巧填幻方和数阵
巧填幻方(课堂PPT)
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫 格中，不能重复，使得每一行，每一 列，每一条对角线上的三个数的和相 等。
解题过程：
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九子斜排
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78ຫໍສະໝຸດ 61上下对易，左右相更
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例1：把1-9这九个数填入下面的九 宫格中，不能重复，使得每一行， 每一列，每一条对角线上的三个数 的和相等。
方法二：阶梯法（下回分解）
方法三：罗伯法（徐近乔已讲）
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张老师提示：对易法、阶梯法、罗伯法都只适用于奇数幻方
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谢谢大家
完
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幻和： 幻方中每行/列/对角线的数的和。
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幻和：15 总和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 阶数：3
15=45÷3 幻和=总和÷阶数
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例1：把1-9这九个数填入下面的九宫格中， 不能重复，使得每一行，每一列，每一条对 角线上的三个数的和相等。
刚才神龟背上的九宫图，究竟是怎 么填出来的呢？
巧填幻方
主讲人：张权瑞
•1
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同学们，你观察到了什么？这 些数无论横着加、竖着加还是 斜着加，结果都等于十五。
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幻方的基本概念
幻方： 是指横行、竖行、对角线上数的和都 相等的数的方阵，具有这一性质的3x3 的数阵称作三阶幻方，4x4的数阵称作 四阶幻方，5x5的数阵称作五阶幻方 ……….
三年级奥数简单数阵与幻方
数阵与幻方【知识点与方法】一、数阵和幻方的概念：（1）数阵：每一条直线段的数字和相等。
（2）幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，任意一横行、一纵行及对角线的和都相等。
二、联系之前所学的高斯求和的知识，首先找到中心项：首项、末项、中间项。
然后对称找和相等的成对的项。
【经典例题】例1、将1、2、3、4、5这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
例2、将1、4、7、10、13这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和都等于25。
例3、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都相等。
例4、将5～11这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于24。
例5、将1～9这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
练习与思考1.将3、6、9、12、15这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和相等。
2. 将1、3、5、7、9这五个数分别填入下图中，使横行3个数的和与竖行3个数的和为17。
（2题图）（3题图a）（3题图b）3. 将1～9这九个数分别填入右上图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。
(至少找出两种本质上不同的填法)4.将3～9这七个数分别填入左下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20。
（4题图）（5题图）5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6. 将2～10这九个自然数填入下图的九个方格内，使得它成为一个幻方（每行、每列、每条对角线和都相等）。
7.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
小四奥数(幻方和数阵)
1、用“罗伯法”编制一个五阶幻方。
2、在下图的空格里填上合适的数，使横、竖、斜行中三个数的和都是27.
3、在下图的七个圆圈里分别填上1-7，使每条直线上的三个数的和都相等。
4、把1-9这九个数分别填入下图“七一”图案的格子里，使每一横行、每一竖行的数的和都是13.
5、将1-8八个数分别填入下图中，是每条边上三个数的和等于12.
数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。幻方和数阵图的填写不能只采取试的办法，而要根据题目的要求，所给的数字的特征进行合理的分析思考，并在计算的基础上，先在计算的基础上，先填写关键位置的数，再填其他位置的数。
二、典型例题
例1将1-9九个数字填在右图内九个方格里，每格填一个数字，使每一横行、每一纵行和两条对角线上三个数之和相等。
这幅图用现在的数字表示，即为1-9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上图）。我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”、“幻方”或“中国方阵”。
幻方曾使不少的爱好者入迷，目前世界上最大的幻方——“1256阶泛对角幻方”就是1990年11月22日无锡以为中学教师发明，这个数字方阵方阵纵、横排成1256行，任何一条线以及对角线各数和都是990693236.
将1-7七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条线上三个圆圈内的数的和相等。
想一想：从（1+2+3+、、、+7-x）除以3，商是整数而没有余数时，该怎样思考？
变式3-1把3-9这七个数填入下图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
例4把1-10十个数填入下图中的小圆中，使每个大圆上六个数的和是30.
