋y 2，NP →＝(x －2，y )，代入|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0得：4(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0.整理得点P 的轨迹C 的方程：y 2＝－8x .(2)设S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，由题意得：ST 的方程为y ＝k (x －2)(显然k ≠0)与y 2＝－8x 联立消元得：ky 2＋8y ＋16k ＝0，则有：y 1＋y 2＝－8k，y 1y 2＝16. 因为直线交轨迹C 于两点，则Δ＝b 2－4ac ＝64－64k 2＞0，再由y 1＞0，y 2＞0，则－8k＞0，故－1＜k ＜0. 可求得线段ST 中点B 的坐标为(－4k 2＋2，－4k )，所以线段ST 的垂直平分线方程为 y ＋4k ＝－1k (x ＋4k2－2)．令y ＝0得点Q 横坐标为x Q ＝－2－4k2， x Q ＝－2－4k2＜－6. 所以Q 点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．12．若在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线l ：y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【解析】设B 、C 关于直线y ＝kx ＋3对称，直线BC 方程为x ＝－ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m ＝0，设B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，BC 中点M (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝－2k ， x 0＝2k 2＋m .∵点M (x 0，y 0)在直线l 上，∴－2k ＝k (2k 2＋m )＋3.∴m ＝－2k 3＋2k ＋3k，因M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝4x 内部，则y 20＜4x 0，把m 代入化简得k 3＋2k ＋3k＜0. 即(k ＋1)(k 2－k ＋3)k＜0，解得－1＜k ＜0.。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题15

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1 C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对【解析】设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．则⎩⎨⎧ 925A ＋16B ＝11625A ＋9B ＝1，解得A ＝1，B ＝125，故选A. 【答案】 A2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( ) A.13 B.33C.12D.32【解析】由题意知，2a ＝2·2b ， ∴b a ＝12，b 2a 2＝14， ∴c 2a 2＝34，∴e ＝c a ＝32. 【答案】 D3．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于点A ，B ，若|AB |＝5，则|AF 1|－|BF 2|等于( )A ．3B ．8C ．13D ．16【解析】由椭圆方程得a ＝4，∴|AF 1|＋|AF 2|＝8，∴|AF 1|＝8－|AF 2|.∴|AF 1|－|BF 2|＝8－|AF 2|－|BF 2|＝8－|AB |＝8－5＝3.【答案】 A4．(2010年石家庄模拟)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C.12D ．－12 【解析】由题意直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)x 22＋y 2＝1得 (1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，∴x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，∴y 1＋y 2＝4k 11＋2k 21， ∴P (－4k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21)， ∴k 2＝2k 11＋2k 21－4k 211＋2k 21＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12. 【答案】 D5．(2010年郑州模拟)如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为( ) A.－1＋52 B ．1－22C.2－1D.22【解析】由已知得a 2＋(a 2＋b 2)＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，∵1＞e ＞0，∴e ＝－1＋52. 【答案】 A6．B 1、B 2是椭圆短轴的两端点，O 为椭圆中心，过左焦点F 1作长轴的垂线交椭圆于P ，若|F 1B 2|是|OF 1|和|B 1B 2|的等比中项，则|PF 1||OB 2|的值是( ) A. 2 B.22C.32D.23 【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，令x ＝－c 得y 2＝b 4a 2，∴|PF 1|＝b 2a ， ∴|PF 1||OB 2|＝b2a b ＝b a，又由|F 1B 2|2＝|OF 1|·|B 1B 2|得a 2＝2bc，∴a 4＝4b 2(a 2－b 2)．∴(a 2－2b 2)2＝0.∴a 2＝2b 2.∴b a ＝22. 【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分)7．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在y 轴上，且a －c ＝3，则椭圆的标准方程是________．【解析】由已知得a ＝2c ，又a －c ＝3，∴c ＝3，a ＝23，b 2＝a 2－c 2＝9.∴椭圆的标准方程是x 29＋y 212＝1. 【答案】 x 29＋y 212＝1 8．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e ＝________.【解析】如图，设其中一个切点为P ，连接OP ，则OP ⊥AD .在Rt △AOD 中，OP =OA ·OD AD， ∴c =ab a 2+b 2，∴c 2=a 2b 2 a 2+b 2， ∴c 2=a 2(a 2 -c 2) a 2+a 2 -c2，∴c 4-3a 2c 2+a 4=0， ∴e 4-3e 2+1=0，∴e 2=3±52. ∵0＜e ＜1，∴e 2=3-52， ∴e =3-52=12=6-25=5-12. 【答案】 5-129．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)【解析】由已知得c a ＝12，∴a ＝2c ， ∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴b ＝3c ，∴方程即为2cx 2＋3cx －c ＝0，2x 2＋3x －1＝0，∴x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12， x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74＜2. ∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．【答案】在圆内三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．(2010年上海春招)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R ＝34百公里)的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B 到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．【解析】设探测器运行轨道方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，c ＝a 2－b 2. ∵a ＋c ＝800＋34，a －c ＝8＋34，∴a ＝438，c ＝396.于是b 2＝a 2－c 2＝35 028，∴探测器运行轨道方程为x 2191 844＋y 235 028＝1. 设变轨时，探测器位于P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝ab ≈81 975.1，x 20191 844＋y 2035 028＝1，解得x 0≈239.7，y 0≈156.7(符合题意)，∴探测器在变轨时与火星表面的距离为(x 0－c )2＋y 20－R ≈187.3.答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．11．(2010年安徽模拟)已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，C 在直线l ：y ＝x ＋2上，且AB ∥l .(1)当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；(2)当∠ABC ＝90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．【解析】 (1)因为AB ∥l ，且AB 边通过点(0,0)，所以AB 所在直线的方程为y ＝x . 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝4y ＝x ，得x ＝±1. 所以|AB |＝2|x 1－x 2|＝2 2. 又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，所以h ＝2，S △ABC ＝12|AB |·h ＝2. (2)设AB 所在直线的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3y 2＝4y ＝x ＋m ，得4x 2＋6mx ＋3m 2－4＝0. 