2017-2018学年苏教版高中数学必修2(测试)第2章2.2-2.2.3圆与圆的位置关系Word版含解析
2017-2018学年苏教版必修2 第二章平面解析几何初步 单元测试2
本章测评(总分100分 时间90分钟)一、选择题(每小题4分,共36分)1.已知两点P(-2,m),Q(m,4),直线PQ 的斜率等于-2,那么m 的值为( )A.-8B.0C.4D.10思路解析：由两点间的斜率公式,224-=---mm . 答案：A2. 圆(x+2)2+y 2=5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y 2=5B.x 2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x 2+(y+2)2=5思路解析：因为对称的两圆半径相同,圆心对称,所以只需要求得原来圆心(-2,0)关于原点对称的点即可.由于(-2,0)关于原点对称的点的坐标为(2,0),所以所求的圆的方程为(x-2)2+y 2=5. 答案：A3.若方程(6a 2-a-2)x+(3a 2-5a+2)y+a-1=0表示平行于y 轴的直线，则a 为( )A.1或32B.32 C.1 D.不存在 思路解析：因为方程表示的直线平行于y 轴，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-≠--.0253,02622a a a a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-≠≠.132,2132a a a a 或且所以a=1. 答案：C4.一束光线从点A(-1，1)出发，经过x 轴反射到圆(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是( ) A.24 B.4 C.23 D.3思路解析：因为入射光线与反射光线关于x 轴对称,所以可以转而考虑A 点关于x 轴对称点A 1与圆的关系,如图所示，最短距离为|A 1B|=|A 1C|-1，A 1(-1,-1),C(2,3)，所以5169||1=+=C A .∴|A 1B|=4.答案：B5. 圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是( )A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0思路解析：本题考查直线与圆相切.A 中圆心到直线的距离为12|)3(1|>--，即不对；B 中圆心到直线的距离为12|)3(1|<-+，即不对；C 中圆心到直线的距离为1，即正确；D 中圆心到直线的距离为13>，即不对.答案：C6.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不存在思路解析：由已知1||22=+b a c ,∴a 2+b 2=c 2.故以|a|、|b|、|c|为三条边长的三角形为直角三角形.答案：B7.圆x 2+y 2=16及圆(x-4)2+(y+3)2=k 2(k>0)在交点处的切线互相垂直,则k 等于( )A.5B.4C.3D.22思路解析：由题意和平面几何知识知两圆的交点和两圆圆心的连线构成一个直角三角形.因为两圆心间距离|O 1O 2|=5,又两圆半径分别为4和k,所以k 2+42=52,故k=3.答案：C8.已知定点P(x 0,y 0)不在直线l :f(x ，y)=0上，则f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示一条( )A.过P 点且与l 垂直的直线B.过P 点且与l 平行的直线C.不过P 点且垂直于l 的直线D.不过P 点且平行于l 的直线思路解析：点P(x 0，y 0)不在直线f(x ，y)=0上，则f(x 0，y 0)≠0.因为f(x ，y)=0与f(x ，y)=f(x 0，y 0)表示两条互相平行的直线，又把点P(x 0，y 0)代入f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0适合，所以点P 在直线f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0上,所以f(x ，y)-f(x 0，y 0)=0表示过P 点且与l 平行的直线.答案：B9.一辆货车宽1.6米,要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道,则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( )A.2.4米B.3.5米C.3.6米D.2.0米思路解析：解决该题，需要将半圆形隧道的横截面所对应的圆的方程求出，再加以判断. 建立如图所示坐标系，A(3.6，0)，D(0.8，0)，易知圆的方程为x 2+y 2=3.62.设E(0.8,y)为圆上一点，代入方程可求得y≈3.51.故要使车能通过桥洞，蓬顶距地面的距离不得超过 3.5米.答案：B二、填空题(每小题4分,共20分)10. 若三点A(2,2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a 的值等于_________.思路解析：本题考查利用过两点的直线的斜率公式判断三点共线问题，我们只需利用两点间的斜率相等建立方程即可.由题意可得4124222=⇒-=-==-=a k a k AC AB . 答案：411.过直线l 1:3x-y-5=0,l 2:x+2y-4=0的交点且与直线x+5y-1=0平行的直线方程是__________. 思路解析：由⎩⎨⎧=-+=--,042,053y x y x 可得交点坐标为(2，1).设所求直线方程为x+5y+c=0,将(2，1)代入方程可得c=-7.答案：x+5y-7=012.已知x 、y 为实数，且满足条件x 2+y 2=1,则2x+y 的取值范围是__________.思路解析：设2x+y=b,化为y=-2x+b.求2x+y 的范围,就是求b 的范围，就是求直线y=-2x+b 在y 轴上截距的取值范围.如图所示，设圆心O(0,0)到直线y=-2x+b 的距离为d.显然d=1时，直线y=-2x+b 在y 轴上的截距b 的绝对值最大.此时d=1，所以112||22=+-b ，解得5||=b ，再由图形可知|b|≤5.故b ∈［5-,5］.答案：［5-,5］13.过点P(2,1)总可以作圆x 2+(y +k)2=k+1的两条切线,则k 的取值范围是__________. 思路解析：由题意知点P(2，1)在圆的外部，∴22+(1+k)2>k+1,即k 2+k+4>0,显然恒成立.又考虑到k+1>0，即k>-1.∴k 的范围是k>-1.答案：k>-114.有下列叙述:①在空间直角坐标系中,在x 轴上的点的坐标一定为(0,b,c)②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上的点的坐标一定为(0,b,c)③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标记作(0,0，c)④在空间直角坐标系中,在xOz 平面内的点的坐标记作(a,0,c)其中正确的有_____________.