奇妙的幻方与数阵
奇妙的幻方与数阵走进来相传大禹治水时，洛水中出现了一只“神龟”，背上有美妙的图案（如图），史称“烙书”。
我国南宋时期数学家辉将它命名为“纵横图”，又名“九宫图”或“九宫和阵”。
用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外有许多大数学家、大学者，如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣，并且逐步研究出了不少独特的构造幻方的方法。
一起做例1 把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数填入右图3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。
例2 认真观察例1的结果，里面蕴涵着神奇的奥妙，你发现了吗？幻方问题，可以通过计算的方法填写。
把你发现的方法写下来。
例3 在右图的空格中填入不同的自然数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。
例4 将九个连续偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于36.例5 在右图的每个空格填入一个自然数，使得每一行，每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。
我能行展现自己1、用自然数2、3、4、5、6、7、8、9、10编制成一个三阶幻方。
2、用1、3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。
3、用2、4、6、8、10、12、14、16、18编织成一个三阶幻方。
4、将9个偶数编成一个三阶幻方，使幻方和等于24。
5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方，是幻和等于33。
6、在下面的两个图空着的方格填上合适的数，是每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。
7、在右图中的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数字之和都相等，求x的值。
8、在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都等于90。
9、在右图中的每个空格中填入一个自然数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。
10、在右图的空格中再填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都是48。
11、在右图中的每个方格里填入一个不大于12且互不相同的9个自然数（左上角已经填入8），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
巧填幻方
这就是传说中神秘的幻方，让我们走进今天的课堂，一起来研究一下幻方的这是传说中神秘的幻方，我们走进今天的课堂，起来研究下幻方的
阶幻方……
幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和。
幻和：15
【幻方填法】
民谣
四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
周围十月团圆把1－9这九个数填入下面的九宫格中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的三个数的和相等。
试编出一个三阶幻方，使其幻和为30，而且幻方中没有重复的数。
中间数：在奇数阶幻方中填在最中间的数。
中中中
观察下三阶幻方：
幻和＝(1＋2＋3＋…＋8＋9)÷3＝15
中间数＝15÷3＝5
在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方。
【三阶幻方性质】
角块等于对角两棱块之和的一半
在下图空格中填入7个自然数，使每行、每列、每一对角线三数之和为90把1-16这十六个数填入下面的图中，不能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的四个数的和相等。
在下图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线
上的方格中的四个数字都是1，2，3，4。
⑴幻和＝总和÷3
⑵中心数＝幻和÷3＝总和÷9
“T型台”
⑶型台
c＝(a＋b)÷2
二三阶幻方填法
二、三阶幻方填法。
幻方做题技巧
幻方做题技巧幻方啊，就像一个神秘的数字魔法阵。
咱要解开它的奥秘，可得有点小窍门。
先说说三阶幻方吧。
这就好比是幻方里的小老弟，简单又有趣。
你得知道幻和这个概念，啥是幻和呢？就像是这个幻方里的一个小目标。
