波动方程在动力打桩中的工程应用

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波动方程的改进
波动方程 的改进
本研究在原有的打桩分析一维应力波动方程中， 考虑桩身自重和桩周土阻力的影响，对波动方程 进行修正和推导，并基于桩侧土体和桩端土体在 竖向荷载作用下变形和破坏机理的不同，采用不 同土体模型分别计算桩侧、桩端土体的静阻力， 应用有限差分法求解、编制计算程序，应用于分 析实际工程的打桩施工。
问题分析
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波动方程的改进
分析
D.V. Isaacs(1931 年)将桩 周土体阻力R′ 引入古典的 一维波动方程得到
（1）仅仅在古典的一维波动方程中引入桩周土体阻力R'，并 没有真正反映出打桩过程中的波动响应。对方程进行量纲分析可 知，桩周土体阻力R′ 的量纲为1/m，而实际力的量纲应为N，因 式中 x 为桩截面的位置标； 此R′的物理意义不明确； u 为x 处桩截面的质点位移； （2）对于大直径（超大直径）、超长桩，其桩身重量很大， 第一季度 第一季度 t 为时间； R′ 为桩身土阻力， 对桩的可打入性有显著影响。因此，有必要在一维动力打桩波动 单击编辑副标题 单击编辑副标题 C 为弹性应力波波速，C = 方程中考虑桩身自重和桩周土阻力。 E / ρ ，E, ρ 分别为弹性模 量和密度。
波动方程在动力打桩中的工程应用
田敏 21160933059 建筑与土木工程
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前言 动力打桩一维波动方程的改进 土体模型的选择 动力打桩一维波动方程的求解 工程实例分析
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结语
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前言
问题由来
波动方程 的工程应用
对桩的可打入性进行准确的分析和预测是打桩施 工的关键环节，同时也关系到整个工程的进度与 成败。近年来，在土木工程、海洋工程和港口工 程中都出现了大直径、超长桩，由于这种桩的重 量大对桩的可打入性有显著影响，考虑桩身自重 和桩周土阻力，对打桩分析的一维应力波动方程 进行改进、推导。
则任一桩单元 i 在时刻t 时的平衡方程式为：
采用向后差分可得：
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波动方程的求解
可得单元的位移：
因此， t 时刻单元i 的变形为：
在 t 时刻单元i 的受力为：
在 t 时刻单元i 的受力为：
V (i,t)可用于计算下一个Δt的位移：
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波动方程的求解
以锤心撞击垫层的接触瞬间为计算的初始时刻t = 0，由于在初始时刻之前，整个桩、 土系统处于静止状态，故在t =0 时桩单元的弹簧力、土阻力、位移、速度及加速度均为零。 以锤心的锤击初速度为已知边界条件，进行第一个Δt内应力波在整个系统内传播的计算分 析。锤心在时间段Δt内产生的位移即为锤心弹簧的变形量，从而可算出作用在下一个单元 上的力。这个力使锤心速度减小，使锤心下面的单元产生加速度并获得新速度。 同理，在每一个Δt时段内逐个单元进行迭代计算，直到 满足下面两个条件： ① 桩单元的位移量不再增加； ② 各单元的速度均已为零或负值。通过上述的运算就可以得到桩在一次锤击中的性状。 采用上述方法编制计算软件用于实际工程的打桩分析。
各个土层的物理力学指标
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工程实例分析
下图同时给出了实测的贯入度与锤击数关系曲线。实测曲线表明，钢管桩在桩锤与桩自重作用下可沉入 到贯入深度5 m 处，随后进行打桩施工。在桩打入到21.3 m 处由于接桩停打11 h。从图中明显看到，由于 停止施工土体强度有一定恢复，造成沉桩难度增加。观察图中计算与实测贯入曲线可知，计算值与实测锤击 数基本一致，在最大贯入深度26.48 m 处，计算得到的角贯入30 cm 锤击数/30 cm为282 击；对应的观测值 为303 击。由此可见，改进的计算模型预测结果较准确，相对误差小于7 %
桩侧土体模型
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波动方程的求解
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波动方程的求解
