最新模型构建专题：共顶点的特殊等腰三角形
共顶点的等腰三角形问题
证明：过D作DF⊥BE于F
∵△ABC和△ADE为等腰直
1
角三角形
B
F
2
C3
E
∴AE=ED，∠ACE=∠EFD ∠1＝90°－∠2=∠3
D
∴△ACE≌△EFD
∴CE=FD，EF＝AC
∵AC=BC ∴BC＝EF ∴BC－FC＝EF－FC 即BF＝CE ∴BF＝FD ∴△BFD是等腰直角三角形 ∴∠DBE＝45°.
证：⑴BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；
C
⑵证明：∵△EAB≌△FAC
45
EM 1
3B
2
A
∴∠2＝∠4 ∵∠2＋∠3＋∠5＝90° ∴∠4＋∠5＋∠3＝∠2＋∠5＋∠3 ＝90°
∴BE⊥CF
F
如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD
，求证：∠DBE=45°.
A
共顶点的等腰三角形问题
等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么 将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数 量和位置上有着特殊的关系.
常见的有共顶点的等腰直角三角形和等边三角形，我们一起来探究.
百度文库
类型一：共顶点的等腰三角形问题
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
共顶点的等腰直角三角形
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM 至点K，使得OM KM，连结BK
OA OB AOD KBO OD BK AOD OBK (SAS)
3 1
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
AOC BOD(SAS)
交叉拉手（手拉手全等模型） 静态视角：
结论二（线的角度）： AC BD, AC BD(8字形)
证明方法：AOC BOD AC BDA 在APQ与BPO中 PAQ PBO, APQ BPO AQP BOP 90 即AC BD
或同理证明DQC DOC 90也可
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论一： SAOD SBO（C 等底等高）
证明方法二： BF AE
同侧拉手（婆罗摩笈多模型）
结论二：取BC中点M，连结MO并延长交AD于点N， 则ON AD,且OM 1 AD(中线变高)
2
证明方法： 延长OM至点K，使得OM KM，连结BK（倍长中线） 易证BKM COM（SAS） KBM OCM BK // OC KBO BOC 180 AOD BOC 360 AOB COD 180 KBO AOD
中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等
共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）
一、内容和内容解析
1．内容
基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.
2．内容解析
本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.
二、目标和目标解析
1．目标
（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.
（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.
（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.
共顶点模型-2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案(全国通用)(原卷版)
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题1
共顶点模型
模型1：等腰三角形共顶点
模型2：等腰直角三角形共顶点模型3：等边三角形共顶点
解题策略
模型4：相似三角形共顶点
【例1】（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC为等边三角形，D为AC边上一点，连接BD，M为BD的中点，连接AM．
(1)如图1，若AB＝2√3+2，∠ABD＝45°，求△AMD的面积；
(2)如图2，过点M作MN⊥AM与AC交于点E，与BC的延长线交于点N，求证：AD＝CN；
(3)如图3，在（2）的条件下，将△ABM沿AM翻折得△AB′M，连接B'N，当B'N取得最小
经典例题
值时，直接写出BN−DE
的值．
MN
【例2】（2022·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E在同一条直线上，则∠AEB的度数为__________，线段AD、BE之间的数量关系
__________；
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD，BE，点A、D、E不在一条直线上，请判断线段AD、BE之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：
如图3，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=α，则直线AD和BE的夹角为__________．（请用含α的式子表示）
【例3】．（2022·江苏·八年级课时练习）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D 是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
——明模型，记结论
◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E 在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.
