(结构动力学8)有阻尼度哈梅积分12
结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题
例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。
从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。
2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求
(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。
2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。如果体系在初始条件
in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。假设：(a) c=0（无阻
尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。
2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。
结构动力学8有阻尼哈梅积分
(t
)d
yst
1
cost
+
1
t1
sin t
t t1
(t t1)
2020/5/25
8
为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于 零来达到最大位移的时间tm，即
dy dt
t tm
yst
sin
tm
+
1 t1
cos tm
1 t1
0
即，
tm
2
tg 1(t1)
则可得最大动力位移：
ymax
A yst
1 +
2
t1 2
(
1
cos
t1
)
2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
t
y(t
)
1
m
0t
P(
)sin
(t
)d
y(t)
1
m
0t
P0
sin
(t
)d
P0
《结构动力学》考试复习题
《结构动力学》考试复习题
一、(概念题)
(1) (填空题)某等效单自由度振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，阻尼比
0.2ξ=，
则系统的固有频率ω为 rad/s ，等效阻尼系数c 为 N. s/m 。
(2) (填空题)某振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，0.7/c N s cm =⋅，则系统的固有频率ω为 ，阻尼比ξ为 ，对数衰减率n 为 。
(3) (简单计算题)一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形mm 4=∆st ，试确定系统作自由振动的固有频率 (重力加速度取2s m /10=g )。(10分)
(4) (填空题)当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由 来平衡。
(5) (问答题)某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为：()()mx cx f x F t ++=，能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。
(6) (填空题)同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的4倍，截面积减小到原来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 。
(7) (填空题)图示两个系统，已知各质点的质量 i m ，刚架的质量不计，忽略杆的轴向变形，试分别确定两系统的动力自由度： (1) n = ; (2) n = 。
(8) (作图题) 0.1ξ=时单自由度系统受迫振动的相频曲线如图所示，其中ω为系统的固有频
率，p 为激振力的频率，ϕ为位移响应滞后于激振力的相位角。试大致绘出0.05ξ=和0.2ξ=时相频曲线的形状。
结构动力学题解(1)
FN 力所作的虚功：
Y (t ) F δY = N Y δY = kG * Y δY 2l 2l 3 广义质量 m* = m l 4 广义劲度 k * = k 1 广义阻尼 c* = (c1 + c2 ) 4 3 广义载荷 F * (t ) = lq(t ) 4 F 广义几何劲度 kG * = N 2l F * 组合广义劲度 k * = k * − kG = k − N ，欧拉临界力 FNcr = 2lk 2l δWn = FN
题图
k1 k 2 k3 值的计算参考位移法中的形常数
系统总劲度：
k = ∑ ki =
27 EI 2 h3
答图
其自振频率：
ω=
k 27 EI 2 = M Mh 3
(f) 解：考虑质体有单位垂直位移时的系统劲度
k1 =
12 EI1 (l1 / 2)3
k2 =