思路解析：①在x 轴上的点的坐标一定为(0,0,c),其余三个均正确.答案：②③④三、解答题(15—16题每题10分，17—18题每题12分，共44分)15.过点P(3,0)有一条直线l ,它夹在两直线l 1:2x-y-2=0与l 2:x+y+3=0之间的线段恰好被点P 平分,求直线l 的方程.思路解析：欲求l 的方程，可有两种思路：一是求其斜率，二是求另一点坐标.解法1：设l 的方程为y=k(x-3),l 与l 1、l 2分别交于点A 、B.由⎩⎨⎧=---=,022),3(y x x k y 得x A =223--k k .由⎩⎨⎧=++-=,03),3(y x x k y 得x B =133+-k k .据P(3,0)为AB 的中点， ∴x A +x B =6,即6223133=--++-k k k k ,解之,得k=8.∴l 的方程为y=8(x-3). 解法2：设l 交l 1、l 2分别于A 、B 两点，且A 点坐标为(x 0,y 0),由于P(3，0)为AB 中点， ∴B(6-x 0,-y 0).将A 、B 两点坐标分别代入l 1、l 2方程可得2x 0-y 0-2=0,x 0+y 0-9=0.解之,得3110=x ,3160=y .l 的方程为y=8x-24. 16.求圆心在直线y=-2x 上,并且经过点A(2,-1)与直线x+y-1=0相切的圆的方程.思路解析：设圆的标准式，由题中有三个独立条件，可得出关于圆心和半径的三个关系式，解出圆心和半径.解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=-+--=r b a r b a a b 2|1|)1()2(,2222解得a=1,b=-2,r 2=2.所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.17.已知直线l 1:ax-by+4=0和l 2:(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a 、b 的值.(1)l 1⊥l 2且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2且原点到l 1、l 2的距离相等.思路解析：考查两直线平行和垂直的条件、点到直线的距离公式.直接利用结论即可. 解：(1)若l 1⊥l 2,则a(a-1)+(-b)×1=0,即a 2-a-b=0.又l 1过点(-3，-1)，∴-3a+b+4=0.解之,得a=2,b=2.(2)若l 1∥l 2,则b b a a 411≠-=-,即a a b -=1.又1)1(||4222+-=+a b b a ,解之,得a=2,b=-2或32=a ,b=2. 18.已知圆C:x 2+y 2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).(1)若点P(m,m+1)在圆C 上,求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任一点,则|MQ|的最大值、最小值分别是多少?(3)若N(a,b)满足关系:a 2+b 2-4a-14b+45=0,求23+-=a b t 的最大值. 思路解析：(1)将P 点代入圆C 的方程，可得出m 的值.(2)运用数形结合考虑，记圆心为C ，则|MQ|max =|QC|+r,|MQ|min =|QC|-r.(3)考虑到23+-a b 具有几何意义，即表示圆C 上的动点(a,b)与定点(-2，3)连线的斜率，故可用数形结合的方法.解：(1)由于P(m,m+1)在圆C 上，所以有m 2+(m+1)2-4m-14(m+1)+45=0,解之,得m=4,∴P(4,5),从而k PQ =312435=+-. (2)圆C 的方程变为(x-2)2+(y-7)2=8.由于Q(-2,3)在圆C 外部,且22)37()22(||-++=QC 24=,如图，由平面几何知识可知|MQ|max =|QC|+r=262224=+,|MQ|min =|QC|-r= 222224=-.(3)由N(a,b)满足的条件可知，N(a, b)在圆C 上.又23+-a b 表示N(a, b)与Q(-2,3)两点连线的斜率.由图可知，t 的最大值为过Q(-2,3)的圆C 的两切线之一的斜率.设切线方程为y-3=k(x+2)，由圆心C(2，7)到其距离为22,知k=2±3.所以t max =2+3.。
2017-2018学年高中数学苏教版必修2第二章平面解析几何初步 测试卷含解析
阶段质量检测(二)平面解析几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)1．点A(2，－3,1)关于点B(－1,0,3)的对称点A′的坐标是____________．2．点P为y轴上一点，且点P到直线3x－4y＋3＝0的距离等于1，则点P的坐标为________．3．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点________．4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相平行，则实数m＝________.5．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．6．三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：x－3y＋2＝0和l3：3x＋ty－1＝0共有两个不同的交点，则t＝________.7．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2－2x＋2y－14＝0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为__________．8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．9．已知以点M(1,3)为圆心的圆C与直线3x－4y－6＝0相切，则该圆C的方程为____________．10．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是________．11．已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.12．与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．14．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}，当A∩B ＝B时，r的取值范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． 16．(14分)求分别满足下列条件的直线方程．(1)经过直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋y ＋1＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.17.