(1)求∠AEB的度数；
(2)探究线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
◆类型二共顶点的等边三角形
2．(常州中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，分别延长DC，BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是等边三角形．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
参考答案与解析
1．解：(1)∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠1＋∠DCB ＝∠2＋∠DCB ＝90°，∴∠1＝∠2.在△ACD 和△BCE 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧DC ＝EC ，∠1＝∠2，AC ＝BC ，
∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴AD ＝BE ，∠ADC ＝∠BEC .∵△DCE 是等腰直角三角形，∴∠3＝∠4＝45°，∴∠ADC ＝180°－∠3＝135°，∴∠BEC ＝135°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠4＝135°－45°＝90°；
(2)AE ＝BE ＋2CM .理由如下：∵△DCE 是等腰直角三角形，CM ⊥DE ，∴△DCM 、△ECM 均为等腰直角三角形，∴DM ＝ME ＝CM ，∴DE ＝2CM .由(1)可知AD ＝BE .∵AE ＝AD ＋DE ，∴AE ＝BE ＋2CM .
初中数学几何模型——共顶三等腰初探
初中数学几何模型——共顶三等腰初探
等腰三角形的组合图形----共顶三等腰，常出现在中考命题中，故专题探究
此类几何模型。
一、共顶点三等腰是指有公共顶点且任意两个三角形都有一个公共腰的三角形，如图1，以公共顶点A引三条相等的线段AB、AC、AD，如果把非公共端点两
两相连，可以得到三个等腰三角形，且每两个等腰三角形都有一条公共腰，
二、共顶点三等腰有两种形式，
一种是点A在△BCD的外部，另一种
是点A在△BCD的内部，如图2，
AB=AC=AD，则△ABC、△ACD，△ABD
为共顶三等腰。
图
图2
图3
1
三、共顶三等腰的性质：对于任意两个三角形，非公腰的夹角等于底夹角的
二倍，图1中，AB=AC=AD，导角可证∠BAC=2∠BDC，∠CAD=2∠CBD，特别地，当
AC为公共腰时，两腰夹角为∠BAD，结论：∠BCD=180°-∠BAD或∠BAD=2∠DCE，也可把图2看做飞镖型，图3同图1，但在证明三等腰逆命题时区别图1，但图3
中结论仍然成立。
图2中，腰夹角等于2倍底夹角，即当AB=AC=AD时，可证∠CAD=2∠CBD，
∠BAC=2∠BDC，∠BAD=2∠BCD。（以上结论导角均可完成，简记为：双等腰产生
二倍角）。
四、三等腰逆命题的证明
（一）一点连三线时有两条线段相等且三线中两线的夹角等于三条线段的末
端围成的三角形中某个特定角的二倍，则此图为一点连三等线段，这样每种图形
要分三次证明（以图4为例）
1 、已知：当AB=AC，∠CAD=2∠CBD，求证：
AB=AC=AD
证明：设∠BAC=2α，∠CBD=β，则
2024年中考数学复习 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(原卷
模型构建专题：“手拉手”模型
【考点导航】
目录
【典型例题】
【类型一共顶点的等边三角形】
【类型二共顶点的等腰直角三角形】
【类型三共顶点的一般等腰三角形】
【典型例题】
【类型一共顶点的等边三角形】
1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【变式训练】
1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有
个．
①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=
90°．
2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．
求证：(1)AD=BE；
(2)△CPQ为等边三角形；
3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b
的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．
(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
中考数学复习几何模型专题讲解2---共顶点模型(解析版)
【解答】解：（1）∵△ABC 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE． ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD 和△ACE 中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE； （2）由（1）得：△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD， ∴∠EAC+∠APD＝90°， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BAH+∠ABD＝90°， ∵∠DAE＝∠ABD， ∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°， ∵AB＝8，AD＝6， ∴BD＝AE＝10， ∴S 四边形 ABED＝10×10÷2＝50．
中考数学复习几何模型专题讲解
名师点睛
专题 2 共顶点模型
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶
点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转
模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点 （2）列出两组相等的边或者对应成比例的边 （3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
【解答】解：（1）∵△ABD 和△ACE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°， ∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC， 在△DAC 和△BAE 中，
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述
我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法
1. 确定旋转后的三角形
根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度
旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质
旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，
我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论
通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：
1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；
2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用
共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
7.模型构建专题：共顶点的等腰三角形
模型构建专题：共顶点的等腰三角形
◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
◆类型二共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC中，D是AB 边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，
∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .
(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .
2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．
专题六：共顶点的等腰直角三角形
手拉手模型：共点的双等腰直角三角形
一、共直角顶点的双等腰直角三角形
手拉手的含义：如图，已知两个共直角顶点O的等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD
正面看向△AOB，将之扶正，保持头部O在上，则A为“左手”，B为“右手”；同理，正面看向△COD，将之扶正，保持头部O在上，则C为“左手”，D为“右手”.紧接着进行拉手操作，理应产生两种情形，即“左手拉左手，右手拉右手”和“左手拉右手，右手拉左手”，分而治之！
情形一：左手拉左手，右手拉右手（手拉手全等模型）
连接左手A与左手C，连接右手B与右手D，请证明下列结论：
（1）形的角度：如图1，△AOC≌△BOD.
（2）线的角度：如图1，AC=BD且AC⊥BD.
（3）角的角度：如图2，若AC和BD相交于点E，则OE平分∠BEC，即∠BEO=∠CEO=1/2∠BEC=45°.
情形二：左手拉右手，右手拉左手（婆罗摩笈多模型）
连接左手A与右手D，连接右手B与左手C，则又构成了所谓“婆罗摩笈多模型”，请证明下列结论：
（1）如图1，S△AOD=S△BOC.
（2）如图2，取BC中点M，连接MO并延长交AD于N，则ON⊥AD，且OM=1/2AD.（中线变高）
（3）如图3，过点O作ON⊥AD于N，延长NO交BC于M，则M为BC中点，且OM=1/2AD.（高变中线）
二、共45°底角顶点的双等腰直角三角形
如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角顶点O，且公共顶点O、直角顶点与另一底角顶点均按相同顺序排列（如此图均为顺时针方向排列）. 若将两直角顶点A、C和另两个底角顶点B、D相连，则构成了经典的“手拉手相似模型”，如下图.请证明：
人教版八年级上册模型构建专题共顶点的等腰三角形
人教版八年级上册模型构建专题共顶点的等腰三角形
——明模型，悉结论
◆类型一共直角顶点的等腰直角三角形
1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
(1)求证：AD＝CE；
(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．
◆类型二共顶点的等边三角形
2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.
(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC的理由；
(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析
1．(1)证明：∵△ABC和△DBE
均为等
腰直角三角形，∴AB ＝BC ，BD ＝BE ，
∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE (SAS)，∴AD ＝CE .
(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD 分别交BC 和CE 于G 和F .∵△ABD ≌△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE .∵∠BAD ＋∠ABC ＋∠BGA ＝∠BCE ＋∠AFC ＋∠CGF ＝180°，∠BGA ＝∠CGF ，∴∠AFC ＝∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .
2．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 为等边三角形，∴BC ＝AC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，∴△DBC ≌△EAC (SAS)．
共顶点的等腰三角形,手拉手模型
特点：由两个等顶角的等腰三角形所 组成，并且顶角的顶点为公共顶点。Fra Baidu bibliotek
结论： （1）△ABD ≌△AEC （2）∠α +∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC
变形：
专题14《共顶点模型》
专题14《共顶点模型》
破解策略
1．等边三角形共顶点
等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线．
连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH，则：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE＝BD；
（3）∠AFB＝∠DFE＝60°；
（4）FC平分∠BFE；
（5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC；
（6）△CGH为等边三角形．
证明（1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE．
（2）由（1）得AE＝BD；
（3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°．（4）方法一如图1，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N．由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE．
方法二由∠CAF＝∠CBF，可得A、B、C、F四点共圆，所以∠BFC＝∠BAC＝60°．
同理可得∠CFE＝∠CDE＝60°．所以FC平分∠BFE．
（5）如图2，作∠FCI＝60°，交BD于点I，则△CFI为等边三角形．
易证△BCI≌△ACF，所以BI＝AF，IF＝CI＝F C．
从而BF＝BI＋IF＝AF＋CF．同理可得EF＝DF＋F C．
（6）易证△ACH≌△BCG（ASA）可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形．
2．等腰直角三角形共顶点
等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
如图1，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE，则：
（1）△BCD≌△ACE；
共顶点模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型(学生版)
共顶点模型
解题策略
模型1：等腰三角形共顶点
已知在等腰△ACB与等腰△DCE中，CA=CB，CD=CE，且∠ACB=∠DCE.
