2017年广东省清远市高三数学一模试卷及答案
2017年广东省清远三中高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省清远三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}，则∁A B＝（）A．∅B．0C．{0}D．{﹣1，1} 2．（5分）的展开式中含x2的项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣15D．153．（5分）已知＝2﹣i（i为虚数单位，a，b∈R），在|a﹣bi|＝（）A．﹣i B．1C．2D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．4D．5．（5分）（x+）dx＝（）A．e2B．C．D．6．（5分）设数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），若数列{a n}是常数列，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．（﹣1）n7．（5分）设向量＝（cos x，﹣sin x），＝（﹣cos（﹣x），cos x），且＝t，t≠0，则sin2x的值等于（）A．1B．﹣1C．±1D．08．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为（）A．2B．2C．D．29．（5分）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差D （X）＝（）A．2B．1C．D．10．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．4812．（5分）若直线ax﹣y＝0（a≠0）与函数图象交于不同的两点A，B，且点C（6，0），若点D（m，n）满足，则m+n＝（）A．1B．2C．3D．a二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（用数字作答）．14．（5分）已知直线l：y＝kx（k＞0），圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与C2：（x﹣3）2+y2＝1，若直线l被圆C，C2所截得两弦的长度之比是3，则实数k＝．115．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，是3a+b的取值范围是．16．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x＝﹣1和直线l2：y＝1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|P A|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x＝﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cos C+c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A cos B的取值范围．18．（12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+ax （a∈R），且曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．}的前n项和为S n，且满足2＝a n+120．（12分）设各项均为正数的数列{a（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．2017年广东省清远三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}，则∁A B＝（）A．∅B．0C．{0}D．{﹣1，1}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝sin，k∈Z}＝{x|x≠0}，则∁A B＝{﹣1，1}．故选：D．2．（5分）的展开式中含x2的项的系数是（）A．﹣20B．20C．﹣15D．15【解答】解：（x﹣）6展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r＝2，解得r＝2故展开式中含x2的项的系数是C62＝15，故选：D．3．（5分）已知＝2﹣i（i为虚数单位，a，b∈R），在|a﹣bi|＝（）A．﹣i B．1C．2D．【解答】解：∵＝＝2﹣i，∴，解得．∴|a﹣bi|＝|﹣i|＝1．故选：B．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．B．C．4D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝2，P A＝2．∴V＝＝．故选：A．5．（5分）（x+）dx＝（）A．e2B．C．D．【解答】解：（x+）dx＝（x2+lnx）|＝（e2+1）﹣（+0）＝，故选：B．6．（5分）设数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），若数列{a n}是常数列，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．（﹣1）n【解答】解：数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝（n∈N），∴a2＝．∵数列{a n}是常数列，则a＝，解得a＝﹣2．∴a n＝a＝﹣2．故选：A．7．（5分）设向量＝（cos x，﹣sin x），＝（﹣cos（﹣x），cos x），且＝t，t≠0，则sin2x的值等于（）A．1B．﹣1C．±1D．0【解答】解：∵＝t，t≠0，∴﹣sin x•[（﹣cos（﹣x）]﹣cos x•cos x＝0，∴sin2x﹣cos2x＝0，∴cos2x＝0，则sin2x＝＝±1．故选：C．8．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则三角形F1PF2的面积为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：由双曲线x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，F2（，0），F1 （﹣，0），由余弦定理可得，F1F22＝8＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°＝（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2＝4+PF1•PF2，∴PF1•PF2＝4．则＝PF 1•PF2sin60°＝×4×＝．故选：C．9．（5分）设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对立，则方差D （X）＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：每一次红球被摸到的概率P＝＝．由题意可得：X＝0，1，2，3．X～B．则D（X）＝＝．故选：C．10．（5分）下列四个结论：①若x＞0，则x＞sin x恒成立；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”；③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0＜0”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①由y＝x﹣sin x的导数为y′＝1﹣cos x≥0，函数y为递增函数，若x＞0，则x＞sin x恒成立，故①正确；②命题“若x﹣sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sin x≠0”，由逆否命题的形式，故②正确；③“命题p∧q为真”则p，q都是真，则“命题p∨q为真”，反之不成立，则“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件，故③正确；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故④不正确．综上可得，正确的个数为3．故选：C．11．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．12．（5分）若直线ax﹣y＝0（a≠0）与函数图象交于不同的两点A，B，且点C（6，0），若点D（m，n）满足，则m+n＝（）A．1B．2C．3D．a【解答】解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵直线ax﹣y＝0（a≠0）通过坐标原点，∴A，B关于原点对称，即x A+x B＝0，y A+y B＝0，∵点C（6，0），点D（m，n），∴＝（x A﹣m，y A﹣n），＝（x B﹣m，y B﹣n），＝（m﹣6，n），∵，∴x A﹣m+x B﹣m＝m﹣6，y A﹣n+y B﹣n＝n，∴m＝2，n＝0，∴m+n＝2，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是10（用数字作答）．【解答】解：根据题意，假设左边的积木从上至下依次为1、2、3，右边的积木从上至下依次为4、5，分2种情况讨论：若先取1，有12345、12453、12435、14235、14253、14523，共6种取法；若先取4，有45123、41523、41253、41235，共4种取法；则一共有6+4＝10中不同的取法；故答案为：10．14．（5分）已知直线l：y＝kx（k＞0），圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与C2：（x﹣3）2+y2＝1，若直线l被圆C，C2所截得两弦的长度之比是3，则实数k＝．1【解答】解：由题意，圆C1：（x﹣1）2+y2＝1的圆心（1，0）到直线l：y＝kx （k＞0）的距离＝，弦长为2＝，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的圆心（3，0）到直线l：y＝kx（k＞0）的距离＝，弦长为2＝，∵直线l被圆C1，C2所截得两弦的长度之比是3，∴＝3×，∴k＝．∵k＞0∴k＝故答案为．15．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间（0，1）内有两个零点，是3a+b的取值范围是（﹣5，0）．【解答】解：由题意，要使函数f（x）＝x2+ax+b在区间（0，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a＝0，b＝0时，3a+b取最大值0，当a＝﹣2，b＝1时，3a+b取最小值﹣5，所以3a+b的取值范围为（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）16．（5分）曲线C是平面内到直线l1：x＝﹣1和直线l2：y＝1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|P A|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x＝﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是②③④．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y﹣1|＝k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|P A|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|P A|+|PB|≥2＝2k，所以③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积＝2|x+1|×2|y﹣1|＝4|x+1||y﹣1|＝4k2．所以④正确．故答案为：②③④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cos C+c cos B＝0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A cos B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cos C+c cos B＝0，∴由正弦定理得，（2sin A+sin B）cos C+sin C cos B＝0，则2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B＝0，即sin（B+C）＝﹣2sin A cos C，∵△ABC中，sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＞0，∴1＝﹣2cos C，得cos C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（Ⅱ）由（I）得C＝，则A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，所以，∴sin A cos B＝sin A cos（﹣A）＝sin A（cos cos A+sin sin A）＝sin A（cos A+sin A）＝sin2A+＝（）＝∵，∴，则，即，∴sin A cos B的取值范围是．18．（12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意得＝（7+8+9+10+11+12+13）＝10，＝（121+128+135+141+148+154+160）＝141，（＝9+4+1+0+1+4+9＝28，（x i﹣）（y i﹣）＝（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19＝182，所以＝＝，＝﹣＝141﹣×10＝76，所求回归方程为＝x+76．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x＝15代入（Ⅰ）中的回归方程，得＝×15+76＝173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．（12分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x3+ax （a∈R），且曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）＝x2+a，因为曲线f（x）在x＝处的切线与直线y＝﹣x﹣1平行，所以f′（）＝+a＝﹣，解得a＝﹣1，所以f（x）＝x3﹣x，设x＜0则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x3﹣x，又f（0）＝0，所以f（x）＝x3﹣x．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（﹣3）＝﹣6，f（﹣1）＝，f（1）＝﹣，f（）＝0，所以函数y ＝f （x ）﹣m 在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f （x ）在[﹣3，]上的图象与y ＝m 有三个公共点．结合函数f （x ）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m 的取值范围是（﹣，0）．20．（12分）设各项均为正数的数列{an }的前n 项和为S n ，且满足2＝a n +1（n ∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n ＝（a n +1）•2，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝S 1，有2＝a 1+1，解得a 1＝1；当n ≥2时，由2＝a n +1得4S n ＝a n 2+2a n +1，4S n ﹣1＝a n ﹣12+2a n ﹣1+1，两式相减得4a n ＝a n 2﹣a n ﹣12+2（a n ﹣a n ﹣1）， 所以（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）＝0，因为数列{a n }的各项为正，所以a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0， 所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n ＝（a n +1）•2＝2n •22n ﹣1＝n •4n ．所以前n 项和T n ＝1•4+2•42+3•43+…+n •4n ，4T n＝1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3T n＝4+42+43+…+4n﹣n•4n+1＝﹣n•4n+1，化简可得T n＝+•4n+1．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e＝2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅱ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ae x﹣x，得f′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）＝ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1＝0，得x＝lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）＝ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅱ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）＝，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）＝＝，函数y＝在[1，2]上单调递减，令h（x）＝，x∈[1，2]，h′（x）＝．∴h（x）＝在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）＝．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2＝1，∴C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（Ⅱ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）＝1，直角坐标方程为x﹣y﹣2＝0，∴圆心到直线的距离d＝＝，∴|PQ|＝2＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac＝1．（Ⅰ）当b＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b＝1时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|＝，当x≤﹣1时，f（x）＝﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）＝2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）＝2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＝|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|＝|b2+1|＝b2+1；g（x）＝|x+a2+c2|+|x﹣2b2|＝≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|＝|a2+c2+2b2|＝a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）＝a2+c2+b2﹣1＝（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac ﹣1＝0，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．。
广东省清远市2017届高三数学第一次模拟考试试题 文
梓琛中学2017届高三第一次模拟考试数学（文）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
） 1.若集合{}3,2,1,0=A ，{}4,2,1=B则集合A B = （ ）A. {}4,3,2,1,0B. {}4,3,2,1C. {}2,1D. {}02.在复平面内，复数(1)z i i =+对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D.第四象限 3.如果函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，则ω的值为 （ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 4．已知向量()1,2a = ，(),1b x =，且a b ⊥ ，则x 等于( )A ．2-B ．12C ．2D ．12-5．等比数列{}n a 中，21a =，864a =，则5a =（）A ．8B ．12C ．88-或D ．1212-或 6.设条件:0p a >；条件2:0q a a +≥，那么p 是q 的（ ）条件 .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7.已知直线1:210l ax y ++=与直线2:(3)0l a x y a --+=，若12//l l ，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．6D ．1或28.已知函数()lg(1)lg(1)f x x x =-++，()lg(1)lg(1)g x x x =--+，则 （ ） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数,()g x 为奇函数图29．执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ）A ．22B ．16C ．15D ．11 10．下列命题正确的是（ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行11.已知函数1()()sin 2xf x x =-，则()f x 在[0,2]π的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．y = B ．2y x =±C．3y x =± D ． 32y x=± 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
