3-3随机向量函数的分布与期望
合集下载
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
研究生数学基础课程之应用数理统计3-3
一维随机变量X 一维随机变量 连续型 X的密度函数 的密度函数
f (x, y) P{( x, y) ∈A } = ∫∫ f (x, y)dxdy
A
P{a ≤ X ≤ b}
A⊂ℜ 2
= ∫ f (x)dx
a
b
f (x, y) ≥ 0
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1
∫
∞
f (x) ≥ 0
则(X,Y)称 服从D上的均匀分布. (X,Y)称 服从D上的均匀分布. (X,Y)落在 中某一区域A 落在D (X,Y)落在D中某一区域A内的概率 P{(X,Y)∈A},与 的面积成正比而与A P{(X,Y)∈A},与A的面积成正比而与A的位置 和形状无关. 和形状无关.
P{(X,Y)∈ A的面积 的面积/d P{(X,Y)∈A}= A的面积/d
σ1 > 0,σ2 > 0, | ρ |<1
性质 二维正态分布(X,Y)的概率密度函数 维正态分布(X,Y) (X,Y)的概率密度函数
f(x,y)满足: f(x,y)满足: 满足
(1) (2)
∫ ∫
∞
∞
−∞ −∞
f (x, y)dxdy =1
∞ −∞
令1(x) := ∫ f f1(x) =
f (x, y)d y e
其中A是常数.(1)求常数A. 其中A是常数.(1)求常数A. .(1)求常数 (2)求(X,Y)的分布函数 的分布函数； (2)求(X,Y)的分布函数； (3)计算 计算P{0<X<4,0<Y<5}. (3)计算P{0<X<4,0<Y<5}.
解: (1)
A Q∫ ∫ dxdy =1 2 2 2 −∞ −∞ π ( 16+ x )(25+ y )
随机向量及其分布【概率论及数理统计PPT】
n 维随机向量是一维随机变量的推广 一维随机变量及其分布
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
n 维随机向量及其分布 由于从二维推广到n 维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
二、二维随机向量及其分布函数
设随机试验E的样本空间是Ω。 X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变 量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向 量。 二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的 性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因 此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。 为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分 布函数的概念。
说明
由上面的几何解释,易见: 随机点(X,Y)落在矩形区域:
x1<x≤x2,y1<y≤y2 内的概率为：
P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2} =F(x2,y2)-F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)
其中:
这里我们介绍了二维随机向量的概念、 二维随机向量的分布函数及其性质。
二维随机向量也分为离散型和连续型， 下面我们分别讨论它们。
求:(1)X,Y的边缘分布;
(2)X+Y的概率分布.
解:(1)由分析得:
X -1
0
1
P 0.25 0.4 0.35
Y
0
1
2
P 0.25 0.5 0.25
(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,
X+Y -1 0 1 2 3
P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05
P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05
=1
称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。
例6. 若(X,Y)～
试求:(1)常数 A；(2) P{ X<2, Y<1}； (3) P(X≤x,Y≤y)； (4)P{(X,Y)∈D},其中D为 2x+3y≤6.
【学习课件】第三章概率论与数理统计
解 确定随机变量的取值：
及F(2,2).
p i j P Xi,Yj
F ( x , y) = P { X x , Y y}
{ P X { X i , Y i } j } { Y { X j } i } { Y j } pij
P Y j|X iP X i
xi x yjy
为 X, Y的 分 布 函 数 ， 或 X与 Y的 联 合 分 布 函 数 。
X x ,Y y X x Y y
几 何 意 义 ： 分 布 函 数 Fx0,y0表 示 随 机 点 X,Y落 在 区 域
x,y,xx0,yy0
中 的 概 率 。 如 图 阴 影 部 分 所 示 ：
y
x0, y0
X＝xi ,Y y j
P X＝xi
pij , j＝1, 2, pi
为给定条件X xi时，Y的条件概率分布律。
3、条件概率分布律
给定条件Yyj时，X的条件概率分布律记作：
X|Yyj
P X＝xi |Yyj
pij ,i＝ 1, 2, pj
X |Y yj
P X |Y y j
x1
p1 j
X , Y ～P X＝xi, Y＝y j pij , i, j＝1, 2,
则称 P X＝xi | Y y j
P X＝xi ,Y y j P Y＝y j
pij , i＝1, 2, p j
为给定条件Y y j时，X的条件概率分布律；
P Y＝y j | X＝xi
P
= limPX x,Y y lim Fx, y
y
y
0, x 0; =x2, 0 x 1;
1, 1 x.