12 EI 2 (l2 / 2)3 48E l I + l I ll
Fs = kY (t )
利用虚位移原理，设 B 处产生竖向虚位移 δY
1 & 1 &&(t ) 1 δY − 9 m l 2Y &&(t ) δY − 1 c Y & δY + lq(t ) 3 δY − kY (t )δY = 0 δW = − c1Y (t ) δY − 3 m l Y 2 (t ) 2 2 4 4 8 2l 2 2 4 考虑到 δY 的任意性，上式可以简化为：
-结构动力学试卷及答案
华中科技大学土木工程与力学学院
《结构动力学》考试卷
2011～2012学年度(下)
1、试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量。（16
分）
m
(1)
(2)
EI
m
(3)
(4)
m
EI=∞
解：（1）2个动力自由度 （2）3个动力自由度 （3）2个动力自由度 （4）1个动力自由度
2、试求图示结构的自振频率（15分）
ω
A
B
解：图示结构为单自由度体系，以横梁转角为自由度。ϕ
由 有：
0A M =∑ 22
20
l
m x dx ml kl ϕϕϕ⋅⋅
⋅⋅
++=⎰
化简得：()
30
3k
lm m ϕϕ⋅⋅
+
=+ 自振频率∴
ω=
3、如图所示体系，各杆长为l ，EI=常数，1处有集中质量m ，2处受动力偶
；，试建立体系的微分方程，并作出动弯矩幅值图。()M t =M sin
t θθ（14分）
l
sin M t
θ解：结构体系的、如下图所示：
1M p M
l
1
M
p
M sin M t
θ3
111122=2EI 233l l l l EI
δ⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭ 21111sin sin 23
6M
Ml l l M t t EI EI θθ⎛⎫∆=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 体系微分方程为:
∴
()321112sin 36M t l Ml y m y m y t
EI EI δθ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=-+∆=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
3sin 24EI M
y y t ml ml
θ⋅⋅
⇒+
⋅=⋅
2
max
2333
1133344622M M Ml y EI EI EI ml ml EI
ml ml ml θ∴=⋅=⋅=---
惯性力幅值∴22
max
哈尔滨工业大学结构动力学课件第八次课
2 2 l 1 2 21 2 l 2 2 1
1
2
2 2v l cos v 3 v 2 l 3 2 3 3 2 1
2 2 2
2＋1 2 2 2 l 2 1 2 3 21 2 21 3＋2 2 3 v2
m1 1 F1 k1 x1 c1 x1 k2 x1 x2 c2 x1 x2 x m2 2 F2 k2 x2 x1 c2 x2 x1 k3 x2 x3 c3 x2 x3 x m3 3 F3 k3 x3 x2 c3 x3 x2 x
x x 1 F F 1
x 2 F 2
x T F 3
T 3
可用材料力学的知识得到各响应系数，即在 j mi mi 上产生的位移，用 ij 表示。 作用单位力后在 上产生的位移，用 ij 表示。 上作用单位力后在
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13 l 3 16 22
12 EI
9 11 33 12
3
Y ( F M Y ) M Y Y F M Y kY F
结构动力学
当矩形脉冲宽度 t0 Tn 2 时， 位移响应才有最大值，等于 静变形的2倍。
x p 2 xst sin
t0
Tn
当 t0 Tn 6 时，响应的最大值 小于静变形。
1.14 阻 尼 1. 粘性阻尼
粘性阻尼（大小与速度成正比；方向与速度相反）
f d cx
相当于物体在气体中低速运动的介质阻力。数学上便利， 微振动精确，使用广泛。
jt x ( t ) Ge 所以也称复刚度阻尼。设特解为：
2 1 j F0 F 1 0 G 2 k 1 j k 1 2 2 2
由频率响应函数的定义有ห้องสมุดไป่ตู้
2 Ge jt 1 1 1 1 j H ( ) j t 2 F0 e k 1 j k 1 2 2 2
t
t t0
F0 1 cos nt .............0 t t0 k x x1 x2 F0 [1 cos t ] [1 cos t t ] .........t t n n 0 0 k F0 n sin nt 0 t t0 k x t F0n sin t sin t t t t n n 0 0 k
单位脉冲响应函数
单位阶跃响应
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
结构动力学问答题答案-武汉理工-研究生