清远市第一中学2017届高三下学期第一次模拟考试(理数)
清远市第一中学2017届高三下学期第一次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|7A x x =≤，Z 为整数集，则集合A Z 中元素的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设x R ∈，向量(,1)a x = ，(1,2)b =- ，且a b ⊥ ，则||a =（ ）A B ． C ．10 D 4．高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层时楼，环境不满意度为8n，则同学们认为最适宜的教室应在（ ） A ．2楼 B ．3楼 C ．4楼 D ．8楼 5．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1- 6．如图所示的程序框图，若()x x f πlog =，()ln g x x =，输入2016x =，则输出的()h x =（ ）A ．2016B ．2017C ．2016log πD ．2017log π 7．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，23A π=，且cos 3cos b C c B =，则b c 的值为（ ）A ．12 B ．12 C ．2 D ．28．函数()f x 的导函数为'()f x ，对x R ∀∈，都有'()()f x f x >成立，若2(2)f e =，则不等式()x f x e >的解是（ ）A ．(2,)+∞B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,ln 2) 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．50B ．50.5C ．51.5D ．6010．用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高于底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（ ）A B C D ． 11．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+ （λ，R μ∈），116λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 B C ．3 D ．2 12．对于函数1()1x f x x -=+，设[]2()()f x ff x =，[]32()()f x f f x =，…，[]1()()n n f x f f x +=（*n N ∈，且2n ≥），令集合{}2036|(),M x f x x x R ==∈，则集合M 为（ ）A ．空集B ．实数集C ．单元素集D ．二元素集第Ⅱ卷]二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分13．抛物线22y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________.14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该 几何体的表面积是______2cm ，体积是_____3cm .15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a =，3C π=，3tan 4A =，则sin A =________，b =__________.16．已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若2(1)2nn n n T S +=，*n N ∈，则d =_________，q =________.三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ． (1)求角A 的大小； (2)求cos(52π-B)一2sin 22C的取值范围．18.（本小题满分12分）数列{an}满足a l =l ，na n+1=(n+1)a n +n(n+1)，n ∈ N*. (1)证明：数列{na n}是等差数列；(2)设b n =3求数列{b n }的前n 项和S n19．（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在 [80，90）的学生人数，求ξ的分布列及数学期望．20．（本小题满分12分）设椭圆E的方程为22xa+y2=1(a>1)，O为坐标原点，直线l与椭圆E交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)若A,B分别为椭圆E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为一12，求椭圆E的标准方程；(2)若a=2，且|OM|=1，求△AOB面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)=xe2x-lnx-ax.(1)当a=0时，求函数f(x)在[12，1]上的最小值；(2)若∀x>0，不等式f(x)≥1恒成立，求a的取值范围；(3)若∀x>0，不等式211111()1xxee xf ex xe+--≥+恒成立，求a的取值范围．请考生在22,23两题中任选一题作答。
2017年广东省清远市清城区华侨中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省清远市清城区华侨中学高考数学一模试卷（理科）一、择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．62．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设x∈R，向量，且，则＝（）A．B．C．10D．4．（5分）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼5．（5分）函数的值域为（）A．B．C．[﹣2，2]D．[﹣1，1] 6．（5分）如图所示的程序框图，若f（x）＝logπx，g（x）＝lnx，输入x＝2016，则输出的h（x）＝（）A．2016B．2017C．logπ2016D．ln2016 7．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，且b cos C＝3c cos B，则的值为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）＝e2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．（2，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，ln2）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．50B．50.5C．51.5D．6010．（5分）用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λμ＝，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．212．（5分）对于函数f（x）＝，设f2（x）＝f[f（x）]，f3（x）＝f[f2（x）]，…，f n+1（x）＝f[f n（x）]（n∈N*，且n≥2），令集合M＝{x|f2036（x）＝x，x∈R}，则集合M为（）A．空集B．实数集C．单元素集D．二元素集一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）抛物线y2＝2x的焦点坐标是，准线方程是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝2，C＝，tan A＝，则sin A＝，b＝．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，设{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，n∈N*，则d＝，q＝．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b ﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．18．（12分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n＝3n•，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．20．（12分）设椭圆E的方程为+y2＝1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；（2）若a＝2，且|OM|＝1，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝xe2x﹣lnx﹣ax．（1）当a＝0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．请考生在22，23两题中任选一题作答．如果都做，则按第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|＝2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+5x．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．2017年广东省清远市清城区华侨中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2≤7}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵集合A＝{x|x2≤7}＝{x|﹣}，Z为整数集，∴集合A∩Z＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合A∩Z中元素的个数是5个．故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：＝＝，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．故选：B．3．（5分）设x∈R，向量，且，则＝（）A．B．C．10D．【解答】解：向量，且，∴x﹣2＝0，解得x＝2，∴＝＝，故选：A．4．（5分）高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n层楼时，环境不满意度为，则同学们认为最适宜的教室应在（）A．2楼B．3楼C．4楼D．8楼【解答】解：由题意知同学们总的不满意度y＝n+≥2＝4，当且仅当n＝，即2≈3时，不满意度最小，∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．故选：B．5．（5分）函数的值域为（）A．B．C．[﹣2，2]D．[﹣1，1]【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣cos（x﹣）＝sin x﹣cos x﹣sin x＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）．∴函数f（x）＝sin x﹣cos（x﹣）的值域为[﹣1，1]．故选：D．6．（5分）如图所示的程序框图，若f（x）＝logπx，g（x）＝lnx，输入x＝2016，则输出的h（x）＝（）A．2016B．2017C．logπ2016D．ln2016【解答】解：x＝2016时，f（x）＝logπ2016＜g（x）＝ln2016，故h（x）＝f（x），故选：C．7．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，A＝，且b cos C＝3c cos B，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC中，A＝，且b cos C＝3c cos B，∴b×＝3c×，即a2＝2b2﹣2c2；又cos A＝＝﹣，∴b2+c2﹣a2+bc＝0，∴3c2﹣b2+bc＝0，即﹣（）2++3＝0，解得＝或（不合题意，舍去），即的值为．故选：B．8．（5分）函数f（x）的导函数f′（x），对∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，若f（2）＝e2，则不等式f（x）＞e x的解是（）A．（2，+∞）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（0，ln2）【解答】解：∵∀x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，令g（x）＝，则有g（x）在R上单调递增，∵不等式f（x）＞e x，∴g（x）＞1，∵f（2）＝e2，∴g（2）＝＝1，∴x＞2，故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．50B．50.5C．51.5D．60【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC＝5，FC＝2，AD＝BE＝5，DF＝5∴几何体的表面积S＝×3×4+×3×5+（5+2）×4+（5+2）×5+3×5＝60．故选：D．10．（5分）用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y＝2，∴圆柱的体积V（X）＝πy2x＝＝π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），∴V′（x）＝π（﹣3x2+4R2），列表如下：），∴当x＝时，此圆柱体积最大．∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2＝，∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：＝．故选：C．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λμ＝，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．2【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为＝λ+μ，所以（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ＝1，λ﹣μ＝，解得：λ＝，μ＝，又由λμ＝，得：，解得＝，所以，e＝2．故选：D．12．（5分）对于函数f（x）＝，设f2（x）＝f[f（x）]，f3（x）＝f[f2（x）]，…，f n+1（x）＝f[f n（x）]（n∈N*，且n≥2），令集合M＝{x|f2036（x）＝x，x∈R}，则集合M为（）A．空集B．实数集C．单元素集D．二元素集【解答】解：∵f（x）＝＝1﹣，∴f2（x）＝1﹣＝﹣，f3（x）＝，f4（x）＝x，f5（x）＝f（x）＝，∴f n（x）是以4为周期，∴f2036（x）＝f4（x）＝x，∴集合M＝{x|f2036（x）＝x，x∈R}＝R．故选：B．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）抛物线y2＝2x的焦点坐标是（，0），准线方程是x＝﹣．【解答】解：抛物线y2＝2x的焦点坐标是（，0）；准线方程是：x＝﹣．故答案为：（，0）；x＝﹣．14．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是20+4cm2，体积是8cm3．【解答】解：由三视图作出原图形如图所示，原几何体为底面是边长为2cm、4cm的直角三角形，高为2cm的直三棱柱；其表面积为S＝2××2×4+4×2+2×2+2×＝20+4cm2；体积为V＝×4×2×2＝8cm3．故答案为：，8．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝2，C＝，tan A＝，则sin A＝，b＝4+．【解答】解：∵tan A＝，可得：cos2A＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＝＝，∵a＝2，C＝，∴c＝＝5，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：52＝（2）2+b2﹣2×，整理可得：b2﹣2b﹣13＝0，∴解得：b＝4+，或4（舍去），故答案为：，4+．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，设{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，n∈N*，则d＝2，q ＝2．【解答】解：由，得b1+1＝2a1，b1+b1q+1＝2a1+d，，．联立以上各式解得：d＝q＝2．故答案为：2，2．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a cos C＝（2b﹣c）cos A．（1）求角A的大小；（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，从而可得，，即sin B＝2sin B cos A，又B为三角形的内角，所以sin B≠0，于是，又A亦为三角形内角，因此，．…（6分）（Ⅱ）∵，＝，＝，由可知，，所以，从而，因此，，故的取值范围为．…（12分）18．（12分）数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设b n＝3n•，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】证明（Ⅰ）∵na n+1＝（n+1）a n+n（n+1），∴，∴，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，b n＝3n•＝n•3n，∴•3n﹣1+n•3n①•3n+n•3n+1②①﹣②得3n ﹣n•3n+1＝＝∴19．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x＝0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04＝0.030．（3分）（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．所以，ξ的分布列为所以，．（12分）20．（12分）设椭圆E的方程为+y2＝1（a＞1），O为坐标原点，直线l与椭圆E交于点A，B，M为线段AB的中点．（1）若A，B分别为E的左顶点和上顶点，且OM的斜率为﹣，求E的标准方程；（2）若a＝2，且|OM|＝1，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得，…（2分）即，又，代入化简，解得a＝2，故E的标准方程为；…（5分）（2）设直线l：x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），∴，整理得：（4+m2）y2+3mny+n2﹣4＝0①y1+y2＝﹣，y1•y2＝，x1+x2＝，由中点坐标公式可知：M（，），即M（，﹣）∵|OM|＝1，∴n2＝②，…（8分）设直线l与x轴的交点为D（n，0），则，令，…（10分）设t＝m2+4（t≥4），则，当t＝12时，即时，△AOB的面积取得最大值1…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝xe2x﹣lnx﹣ax．（1）当a＝0时，求函数f（x）在[，1]上的最小值；（2）若∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若∀x＞0，不等式f（）﹣1≥e+恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝0时，f（x）＝xe2x﹣lnx，∴，，∴函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，又函数f′（x）的值域为R，故∃x0＞0，使得f′（x0）＝（2x0+1）e﹣＝0，又∵，∴，∴当x∈[]时，f′（x）＞0，即函数f（x）在区间[，1]上递增，∴．（2），由（1）知函数f′（x）在（0，+∞）上是增函数，且∃x0＞0，使得f′（x0）＝0，进而函数f（x）在区间（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，﹣lnx0﹣ax0，由f′（x0）＝0，得：（2x0+1）e﹣﹣a＝0，∴，∴f（x0）＝1﹣lnx0﹣2x02，∵∀x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，∴1﹣lnx0﹣2x02e≥1，∴lnx0+2x02≤0，设h（x0）＝lnx0+2x e，则h（x0）为增函数，且有唯一零点，设为t，则h（t）＝lnt+2t2e2t＝0，则﹣lnt＝2t2e2t，即，令g（x）＝xe x，则g（x）单调递增，且g（2t）＝g（），则2t＝ln，即，∵a＝（2x0+1）﹣在（0，t]为增函数，则当x0＝t时，a有最大值，＝，∴a≤2，∴a的取值范围是（﹣∞，2]．（3）由f（）﹣1≥，得，∴xlnx﹣x﹣a≥，∴a对任意x＞0成立，令函数g（x）＝xlnx﹣x﹣，∴，当x＞1时，g′（x）＞0，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，∴当x＝1时，函数g（x）取得最小值g（1）＝﹣1﹣＝﹣1﹣，∴a≤﹣1﹣．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1﹣）．请考生在22，23两题中任选一题作答．如果都做，则按第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0），直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AB|＝2，求a的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2a cosθ（a＞0）可得ρ2sin2θ＝2aρcosθ．可得：曲线C的普通方程为：y2＝2ax；直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y﹣2＝0；（2）直线与曲线联立可得y2﹣2ay﹣4a＝0，∵|AB|＝2，∴＝2，解得a＝1或﹣5（舍去）．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+5x．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，|x+1|+5x≤5x+3，故|x+1|≤3，故﹣4≤x≤2，故不等式f（x）≤5x+3的解集为[﹣4，2]；（2）当x≥0时，f（x）＝|x﹣a|+5x≥0恒成立，故只需使当﹣1≤x＜0时，f（x）＝|x﹣a|+5x≥0，即|x﹣a|≥﹣5x，即（x﹣a）2≥25x2，即（x﹣a﹣5x）（x﹣a+5x）≥0，即（4x+a）（6x﹣a）≤0，当a＝0时，解4x×6x≤0得x＝0，不成立；当a＞0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，﹣≤x ≤，故只需使﹣≤﹣1，解得，a≥4；当a＜0时，解（4x+a）（6x﹣a）≤0得，≤x ≤﹣，故只需使≤﹣1，解得，a≤﹣6；综上所述，a的取值范围为a≥4或a≤﹣6．第21页（共21页）。
