(结构动力学8)有阻尼度哈梅积分12
结构动力学计算题
无阻尼自由振动计算题(单位：kg、N = kg・m/s2、Pa = N/m2、)无阻尼自由振动运动方程：u(t) = u(0) cos w n t +丝^sinw湛；w n刚度k = F/* (kN/m)；自振圆频率3〃= £ = (rad/s)；无阻尼体系简谐荷载反应：其中频率比P = 0/w n；17(0) P o /? 1 P o 1u0)=状0)cos w n t + - sin啪 + 9t稳态反应等效静位移四=Po/k = P0/mw n2；稳态反应振幅I/。
= u st R d = y—K I1-P I阻尼c = 2mw n^ (kN * s/m)；阻尼比(=—=—— = 有阻尼圆频率c cr 2mw n 2nn ut+nW D = w n y/l-^2；有阻尼自振周期T D=L/房寻有阻尼体系动力方法系数R d= — = u st1/J[1一供]2 + [2〈仞2；拉格朗日方程计算题lagrange方程：，(茶J 一 *" += Q)；其中Q)为非有势力对应于广义坐标0/的广义力平面运动刚体的动能T = |mv c2+|/c w2,随质心平移的动能和绕质心转动的动能之和。
细直杆绕质心的转动惯量：J c—,对喘部：J z=■ ^mZ2；圆盘对其质心的转JL£O动惯量：]0— ^mr2o振型叠加法计算题(第一类型)频率方程:\[K] - a)2[M]| = 0得自振频率s由特征方程:([K] - 口2[的)｛勿=0；设｛飕)=1,得到｛破)和｛泌。
已知条件 1:切}i = [o.644，、{必2 = {-0.601，、切}3={-2.57＞、[M]= (0.311.52.可得振型质量:M n =同理可知M 2 = 2.456, M3 = 23.109。
1.5 ) 加已知条件 2： m (0)} = {2.5 }m,位(0)} = {2.25 m/s4.50)-0.6762.47可知 Mi = {0}7[M]{0h = (1 0.644 0.3)1 ・1.5 .2.。
结构力学课后答案第10章结构动力学
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
*
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
/
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
！
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
（2）画出 和 图（在B点处作用一附加约束）
…
（3）列出刚度法方程
， ，
代入 、 的值，整理得：
(b)
解：
图 图
】
试用柔度法解题
此体系自由度为1 。设质量集中处的竖向位移y为坐标。
y是由动力荷载 和惯性力矩 共同引起的。
《结构动力学》考试复习题
《结构动力学》考试复习题一、(概念题)(1) (填空题)某等效单自由度振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，阻尼比0.2ξ=，则系统的固有频率ω为 rad/s ，等效阻尼系数c 为 N. s/m 。
(2) (填空题)某振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，0.7/c N s cm =⋅，则系统的固有频率ω为 ，阻尼比ξ为 ，对数衰减率n 为 。
(3) (简单计算题)一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形mm 4=∆st ，试确定系统作自由振动的固有频率 (重力加速度取2s m /10=g )。
(10分)(4) (填空题)当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由 来平衡。
(5) (问答题)某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为：()()mx cx f x F t ++=，能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。
(6) (填空题)同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的4倍，截面积减小到原来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 。
(7) (填空题)图示两个系统，已知各质点的质量 i m ，刚架的质量不计，忽略杆的轴向变形，试分别确定两系统的动力自由度： (1) n = ; (2) n = 。
(8) (作图题) 0.1ξ=时单自由度系统受迫振动的相频曲线如图所示，其中ω为系统的固有频率，p 为激振力的频率，ϕ为位移响应滞后于激振力的相位角。
试大致绘出0.05ξ=和0.2ξ=时相频曲线的形状。
(9) (问答题)模态分析法能否求解多自由度系统的弹塑性地震响应？并说明理由。
(10) (选择题) 对于一个单自由度系统而言，其临界阻尼与系统的固有特性参数 ，与系统所受的阻尼力 。
(a) 有关，有关；(b) 无关，无关；(c) 有关，无关；(d) 无关，有关2ωpππ二、(计算题)（1） 图示两个系统，已知EI 和M ，弹簧刚度316k EI l =，不计梁的质量，试确定：(1) 简支梁的等效刚度L k ；(2)两个系统的等效刚度a k 和b k ；(3) 两个系统的固有频率a ω和b ω。
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
1
..