采用差分法求解波动方程。将整个打桩系统（桩锤、垫层、桩帽和桩）在空间上离散成若干个由刚 性质量块和无质量的弹簧（模拟弹性）组成的单元，如下图所示：
桩的计算模型
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波动方程的求解
单元的长度为Δl ，在计算中将一次锤击历时划分为多个时间间隔Δt ，选取相当短的时间间隔Δt ，使得 弹性应力波在Δt 内来不及由一个单元传播到下一个单元，这样所取的Δt 单元的运动可近似作为等速运动。 若以 tcr 为临界时间间析
某海洋石油平台水深24.5 m，潮差1.0，1.5 m。地质资料见表1。平台采用钢管桩基础，用MB－70 型 柴油锤进行打桩施工。钢管桩分上、下两段长度分别为12.19，56.92 m，总长69.11 m。打桩设计入泥深度 为26.48 m，桩端持力层位于第⑤层为粉细砂层。
右边第2 项为桩的自重对应力波传播的影响；第3 项为桩周土体阻力对应力波传播的影响。显然，该方 程与式原波动方程明显不同，且有：
由此可见， R′ 为反映桩周土体阻力的一个参数，其量纲为1/m，而不是桩周土阻力。
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土体模型的选择
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土体模型的选择
动力打桩过程中，桩侧土体单元i 在时刻t 所发挥的静阻力和动阻力分别由非线性弹簧和缓冲壶组成的模型 来模拟
桩身最大轴力分布曲线
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工程实例分析
下图给出了桩身单元在一次锤击过程中计算与实测的最大压应力沿桩长变化曲线，其中计算得到的最大 值分别为146.65 MPa，实测到的最大值为141.2 MPa，均远小于钢材的屈服应力360 MPa。计算值与实测 值吻合较好。
桩身最大应力分布曲线
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结语
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结语
对于大直径钢管桩其自重对桩可打入性的影响不容忽视，研究在原有的动力 打桩一维波动方程中考虑了桩身自重和桩周土体阻力的影响，分别采用双曲线模 型和弹性理想塑性模型模拟桩侧与桩端土阻力，对修正后的动力打桩一维波动方 程进行推导，采用有限差分法求解并编制了计算程序应用于分析实际打桩工程。 分析结果表明，该方法可有效的预测桩的可打入性、贯入过程中的锤击数、桩身 最大轴力和桩顶应力响应，与实测数据吻合较好。 以上波动方程的工程应用表明:我们需要根据工程的实际情况对波动方程的具 体形式进行适当优化。
敬请老师批评 指正
公式中存在两方面的不足：
两 点 问 题
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波动方程的改进
第一季度
单击编辑副标题
单击编辑副标题
第一季度
桩单元受力分析
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波动方程的改进
桩单元受力分析
假设桩在贯入过程中，受到冲击荷载的撞击后任一截面在变形仍保持平面，则微分单元i 处的应变ε 为：
（式中 u 为截面的位移（m），是时间t 及截面位置x的函数。）
桩微分单元 i 在截面ab 处的受力为：
在截面 cd 处的受力为
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波动方程的改进
桩单元受力分析 微分单元 i 上所受合力为：
（式中 R 为微分单元所受的土阻力（N）；G 为微分单元 i 的重量（N）。）
合力产生的加速度a 可按下式计算：
整理得到：
故一维动力打桩的波动方程为:
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波动方程的改进
桩单元受力分析
桩贯入度与锤击数关系曲线
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工程实例分析
下图为计算得到的在一次锤击过程中桩顶应力响应的时程曲线，实际打桩施工中观测到的桩顶最大应力 为133.3 MPa，与计算值相差小于10 %，满足精度要求。
计算得到的桩顶应力响应
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工程实例分析
下图 中同时给出了实测的在一次锤击过程中桩身最大轴力沿桩长变化曲线，计算得到的桩身最大轴力 为11.292 MN，实测值为11.585 MN，且发生的位置都在距桩顶13~16 m 处，可见计算值与实测值非常接近。