2017年广东省清远市清新一中高三文科一模数学试卷
2017年广东省清远市清新一中高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 等差数列中，已知，那么A. B. C. D.2. 若方程（是常数）则下列结论正确的是A. ，方程表示椭圆B. ，方程表示双曲线C. ，方程表示椭圆D. ，方程表示抛物线3. 中，，，，则等于A. B. 或 C. 或 D.4. 抛物线的准线方程是A. B. C. D.5. 下列各函数中，最小值为的是A. B. ，C. D.6. 已知是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率是A. B. C. D.7. 设，，为平面上的动点，若当时，的轨迹为A. 双曲线的一支B. 一条线段C. 一条射线D. 两条射线8. 函数，的最大值是A. B. C. D.9. 函数在点处的切线方程是A. B. C. D.10. 函数有极值的充要条件是A. B. C. D.11. 曲线，曲线．若与有相同的焦点，，且同在，上，则A. B. C. D.12. 已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在空间直角坐标系中，点，，则，两点间的距离为______．14. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则 ______， ______；高校相关人数抽取人数若从高校B，C抽取的人中选人作专题发言，则这人都来自高校C的概率 ______．15. 将某选手的个得分去掉个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为．现场作的个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：则个剩余分数的方差为______．16. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______； ______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 已知直线是曲线在点处的切线．（1）求的方程；（2）求直线与轴、直线所围成的三角形的面积．18. 设是一个公差为的等差数列，它的前项和且，，成等比数列．（1）证明；（2）求公差的值和数列的通项公式．19. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围?20. 已知，，分别是的三个内角，，的对边．（1）若面积，，，求，的值；（2）若，且，试判断的形状．21. 设函数．（1）求函数的单调区间．（2）若的图象与轴有三个交点，求实数的取值范围．22. 已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为求直线的方程．答案第一部分1. D2. B3. B4. C5. A6. C7. C8. D9. C 10. C11. B 12. D第二部分13.14. ；；15.16. ；第三部分17. （1）的导数为，则曲线在点处的切线斜率为，即有曲线在点处的切线方程为，即．（2）时，；时，，所以直线与轴、直线所围成的三角形的面积为．18. （1）因，，成等比数列，故，而是等差数列，有，．于是，即，化简得．（2）由条件和，得到．由（1），，代入上式得．故，，因此，数列的通项公式为．19. 若命题：方程表示焦点在轴上的椭圆为真命题；则，解得，则命题为假命题时，，或，若命题：双曲线的离心率为真命题；则，即，即，则命题为假命题时，，或，因为命题，中有且只有一个为真命题，当真假时，，当假真时，，综上所述，实数的取值范围是：或．20. （1）因为，所以，得，由余弦定理得：，所以（2）由余弦定理得：，所以，所以；在中，，所以，所以是等腰直角三角形．21. （1），令得，解得或，令得，解得．所以的增区间为，，减区间为．（2）由（1）知当时，取得极大值；当时，取得极小值．因为的图象与轴有三个交点．所以解得：．22. （1）法一：依题意，由，得双曲线方程为<br>\（\[\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{{4 - {a^2}}} = 1 \left（0 < {a^2} < 4 \right），\]\）<br>将点代入上式，得<br>\（\[\dfrac{9}{a^2} - \dfrac{7}{{4 -{a^2}}} = 1，\]\）<br>解得<br>\（\[{a^2} = 18 \left（舍去\right）或 \ {a^2} = 2，\]\）<br>故所求双曲线方程为<br>\（\[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{y^2}{2} = 1.\]\）<br>法二：依题意得，双曲线的半焦距．所以<br>\（\[\begin{split}2a &= \left| {P{F_1}} \right| - \left| {P{F_2}} \right| \\& = \sqrt {{{\left（3 + 2\right）}^2} + {{\left（\sqrt 7 \right）}^2}} - \sqrt {{{\left（3 - 2\right）}^2} + {{\left（\sqrt 7 \right）}^2}} \\& = 2\sqrt 2 ，\end{split}\]\）<br>所以，．所以双曲线的方程为．（2）法一：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得<br>\（\[\left（ {1 - {k^2}} \right）{x^2} - 4kx - 6 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]\）<br>因为直线与双曲线相交于不同的两点，，所以 <br>\（\[\begin{cases}1 - {k^2} \ne 0 ，\\\Delta = {\left（ - 4k\right）^2} + 4 \times 6{\left（1 - k\right）^2}>0， \\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k \ne \pm 1， \\- \sqrt 3 <k<\sqrt 3 ，\\\end{cases} \quad \cdots \cdots ②\]\）<br> 所以．设，，则由式得<br>\（\[{x_1} + {x_2} = \dfrac{4k}{{1 - {k^2}}} ， {x_1}{x_2} = \dfrac{ - 6}{{1 - {k^2}}}， \]\）<br>于是<br>\（\[\begin{split}\left| {EF} \right| & = \sqrt {1 + {k^2}} \left| {{x_1} - {x_2}} \right| \\& = \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{\sqrt \Delta }{\left| a \right|}\\& = \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} . \end{split}\]\）<br>而原点到直线的距离，所以<br>\（\[\begin{split}{S_{\triangle OEF}} &= \dfrac{1}{2}d \cdot |EF| \\&= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{{\sqrt {1 + {k^2}} }} \cdot \sqrt {1 + {k^2}} \cdot \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} \\& = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} .\end{split} \]\）<br>若，即<br>\（\[\dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {k^4} - {k^2} - 2 = 0，\]\）<br>解得，满足．故满足条件的直线有两条，其方程分别为<br>\（\[y = \sqrt 2 x + 2\ 和 \ y = - \sqrt 2 x + 2.\]\）<br>法二：依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得<br>\（\[\left（1 -{k^2}\right）{x^2} - 4kx - 6 = 0. \quad \cdots \cdots ① \]\）<br>因为直线与双曲线相交于不同的两点，所以 <br>\（\[\begin{cases}1 - {k^2} \ne 0， \\\Delta = {\left（ - 4k\right）^2} + 4 \times 6\left（1 - {k^2}\right）>0 ，\\\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}k \ne \pm 1， \\- \sqrt 3 <k<\sqrt 3 ，\\\end{cases} \quad \cdots \cdots ②\]\）<br> 所以．设，则由式得<br>\（\[\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left（{x_1} +{x_2}\right）}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \dfrac{\sqrt \Delta }{{|1 - {k^2}|}} = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 -{k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}}， \quad \cdots \cdots ③\]\）<br>当，在同一支上时（如图1所示），<br>\（\[\begin{split}{S_{\triangle OEF}} &= \left| {{S_{\triangle OQF}} - {S_{\triangle OQE}}} \right| \\&=\dfrac{1}{2}|OQ| \cdot \left| {|{x_1}| - |{x_2}|} \right| \\&= \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot |{x_1} - {x_2}|；\end{split}\]\）<br>当，在不同支上时（如图2所示），<br>\（\[\begin{split} {S_{\triangle OEF}} & = {S_{\triangle OQF}} + {S_{\triangle OQE}} \\& = \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot \left（|{x_1}| + |{x_2}|\right）\\& = \dfrac{1}{2}|OQ| \cdot |{x_1} - {x_2}|. \end{split}\]\）<br>综上得，于是由及③式，得<br>\（\[{S_{\triangle OEF}} = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 - {k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}}.\]\）<br>若，即<br>\（\[\dfrac{{2\sqrt 2 \sqrt {3 -{k^2}} }}{{|1 - {k^2}|}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {k^4} - {k^2} - 2 = 0，\]\）<br>解得，满足．故满足条件的直线有两条，其方程分别为<br>\（\[y = \sqrt 2 x + 2\ 和 \ y = - \sqrt 2 x + 2.\]\）<br>。
2017年广东省清远市清新区滨江中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省清远市清新区滨江中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，则（∁R A）∩B等于（A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1）D．∅2．（5分）复数z＝的虚部为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．23．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A 到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1C．D．24．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角的余弦值为sin，则•（2﹣）等于（）A．2B．﹣1C．﹣6D．﹣185．（5分）已知x∈（0，π），且cos（2x﹣）＝sin2x，则tan（x﹣）等于（）A．B．﹣C．3D．﹣36．（5分）如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A ．18B ．20C ．87D ．907．（5分）某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．189．（5分）已知x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[﹣，]上的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣D．﹣10．（5分）已知函数则不等式的解集为（）A．（，1）B．[1，4]C．（，4]D．[1，+∞）11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）若x，y∈R，且满足则z＝2x+3y的最大值等于．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c＝0的距离为1，则实数c的值是．15．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，设T n＝S1+S2+…+S n，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T4＝．16．（5分）若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4c，B ＝2C（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，P A⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面P AD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|＝|AQ|，当△OPQ （O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2＝，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）＝|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．2017年广东省清远市清新区滨江中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，则（∁R A）∩B等于（A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1）D．∅【解答】解：集合A＝{x|y＝}＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣2）＜0}＝{x|0＜x＜2}，则∁R A＝{x|x＜1}，∴（∁R A）∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）复数z＝的虚部为（）A．﹣1B．﹣3C．1D．2【解答】解：∵z＝＝，∴复数z＝的虚部为﹣3．故选：B．3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A 到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1C．D．2【解答】解：由题意，3x0＝x0+，∴x0＝，∴＝2，∵p＞0，∴p＝2，故选：D．4．（5分）已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角的余弦值为sin，则•（2﹣）等于（）A．2B．﹣1C．﹣6D．﹣18【解答】解：∵向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角的余弦值为sin ＝sin（﹣）＝﹣，∴＝1×2×（﹣）＝﹣3，∴•（2﹣）＝2﹣＝2•（﹣3）﹣12＝﹣18，故选：D．5．（5分）已知x∈（0，π），且cos（2x﹣）＝sin2x，则tan（x﹣）等于（）A．B．﹣C．3D．﹣3【解答】解：∵cos（2x﹣）＝sin2x，可得：sin2x＝sin2x，∴2sin x cos x＝sin2x，∵x∈（0，π），sin x＞0，∴2cos x＝sin x，可得tan x＝2，∴tan（x﹣）＝＝＝．故选：A．6．（5分）如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A ．18B ．20C ．87D ．90【解答】解：第一次执行循环体后，S ＝2，n ＝2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，S ＝5，n ＝3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S ＝18，n ＝4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S ＝87，n ＝5，满足退出循环的条件；故输出的S 值为87，故选：C ．7．（5分）某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：随机抽查的200个机械元件，从该批次机械元件随机抽取3个，基本事件总数n＝，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m＝，故至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率是：P＝＝．故选：D．8．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，下部的三棱柱，底面面积为：×4×3＝6，高为1，体积为：6；上部的三棱柱，底面面积为：×2×3＝3，高为1，体积为：3；故组合体的体积V＝6+3＝9，故选：B．9．（5分）已知x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[﹣，]上的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．﹣D．﹣【解答】解：已知x＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）+cos（2x+φ）＝2sin（2x+φ+）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，∴2×+φ+＝kπ+，k∈Z，∴φ＝，即f（x）＝2sin（2x+）．将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）＝2sin（2x﹣）＝﹣2sin（2x﹣）的图象，在[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣＝时，g（x）取得最小值为﹣1，故选：B．10．（5分）已知函数则不等式的解集为（）A．（，1）B．[1，4]C．（，4]D．[1，+∞）【解答】解：不等式⇔，或，解得1≤x≤4，或，∴原不等式的解集为．故选：C．11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|＝|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|＝|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2＝|F1O|2﹣a2＝c2﹣a2，所以|F1M|＝b＝|PF1|①又|PF1|＝|PF2|+2a＝2c+2a②，c2＝a2+b2③由①②③可得c2﹣a2＝（）2，即为4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，解得e＝＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）【解答】解：∵f（x）＝e x（x﹣b），∴f′（x）＝e x（x﹣b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得e x（x﹣b）+xe x（x﹣b+1）＞0，即存在x∈[，2]，使得b＜成立，令g（x）＝，x∈[，2]，则g′（x）＝＞0，g（x）在[，2]递增，＝g（2）＝，∴g（x）最大值故b＜，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）若x，y∈R，且满足则z＝2x+3y的最大值等于15．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z＝2x+3y为y＝﹣x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3＝15．故答案为：15．