..
..
书后习题
拉格朗日方法
通常当质点较多，约束比较复杂时，适合用能量分析 方法,例如Lagrange第2类方程。
拉格拉日方程， L T U ，
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可，常用的牛顿法、达朗贝尔原理、Lagrange 第二 类方程、有限元方法等。 牛顿法：
dt qi
M q Kq 0
..
无阻尼受迫振动
d T 对于有耗散力的方程为
dt qi qi 有阻尼受迫振动
U Qi d T dt qU qi i Q
qi
i
d T dt qi
.. .. ..
m
y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23 11 l 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 12 EI 3 3 .. 7 .. l 16 l .. l y F 31 22 3 F1 m1 y111 31 2 9 m2 y 2 1332 F3 m3 y3 33 33 y12 EI1 m1 y1 11 F2 m2 F 12 EI 1 12 EI
(完整word版)年结构动力学试卷及答案,推荐文档
华中科技大学土木工程与力学学院《结构动力学》考试卷2011～2012学年度(下)1、试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量。
（16分）解：（1）2个动力自由度 （2）3个动力自由度 （3）2个动力自由度 （4）1个动力自由度(1)(2)m(3)(4)m2、试求图示结构的自振频率ω（15分）解：图示结构为单自由度体系，以横梁转角ϕ为自由度。
由0A M =∑ 有： 22200lm x dx ml kl ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅++=⎰化简得：()303klm m ϕϕ⋅⋅+=+∴自振频率ω=3、如图所示体系，各杆长为l ，EI=常数，1处有集中质量m ，2处受动力偶()M t =Msin tθ；θ（14分）解：结构体系的1M 、p M 如下图所示：tm m B3111122=2EI 233l l l l EIδ⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭21111sin sin 236MMl l l M t t EI EI θθ⎛⎫∆=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ∴体系微分方程为:()321112sin 36M t lMl y m y m y t EI EI δθ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=-+∆=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin 24EI My y t ml mlθ⋅⋅⇒+⋅=⋅ 2max23331133344622M M Ml y EI EI EI ml ml EIml ml ml θ∴=⋅=⋅=--- ∴惯性力幅值22max3362EI Ml MI m y m ml EI lθ==⋅⋅=M M MMMl1t θ4、图示（a ）所示梁的跨中有一台电动机，实测得此梁自由振动时跨中点位移时程曲线如图所示（b ），周期T=0.06s ，若忽略梁的分布质量。
（20分）试求：（1）阻尼比ξ；（2）共振时的动力系数β；（3）共振时电动机每分钟的转数 n ；（4）若电动机转数为600r/min ，由于其离心力引起梁中点稳态的振幅为2mm ，求共振时的振幅A 。
结构力学思考题答案
结构力学思考题答案12.1怎样区别动力荷载与静力荷载? 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？答：静力荷载：施力过程缓慢，不致使结构发生显著加速度，可略去惯性力的影响，各量值不随时间而变化。
例：在梁上砌砖。
动力荷载：在荷载作用下使结构发生不容忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响，使结构发生振动，各量值内力位移（动力反应）随时间而变化。
二者的主要区别：是否考虑惯性力的影响。
实际荷载处理：当荷载变化缓慢时，其变化周期远大于结构的自振周期时，动力作用是很小的，为简化计算将它作为静力荷载处理；当荷载过于激烈时，动力作用比较明显的荷载，惯性力不可忽略，按动力荷载考虑。
结构动力计算与静力计算主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。
12.2 什么是振动自由度？结构振动自由度与机动分析中的自由度有何区别？确定体系动力自由度的目的是什么？答：结构的振动自由度：结构在弹性变形过程中，确定全部质量的位置所需要的独立参数的数目。
相同点：表明体系运动形式的参变量的数目相同。
