CP030-计算物理数据插值

j
=∏
i =0 i≠ j
x −x
j=0,1,…，n
i
（1）
这里每个lj(x)都是n次多项式，且由(1)式容易验证lj(x）满足 这里每个 都是n次多项式，且由(1)式容易验证 都是 (1)式容易验证
0, l j ( x i ) = 1, i≠ j i= j
（2）
Lagrange插值基函数 插值基函数 插值
代数插值问题解的存在惟一性
的系数行列式是Vandermonde行列式 而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是 的系数行列式是 行列式
1 1 V( x 0, x1,..., x n) = ... 1
x x x x
0 1
2 0 2 1
... ... ... ...
x x x
n 0 n 1
...
二次插值) 解:(二次插值 二次插值 function chazhi2 %二次插值 二次插值 x0=pi/6;y0=1/2; x1=pi/4;y1=1/sqrt(2); x2=pi/3;y2=sqrt(3)/2; x=pi/180*50; y=chazhi22(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)%选择插值函数 选择插值函数 error=y-sin(x) function y=chazhi21(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)%拉格朗日插值法 拉格朗日插值法 y=((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))*y0+((x-x0)*(x-x2))/... ((x1-x0)*(x1-x2))*y1+((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))*y2; function y=chazhi22(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)%牛顿插值法 牛顿插值法 y=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*( x-x0)+(x-x0)*(x-x1)*... ((y2-y1)/(x2-x1)-(y1-y0)/(x1-x0))/(x2-x0);
Matlab 编程实现
Function y=chazhi1(x0,y0,x1,y1,x)%拉格朗日插值法 拉格朗日插值法 y=(x-x1)/(x0-x1)*y0+( x-x0)/(x1-x0)*y1 Function y=chazhi1(x0,y0,x1,y1,x)%牛顿插值法 牛顿插值法 y=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*( x-x0)
可以证明函数组l 可以证明函数组 0(x)，l1(x)，…, ln(x) 在插值区间［a,b］上 线性无关，所以这n+1个函数可作为 n的一组基函数，称为 个函数可作为P 线性无关，所以这 个函数可作为 的一组基函数， Lagrange插值基函数。 插值基函数。 插值基函数 对任意的p 都有p (x)其 对任意的pn(x)∈Pn，都有pn(x)=c0 l0(x)+c1 l1(x)+…+cnln(x)其 为组合系数。 中c0,c1,…,cn为组合系数。
function y=chazhi11(x0,y0,x1,y1,x)%拉格朗日插值法 拉格朗日插值法 y=(x-x1)/(x0-x1)*y0+( x-x0)/(x1-x0)*y1; function y=chazhi12(x0,y0,x1,y1,x)%牛顿法 牛顿法 y=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*( x-x0);
三节点----二次插值 三节点----二次插值 ----
三节点----二Leabharlann 插值 三节点----二次插值 ----
三节点----二次插值 三节点----二次插值 ----
三节点----二次插值 三节点----二次插值 ---Matlab 编程实现
Function y=chazhi1(x0,y0,x1,y1,x2,y2,x)%拉格朗日插值法 拉格朗日插值法 y=((x-x1)*(x-x2))/((x0-x1)*(x0-x2))*y0+ ((x-x0)*(x-x2))/((x1-x0)*(x1-x2))*y1+… ((x-x0)*(x-x1))/((x2-x0)*(x2-x1))*y2 Function y=chazhi1(x0,y0,x1,y1, x2,y2,x)%牛顿插值法 牛顿插值法 y=y0+(y1-y0)/(x1-x0)*( x-x0)+… (x-x0)*(x-x1)*((y2-y1)/(x2-x1)-(y1-y0)/(x1-x0))/(x2-x0)
两节点----一次（线性） 两节点----一次（线性）插值 ----一次
两节点----一次（线性） 两节点----一次（线性）插值 ----一次
两节点----一次（线性） 两节点----一次（线性）插值 ----一次
两节点----一次（线性） 两节点----一次（线性）插值 ----一次
两节点----一次（线性） 两节点----一次（线性）插值 ----一次
g(x)
f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
插值函数的类型
最常用的插值函数是 …? 代数多项式 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值 用代数多项式作插值函数的插值称为代数插值
插值法 插值问题
本章主要讨论的内 插值函数容
代数插值中的三个问题
代 数 插 值 一、插值问题解的存在唯一性？ 二、插值多项式的常用构造方法？ 三、插值函数的误差如何估计？
(1) (2)
代数插值问题解的存在惟一性
为此由插值条件( (x)的系数满足下列n+1个 的系数满足下列n+1 为此由插值条件(1)知Pn(x)的系数满足下列n+1个 代数方程构成的线性方程组 a0+a1x0+…+anx0n=f(x0) a0+a1x1+…+anx1n= f(x1)
……(3)
……………………. a0+a1xn+…+anxnn= f(xn)
l0 (x0 ) l1(x0 ) l0 (x1) l1(x1) ⋮ ⋮ l0 (xn ) l1(xn )
⋯ ln (x0 ) c0 f (x0 ) ⋯ ln (x1) c1 f (x1) = ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ln (xn ) cn f (xn )
n
...