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c＝0的距离为1，则实数c的值是．【解答】解：如图，由题意可知，原点到直线12x﹣5y+c＝0的距离为．由点到直线的距离公式可得：，∴c＝．故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，设T n＝S1+S2+…+S n，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T4＝98．【解答】解：根据题意，设数列{a n}的首项为a1，公比为q，若a2•a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则有，解可得a1＝16，q＝；则T1＝S1＝a1＝16，则S n＝；则T4＝S1+S2+S3+S4＝16+++＝98；故答案为：98．16．（5分）若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：④．【解答】解：令f（x）＝x sin x，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）＝﹣x•sin（﹣x）＝x•sin x＝f（x），∴f（x）＝x sin x，x∈[﹣，]为偶函数．又f′（x）＝sin x+x cos x，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）＝x sin x在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）＝x sin x在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案为④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝4c，B ＝2C（Ⅰ）求cos B；（Ⅱ）若c＝5，点D为边BC上一点，且BD＝6，求△ADC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得B＝2C，则sin B＝sin2C＝2sin C cos C，又b＝4c，所以cos C＝＝＝，所以cos B＝cos2C＝2cos2C﹣1＝；（Ⅱ）因为c＝5，b＝4c，所以b＝，由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2ac cos B则80＝a2+25﹣2×a，化简得，a2﹣6a﹣55＝0，解得a＝11或a＝﹣5（舍去），由BD＝6得，CD＝5，由cos C＝得sin C＝＝，所以△ADC的面积S＝＝＝10．18．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×＝3人，80岁以上应抽取：8×＝5人．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×＝11万，用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为＝2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X＝0）＝，P（X＝120）＝＝，P（X＝200）＝＝，P（X＝220）＝＝，P（X＝300）＝＝，则随机变量X的分布列为：EX＝＝28，全市老人的总预算为28×12×66×104＝2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，P A⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面P AB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面P AD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE，又△P AD为正三角形，∴P A⊥DF，从而P A⊥CE，又P A⊥CD，CD∩CE＝C，∴P A⊥平面CDE，又P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面CDE．解：（Ⅱ）∵AB∥CD，P A⊥CD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∴CD⊥平面P AD，∴∠CPD为PC与平面P AD所成角，即∠CPD＝45°，从而CD＝AD，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，设AD＝2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E （2，，），∴＝（2，），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝﹣4，得＝（），由（Ⅰ）知P A⊥平面CDE，∴＝（0，1，）是平面CDE的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|＝|AQ|，当△OPQ （O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，∴，又a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，①当k＝0时，设直线l的方程为y＝y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），则，∴S＝|2x0|•|y0|＝|x0|•|y0|＝2≤＝2，当且仅当＝2﹣，即|y0|＝1时，取等号，此时直线l的方程为y＝±1．②当k≠0时，可设直线l的方程为y＝kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）＝0，由△＝（8km）2﹣4（1+4k2）•4（m2﹣2）＞0，解得8k2+2＞m2，（*），，∴PQ中点为（﹣，），∵|AP|＝|AQ|，∴，化简得1+4k2＝3m，结合（*）得0＜m＜6，又O到直线l的距离d＝，|PQ|＝|x1﹣x2|＝，∴S＝|PQ|•d＝•＝＝，∴当m＝3时，S取最大值2，此时k＝，直线l的方程为y＝．综上所述，直线l的方程为y＝±1或y＝．21．（12分）设函数f（x）＝e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ae ax+＝，（x＞0），令g（x）＝axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，求导得：g′（x）＝ae ax（1+ax），令g′（x）＝0，解得：x＝﹣，x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x＝﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）＝λ﹣，∵0＜λ＜，∴g（﹣）＝λ﹣＜0，又g（0）＝λ＞0，∴g（﹣）g（0）＜0，而x→+∞时，f′（x）→λ＞0，∴函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：不妨令x2∈（﹣，+∞），故ax2+λ＝0，故f（x2）＝（1﹣ax2lnx2），令h（x）＝1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），h′（x）＝﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）＝0，∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，∴函数f（x）有唯一零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标系中，射线l：θ＝与圆C：ρ＝2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2＝，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy （Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）射线l ：θ＝与圆C ：ρ＝2交于点A （2，），点A 的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2＝，直角坐标方程为+y 2＝1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F （cos θ，sin θ），∵E （0，﹣1）， ∴＝（﹣，﹣2），＝（cos θ﹣，sin θ﹣1）， ∴•＝﹣3cos θ+3﹣2（sin θ﹣1）＝sin （θ+α）+5， ∴•的取值范围是[5﹣，5+]． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x +3|﹣2x ﹣1＜0的解集为（x 0，+∞）（Ⅰ）求x 0的值；（Ⅱ）若函数f （x ）＝|x ﹣m |+|x +|﹣x 0（m ＞0）有零点，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x ＞2，∴x 0＝2；（Ⅱ）由题意，等价于|x ﹣m |+|x +|＝2（m ＞0）有解，∵|x ﹣m |+|x +|≥m +，当且仅当（x ﹣m ）（x +）≤0时取等号，∵|x ﹣m |+|x +|＝2（m ＞0）有解，∴m +≤2，∵m+≥2，∴m+＝2，∴m＝1．。
2017年广东省清远市田家炳实验中学高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2017年广东省清远市田家炳实验中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．（0，1]D．（0，1）2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤04．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．55．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C．下次考试B班的数学平均分要高于A班D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为986．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（）A．1 B．C．2 D．27．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为38．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．59．对任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能10．如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．48πD．6π12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．设x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为．14．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点P（﹣1，4），则曲线y=f（x）在点P 处的切线方程为．15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．16．若数列{a n}的首项a1=2，且；令b n=log3（a n+1），则b1+b2+b3+…+b100=．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图所示，在四面体ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．18．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．（1）先求出x ，y ，p ，q 的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整； （2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据： （参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC= 60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．20．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．21．已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（1）若a=0，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在[，1]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然对数的底数）；求当实数a等于多少时，可以使函数g（x）取得最小值为3．选做题（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（0，），求+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）+1＜f（2x）的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．2017年广东省清远市田家炳实验中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜1}，N={x|x2﹣x＜0}，则A∩B=（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．（0，1]D．（0，1）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x＜1，即A=（﹣1，1），由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即B=（0，1），则A∩B=（0，1），故选：D．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则=（）A．﹣4+3i B．4﹣3i C．﹣3﹣4i D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，∴z2=﹣2+i，从而，∴=（2+i）（﹣2﹣i）=﹣3﹣4i，故选：C．3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0，x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是∀x≤0，x2＜0．故选：A．4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件，画出图形：目标函数z=x+3y经过点A（1，1），z在点A处有最小值：z=1+3×1=4，故选：C．5．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是（）A．A班的数学成绩平均水平好于B班B．B班的数学成绩没有A班稳定C．下次考试B班的数学平均分要高于A班D．在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为98【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出A，B的平均数、方差，即可得出结论．【解答】解：A班的数学成绩为=101，B班的数学成绩为=99.2，即A正确；A的方差为（0+9+0+1+16）=5.2，B方差为（4.22+0.64+3.22+5.82+0.64）=12.56，即B正确；在第1次考试中，A、B两个班的总平均分为=98，即D正确；下次考试B班的数学平均分要高于A班，不正确．故选C．6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的渐近线的距离是（）A．1 B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．【解答】解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线﹣=1的一条渐近线方程为x﹣y=0，∴抛物线y2=16x的焦点到双曲线﹣=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D．7．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A．f（x）的图象关于（，1）中心对称B．f（x）在（，）上单调递减C．f（x）的图象关于x=对称D．f（x）的最大值为3【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C 正确，D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，故选：B8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，=3，=λ（λ∈R），则λ=（）A．2 B．C．3 D．5【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】=λ⇒=，由E，F，K三点共线可得，即可．【解答】解：∵=2，=3，∴=λ∴=，由E，F，K三点共线可得，∴λ=5故选：D．9．对任意a∈R，曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】求出曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x（x2+ax+1﹣2a），∴y′=e x（x2+ax+2x+1﹣a），x=0时，y′=1﹣a，∴曲线y=e x（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x﹣1）2+y2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，∴切线l与圆C：（x﹣1）2+y2=16的位置关系是相交．故选：A．10．如图所示的程序框图，输出的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，当i=5时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为，故选：C．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．48πD．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣BCD，作PA⊥底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形．则该几何体外接球的直径2R=．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣BCD，作PA⊥底面BCD，垂足为A，底面ABCD是边长为2的正方形．则该几何体外接球的直径2R==2．表面积为=4πR2=12π．故选：B．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0）•f（1）≤0；②g（0）•g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，但f（0），f（1）的符号不能确定，故①f（0）•f（1）≤0不一定正确；由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，故g（0）≤0，且g（1）≤0，故②g（0）•g（1）≥0一定正确；由g（0）≤0，且g（1）≤0得b≤0，3+2a+b≤0，令Z=a2﹣3b，则b=（a2﹣Z），当b=（a2﹣Z）过（﹣，0）点时，Z取最小值故③正确；故选：B一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．设x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最小值为﹣5．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=﹣2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．【解答】解：设x，y满足约束条件：，在直角坐标系中画出可行域△ABC，由，可得A（2，﹣1），所以z=﹣2x+y的最小值为﹣5．故答案为：﹣514．已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点P（﹣1，4），则曲线y=f（x）在点P 处的切线方程为8x+y+4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】将P的坐标代入f（x），可得a的值，求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点P（﹣1，4），可得﹣a+2=4，解得a=﹣2，则f（x）=﹣2x3﹣2x，f（x）的导数为f′（x）=﹣6x2﹣2，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为﹣8，可得曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y﹣4=﹣8（x+1），即为8x+y+4=0．故答案为：8x+y+4=0．15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出线段OM的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为2x﹣4y+5=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程，故答案为：．16．若数列{a n}的首项a1=2，且；令b n=log3（a n+1），则b1+b2+b3+…+b100=5050．【考点】数列的求和．【分析】推导出{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得b n==n，由此能求出b1+b2+b3+…+b100．【解答】解：∵数列{a n}的首项a1=2，且，+1=3（a n+1），a1+1=3，∴a n+1∴{a n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴，∴b n=log3（a n+1）==n，∴b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5050．