因为A ，B 在椭圆上，所以Δ＝－12m 2＋64＞0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－44，所以|AB |＝2|x 1－x 2|＝32－6m 22.又因为BC 的长等于点(0，m )到直线l 的距离，即|BC |＝|2－m |2. 所以|AC |2＝|AB |2＋|BC |2＝－m 2－2m ＋10＝－(m ＋1)2＋11.所以当m ＝－1时，AC 边最长(这时Δ＝－12＋64＞0)，此时AB 所在直线的方程为y ＝x －1.12．设A ，B 分别是直线y ＝255x 和y ＝－255x 上的两个动点，并且|AB →|＝20，动点P 满足OP →＝OA →＋OB →，记动点P 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若点D 的坐标为(0,16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)设P (x ，y )，∵A ，B 分别为直线y ＝255x 和y ＝－255x 上的点，故可设A ⎝⎛⎭⎫x 1，255x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，－255x 2 ∵OP →＝OA →＋OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2y ＝255(x 1－x 2) ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝x x 1－x 2＝52y又|AB →|＝20，∴(x 1－x 2)2＋45(x 1＋x 2)2＝20，∴54y 2＋45x 2＝20，即曲线C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)设N (s ，t )，M (x ，y )，则由DM →＝λDN →，可得(x ，y －16)＝λ(s ，t －16)，故x ＝λs ，y ＝16＋λ(t －16)．∵M 、N 在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ s 225＋t 216＝1λ2s 225＋(λt －16λ＋16)216＝1，消去s 得λ2(16－t 2)16＋(λt －16λ＋16)216＝1. 由题意知λ≠0且λ≠1，解得t ＝17λ－152λ. 又|t |≤4，∴|17λ－152λ|≤4.解得35≤λ≤53(λ≠1)．故实数λ的取值范围是35≤λ≤53(λ≠1)．。

2011届高考数学一轮复习测评卷7.8

2011年《新高考全案》高考总复习第一轮复习测评卷第七章第八讲一、选择题 1．(2009·全国Ⅱ，5)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35[答案] C 2．(2009·浙江，5)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C3．点P 在正方形ABCD 所在的平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，则P A 与BD 所成角的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 将其补成正方体，如右图P A 与BD 成60°角，故选C.[答案] C 4．(2009·全国Ⅰ，10)已知二面角α－l －β为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] C5．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，则直线PQ 与直线AM 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系，A (0,0,0)，M (0,1，12)，Q (12，12，0)，P (x,0,1)∴AM →＝(0,1，12)，PQ →＝(12－x ，12，－1)AM →·PQ →＝0×(12－x )＋1×12＋12×(－1)＝0，∴AM →⊥PQ →.[答案] D 6．(2007·深圳二模理7)在教材中，我们学过“经过点P (x 0，y 0，z 0)，法向量为e ＝(A ，B ，C )的平面的方程是：A (x －x 0)＋B (y －y 0)＋C (z －z 0)＝0”．现在我们给出平面α的方程是x －y＋z ＝1，平面β的方程是x 6－y 3－z6＝1，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是( )A.23B.33C.39D.223 [答案] A 二、填空题 7．(2009·四川，15)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．[答案] 90°8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．[解析] 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，底面对角线BD ＝26，则边长BC ＝2 3.作SO ⊥底面ABCD ，作OE ⊥CD ，连SE ，则∠SEO 就是侧面与底面所成二面角的平面角，又由V ＝13×(23)2·SO ＝12，得SO ＝3.则在Rt △SEO 中，tan ∠SEO ＝3，∴∠SEO ＝π3，即侧面与底面所成的二面角等于π3.[答案] π39．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．[解析] 不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－12，2) ∴CD →＝(32，－12，2)，CB 1→＝(3，1,2)设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0n ·CB 1→＝0解得 n ＝(－3，1,1)又∵DA →＝(32，－12，－2) ∴sin θ＝1，cos<DA →·n >＝45.[答案] 4510．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为________．[解析] 解法一：A 1B 1∥平面D 1EF ，∴G 到平面D 1EF 的距离为A 1到平面D 1EF 的距离．在△A 1D 1E 中，过A 1作A 1H ⊥D 1E 交D 1E 于H ，显然A 1H ⊥平面D 1EF ，则A 1H 即为所求，在Rt △A 1D 1E 中， A 1H ＝A 1D 1·A 1E D 1E＝1×121＋(12)2＝55. 解法二：等体积法，设h 为G 到平面D 1EF 的距离． ∵VG －D 1EF ＝VA 1－D 1EF ＝VF －D 1A 1E ，∴12×1×52×h ＝12×1×12×1，∴h ＝55. [答案] 55三、解答题 11．(2009·全国Ⅱ，18)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1.(1)证明：AB ＝AC ；(2)设二面角A －BD －C 为60°，求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小．解法一：(1)[证明] 取BC 中点F ，连接EF ，则EF 綊12B 1B ，从而EF 綊DA .连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF ∥DE . 又DE ⊥平面BCC 1，故AF ⊥平面BCC 1.从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB ＝AC .(2)如图(1)作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG .由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A －BD －C 的平面角．由题设知，∠AGC ＝60°.设AC ＝2，则AG ＝23.(1)∴AB ＝2，BC ＝2 2.∴AF ＝ 2.由AB ·AD ＝AG ·BD 得2AD ＝23·AD 2＋22，解得AD ＝ 2.故AD ＝AF .又AD ⊥AF ，∴四边形ADEF 为正方形．∵BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF . 连接AE ，DF ，设AE ∩DF ＝H ，则EH ⊥DF . ∴EH ⊂平面DEF ，∴EH ⊥平面BCD .连接CH ，则∠ECH 为B 1C 与平面BCD 所成的角．因ADEF 为正方形，AD ＝2，故EH ＝1.又EC ＝12B 1C ＝2，∴∠ECH ＝30°，即B 1C 与平面BCD 所成的角为30°.解法二：(1)[证明] 以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图(2)所示的直角坐标系A －xyz .(2)设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，b,0)，D (0,0，c )，则B 1(1,0,2c )，E (12，b2，c )．于是DE →＝(12，b2，0)，BC →＝(－1，b,0)．由DE ⊥平面BCC 1知DE ⊥BC ，即DE →·BC →＝0，求得b ＝1. 所以AB ＝AC .(2)设平面BCD 的法向量AN →＝(x ，y ，z )，则AN →·BC →＝0，AN →·BD →＝0.又BC →＝(－1,1,0)，BD →＝(－1,0，c )，故⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋cz ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1c ，AN →＝(1,1，1c)．又平面ABD 的法向量AC →＝(0,1,0)，由二面角A －BD －C 为60°知，〈AN →，AC →〉＝60°，故AN →·AC →＝|AN →|·|AC →|·cos60°，求得c ＝12.于是AN →＝(1,1，2)，CB 1→＝(1，－1，2)，cos 〈AN →，CB 1→〉＝AN →·CB 1→|AN →|·|CB 1→|＝12， ∴〈AN →，CB 1→〉＝60°.∴B 1C 与平面BCD 所成的角为30°. 12．