角动量,转动惯量

角动量
动能
第4页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
大学物理
角动量 转动 惯量
角动量时 间变化率
角动量 力矩 定理
角动量 守恒定律
刚体定轴转动定律 重点:概念:角动量,转动惯量,力矩 规律:刚体定轴转动定律 角动量定理的微分形式和积分形式 角动量守恒定律 难点:角动量概念 角动量定理及角动量守恒定律的应用 学时: 6
第17页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
www.pdffactory.com
2. 一长为L的细杆,质量m均匀分布 ,求该杆对垂直 于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. 解: (1) 轴过中点
大学物理
J = ∫ r 2dm = ∫ x 2dm
z O x
L
r⊥
r
m θ
y
p
o′
r′
m
θ
p⊥
o
r
p
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱. *必须指明参考点,角动量才有实际意义.
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
第7页 共33页
大学物理
大小: L = rmv sin θ = r⊥ p 方向:垂直于 r 和 p组成的平面 L 服从右手螺旋法则. 单位: kg m 2 s 1 如果质点作直线运动呢?
以O′为参考点:L′ = 0 以O为参考点: ≠ 0 L 若r,p大小相同则:p⊥ ↑ .L ↑ . 设m作直线运动
大学物理
比较: p = mv m ---- 描述质点惯性的大小 L = Jω J ---- 描述刚体转动惯性的大小
第16页 共33页
www.pdffactory.com
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
3. 计算 J = ∑ ri mi i 刚体的总质量 (同分布M>m , JM>Jm)
当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时 引人与动量 p 对应的角量 L ——角动量(动量矩)
L
O
r
v
O
m
第6页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
1. 质点的角动量 L = r × p = r × mv
第18页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
www.pdffactory.com
3. 求质量 m ,半径 R 的圆环对中心垂直轴的转动 惯量. 解: 圆环上取微元dm
大学物理
J = ∫ r dm = R
2
2
∫
m
0
d m = mR2
O
R
dm
m1
J =R
rc
o
pi c r′
i
= L轨道 + L自旋
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
i
ri
θ
mi
第11页 共33页
i L轨道 : 描述质点系整体绕参考点的旋转运动 L自旋 : 描述质点系绕质心的旋转运动,
2.质点系角动量
L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和
i ri = rc + ri′ vi = vc + vi′
i
i
有':对质心 无':对参考点
rc
pi c r′ i θ
o ∴ L = ∑ (rc + ri ′) × mi (vc + vi′) i = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi (vc + vi′)
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
第3页 共33页
大学物理
第五章 角动量 角动量守恒定律
结构框图 动量 动量的时 间变化率 角动量时 间变化率 动能的时 间变化率 动量 定理 角动量 定理 动能 定理 势能 动量守恒 定律 角动量守 恒定律 机械能守 恒定律 三 个 守 恒 定 律 应 用
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
大学物理
√
i
i
√
i
第二项:
∑
i
ri′ × m i v c =
∑
i
m i ri′ × v c = M
Lz = ∫ dLz = ∫ r ωdm 2 = ω ∫ r dm = Jω
2
z
o r
大学物理
ω
v
刚体对z 轴的总角动量为
dm
J = ∫ r dm
2
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
连续分布体的转动惯量
第15页 共33页
www.pdffactory.com
L = rc ×
∑
i
mi v i +
∑
i
ri′× mi vc +
∑
i
ri′× mi v i′
大学物理
第三项: 各质点相对于质心角动量的矢量和 反映质点系绕质心的旋转运动,与参考点O的选择无关, 描述系统的内禀性质: ri′ × m i v ′ L自旋 = i
∑
i
质点系角动量
L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi i i i L = rc × Mv c + ∑ ri′ × m i v i′
www.pdffactory.com
大学物理
4. 求质量 m , 半径 R 的均匀圆盘对中心垂直轴的转 动惯量. 解: 圆盘上取半径为r宽度dr的圆环 作为质量元dm
R
J 环 = mR → d J = r d m
2 2
dr
同学们好!
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
www.pdffactory.com
大作业
第六章 能量 能量守恒定律 自学要求
大学物理
一.基本内容: 1.功的计算,熟练计算变力的功,理解保守力 做功的特征; 2.质点,质点系,定轴转动刚体的动能; 3.保守力与其相关势能的关系,由势能曲线分 析物体运动特征; 4.熟练使用动能定理或功能原理解题,注意内 力的功可以改变质点系的总动能; 5.熟练使用机械能守恒定律解题,对综合性问 题要能划分阶段,分别选用恰当的力学定理或 守恒定律求解.