如图，连接BD，AE，交于点F，则：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE=BD；
（3）∠AFB=∠ACB；
（4）FC平分∠BFE.
模型2：等腰直角三角形共顶点
已知在等腰Rt△ACB与等腰Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90o.
如图1，连接BD，AE，交于点F，连接FC,AD,BE,则：
（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE=BD；
（3）AE⏊BD;
（4）FC平分∠BFE；
（5）AB2+DE2=AD2+BE2
（6）BF=AF+2FC，EF=DF+2FC；
模型3：等边三角形共顶点
已知等边△ABC与等边△DCE，B，C，E三点共线.
如图，连接BD，AE，交于点F，BD与AC交于点G，AE与DC交于点H，连接CF，GH，则：（1）△BCD≌△ACE；
（2）AE=BD；
（3）∠AFB=∠DFE=60o；
（4）FC平分∠BFE；
（5）BF=AF+FC，EF=DF+FC；
（6）△CGH 为等边三角形；
模型4：相似三角形共顶点
已知在△ACB 和△ECD 中，AC EC =BC DC
，∠ACB =∠ECD ．如图，连接BD ，AE ，交于点F ，则：
（1）△BCD ∾△ACE ；
（2）∠AFB =∠ACB
经典例题
例1.(2022·全国·九年级专题练习)如图，△ABC 为等边三角形，D 为AC 边上一点，连接BD ，M 为BD 的中点，连接AM ．
(1)如图1，若AB =23+2，∠ABD =45°，求△AMD 的面积；
共顶点的双等腰直角三角形模型（终极版）
共顶点的双等腰直⾓三⾓形模型（终极版）
共直⾓顶点
先谈两个等腰直⾓三⾓形共直⾓顶点的情况.
如图，给出两个共直⾓顶点O的等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD，底边AB和CD特意⽤细线相连，意在凸显该图形的本质特征，即是由OA=OB和OC=OD构成的两组“共顶点，等线段”结构，该结构为后⽂⼀系列模型⽅法奠定了基础，先重视之！
常听说“⼿拉⼿模型”，⼀些同学也许⼀直不明就⾥，接下来结合我⾃⼰的理解阐述“⼿拉⼿”的含义：顶点O可看作两三⾓形的公共头部，OA、OB可看作两条“⼤⼿臂”，OC、OD可看作两条“⼩⼿臂”.正⾯看向△AOB，将之扶正，保持头部O在上，则A为“左⼿”，B为“右⼿”；同理，正⾯看向△COD，将之扶正，保持头部O在上，则C为“左⼿”，D为“右⼿”.
紧接着进⾏拉⼿操作，理应产⽣两种情形，即“左⼿拉左⼿，右⼿拉右⼿”和“左⼿拉右⼿，右⼿拉左⼿”，分⽽治之！
情形⼀：左⼿拉左⼿，右⼿拉右⼿（⼿拉⼿全等模型）
连接左⼿A与左⼿C，连接右⼿B与右⼿D，则构成了传统意义上的“⼿拉⼿全等模型”，如下图.
此图有⼀些基本结论需要熟知.
（1）形的⾓度：△AOC≌△BOD.
由∠AOB=∠COD=90°，易得∠AOC=∠BOD，结合OA=OB，OC=OD，易证△AOC≌△BOD（SAS）.此为基本结论，需极其熟练！
（2）线的⾓度：AC=BD且AC⊥BD.
笔者喜欢称AC、BD为“拉⼿线”，这对拉⼿线的数量关系和位置关系均可由上述全等三⾓形间接证明.
设AC、BD交于E，∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，由下左图中的“8字形AOBE”导⾓易证