对于三阶幻方来说，它的幻和特别好算，你把这九个数里最大的数加上最小的数，然后乘以个1.5就成了。
比如说1到9这九个数，最大的是9，最小的是1，那幻和就是(9 + 1)×1.5 = 15。
知道了幻和，就像手里有了一把小钥匙。
咱再看这九个数怎么往幻方里填。
中间数那可是个关键的主儿，就像一个小班长，在三阶幻方里，这中间数就得填5。
为啥呢？因为它在这堆数里位置特殊呗。
你把5填在中间，就像在这个魔法阵的中心定了个桩。
然后呢，你就可以试着把和为10的数对往幻方里填，像1和9，2和8，3和7，4和6，就像给小朋友找小伙伴，一对一对的。
不过这填的时候也得有点小技巧，不能瞎填。
你可以先在角上找个位置给1，为啥是角上呢？角上的数啊，它要跟更多的数相加凑幻和呢。
你把1填在角上，那跟1凑幻和15的数就有9和5了，这样就比较容易确定其他数的位置。
再讲讲五阶幻方。
这五阶幻方可比三阶的复杂点了，就像从小学的数学题跳到了初中的难度。
这时候幻和的计算也有点不一样了。
你得把这25个数里最小的数加上最大的数，然后乘以个2.5。
这时候填数也有个小办法。
你可以先把1填在最上面一行中间的位置，就像在舞台的正中央先放了个小演员。
然后呢，你就按照斜着往上走的规则填数。
要是走到幻方的外面了，你就像这个数字坐了时光机一样，从幻方的对面钻出来接着填。
要是斜着走的位置已经被占了，那这个数字就乖乖地填在这个被占数字的下面，就像排排坐吃果果一样。
还有一种幻方是偶数阶幻方。
偶数阶幻方就像两个好朋友手拉手。
比如说四阶幻方，你可以把这个幻方分成四个小方阵。
先把1到16这16个数按顺序填进去，然后呢，你就像个调皮的小精灵，把对角线上的数进行交换。
把左上角小方阵和右下角小方阵里的对角线的数交换，右上角小方阵和左下角小方阵里的对角线的数也交换。
巧填幻方
【例6】(★★★) 已知如图是一个四阶幻方，那么标有“*”的方格中所填的数是多少? 7 12
49*
5 16 3
8 11
【超常挑战】(★★★★★)数学解题能力复试试题
麦斯将9个不同的自然数填入右图的9个空格内，使每行、每列、
每条对角线上3个数的和都相等。已知A和B的差为14，B和C的
差也为14，那么D和E的差是___________。
1
【例2】(★★★) 把2、4、6、8…50这25个偶数填入下面的九宫格中，不能重复，使得 每一行，每一列，每条对角线上的5个数的和相等。
三阶幻方的性质
492 357 816
①总和＝幻和×3 ②幻和＝中心数×3
abc de f gh i
①总和＝幻和×3 ②幻和＝中心数×3
三阶幻方的性质
b
①总和＝幻和×3
幻方的填法
杨辉法 九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出
1 42 753 86
9
492 357 816
幻方的填法
罗伯法 首居上中央，依次右上连 上出向下看，右出往左填 顶角和填重，回来写下边 填好再检查，等差在中间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
816 357 492
适用于等差数列 填入奇数阶幻方
【例1】(★★) 把1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个数填入下面的九宫格中，不 能重复，使得每一行，每一列，每条对角线上的3个数的和相等。
巧填幻方
洛书
492 357 816
这个数阵有什么特点呢 这些数不论横着加 竖着加还是斜着加 结果都等于十五
五戴左六二九 居九三八四宫 中履右为为者 央一七足肩， 。，，，，
你能用1~9填出 几种不同的幻方呢？
幻方与数阵图
幻方与数阵图把一些数按一定的规则，填在特定形状的图形中，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
数阵图是一种有趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙，大致可分为三种：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
填数阵图的技巧和方法是：1.认真分析研究数阵图的内在规律；2.抓住数的特点，找出突破口；3.注意调整，找出多种填法幻方的具体方法如下：（1）把1（或最小的数）放在第一行正中间：按以下规律剩下的数：（2）每个数放在前一个数的右上一格；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列；比如2超出了最顶行，就把它放在最底行。
（4）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上行：比如3超出了最右列，就把它放在最左列。
（5）如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面：比如4不能和1填在同一个格子晨，就填在3的下面。