(2008·广东理)如图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF ⊥AB ，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE ，记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P －ACFE 的体积．(1)求V (x )的表达式；(2)当x 为何值时，V (x )取得最大值？(3)当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． [解] (1)∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥PE .又∵PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，且PE 在平面ACFE 外， ∴PE ⊥平面ACFE .∵EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴EF ∥CD . ∴EF CD ＝x BD ⇒EF ＝CD BD x ＝x 6. ∴四边形ACFE 的面积S 四边形ACFE ＝S △ABC －S △BEF ＝12×66×3－12×16x 2＝96－126x 2.∴四棱锥P －ACFE 的体积V P －ACFE ＝13S 四边形ACFE ·PE ＝36x －166x 3，即V (x )＝36x －166x 3(0＜x ＜36)．(2)由(1)知V ′(x )＝36－126x 2.令V ′(x )＝0⇒x ＝6.∵当0＜x ＜6时，V ′(x )＞0，当6＜x ＜36时，V ′(x )＜0， ∴当BE ＝x ＝6时，V (x )有最大值，最大值为V (6)＝12 6.(3)解法一：如图，以点E 为坐标原点，向量EA →、EF →、EP →分别为x 、y 、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则E (0,0,0)，P (0,0,6)，F (0，6，0)，A (66－6,0,0)，C (36－6,3,0)．于是AC →＝(－36，3,0)，PF →＝(0，6，－6)． AC 与PF 所成角θ的余弦值为cos θ＝AC →·PF →|AC →||PF →|＝3654＋9＋00＋6＋36＝17.∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.解法二：过点F 作FG ∥AC 交AE 于点G ，连接PG ，则∠PFG 为异面直线AC 与PF 所成的角．∵△ABC 是等腰三角形， ∴△GBF 也是等腰三角形．于是FG ＝BF ＝PF ＝BE 2＋EF 2＝42，从而PG ＝PE 2＋GE 2＝BE 2＋BE 2＝6 2.在△GPF 中，根据余弦定理得cos ∠PFG ＝PF 2＋FG 2－PG 22PF ·FG ＝17.故异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.亲爱的同学请写上你的学习心得。

高考一轮复习课时作业(人教版)：6-5数列的综合应用word版含答案

6-5数列的综合应用A 级基础达标演练 (时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.答案 C2．(2011·揭阳模拟)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )． A. 2B ．4C ．2D.12解析设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.答案 C3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )． A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴2n －1≥100，∴n ≥7.答案 B4．(2012·郑州模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )． A ．2B ．4C ．8D ．16解析因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.答案 D5．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( ).A.1B ．解析由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·金华模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．解析由题知a 25＝a 1·a 17，即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )， ∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ， ∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d ＝3.答案 37．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 138．(2012·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，得0＜x ＜2n ＋1，因此知a n ＝2n .∴S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案 10 100 三、解答题(共23分)9．(11分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N ＋)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n . (1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2， ∵log a a n ＝2n ＋2，∴a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2(n ≥2)为定值． ∴{a n }是以a 4为首项，a 2为公比的等比数列． (2)解b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2. 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2. S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① 2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3， ②①－②得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3. ∴S n ＝n ·2n ＋3.10．(12分)(2011·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36. ∵a 2＝3， ∴a 5＝9， ∴3d ＝a 5－a 2＝6， ∴d ＝2.又∵a 1＝a 2－d ＝1， ∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3， b 4＋b 5＝24，得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8， ∴q ＝2. ∵b 1＋b 2＝3， ∴b 1＋b 1q ＝3， ∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.B 级综合创新备选 (时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )． A ．4B.14 C ．－4D ．－14解析 S 5＝5a 1＋5×42d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝a 4－a 24－3＝2d＝－4. 答案 C2．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )． A ．470 B ．490 C ．495D ．510解析注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4,7，…， S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72 ＝3×10×(1＋28)2＋72×10＝470. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)对正整数n ，若曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析 (等价转化法)由题意，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，故曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线的斜率为k ＝n 2n －1－(n ＋1)2n ，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝k (x －2)．令x ＝0得a n ＝(n ＋1)2n ，即a nn ＋1＝2n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－2【点评】通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.4．(2012·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③ 三、解答题(共22分)5．(10分)某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14. (1)设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ； (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈．解 (1)由题意，得a n ＝80＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋…＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1＝80×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n . b n ＝40＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋…＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＝40×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n1－54＝160⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. (2)由题意，令a n ＜b n ， ∴400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＜160⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n ，则5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t ＜2(t －1)，即2t 2－7t ＋5＞0.∵t ＞1，∴解得t ＞52，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n ＞52.取n ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫544＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫125128＜52；取n ＝5，则⎝ ⎛⎭⎪⎫545＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫625512＞52.∴第5月开始扭亏为盈．6．(12分)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1＜c n .(1)解由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)， ∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)＜0， ∴c n ＋1＜c n .。

广东2011高考数学一轮复习课时训练第五章6(理科).doc

第六节正、余弦定理及应用课时作业题号1234 5答案一、选择题1．(2009年德州模拟)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cos B＝( )A.14B.34C.24D.232．用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为( )A．8 5 cm2 B．610 cm2C．355 cm2 D．20 cm23．(2009年成都模拟)设a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，则a2＝b()b＋c 是A＝2B的( )A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而充分条件 D．既不充分又不必要条件4.如右图所示，在山脚A处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平坦地面上前进600 m后测得仰角为原来的2倍，继续在平坦地面上前进200 3 m后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A．200 m B．300 mC．400 m D．100 3 m5．甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )A.1507分钟 B.157分钟C．21.5分钟 D．2.15分钟二、填空题6．(2008年山东卷)已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角B＝________.7．在△ABC中，已知角A、B、C成等差数列，边a、b、c成等比数列，且边b＝4，则S△ABC ＝________.8．如右图所示，为测量河对岸A 、B 两点的距离，在河的这边取C 、D 两点观察．测得CD ＝ 3 km ，∠ADB ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ACB ＝75°，∠DCB ＝45°，(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，则A 、B 两点间的距离为________．三、解答题9.(2009年银川模拟)如右图所示，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求AB 的值；(2)求sin ()2A ＋C 的值．10．(2008年全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45.(1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长．参考答案1．解析：△ABC 中，a 、b 、c 成等比数列，且c ＝2a ，则b ＝2a ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B2．解析：用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为6组成三角形，此三角形面积最大，面积为610 cm 2.答案：B3．解析：设a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，若a 2＝b ()b ＋c ，则sin 2A ＝sinB (sin B ＋sinC )，则1－cos 2A 2＝1－cos 2B 2＋sin B sin C ， ∴12(cos 2B －cos 2A )＝sin B sin C ， sin(B ＋A )sin(A －B )＝sin B sin C ，又sin(A ＋B )＝sin C ，∴ sin(A －B )＝sin B ， ∴A －B ＝B ，A ＝2B ，若△ABC 中，A ＝2B ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到a 2＝b ()b ＋c ，所以a 2＝b ()b ＋c 是A ＝2B 的充要条件．答案：A4．解析：由条件可得 cos(π－4θ)＝20032×2－60022×20032＝－12，∴sin 4θ＝32，∴山峰的高度为2003×32＝300(m)．答案：B5．解析：t 小时后，甲乙两船的距离为s 2＝(6t )2＋(10－4t )2－2×6t ×(10－4t )cos 120°＝28t 2－20t ＋100.∴当t ＝202×28＝514小时＝514×60分钟＝1507分钟时，甲乙两船的距离最近．答案：A6．解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3，由正弦定理得，sin A cos B ＋sin B cos A＝sin C sin C ，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ⇒C ＝π2.∴B ＝π6.答案：π67．解析：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，由a 、b 、c 成等比数列，得b 2＝ac ，∴ac ＝16，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝4 3.答案：4 38．解析：∵∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°， ∠CDA ＝30°，∴∠DAC ＝30°⇒AC ＝DC ＝ 3. 在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°， ∴BC ＝DC ·sin 75°sin 60°＝6＋22，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 75°＝5 ⇒AB ＝ 5 km. 答案： 59．解析：(1)由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝4＋1－2×2×1×34＝2.那么，AB ＝ 2.(2)由cos C ＝34，且0<C <π，得sin C ＝1－cos 2C ＝74.由正弦定理，AB sin C ＝BC sin A ，解得sin A ＝BC sin C AB ＝148.所以，cos A ＝528. 由倍角公式sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝5716，且cos 2A ＝1－2sin 2A ＝916，故sin ()2A ＋C ＝sin 2A cos C ＋cos 2A sin C ＝378.10．解析：(1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213，由cos C ＝45，得sin C ＝35.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365.(2)由S △ABC ＝332得12×AB ×AC ×sin A ＝332，由(1)知sin A ＝3365，故AB ×AC ＝65，又AC ＝AB ×sin B sin C ＝2013AB ，故2013AB 2＝65，AB ＝132.所以BC ＝AB ×sin A sin C ＝112.。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题24

