2017届广东省东莞市高三第二次模拟考试理科数学试题及答案 精品

东莞市2017届高三 理科数学模拟试题(二)一、选择题：1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 集合U AB （）ð中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个2. 若复数()()2321i a a a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．2- D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．7 4. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．45. 若向量(cos ,sin )a θθ= ，1)b =-，则2a b - 的最大值为（ ）A ．4 B ． C ．2 D ．6. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.由这五个条件中的两个同时成立能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤2 31 正视图侧视图图17. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3-8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是 A. 4- B. 4 C. 3- D. 3 二、填空题： (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形)，则该三棱锥的俯视图的面积为 .10. 二项式5的展开式中常数项为11．执行如图2的程序框图，输出的=S ．12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,， 且120c b B ==︒,则ABC ∆的面积等 于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线1 的方程是图4PABCDEFπsin 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在直角坐标系中，直线2 的方程是31x ky +=.如果直线1 与2 垂直，则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图3,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________． 三、解答题：16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ．(1) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分) 某地为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵.它们移栽后的成活率分别为21,32，每棵树是否存活互不影响，在移栽的5棵树中： （1）求银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率； （2）求成活的棵树ξ的分布列与期望.18.(本题满分14分)如图4,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且2PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证://EF 平面PAD ； (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(3) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)设数{}n a 满足：123()n n a a a a n a n N *+++⋅⋅⋅+=-∈． (1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +≤，求实数t 的取值范围．20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(1) 求点P 的轨迹1C 的方程；(2) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(02t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分) 已知函数)(x f 满足如下条件：当]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，且对任意R ∈x ，都有1)(2)2(+=+x f x f ．（1）求函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，函数)(x f 的解析式；（3）是否存在]12,12(+-∈k k x k ，2011210，，，，=k ，使得等式201724019)](2[201220110+⨯=-∑=k kk kx f x成立？若存在就求出k x （2011210，，，，=k ），若不存在，说明理由．东莞市2017届高三理科数学模拟试题(二)参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分[来源:]分9．1； 10．40； 11．3； 12．3；； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．【解析】(1)x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫⎝⎛π-+=当21＝ω时,⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－，而142sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛π-≤-x,所以)(x f 的最大值为2,此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , ∴)(x f 取最大值2时相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x （2）依题意048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k , 整理,得28+=k ω,又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k ,而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.17.【解析】（1）设A 表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”设(0,1,2)i A i =表示“银杏树成活i 棵”；01()9P A =；14()9P A =；24()9P A =(0,1,2,3)k B k=表示“梧桐树成活k 棵”；01()8P B =；13()8P B =；23()8P B =；31()8P B =2231()()()=186P A P A P B =⋅=（2）ξ可能的取值：0,1,2,3,4,501(0)()()72P P A P B ξ===01107(1)()()()()72P P A P B P A P B ξ==+=；02112019(2)()()()()()()72P P A P B P A P B P A P B ξ==++=； 同理：25(3)72P ξ==；2(4)9P ξ==；1(5)18P ξ==；∴ξ的分布列为：∴176E ξ=18.【解析】(1)证明:连结AC ，由正方形性质可知, AC 与BD 相交于BD 的中点F,F也为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD(2)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD .又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又PA PD =,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.又CD PD D = ,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC(3) 取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥, 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -, 则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P ,若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,PG DG ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==-- ,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z = .则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得22a z y a x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令2y =-,得(),2,n a a =--,所以1cos ,3n PA n PA n PA ⋅<>=== ,解得12a =(舍去12-). 所以,线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫⎪⎝⎭(14AG AB =),使得二面角C PD G --的余弦值为13.19.【解析】20.【解析】(1)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12FF >根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆, 其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . (2)过点()0,2-A 与X 轴垂直的直线不与圆2C 相切，故可设l :()2y k x =+,由直线l 与曲线2C相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=220,12，t k kt由0t <≤解得201k <≤ 联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k ,直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,有AB = 令n k =+12,则21212,1414nAB n n n n==∈--,考查函数nn y 14-=的性质知nn y14-=在区间上是增函数,所以n =,nn y 14-=从而min AB ==21.【解析】解：（1）]1,1(-∈x 时，)1ln()(+=x x f ，11)(+='x x f ， 所以，函数)(x f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为)0)(0()0(-'=-x f f y ，即x y =．（2）因为1)(2)2(+=+x f x f ，所以，当]12,12(+-∈k k x ，*N ∈k 时，]1,1(2-∈-k x ，1)2(2)(+-=x f x f 12)4(22++-=x f 122)6(223+++-=x f=1222)2(221+++++-=-- k k k k x f 12)12ln(2-++-=k k k x ．（3）考虑函数)(2)(x f x x g k -=，]12,12(+-∈k k x ，N ∈k ，则12)2(21222)(+--=+--='k x k x k x x g k k k，当k x k 212<<-时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减； 当k x 2=时，0)(='x g ；当122+<<k x k 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；所以，当]12,12(+-∈k k x ，N ∈k 时，12)12()2()(+-=≥k k k g x g ， 当且仅当k x 2=时，12)12()2()(+-==k k k g x g ． 所以，]12)12[()()](2[201120112011+-≥=-∑∑∑===k k k k k k k kk x g x f x而n n k n nk k +-++⋅+⋅=+-∑=2)12(2321]12)12[(210，令n n n S 2)12(232121-++⋅+⋅= ，则1322)12(23212+-++⋅+⋅=n n n S ， 两式相减得，13212)12(22222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n S62)32(2)12(12)12(222111121---=----⋅+⋅=++-n n n n n ．所以，62)32(1+-=+n n n S ，故2017240192011]12)12[(2012201120110+⋅=+=+-∑=S k k k ．所以，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-≥=-+===∑∑∑n k k k k k k k kk x g x f x ．当且仅当k x k 2=2011,,2,1,0, =k 时，20172401912)12[()()](2[120112011020110+⋅=+-==-+===∑∑∑n k k k k k kk kk x g x f x．所以，存在唯一一组实数k x k 2=，2011,,2,1,0 =k ， 使得等式201724019)](2[120110+⋅=-+=∑n k k k k x f x 成立．。