（6）依照这种方法把全部的数填完，一个三阶幻方就诞生了，1. 把15～23这9个数字填入以下三阶幻方中，使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。
2. 把3、6、9、12、15、18、21……这25个数字填入以下五阶幻方中，使每一行、每一列、每条对角线上的数的和都相等。
3. 在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于21。
7 254．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
→5．下图中，每个字母代表一个数，已知每行、每列以及每条对角线上三个数字的和都相等，若a=4、I=16、d=17、h=5,那么b=______ .f=_______.6. 已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?7．将1、2、3、4、5、6这六个数分别填入右图中表格内，要求每一行左边的数要大于右边的数，每列上面的数要大于下面的数。
（共有几种填法？）8. 将1～9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数字之和27。
幻方填入规律
幻方填入规律幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2 * (n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n*(n*n+1)/2为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行（顶行）正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯，亦称“楼梯法”。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
9格幻方的小技巧
9格幻方的小技巧
1. 嘿，你知道吗，填 9 格幻方有个超棒的小技巧！比如在填数字的时候，先找到中间那个格子，把中间数填进去，这就像给整个幻方找到了中心呀！像 1 到 9 来填，把 5 填在中间。
2. 哇哦，还有一个很有用的哦！从最小的数字开始，按照一定顺序去填，这就像排着队一个一个来，多有序啊！比如依次从左上角开始填。
3. 嘿呀，注意啦！每行每列的数字之和要是一样的哦，这可不能马虎。
就好比是一群小伙伴，大家的实力都要差不多才行呢！比如填好后检查一下是不是每行每列的和都相等。
4. 哎呀呀，把数字对称着填也很不错哦！这就像照镜子一样，两边是一样的，多有意思！像左上角和右下角的数字可以对称着来填。
5. 嘿，填的时候要大胆尝试呀！别害怕错，就像冒险家一样去探索。
比如填一个数字感觉不太对，那咱就换个试试。
6. 哇，注意数字的奇偶性搭配哟！这就像跳舞的时候男女搭配一样重要呢！比如奇数和偶数合理分布。
7. 哈哈，最后别忘了整体检查一遍呀！这就像考试完检查试卷一样重要呢！看看有没有填错的地方。
我觉得呀，这些小技巧能让填 9 格幻方变得更有趣，也更容易，大家
赶紧去试试吧！。
幻方与数阵——精选推荐
幻⽅与数阵幻⽅与数阵[例1]将1—9等。
[⼀例⼀练] 将15—23这九个数分别填⼊3⾏3列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
[例2]将1—25这⼆⼗五个数分别填⼊5⾏5列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
[⼀例⼀练] 将10—34这⼆⼗五个数分别填⼊5⾏5列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
[例3]将1—16这16个数分别填⼊4⾏4列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
[⼀例⼀练] 将1—36这36个数分别填⼊6⾏6列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上[例4]把1—7这七个数分别填⼊图4—1中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。
[⼀例⼀练] 将1—6这六个数分别填⼊图4—2中的圆圈内，使每条边上的三个数的和都相等。
[例5] 把1—7这七个数分别填⼊图4—3中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等，并且使得每个圆圈上三个数之和相等。
[⼀例⼀练] 把15—21这七个数分别填⼊图4—4中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等，并且使得每个圆圈上三个数之和相等。
[例6]把1—9这七个数分别填⼊图4—5中的九个⼩三解形中，使每条边上的五个⼩三⾓形内的数字之和都相等。
