酒后驾车的优化模型

酒后驾车的优化模型【摘要】本文针对酒后驾车问题，建立了一个反映体液中酒精含量变化的微分方程模型，接下来用常数变易法对模型进行求解，用最小二乘法并借助于Matlab软件对数据进行了拟合，得到了模型的具体解。

建模过程是将机理分析和测试分析相结合，先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。

然后我们利用Mathematica软件对题目中的各个问题做出了解答：本问题是生活中的饮酒驾车问题，酒精对人体的作用过程实际上类似于生物医学中的药用过程，针对饮酒方式的不同，本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和周期饮酒三种形式来讨论。

并分别建立了一室快速饮酒、二室匀速饮酒以及周期饮酒三种系统动力学模型，并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系。

结合模型Ⅰ，运用MATLAB工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布，t:0.065—0.24小时内饮酒驾车；t:0.24—4.5小时内醉酒驾车；t:4.5—12小时内饮酒驾车。

结合模型Ⅱ，得到了在2个小时内均匀饮用三瓶啤酒的违规时间分布，t:2—4.5小时内为醉酒驾车；当t为4.5---12小时为酒驾车。

模型Ⅲ的建立,使问题一以及问题三得到了较为确切的解释。

【关键词】最小二乘法微分方程酒精饮酒1 问题重述•据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

•针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。

•驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车•血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车•大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准•在吃晚饭时他又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？•问题1 对大李碰到的情况做出解释•问题2 喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在下列情况下回答该问题：1.酒是在很短时间内喝的；2.酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的•问题3 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高•问题4 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车•问题5 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告2问题假设1. 假设整体过程中人没有摄入任何影响代谢的药类物质和做剧烈性运动。

2. 不考虑酒精进入体内随呼吸或汗液排出的量，及肠道细菌产生的酒精，只考虑饮入的酒全进入肠胃，再由肝脏等分解的过程。

3. 假设酒精从胃肠向体液的转移速度，与胃肠中的酒精浓度(或含量)成正比而与体液中酒精的浓度无关。

4. 假设体液中的酒精消耗(向外排出、分解或吸收)的速度，与体液中的酒精浓度(或含景)成正比。

5. 设人体血液和体液中酒精浓度相等,酒精进入血液后瞬间混合均匀。

6. 对问题一，假设大李在两次喝酒时都是将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。

7. 假设酒在很短的时间内喝完即将酒瞬时喝下去并立即进入胃肠中，没有时间耽搁。

8. 假设酒在较长一段时间内喝时是匀速喝下去。

3 符号说明p：所饮酒中含的酒精量；V：体液的体积；x(t)：t时刻肠胃中的酒精含0量：p(t):t时刻血液中的酒精浓度；y(t):t时刻血液中的酒精含量。

r1(t)：饮入酒精的速率；r2(t):肠胃内酒精进入血液的速率；r3(t):肠胃内酒精进入（除体液外）其它地方的速率；r4(t)：血液中酒精被分解的速率。

4模型的建立一个人的血液中酒精含量取决于他的饮酒量、体内原有的酒精含量以及喝酒方式等。

由科普知识知道，酒精是经胃肠(主要是肝脏)的吸收与分解进入体液的。

根据假设可建立以下基本模型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===-=--=)()()()()()()()()()()(44332242321t y k t r t x k t r t x k t r t r t r d d t r t r t r d d t y tx 从生物学可知，酒类进入人体后，胃及血液中酒精随注入酒精速率、浓度、时间等不同产生不同的代谢速率。

下面根据饮酒速率及方式的不同建立三种实用模型。

○1短时间内快速饮酒模型 在基本模型的基础上，由短时间快速饮酒的特点可得出初始值：0)(1=t r ，0)0(p x =,0)0(=y ，将其代入基本模型可得模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧*-*=*+-=)()()()(4232t x k t x k d d t x k k d d ty t x 二、符号说明及模型假设2.1符号说明0x ---------人体饮入酒精总量t----------饮用酒的时间)(t x -------t 时刻血液中的酒精量)(1t x ------t 时刻人体吸收的酒精量M----------人的体重λ---------人的体液占人的体重的百分含量μ----------人的血液占人体重的百分含量1k ----------酒精在人体中的吸收速率常数[1]k ----------酒精在人体中的消除速率常数[1]()t c --------t 时刻血液中的酒精浓度F-------------酒精在人体中的吸收度V-------------人体的血液体积V 酒-----------喝酒的体积ρ-------------酒中的酒精含量τ-------------饮酒持续时间2.2基本假设1. 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同；2. 每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同；3. 酒精进入人体后，不考虑其他因素对酒精的分解作用；4. 如果在很短时间内饮酒，认为是一次性饮入，中间的时间差不计；5. 确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界；6. 不管喝的是什么酒，只以涉入的酒精总量纳入计算；7. 酒精按一级吸收过程进入体内；8. 正常情况下，酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同；9. 将慢速饮酒看作是一个匀速过程。