(14分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．18．(16分)已知P 是直线上一点，将直线l 绕P 点沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点旋转90°－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)已知实数x ，y 满足直线l 的方程，求x 2＋y 2的最小值．19．(16分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？20．(16分)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．答案1．解析：由中点坐标公式的A ′的坐标是(－4,3,5)． 答案：(－4,3,5)2．解析：依题意，设P (0，y 0)，则d ＝|－4y 0＋3|32＋(－4)2＝1，即|4y 0－3|＝5，解得y 0＝－12或2，所以点P 的坐标为(0，－12)或(0,2)．答案：(0，－12)或(0,2)3．解析：由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13.所以此直线必过定点(－2，－13)．答案：(－2，－13)4．解析：由于两直线平行，故m ＋4＝0，从而m ＝－4，当m ＝－4时，两直线平行． 答案：－45．解析：因为直线3x ＋y －1＝0的斜率为－3，所以直线l 的斜率为13.又直线在x 轴上的截距为－2，即直线l 与x 轴的交点为(－2,0)，所以直线l 的方程为y －0＝13(x ＋2)，即x－3y ＋2＝0.答案：x －3y ＋2＝06．解析：依题意可得l 1∥l 3或l 2∥l 3.若l 1∥l 3，则32＝t 1，解得t ＝32；若l 2∥l 3，则31＝t－3，解得t ＝－9.答案：32或－97．解析：将两圆方程相减得x －y ＋2＝0，此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程． 答案：x －y ＋2＝08．解析：圆心为M (3，－1)，半径为2.圆心到直线x ＝－3的距离为3－(－3)＝6，所以|PQ |的最小值为6－2＝4.答案：49．解析：圆心到直线的距离d ＝|3×1－4×3－6|32＋(－4)2＝3，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝910. 解析：如图，设圆的圆心为C ，则C (3,2)．作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|k 2＋1，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2 ＝24－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥23，即4－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥3，解得－34≤k ≤0.答案：[－34，0]11．解析：设直线斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，圆心(1,0)到直线的距离|k ＋2－2k |k 2＋1＝5，即|2－k |k 2＋1＝5，解得k ＝－12.因为直线与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以k ＝－1a ＝－12，即a ＝2.答案：212．解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条．答案：413．解析：设平面上的点为P ，易知ABCD 为凸四边形，设对角线AC 与BD 的交点为P ′，则|P A |＋|PC |≥|AC |＝|AP ′|＋|P ′C |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|BP ′|＋|P ′D |，当且仅当P 与P ′重合时，上面两式等号同时成立，由AC 和BD 的方程解得P ′(2,4)．答案：(2,4)14．解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0＜r ≤2－ 2.答案：(0,2－ 2 ]15．解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则(x －a )2＋(y －6)2＝r 2，得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2，而r ＝|a －13|5∴(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3或a ＝－7，r ＝25或r ＝4 5.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.16.解：(1)将2x ＋y ＋2＝0与3x ＋y ＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4)． 由所求直线与直线2x ＋3y ＋5＝0平行， 则所求直线斜率为－23，从而所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0. (2)设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0， 令y ＝0得到x ＝－m 4，令x ＝0得到y ＝m3，则S ＝12×m 212＝6，解得m ＝±12.从而所求直线方程为4x －3y ±12＝0.17．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．解：(1)依题意，直线l 过直线l 1：3x －y －4＝0与l 2：x ＋2y ＋1＝0的交点P ， 故可设l 方程为3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0.又直线l 1绕点P 逆时针方向旋转角α到l 1，再绕点P 逆时针方向旋转90°－α到l 2，知l ⊥l 2，由两条直线垂直的条件得3＋λ1－2λ(－12)＝－1⇒λ＝－15，代入3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0得： l 的方程为2x －y －3＝0(2)x 2＋y 2的最小值即为原点O 到直线l 的距离d ＝35＝355.19．解：(1)∵k ＝mm 2＋1，∴km 2－m ＋k ＝0(*)，∵m ∈R ，∴当k ≠0时Δ≥0，解得－12≤k ≤12且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程(*)有解．所以，综上所述－12≤k ≤12.