FYy PY yPX ,Y y
= limPX x,Y y limFx, y
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
−∞ −∞
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
Chap3 随机向量
pij
j
Y p 同理， j pij i
联合概率分布表
Y
X
y1 p11 p21 pi1 pi1
i
y2 p12 p22 pi 2
yj p1 j p2 j pij
j
piX
x1 x2 xi pY j
p p
j
1j
2j
p
j
ij
( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 2 2 2 2 2(1 ) 2 1 2 1
.
N(0, 0, 1, 0.64, 0)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.6)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.8)
pY {Y y j }, j 1, 2, , j P pij , i , j 1, 2, , 的边缘概率分布.
为
联合概率分布的性质:
(1)
( 2)
pij 0 ,
i , j 1, 2, ;
1.
i , j 1
p
ij
((1),(2)可作为联合概率分布的公理化条件)
则称 X1, X2, …, Xn相互独立.
小结: 相互独立性
设 ( X , Y ) ~ F ( x, y) , 则 X , Y 相互独立
P{X A, Y B} P{X A}P{Y B}, A, B R
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}, x, y R
(2)如果已知X, Y 相互独立, 那么由边缘概率 分布可以确定联合概率分布, 因为此时
（3）若 ( X , Y ) 只取有限值，其概率分布为
j
Y p 同理， j pij i
联合概率分布表
Y
X
y1 p11 p21 pi1 pi1
i
y2 p12 p22 pi 2
yj p1 j p2 j pij
j
piX
x1 x2 xi pY j
p p
j
1j
2j
p
j
ij
( x 1 ) 2 ( x 1 )( y 2 ) ( y 2 ) 2 1 2 2 2 2 2(1 ) 2 1 2 1
.
N(0, 0, 1, 0.64, 0)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.6)
N(0, 0, 1, 0.64, 0.8)
pY {Y y j }, j 1, 2, , j P pij , i , j 1, 2, , 的边缘概率分布.
为
联合概率分布的性质:
(1)
( 2)
pij 0 ,
i , j 1, 2, ;
1.
i , j 1
p
ij
((1),(2)可作为联合概率分布的公理化条件)
则称 X1, X2, …, Xn相互独立.
小结: 相互独立性
设 ( X , Y ) ~ F ( x, y) , 则 X , Y 相互独立
P{X A, Y B} P{X A}P{Y B}, A, B R
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}, x, y R
(2)如果已知X, Y 相互独立, 那么由边缘概率 分布可以确定联合概率分布, 因为此时
（3）若 ( X , Y ) 只取有限值，其概率分布为
概率论第3章 随机向量及其分布
例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回 两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y
P X xi , (Y y j )
j 1
P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi
i 1
定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，
随机向量及其概率分布(理)
{
}
xi ≤x y j ≤ y
如已知随机向量( X ,Y)分布函数 F(x, y)，则有 P ( X ,Y) = (xi , yj ) = F(xi , yj ) − F(xi , yj − 0)
{
}
− F(xi − 0, yj ) + F(xi − 0, yj − 0)
10