故答案为：5050．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图所示，在四面体ABCD中，AD=1，CD=3，AC=2，cosB=．（1）求△ACD的面积；（2）若BC=2，求AB的长．【考点】余弦定理．【分析】（1）由题意和余弦定理求出cosD的值，由平方关系和内角的范围求出sinD，代入三角形的面积公式求解；（2）由AC=BC=2得∠BAC=B，由内角和定理求出∠ACB=π﹣2B，由正弦定理列出方程后，利用诱导公式和二倍角正弦公式化简后，即可求出AB的值．【解答】解：（1）因为AD=1，CD=3，AC=2，所以由余弦定理得，cosD===，因为D∈（0，π）所以sinD==又AD=1，CD=3，所以△ACD的面积S==…（2）∵AC=BC=2，∴∠BAC=B，则∠ACB=π﹣2B，由正弦定理得，，则，即，又cosB=，所以AB=AC•cosB=2×=4．…18．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．（1）先求出x，y，p，q的值，再将如图所示的频率分布直方图绘制完整；（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：（参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d ）【考点】独立性检验．【分析】（1）求出网购金额在2000元以上的人数，可得x ，y 的值，由此能求出x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图． （2）由数据可得列联表，利用公式，可得结论．【解答】解：（1）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4， 所以网购金额在相应的2×2列联表为：由公式K 2=≈5.56，…因为5.56＞5.024，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．…19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC= 60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥平面PAD；（2）取AB=2，在线段PD上是否存在点H，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为，若存在，请求出H点的位置，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABC为正三角形，由E为BC的中点，得AE⊥BC．可得AE⊥AD．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AE．由线面垂直的判定得AE⊥平面PAD；（2）设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，可得∠EHA为EH与平面PAD所成的角．可知当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA 最大，求解直角三角形得答案．【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD；（2）解：设线段PD上存在一点H，连接AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时，因此AH=．∴线段PD上存在点H，当DH=时，使得EH与平面PAD所成最大角的正切值为．20．已知O为坐标原点，抛物线C：y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l1经过点Q且垂直于x轴．（1）求线段OQ的长；（2）设不经过点P和Q的动直线l2：x=my+b交C交点A和B，交l1于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．【考点】轨迹方程；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）先求出p的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N的坐标即可求线段OQ的长；（2）联立直线和抛物线方程进行消元，转化为关于y的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为，得2+=，∴n=2，抛物线C的方程为y2=2x，P（2，2）．…C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则y′=，故C在点P处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），令y=0得x=﹣2，所以点Q的坐标为（﹣2，0）．故线段OQ的长为2．…（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0．由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …直线PA的斜率为，同理直线PB的斜率为，直线PE的斜率为．因为直线PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以+=2×…整理得：=，因为l2不经过点Q，所以b≠﹣2，所以2m﹣b+2=2m，即b=2．故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）．…21．已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（1）若a=0，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在[，1]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）令g（x）=x2﹣f（x），x∈（0，e]（e是自然对数的底数）；求当实数a等于多少时，可以使函数g（x）取得最小值为3．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出切线方程．（2）函数f（x）在[，1]上是增函数，得到f′（x）=2x﹣a+≥0，在[，1]上恒成立，分离参数，根据基本不等式求出答案，（3）g（x）=x2﹣f（x），求出函数的导数，讨论a≤0，a＞，0＜a≤的情况，从而得出答案【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x2+lnx，x＞0∴f′（x）=2x+，∴f′（1）=3，f（1）=1，∴数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣2=0，（2）函数f（x）在[，1]上是增函数，∴f′（x）=2x﹣a+≥0，在[，1]上恒成立，即a≤2x+，在[，1]上恒成立，令h（x）=2x+≥2=2，当且仅当x=时，取等号，∴a≤2，∴a的取值范围为（﹣∞，2]（3）g（x）=x2﹣f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]．∴g′（x）=a﹣=（0＜x≤e），①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；②当a＞0且＜e时，即a＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，e]上单调递增，∴g（x）min=g（）=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；③当a＞0，且≥e时，即0＜a≤，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时，g（x）有最小值3．选做题（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=2cosθ，将曲线C上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，又已知直线l：（t是参数），且直线l与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（2）设定点P（0，），求+．【考点】平面直角坐标系与曲线方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化曲线C1的方程为（x﹣1）2+y2=1，再由图象变化吧的规律可得曲线C；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得，运用韦达定理，参数的几何意义，即可求+．【解答】解：（1）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1．∴曲线C1的直角坐标方程为=1，∴曲线C表示焦点坐标为（﹣，0），（，0），长轴长为4的椭圆（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中，得．设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，∴t1+t2=﹣，t1t2=，∴+=|=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|．（1）求不等式f（x）+1＜f（2x）的解集M；（2）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】（1）解：不等式f（x）+1＜f（2x）即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或x＞1}．（2）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1| =|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．。
2017年广东省清远一中高三文科一模数学试卷
2017年广东省清远一中高三文科一模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 命题：“ ∃x0∈R，x02−1>0”的否定为______A. ∃x∈R，x2−1≤0B. ∀x∈R，x2−1≤0C. ∃x∈R，x2−1<0D. ∀x∈R，x2−1<02. 复数5i−2的共轭复数是 A. −2+iB. 2+iC. −2−iD. 2−i3. 在长为3 m的线段AB上任取一点P，则点P与线段AB两端点的距离都大于1 m的概率等于A. 12B. 14C. 23D. 134. 经过点A1,2并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 A. y=2x或x−y+1=0B. y=2x，x+y−3=0C. x+y−3=0，或x−y+1=0D. y=2x，或x+y−3=0，或x−y+1=05. 某产品的广告费用x与销售额y的不完整统计数据如表：广告费用x 万元345销售额y 万元2228m若已知回归直线方程为y=9x−6，则表中m的值为 A. 40B. 39C. 38D. 376. 已知约束条件x−3y+4≥0,x+2y−1≥0,3x+y−8≤0,若目标函数z=x+ay a≥0在且只在点2,2处取得最大值，则a的取值范围为 A. 0<a<13B. a≥13C. a>13D. 0<a<127. 已知直线mx+4y−2=0与2x−5y+n=0互相垂直，垂足为P1,p，则m−n+p的值是A. 24B. 20C. 0D. −48. 如图，给出的是计算12×14×16×⋯×12016的值的程序框图，其中判断框内不能填入的是 A. i≤2017?B. i<2018?C. i≤2015?D. i≤2016?9. “m=1”是“直线mx+y−2=0与直线x+my+1−m=0平行”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 2π3B. 4π3C. 3π4D. 3π211. 若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 A. 若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线B. 若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线C. 已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β．D. 若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行12. 在平面直角坐标系中，两点P1x1,y1，P2x2,y2间的“L距离”定义为：∣∣P1P2∣∣=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L距离”之和等于定值（大于∣∣F1F2∣∣）的点的轨迹可以是 A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 设z1=2−i，z2=1−3i，则虚数z=iz1+z25的实部为 ______．14. 如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为______．15. 若x，y满足约束条件y≤x,x+y≤1,y>−1,则z=yx+1的范围是______．16. “开心辞典”中有这样个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：−12，12，−38，14，−532，它的第8个数可以是______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5，0.5,1，…4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数．18. 已知命题p:∀x∈R，不等式x2−mx+32>0恒成立，命题q：椭圆x2m−1+y23−m=1的焦点在x轴上．若命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围______．19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C a cos B+b cos A=c．（1）求C；（2）若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．20. 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N—BCM的体积．21. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12．（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（ⅰ）记“a+b=2”为事件A，求事件A的概率；（ⅱ）在区间0,2内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2>a−b2恒成立”的概率．22. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M−a,b，N a,b，F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求△F2AB面积的最大值．答案第一部分1. B2. A3. D4. D5. A6. A7. B8. C9. C 10. B11. B 12. A第二部分13. 014. 6.815. −∞,1316. 132第三部分17. （1）因为1=0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04×0.5，整理可得：2=1.4+2a，所以解得：a=0.3．（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为0.12+0.08+0.04×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（3）根据频率分布直方图，得：0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47<0.5，0.47+0.5×0.52=0.73>0.5，所以中位数应在2,2.5组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，解得x=0.06，所以中位数是2+0.06=2.06．18. −319. （1）由已知及正弦定理得，2cos C sin A cos B+sin B cos A=sin C，2cos C sin A+B=sin C，故2sin C cos C=sin C．可得cos C=12，所以C=π3．（2）由已知，12ab sin C=332．又C=π3，所以ab=6．由已知及余弦定理得，a2+b2−2ab cos C=7，故a2+b2=13，从而a+b2=25．所以△ABC的周长为5+7．20. （1）由已知得AM=23AD=2，取BP的中点T，连接AT，TN，N为PC中点知TN∥BC，TN=12BC=2．又AD∥BC，故TN∥AM且TN=AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT．因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA．取BC的中点E，连接AE．AB=AC=3得AE⊥BC，AE= AB2−BE2=5．由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM=12×4×5=25．所以四面体N—BCM的体积V N—BCM=13⋅S△BCM⋅PA2=453．21. （1）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12，可得n1+1+n=12，解得n=2．（2）（ⅰ）袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P A=412=13．（ⅱ）“x2+y2>a−b2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2>4恒成立”，x,y可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω=x,y∣0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R，而事件B构成的区域B=x,y∣x2+y2>4,x,y∈Ω，所以P B=1−π4．22. （1）由题意知b=3，122a+2c b=33，所以a+c=3, ⋯⋯①又a2=b2+c2，即a2=3+c2, ⋯⋯②联立 ①② 解得 a =2，c =1， 所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．（2） 由（1）知 F 1 −1,0 ，设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，过点 F 1 的直线方程为 x =ky −1， 由 x =ky −1,x 24+y 23=1得 3k 2+4 y 2−6ky −9=0，Δ>0 成立， 且 y 1+y 2=6k3k +4，y 1y 2=−93k +4， △F 2AB 的面积S =12×∣F 1F 2∣ ∣y 1∣+∣y 2∣ =∣y 1−y 2∣= y 12 212= 36k 2 2 2+362=12k 2+13k 2+4 2=9 k 2+1 +k +1+6又 k 2≥0， 所以 9 k 2+1 +1k +1+6 递增，所以 9 k 2+1 +1k +1+6≥9+1+6=16，9 k +1 +12+6≤16=3，当且仅当 k =0 时取得等号，所以 △F 2AB 面积的最大值为 3．。
广东省清远市高三数学第一次模拟考试试题 文
3.如果函数 的最小正周期为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
4．已知向量 ， ，且 ，则 等于( )
A． B． C． D．
5．等比数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．
6.设条件 ；条件 ，那么 是 的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分
(1) 证明：平面DEF//平面PAB；
(2) 证明： ；
(3) 若 ，求三棱锥 的体积．
19.（本小题满分12分）
（1）证明：∵E、F分别是AC、BC的中点，
∴ ……………………………………1分
∵
∴ ……………………………2分
∵ …………………3分
∴ ………………………………4分
（2）证明：取 的中点 ，连结 、 ，
A．1B．2C．3D．4
12.已知双曲线 的离心率为2，一个焦点与抛物线 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。
第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：(本大题共4 小题，每小题5分。)
23. （本小题满分10分）
【解析】（Ⅰ）由 ， ，可得 ．-------1分
所以曲线 的普通方程为 ）．--------------3分
从而曲线C的参数方程为 ----------------------5分
（Ⅱ）法一：因为直线 的参数方程为 （ 为参数），
消去 得直线 的普通方程为 ．……………………6分
（1）求△ 的面积；
（2）求弦 的长．
广东省清远市清新一中2017届高三数学一模试卷文科 含