(2)假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°. ∵圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心C (4，－2)到l 的距离为1.故有|4m ＋2(m 2＋1)－4m |m 2＋(m 2＋1)2＝1，整理得3m 4＋5m 2＋3＝0. ∵Δ＝52－4×3×3＜0，∴3m 4＋5m 2＋3＝0无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．20．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2×(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，即圆心C 的坐标为(0,0)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，求得r 2＝2. 于是圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)依题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设l P A ：y －1＝k (x －1)，l PB ：y －1＝－k (x －1)，A 点坐标为(x A ，y A )，B 点坐标为(x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋k 2－2k －1＝0，因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以可得 x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1， 而直线OP 的斜率k OP ＝1，所以k AB ＝k OP ， 所以直线OP 和AB 一定平行．。
苏教版数学必修2：第2章2.2.3知能演练轻松闯关
1.若两圆的方程分别为x 2＋y 2－4x －1＝0，x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0，则两圆的位置关系为________．解析：C 1(2，0)，r 1＝5，C 2(3，－1)，r 2＝5，|C 1C 2|＝2<5－5，故两圆内含． 答案：内含2.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的公切线共有________条． 解析：C 1(－2，2)，r 1＝1，C 2(2，5)，r 2＝6，|C 1C 2|＝5＝r 2－r 1.∴两圆内切，∴公切线只有1条．答案：13.两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0，C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0的公共弦所在直线的方程为________． 解析：法一：求出它们的两个交点A ，B ，再用两点式求出直线AB 的方程．法二：设一个交点为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20－2x 0＝0且x 20＋y 20＋4y 0＝0，两式相减得2x 0＋4y 0＝0，即x 0＋2y 0＝0，也就是直线x ＋2y ＝0过定点(x 0，y 0)．而(x 0，y 0)是任一交点，∴x ＋2y ＝0过任一交点，而过两个点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y ＝0.答案：x ＋2y ＝04.半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：设圆心(a ，b )，由题意有⎩⎨⎧|b |＝6，a 2＋（b －3）2＝6－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. ∴圆心为(±4，6)，又半径为6.∴圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝62.答案：(x －4)2＋(y －6)2＝36或(x ＋4)2＋(y －6)2＝36[A 级 基础达标]1.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0x 2＋y 2＝5， ① ② ②－①得两圆公共弦所在直线方程为x －y －3＝0.∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32. 设公共弦长为l ，∴l ＝25－（32）2＝ 2. 答案： 22.点P 在圆O: x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．解析：如图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时PQ 最小，最小值为P ′Q ′＝OC －r 1－r 2＝1.答案：13.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线的距离d ＝52－322＝2，即为其半径，圆心坐标为(2，2)．所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝24.(2012·南京质检)若a 2＋b 2＝4，则两圆(x －a )2＋y 2＝1与x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心分别为O 1(a ，0)，O 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝1，∴O 1O 2＝a 2＋b 2＝2＝r 1＋r 2，两圆外切．答案：外切5.两圆相交于A (1，3)和B (m ，－1)两点，且两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是________．解析：由题意知，直线AB 与x －y ＋c ＝0相互垂直，则有3＋11－m×1＝－1， ∴m ＝5，∴AB 中点为(3，1)．由圆的性质知，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，即3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，从而m ＋c ＝5－2＝3.答案：36.求过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2－x －y －2＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0.即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(4λ－1)x ＋(－4λ－1)y －8λ－2＝0.因为所求圆过点(3，1)，所以有9(λ＋1)＋(λ＋1)＋3(4λ－1)＋(－4λ－1)－8λ－2＝0.解得λ＝－25.所以所求圆的方程为35x 2＋35y 2－135x ＋35＋65＝0. 