不同点：几何组成分析表示的是刚体运动的自由度；振动的自由度，表示变形体系中质点的自由度。
确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。
12.3 建立运动微分方程有哪几种基本方法？各种方法的适用条件是什么？答：常用的有3 种：直接动力平衡法、虚功原理、变分法（哈密顿原理）。
直接动力平衡法是在达朗贝尔原理和所设阻尼理论下，通过静力分析来建立体系运动方程的方法，也就是静力法的扩展，适用于比较简单的结构。
结构动力学复习
强迫振动和固有运动出现拍的现象，即时而相互增强，时而相互抵消；
最大总响应比最大稳态响应大：总动力放大因数为
共振：r=1时，用假定解求解
（2）粘滞阻尼SDOF系统简谐激励运动方程：
稳态响应与激励不同相位，稳态响应的解可写成：
则稳态响应方程可以写成：
其中：
（2）非周期激励——傅立叶积分：它是由傅立叶级数，令周期T1无穷大得来的。
傅立叶变换对：
（3）复频响应与单位脉冲响应的关系：
第八章连续系统
（1）轴向变形基本假定：横截面保持为平面，并垂直于杆件的轴；材料为线弹性；在给定截面上，材料特征为常数，也可随X面变。
三个基本方程式：
线弹性杆的轴向振动运动方程：
横向强迫振动的运动方程：
该公式只是对于相对长的薄壁梁成立。
边界条件：固定端
简支端
外力-自由端
（3）哈密顿原理：
（4）铁木辛科梁：以哈密顿原理推导的运动方程和边界条件，考虑剪切变形和转动惯量。也适用短粗梁。
第九章连续系统自由振动
（1）轴向自由振动：
边界条件：固定端
自由端
（2）伯努利-欧拉梁横向自由振动：
第一章结构的动力学引言
（1）动力问题与静力问题的两大区别：（1）动力荷载随着时间的变化，即激励的与时俱变性质，动力荷载是一个随时间变化的幅值、方向和作用点，由此得到与时俱变的挠度和应力，就构成了动力响应；（2）加速度在结构动力问题中起了主要作用，如果惯性力对结构的挠度和内应力有显著影响时，就需要研究它的动力问题了。
根据阻尼因数的大小分为：弱阻尼（），临界阻尼（）和过阻尼（）
弱阻尼：为阻尼固有圆频率，为
相应的为阻尼周期，为
结构动力学方程常用数值解法
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
华科土木结构动力学-作业题汇总精选全文完整版
《结构动力学》课后习题1试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量和轴向变形。
(a)4个动力自由度(b)2个动力自由度(c)2个动力自由度(d)2个动力自由度m（e ）3个动力自由度（f ）3个动力自由度(g)2个动力自由度(h)3个动力自由度(i)2个动力自由度(j)1个动力自由度m（k ）2个动力自由度（l ）2个动力自由度2试比较下列图式结构（a ）、（b）固有频率的大小，并说明理由。
解：（a ）结构滑动铰支座刚度无穷大，而（b ）结构由于二力杆可以轴向变形，所以（a ）结构刚度大于（b ）结构刚度；而两结构质量相等，根据ω=可以知道，（a ）结构故固有频率大于（b）结构固有频率。
m（a ）（b ）3下图为刚性外伸梁，C 处为弹性支座，刚度系数为k ，梁端A ，D 处分别有m 和质量m /3，同时梁受集中荷载F P (t )的作用，试建立刚性梁的运动方程。
解：单自由度体系，设刚性梁转角为ϕm(t)(my )(y )3A A D D F ϕϕϕϕδδδ=-⋅+-⋅+ （1）其中A y l ϕ=2D y l ϕ= 设刚梁顺时针转动为正①当在A 处作用单位力F=1时,2()3C F =↓234329A l k klϕδ=+÷=+②当在D 处作用单位力F=1时,4()3C F =↑438329A l k klϕδ=+÷=+③当作用F p （t ）时，(t)()3p C F F =↑(t)2(t)3329p p FF F l k kl ϕδ=÷=代入（1）式得：2(t)4m 8(m )((2)9399p F l l kl kl klϕϕϕ=-⋅+-⋅⋅+整理得：2(t)28279p F m k klϕϕ+=4求图示结构的自振频率ωEI =∞kθlθm解：如图所示，该体系只有一个自由度。
设固定支座处出为原点，距离原点x处的质点（mdx ）位移为x θ，惯性力为()mdx x mx dx θθ''-=- 。
结构动力学公式归纳总结
−
������)������������
h.杜哈梅数值积分（当������(������)不可积时）：
无阻尼体系：
������������������������(������ − ������) = sin(������������ − ������������) = ������������������������������������������������������������ − ������������������������������������������������������������
0
−
������)������������
