最新模型构建专题：共顶点的特殊等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，记结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.(1)求∠AEB的度数；(2)探究线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．(常州中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是等边三角形．(1)求证：AE＝AF；(2)求∠EAF的度数．参考答案与解析1．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠1＋∠DCB ＝∠2＋∠DCB ＝90°，∴∠1＝∠2.在△ACD 和△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EC ，∠1＝∠2，AC ＝BC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC .∵△DCE 是等腰直角三角形，∴∠3＝∠4＝45°，∴∠ADC ＝180°－∠3＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠4＝135°－45°＝90°；(2)AE ＝BE ＋2CM .理由如下：∵△DCE 是等腰直角三角形，CM ⊥DE ，∴△DCM 、△ECM 均为等腰直角三角形，∴DM ＝ME ＝CM ，∴DE ＝2CM .由(1)可知AD ＝BE .∵AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋2CM .2．(1)证明：∵△BCE 和△CDF 是等边三角形，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠EBC ＝∠CDF ＝60°，BC ＝BE ＝AD ，CD ＝DF ＝AB ，∠5＝60°.又∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠6＝∠5＝∠4＝60°，∴∠6＋∠EBC ＝∠4＋∠CDF ，即∠ABE ＝∠FDA ＝120°.在△ABE 和△FDA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝FD ，∠ABE ＝∠FDA ，BE ＝DA ，∴△ABE ≌△FDA (SAS )，∴AE ＝AF ；(2)解：∵AB ∥CD ，∴∠4＋∠BAD ＝180°.由(1)可知∠4＝60°，∴∠BAD ＝120°.由(1)可知△ABE ≌△FDA ，∠FDA ＝120°，∴∠2＝∠3，∠1＋∠2＝60°，∴∠1＋∠3＝60°.∴∠EAF ＝∠BAD －∠1－∠3＝120°－60°＝60°.。
人教版八年级数学上册7.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.。
共顶点的等腰三角形问题课件
边长性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的边长关系，即两腰相等，底 边与其中一腰不等。
详细描述
由于是等腰三角形，两腰的长度必然相等。而共顶点的两个 等腰三角形共享一个顶点，因此它们的边长关系也是固定的 。具体来说，两腰相等，而底边与其中一腰的长度不等。
面积性质
总结词
共顶点的等腰三角形具有特定的面积关系，即两个等腰三角形的面积之和等于以底边为基的三角形的 面积。
02
等腰三角形两腰之间的角称为顶 角，底边与两腰之间的角称为底 角。
共顶点的等腰三角形的特性
共顶点的等腰三角形是指两个或多个 等腰三角形共用一个顶点，且各等腰 三角形的腰和底边分别相等。
共顶点的等腰三角形具有轴对称性， 即沿对称轴对折后，两侧图形能够完 全重合。
共顶点的等腰三角形的分类
根据共顶点的等腰三角形的数量，可分为双共顶点的等腰三角形和多共顶点的等 腰三角形。
共顶点的等腰三角形 问题课件
目录
• 共顶点的等腰三角形的基本概念 • 共顶点的等腰三角形的性质 • 共顶点的等腰三角形的构造方法 • 共顶点的等腰三角形的应用 • 共顶点的等腰三角形的习题与解析
01
共顶点的等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义
01
等腰三角形是两边长度相等的三 角形，其中两个等长的边称为腰 ，另一边称为底边。
高难度习题
题目5
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F为AD上两点，且∠BEC=160°，∠BDC=5°。求 ∠EDF的度数。
题目6
已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC延长线上一点 ，E、F、G为AD上三点，且∠BEC=170°，∠BDC=10° 。求∠DEFG的度数。
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。
本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。
现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。
在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。
通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。
共顶点的等腰直角三角形
共顶点的等腰直角三角形哎，今天咱们聊聊一个有趣的话题，等腰直角三角形。
这听起来有点数学味道，不过别担心，我会让它变得轻松有趣，保证你听了之后也想说，“这玩意儿还真挺有意思！”想象一下，一块蛋糕被切成两半，结果发现这两半又完全相同，就像等腰直角三角形的两个直角边一样，都是一模一样的！是不是觉得挺可爱的？嘿，数学里的那些点、线、面，看似冰冷的符号，其实背后藏着不少温暖的故事呢。
说到等腰直角三角形，首先得提它那两个相等的边。
哦，想象一下，你和你的好朋友，身高一样，穿着同样的衣服，走到街上，回头率简直爆表。
可不是因为你们长得特别好看，而是那种一模一样的感觉，真让人忍不住想多看几眼。
再说，直角三角形嘛，那个90度的角就像是我们生活中的“转折点”，每次遇到问题，往往就能从这个“角度”找到新的解决办法。
嘿，谁说生活一定要直线前进？偶尔拐个弯，也许会发现更美的风景。
等腰直角三角形还有个特性，最短的边和最长的边之间的关系就像朋友之间的默契。
就拿咱们的好朋友小明和小红来说吧。
小明总是喜欢说，“小红，你这儿有点儿不对劲。
”小红呢，总是可以一眼看出小明心里的小九九。
这个直角三角形里的斜边就像是小明的那些心思，虽说藏得深，但总能被小红一眼看穿。
哈哈，数学真的是生活的缩影，处处都能找到共鸣。
再说说它的面积吧。
记得小时候，我总是和同学们一起比赛，谁能算出这个三角形的面积。
公式就是底乘高除以二，听上去简单，但做起来可得小心翼翼。
这就像我们的生活，有时候简单的道理却难以实践。
就像把生活中的小烦恼变成一大堆的困扰，搞得自己晕头转向。
没事儿，学会把问题化繁为简，运用好这等腰直角三角形的思想，就能轻松应对。
在学校里，老师总是喜欢用等腰直角三角形教我们那些抽象的知识。
嘿，那时候总觉得它是数学课上的“明星”，大家都想在课堂上表现得特别棒。
想想那种感觉，心里乐滋滋的。
可是到了现实生活中，有时我发现，等腰直角三角形的“明星”光环就没那么耀眼了。
人教版八年级数学上册-.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
学好数学的秘密1、学完多思考要想学好数学一定要多思考。
主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。
独立思考是学习数学必须具备的能力。
同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。
2、多做练习题要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。
只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。
3、善于总结规律我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。
模型构建专题：共顶点的等腰三角形◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.。
2024年北师大版初中数学8年级下册共顶点的等腰三角形问题-课件
证明：过D作DF⊥BE于F
∵△ABC和△ADE为等腰直
1
角三角形
B
F
2
C3
E