即3x 2＋3y 2－13x ＋3y ＋6＝0.7.求两圆x 2＋y 2－2x －6y ＋9＝0和x 2＋y 2－2mx －2(m －1)y ＋2m 2－2m ＝0的圆心距的最小值，并判断当这个圆心距取得最小值时两圆的位置关系．解：将两圆方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －3)2＝1，(x －m )2＋[y －(m －1)]2＝1.两圆圆心距d ＝（m －1）2＋（m －4）2＝2m 2－10m ＋17＝2（m －52）2＋92. 故当m ＝52时，d min ＝322，此时，d ＝322>1＋1， ∴两圆相离． [B 级 能力提升]8.若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是________．解析：∵圆x 2＋y 2＝1的圆心关于直线y ＝x －1的对称点是(1，－1)，它也是圆x 2＋y 2－ax＋2y ＋1＝0的圆心，∴a ＝2，设点P (x ，y )，则有（x ＋2）2＋（y －2）2＝|x |，即y 2＋4x－4y ＋8＝0.答案：y 2＋4x －4y ＋8＝09.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．解析：两圆的方程相减得直线AB 的方程：x ＋3y ＝0.则AB 的垂直平分线的方程是：y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.答案：3x －y －9＝010.从圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0外一点P (a ，b )向圆引切线PT ，T 为切点，且PT ＝PO (O 为原点)，求PT 的最小值及此刻P 的坐标． 解：已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1，∴圆心C 的坐标为(2，3)，半径r ＝1，如图，连结PC ，CT .由平面几何知识，PT 2＝PC 2－CT 2＝(a －2)2＋(b －3)2－1.由已知PT ＝PO ，∴PT 2＝PO 2，即(a －2)2＋(b －3)2－1＝a 2＋b 2，∴2a ＋3b －6＝0，∴b ＝6－2a 3， ∴PT 2＝PO 2＝a 2＋b 2＝a 2＋(6－2a 3)2＝a 2＋49(a －3)2＝19(13a 2－24a ＋36)，∴PT ＝1313a 2－24a ＋36＝1313（a －1213）2＋32413. ∴当a ＝1213时，PT min ＝1332413＝61313，此时P 点的坐标为(1213，1813． 11.(创新题)已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝9.(1)Q ′为PQ 中点，画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B .直线P A ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．解：(1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32，∴Q (4，2)．PQ 中点为Q ′(1，－12)， 半径为r ＝|PQ |2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋12)2＝614(如图所示)． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA ⊥AQ ，∴PA 是圆Q 的切线，同理PB 也是圆Q 的切线．(3)将圆Q 与圆Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0. 即直线AB 的方程为6x ＋5y －25＝0.。
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高中数学苏教版教材目录(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除苏教版-----------------------------------必修-----------------------第1章集合集合的含义及其表示子集、全集、补集交集、并集第2章函数函数的概念函数的概念和图象函数的表示方法函数的简单性质函数的单调性函数的奇偶性映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数指数函数分数指数幂指数函数对数函数对数对数函数幂函数函数的应用函数与方程函数模型及其应用-----------------------------------必修2-----------------------------------第1章立体几何初步空间几何体棱柱、棱锥和棱台圆柱、圆锥、圆台和球中心投影和平行投影直观图画法点、线、面之间的位置关系平面的基本性质空间两条直线的位置关系 1.平行直线2.异面直线直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积空间几何体的体积第2章平面解析几何初步直线与方程直线的斜率直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式两条直线的平行与垂直两条直线的交点平面上两点间的距离点到直线的距离圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离-----------------------------------必修3-----------------------------------第1章算法初步算法的意义流程图顺序结构选择结构循环结构基本算法语句赋值语句输入、输出语句条件语句循环语句算法案例第2章统计抽样方法简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法系统抽样分层抽样总体分布的估计频率分布表频率分布直方图与折线图茎叶图总体特征数的估计平均数及其估计方差与标准差线性回归方程第3章概率随机事件及其概率随机现象随机事件的概率古典概型几何概型互斥事件-----------------------------------必修4-----------------------------------第1章三角函数任意角、弧度任意角弧度制任意角的三角函数任意角的三角函数同角三角函数关系三角函数的诱导公式三角函数的图象和性质三角函数的周期性三角函数的图象与性质函数y=Asin(ωx+ψ)的图象三角函数的应用第2章平面向量向量的概念及表示向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘向量的坐标表示平面向量基本定理平面向量的坐标运算向量的数量积向量的应用第3章三角恒等变换两角和与差的三角函数两角和与差的余弦两角和与差的正弦两角和与差的正切二倍角的三角函数几个三角恒等式-----------------------------------必修5-----------------------------------第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理451．