泊松过程

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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 独立增量计数过程: 独立增量计数过程: 对于t 对于 1<t2<…<tn，N(t2)-N(t1), N(t3)-N(t2), … …, N(tn)-N(tn-1)独立 独立 • 平稳增量计数过程: 平稳增量计数过程: 在(t,t+s]内(s>0)，事件 发生的次数 内 ，事件A发生的次数 N(t+s)-N(t)仅与时间间隔 有关， 仅与时间间隔s有关 仅与时间间隔 有关， 而与初始时刻t无关 而与初始时刻 无关
j=0
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
j=2
n
= Pn ( t ) P0 ( h) + Pn−1 ( t ) P1 ( h) + o( h) = (1 − λ h) Pn ( t ) + λ hPn−1 ( t ) + o( h)
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
P0 ( t + h) − P0 ( t ) o( h ) , 故 = − λ P0 ( t ) + h h P0′( t ) 当h → 0时有 P0′( t ) = − λ P0 ( t )或 = −λ P0 ( t ) 由于 P0 (0) = P{N（0） 0} = 1 = 于是有 P0 ( t ) = e − λt
j =0
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Pn ( t + h) = P{N ( t + h) = n}
(2)对n≥1，建立递推公式 对 ≥ ，
n
j =0
n
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
= ∑ P{[ N ( t ) − N (0)]= n − j}P{N ( t + h) − N ( t ) = j}
j=0 n n
= ∑ Pn − j ( t ) Pj ( h)
λ (λt )n
n！
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3.2 泊松过程的性质 泊松过程的性质
• 数字特征 设{X(t),t≥0}是参数为λ的泊松过程， ≥ 是参数为 的泊松过程， 对任意t,s∈ ∞ ， 对任意 ∈[0,∞)，若s < t ，则有 E[ X (t ) − X ( s )] = D[ X (t ) − X ( s )] = λ ( t − s ) m X (t ) = E[ X (t )] = E[ X (t ) − X (0)] = λt
3
交通中事故流； 交通中事故流； 细胞中染色体的交换次数， 细胞中染色体的交换次数，… 均构成以时间顺序出现的事件流A 均构成以时间顺序出现的事件流 1,A2, … 定义1：随机过程 称为计数过程 定义 ：随机过程{N(t), t≥0}称为计数过程 称为 (Counting process),如果N(t)表示在(0, t)内事 process),如果 如果N(t)表示在 表示在(0, t)内事 件A 出现的总次数. 出现的总次数. 计数过程应满足： 计数过程应满足： (1) N(的定义
• 定义 定义3.2 计数过程{N(t)，t ≥0 }称为泊 计数过程 过程{ 称为泊 ， 松过程，具有参数 松过程，具有参数λ>0，如果 ，如果N(t)满足 满足 (1)N(0)=0， ， (2)N(t)是独立增量过程， 是独立增量过程， 是独立增量过程 (3)在任一长度为 的区间中，事件A发生的 在任一长度为t的区间中，事件 发生的 在任一长度为 的区间中 的泊松分布， 次数服从均值为λt的泊松分布，即对任 意s,t ≥ 0，有 ， n − λt ( λ t ) P {N ( t + s ) − N ( s ) = n} = e , n! 10 n = 0,1,2, L
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 定义 定义3.3 计数过程{N(t)，t ≥0 }称为泊 计数过程 过程{ 称为泊 ， 松过程，具有参数 松过程，具有参数λ>0，如果 ，如果N(t)满足 满足 (1)N(0)=0， ， (2)N(t)是平稳、独立增量过程， 是平稳、 是平稳 独立增量过程， (3)N(t)满足下列两式 满足下列两式
P { N ( ∆t ) = 1} = p1 ( ∆t ) = λ ∆t + o( ∆t ),
P { N ( ∆ t ) ≥ 2} =
其中λ＞ 其中 ＞0.
k=2
∑ pk ( ∆ t ) = o( ∆ t ),
7
∞
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 定义 定义3.1 随机过程{N(t)，t ≥0 }是计数 随机过程 过程{ ， 过程， 过程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发 为止已发 生的事件A的总数 的总数， 生的事件 的总数，且N(t)满足条件 满足条件 (1) N(t) ≥0 ， (2) N(t)取整数， 取整数， 取整数 (3)若s<t ，则N(s)≤N(t), 若 ≤ (4)当s<t时，N(t)-N(s)等于区间 等于区间(s,t]中发生 当 时 等于区间 中发生 事件A的次数 的次数。 事件 的次数。
λt
[Pn′ (t ) + λPn (t )] = λe
λt
Pn −1 (t )
d λt λt e Pn (t ) = λe Pn −1 (t ) dt
[
]
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
(3) 当n = 1时， 时 d λt λt λt − λt e P1 ( t ) = λ e P0 ( t ) = λ e e = λ dt P1 ( t ) = (λ t + C )e − λt （ = 由于 P1 0） P{N (0) = 1} = 0
n ∞ n ∑ Pn − j ( t ) Pj (h) ≤ ∑ Pj ( h) ≤ ∑ Pj (h) = o(h) j =2 j =2 j =2
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
Pn ( t + h) − Pn ( t ) o(h) = −λPn (t ) + λPn −1 (t ) + h h 当h → 0时， Pn′ (t ) = −λPn (t ) + λPn −1 (t ) e
P{N ( t + h) − N ( t ) = 1} = λ h + o( h) P{N ( t + h) − N ( t ) ≥ 2} = o( h)
(参数λ>0) 参数
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
• 泊松过程两种定义的等价性的证明： 泊松过程两种定义的等价性的证明： 定义3.2⇒定义3.3 定义 ⇒定义 对充分小的h， 对充分小的 ，有 P{N ( t + h) − N ( t ) = 1} = P{N ( h) − N (0) = 1}
第三章 泊松过程
第三章 泊松过程
§3.1 泊松过程 §3.2 来到间隔与等待时间的分布 §3.3 来到时刻的条件分布 §3.4 非齐次泊松过程 §3.4 复合泊松过程
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§3.1 泊 松 过 程 的 定 义
在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 在天文，地理，物理，生物，通信，医学， 计算机网络，密码学等许多领域， 计算机网络，密码学等许多领域，都有 计数问题， 关于随机事件流的计数问题 关于随机事件流的计数问题，如： 盖格记数器上的粒子流； 盖格记数器上的粒子流； 电话交换机上的呼唤流； 电话交换机上的呼唤流； 计算机网络上的（图象，声音） 计算机网络上的（图象，声音）流； 编码（密码）中的误码流； 编码（密码）中的误码流；
[
]
所以 C = 0，P1 ( t ) = λte − λt
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
(4)用数学归纳法证明 Pn (t ) = e 用数学归纳法证明
− λt
(λ t ) n!