2017年广东省清远市清新一中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．62．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°4．抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2 D．y=﹣25．下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C．D．6．已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．27．设A（﹣5，0），B（5，0），M为平面上的动点，若当|MA|﹣|MB|=10时，M 的轨迹为（）A．双曲线的一支B．一条线段C．一条射线D．两条射线8．函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．19．函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e10．函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤011．曲线C1：（m＞n＞0），曲线C2：（a＞b＞0）．若C1与C2有相同的焦点F1、F2，且P同在C1、C2上，则|PF1|•|PF2|=（）A．m+a B．m﹣a C．m2+a2D．m2﹣a212．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为．14．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x=，y=；若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率=．15．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．18．设{a n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列．（1）证明a1=d；（2）求公差d的值和数列{a n}的通项公式．19．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．20．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．=，c=2，A=60°，求a、b的值；（1）若△ABC面积S△ABC（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．21．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．22．已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．2017年广东省清远市清新一中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．故选：D．2．若方程C：x2+=1（a是常数）则下列结论正确的是（）A．∀a∈R+，方程C表示椭圆B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆D．∃a∈R，方程C表示抛物线【考点】双曲线的简单性质；全称命题；特称命题．【分析】根据三种圆锥曲线标准方程的特征，对A、B、C、D各项依次逐个加以判断，即可得到只有B项符合题意．【解答】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C 项不正确∵不论a取何值，方程C：中没有一次项∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确综上所述，可得B为正确答案故选：B3．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得，求出sinB的值，根据B的范围求得B的大小．【解答】解：由正弦定理可得，∴，∴sinB=．又0＜B＜π，∴B=或，故选B．4．抛物线y2=8x的准线方程是（）A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2 D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2，故选：C5．下列各函数中，最小值为2的是（）A．B．，C． D．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：对于A．∵，∴=2，当且仅当x=1时取等号．因为只有一个正确，故选A．6．已知2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，可得=2，利用e=，可求双曲线的离心率．【解答】解：∵2x+y=0是双曲线x2﹣λy2=1的一条渐近线，∴=2，∴e==．故选：C．7．设A（﹣5，0），B（5，0），M为平面上的动点，若当|MA|﹣|MB|=10时，M 的轨迹为（）A．双曲线的一支B．一条线段C．一条射线D．两条射线【考点】轨迹方程．【分析】根据题意，由A、B的坐标可得|AB|=10，结合题意可得|MA|﹣|MB|=|AB|，由双曲线的定义分析可得M的轨迹为一条射线，即可得答案．【解答】解：根据题意，A（﹣5，0），B（5，0），则|AB|=10，动点M满足|MA|﹣|MB|=10，即|MA|﹣|MB|=|AB|，则M的轨迹为一条射线，顶点为B点，B点右侧x轴上的部分；故选：C．8．函数f（x）=3x﹣4x3，（x∈[0，1]）的最大值是（）A．B．﹣1 C．0 D．1【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】求出函数的导数，求得极值点和单调区间，可得极大值且为最大值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数f（x）=3x﹣4x3的导数为f′（x）=3﹣12x2=3（1﹣4x2），由f′（x）=0，可得x=（﹣舍去）f（x）在[0，）递增，（，1）递减，可得f（x）在x=处取得极大值，且为最大值1．故选：D．9．函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2e（x﹣1）B．y=ex﹣1 C．y=e（x﹣1）D．y=x﹣e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出函数f（x）=e x lnx的导数，再利用导数求出切线的斜率，再求出切点坐标，最后用点斜式方程即可得出答案．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x lnx+e x，∴切线的斜率k=f′（1）=e，令f（x）=e x lnx中x=1，得f（1）=0，∴切点坐标为（1，0），∴切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即y=e（x﹣1）．故选：C．10．函数f（x）=ax3+x+1有极值的充要条件是（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】用排除法．当a=0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除B，D；当a＞0时，判断原函数的单调性可知无极值点，排除A，进而得到答案．【解答】解：当a=0时，函数f（x）=ax3+x+1=x+1是单调增函数无极值，故排除B，D当a＞0时，函数f（x）=ax3+x+1是单调增函数无极值，故排除A，故选C．11．曲线C1：（m＞n＞0），曲线C2：（a＞b＞0）．若C1与C2有相同的焦点F1、F2，且P同在C1、C2上，则|PF1|•|PF2|=（）A．m+a B．m﹣a C．m2+a2D．m2﹣a2【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题设条件可知|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，由此可以求出|PF1|•|PF2|的值【解答】解：由题设条件可知|PF1|+|PF2|=2，|PF1|﹣|PF2|=2，∴|PF1|=，|PF2|=，∴|PF1|•|PF2|=m﹣a．故选：B12．已知a＞0，函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意a＞0，函数f（x）=x3﹣ax，首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系进行判断．【解答】解：由题意得f′（x）=3x2﹣a，∵函数f（x）=x3﹣ax在[1，+∞）上是单调增函数，∴在[1，+∞）上，f′（x）≥0恒成立，即a≤3x2在[1，+∞）上恒成立，∴a≤3，故选：D．一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为5．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】利用空间中两点间的距离公式求解．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），∴A，B两点间的距离：|AB|==5，故答案为：5．14．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）．则x=1，y=3；若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，则这2人都来自高校C的概率=．【考点】频率分布表．【分析】由已知得，由此能求出x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，由此能求出这2人都来自高校C的概率．【解答】解：由已知得，解得x=1，y=3，从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，基本事件总数n==10，这2人都来自高校C包含基本事件个数m==3，∴这2人都来自高校C的概率：p=．故答案为：1，3，．15．将某选手的6个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91．现场作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则4个剩余分数的方差为．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图求出平均数，即可计算方差的大小．【解答】解：去掉最低分87，若x≥3，则90+x被去掉，此时剩余的分数为90，90，91，93，平均数为91，满足条件，此时对应的方差为 [（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（93﹣91）2]=（1+1+4）=，故答案为：．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2．故答案为：1，2．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l是曲线y=x3在点（1，1）处的切线，（1）求l的方程；（2）求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程．【分析】（1）求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到曲线在点P （1，1）处的切线方程；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，即可求直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积．【解答】解：（1）y=x3的导数为y′=3x2，则曲线在点P（1，1）处的切线斜率为3，即有曲线在点P（1，1）处的切线方程为y﹣1=3（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0；（2）y=0时，x=；x=2时，y=4，∴直线l与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为=．18．设{a n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10=110且a1，a2，a4成等比数列．（1）证明a1=d；（2）求公差d的值和数列{a n}的通项公式．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知可得a22=a1•a4，代入等差数列的通项可转化为（a1+d）2=a1•（a1+3d），整理可得（2）结合（1）且有，联立方程可求a1，d及a n【解答】（1）证明：因a1，a2，a4成等比数列，故a22=a1a4而{a n}是等差数列，有a2=a1+d，a4=a1+3d于是（a1+d）2=a1（a1+3d）即a12+2a1d+d2=a12+3a1d化简得a1=d（2）解：由条件S10=110和，得到10a1+45d=110由（1），a1=d，代入上式得55d=110故d=2，a n=a1+（n﹣1）d=2n因此，数列{a n}的通项公式为a n=2n19．已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0＜m≤，或3≤m＜5．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜520．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．=，c=2，A=60°，求a、b的值；（1）若△ABC面积S△ABC（2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．【考点】余弦定理；三角形的形状判断．【分析】（1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a 的值；（2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形．【解答】解：（1）∵，∴，得b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2•cos60°=3，所以．（2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2，所以∠C=90°；在Rt△ABC中，，所以，所以△ABC是等腰直角三角形．21．设函数f（x）=x3﹣x2+6x﹣a．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）若f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；（2）求出f（x）的极值，令极大值大于0，极小值小于0解出a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6，令f′（x）＞0得3x2﹣9x+6＞0，解得x＜1或x＞2，令f′（x）＜0得3x2﹣9x+6＜0，解得1＜x＜2．∴f（x）的增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），减区间为（1，2）．（2）由（1）知当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=；当x=2时，f（x）取得极小值f（2）=2﹣a．∵f（x）的图象与x轴有三个交点．∴，解得：．22．已知双曲线的两个焦点为的曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）根据题意可得a2+b2=4，得到a和b的关系，把点（3，）代入双曲线方程，求得a，进而根据a2+b2=4求得b，双曲线方程可得．（2）可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，根据直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，进而可得k的范围，设E（x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而表示出|EF|和原点O到直线l的距离根据三角形OEF的面积求得k，进而可得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），将点（3，）代入上式，得．解得a2=18（舍去）或a2=2，故所求双曲线方程为．（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈（﹣）∪（1，）．设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，x1x2=﹣，于是，|EF|==而原点O到直线l的距离d=，=．∴S△OEF若S△OEF满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．2017年3月28日。
【数学】广东省清远市清新一中2017届高考一模试卷(理)(解析版)
广东省清远市清新一中2017届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m的值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．﹣2或﹣3 2．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题3．（5分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球4．（5分）如图，给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2021 B．i≤2019 C．i≤2017 D．i≤20155．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53 6．（5分）一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设随机变量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥2）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为（）A．1080 B．480 C．1560 D．3009．（5分）设F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，则使得成立的P点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．310．（5分）一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是（）A．29 000元B．31 000元C．38 000元D．45 000元11．（5分）某公司为了对一种新产品进行合理定价，将该产品按亊先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据．求得线性回归方程为=﹣4x+a．若在这些样本点中任取一点，則它在回归直线右上方的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设数列{a n}是首项为1的等差数列，前n项和S n，S5=20，则公差为．14．（5分）若x，y满足不等式则z=x﹣y的取值范围是．15．（5分）设正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，，则该正三棱柱外接球的表面积是．16．（5分）函数f（x），g（x）的定义域都是D，直线x=x0（x0∈D），与y=f（x），y=g（x）的图象分别交于A，B两点，若|AB|的值是不等于0的常数，则称曲线y=f（x），y=g（x）为“平行曲线”，设f（x）=e x﹣a ln x+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）为区间（0，+∞）的“平行曲线”，g（1）=e，g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，则a的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23两题是选修题．）17．（12分）已知向量，向量，函数．（Ⅰ）求f（x）单调递减区间；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，，c=4，且f（A）恰是f（x）在上的最大值，求A，b，和△ABC的面积S．18．（12分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．19．（12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB1、A1C1的中点．（1）求证：MN⊥AB1，MN∥平面BCC1B1；（2）求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值．20．（12分）已知定点M（1，0）和直线x=﹣1上的动点N（﹣1，t），线段MN的垂直平分线交直线y=t于点R，设点R的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）直线y=kx+b（k≠0）交x轴于点C，交曲线E于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为点P．点C关于y轴的对称点为Q，求证：A，P，Q三点共线．21．（12分）已知函数f（x）=a ln x﹣ax﹣3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间[t，3]上总存在极值？（Ⅲ）当a=2时，设函数，若在区间[1，e]上至少存在一个x0，使得h（x0）＞f（x0）成立，试求实数p的取值范围．选修题22．（10分）在平面直角坐标系中，圆C的方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=m（m∈R）．（I）当m=3时，判断直线l与C的位置关系；（Ⅱ）当C上有且只有一点到直线l的距离等于时，求C上到直线l距离为2的点的坐标．23．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式ln f（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．参考答案一、选择题1．C【解析】∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0与直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴=，解得m=2或﹣3，故选C．2．D【解析】若p是真命题，q是假命题，则p∧q是假命题，A错误；p∨q是真命题，B错误；￢p是假命题，C错误，￢q是真命题，D正确；故选：D3．C【解析】A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选C．4．C【解析】根据流程图，可知第1次循环：S=，i=4；第2次循环：S=，i=6；第3次循环：S=……第1008次循环：S=，i=2016；此时，i=2018，设置条件退出循环，输出S的值．故判断框内可填入i≤2016．对比选项，故选：C．5．A【解析】由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：=46．众数是45，极差为：68﹣12=56．故选：A．6．A【解析】由已知中的三视图，圆锥母线l==，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r==，∠AOB=90°．