3正弦定理、余弦定理的应用 第2章 数列 2．1数列2．2等差数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的前n 项和2．3等比数列等比数列的概念等比数列的通项公式等比数列的前n 项和 第3章 不等式 3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域 简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 基本不等式的证明基本不等式的应用-----------------------------------选修-------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系四种命题充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词量词含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆椭圆的标准方程椭圆的几何性质2．3双曲线双曲线的标准方程双曲线的几何性质 2．4抛物线抛物线的标准方程抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质 第3章 导数及其应用3．1导数的概念平均变化率瞬时变化率——导数3．2导数的运算常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用单调性极大值和极小值最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修-------------------------第1章 统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理合情推理演绎推理推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明直接证明间接证明 第3章 数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义 第4章 框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2------------------------第1章 常用逻辑用语1．1命题及其关系四种命题充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词量词含有一个量词的命题的否定 第2章 圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆椭圆的标准方程椭圆的几何性质2．3双曲线双曲线的标准方程双曲线的几何性质 2．4抛物线抛物线的标准方程抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程曲线与方程求曲线的方程曲线的交点 第3章 空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算空间向量及其线性运算共面向量定理空间向量基本定理空间向量的坐标表示空间向量的数量积 3．2空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章 导数及其应用1．1导数的概念平均变化率瞬时变化率——导数1．2导数的运算常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用单调性极大值和极小值最大值和最小值1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分曲边梯形的面积定积分微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理合情推理演绎推理推理案例欣赏2．2直接证明与间接证明直接证明间接证明2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充3．2复数的四则运算3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1．1两个基本原理1．2排列1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理二项式定理二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性条件概率事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4------------------------相似三角形的进一步认识平行线分线段成比例定理相似三角形圆的进一步认识圆周角定理圆的切线圆中比例线段圆内接四边形圆锥截线球的性质圆柱的截线圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2-----------------------------------二阶矩阵与平面向量矩阵的概念二阶矩阵与平面列向量的乘法几种常见的平面变换恒等变换伸压变换反射变换旋转变换投影变换切变变换变换的复合与矩阵的乘法矩阵乘法的概念矩阵乘法的简单性质逆变换与逆矩阵逆矩阵的概念二阶矩阵与二元一次方程组特征值与特征向量矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4-----------------------------------直角坐标系直角坐标系极坐标系球坐标系与柱坐标系曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程的意义常见曲线的极坐标方程平面坐标系中几种常见变换平面直角坐标系中的平移变换平面直角坐标系中的伸缩变换参数方程参数方程的意义参数方程与普通方程的互化6参数方程的应用平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5-----------------------------------不等式的基本性质含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式的解法含有绝对值的不等式的证明不等式的证明比较法综合法和分析法反证法放缩法几个著名的不等式柯西不等式排序不等式算术-几何平均值不等式运用不等式求最大（小）值运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值运用柯西不等式求最大（小）值运用数学归纳法证明不等式学习总结报告7。
苏教版数学高一-16-17苏教版数学必修2检测 第2章2.2-2.2.1圆的方程