《结构动力学》思考题
第1章
1、对于任一振动系统，可划分为由激励、系统和响应三部分组成。试结合生活或工程分
别举例说明：何为响应求解、环境识别和系统识别？
响应求解：结构系统和荷载已知，求响应。又称响应预估问题，是工程正问题的一种，通常在工程中是指结构系统已知，具体指结构的形状构件及离散元件等，
环境识别：主要是荷载的识别，结构和响应已知，求荷载。属于工程反问题的一种。在工程中，如已知桥梁的结构和响应，根据这些来反推出桥梁所受到的荷载。
系统识别：荷载和响应已知，求结构的参数或数学模型。又称为参数识别，是工程反问题的一种，在土木工程领域，房屋、桥梁和大坝等工程结构被视为“系统”，而“识别”意味着由振动实验数据求得结构的动力特性（如频率、阻尼比和振型）。如模态分析和模态试验技术等基本成型并得到广泛应用。
2、如何从物理意义上理解线性振动系统 解的可叠加性。 求补充！！！！！
3、正确理解等效刚度的概念，并求解单自由度系统的固有频率。
复杂系统中存在多个弹性元件时，用等效弹性元件来代替原来所有的弹性元件，等效原则是等效元件刚度等于组合元件刚度，则等效元件的刚度称为等效刚度。
4、正确理解固有频率f 和圆频率ω的物理意义。
固有频率f ：物体做自由振动时，振动的频率与初始条件无关，而仅与系统的本身的参数有关(如质量、形状、材质等)，它是自由振动周期的倒数，表示单位时间内振动的次数。
圆频率ω： ω=2π/T=2πf 。即为单位时间内位移矢量在复平面内转动的弧度，又叫做角频率。它只与系统本身的参数m ，k 有关，而与初始条件无关
12 结构动力学 土木 结构力学
ki (a)
解：图 b 体系为并联弹簧，其刚度系数 k 等于各弹簧 刚度系数 ki 之和. k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
例2：图a 所示结构周期为Ti，求 图b所示体系周期。
(a) ki m (b) k1 k2 k3 m
tr
爆炸荷载
t
(3) 突加荷载：在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载。 P P P tr P
t
突加荷载
t
(4) 快速移动的荷载。高速移动的列车、汽车等。 (5) 随机荷载：变化规律不能用确定的函数关系表示的荷载。 如风的脉动作用、地震等。
P(t )
t
随即荷载
Baidu Nhomakorabea
§12-2 结构振动的自由度
动力计算中体系的自由度： 确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参数的 个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度 体系。
T
2
2
Δ mg11 m 2 m11 2 2 st k11 g g
k11 1 g m m11 mg11 一些重要性质：
g Δst
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界 的干扰因素无关。干扰力只影响振幅 。
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-33试求图示结构两质量处的最大竖向动位移，并绘制最大动力弯矩图。设m1＝m2＝m， 。
解：该结构有两个自由度，使用刚度法。
的求解过程：
的求解过程：
左构件
将上述刚度系数，质量值及荷载幅值代入位移幅值方程，并计
解得：
最大动力弯矩图
求解过程：
对于AB杆件，相当于在中点作用一集中力
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
(a)
解：
图
图乘得：
(b)
解：此体系为静定结构，内力容易求得。
在集中质量处施加垂直力P，使质量发生竖向单位位移，可得弹簧处位移为 。
由此根据弯矩平衡可求得 。
。
(c)
解：可以将两个简支梁视为两个并联的弹簧。
上简支梁柔度系数为 下简支梁柔度系数为
于是两者并联的柔度系数为 ，
(d)
解：在原结构上质量运动方向加上一根水平支杆后，施加单位水平位移后画得弯矩图如下。
(c)
解：
图 图
作出附加连杆移动单位位移的弯矩图
， ，
列出频率方程：
解得： 结构自振频率分别为：
求第一振型：令 得
求第二振型：令 得
结构的振型向量形式为：
振型图如下：
第一振型第二振型
(d)
解：
图 图
， ，
列振型方程： 其中
《结构动力学》考试复习题
《结构动力学》考试复习题
一、(概念题)
(1) (填空题)某等效单自由度振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，阻尼比
0.2ξ=，
则系统的固有频率ω为 rad/s ，等效阻尼系数c 为 N. s/m 。
(2) (填空题)某振动系统具有下列参数：17.5m kg =，70/k N cm =，0.7/c N s cm =⋅，则系统的固有频率ω为 ，阻尼比ξ为 ，对数衰减率n 为 。