n
n=0,n=1时，结论已成立 时 假设n-1时(n≥1)，结论成立，由递推公式 假设 - 时 ≥ ，结论成立， d λt λt e Pn (t ) = λe Pn −1 (t ) dt n −1 n −1 λ (λt ) λt − λt ( λ t ) = λe e = (n − 1)! (n − 1)!
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Poisson过程数学模型： 过程数学模型： 过程数学模型 电话呼叫过程 设N ( t )为[0, t) 时间内 为 到达的呼叫次数, 到达的呼叫次数 其状态空间为 E={0，1，2，…} ， ， ， 此过程有如下特点： 此过程有如下特点： 1) 零初值性：N( t )=0; 零初值性： 2) 独立增量性：任意两个不相重叠的时间间隔 独立增量性： 内到达的呼叫次数相互独立; 内到达的呼叫次数相互独立
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从而 P0 ( t ) = ke − λt
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
= P{N ( t + h) − N (0) = n} = P{[ N ( t + h) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)] = n} = ∑ P {[ N ( t + h) − N ( t )] + [ N ( t ) − N (0)] = n | N ( t + h) − N ( t ) = j}P {N ( t + h) − N ( t ) = j} = ∑ P {[ N ( t ) − N (0)]= n − j | N ( t + h) − N ( t ) = j} ⋅ P {N ( t + h) − N ( t ) = j}
( − λ h) n =e = λ h∑ 1! n! n= 0 = λ h[1 − λ h + o( h)] = λ h + o( h)
∞ − λh λ h
P{N ( t + h) − N ( t ) ≥ 2} = P{N ( h) − N (0) ≥ 2}
∞
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( λ h) n = ∑ e − λh = o( h ) n! n= 2
6
3) 齐次性：在(s, t)时间内到达的呼叫次数仅与 齐次性： 时间内到达的呼叫次数仅与 时间间隔长度t 有关， 无关; 时间间隔长度 －s 有关，而与起始时间 s 无关 4）普通性：在充分小的时间间隔内到达的呼 ）普通性： 叫次数最多仅有一次， 叫次数最多仅有一次，即对充分小的Δt,有
P{ N ( ∆t ) = 0} = p0 ( ∆t ) = 1 − λ∆t + o( ∆t ),
[
]
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3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
n！ 由于 Pn (0) = P{N (0) = n} = 0 从而 Pn ( t ) = e − λt 积分得 e λt Pn ( t ) =
λ (λt ) n
+C
λ (λt )n
n！
所以 P{N ( t + s ) − N ( s ) = n} = e − λt ( n = 0,1,2 L)
4
(2) N( t ) 取非负整数值； 取非负整数值； (3) 如果 < t，则N( s )≤N( t )； 如果s ， ； (4) 对于 < t, N(t) －N(s)表示时间间 对于s 表示时间间 内事件出现的次数. 隔(s, t)内事件出现的次数. 内事件出现的次数 ) s ) t
一类很重要的计数过程是Poisson过程. 过程. 一类很重要的计数过程是 过程
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
注： (1)泊松过程是平稳增量过程 泊松过程 (1)泊松过程是平稳增量过程 (2)E[N(t)]=λt , λ = E[ X (t )] (2)
λ表示过程的强度
t
• 例3.1 在(0,t]内接到服务台咨询电话的 内接到服务台咨询电话的 次数N(t)，在(0,t]内到某火车站售票处购 次数 ， 内到某火车站售票处购 买车票的旅客数N(t)等都是泊松过程 买车票的旅客数 等都是泊松过程
3.1 泊松过程的定义 泊松过程的定义
定义3.3⇒定义 定义 ⇒定义3.2 令Pn ( t ) = P{X ( t ) = n} = P{X ( t ) − X (0) = n}, 则
（1）当 n = 0时 P0 ( t + h) = P{N ( t + h) = 0} = = = = P{N ( t ) − N (0) = 0, N ( t + h) − N ( t ) = 0} P{N ( t ) − N (0) = 0}P{N ( t + h) − N ( t ) = 0} P0 ( t )[1 − λ h + o( h)] P{N ( t + h) − N (0) = 0}