第2章 平面解析几何初步2.2 圆与方程2.2.1 圆的方程A 组 基础巩固1．圆心是O (－3，4)，半径长为5的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝5B ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25C ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝5D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25解析：将O (－3，4)，r ＝5代入圆的标准方程可得．答案：D2．以点(2，－ 1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9解析：由已知，得圆的半径长r ＝|3×2＋4×1＋5|32＋（－4）2＝155＝3， 故所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.答案：C3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5解析：直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.由⎩⎨⎧x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1，2)，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.答案：C4．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ， b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：配方，得(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，所以方程表示点(－a ，－b )．答案：D5．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( )A ．(4，－6)，16B ．(2，－3)，4C ．(－2，3)，4D ．(2，－3)，16解析：由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.答案：C6．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围为________．解析：由(1－a )2＋(1＋a )2<4，所以2＋2a 2<4.所以a 2<1.答案：(－1，1)7．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是________．解析：由题意可知⎩⎨⎧（－1）2＋12－4m >0，1＋（－1）2－1－1＋m >0，解得0<m <12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 8．点P (a ，10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是________． 解析：（a －1）2＋92>2，即点P (a ，10)在圆外．答案：在圆外9．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________． 解析：将点P 坐标代入得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝4t 2＋（1－t 2）2（1＋t 2）2＝（1＋t 2）2（1＋t 2）2＝1，所以点P 在圆上． 答案：在圆上10．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1，5)，B (－2，－ 2)，C (5，5)，求其外接圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因圆过A ，B ，C 三点，故得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，所以△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.B 级 能力提升11．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )A ．m <12B ．m <0C ．m >12D ．m ≤12解析：由D 2＋E 2－4F >0，得(－1)2＋12－4m >0，即m <12. 答案：A12．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝12B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝12 C ．(x ＋3)2＋(y －2)2＝2D ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝2解析：由x 2＋y 2－2x －1＝0，得(x －1)2＋y 2＝2，则圆心为(1，0)，半径长r ＝ 2.设圆心(1，0)关于直线2x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x 1，y 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y 1x 1－1＝－12，2×1＋x 12－y 12＋3＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝2. 故x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线2x －y ＋3＝0对称的圆的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝2.答案：C13．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1，0)，则|PA |2＋1＝|PB |2，所以(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝214．已知点M 与两个定点A (1，0)，B (3，2)的距离的比值为13，求点M 的轨迹．解：在给定的坐标系中，设M (x ，y )是满足条件的任意一点，则MA MB ＝13.由两点间的距离公式，得（x －1）2＋y 2（x －3）2＋（y －2）2＝13. 两边平方并化简，得x 2＋y 2－32x ＋12y －12＝0， 配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋142＝98. 所以所求轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－14，半径为324的圆． 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________． 解析：因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.