其中ℎ(������ − ������) = 1 ������������������������(������ − ������)
������������
有阻尼稳态解：
������(������)
=
1 ������������������
������
∫ ������(������)������−������������(������−������)������������������������������(������
随机动荷载。所谓非随机动荷载，即荷载的变化规律我们是已经完全掌握的，可以绘制出
荷载随时间变化曲线的荷载，这类荷载一般进行所谓的数定分析以获得荷载-位移曲线。而
随机荷载是指荷载随时间的变化规律我们是无法事先知道的，比如我们需要研究的风荷
载，对这类荷载一般需要采用随机振动理论去进行求解。
下面简单概括结构动力学的理论公式：
b.有阻尼自由振动：
������������̈ (������) + ������������̇ (������) + ������������(������) = 0
结构动力学中的常用数值方法(精)
第五章 结构动力学中的常用数值方法5．1．结构动力响应的数值算法....0()(0)(0)M x c x kx F t x a x v ⎧++=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩当c 为比例阻尼、线性问题→模态叠加最常用。
但当C 无法解耦，有非线性存在，有冲击作用（激起高阶模态，此时模态叠加法中的高阶模态不可以忽略）。
此时就要借助数值积分方法，在结构动力学问题中，有一类方法称为直接积分方法最为常用。
所识直接是为模态叠加法相对照来说，模态叠加法在求解之前，需要对原方程进行解耦处理，而本节的方法不用作解耦的处理，直接求解。
（由以力学，工程中的力学问题为主要研究对象的学者发展出来的）中心差分法的解题步骤1. 初始值计算（1） 形成刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C 。
（2） 定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3） 选择时间步长t ∆，使它满足cr t t ∆<∆，并计算 021()a t =∆，112a t =∆，202a a = （4） 计算...00101122tx x x x a a -∆=-+（5） 形成等效质量阵01M a M a C -=+ （6） 对M -阵进行三角分解T M LDL -= 2．对每一时间步长（1） 计算时刻t 的等效载荷201()()t t t t t Q Q Ka M x a Ma C x--∆=---- （2） 求解t t +∆时刻的位移 ()Tt t t LDL x Q -+∆=（3） 如需要计算时刻t 的速度和加速度值，则.1()t t t t t x a x x +∆-∆=- ..0(2)t t t t t t x a x x x +∆-∆=-+若系统的质量矩阵和阻尼矩阵为对角阵时，则计算可进一步简化。
纽马克法的解题步骤1.初始值计算（1）形成系统刚度矩阵K ，质量矩阵M 和阻尼矩阵C （2）定初始值0x ，.0x ，..0x 。
（3）选择时间步长t ∆，参数γ、σ。
(结构动力学8)有阻尼度哈梅积分12
0,
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
和速度 v(u) ystsinu 为初始条件作自由振动。
y(t y)(t)y0cyyosstst((1cto+csvo0s(stiunu)c)otsco(sttu) )+ yst sinusin(t u)
或者直接由Duhamel积分作
y(t)
1
m
0u
P0
sin (t
)d
y (t )
1
m
0t
P(
) s in
(t
)d
P0 2020/12/7
m 2
(cos(t u)cost)
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
4
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
y(t) yst (1cos(t u)) 当0<ｔ< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当ｔ> u
t u
y(t)
2020/12/7
yst yst
((1cocsos(tt)u)ycsot (s1tc)osys(tt2suin))2u
sin
(t
u 2
)
5
例： 单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t) 试求该系统的动力位移和动力系数，已知 系统的初位移和初速度均为零。
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
结构动力学 阻尼
3.1无阻尼体系自由振动 3.2有阻尼体系的自由振动 3.3无阻尼体系强迫振动 3.4有阻尼体系的强迫振动
预备知识