例3.3 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1, 2, 2， 从 中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各 球被取到的可能性相等。以 ( X ,Y)分别记第一次和第二次取 到的球上标有的数字， 求( X ,Y)的概率分布。 解: 由题目条件随机向量( X ,Y)所有可能取值点为 (1,1) (1,2) (2,1) (2,2) 从而 ( X ,Y) 的概率函数为 }{ } P{( X,Y) = (11 } = P({X =1 Y =1 ) = 0 ,) }{ P{( X ,Y) = (1 2)} = P({X =1 Y = 2}) , } Y } = P{X =1 P{ = 2 X =1 1 2 1 = × = 随机向量分布表 3 2 3 pij X 1 2 同理可得 1 Y P{( X ,Y) = (2,1)} = 1 3 1/ 3 0 1 P{( X ,Y) = (2,2)} = 2 1/ 3 1/ 3 3 11
而称
( P{ X ,Y) = (xi , y j )} = pij
{
}
(2)
（归一性） ∑∑ pij =1
i =1 j =1
+∞ +∞
4. 随即向量概率函数与分布函数的关系 如已知随机向量( X ,Y)概率函数 P ( X ,Y ) = (xi , y j ) = pij， 则有 F(x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} = ∑ ∑ pij
随机向量
但由边缘分布一般不能唯一确定联合分
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}
xi x , y j y
pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)
概率论与数理统计知识点总结
连
续
型
密度函数
分
布
分布函数
期望
（ EX ） 方差（ DX ）
均 匀 分
f
(x)
b
1
a
,
a xb
0, x a
0, 其他
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
EX a b 2
(b a)2 DX
12
布
1, x b
记作 X ~U[a,b]
n
n
n
P Ai 1 P(Ai ) 1 (1 P(Ai ))
i1
i1
i1
（4）伯努利概型
伯努利定理：在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在 n 重伯努利试验中，事
件 A 恰好发生 k 次的概率为： b(k; n, p) Ckn pkqnk ，其中 q 1 p . 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，“事件 A 在第 k 次试验中才首
数 n 有关），如果 n 时， npn （ 0 为常数），则对任意给定的 k ，有
lim
n
b(k; n,
pn
)
k k!
e
.
当二项分布 b(n, p) 的参数 n 很大，而 p 很小时，可以将它用参数为 np 的泊松分布来近
似，即有
b(k; n, p) (np)k enp . k!
4.常用的连续型分布
k
N2 N
nk
.这一近似关系的严格
数学表述是：当 N
时， N1
， N2
，且
N1 N
p，
N2 N
1
p ，则对任意给
第三章 随机变量的数字特征
E(Y) = ∑yj P{Y = yj } = ∑yj p. j = ∑∑yj pij
j j j i
i
i
i
j
2.(X,Y)为二维连续型随机变量 2.(X,Y
E( X ) = ∫
E (Y ) = ∫
+∞ −∞
x f X ( x)dx = ∫
+∞ −∞
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
x f ( x, y )dxdy
+∞
解 由 面 公 ： 上 的 式
E[ XY)] = ∫ =∫
1
+∞ +∞
y
−∞ −∞
∫ xyf (x, y)dxdy
5
X
+∞ +∞
−∞ −∞
∫ xyf
+∞ 5
x 1
(x) fY ( y)dxdy
= ∫ dx ∫ xy ⋅ 2x ⋅ e−( y−5)dy
0 1
= ∫ 2x2dx ∫ ye−( y−5)dy
该式可以直接按照离散型随机变量的数学期望的定义 证明，也可以按照数学期望的性质证明（见后）。 4. 泊松分布 已知随机变量 X ~ P (λ )
P{ X = k} =
λk
k!
e− λ
k = 0,1, 2,⋯ , λ > 0
X的 学 望 数 期 为 ∞ ∞ λk e−λ λk−1 −λ E( X ) = ∑k = λe ∑ = λe−λeλ = λ k! k =0 k =1 (k −1)! 即 E( X ) = λ
5. 超几何分布 若随机变量
X ∼ H (n, M , N ), 其概率分布为
k n CM CN−kM − n CN
3-3随机向量函数的分布与期望
一、随机变量函数的分布
1、离散型
D.r.v（. X ,Y），g( x, y)是一个二元函数，
则g( X ,Y )作为( X ,Y )的函数是一个离散型随机变量，
( X ,Y ) ~ P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, , 设Z g( X ,Y )的所有可能取值为zk (k 1, 2, )， 则Z的概率分布为
Possion分布的可加性
证：
P(X
i)
e1 i 1
，
i=0,1,2,…
i!
