高等数学A(3)B卷中典型试题的解答与分析

高等数学A （3）B 卷中典型试题的解答与分析

高等数学A （3）的教学内容是四川大学数学系编著的《高等数学》第二册中的2章（幂级数和傅里叶级数、广义积分和含参变量积分），第三册线性代数的全部内容共7章（行列式，矩阵代数，线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n 元实二次型）。本次期末试题的覆盖面较广，现将几个较典型的试题给予解答与分析。

1．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,

求参数.c

解一： 设二次型的矩阵为A ,

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛----=c A 33351315

二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩.

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=c c c c A 2600912035191201224035

133351315

由已知A 的秩为2, 所以.3,026==-c c

解二：由于A 的秩为2, 由矩阵秩的定义有0||=A . 由05

11

53135335313

=--+--+--=c A ，

解得3=c ,且易验证3=c 时, 矩阵对应的行列式A 有二阶子式不为零，因此A 的秩为2，故所求二次型的秩为2.

分析：本题考核二次型秩的概念.解一利用二次型秩的定义求解。即利用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩,将原问题转化为求相应矩阵的秩,利用初等变换求得c .解二利用矩阵秩的定义直接求得c .

在本题的求解中,典型的错误有：

1)矩阵初等变换的符号“→”与运算符号“=”混淆,由此看出对初等变换的理解还不够.

2)由行列式0||=A ,直接就确定了.3=c 实际上,由矩阵秩的定义,还应验证3=c 时,行列式有二阶子式不为零,这样才能得出矩阵的秩为2,从而二次型的秩为2.

2.求幂级数∑∞

=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛11

7n n x n 的和函数，并指出收敛域.

本题是考核求幂级数的和函数与收敛域.一般来说利用已知级数求和函数的公式以及幂级数的性质就可求得和函数,在确定收敛半径后应讨论在端点处的收敛性,求得收敛区域.

解一：令∑∞

=-=1

1)(n n nt t S ，其中)1,1(-∈t ，

逐项积分：,1)(1

10

10

t

t t dt nt dt t S n n n t

n t

-===∑∑⎰⎰∞

=∞

=-

故：2

2)1(1)1(1)1()(t t t t t

t dt d t S -=

-+-=-=, 由于1±=t 时，当∞→n 时，级数的一般项()n n

1-和n 均不趋于零，故

()

∑∞

=-1

1n n

n 和∑∞

=1

n n 发散，所以

)

7

(7 11

x S x n n n =⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∞

=-22)7(49

)

7

1(1x -=

-=

，收敛域为(-7,7) .

解二：令∑∞

=-=1

1)7

()(n n x n x S ，

则：.17

,

777

177)7(77)7(7)(11010<-=-

===∑∑⎰⎰∞

=∞

=-x

x x x x

x x d x n dx x S n n n x

n x

由于当7±=x 时，级数的一般项分别为()n n

1-和n ,显然均不趋于零，故

()

∑∞

=-1

1n n

n 和∑∞

=1

n n 发散，所以

,)

7(49)77()(2x x x dx d x S -=-=

收敛域为.77<<-x

以上两种解法的思路是相同的,都是利用几何级数求和函数的公式以及幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分的性质,先逐项求积分,再逐项求导,求得和函数,然后通过讨论级数在端点处的敛散性,确定收敛区域.不同之处

是解一是通过明确的变量替换7x

t =先将级数变为标准型级数,11

-∞

=∑n n t n 由求得

此级数的和函数与收敛区域,从而求得原级数的和函数与收敛区域.解二是用凑微分法直接进行逐项求积分, 然后同理求得级数的和函数与收敛区域.

在本题的求解中,典型的错误有：

1)对于端点处级数的敛散性没有讨论,这实际上是然后混淆了收敛区间和收敛区域的概念.

2)凑微分法运算或求导运算有误，造成和函数有误.

3．讨论无穷积分⎰-90

3

1

1

dx x 的收敛性. 解一：点1=x 是函数

3

1

1

-x 的奇点，讨论以下两个无界函数的积分： ,23

)1)((23lim 1

1

lim 1132

1010

03

03-=--=-=-⎰

⎰

-+→+→εε

εεdx x dx x

,6)4(23

lim 1

1

lim 1

132

91

9

103

03

=-=-=-⎰

⎰

++→+→εε

εεdx x dx x …………

于是，由无界函数收敛的定义知⎰-90

3

1

1dx x 收敛.

解二： 点1=x 是函数 3

1

1

-x 的奇点， 由于1>x 时, ,31,)1(111

3

=-≤

-p x x p

故⎰-913

11

dx x 收敛, 由于10<

,)1(11

1

3

=-≤

-p x x p

故⎰-103

1

1

dx x 收敛,

于是⎰

-9

03

1

1dx x =⎰

-103

1

1dx x +⎰

-9

1

3

1

1dx x 收敛.

解三： 点1=x 是函数

3

1

1

-x 的奇点，