预备知识
3.1无阻尼体系自由振动
由
由y0 设：
my ky 0
k m
y 0 y
2
3.1无阻尼体系自由振动
单自由度体系无阻尼自由振动方程 其通解为:
0
0 2 y0
2
sin
y0 2 0
2
cos
y A(sin cos t cos sin t )
y A sin t
y A sin(t ) 0 2 A y0 2 ( ) 1 y0 tan v0
g st
g 60 s 2
n 60 f
60 2
g st
980cm / s 2 1 300 299 s s s
它表明一个结构体系的自由振动频率值的大小与该结构体系的外部条件 无关，只与反映该结构的内部固有属性的质量、刚度有关，故通常称为 自振频率或固有频率。
3.1无阻尼体系自由振动
注意： 1.自振周期 T和自振频率 ，只与结构的质量和刚度（或柔度）有关，与外 界干扰因素无关，（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件），改变结构 的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手； 2.自振周期 T和自振频率 ，是结构动力特性的重要数量标志，两个外 表相似的结构，如T和W 不同，则动力性能相差很大；两个外表相差很大 的结构，如 T和W )相同，则动力性能基本一致。
tan
1
y0
y0
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生《结构动力学》思考题第1章1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。
试结合生活或工程分别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。
又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。
属于工程反问题的一种。
在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。
又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。
如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。
求补充！！！！！3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。
即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。
它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关5、正确理解过阻尼、临界阻尼、欠阻尼的概念。
一个系统受初扰动后不再受外界激励，因为受到阻力造成能量损失而位移峰值渐减的振动称为阻尼振动。
系统的状态按照阻尼比ζ来划分。
把ζ=0的情况称为无阻尼，即周期运动;把0<ζ<1的情况称为欠阻尼，即系统所受的阻尼力较小，振幅在逐渐减小，最后才达到平衡位置;把ζ>1的情况称为过阻尼，如果阻尼再增大，系统需要较长的时间才能达到平衡;把ζ=1的情况称为临界阻尼，即阻尼的大小刚好使系统作非"周期"运动。
结构动力学公式
广义力：1()Nii i ixiyj jjji x y z Q FF q q q =∂∂∂=++∂∂∂∑ Lagrange 方程：()jjjjdT T V Q dtq q q∙∂∂∂-+=∂∂∂临界阻尼：22n cr c m ω==阻尼比：2crnc c c m ζω==对数衰减率：12lni i u u πζδ+==阻尼比：/2δπζ=阻尼比：1ln2j i j u ju ζπ+≈动力放大系数：021d stu R u ==力的传递率：Tmax 0f TR=P =位移的传递率：t d g uTR R u ==Duhamel 积分：1()()sin[()]t n n u t P t d m τωττω=-⎰()1()()sin[()]n tw t D Du t P et d m ζττωττω--=-⎰两个自由度体系的两个自振圆频率：1/212211212k k k m m ω⎛⎫⎡+ ⎪⎢=+- ⎪⎢ ⎪⎣⎝⎭1/2 12221212k k km mω⎛⎫⎡+⎪⎢=++⎪⎢⎪⎣⎝⎭两个自由度体系的运动方程的一般解：(1)(2)1111122sin()sin()u t tφωθφωθ=+++(1)(2)1211222sin()sin()u t tφωθφωθ=+++广义特征值求解问题:2[][]0K Mω-=振型的正交性：{}[]{}{}{}[]{}{}Tm nTm nM m nK m nφφφφ=≠=≠无阻尼体系动力反应的振型叠加法：[]{}[]{}{}{}[]{}[][]{}[][]{}{}[][][]{}[][][]{}[]{}{}[]{}{}[]{}{}{}[]201()()()1()()sin ()TTTTn n n Tnn nTn nn n n n nnn