Lz = ∑ Liz =∑ ri miω = ω ∑ ri mi =Jω
2 2
J = ∑ ri 2 mi
i
i
i
i
质点系的转动惯量
教材P92
第14页 共33页
www.pdffactory.com
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
对质量连续分布的刚体:
dLo = r × dmv 2 d L z = r × d m v = d mr ω
3. 定轴转动刚体的角动量
转轴 z , 角速度 ω
z
转动 平面
ω
转轴与转动平面交点 刚体上任一质点 mi
mi对O的角动量: io = ri × mi vi L
o r
i
vi
wk.baidu.com
大小 : Lio = ri mi vi = mi ri2ω Lio 方向: 沿ω 2 即 Lio = mi ri ω
第2页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
二.自学要求 1.阅读教材 116页~136页;
大学物理
2. 练习:教材P137 6-1,6-2,6-6,6-7,6-8 , 6-9 , 6-10,6-11,6-13,6-14,6-16,6-17,6-18 3. 完成作业No.4和"第6章自学报告". 三.考核方法 第7周星期二交作业No4; 第8周星期二交自学报告 (成绩占期末总成绩10%) (1)将116页"结构框图"具体化,形成较详尽的"全 章总结"(格式不限); (2)学习效果的自我评价,收获体会; (3)对本章教学方式的反馈意见.
第5页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
大学物理
第一节 角动量 转动惯量
一,角动量 问题:将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点 问题
系,则由于该系统质心速度为零,所以,系统总动量为零.但系 统有机械运动.说明不能用动量来量度转动物体的机械运动量.
i i i
设 M = ∑ mi
i
第一项: rc × ∑ m i v i = rc × M v c
i
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上, 该质点对参考点的角动量 以质心为代表,描述质点系整体绕参考点的旋转运动, 称为质点系的轨道角动量.
即: L 轨道 = rC × M v C
第9页 共33页
rc′ =
∑
i
m i ri ′ M
× vC
由
rc =
∑ m i ri
i
∑ mi ri ′
i
M
M
=? =0
质心对自己的位矢
∑
i
r i ′ × m i v c = M r c′ × v c = 0
第10页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
i i i i i
ri
mi
= rc × ∑ mi vi + ∑ ri ′× mi vc + ∑ ri ′× mi vi′
第8页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
大学物理
L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
2
∫
2 πR
0
m d l = R 2m 2π R
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口,J2=?
m J 2 = mR xR2 2π R
2
O
R
x
第19页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建
m 1 3 2 m dx= x = ∫x L L 3 L2
3 3
L 2 L 2
dm
L 2
o
x
L 2
x
L2
m 1L L 1 = = + mL 2 L 3 8 8 12
(2) 轴过一端端点
J = ∫ r 2dm = ∫ x 2dm
M = ∫x dx L 0
L 2
dm
o
x
L
x
m 1 3 L 1 = x = mL 2 0 L 3 3
二,刚体对定轴的转动惯量 1. 定义
大学物理
J = ∑ ri mi
2 i
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点 到转轴距离的平方之积求和. 若质量连续分布
J = ∫ r dm
2
ρ dV dm = σ d S λ d l
体分布 面分布 线分布
2. 物理意义---- 描述物体转动惯性的大小
mi
第13页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
定义:质点mi 对O点的角动量的大小,称为质点 定义 对转轴的角动量.
大学物理
2 Liz = ri × mi vi = mi ri ω
刚体定轴转动的特点: (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内,作半径不同 的圆周运动. (2) 各质点的角速度 ω 大小相等,且均沿轴向. 刚体对z轴的总角动量为
L = rc × Mv c + ∑ ri′× mi vi′ = L轨道 + L自旋
大学物理
与参考点的选择无关.
L自旋
L轨道
L
L轨道
L自旋
第12页 共33页
PDF 文件以 "FinePrint pdfFactory Pro" 试用版创建 www.pdffactory.com
大学物理
2
大学物理
影响 J 的因素 练习
刚体质量分布 (同m, J中空>J实) 转轴的位置
1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示,求质点系对过 A垂直于该平面的轴的转动惯量.
4m
m
l l l
J = 2ml 2 + 3m(2l )2 + (4m + 5m)( 2l )2
3m
2m
= 32ml
2
A
l
5m
思考:A移至2m处 J=?