问：这个和的最⼩值是多少？图4—2图4—1图4—3图4—4图4—5[⼀例⼀练] 把1—9这七个数分别填⼊图4—6中的九个⼩三解形中，使每条边上的五个⼩三⾓形内的数字之和都相等。
问：这个和的最⼤值是多少？⾃测练习题1、将10—18这九个数分别填⼊3⾏3列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
2、将2、5、8、11、14、17、20、23、26这九个数分别填⼊3⾏3列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
3、将40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、115、120、125、130、135、140、145、150、155、160这⼆⼗五个数分别填⼊5⾏5列的数表中，使每⾏每列以及对⾓线上的和都相等。
填四阶幻方的方法
填四阶幻方的方法
宝子，今天咱来唠唠四阶幻方的填法哈。
四阶幻方呢，就是一个4×4的方格阵，要让每行、每列还有两条对角线上的数字加起来都相等。
有一种比较简单的方法哦。
咱先把1到16这些数字按顺序填到四阶幻方里，就像第一行从左到右填1、2、3、4，第二行填5、6、7、8，这样依次填满。
这时候呢，幻方还不是真正的幻方。
咱得调整一下数字。
你看啊，把这个方阵的两条对角线上的数字不变，其他的数字呢，关于中心对称的两个数字交换一下位置。
比如说1和16交换，4和13交换，6和11交换，7和10交换。
这样一换呀，嘿就神奇地得到四阶幻方啦。
还有一种思路呢。
咱可以从数字的组合角度去想。
你想啊，1到16的总和是136，那每行或者每列的数字和就应该是136除以4，也就是34。
那咱就可以试着凑这些数字组合，让每行每列都能凑出34。
不过这个方法可能就需要多试试啦，不像前面那种有个固定的套路。
宝子，你要是自己动手去填一填，就会发现这其中的乐趣啦。
就像玩一个数字游戏一样，看着那些数字在自己的摆弄下，乖乖地在幻方里排好队，每行每列加起来都一样，那感觉可太有成就感啦。
而且呀，幻方这东西可神奇了，它不只是个数学游戏，在古代还被认为有神秘的力量呢。
咱现在就把它当成一个超有趣的小挑战，你要是学会了这个填法，还可以去考考你的小伙伴们，多酷呀！ 。
巧填幻方和数阵
巧填幻方和数阵巧填幻方和数阵在神奇的数学王国里，有一座数字谜宫，那就是幻方和谜宫，他对喜欢探究数字规律的人有着巨大的魔力，就连大数学家欧拉都对它痴迷。
有关幻方的研究在我国已经流传了两千多年，它是具有多特形式的填数字问题。
随着历史的发展，许多人对幻方作出进一步的研究，创造了许多绚丽多姿的幻方，并且探索出了一些解答方法。
我在教奥数培优班时，讲解三阶幻方和数阵时，发现书中的解答方法有点高深，不易懂。
特别是对于三年级的学生，我发现了一个简单的方法巧填三阶幻方和简单的数阵的解答方法。
（一）三阶幻方的填法例：将1-9九个自然数填入下图的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
教材上的解法是：（一）先求出每行每列、每条对角线上之和是多少（1+2+3+4+5+6+7+8+9）/3＝15（2）将1－9这九个数中和为15的三个数的构成方式都列举出来，找出中心数为5填在中心方格中。
（3）填上四个角上的数字。
（4）把其它几个数填在合适的位置。
这些过程对于三年级的学生来说，难度太大，容易忘记。
我的解法是：（1）先填中心数，把1－9按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。
（2）将剩下的八个数排成两排，第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即12348765根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。
即如图(略)（4）用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。
（5）例如：将20－28填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等。
1）20、21、22、23、24、25、26、27、28第五个数是24填在中心格。
2）20、21、22、2328、27、26、25把第二、第四列的21、27、23、25按对角填。
3）用对角线的和72减去每行或每列知道的数字就行了。
如图：(略)（二）简单数阵的填法例如：将2－10这九个数填入下图中，使得从中心出发的每条线上的三个数之和相等。
填幻方的方法范文
填幻方的方法范文幻方是一种古老而神秘的数学游戏，它具有大量的变化和挑战性。
填充幻方的方法是解决这一问题的关键，本文将介绍填充幻方的一般方法。
幻方可以定义为一个正整数的方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
填充幻方的首要任务是确定方阵的大小，通常以n×n的形式表示，其中n是一个正整数。
填充幻方的第一步是确定方阵的中心位置。