n n nt n n n n nM u K u P u q M q K q P M q K q P M M K K P P M q K q P q t q t P t M q t P t d M φφφφφφφφφφφφφωτωττω∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙+==+=+====+=+==-⎰Newmark-β法的基本假设：()()()()1110112201/2i i a u u a u u γγγβββ++=-+≤≤=-+≤≤Newmark-β法求解过程：（1） 基本数据准备和初始条件计算： 1） 选择时间步长△t 、参数β和γ，并计算积分常数()012324567111;22;1;2a a a a t ttt a a a t a t γββββγγγγββ====∆∆∆⎛⎫∆==-=∆-=∆ ⎪⎝⎭；；-1；-1；。
《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解
A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI
r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G
i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G
1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin
2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x
4
代入得
a
2
a2
0 2
a
1
2
a
3 i
a
4 i
a
2013思考题汇总
结构动力学思考题之三
第3页/共3页
8 简谐荷载作用下有初始条件影响的无阻尼单自由度体 系动力反应的瞬态反应项中
p0 / n sin n t 2 k 1 ( / n )
一项是如何产生的,它与外荷载和初始条件的关系如何？ 9 什么是共振？什么是共振频率？结构位移反应、速度 反应和加速度反应的共振频率是否相同？ 10 无阻尼体系和有阻尼体系的自振频率和共振频率是否 相同？分别是多少？
结构动力学思考题之三
第1页/共3页
1 在振动过程中产生阻尼的原因有哪些 ？什么叫临界阻 尼 ？ 什么叫阻尼比 ？ 怎样测量结构振动过程中的阻尼 比？一般建筑结构的阻尼比是多少？ 2 分析临界阻尼体系自由振动的可能运动形式及其满足 的条件 ( 即证明教科书中图 3-3 绘出的三种运动曲线所 对应的状态条件)。 3 阻尼对结构的自振频率有什么影响 ？ 阻尼变大，结构 自振周期如何变化？ 4 为什么说自振周期是结构的固有特性 ？ 它与结构哪些 固有量有关？
结构动力学思考题之六
第2页/共2页
5 在多自由度体系振型阻尼比的现场动力测量时，可以采 用自由振动试验法，此时需要使结构按不同振型作自 由衰减振动，如何使多自由度体系只按某个特定的振 型振动？ 6 N个自由度的体系有多少发生共振的可能性？为什么？ 7 多自由度体系的频率方程存在重根时，体系自振频率 个数、振型个数与自由度数关系如何？各振型之间的 关系如何？ 8 什么是矩阵的正定条件？体系刚度矩阵和质量矩阵的 正定条件是否能保证频率方程不出现重根？
结构动力学思考题之九
第2页/共2页
6 Euler-Bernoulli梁为什么被称为纯弯曲梁？是梁中不存 在剪力么？ 7 Timoshenko梁是否是完全合理、精确的描述均直梁变 形关系的理论？ 8 试叙述建立Timoshenko梁时的几何方程、物理方程和 平衡方程。 9 横向变形梁的平截面假设有几种，各有什么特点？对 应着什么梁？ 10 如果要更深入、系统的研究梁截面的变化、变形规律 及平截面假设带来的影响，都可以采用什么方法开展 分析？不同梁理论的关键不同点在何处？
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2 yst
1
1
t1
tg
1t1
动力系数：
ymax
/
yst
21
1
t1
tg 1t1
2020/12/7
9
应该指出，上式必须满足 tm t1 时才成立，
即，
2
tg
1t1
t1
解此不等式得t t1 ，2t1
t1 T
0.371
这就说明：当 t1 0.371时，最大动力位移发生在
T
t t1
时段内，上式应用有效；当
有阻尼杜哈梅积分 有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅 积分。
当 t 时，微分冲量引起的动力响应为
有阻尼：
( 0)
dy
e( t
)
P( )d md
sind ( t
)
无阻尼：
( 0)
dy p( )d sin( t ) m
(t )
2020/12/7
1
在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和， 则有阻尼体系的振动响应为:
y(t) yst (1cos(t u)) 当0<ｔ< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当ｔ> u
t u
y(t)
2020/12/7
yst yst
((1cocsos(tt)u)ycsot (s1tc)osys(tt2suin))2u
sin
(t
u 2
)
5
例： 单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t) 试求该系统的动力位移和动力系数，已知 系统的初位移和初速度均为零。
F(t) F
F
(t
)
F
1
t t1
O
t1 t
2020/12/7
7
解： 冲击荷载作用的时间很短，在系统产生最大 位移之前，阻尼因素所吸收的能量很少，因 此，冲击荷载作用下的计算，一般不计阻尼 的影响。
将荷载F(t)代入杜哈梅（Duhamel）积分，得
y(t) 1
m
t 0
F
1
t1
sin
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
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12
知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
或者直接由Duhamel积分作
y(t)
1
m
0u
P0
sin (t
)d
y (t )
1
m
0t
P(
) s in
(t
)d
P0 2020/12/7
m 2
(cos(t u)cost)
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
4
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
t1 0.371时，则
T
最大动力位移发生在t t1 时的自由振动状态下。
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y( t
)
y0
cos t
+
v0
sint
10
为了求t t1 时的动力位移，先求t t1 时的位移
和速度
y (t1 )
yst
1
t1
sin t1
cost1
y (t1 )
yst
sint1
1
t1
+
1
t1
cost1
将其带入自由振动方程得
y(t t1)
y(t1) sin(t
t1) +
y(t1) cos(t t1)
(t t1)
此自由振动的幅值为：
A
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y(t1
)
2
+ [ y(t1)]2
1/ 2
yst
1 +
2
t1 2
(1
cost1)
2
t1
1/ 2
sint1
11
动力系数 ：
y(t) 1
m d
t 0
p( )e (t )
sin d
(t
)d
t
y(t) 0 p( )h(t )d
有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:
h(t )
1
m d
e (t ) sin d (t
)
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2
yst P
突加荷载
P(t)
0, 当t 0
P(t)
P0 ,
当t 0
(t
)d
yst
1
cost
+
1
t1
sin t
t t1
(t t1)
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8
为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于 零来达到最大位移的时间tm，即
dy dt
t tm
yst
sin
tm
+
1 t1
cos tm
1 t1
0
即，
tm
2
tg 1(t1)
则可得最大动力位移：
ymax
A yst
1 +
2
t1 2
(
1
cos
t1
)
2
t1
1/2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
0,
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
和速度 v(u) ystsinu 为初始条件作自由振动。
y(t y)(t)y0cyyosstst((1cto+csvo0s(stiunu)c)otsco(sttu) )+ yst sinusin(t u)
t
y(t)
1
m
0t P(
)sin
(t
)d
y(t)
1
m
0t
P0
sin
(t
)d
P0
m
2
(1cost)
yst
yst yst
(1cost)
yst=P0δ=P0/mω2
质点围绕静力平衡 位置作简谐振动
[ y(t)]max 2
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yst
0
π
y(t)
2π
3π
ωt
3
短时荷载
0, t 0
P(t) P0 , 0 t u