∴AE=ED，∠ACE=∠EFD ∠1＝90°－∠2=∠3
D
∴△ACE≌△EFD
∴CE=FD，EF＝AC
∵AC=BC ∴BC＝EF ∴BC－FC＝EF－FC 即BF＝CE ∴BF＝FD ∴△BFD是等腰直角三角形 ∴∠DBE＝45°.
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM. 如果改变两个三角形的相对位置，以上结论还成立吗？
N
B
BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋－∠2＝∠3＋－ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
类型二：共顶点的等边三角形
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM.
N M
A
1
2 3
B
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个 三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并 不会改变所得的三角形的全等关系.
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
律；
”二
，分
我管
们教
一，
起八
，分
静放
待手
翼教版八年级数学上册8模型构建专题共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE .2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC 中，∵⎩⎨⎧BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y ＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx ＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2 C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k ≥1。
翼教版八年级数学上册模型构建专题共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D 是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD ＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD ⊥CE .2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC ＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y＝3x2－12x ＋13，则函数值y的最小值是【方法12】( )A．3 B．2 C．1 D．－13．函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是【方法12】( ) A．0，－4 B．0，－3 C．－3，－4 D．0，05．已知0≤x≤32，则函数y＝x2＋x＋1( )A．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围 8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( ) A ．－1≤y ≤5 B ．－5≤y ≤5 C ．－3≤y ≤5 D ．－2≤y ≤1 9．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( ) A ．y ≥3 B ．y ≤3 C ．y ＞3 D ．y ＜3 10．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA．y＜0 B．0＜y＜m C．y＞m D．y＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x ＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13.4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B. 7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5.8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m .11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21. 12．A 13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C. 14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a ≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x ＝3a 4.∵a ≥4，∴x ＝3a 4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，函数取最小值－23时，x ＝3.把x ＝3代入y ＝2x 2－3ax ＋4中，得18－9a ＋4＝－23，解得a ＝5. 16．－4≤m ≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x ＝－2对称，∴－a 2×1＝－2，∴a ＝4，∴y ＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1.当y ＝1时，x ＝－2；当y ＝5时，x ＝0或－4.∵当m ≤x ≤0时，y 有最大值5，最小值1，∴－4≤m ≤－2.。
翼教版八年级数学上册模型构建专题共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．◆类型二共顶点的等边三角形2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)∵△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。
人教版初中数学八年级上册7.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！模型构建专题：共顶点的等腰三角形——明模型，悉结论类型一 共直角顶点的等腰直角三角形 ◆1．如图，已知△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形．(1)求证：AD ＝CE ；(2)猜想：AD 和CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．类型二 共顶点的等边三角形◆2．如图①，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE .(1)△DBC 和△EAC 会全等吗？请说明理由；(2)试说明AE ∥BC 的理由；(3)如图②，将(1)中动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，.∴AD⊥CE2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE －∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵{BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，)∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B ＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
第一章第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)(解析版)