P(Y j) e2 2j ， j=0,1,2,…
j!
P(Z X Y k) k=0,1,2…
k
P(X i,Y k i)
i0
k
P{ X i}P{Y k i}
i0
k
i
e-1 1 e-2
k-i 2
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
2zez , z 0
0, z 0
注：指数分布不具有可加性。
z0 z0
例2 P114 29 ( X ,Y ) ~ U (G),G {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1}
求 X , M max{ X ,Y }, S XY的分布。
1、离散型
D.r.v（. X ,Y），g( x, y)是一个二元函数，
则g( X ,Y )作为( X ,Y )的函数是一个离散型随机变量，
( X ,Y ) ~ P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2, , 设Z g( X ,Y )的所有可能取值为zk (k 1, 2, )， 则Z的概率分布为
Possion分布的可加性
证：
P(X
i)
e1 i 1
，
i=0,1,2,…
i!
P(Y j) e2 2j ， j=0,1,2,…
j!
P(Z X Y k) k=0,1,2…
k
P(X i,Y k i)
i0
k
P{ X i}P{Y k i}
i0
k
i
e-1 1 e-2
k-i 2
ex , x 0
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
2zez , z 0
0, z 0
注：指数分布不具有可加性。
z0 z0
例2 P114 29 ( X ,Y ) ~ U (G),G {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1}
求 X , M max{ X ,Y }, S XY的分布。
随机向量的函数的分布
PART 03
函数的分布
REPORTING
WENKU DESIGN
一元函数的分布
离散型随机变量
对于离散型随机变量，其函数分布可 以通过概率质量函数来描述，表示随 机变量取各个值的概率。
连续型随机变量
对于连续型随机变量，其函数分布可 以通过概率密度函数来描述，表示随 机变量在某个区间内取值的概率密度。
自然语言处理
随机向量的函数在自然语言处理中用于文本表示、情感分析、机器 翻译等任务。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
随机向量与函数的
复合
随机向量和函数可以相互复合， 形成更复杂的数学对象，如随机 过程和随机场等。
PART 05
随机向量的函数的分布求 解方法
REPORTING
WENKU DESIGN
直接法
通过定义或性质直接求解
利用随机向量的函数的定义或性质，直接推导出其分布函数或概率密度函数。
适用范围
适用于一些简单的随机向量函数，如线性函数、二次函数等。
母函数法
母函数的定义与性质
母函数是一种用于描述离散随机变量概率分 布的数学工具，具有独特的性质和运算规则 。
利用母函数求解随机向量的 函数的分布
通过构造随机向量的函数的母函数，并利用母函数 的性质进行求解，可以得到其分布函数或概率密度 函数。
适用范围
适用于离散型随机向量及其函数，且函数的 表达式较为复杂的情况。
协方差和相关系数
函数的变换
对于随机变量的函数，可以通过一些变换得 到新的随机变量，其分布也会发生相应的变 化。常见的变换包括线性变换、非线性变换 等。
对于多元函数的分布，还需要考虑不 同随机变量之间的相关性，通过协方 差和相关系数来衡量。
随机变量的分布与期望
应用条件
要求随机变量序列独立同分 布，且期望和方差存在。
中心极限定理
含义
中心极限定理是概率论中讨论随 机变量序列部分和分布渐近于正 态分布的一类定理。这组定理是 数理统计学和误差分析的理论基 础，指出了大量随机变量近似服 从正态分布的条件。
种类
包括独立同分布的中心极限定理 、德莫佛-拉普拉斯定理等。
随机变量性质
随机变量取值随试验结果而定，但其 取值带有随机性，同时取某一区间内 的任何实数值都有一定概率。
离散型随机变量
离散型随机变量定义
01
全部可能取到的值是有限个或可列无限多个的随机变量。
常见的离散型随机变量分布
02
二项分布、泊松分布、超几何分布等。
离散型随机变量的数学期望和方差
03
数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取
关系
边缘分布函数可以从联合 分布函数中推导出来，但 联合分布函数不能由边缘 分布函数唯一确定。
条件分布与独立性
条件分布
在多维随机变量中，当已知其中 部分随机变量的取值时，其他随 机变量的分布称为条件分布。
独立性
如果多维随机变量中任意两个子 集的联合分布等于各自边缘分布 的乘积，则称这两个子集相互独 立。
随机变量的分布与期望
汇报人：XX 2024-01-29
目录
• 随机变量基本概念 • 常见离散型随机变量分布 • 常见连续型随机变量分布 • 随机变量数字特征：期望与方差 • 多维随机变量及其分布 • 大数定律与中心极限定理
01 随机变量基本概 念
随机变量定义及性质
随机变量定义
设随机试验的样本空间为S={e}， X=X(e)是定义在样本空间S上的实值 单值函数。称X=X(e)为随机变量。
3.3随机向量函数的分布
e y , y 0 Y ~ f2 ( y) y0 0,
因为 X 和 Y 独立,所以
x y
x 0, y 0
其它
求 Z X Y 的密度函数.