在n是奇数的情况下，中心位置就是方阵的正中间行和列。
在n是偶数的情况下，中心位置可以是几个格子的组合。
通常将中心位置设置为方阵第一行的正中间列，例如在4×4的方阵中，中心位置将是(1,2)和(1,3)两个格子。
填充幻方的第二步是从中心位置开始按照一定规律填写数字。
最常见的方法是从数字1开始，依次向右上方填充。
如果下一个格子超出了方阵的边界，则将其置于方阵的底部或最右边的格子，重复这个过程直到所有的格子都被填满。
在填充过程中，需要注意一些规则和技巧。
首先，如果一个格子已经被填充了，则需要跳过该格子，直接填充下一个格子。
其次，在填充过程中，需要注意数字的重复和位置的选择。
为了避免数字的重复，可以按照一定的顺序填充，例如从小到大或从大到小。
为了选择位置，可以根据数字的奇偶性决定填充的方向，若数字为偶数则向右填充，若数字为奇数则向左上方填充。
填充幻方的最后一步是验证幻方的正确性。
在完成填充后，需要对每一行、每一列和对角线上的数字进行求和，确保它们都相等。
如果有任何一行、一列或一条对角线的和不等于其他行、其他列或其他对角线的和，则说明填充的幻方是错误的。
填充幻方的方法并不是唯一的，还有其他一些特殊的填充方法。
例如，可以使用四个规则来填充幻方：1.正方形中心的数为1，其下一个数为(n+1)；2.若上一个数的位置在方阵的左上角，则下一个数的位置在方阵的右下角；3.若上一个数的位置在方阵的上边界，则下一个数的位置在方阵的下边界；4.若上一个数的位置在方阵的右边界，则下一个数的位置在方阵的左边界。
填幻方的方法初中数学
填幻方的方法初中数学填幻方是数学中一个有趣且具有挑战性的问题。
幻方是一个由整数构成的方阵，使得每一行、每一列以及每条对角线上的数字之和都相等。
填幻方的方法可以通过不同的策略和技巧来解决。
下面将介绍一些填幻方的方法以及相关的数学原理。
首先，最简单的填幻方方法是针对特定的幻方类型使用已知的规则。
常见的幻方类型包括3阶、4阶、5阶等等。
对于3阶幻方，可以使用以下规则进行填充：123456789根据幻方的定义，幻方的每一行、每一列以及每条对角线的和都应该等于15、因此，我们可以选择一个起始位置，并将15除以3，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：123456789对于4阶幻方，可以使用以下规则进行填充：12345678910111213141516同样地，我们可以选择一个起始位置，将34除以4，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：12151612461081151413973这些规则可以应用于一些特定的幻方类型，但对于更大的幻方或者其他类型的幻方，可能需要使用不同的方法来填充。
其次，对于更复杂的幻方，可以使用反推法来进行填充。
反推法是一种通过逆向的推理来填充幻方的方法。
首先，我们可以确定幻方中心位置的数值，然后逐渐向外推断每个格子应该填充的数值。
例如，对于一个5阶幻方，我们可以选择中心位置为13，然后可以确定四个对角线上的数值，即1、9、17、25、而中心位置的上方和下方的数字可以根据1、9、17、25逐渐增加或递减，经过一定规律的运算得到。
然后，我们可以利用这些确定的数值来推算其他的格子数值。
最后，对于更复杂的幻方，可以使用迭代法进行填充。
迭代法是一种通过不断重复特定的操作来逐渐逼近解的方法。
在填幻方的问题中，迭代法可以通过不断调整幻方中的数字来逼近正确的解。
例如，对于一个奇数阶的幻方，可以先将幻方的中心位置填充为1，然后对幻方中的每个格子进行遍历。
对于每个格子，根据其相邻格子的数值来确定应该填充的数值。
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方知识集锦知识集锦数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。
数阵图和复合型数阵图三种形式。
幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。
“洛书”的传说。
在3×3的方格里，的方格里，填上填上9个连续的自然数，个连续的自然数，使每行、使每行、使每行、每列、每列、每列、每条对角线上的每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。
类似的还有四阶幻方、五阶幻方……例题集合例题集合例1 1 把把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是行、竖列三个数的和都是1414。
练习1 1 将将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是2121。
例2 2 将将1111～～17共七个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上的3个圆圈中的数之和都是4040。