故该几何体的体积为：V=V圆柱+V三棱锥P﹣AOB=Sh+=×+=，故选：A．7．C【解析】∵变量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣C20•（1﹣p）2=，∴p=，∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣C30（）0（）3 ﹣••=1﹣﹣=，故选：C．8．C【解析】先把6本不同的书分成4组，每组至少一本．若4个组的书的数量按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有=20种不同的方法．若4个组的书的数量分别为2、2、1、1，则不同的分配方案有•=45种不同的方法．故所有的分组方法共有20+45=65种．再把这4组书分给4个人，不同的方法有65=1560种，故选：C．9．C【解析】设P（x0，y0），∵F1，F2分别为椭圆的左右两个焦点，点P为椭圆上任意一点，∴F1（﹣4，0），F2（4，0），=（﹣4﹣x0，﹣y0），=（4﹣x0，﹣y0），∵，∴（﹣4﹣x0）（4﹣x0）+（﹣y0）2=﹣7，即=9，①又∵设P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴，②联立①②，得：或，∴使得成立的P点的个数为2个．故选：C．10．C【解析】设x、y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．由题意，得．工厂的总利润z=12000x+7000y由约束条件得可行域如图，由，解得：，所以最优解为A（2，2），则当直线12000x+7000y﹣z=0过点A（2，2）时，z取得最大值为：38000元，即生产甲、乙两种肥料各2车皮时可获得最大利润．故选：C．11．C【解析】=（4+5+6+7+8+9）=，=（90+84+83+80+75+68）=80∵=﹣4x+a，∴a=106，∴回归直线方程=﹣4x+106；数据（4，90），（5，84），（6，83），（7，80），（8，75），（9，68）．6个点中有3个点在直线右上方，即（6，83），（7，80），（8，75）．其这些样本点中任取1点，共有6种不同的取法，故这点恰好在回归直线右上方的概率P==．故选：C．12．A【解析】f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则f min（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．二、填空题：13．【解析】设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，S5=20，∴5+d=20，解得d=．故答案为：．14．[﹣2，2]【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2）．联立，解得B（2，4）．化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2．当直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2．故答案为：[﹣2，2]．15．20π【解析】由正三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=2，又由正三棱柱的高为2，则球心到圆O的球心距d=1，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R2=r2+d2=5，∴外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．16．[3e3，+∞）【解析】由题意可得|e x﹣a ln x+c﹣g（x）|对x∈（0，+∞）恒为常数，且不为0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在区间（2，3）上的零点唯一，可得：f（x）=e x﹣a ln x+c在（2，3）上无极值点，即有f′（x）=e x﹣=，则x e x﹣a=0无实数解，由y=x e x，可得y′=（1+x）e x＞0，在（2，3）成立，即有函数y递增，可得y∈（2e2，3e3），则a≥3e3，故答案为：[3e3，+∞）．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵=+1+sin2x+=sin2x﹣cos2x+2=sin（2x﹣）+2，∴，所以：f（x）的单调递减区间为：．（Ⅱ）由（1）知：，∵时，，由正弦函数图象可知，当时f（x）取得最大值3，∴，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bc cos A，得：，∴b=2，∴．18．解：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X，则X的可能取值为﹣15，0，15，30．；；；．乙得分的分布列如下：．（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A，乙入选为事件B．则，．故甲乙两人至少有一人入选的概率．19．（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4∴CA，CB，CC1两两垂直以C为原点，CA，CB．CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）∴，∴∴MN⊥AB1，∵，∴∴MN∥BC1，∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：过A作AH⊥BC1于H，连接CH，则CH⊥BC1，∴∠AHC是二面角A﹣BC1﹣C的平面角在直角△BC1C中，CH=BC sin∠CBC1=4sin45°=2在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，∴cos∠AHC==∴二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为20．（Ⅰ）解：由题意可知：RN=RM，即点R到直线x=﹣1和点M的距离相等．根据抛物线的定义可知：R的轨迹为抛物线，其中M为焦点．设R的轨迹方程为：y2=2px，，p=2所以R的轨迹方程为：y2=4x．（Ⅱ）证明：由条件可知，则．联立，消去y得k2x2+（2bk﹣4）x+b2=0，△=（2bk﹣4）2﹣4b2k2=16（1﹣bk）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），则P（x2，﹣y2），，．因为，所以k AP=k AQ，所以A，P，Q三点共线．21．解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣a=a（）（x＞0），∴（1）当a＞0时，令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．当a＜0时，f′（x）=﹣a（），令f′（x）＞0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递增；令f′（x）＜0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递减；（Ⅱ）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，所以f′（2）=1，所以a=﹣2，f′（x）=﹣+2，g（x）=x3+x2[+f′（x）]=x3+x2[+2﹣]=x3+（2+）•x2﹣2x，∴g′（x）=3x2+（4+m）x﹣2，因为对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[+f′（x）]在区间[t，3]上总存在极值，所以只需g′（2）＜0 g′（3）＞0，解得﹣＜m＜﹣9；（Ⅲ）∴令F（x）=h（x）﹣f（x）=（p﹣2）x﹣﹣3﹣2ln x+2x+3=px﹣﹣﹣2ln x，①当p≤0时，由x∈[1，e]得px﹣≤0，﹣﹣2ln x＜0．所以，在[1，e]上不存在x0，使得h（x0）＞f（x0）成立；②当p＞0时，F′（x）=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，px2+p＞0，F′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上单调递增．∴F（x）max=F（e）=p e﹣﹣4．故只要p e﹣﹣4＞0，解得p＞．所以p的取值范围是[，+∞）．选修题22．解：（I）圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，∴圆心坐标为（1，1），半径r=．m=3时，直线l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．∴圆心C到直线l的距离d==＜r．∴直线l与圆C相交．（II）直线l的普通方程为x+y﹣m=0．∵C上有且只有一点到直线l的距离等于，∴直线l与圆C相离，且圆心到直线的距离为．∴圆C上到直线l的距离等于2的点在过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线上．∴过圆心C（1，1）且与直线l平行的直线的参数方程为：（t为参数）．将：（t为参数）代入圆C的普通方程得t2=2，∴t1=，t2=﹣．当t=时，，当t=﹣时，．∴C上到直线l距离为2的点的坐标为（0，2），（2，0）．23．（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴ln f（x）最小值为ln3＞lne=1，∴ln f（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
2017年广东省清远市清城区田家炳实验中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2017年广东省清远市清城区田家炳实验中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤9，x∈N+}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U（A∪B）＝（）A．{3}B．{7，8}C．{7，8，9}D．{1，2，3，4，5，6}2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+i）＝1+3i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件5．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ＝（）A．3B．C．2D．16．（5分）如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知数列{a n}满足a n＝若对于任意的n∈N*都有a n ＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）9．（5分）已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，]D．[，+∞）10．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB＝BD，∠CBA＝∠CBD＝，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．11．（5分）椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数y＝f（x）与y＝F（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f （x）和y＝F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）＝|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2]B．[，+∞）C．[，2]D．[，2]∪[4，+∞）一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）二项式的展开式中的常数项为．14．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．（5分）若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求sin B的值；（2）若a＝4，求△ABC的面积S的值．18．（12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD、E、F，分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面P AD；（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e＝，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．21．（12分）设函数G（x）＝xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．（1）求G（x）的最小值：（2）记G（x）的最小值为e，已知函数f（x）＝2a•e x+c+﹣2（a+1）（a＞0），若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y＝f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．2017年广东省清远市清城区田家炳实验中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝{x|x≤9，x∈N+}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U（A∪B）＝（）A．{3}B．{7，8}C．{7，8，9}D．{1，2，3，4，5，6}【解答】解：全集U＝{x|x≤9，x∈N+}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}；∴∁U（A∪B）＝{7，8，9}．故选：C．2．（5分）已知i是虚数单位，若z（1+i）＝1+3i，则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：由z（1+i）＝1+3i，得，故选：A．3．（5分）若，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：若，则cosα＝＝，则＝sinαcos+cosαsin＝+＝，故选：B．4．（5分）已知命题p，q是简单命题，则“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分有不必要条件【解答】解：由“￢p是假命题”可得：p是真命题，可得“p∨q是真命题”．反之不成立，例如p是假命题，q是真命题．∴“p∨q是真命题”是“￢p是假命题”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且，则λ+μ＝（）A．3B．C．2D．1【解答】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴＝（1，0），＝（﹣1，1），∵＝（λ﹣μ，μ），又∵点P为CD的中点，∴＝（，1），∴，∴λ＝，μ＝1，∴λ+μ＝，故选：B．6．（5分）如图，是某算法的程序框图，当输出T＞29时，正整数n的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由程序框图知：第一次循环k＝1，T＝2第二次循环k＝2，T＝6；第三次循环k＝3，T＝14；第四次循环k＝4，T＝30；由题意，此时，不满足条件4＜n，跳出循环的T值为30，可得：3＜n≤4．故正整数n的最小值是4．故选：C．7．（5分）从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n＝，组成的五位数是偶数包含的基本事件个数m＝，∴组成的五位数是偶数的概率是p＝＝＝．故选：D．8．（5分）已知数列{a n}满足a n＝若对于任意的n∈N*都有a n ＞a n+1，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（，1）【解答】解：∵满足a n＝，若对于任意的n∈N*都有a n＞a n+1，∴＜0，a5＞a6，0＜a＜1．∴a＜0，+1＞a，0＜a＜1，解得．故选：B．9．（5分）已知不等式sin cos+cos2﹣﹣m≥0对于x∈[﹣，]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，]D．[，+∞）【解答】解：由题意，令f（x）＝sin cos+cos2﹣，化简可得：f（x）＝+（cos）＝＝sin （）∵x∈[﹣，]∴∈[，]当＝时，函数f（x）取得最小值为．∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选：B．10．（5分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB＝BD，∠CBA＝∠CBD＝，则直线AD与平面BCD所成角的大小是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，过点A在平面ABC内作AO⊥BC，垂足为点O，连接OD．∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．∴∠ADO是直线AD与平面BCD所成的角．∵AB＝BD，∠CBA＝∠CBD＝，∴∠ABO＝∠DBO，又OB公用，∴△OBA≌△OBD，∴∠BOD＝∠AOB＝．OA＝OD．∴∠．故选：B．11．（5分）椭圆的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，如图，设F（c，0），又由△OAF是等边三角形，则A（，），A在椭圆上，则有+＝1，①；a2＝b2+c2，②；联立①②，解可得c＝（﹣1）a，则其离心率e＝＝﹣1；故选：A．12．（5分）已知函数y＝f（x）与y＝F（x）的图象关于y轴对称，当函数y＝f （x）和y＝F（x）在区间[a，b]同时递增或同时递减时，把区间[a，b]叫做函数y＝f（x）的“不动区间”．若区间[1，2]为函数f（x）＝|2x﹣t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是（）A．（0，2]B．[，+∞）C．[，2]D．[，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵函数y＝f（x）与y＝F（x）的图象关于y轴对称，∴F（x）＝f（﹣x）＝|2﹣x﹣t|，∵区间[1，2]为函数f（x）＝|2x﹣t|的“不动区间”，∴函数f（x）＝|2x﹣t|和函数F（x）＝|2﹣x﹣t|在[1，2]上单调性相同，∵y＝2x﹣t和函数y＝2﹣x﹣t的单调性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故选：C．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．（5分）二项式的展开式中的常数项为24．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•x4﹣r•2r•x﹣r＝•x4﹣2r．令x的幂指数4﹣2r＝0，解得r＝2，故展开式中的常数项为＝4×6＝24，故答案为24．14．（5分）学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R＝＝2，∴该球的表面积为4π×12＝48π，故答案为：48π．16．（5分）若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0和函数的图象相切于同一点，则a的值为3．【解答】解：设切点为（t，），y′＝，x＝t时，y′＝t，∴切线方程为y﹣＝（x﹣t），即y＝tx﹣，∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0和函数y＝的图象相切于同一点，∴＝，∴t＝2，∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a＝0，可得a＝3，故答案为3．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求sin B的值；（2）若a＝4，求△ABC的面积S的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵由得，…（1分）∴cos C＝cos2A＝cos2A﹣sin2A＝，…2分∴sin C＝＝，…3分又∵A+B+C＝π，sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），…4分∴．…（6分）（2）由正弦定理得，…（9分）∴△ABC的面积．…（12分）18．（12分）某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人…（1分）其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：…（3分）因为…（5分）所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…（6分）（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，2…（7分），X的分布列为：…（10分）…（12分）19．（12分）在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD、E、F，分别为PC、BD的中点．（1）求证：EF∥平面P AD；（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，所以，在△P AC中，EF∥P A…（1分）又P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD…（3分）所以EF∥平面P AD…（4分）（2）取AD的中点O，连接OP，OF，因为P A＝PD，所以PO⊥AD，又因为侧面P AD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，不妨设AD＝2…（6分）则有P（0，0，1），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），假设在AB上存在点G（1，a，0），0＜a＜2，则＝（﹣1，2，﹣1），＝（﹣1，0，﹣1），＝（2，a，0）…（7分）因为侧面P AD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，所以CD⊥平面P AD，则CD⊥P A，由P A2+PD2＝AD2得PD⊥P A，所以P A⊥PDC，即平面PDC的一个法向量为＝（1，0，﹣1）…（8分）设平面PDG的法向量为＝（x，y，z），则，亦即，可取＝（a，﹣2，﹣a）…（9分）由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，可得a＝1…（10分），所以线段AB上存在点G，且G为AB的中点，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为…（12分）20．