三、问题分析与模型建立3.1模型Ⅰ（快速饮酒模型）同药物一样，酒精进入机体后，作用于机体而影响某些器官组织的功能；另一方面酒精在机体的影响下，可以发生一系列的运动和体内过程：自用药部位被吸收进入血液循环；然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内；有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合；或在各组织（主要是肝脏）发生化学反应而被代谢；最后，酒精可通过各种途径离开机体（排泄）；即吸收、分布、代谢和排泄过程。

它们可归纳为两大方面：一是酒精在体内位置的变化，即酒精的转运，如吸收、分布、排泄；二是酒精的化学结构的改变，即酒精的转化亦即狭义的代谢。

由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度（血浆内、组织内）的变化，而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。

又因为酒精有促进血液循环的作用[2]。

而药物动力学模型中的一室模型[3]是指给药后，药物一经进入血液循环，即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。

虽然酒精在体内的分布状况复杂，但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行，酒精进入人体后，经一段时间进入血液，进入血液后，当在血液中达最高浓度时，随后开始消除[3]，把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程，这样便会使问题得到简化。

用in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛和outdt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛分别表示酒精输入速率和输出速率。

由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率dtdx 就等于输入与输出速率之差，所以其动力学模型为：dt dx =in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-out dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛ （1）又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比，所以outdt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=kx ，代入（1）式得： dt dx =indt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-kx （2） 则由（2）式可知x(t)的变化规律由饮酒速率而定。

而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示：1k(图一)则t 时刻吸收室的药量为x 1(t)，又药物是按一级吸收过程进入体内的，对于吸收室有：dtdx =-k 1x 1 (3) 对于房室，in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=11x k ，于是（2）式变为：kx x k dt dx -=111 （4） （3）、（4）两式构成一阶线性方程组，当t=0时，01)0(Fx x =，x(0)=0,解（2）式得：t k e Fx x 101-=，将其代入（4）式得一阶线性非齐次方程：t k e Fx k kx dt dx 101-=+ 解之得：()t k kt e e k k Fx k t x 1101)(----=从而，人体内酒精含量为： ()t k kt e e k k V Fx k t C 1)()(101----= 在这种情况下，酒精含量最大值出现的时间：使0=dtdc 时t 的值。

一般情况下，又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。

则有： μλM Fx M x 00= ⇒ λμ=F (F 为常数且0<F<1) X 0=ρV 酒则人体内酒精含量与时间函数关系为:)()()(111t k kt e e K K V V k t C ----=λμρ酒（一般情况）3.1.1模型的求解根据图一中酒精含量实测数据拟合,显然它无法化为线性最小二乘,我们直接作非线性最小二乘拟合[4]。

用MATLAB 优化工具箱的Leastsq [5]计算,拟合参数),,(01VFx k k x = 程序见:JM2004C1.m 。

拟合得：1k =2.0079mg ·ml -1·h -1,k=0.1855mg ·ml -1·h -1,VFx 0=11.2423（毫克/毫升），又由FV x ⨯=2423.110，得到问题中隐含的一瓶啤酒的酒精量约为：27543.635毫克。

3.1.2问题一的解答虽然大李喝等量的酒，并且相隔的时间也相同的情况下,两次检查的结果不一样是因为第一次喝下去的酒，在6小时内并没有完全分解，还残留有相当一部分在血液中，并且这一部分在较长时间内不能完全分解。

由图（二）喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像可知，6小时后，第一次喝的酒的酒精含量约19.5毫克/百毫升。

也就是说此时血液中已有一定的酒精量，这样虽然第二次喝的是同样多的酒，由于第一次残留部分的存在，相当于涉入的酒精量已增大了，使其同样再过6小时，酒精含将会大于20毫克/百毫升。

这样大李碰到的情况也就很自然的解释了（图二）现通过实际计算证明：设A 为第一次喝酒在六个小时后，残留在血液中的酒精量。