2015人教A版高三数学(理)二轮复习 大题综合突破练2

突破练(二)1．已知函数f (x )＝A sin (ωx －π6)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足，f (π4)＝ 3.(1)求f (x )的单调递减区间；(2)在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin B ＝3sin C ，a ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2，因为f (π4)＝3，所以A ＝2，f (x )＝2sin (2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )．(2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝12，∵ －π6＜2A －π6＜11π6，∴A ＝π6或π2，因为△ABC 为钝角三角形，所以A ＝π2舍去，故A ＝π6， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×32＝c 2，所以c ＝2，b ＝23，S △ABC ＝12×23×2×12＝ 3.2．已知正项等比数列{a n }满足a 2＝19，a 4＝181，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解 (1)设公比为q .∵a 4a 2＝19＝q 2，∴q ＝13或q ＝－13.又数列{a n }为正项等比数列，∴q ＝13. 又∵a 2＝19. ∴a 1＝13， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，n ∈N *.(2)∵b n ＝log 3a n ·log 3a n ＋1，n ∈N *， ∴b n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴1b n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.3．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]得到的频率分布直方图如图所示．若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查． (1)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有ξ名学生接受篮球项目的考核，求ξ的分布列和数学期望． 解 (1)设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A ，第三组人数为100×0.06×5＝30，第四组人数为100×0.04×5＝20，第五组人数为100×0.02×5＝10，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：P (A )＝C 12·C 118＋1C 220＝37190.(2)第三组应有3人进入复查，则随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.且P (ξ＝i )＝C i 3C 3－i 3C 36(i ＝0、1、2、3)，则随机变量ξ的分布列为：E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.4.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，AB ＝2AD ＝4，BD ＝23，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面PBC ⊥平面PBD ； (2)若二面角P －BC －D 大小为π4，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． (1)证明 ∵CD 2＝BC 2＋BD 2.∴BC ⊥BD . 又∵PD ⊥底面ABCD .∴PD ⊥BC . 又∵PD ∩BD ＝D .∴BC ⊥平面PBD .而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD .(2)解 由(1)所证，BC ⊥平面PBD ，所以∠PBD 即为二面P －BC －D 的平面角，即∠PBD ＝π4.而BD ＝23，所以PD ＝2 3.因为底面ABCD 为平行四边形，所以DA ⊥DB ，分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则A (2,0,0)，B (0,23，0)，C (－2,23，0)，P (0,0,23)， 所以，AP →＝(－2,0,23)，BC →＝(－2,0,0)， BP→＝(0，－23，23)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC→＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2a ＝0，－23b ＋23c ＝0. 令b ＝1则n ＝(0,1,1)，∴AP 与平面PBC 所成角的正弦值为sin θ＝||AP →·n ||AP →||n ＝234×2＝64.5．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满ON→＝33OA →＋(1－33)OM →，设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值． 解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AM ⊥x 轴于M ，所以M (x 0,0)，设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|1＋4＝3， 所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9， 由题意，ON →＝33OA →＋(1－33)OM →，得(x ，y )＝33(x 0，y 0)＋(1－33)(x 0,0)，所以⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝33y 0，即⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝3y .将A (x ，3y )代入x 2＋y 2＝9，得动点N 的轨迹方程x 29＋y 23＝1. (2)由题意可设直线l ：2x ＋y ＋m ＝0，设直线l 与椭圆 x 29＋y 23＝1交于B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝－2x －m ，x 2＋3y 2＝9得13x 2＋12mx ＋3m 2－9＝0， Δ＝144m 2－13×4(3m 2－9)＞0，解得m 2＜39， x 1,2＝－12m ±468－12m 226＝－6m ±117－3m 213，又因为点O 到直线l 的距离d ＝|m |5， BD ＝5·|x 1－x 2|＝5·2117－3m 213，所以S △OBD ＝12·|m |5·5·2117－3m 213＝m 2(117－3m 2)13＝3m 2(39－m 2)13≤332(当且仅当m 2＝39－m 2即m 2＝392时取到最大值)．所以△OBD 面积的最大值为332.6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－e 2x＋bx ＋c ，x ≤1，a (x 2ln x －x ＋1)＋1，x ＞1，函数f (x )在x ＝0处取得极值1.(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在区间[－2,2]上的最大值．解 (1)由题意当x ＝0时，f (0)＝c －1＝1，∴c ＝2， 当x ＜1时，f ′(x )＝－2e 2x ＋b ，依题意得f ′(0)＝－2e 0＋b ＝0，∴b ＝2，经检验⎩⎨⎧b ＝2，c ＝2符合条件．(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎨⎧－e 2x＋2x ＋2，x ≤1，a (x 2ln x －x ＋1)＋1，x ＞1，①当－2≤x ≤1时，f (x )＝－e 2x ＋2x ＋2，f ′(x )＝－2e 2x ＋2，令f ′(x )＝0得x ＝0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：②当1＜x ≤2时，f (x )＝a (x 2ln x －x ＋1)＋1. f ′(x )＝a (2x ln x ＋x －1)，令g (x )＝2x ln x ＋x －1， 当1＜x ≤2时，显然g (x )＞0恒成立， 当a ＜0时，f ′(x )＝a (2x ln x ＋x －1)＜0， f (x )在(1,2]单调递减， 所以f (x )＜f (1)＝1恒成立． 此时函数在[－2,2]上的最大值为1； 当a ＝0时，在(1,2]上f (x )＝1，当a ＞0时，在(1,2]上f ′(x )＝a (2x ln x ＋x －1)＞0， 所以在(1,2]上，函数f (x )为单调递增函数． 所以f (x )在(1,2]上最大值为a (4ln 2－1)＋1，因为a (4ln 2－1)＋1＞1，故函数f (x )在[－2,2]上的最大值为a (4 ln 2－1)＋1. 综上：当a ≤0时，f (x )在[－2,2]上的最大值为1； 当a ＞0时，f (x )在[－2,2]上的最大值为a (4 ln 2－1)＋1.。