（12分）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e＝，（1）求椭圆C的标准方程：（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．【解答】解：（1）由题意可得…（2分）解得…（3分）故椭圆的标准方程为…（4分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，因为△F1AB的周长为4a＝8，，因此最大，R就最大…（6分），由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以，…（8分）又因直线l与椭圆C交于不同的两点，故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，则…（10分）令，则t≥1，．令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，因此有，所以，即当t＝1，m＝0时，最大，此时，故当直线l的方程为x＝1时，△F1AB内切圆半径的最大值为…（12分）21．（12分）设函数G（x）＝xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．（1）求G（x）的最小值：（2）记G（x）的最小值为e，已知函数f（x）＝2a•e x+c+﹣2（a+1）（a＞0），若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得…（1分）令G'（x）＜0，得；令G'（x）＞0，得，所以G（x）的单调减区间为，单调增区间为…（3分）从而…（4分）（2）由（1）中c＝﹣ln2得…（5分）所以…（6分）令g（x）＝ax2•e x﹣（a+1），则g'（x）＝ax（2+x）e x＞0…（7分）所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为g（0）＝﹣（a+1），且当x→+∞时，g（x）＞0，所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增…（8分）因为，所以，即，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，所以…（9分）所以，即，亦即，所以…（10分）因为，所以，又x0＞0，所以0＜x0≤1，从而，所以，故…（12分）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l的极坐标方程为ρ＝，直角坐标方程为x﹣y﹣4＝0；（2）点P到直线l的距离d＝＝，∴φ﹣＝2kπ﹣，即φ＝2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为2﹣2，点P的直角坐标（1+，1﹣）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|+|x﹣3|．（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；（2）设m，n∈{y|y＝f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．【解答】解：（1）…（2分）得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，所以不等式的解集为…（5分）（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…（7分）由于2（m+n）﹣（mn+4）＝2m﹣mn+2n﹣4＝（m﹣2）（2﹣n）…（8分）且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，所以2（m+n）＜mn+4…（10分）第21页（共21页）。
2017届广东清远南阳中学高三数学(理)一模试题答案
参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中命题“p或q”是真命题，命题“非p”是假命题，易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案．【解答】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值．【解答】解：如图，化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，即﹣a=，∴a=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．【解答】解：由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决．6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意得：命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题；命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题；可得答案．【解答】解：由题意得：∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题∴判断命题若a≠1或b≠2则a+b≠3的真假只要判断：命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题∴命题若a+b≠3则a≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故选：A．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A【点评】本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】双曲线的简单性质．【分析】当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．【解答】解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，则这样的直线有且仅有3条，故选：B【点评】本题考查了双曲线的几何性质，特别是直线与双曲线相交时弦长的几何性质，在平时的学习中注意积累一些结论，对解决此类选择题很有好处．10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由题意可得：，进而得到与| |，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【考点】轨迹方程．【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．当a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定a+的范围是解题的关键．12．已知m、n、s、t∈R*，m+n=3，其中m、n是常数且m＜n，若s+t 的最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．4x﹣2y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣4=0【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得（s+t）（）的最小值是，即（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得，两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，求得k 即可【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=3，，s+t的最小值是，∴（s+t）（）的最小值是，∴（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，此时最小值为m+n+2=3+2，得：mn=2，又：m+n=3，所以，m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k=．∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题．一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=100．【考点】对数的运算性质．【分析】法一：由已知得，，从而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．法二：由已知得，从而利用等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．【解答】解法一：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴=1，∴，，∴x101+x102+…+x200==10100，则lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．解法二：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，∴lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．已知a=，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【解答】解：a==arcsinx=，∴[（a+2﹣）x﹣]6=，其展开式的通项公式为=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣r x6﹣2r；T r+1令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式中常数项为（﹣1）323=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin （A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A 的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n=+2a n（n∈N*）+1（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n 的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，可得b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，可得数列{b n}的前n项和为T n，代入化简即可得出．【解答】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．+1=+2a n+1=，∴a n+1两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…【点评】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD ⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．∴PD⊥平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（﹣3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…【点评】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，，此时若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…。
广东省清远市田家炳实验中学2017届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
清远市田家炳中学2017届高三第一次高考模拟统一考试数学(理)试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}9,U x x x N +=∈≤，集合{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}3B ．{}7,8C ．{}7,8,9D ．{}1,2,3,4,5,6 2．已知i 是虚数单位，若()113z i i +=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 3．若3sin 052a πα⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，则sin 6a π⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A ．33410- B ．33410+ C ．34310- D ．34310+4．已知命题p ，q 是简单命题,则“p q ∨是真命题"是“p ⌝是假命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分有不必要条件5．如图,四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =,若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则λμ+=( ）A ．3B ．52C ．2D ．16．如图，是某算法的程序框图，当输出29T ＞时，正整数n 的最小值是（ )A ．2B ．3C ．4D ．57．从1,3，5，7，9中任取3个数字，从2，4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是( ）A ．23B ．35C ．12D ．258．已知数列{}n a 满足()()1116,26,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+ ⎪⎪=⎝⎭⎨⎪⎩＜≥若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +＞，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭9．262cos 60444x x x m -≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是( ） A ．(,2-∞-B ．2⎛-∞ ⎝⎦C ．22⎡⎤⎢⎥⎣ D ．)2,⎡+∞⎣10．如图，在三棱锥A BCD -中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB BD =，23CBA CBD π∠=∠=，则直线AD 与平面BCD 所角的大小是( )A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π11．椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ,满足OAF ∆是等边三角形（O 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ )A 31B ．23C 21D ．2212．已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称,当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间",若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间"，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分,满分20分13．二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说:“是C 或D 作品获得一等奖”; 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说:“A,D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为．16．若一直线与圆22240x y x y a+--+=和函数24xy=的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,且．（1）求sinB的值;（2）若a=4,求△ABC的面积S的值．18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课,为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．（1)请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9％的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.150。
清远一中2017年高考数学一模试卷(理科) 含解析
2017年广东省清远一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列｛a n｝中，a2=7,a4=15，则前10项的和S10=（) A．100 B．210 C．380 D．4002．在△ABC中,若a=2，b=2,A=30°，则B为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°3．已知向量=（2m+1，3，m﹣1)，=(2，m，﹣m）,且∥,则实数m的值等于（)A．B．﹣2 C．0 D．或﹣24．已知两点F1（﹣2，0），F2（2，0），且｜F1F2|是|PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=15．关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞)，则关于x的不等式（ax+b)（x﹣3）＞0的解集是( ）A．(﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（1，3） C．（﹣1,3）D．（﹣∞，1）∪(3，+∞)6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．已知不等式组表示的平面区域为D，若∀(x，y)∈D，|x|+2y≤a为真命题，则实数a的取值范围是( )A．[10,+∞) B．［11，+∞）C．[13，+∞) D．［14，+∞）8．已知正项等比数列｛a n}满足：a3=a2+2a1，若存在两项a m，a n，使得,则的最小值为（）A．B． C．D．不存在9．“双曲线C的方程为(a＞0，b＞0）”是“双曲线C的渐近线方程为y=”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件10．若正数a,b满足,的最小值为（)A．1 B．6 C．9 D．1611．如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形,AD=AB=2，•=0,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC=2，则二面角A﹣PB ﹣E的大小为（）A．B．C．D．12．双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x2+y2=a2的切线，设切点为M，延长F1M交曲线C3：y2=2px(p＞0)于点P，其中C1与C3有一个共同的焦点,若M为F1P的中点,则双曲线C1的离心率为（）A．B．C． D．一、填空题:(本大题共4小题，每小题5分,满分20分）13．（﹣）6的展开式中常数项为．14．如果实数x，y满足条则z=的最大值为．15．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,若a2sinC=4sinA,（ca+cb)(sinA﹣sinB）=sinC（2﹣c2)，则△ABC的面积为．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点，OA⊥平面BDE,则球O的表面积为．二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23两题是选修题．）17．已知数列｛a n｝满足a1=1,a n a n+1=2n,n∈N．(1）若函数f（x)=Asin(2x+ϕ)（A＞0,0＜ϕ＜π）在x=处取得最大值a4+1，求函数f（x）在区间上的值域．（2)求数列｛a n｝的通项公式．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：。
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2017年广东省清远市高三数学一模试卷（理科）1．已知集合
，B={x|x﹣1≥0}，则A∩B为（）
A．[1，3] B．[1，3） C．[﹣3，∞） D．（﹣3，3]
2．已知复数
，则z在复平面内对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知函数f（x）的定义域为R，M为常数．若p：对?x∈R，都有f（x）≥M；q：M是函数f（x）的最小
值，则p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则
（）
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1+a8＞
a4+a5 D．a1a8=a4a5
5．已知
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
6．已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（）
A．6 B．32 C．33 D．34
7．设
，则对任意实数a、b，若a+b≥0则（）
A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f（a）﹣f（b）≥0
8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几
组对应数据如表所示：
x 3 4 5 6。