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010年上海模拟)计算：li m n →∞ 2n －12n ＋1＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 li m n →∞ 2n－12n＋1＝li m n →∞1－12n 1＋12n＝1－01＋0＝1. 【答案】 B2．(2010年黄冈模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则li m n ∞S n ＝( )A.12B.23C.32D ．2 【解析】 a 1＝13，a 2＝13×13＝19a 3＝13×19＝127，a 4＝181∴{a n }是首项为13公比为13的等比数列∴li m n →∞S n＝131－13＝12. 【答案】 A3．若li m n →∞ (a ＋2b )n 2＋2n ＋1bn ＋3＝12，则实数a ＋b 为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4【解析】极限值为12，分母是n 的一次式，分子是n 的二次式，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝0，2b ＝12.得b ＝4，a ＝－8，∴a ＋b ＝－4.【答案】 C4．已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝5，则li m n →∞⎝⎛1a 2－a 1＋⎭⎫1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n 等于( ) A ．2 B.32 C ．1D.12【解析】令b n ＝log 2(a n －1)，则{b n }成等差数列， b 1＝log 22＝1，b 2＝log 24＝2，可知数列b n ＝log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝2n ＋1.则a n ＋1－a n ＝2n ＋1＋1－(2n ＋1)＝2n .即求li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝121－12＝1. 【答案】 C5．若a n 是(1＋x )n 展开式中含x 2的项的系数，则li m n→∞ ⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 3＋…＋1a n等于( ) A ．2B ．1 C.12 D.13【解析】 ∵a n ＝C 2n＝n (n －1)2， ∴1a n ＝2n (n －1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1－1n . li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝li m n →∞ 2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝li m n →∞2⎝⎛⎭⎫1－1n ＝2. 【答案】 A6．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且q ≥2，则li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n p －1⎝⎛⎭⎫1＋1n q －1等于( )A ．0B ．1 C.p qD.p －1q －1【解析】 li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n p －1⎝⎛⎭⎫1＋1n q －1＝li m n →∞ C 0p ⎝⎛⎭⎫1n 0＋C 1p ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋C p p ⎝⎛⎭⎫1n p －1C 0q ⎝⎛⎭⎫1n 0＋C 1q ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋C q q ⎝⎛⎭⎫1n q－1＝li m n →∞ C 1p ⎝⎛⎭⎫1n ＋C 2p ⎝⎛⎭⎫1n 2＋…＋C p p ⎝⎛⎭⎫1n p C 1q ⎝⎛⎭⎫1n ＋C 2q ⎝⎛⎭⎫1n 2＋…＋C q q ⎝⎛⎭⎫1n q＝li m n →∞ C 1p ＋C 2p ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋C p p ⎝⎛⎭⎫1n p －1C 1q ＋C 2q ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋C q q ⎝⎛⎭⎫1n q －1＝pq .【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．(2008年陕西)li m n →∞ (1＋a )n ＋1n ＋a＝2，则a ＝________.【解析】 li m n →∞ (1＋a )n ＋1n ＋a＝li m n →∞ 1＋a ＋1n 1＋a n＝1＋a ＝2.∴a ＝1.【答案】 18．(2008年安徽)在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则li m n →∞ a n －bn a n ＋bn 的值为________．【解析】由a n －a n －1＝4n －52－⎣⎡⎦⎤4(n －1)－52＝4知该数列为等差数列，a 1＝4－52＝32，又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n 2－12n ＝an 2＋bn ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－12. 故li m n →∞ a n －bna n ＋b n ＝li m n →∞ 2n －⎝⎛⎭⎫－12n 2n ＋⎝⎛⎭⎫－12n ＝li m n →∞ 1－⎝⎛⎭⎫－14n 1＋⎝⎛⎭⎫－14n ＝1. 【答案】 19．计算li m n →∞ C 3nn 3＋1＝________. 【解析】 li m n →∞ C 3nn 3＋1＝li m n →∞ n (n －1)(n －2)3·2·1n 3＋1 ＝li m n →∞ n (n －1)(n －2)6(n 3＋1)＝li m n →∞⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－2n 6⎝⎛⎭⎫1＋1n 3＝16li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1－1n ·li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1－2n li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 3＝16. 【答案】 16三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．已知S n ＝2＋ka n 为数列的前n 项和，其中k ≠1且k ≠0. (1)求a n ； (2)若li m n→∞S n ＝2，求k 的取值范围．【解析】对于(1)可利用关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，(n ＝1)S n －S n －1，(n ≥2)求解；对于(2)关键是将条件转化为li m n→∞a n ＝0. (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2＋ka 1，解得a 1＝21－k，当n ≥2时，∵a n ＝S n －S n －1＝ka n －ka n －1， ∴a n a n －1＝k k －1(k ≠1)，又∵k ≠0，∴数列{a n }是以kk －1为公比的等比数列，故a n ＝21－k ⎛⎭⎫k k －1n －1.(2)∵li m n→∞S n ＝2，∴li m n→∞(2＋ka n )＝2， ∴li m n →∞a n ＝0，即li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21－k ⎝⎛⎭⎫k k －1n －1＝0， ∴⎪⎪⎪⎪kk －1<1，即k 2<k 2－2k ＋1. 解得k <12且k ≠0.11．已知等差数列前3项为a 、4、3a ，前n 项和为S n ，S k ＝2 550. (1)求a 及k 的值；(2)求li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2…＋1S n . 【解析】 (1)由已知a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， ∴a 3－a 2＝a 2－a 1，即4a ＝8，∴a ＝2.∴首项a 1＝2，d ＝2，S k ＝k ·a 1＋k (k －1)2d ，得k ·2＋k (k －1)2×2＝2 550.∴k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)， ∴a ＝2，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n ＝n (n ＋1)，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，∴li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝li m n →∞ ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝1. 12．已知数列{a n }是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)求li m n →∞ 2n －1－a n2n ＋a n ＋1的值．【解析】 (1)由已知得a n ＝c ·a n －1，∴{a n }是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·c n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n (c ＝1)，3(1－c n )1－c (c >0且c ≠1).(2)li m n →∞ 2n －1－a n 2n ＋a n ＋1＝li m n →∞ 2n －1－3c n －12n ＋3c n.①当c ＝2时，原式＝－14；②当c >2时，原式＝li m n →∞⎝⎛⎭⎫2c n －1－32·⎝⎛⎭⎫2c n －1＋3c＝－1c ；③当0<c <2时，原式＝li m n →∞1－3⎝⎛⎭⎫c 2n －12＋3c ·⎝⎛⎭⎫c 2n －1＝12.。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题1