练习2 2 将将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是4747。
例3 3 把把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。
练习3 3 如下图，在五个小圆圈内分别填上如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。
之和都相等。
例4 4 将将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是2121。
练习4 4 将将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是2222，那么，那么A 、B 两个圆圈内不可能填（两个圆圈内不可能填（ ））。
①1和7 7 ②②4和8 8 ③③3和5 5 ④④2和6例5如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相5 如下图，将等。
简单的幻方与数阵问题
【专题分析】
【典型例题】
例1 将1-7 这七个数分别填入下图的O里，使得 每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都 相等。
【解析部分】
第一步:观察此题中的数阵的结构特点，在纸上进行尝试计算操 作，对于此数阵有初步的认识把握;第二步:继续根据题中数阵的 具体结构特点，可以发现“根据数阵的特点求出中心数是4，继续 根据题意，对于圆圈中的数据进行调整，符合题目中的要求”;第 三步:最后对于此题中数阵的结构特点进行回顾总结，找出一定规 律，进一步加深对于数阵的认识和理解。
【规范解答】
【模仿训练】
补充没有填数的空格（每个数在同一个幻方中只能出 现一次），使得每行、每列、每条对角线上所填数之和 都相等。
【模仿训练】
补充没有填数的空格（每个数在同一个幻方中只能出现一次），使得每行、每列、每条对角线上所填数之和 都相等。
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巧填幻方和数阵
在神奇的数学王国里，有一座数字谜宫，那就是幻方和谜宫，他对喜欢探究数字规律的人有着巨大的魔力，就连大数学家欧拉都对它痴迷。
有关幻方的研究在我国已经流传了两千多年，它是具有多特形式的填数字问题。
随着历史的发展，许多人对幻方作出进一步的研究，创造了许多绚丽多姿的幻方，并且探索出了一些解答方法。
我在教奥数培优班时，讲解三阶幻方和数阵时，发现书中的解答方法有点高深，不易懂。
特别是对于三年级的学生，我发现了一个简单的方法巧填三阶幻方和简单的数阵的解答方法。
（一）三阶幻方的填法
例：将1-9九个自然数填入下图的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
教材上的解法是：（一）先求出每行每列、每条对角线上之和是多少（1+2+3+4+5+6+7+8+9）/3＝15 （2）将1－9这九个数中和为15的三个数的构成方式都列举出来，找出中心数为5填在中心方格中。
（3）填上四个角上的数字。
（4）把其它几个数填在合适的位置。
这些过程对于三年级的学生来说，难度太大，容易忘记。
我的解法是：（1）先填中心数，把1－9按从小到大顺序排成一排，第五个数填在中心格。
（2）将剩下的八个数排成两排，第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即
1 2 3 4
8 7 6 5
根据两排数字填上四个角，四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数，这两列数字按对角填。
即如图 ( 略 )
（4）用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。
（5）例如：将20－28填入九宫格中，使每行、每列、两条对角线的和相等。
1）20、21、22、23、24、25、26、27、28第五个数是24填在中心格。
2）20、21、22、23
28、27、26、25 把第二、第四列的21、27、23、25按对角填。
3）用对角线的和72减去每行或每列知道的数字就行了。
如图：( 略 )
（二）简单数阵的填法
例如：将2－10这九个数填入下图中，使得从中心出发的每条线上的三个数之和相等。
教材上的解法是：（1）确定中心数设中心数为A，则这四条线上12个数的和为54+3*A是4的倍数，求出A的值分别为2、6、10 最后填出数阵。
这里用不定方程求A的值对于三年级的学生太难了。
我的填法是：把这九个数按顺序排成两排，第一排4或5个数从小到大排，第二排5或4个从大到小排。
只有一个数的一列的这个数就是中心数。
如图：
2、3、4、5、6 2、3、4、5、6 2、3、4、5 10、9、8、7 10、9、8、7 10、9、8、7、6 （一）（二）（三）
图一的中心数为6，图二的中心数为2，图三的中心数为10 确定中心数后，把每列的两个数填在其余的两个圆圈就完成了。