第08讲 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一 共顶点的等边三角形】 (1)【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 (10)【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 (18)【类型一 共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMCÐ=Ð(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明()SAS ACN MCB V V ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC Ð=Ð，继而得到ACE MCF Ð=Ð，证明()ASA ACE MCF V V ≌，得CE CF =，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN Ð=Ð=°，AC MC =，NC BC =，∴ACM MCN BCN NCM Ð+Ð=Ð+Ð，即ACN MCB Ð=Ð，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ACN MCB V V ≌；∴NAC BMC Ð=Ð；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB Ð=°，60ACM BCN Ð=Ð=°，∴180606060MCF ACE °-Ð=°-=°Ð°=，∵NAC BMC Ð=Ð，即EAC FMC Ð=Ð，在ACE △和MCF △中，EAC FMC AC MCACE MCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ACE MCF V V ≌∴CE CF \=，∵60MCF Ð=°，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE，其中AC BC>．(1)求证：AD BE =；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF =；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH =，5CH =，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH =【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE =；（2）由“ASA ”可证BCG DCF V V ≌，可得BG DF =；（3）如图3，过点C 作CP BE ^于P ，CN AD ^于N ，由面积法可求CP CN =，可证60BHC CHA Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ==，由“AAS ”可证BCP DCN V V ≌，可得 5.5DN BP ==，即可求解．【详解】（1）证明：BCD QV 和ACE △是等边三角形，BC CD \=，AC CE =，60BCD ACE Ð=Ð=°，BCE DCA \Ð=Ð，在ACD V 和ECB V 中，AC CE ACD ECB CD BC =ìïÐ=Ðíï=î，EBC ADCÐ+Ð+ Q，DBH EBC Ð=Ð\Ð=Ð=°，60DHB DCB\Ð=°，120BHA(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若：AO平分DOEÐ；(3)在（2）的条件下再探索【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；=+，理由见解析．(3)OE OA OC由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S =V V ，∴11··22BE AM DC AN =，∴AM AN =，∴点在DOE Ð的平分线上， 即由（1）知：ABE ADC△≌△，Ð=Ð，∴ADC ABEÐ+Ð=Ð+Ð∴ADC BDO ABE BDO V中，在BOD＝а-Ð-Ð-Ð180BOD BDO DBA(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE Ð=______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE Ð的度数．【答案】(1)CE CD AB +=；60°(2)不成立，CE CD AB -=，证明见解析(3)30°【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B Ð=Ð，CE BD =，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE V V ≌，则可得EF DG =，当GD BC ^时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE Ð的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC QV 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE \==，BAC DAE Ð=Ð，,60AB BC B =Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在BAD V 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS BAD CAE \△≌△，CE BD \=，60ACE B Ð=Ð=°，CE DC BD DC BC AB \+=+==，即CE CD AB +=，故答案为：CE CD AB +=；60°；【类型二 共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC V 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC V 内部，点E 在ABC V 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE =，BD CE^(2)BD CE =，BD CE ^，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形 结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC V 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°，∴AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-， 即BD CE =，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ^，∴BD CE ^；（2）BD CE =，BD CE ^，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABCV 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE Ð=Ð=°，∴AB AC =，AD AE =，∵BAD BAC DAC Ð=Ð-Ð，CAE DAE DAC Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，在ABC V 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE =，ABD ACE Ð=Ð，∵A F B G F C Ð=Ð，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF Ð+Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=°，∴90CGF BAF Ð=Ð=°，即BD CE ^；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC V 与CDE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB Ð的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD =，AE BD ^；（2）90ADB Ð=°，2AD CM BD =+；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明()SAS ACE BCD V V ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD VV ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，∴AC BC =，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴．故答案为：，．