2 n
...
n n
= ∏∏ ( x i − x j )
i =1 j = 0
n
i −1
x x
由于xi互异，所以(4)右端不为零，从而方程组 (3)的解 a0 ,a1 ,…an 存在且唯一。
代数多项式插值存在的问题
通过解上述方程组(3)求得插值多项式 n(x)的方法 求得插值多项式p 通过解上述方程组 求得插值多项式 的方法 并不可取.这是因为当 较大时解方程组的计算量 并不可取 这是因为当n较大时解方程组的计算量 这是因为当 较大， 较大，而且方程组系数矩阵的条件数一般较大 可能是病态方程组 ,当阶数 是病态方程组） 当阶数n越高时， （可能是病态方程组）,当阶数n越高时，病态越 重。 为此我们必须从其它途径来求 ： Pn(x)：不通过求解方程组而获得 插值多项式
实验数据的插值
举例
已经测得在某热敏电阻在不同温度下的电阻如下： 电阻（欧姆） 600 300 100 50 10 5 温度（摄氏度）10 30 50 70 90 100 根据这些数据，希望合理地估计出其它温度（如 25摄氏度，40摄氏度…）时的电阻 这就是本章要讨论的“插值问题”
插值问题的定义
非常复杂或未知时， 当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在区 间[a,b]上一系列节点 x0 … xm处测得函数值 y0 = 上一系列节点 f(x0), …, ym = f(xm)，由此构造一个简单易算的 ， 近似函数 g(x) ≈ f(x)，满足条件 ， g(xj) = f(xj) (j = 0, … m) (*) 这个问题称为“插值问题” 这个问题称为“插值问题” 称为f(x) 的插值函数。 插值函数。 这里的 g(x) 称为 称为插值节点 插值节点, 节点 x0 … xm称为插值节点 条件（ 称为插值条件，区间[a,b]称为插值区间 称为插值条件 称为插值区间 条件（*)称为插值条件，区间 称为
Lagrange插值基函数满足(2)式可知 插值基函数满足(2)式可知， 由Lagrange插值基函数满足(2)式可知，方程组变成
1 0 ⋮ 0 0 1 ⋮ 0 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 c0 0 c1 ⋮ ⋮ 1 cn f ( x0 ) f ( x1 ) = ⋮ f ( xn )
代数多项式插值的基本思想
基本思想： 基本思想：在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 P (x),ϕ (x),…, x),使 ϕ0(x),ϕ1(x), , ϕn（x),使 pn(x)=a0 ϕ0(x) +a1 ϕ1(x) +…+an ϕn（x) 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 不同的基函数的选取导致不同的插值方法 Lagrange插值 插值 Newton插值 插值
因此得到插值多项式 pn(x)= f(x0)l0(x)+f(x1) l1(x)+…+ f(xn) ln(x) (x)为 Lagrange插值多项式 称Ln(x)为n次Lagrange插值多项式
记为Ln(x)＝Σ f(xj)lj(x) 记为 ＝
插值余项 /* Remainder */
定理
f ( n +1) ( x ) 在[a , b]内存在 则在 , b]上 内存在, 内存在 则在[a 上 若
个互异的点， 所作的n次 的n+1个互异的点，对 f（x)所作的 次Lagrange插 个互异的点 所作的 插 值多项式L 值多项式 n (x) 有误差估计