b 0时 0, 1 e b be b , b 0时
e e , ( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 0,
ln2 0.2 ln 3 0.2 ln4 0.1
E (2 X Y )2 4 0.1 9 0.1 16 0.3 16 0.2 25 0.2 36 0.1 17.9
E ( XY ) 1 0.1 2 0.3 2 0.2 4 0.1 1.5
x yb b x
f ( x, y )dxdy
0
b x
e y dy
b
x yb
e ( e ) 0 dx e x 1 e x b dx 0
b 0
e x e b dx 1 e b be b 0
b
FZ (b) P Z b P X Y b
例 设随机变量 X 与 Y 相互独立， 都服从参数为 p 求 的0 — 1分布， max X ,Y 和 min X ,Y 的数学期望.
解 X
0
P 1 p Y P
1 p 1 p
X
0
Y
0
1
Pi X
(1 p )2 p(1 p) 1 p
0
1 p
1
p(1 p)
Y j
p2
p
E max X ,Y
( X , Y ) ~ f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 要求 Z max X ,Y 的密度函数.
3-3 两个变量的独立性与函数分布
例８ 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为
X
1 0.3
3 0.7
Y
2 0.6
4 0.4
PX
PY
求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j }, Y 2 4 X 得 0.12 1 0.18 3 0.42 0.28
于是
,两电阻 R1 和 R2 串联联接, 例11 在一简单电路中 设 R1 , R2 相互独立, 它们的概率密度均为 10 x , 0 x 10, p( x ) 50 0, 其它. 求电阻 R R1 R2 的概率密度.
的分布函数为
FZ ( z ) P{ Z z }
x y z
p( x, y) d x d y
y
[
z y
z
p( x, y) d x] d y
p(u y, y) d u] d y
x y z
O
x u y
z
[
[ p(u y, y) d y] d u.
x>0
y >0
pY ( y) 0 xe( x y )dx e y
即：
xe , x 0 pX ( x ) 其它 0,
x
e y , pY ( y ) 0,
y0 其它
例5 设随机变量 X 和Y 相互独立, 并且 X 服从 N (a , σ 2 ),Y 在 [ b, b] 上服从均匀分布 , 求 ( X ,Y )
0， 其它
因此 X、Y 相互独立
第6节随机向量函数的分布
例:设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律,且 X 的分布律为 X0 1
11
p
22
试求 Z maxX ,Y的分布律.
解:Z 可能取的值为 0,1,而 P Z 0 P max X ,Y 0 P X 0,Y 0
P X 0 P Y 0 1 1 1
步骤
2.
fZ
z
FZ'
0，
z ， FZ存在
FZ不存在
y
例(和的分布):设 X ,Y 的联合概率密度为
f x, y ,求 Z X Y 的概率密度 fZ z .
z
解: FZ z P X Y z f x, ydxdy D
第 6 节.随机向量函数的分布
本节讨论已知 X ,Y 的联合分布, g x, y 为实值函数,求 Z g X ,Y
的分布,基本方法:分布函数法,即根据事件相等概率相等原则,将函数的 概率转化为随机自变量的相应概率.