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角【解析】根据题意，直线l 的斜率k ＝(tan α＋1)－1(m ＋1)－m＝tan α.令θ为直线的倾斜角，则一定有θ∈[0，π)，且tan θ＝k ，所以若α∈[0，π)，则α是直线l 的倾斜角；若α∉[0，π)，则α不是直线l 的倾斜角，所以α不一定是直线l 的倾斜角．【答案】 C2．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( )A ．0 B.33C. 3 D ．－ 3【解析】 ∵PQ 的斜率为－3，∴其倾斜角为120°.将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，故斜率为 3.【答案】 C3．(2010年厦门模拟)若点(5，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0与3x －4y ＋5＝0之间，则整数b 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4【解析】把x ＝5代入6x －8y ＋1＝0得y ＝318，把x ＝5代入3x －4y ＋5＝0得y ＝5，∴318＜b ＜5. 又∵b 为整数，∴b ＝4.【答案】 C4．已知点A (2,3)，B (－5,2)，若直线l 过点P (－1,6)，且与线段AB 相交，则该直线倾斜角的取值范围是( ) A ．[π4，π2)∪(π2，34π] B ．[π4，34π] C ．[0，π4] D ．[0，π4)∪[34π，π)【解析】如图．∵k P A ＝－1，k PB ＝1，∴直线l 的斜率k ≥1或k ≤－1，∴倾斜角的范围为[π4，34π]．【答案】 B5．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a ＞0，b ＜0)三点共线，则a －b 的最小值等于( )A ．4B ．2C ．1D ．0【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a，∴1a －1b ＝1， ∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b＝2＋[(－b a )＋(－a b)]≥2＋2＝4. (当a ＝－b ＝2时取等号)【答案】 A6．一条直线l 被两条直线4x ＋y ＋6＝0和3x －5y －6＝0截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是( )A ．6x ＋y ＝0B ．6x －y ＝0C ．x ＋6y ＝0D ．x －6y ＝0【解析】设l 与直线4x ＋y ＋6＝0的交点为A (x 1，－4x 1－6)，与直线3x －5y －6＝0的交点为B (x 2，3x 2－65)，由题意知AB 的中点为原点．∴⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝0－4x 1－6＋3x 2－65＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝－3623x 2＝3623，∴A (－3623，623)，故直线l 的方程为y ＝623－3623x ＝－16x ，即x ＋6y ＝0. 【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．过两点A (m 2＋2，m 2－3)，B (3－m －m 2,2m )的直线l 的倾斜角为45°，则m 的值为________．【解析】由题意得：m 2－3－2mm 2＋2－3＋m ＋m 2＝1，解得：m ＝－2或m ＝－1.又m 2＋2≠3－m －m 2，∴m ≠－1且m ≠12，∴m ＝－2. 【答案】－28．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则实数a 的值为________．【解析】直线l 的斜率k ＝2－a －2－a ＋2＝－1a (a ≠0)， ∴－1a ·(－23)＝－1，∴a ＝－23.【答案】－239．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是________．【解析】设直线l 的方程为3x ＋4y ＝a (a ≠0)，则直线l 与两坐标轴的交点分别为(a 3，0)，(0，a 4)， ∴12×|a 3|·|a 4|＝24，解得a ＝±24， ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＝±24.【答案】 3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．若实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值．【解析】设k ＝y x，即y ＝kx ，如图所示，k OB ＝tan ∠O ′OB ＝322－(3)2＝3，k OA ＝－tan ∠O ′OA＝－31＝－3，且k OA ≤k ≤k OB ，∴k max ＝ 3.即y x的最大值为 3. 11．一条直线经过点P (3,2)，并且分别满足下列条件，求直线方程．(1)倾斜角是直线x －4y ＋3＝0的倾斜角的2倍；(2)与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，且△AOB 的面积最小(O 是坐标原点)．【解析】 (1)设所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则tan α＝14， tan θ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×141－116＝815. 又直线过P (3,2)，∴所求直线方程为y －2＝815(x －3)，即8x －15y ＋6＝0.(2)设所求直线方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，则3a ＋2b＝1， ∴3a ·2b ≤⎝⎛⎭⎫122＝14，当且仅当3a ＝2b ＝12，即a ＝6，b ＝4时等号成立， ∴a ·b ≥24， ∴三角形面积S ＝12ab ≥12，故当S △ABC 取最小值为12时，所求直线方程为x 6＋y 4＝1，即2x ＋3y －12＝0.12．直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．(1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．【解析】依题意，l 的斜率存在，且斜率为负．设l ：y －4＝k (x －1)(k ＜0)．令y ＝0，可得A ⎝⎛⎭⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0,4－k )． (1)|P A |·|PB |＝ ⎝⎛⎭⎫4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2) ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k ＋(－k )≥8. (注意k ＜0) ∴当且仅当1k＝k 且k ＜0即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝⎝⎛⎭⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝⎛⎭⎫k ＋4k ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9. ∴当且仅当－k ＝4－k且k ＜0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。

2011届高考数学第一轮课时精练测试题14

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2008年四川高考题)设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角的直线有且只有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】所求直线在平面α内的射影必与直线l 平行，这样的直线只有两条，选B.【答案】 B2．(2008年全国高考题)已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( )A.13B.23C.33D.23【解析】由题意知三棱锥A 1—ABC 为正四面体，设棱长为a ，则AB 1＝3a ，棱柱的高A 1O＝a 2－AO 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫23×32a 2＝63a (即点B 1到底面ABC 的距离)，故AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为A 1O AB 1＝23. 另解：设AB →，AC →，AA 1→为空间向量的一组基底，AB →，AC →，AA 1→的两两间的夹角为60°，长度均为a ，平面ABC 的法向量为OA 1→＝AA 1→－13AB →－13AC →，AB 1→＝AB →＋AA 1→，OA 1→·AB 1→＝23a 2，|OA 1→|＝63a ，|AB 1→|＝3a . 则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为|OA 1→·AB 1→||OA 1→||AB 1→|＝23. 【答案】 B3．(2007年全国)如图所示，正四棱柱，ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45 【解析】如图所示，连结CD 1、AC ，则CD 1∥A 1B ，则A 1B 与AD 1所成角即为∠CD 1A 或其补角．设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以有AD 1＝CD 1＝5a ，AC ＝2a ，在△AD 1C 中，由余弦定理得cos ∠AD 1C ＝AD 21＋CD 21－AC 22×AD 1×CD 1＝5a 2＋5a 2－2a 22×5a ×5a ＝45，所以异面直线A 1B 和AD 1所成角的余弦值为45. 【答案】 D4．设直线l 与直二面角的两个面α、β所成的角分别为θ1和θ2，则( )A ．0<θ1＋θ2<π2B ．0≤θ1＋θ2≤π2C ．0<θ1＋θ2≤π2D ．θ1＋θ2>π2【解析】如图所示，∠ABC ＝θ1，∠BAD ＝θ2<∠BAC ，∴θ1＋θ2<π2.当D 、C 重合时，θ1＋θ2＝π2，当l 为α、β的交线时，θ1＋θ2＝0，∴0≤θ1＋θ2≤π2. 【答案】 B5．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．无法确定【解析】如图，α—l —β为直二面角，γ—a —δ为另一个二面角，使γ⊥α，δ⊥β，a ⊥β.把γ平面固定不动，使δ平面绕a 转动时，满足条件，但γ—a —δ的度数不能确定，∴应选D.【答案】 D6．