(3) (简单计算题)一弹簧悬挂某质量块，弹簧产生了静变形mm 4=∆st ，试确定系统作自由振动的固有频率 (重力加速度取2s m /10=g )。(10分)
(4) (填空题)当系统受简谐力作用发生共振时，系统所受的外力是由 来平衡。
(5) (问答题)某单自由度系统具有非线性的弹簧，其运动方程为：()()mx cx f x F t ++=，能否用杜哈美积分计算该系统的受迫振动响应？并说明理由。
(6) (填空题)同种材料的弦承受相同的张力，如果长度增加到原来的4倍，截面积减小到原来的4倍，则作该弦横向振动的各阶固有频率将 。
(7) (填空题)图示两个系统，已知各质点的质量 i m ，刚架的质量不计，忽略杆的轴向变形，试分别确定两系统的动力自由度： (1) n = ; (2) n = 。
(8) (作图题) 0.1ξ=时单自由度系统受迫振动的相频曲线如图所示，其中ω为系统的固有频
率，p 为激振力的频率，ϕ为位移响应滞后于激振力的相位角。试大致绘出0.05ξ=和0.2ξ=时相频曲线的形状。
结构动力学第八章-2012
dt ;
p( f ) p (t )e i2 ft dt
响应的傅里叶积分（变换对） u ( f ) H ( f ) p( f ) u (t ) u ( f )ei2 ft df
实际计算采用数值积分，有专门的算法和程序（模块），在 很多实际工程中都用到这一技术，例如处理测试信号。 非周期激励的谱是连续谱，可看作是谱线连成一片了。 21 湖南大学陈政清 编制
湖南大学陈政清 编制
11
结构动力学 第八章
1 方波分解
1 计算p0 T pcn 2 T
0 T 2
T 2 T 2
p (t )dt
1 T ( p p ) 0 T 2
T 2 T 2
T 0 2 p (t ) cos ntdt [ p T cos ntdt p 2 cos ntdt ] 0 0 T 2 T 2 0
课后用MATLAB 软件绘图练习
湖南大学陈政清 编制
13
15
15
10
10
5
5
P(t)
P(t)
0
0
-5
-5
-10
-10
-15 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
结构动力学
u (t )
t
1
n
t
0
n
p(τ)dτ 的动力反应
：
du (t ) p ( )d h(t ) , t
在任意时间t结构的反应， 等于t以前所有脉冲 作用下反应的和 ：
阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：
h(t ) u (t ) e sin[ (t )] t p( )h(t )d m t 1 u (t ) p( )e n (t ) sin[ D (t )]d m D 0
基于 Fourier 变换的频域解法： u (t )
H (i ) P( )e it d
P( )
p(t )e it dt
在脉冲荷载作用下结构的反应： ①对简单脉冲函数可以直接用 Duhamel 积分求得解析解， 或采用强迫振动时段的 解，再加上自由反应的解得到。 ②对短时脉冲，可以用近似方法得到精度的解，即脉冲的作用相当于使结构获得 一个初始速度，而位移为零。
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
1 P ( ) m
单自由度体系运动的频域解为： U ( ) H (i ) P ( )
1 1 H (i ) 2 k [1 ( / n ) ] i[ 2 ( / n )]
频域分析方法的基本计算步骤：
结构动力学学习要点
4. 了解阻尼对自由振动的振幅及强迫振 动动力系数的影响。 5. 掌握两个自由度体系在简谐荷载作用 下的动位移和动内力的计算。
§12-3 单自由度结构的自由振动
单自由度结构 自由振动微分方程
y a sin( t )
则有 a
11 y FI11 m y k11 y 0 m y
k
2 m1 A1 k12 A2 0 11 2 k 21 A1 k 22 m2 A2 0
பைடு நூலகம்
11m1
1
M
2
21m1
2 k m1 k12 0 11 0 1 2 k21 k22 m2 22m2 2
12m2
不考虑阻尼ξ=0，ω’=ω则有
(k)
1 t y F (τ ) sin (t τ ) dτ m 0
式(k)及式(m)—称为杜哈梅积分
(m)
若在t=0质点原来还具有初始位移和初始速 度，则质点位移为
ye
t
0 y0 y ( y0 cos t sin t )
yd 2 yst
t0 π t t0 , yd 2 yst sin 2 2 动力系数为 2 sin t0 与荷载作用时间长短有关 2
当t0>T/2时，最大位移发生在前一阶段。
结构动力学试题及答案20180602
结 构 动 力 学 试 题
（2018年上半年硕士研究生考试课程）
参考公式：（式中ξ为阻尼比，β为频率比） (1) 单自由度体系动力放大系数
0d st
u R u =
=
(2) 单自由度体系传递率TR
()
()()
2
2
22
2121ξββξβ+-+=
TR
1（15’）建立题1图所示的三个弹簧-质点体系的运动方程。
❍
☎♦✆
◆
❍