一. 离散型随机向量函数的分布:
例:设 X ,Y 的联合分布律为
X+Y -2
0
1
1
3
4
X-Y 0
-2
-3
3
1
0
从而得到
(1) X+Y -2 0 1 3 4
P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
X-Y -3 -2 0 1 3
(2)
P 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
例:设 X,Y 离散相互独立, X ~ P 1 ,Y ~ P 2 ,求 Z X Y 的分布律.
i 1
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X1
~
f
X1
(
x)
0,
其它
,
ey , y 0
X2
~
f
X2
(
y)
0,
其它
由卷积公式得 fZ (z)
fX1 ( x) fX2 (z x)dx
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
x0
z
x
0
即 0 xz
f Z
(z)
z e x e ( z x )dx
0
0,
2zez , z 0
20 20
1
g( x, y) dxdy
10 10
100
20
20
dy 1000 y 1dx Nhomakorabea20
dy
y
500( x y)
1
dx
10
y
100
10
10
100
10
20 10
y(20
y)dy
5
20 3 (
10 2
y2 10 y 50)dy
20000 51500 14166.67(元) 3
设Z g( X ,Y )的所有可能取值为zk (k 1, 2,L )， 则Z的概率分布为
P{Z zk } P{g( X ,Y ) zk }
pij ,
g( xi , y j ) zk
k 1, 2,L .
例3.12 设( X ,Y )的概率分布如下表
X Y 1
0
2
0
0.1
0.2
0
1
0.3 0.05
故 Z X Y ~ P(1 2 )
2、连续型
C.r.v（. X ,Y）~ f(x, y)，g( x, y)是一个二元函数， 求Z g( X ,Y )的分布。
FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z} f ( x, y)dxdy, g( x, y)z
故对几乎所有的z, 有fZ (z) FZ (z)
z,
fM
(z)
1 2
,
0,
0 z1 1 z2
其他
(3) FS (s) P{S s} P{ XY s}
y
xy s
f ( x, y)dxdy
1
xy s
os 2 x
0,
1
2
dx
s
11
s x
dy, 2
1,
s0 0 s2
s2
0,
s 2
(1
ln
2
ln
s),
1,
s0 0 s2
s2
则 EZ Eg( X ,Y ) g( xi , yj ) pij . i, j
（2）C.r.v.( X ,Y ) ~ f ( x, y)
则 EZ Eg( X ,Y )
g( x, y) f ( x, y)dxdy.
例如，设g( X ,Y ) XY ,则有
Eg( X ,Y )
EXY
0, z 0
注：指数分布不具有可加性。
z0 z0
例2 P114 29 ( X ,Y ) ~ U (G),G {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1}
求 X , M max{ X ,Y }, S XY的分布。
Y
解:
(1)f
(
x,
y)
1 2
,
0 x 2,0 y 1
j!
P(Z X Y k) k=0,1,2…
k
P(X i,Y k i)
i0
k
P{ X i}P{Y k i}
i0
k
i
e-1 1 e-2
k-i 2
i0
i!
(k - i)!
e(1 2 ) k!
k i0
k! i!(k -
i)!
i k-i
12
e(1 2 ) k!
(1 2 )k ,
(1)卷积公式
定理：两个独立的连续型随机变量之和仍是连续型随 机变量，且其概率密度为两随机变量概率密度的卷积。
即若X ~ fX ( x),Y ~ fY ( y)，且X与Y 相互独立，
则 Z X Y ~ fZ (z) fX * fY (z) fY * fX (z)
其中 fZ (z) fX * fY (z)
i, j
xi y j pij ,
D.r.v.( X ,Y )
xyf ( x, y)dxdy， C .r.v.( X ,Y )
例3.20 二维离散型随机向量( X ,Y )的概率分布为
X Y 1
0
0
0.1
0.2
1
0.3 0.05
2 0.15
0
2
0
0.1 求 EXY , EX , EY .