如图所示，过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD ，若P A＝AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解析】过P 作PQ ∥AB .则PQ 为面ABP 与面CDP 的交线，∵AP ⊥AB ，∴AP ⊥PQ .又CD ⊥AD 且CD ⊥AP ，∴CD ⊥DP ，即DP ⊥PQ ，所以∠DP A 为所求的二面角的平面角．显然∠DP A ＝45°，故选B.【答案】 B二、填空题(每小题6分，共18分) 7．(2008年四川高考)已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该四棱柱的体积等于________．【解析】如图，设正四棱柱的底边长为a ，高为h ，则对角线BD 1与底面所成的角为∠DBD 1，由题意得⎩⎨⎧ a 2＋a 2＋h 2＝6cos ∠DBD 1＝2a 6＝33，解得a ＝1，h ＝2，∴VABCD —A 1B 1C 1D 1＝a 2h ＝2.【答案】 28．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos α＝________.【解析】 ∵为填空题，∴不妨设正四棱柱为一个正方体．而在正方体中与各个面所成角相等的为体对角线，如图所示．即图中∠CA 1D .而若令正方体棱长为1，则A 1D ＝2，A 1C ＝12＋12＋12＝3，∴cos ∠CA 1D ＝23＝63. 【答案】 639．已知点O 在二面角α—AB —β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α—AB —β的大小是________．【解析】 ∵对于β内异于O 的点Q ，都有∠POQ ≥45°，∴PO 与面β所成的角即为45°，若作PQ ⊥β于Q 点，则∠POQ ＝45°，∴Q ∈AB .又PQ ⊂α，∴α⊥β即α—AB —β的大小为90°.【答案】 90°三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)10．如图所示，四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA ＝45°，∠SBC ＝60°，M 为AB 的中点．求：(1)BC 与平面SAB 所成的角；(2)SC 与平面ABC 所成角的正切值．【解析】 (1)∵CS ⊥SB ，CS ⊥SA ，∴SC ⊥平面SAB ，∴BC 在平面SAB 上的射影为SB .∴∠SBC 为BC 与平面SAB 所成的角．又∠SBC ＝60°，故BC 与平面SAB 所成的角为60°.(2)连结MC ，在Rt △ASB 中，∠SBA ＝45°，∴SM ⊥AB .又AB ⊥SC ，∴AB ⊥面SMC .∴面SMC ⊥面ABC .过点S 作SO ⊥MC 于点O ，∴SO ⊥面ABC ，∴∠SCM 为SC 与平面ABC 所成的角．设SB ＝a ，则SM ＝22a ，在△SBC 中，SC ＝SB tan 60°＝3a ，∴tan ∠SCM ＝SM SC ＝66. 11．如图所示，已知直二面角α—PQ —β，A ∈PQ ，B ∈α，C ∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°.(1)证明BC ⊥PQ ；(2)求二面角B —AC —P 的大小．【解析】 (1)证明：在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB .因为α⊥β，α∩β＝PQ ，所以CO ⊥α.又因为CA ＝CB ，所以OA ＝OB .而∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，从而BO ⊥PQ .又CO ⊥PQ ，所以PQ ⊥平面OBC .因为BC ⊂平面OBC ，故PQ ⊥BC .(2)由(1)知，BO ⊥PQ ，又α⊥β，α∩β＝PQ ，BO ⊂α，所以BO ⊥β.过点O 作OH ⊥AC 于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH ⊥AC . 故∠BHO 是二面角B —AC —P 的平面角．由(1)知，CO ⊥α，所以∠CAO 是CA 和平面α所成的角，则∠CAO ＝30°.不妨设AC ＝2，则AO ＝3，OH ＝AO sin 30°＝32.在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，所以BO ＝AO ＝ 3. 于是在Rt △BOH 中，tan ∠BHO ＝BO OH ＝332＝2. 故二面角B —AC —P 的大小为arctan 2.12．(2008年重庆高考题)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝152，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，使AD DB ＝AE EC＝2，DE ＝3.现将△ABC 沿DE 折成直二面角，求：(1)异面直线 AD 与BC 的距离；(2)二面角A —EC —B 的大小(用反三角函数表示)．【解析】 (1)因AD DB ＝AE EC，故DE ∥BC ，又因∠B ＝90°，从而AD ⊥DE . 因A —DE —B 是直二面角，AD ⊥DE ，故AD ⊥底面DBCE ，从而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ，故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线．由AD DB ＝AE EC ＝2，得DE BC ＝AD AB ＝23. 又已知DE ＝3，从而BC ＝32DE ＝92.AB ＝AC 2－BC 2＝⎝⎛⎭⎫1522－⎝⎛⎭⎫922＝6. 因DB AB ＝13，故DB ＝2，为所求异面直线AD 与BC 的距离． (2)过D 作DF ⊥CE ，交CE 的延长线于F ，连接AF .由(1)知，AD ⊥底面DBCE ，由三垂线定理知AF ⊥FC ，故∠AFD 为二面角A —EC —B 的平面角．在底面DBCE 中，∠DEF ＝∠BCE ，DB ＝2，EC ＝13·152＝52，因此sin ∠BCE ＝DB EC ＝45. 从而在Rt △DFE 中，DE ＝3，DF ＝DE sin ∠DEF ＝DE sin ∠BCE ＝3·45＝125. 在Rt △AFD 中，AD ＝4，tan ∠AFD ＝AD DF ＝53. 因此所求二面角A —EC —B 的大小为arctan 53.。

2011年高考数学一轮精品题集：圆锥曲线

2011届高考数学一轮复习精品题集圆锥曲线第2章圆锥曲线与方程考纲总要求：①了解圆锥曲线的实际背景，了解在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．③了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． ④理解数形结合的思想． ⑤了解圆锥曲线的简单应用．§2.1-2椭圆重难点：建立并掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．[:.]当堂练习：1．下列命题是真命题的是（） A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为a c的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0)和定直线ca x 2-=的距离之比为a c(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D ．到定直线c a x 2=和定点F(c ，0)的距离之比为ca(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是（）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x 3．若方程2+y2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A ．（0，+∞）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，1）4．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+b y a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（） A ．41B ．22C ．42D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离（）A ．516B ．566C ．875D ．877[:学|||||]8．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P1，P2，线段P1P2的中点为P ，设直线m 的斜率为1（01≠k ），直线OP 的斜率为2，则12的值为（）A ．2B ．－2C ．21D ．－2111．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .12．与椭圆4 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________． 13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+y x 上的点，则y x +的取值范围是________________ ．14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．16．过椭圆4:),(148:220022=+=+y x O y x P y x C 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）17．椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点.（1）求2211b a+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.18．一条变动的直线L 与椭圆42x +2y 2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．第2章圆锥曲线与方程 §2.3双曲线重难点：建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：已知不论b 取何实数，直线y=+b 与双曲线1222=-y x 总有公共点，试求实数的取值范围．[:.]