（2），；理由如下：如图2中，∵和均为等腰直角三角形，，∴，CD CE =90ACE ECB BCD ECB Ð+Ð=Ð+Ð=°ACE BCD Ð=Ð()SAS ACE BCD V V ≌AE BD =CAE CBD Ð=Ð90CAE AOC Ð+Ð=°AOC BOH Ð=Ð90BOH CBD Ð+Ð=°90AHB Ð=°AE BD ^AE BD =AE BD ^90ADB Ð=°2AD CM BD =+ACB △DCE △90ACB DCE Ð=Ð=°45CDE CED Ð=Ð=°∴，由（1）可知：，∴，，∴；在等腰直角三角形中，为斜边上的高，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ， CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2） 结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE =- ；CE BC ^，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD =-=-成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE =- ；180135AEC CED Ð=°-Ð=°ACE BCD V V ≌AE BD =135BDC AEC Ð=Ð=°1354590ADB BDC CDE Ð=Ð-Ð=°-°=°DCE CM DE CM DM ME ==2DE CM =2AD DE AE CM BD =+=+CE BC ^．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE Ð=Ð=°∴90BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð=°∴BAD CAE Ð=Ð∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：Q 90BAC DAE Ð=Ð=°\BAC CAD DAE CADÐ+Ð=Ð+Ð\BAD CAEÐ=Ð又∵AB =AC ，AD =AE\()BAD CAE SAS @V V \BD CE=\BC BD CD CE CD =-=-（3）BC CD CE =- ；CE BC ^；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，(1)如图1，若30CAD Ð=°，10DCB Ð=°，求DEB Ð的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF =，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ^，延长CD 与AB 交于点BM CG =，连接NM ，请猜想CN 、NM 、BG 之间的数量关系并证明你的猜想．90ACB DCE Ð=Ð=°Q，ACB BCD DCE BCD \Ð-Ð=Ð-Ð，ACD BCE ÐÐ\=，在ACD V 和BCE V 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，ACD V \≌()SAS BCE V ，30CAD CBE \Ð=Ð=°，10DCB Ð=°Q ，901080ECB \Ð=°-°=°，180803070CEB \Ð=°-°-°=°，45CED Ð=°Q ，704525DEB \Ð=°-°=°；（2）如图2中，过点C 作CQ DE ^于Q ．同理可得：ACD V ≌BCE V ，ADC CEB \Ð=Ð，3AD BE ==，45CDE CED Ð=Ð=°Q ，135ADC CEB \Ð=Ð=°，90AEB \Ð=°，在CFQ △和BFE Ð中，AD CD ^Q ，90ADC \Ð=°，同理：ACD V ≌BCE V 90ADC BEC \Ð=Ð=90BCT ECB Ð+Ð=QBM CG =Q ，BM BT \=，在BNM V 和BNT V 中，45BM BT NBM NBT BN BN =ìïÐ=Ð=°íï=î，BNM \V ≌()SAS BNT V ，MN NT \=，CN MN CN NT CT BG \+=+==．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三 共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边BC 上的高AH 叫做的“余高”．(1)如图1，与互为“底余等腰三角形”，若连接，，判断与是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；ABC V ADE V AB AC AD AE ===ABC ÐADE ÐABC V ADE V ABC V ADE V ABC V ADE V BD CE ABD △ACE △【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形全等，解题的关键是熟悉等腰三角形的性质和三角形全等的判定．【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC V 中，AB AC BC ¹¹．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE Ð=Ð=°时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC =．(2)若60BAD CAE Ð=й°，①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE Ð=Ð=°，证明BAE DAC ≌V V ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌V V ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE V 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE Ð=Ð=°∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD△、ACE △是等边三角形，∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE Ð=Ð=°，∵DAC DAB BAC Ð=Ð+Ð，BAE CAE BAC Ð=Ð+Ð，∴DAC BAE Ð=Ð，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BAE DAC ≌V V ．∴BE DC =．（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．理由：如图，∵AB AD =， BAE DAC Ð=Ð，AE AC =，∴()SAS BAE DAC ≌V V ，∴BE DC =；②当AB DB =，AC EC =时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE Ð=й°，∴AB DB AD =¹，AC EC AE =¹，∴BAE V 与DAC △不全等，∴BE DC ¹．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB Ð与DCE Ð为“同源角”．(1)如图1，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC V 和CDE V 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE Ð=°，则Ð=EMD ______°．(3)如图3，ABC V 和CDE V 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE =，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE Ð=Ð，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE Ð=°可求出45DCE ACB Ð==°，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ÐÐ=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD Ð的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE =．理由：因为ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，所以ACB DCE Ð=Ð，所以ACD BCE Ð=Ð．