0.1
f
S
(
s)
1 2
(ln
2
ln
s),
0s2
0, 其他
二、随机向量的函数的数学期望
1、计算公式
设随机向量( X ,Y )的函数Z g( X ,Y )的数学期望存在，
如何求数学期望EZ ?
（1）D.r.v.( X ,Y ) ~ P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,L
0.1
2 0.15
0
0.1
求 X Y 及 XY的概率分布.
例3.13 设X ~ P(1 ),Y ~ P(2 ),且相互独立， 证明 Z X Y ~ P(1 2 )
Possion分布的可加性
证：
P(X
i)
e1 i 1
，
i=0,1,2,…
i!
P(Y j) e2 2j ， j=0,1,2,…
2、数学期望的性质
(1)对任意两个随机变量X ,Y，如果其数学期望均存在，
则E( X Y )存在，且E( X Y ) EX EY; (2)设X ,Y是任意两个相互独立的随机变量,数学期望均
存在，且 EXY EXEY .
注： 若EXY EXEY
X与Y 独立
(3)E | X + Y | E | X | +E | Y |
解 EXY 0(1)0.1 000.2 0 20
1(1)0.3 100.051 20.1 2(1)0.15 200 2 20.1
0.
EX 0.95
EY 0.15
例3.21 X : 进货量，X ~ U[10, 20] 且X与Y独立
Y :需求量，Y ~ U[10, 20]
解 设Z表示商店每周所获利润，由题设有
fX ( x) fY (z x)dx
fY * fX (z) fX (z y) fY ( y)dy
--------卷积公式
证明：
FZ (z) P{Z z} P{X Y z}
f ( x, y)d x d y fX ( x) fY ( y)d x d y
x yz
x yz
z x
x
xz y
x 2
y
0,
f
(z)
1 4
,
1 z2
,
z0 0 z 2
z2
(2) FM (z) P{max{ X ,Y } z}
y
P{X z,Y z}
1
f ( x, y)dxdy
xz, yz
1 S(DG) 2
0,
z
2
2
z
2
1
z0 0 z1
1 z 2 z2
o 1& 2 x
[
fX ( x) fY ( y)d y] d x
y u x z
[
fX ( x) fY (u
x)d u]d x
y x yz
z
[
fX ( x) fY (u x)d x]d u
O
x
z
fZ (u)d u
从而 fZ (z)
f (x, z x)d x
f X ( x) fY (z x)d x.
(4)(E | XY |）2 EX 2 EY 2 -----Cauchy不等式
推广： （1）X1, X2 ,L , Xn是任意n个随机变量, 数学期望均存在，
则E( X1 X2 L Xn )存在，且 E( X1 X2 L Xn ) EX1 EX2 L EXn;
（2）设X1, X2 ,L , Xn是n个相互独立的随机变量,且数学 期望均存在，则E( X1 X2 L Xn )存在，且 E( X1 X2 L Xn ) EX1EX2 L EXn .
xz y
y
0, 其他
当z
0时，FZ (z)
P{ X Y
z}
o
xx z
y
x z y
f ( x, y)dxdy 0 xz y
当z 0时，
F (z)
P{ X Y
z}
f ( x, y)dxdy xz y
1 S(DG) 2
1
z 4
, 1
,
z
0 z 2 z2
y
xz y
o
x z y
3.3 随机向量函数的分布与期望
一、随机向量函数的分布 二、随机向量函数的期望
一、随机变量函数的分布
1、离散型
D.r.v（. X ,Y），g( x, y)是一个二元函数，
则g( X ,Y )作为( X ,Y )的函数是一个离散型随机变量，
( X ,Y ) ~ P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,L ,
2 2
),
其中a, b不全为0.
练习：X ~ N(2,1),Y ~ N(2,1),且X与Y相互独立，
设Z X 2Y 7,则Z ~
(2)例题讲述