♍
♋✆
♌✆
♍✆
♍
♍
❍
☎♦✆
◆
❍
◆
☎♦✆
◆
❍
◆
题1图
2（20’）汽车在多跨连续梁桥梁上行驶，桥梁跨度均为L=32m,桥面由于长时徐变效应而产生12cm 的挠度（如题2图所示）。桥面可以用振幅为12.0cm 的正弦曲线来近似，汽车可以用一个单质点体系模拟，如果汽车重m=2.8tf ，等效弹簧刚度k=280E3 N/m ，等效阻尼比5.0=ξ，求:
（1）汽车以72km/h ν=行驶时，汽车的竖向运动()t u t 的振幅t u 0；
（2）发生共振时汽车的行驶速度（此处指使振幅最大时的速度）。
题2图
3（15’）如题3图所示，一总质量为m 的刚性梁两端由弹簧支撑，梁的质量均
匀分布、两弹簧的刚度分别为k 和2k 。定义的两个自由度u 1和u 2示于图中，建立结构体系的运动方程，并求出的振型和自振频率。
题3图
4（15’）题4图所示动力体系为：AB 、BC 杆件都为均布质量刚杆，单位均布
质量分别为m 1 、m 2，M 为集中质量，C1及C2为阻尼系数，K1及K2为刚度系数，在C 点作用有压力N 。以B 点竖向位移B u u =为广义坐标，试求： （1）列出体系的运动方程 （2）求出体系的自振频率 （3）求出临界压力N 。
结构动力学例题复习题含答案-2021年推荐必备
结构动力学例题复习题
第十六章结构动力学
【例 16- 1 】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图 16-6 所示刚架的动力自由度。
图 16-6
【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点：
1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。
2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问
题的具体情形确定。
【例 16- 2 】试用柔度法建立图 16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载
作用的运动方程。
【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集
中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。
设图 a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为 y （向下为正）。把惯性力、阻尼
力及动荷载，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图 b 、 c 、 d 及 e ），则
式中，，。将它们代入上式，并注意到，，得
图 16-7
经整理后可得
式中，，
称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。图 a 的相当体系如图 f 所示。
【例 16- 3 】图 16-8 a 为刚性外伸梁， C 处为弹性支座 , 其刚度系数为，梁端点 A 、 D 处分别有和质量，端点 D 处装有阻尼器 c ，同时梁 BD 段受有均布动荷载作用，试建立刚性梁的运动方程。
【解】因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。
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cost1
将其带入自由振动方程得
y(t t1)
y(t1) sin(t
t1) +
y(t1) cos(t t1)
(t t1)
此自由振动的幅值为：
A
2020/12/7
y(t1
)
2
+ [ y(t1)]2
1/ 2
yst
1 +
2
t1 2
(1
cost1)
2
t1
1/ 2
sint1
11
动力系数 ：
t1 0.371时，则
T
最大动力位移发生在t t1 时的自由振动状态下。
2020/12/7
y( t
)
y0
cos t
+
v0
sint
10
为了求t t1 时的动力位移，先求t t1 时的位移
和速度
y (t1 )
yst
1
t1
sin t1
cost1
y (t1 )
yst
sint1
1
t1
+
1
t1
2 yst
1
1Fra Baidu bibliotek
t1
tg
1t1
动力系数：
ymax
/
yst
21
1
t1
tg 1t1
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9
应该指出，上式必须满足 tm t1 时才成立，
即，
2
tg
1t1
t1
解此不等式得t t1 ，2t1
t1 T
0.371
这就说明：当 t1 0.371时，最大动力位移发生在
T
t t1
时段内，上式应用有效；当
(t
)d
yst
1
cost
+
1
t1
sin t
t t1
(t t1)
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8
