三角函数最值问题的常见类型及解法

三角函数最值问题的常见类型及解法
作者：陈德堂
来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2010年第04期
摘要:归纳出三角函数最值问题常见的七种类型及解法。

关键词:三角函数;最值
中国分类号:G424 文献标识码:A文章编号:1992-7711(2010)4-015-02
一、形如y=a sin x+b cos x型的函数(化归思想)
特点是含有正、余弦函数,并且是一次式.解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数.应用公式y=a2+b2sin(x+φ)即可,其中tanφ=ba.
然后利用三角函数的有界性求最值.
例1.求函数y=sin x+3cos x,x∈\π2\〗的最值.
分析:由于a sin x+b cos x=a2+b2sin(x+φ),其中tanφ=ba,此结论在运用是时需注意自变量x的取值范围.
所以y=sin x+3cos x=2sin(x+π3)
因为0≤x≤π2;所以x+π3∈\π3,5π6\〗
由三角函数的图象或单调性可知y min=1,y max=2.
二、形如y=a sin x+b sin x cos x+c cos x2型的函数(化归思想)
特点是含有sin x,cos x的二次式,处理方式是降幂,再化为型一的形式来解.
例2.求y=sin2+2sin x cos x+3cos2x的最小值,并求y取最小值时的x 的集合.
解:y=sin2x+2sin x cos x+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x
=1+sin2x+1+cos2x
=2+2sin(2x+π4)
当sin(2x+π4)=-1时,y取最小值2-2,此时x的集合{x|x=kπ-38π,k∈Z}.
三、形如y=a sin2x+b cos c+c型的函数(化归思想和换元思想)
特点是含有sin x,cos x,并且其中一个是二次,处理方式是应用
sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成二次函数来求解.
例3.求函数y=cos2x-2a sin x-a(a为常数)的最大值M.
解:y=1-sin2x-2a sin x-a
=-(sin x+a)2+a2+1-a
令sin x=t,则y=-(t+a)2+a2+1-a,(-1≤t≤1)
(1)若-a1时, 在t=-1时,取最大值M=a.
(2)若-1
(3)若-a>1,即a
四、形如y=a sin x+cb cos x+d型的函数(化归思想或数形结合思想)
特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式.几乎所有的分式型都可以通过分子,分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有多种.
例4.求函数y=2-sin x2-cosx的最大值和最小值.
解法1:原解析式即:sin x-y cos x=2-2y,
即sin(x+φ)=2-2y1+y2,
∵|sin(x+φ)|≤1,∴2-2y1+y2≤1,解出y的范围即可.
解法2:2-sin x2-cos x表示的是过点(2, 2)与点(cos x,sin x)的斜率,而点(cos x,sin x)是单位圆上的点,观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值.
解法3:应用万能公式设t=tan x2,则y=2t2-2t+23t2+1,
即(2-3y)t2-2t+2-y=0,
根据Δ≥0解出y的最值即可.
五、形如y=sin x cos x型的函数(化归思想或不等式思想)
它的特点是关于sin x,cos x的二次式,此类函数用均值不等式求解大为简捷.
例5.在直角三角三角形中,两锐角为A和B,则sin A sin B()
A.有最大值12和最小值0
B.有最大值12,但无最小值
C.既无最大值也无最小值
D.有最大值1,但无最大值
解法1:∵A+B=π2,0
∴sin A>0,cos A>0,即sin A cos A>0,
又sin AsinB=sin A cos A=12sin2A≤12.
故选B.
解法2:sin A sin B≤sin2A+sin2B2=sin2A+cos2A2=12.
又∵A,B≠0,∴选B.
六、含有sin x与cos x的和与积型的函数式(换元思想)
其特点是含有或经过化简整理后出现sin x±cos x与sin x cos x的式子,处理方式是应用(sin x±cos x)2进行转化,转化为二次函数的问题.
例6.求y=2sin x cos x+sin x+cos x的最大值.
解:令sin x+cos x=t(-2≤t≤2),则1+2sin x cos x=t2,所以
2sin x cos x=t2-1,所以y=t2-1+t=(t+12)2-54,
根据二次函数的图象,解出的最大值是1+2.
七、形如y=sin x+a sin x型的函数(分类讨论思想)
若0
由以上的几种形式可以归纳出解三角函数最值的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求;二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法;此外可以利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决.。