当堂练习：1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线2．方程11122=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（）A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k3．双曲线14122222=--+m y m x 的焦距是（）A ．4B ．22C ．8D ．与m 有关4．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m －y+n=0与n2+my2=mn 所表示的曲线可能是A B C D 5．双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（）A ．23B ．3C ．34D ． 3 6．焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x7．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有（）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ．相同的焦点8．过双曲线191622=-y x 左焦点F1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F2为右焦点）的周长是（）A ．28B ．22C ．14D ．129．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条10．给出下列曲线：①4+2y －1=0; ②2+y2=3; ③1222=+y x ④1222=-y x ，其中与直线y=－2－3有交点的所有曲线是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④11．双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为__________________________．12．与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为____________．13．直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =__________________．14．过点)1,3(-M 且被点M 平分的双曲线1422=-y x 的弦所在直线方程为．15．求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．16．双曲线()0222>=-a a y x 的两个焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上任意一点，求证：21PF PO PF 、、成等比数列（O 为坐标原点）．17．已知动点P 与双曲线2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos ∠F1PF2的最小值为－13.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为(≠0)的直线l 与P 点的轨迹交于不同的两点A 、B ，若要使|MA|＝|MB|，试求的取值范围．18．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).第2章圆锥曲线与方程 §2.4抛物线重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题．经典例题：如图, 直线y=21与抛物线y=812－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：[:学**]1．抛物线22x y =的焦点坐标是（）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ．41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A ．y x 82=B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=3．抛物线xy 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A ．yx 292-=或x y 342= B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-=5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t y t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,,成等差数列，则（） A ．321,,x x x 成等差数列 B ．231,,x x x 成等差数列 C ．321,,y y y 成等差数列 D ．231,,y y y 成等差数列7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PF PA +取得最小值时点P 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式2121x x y y 的值一定等于（）A ．4pB ．－4pC ．p2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp 11+ （）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y2=2p (p>0)的动弦，且|AB|=a (a>2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（）A ．21aB ．21pC ．21a ＋21pD ．21a －21p 11．抛物线xy =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．12．已知圆7622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p___________．13．如果过两点)0,(aA和),0(aB的直线与抛物线322--=xxy没有交点，那么实数a的取值范围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y轴上；（2）焦点在轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y2=10的条件是(要求填写合适条件的序号）______．15．已知点A（2，8），B（1，y1），C（2，y2）在抛物线pxy22=上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.16．已知抛物线y=a2－1上恒有关于直线+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.[:学]17．抛物线2=4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF 为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.18．已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（0，y0）；（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.[:学]第2章圆锥曲线与方程 §2.5圆锥曲线单元测试1)如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么x y的最大值是（） A 、21 B 、33 C 、23D 、32)若直线01)1(=+++y x a 与圆0222=-+x y x 相切，则a 的值为（） A 、1,1- B 、2,2- C 、1 D 、1-3)已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF的周长为（）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ） 4144)椭圆13610022=+y x 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）85)椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF⊥，则△21PF F 的面积为（）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）86)椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）（A ）3（B ）11（C ）22（D ）107)以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A ）222=-y x （B ）222=-x y （C ）422=-y x 或422=-x y （D ）222=-y x 或222=-x y8)双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）129)过双曲线822=-y x 的右焦点F2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F1是左焦点，那么△F1PQ 的周长为（）（A ）28 （B ）2814-（C ）2814+（D ）2810)双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2，︒=∠12021MF F ，则双曲线的离心率为（）（A ）3（B ）26（C ）36（D ）33[:++.]11)过抛物线2y ax =(a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q +等于（）（A ）2a （B ）12a （C ）4a（D ）4a12) 如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）（A ）02=-y x （B ）042=-+y x （C ）01232=-+y x （D ）082=-+y x13)与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，14）离心率35=e ，一条准线为3=x 的椭圆的标准方程是。