在ACD V 和BCE V 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î所以()SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE =．（2）∵ABC V 和CDE V 是“同源三角形”，∴ACB DCE Ð=Ð．∵90ACE Ð=°，∴45DCE ACB Ð==°．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ÐÐ=．∵MOE COD Ð=Ð，∴45EMD DCE Ð=Ð=°．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP Ð=Ð，BE AD =．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP =．在ACQ V 和BCP V 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =ìïÐ=Ðíï=î所以()SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP =，ACQ BCP Ð=Ð．又因为90BCP PCA °Ð+Ð=，所以90ACQ PCA °Ð+Ð=．所以90PCQ Ð=°，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC V 与ADE V 中，AB AC =，当BAC BAD BAE ÐÐÐ、、、满足条件____时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC =， BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMDÐ(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD Ð+Ð=°，AD AB =，AC BC DC =+，求BAD Ð的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð；(2)见解析(3)60BAD Ð=°【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE ÐÐÐ、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE ^于点M ，作AN CD ^于点N ，再证明ABE ACD V V ≌得AM AN =，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC =，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE Ð=Ð=°．【详解】（1）∵在ABC V 与ADE V 中，AB AC =，∴当BAC DAE Ð=Ð时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD Ð=Ð+Ð，∴BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð，故当BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð时，ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD Ð=Ð+Ð；（2）过点A 作AH BE ^于点H ，作AN CD ^于点N ，∵在ABC V 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC =，∴BAC DAE Ð=Ð，AD AE =，∴BAE CAD Ð=Ð，∴()SAS ABE ACD V V ≌，∴AH AN =（全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD Ð；（3）延长CD 至E ，使得DE BC =，如图③，∵180BAD BCD Ð+Ð=°，∴360180180Ð+Ð=°-°=°ABC ADC ，∵180ADC ADE Ð+Ð=°，∴ABC ADE Ð=Ð，∵AB AD =，∴()SAS ABC ADE V V ≌，∴AC AE BAC DAE =Ð=Ð，，∴BAD CAE Ð=Ð，∵AC BC DC DE DC CE =+=+=，∴AC CE AE ==，∴60CAE Ð=°，。
3解题技巧专题共顶点的等腰三角形
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形——形成精准思维模式，快速解题◆类型一共顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA 至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB 交EF于点N.求证：(1)AF＝AD；(2)EF＝BD.◆类型二共顶点的等边三角形3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且P A⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(2)试说明AE∥BC的理由；参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC ＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE .(2)解：垂直．理由如下：延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .由(1)知△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .2．证明：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD .∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，∴△ABF ≌△ACD (SAS)，∴AF ＝AD .(2)由(1)知△ABF ≌△ACD ，AF ＝AD ，∴∠F AB ＝∠DAC .∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∠EAB ＝∠EAF ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD .∵AE ＝AC ，AB ＝AC ，∴AE ＝AB ，∴△AEF ≌△ABD (SAS)，∴EF ＝BD .3．D4．120° 解析：设AC 与BD 交于点H .∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形，∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝∠BCE ＋∠ACB ，即∠DCB ＝∠ACE ，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CDB ＝∠CAE .∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ，∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°，∴∠AOB ＝180°－∠AOH ＝120°.5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝60°－∠ACD ，∠ACE ＝60°－∠ACD ，∴∠BCD ＝∠ACE .在△DBC 和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，DC ＝EC ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．(2)由(1)知△DBC ≌△EAC ，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .(3)仍有AE ∥BC .证明如下：∵△ABC ，△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝CE ，∠BCA ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCA ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE .在△DBC和△EAC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)，∴∠EAC ＝∠B ＝60°.又∵∠ACB ＝60°，∴∠EAC ＝∠ACB ，∴AE ∥BC .。