为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于 零来达到最大位移的时间tm，即
dy dt
t tm
yst
sin
tm
+
1 t1
cos tm
1 t1
0
即，
tm
2
tg 1(t1)
则可得最大动力位移：
ymax
有阻尼杜哈梅积分 有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅 积分。
当 t 时，微分冲量引起的动力响应为
有阻尼：
( 0)
dy
e( t
)
P( )d md
sind ( t
)
无阻尼：
( 0)
dy p( )d sin( t ) m
(t )
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1
在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和， 则有阻尼体系的振动响应为:
或者直接由Duhamel积分作
y(t)
1
m
0u
P0
sin (t
)d
y (t )
1
m
0t
P(
) s in
(t
)d
P0 2020/12/7
m 2
(cos(t u)cost)
y
st
2sin
u
2
sin
(t
u 2
)
4
另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。 P(t)
y(t) yst (1cost)
P
t P(t)
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
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知识回顾 Knowledge
Review
祝您成功！
F(t) F
F
(t
)
F
1
t t1
O
t1 t
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7
解： 冲击荷载作用的时间很短，在系统产生最大 位移之前，阻尼因素所吸收的能量很少，因 此，冲击荷载作用下的计算，一般不计阻尼 的影响。
将荷载F(t)代入杜哈梅（Duhamel）积分，得
y(t) 1
m
t 0
F
1
t1
sin
y(t) 1
m d
t 0
p( )e (t )
sin d
(t
)d
t
y(t) 0 p( )h(t )d
有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:
h(t )
1
m d
e (t ) sin d (t
)
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2
yst P
突加荷载
P(t)
0, 当t 0
P(t)
P0 ,
当t 0
A yst
1 +
2
t1 2
(
1
cos
t1
)
2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
0,
t u
P
P(t) t
u
阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同： y(t) yst (1cost)
阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移 y(u) yst (1cosu)
和速度 v(u) ystsinu 为初始条件作自由振动。
y(t y)(t)y0cyyosstst((1cto+csvo0s(stiunu)c)otsco(sttu) )+ yst sinusin(t u)
t
y(t)
1
m
0t P(
)sin
(t
)d
y(t)
1
m
0t
P0
sin
(t
)d
P0
m
2
(1cost)
yst
yst yst
(1cost)
yst=P0δ=P0/mω2
质点围绕静力平衡 位置作简谐振动
[ y(t)]max 2
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yst
0
π
y(t)
2π
3π
ωt
3
短时荷载
0, t 0
P(t) P0 , 0 t u
y(t) yst (1cos(t u)) 当0<ｔ< u
P
P(t)
u
t
y(t) yst (1cost)
P
当ｔ> u
t u
y(t)
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yst yst
((1cocsos(tt)u)ycsot (s1tc)osys(tt2suin))2u
sin
(t
u 2
)
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例： 单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t) 试求该系统的动力位移和动力系数，已知 系统的初位移和初速度均为零。