如图：( 略 )
又如：将5－15填入下图使每条线上的三个数之和相等。
（1）确定中心数
（一）5、6、7、8、9、10 （二）5、6、7、8、9
15 14 13 12 11 15 14 13 12 11 10
（2）填数阵如下图( 略 )
以上就是我对三阶幻方和简单数阵的解答方法，主要是针对学生的特点而得出的一些简单易记的方法
趣题巧解
在众多竞赛题中，有一些趣题如果按一般的思维去解答很花时间，甚至于也不一定能得到答案，对于这类题目就需要跳跃的思维来解答。
例如：我原来的号码与现在的号码都是四位数，现在的号码是原来的号码的四倍，并且是原来的号码倒着写过来。
问现在的号码是多少？
这道题按一般的方法推理出千位与个位数字很容易，但百位与十位数字有点难，如果我们换一种思考方法，把这道题变成一道数字谜来解答就非常容易了。
设原号码为ABCD，现号码则为DCBA，列式得：ABCD*4=DCBA。
从这个数字谜中可以看出A只能是1或2两种可能，又根据D*4的个位为A，那么A就只能为2。
同时也可以判断出D只能为8。
根据D为8，可以看出B只能为0、1、2这三种可能，而C*4的积加上3的个位数字一定是奇数，从而推出B只能为1，最后推出C为7，也就是现号码为8712。
又如：在0.15-0.16之间找一个分子分母尽量小的分数，这个分数是多少？
这道题..先把0.15和0.16分别化成分数就是3/20与4/25，再根据通分来解答可以求出答案，但不一定是对的。
也可以把分子变成相同的3，即3/20与3/18.75从而可以求出一个3/19。
但是这个答案还是不能满足条件。
我们也可以换一个角度思考，采用逆向思维，就是求出3/20与4/25的倒数，即20/3与25/4，我们可以找到一个13/2，最后再把13/2倒回去，即2/13就是本题的正确答案了。
因此，再一些趣题里，有时用常规方法不能求出解时，我们可以采用一些特殊方法来解答。
智力推理
题目有四对夫妇，他们的姓分别是：刘、李、赵、周、郑、王、钱及吴。
请你根据下面的几个条件指出每对夫妇分别姓什么：
1王同志结婚时，吴、钱两人同去做客，且两人穿的是同一种衣服；
2郑同志去外国考察时，其他三对夫妇各有一人去送行，且他们分别姓吴、周和赵；
3在大学读书时，李、吴、赵三人同住一室；
4李同志的爱人是郑同志的表哥。
分析与解答：我们先从性别上将这八个人分成两组。
由条件4知：李同志是女的；
由条件3知：吴、赵两人也是女同志；
由条件1知：钱也是女同志。
因此，这八个人中，女同志姓：李、吴、赵、钱；男同志姓：刘、周、郑、王。
下面就可以进一步找出各对夫妇的姓了。
由条件1知，王同志的爱人或者姓李，或者姓赵。
如果王的爱人姓李，则由条件2知王、李不能是一家。
因而王的爱人姓赵。
由2及4知，郑的爱人不可能姓吴、赵和李，因而郑的爱人姓钱。
由2知，周的爱人不可能姓吴，因而周的爱人姓李。
最后，刘、吴是一对。
归纳起来，四对夫妇是：
王与赵；郑与钱；周与李；刘与吴。
（积中）
畅游数学王国
人类进入了信息社会，动物界也跟着沾了光。
小猴家通了电话，接上了传真机，还买了电脑，足不出户就可以尽览天下大事。
一天，小猴正悠哉的在网上看电影，突然一道白光映入了小猴的眼帘，随后在白色的屏幕上出现了一些金灿灿的大字：“要想进入数学王国，就按下回车键。
”好奇心使小猴开启了数学王国
的大门。
随着一道刺眼的白光射出，原本坐在椅子上的小猴，竟凭空消失了。
原来，小猴已经来到了数学王国的大门前。
这时，一个带着一对翅膀的小机器人飞了过来，对小
猴说：“要想进入数学王国，必须要回答对两道题方能进入！”
于是小机器人出了第一道闯关题：单独完成一件工作，甲按规定时间可提前２天完成，乙则要超过规定时间３天才能完成。
如果甲、乙二人合作２天后，剩下的由乙单独做，那么刚好在规
定时间完成。
问：甲、乙二人合作需要多少天可以完成？
小猴想了一会儿说：“乙单独做要超过天３天，甲、乙合作２天后乙继续做，刚好按时完成，说明甲做２天等于乙做３天，即完成这样工作，乙需要时间是甲的３／２倍。
因为甲单独做，乙
比甲多用了３+２＝５（天），所以甲需要５÷（３／２－１）＝１０（天），乙需要１０＋５＝１５（天）；甲、乙合作需要１÷（１／１０＋１／１５）＝６（天）。
所以甲、乙二人合作需要
６天完成。
小机器人马上高兴的拍手说：“好，好！第一题答对了！”小机器人又马上转身思考了一阵，又开始了第二道题的问答：快车由Ａ地到Ｂ地要５小时，慢车由Ｂ地到Ａ地的时间比快车多用１／５，两车同时从两地相对开出，２小时后慢车停，快车继续行驶９６千米与慢车相遇，求两地的距离是多少？
小猴被这道题给难住了，急的抓耳挠腮，冥思苦想了一阵后，才自信地做了出回答。
“
这道题用５×（１+１／５）＝６（小时），１÷（１／５+１／６）＝３０／１１（小时），再用９６÷（３０／１１—２）×３０／１１＝３６０（千米）。
随着漫天飞舞的彩带和音乐声，数学王国的大门打开了。
小猴在数学王国里玩了整整一天。
在这一天里，小猴学到了许多关于数学的知识，还做了很多的小游戏，这些都令它大开眼界，让它学到了更多知识，变得更聪明。
这次数学王国之游令它难忘。