答案：(x －2)2＋y 2＝516．已知圆：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，求实数m 的值．解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m 2－6m ＋4＝0，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，原方程为x 2＋y 2＝0，不表示圆，故舍去．当m ＝2时，原方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0表示圆，故所求的实数m 的值为2.17.如图所示，已知点A (0，2)和圆C ：(x －6)2＋(y －4)2＝8，M 和P 分别是x 轴和圆C 上的动点，求|AM |＋|MP |的最小值．解：如图所示，先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心C，A′C交x轴于点M，交圆C于点P，这时|AM|＋|MP|最小．因为A′(0，－2)，C(6，4)，所以|A′C|＝（6－0）2＋（4＋2）2＝6 2.所以|A′P|＝|A′C|－R＝62－22＝42(R为圆的半径)．所以|AM|＋|MP|的最小值是4 2.。
高中数学(苏教版,必修二) 第二章平面解析几何初步 2.2.1第2课时 课时作业(含答案)
第2课时圆的一般方程【课时目标】1．理解圆的一般方程及其特点，会由圆的一般方程求其圆心、半径．2．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用．1．圆的一般方程的定义(1)当__________________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为____________，半径为____________．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点____________．(3)当____________时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．，则其位置关系如下表：一、填空题1．圆2x2＋2y2＋6x－4y－3＝0的圆心坐标为________，半径为________．2．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是________．3．M(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋10＝0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是__________．4．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为________．5．已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，则原点O与圆的位置关系为____________．6．圆x2＋y2－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3,1)，则直线AB的方程为__________．7．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．二、解答题10．平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一个圆上？11．如果方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆． (1)求t 的取值范围；(2)求该圆半径r 的取值范围．能力提升12．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．13．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．第2课时 圆的一般方程 答案知识梳理1．(1)D 2＋E 2－4F >0 ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 12D 2＋E 2－4F (2)⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2(3)D 2＋E 2－4F <0 2．作业设计1．⎝⎛⎭⎫－32，1 192解析 由一般方程圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F 两公式易得答案． 2．m <1解析 表示圆应满足D 2＋E 2－4F >0． 3．x －y －3＝0解析 过M 最长的弦应为过M 点的直径所在直线． 4． 2解析 先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之． 5．点O 在圆外 6．x ＋y －4＝0解析 圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2,0)，半径为3．AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1．∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0． 7．(0，－1)解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2．当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)． 8．－2解析 由题意知圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2应在直线l ：x －y ＋2＝0上，即－1＋a2＋2＝0， 解得a ＝－2． 9．20 6解析 点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径，∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝206．10．解 设过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D －5E －F ＝265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4E ＝－2F ＝－20．所以过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0． 将点D (－2，－1)代入上述方程等式不成立． 故A 、B 、C 、D 四点不能在同一个圆上．11．解 (1)方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0表示一个圆必须有：D 2＋E 2－4F ＝4(t ＋3)2＋4(1－4t 2)2－4(16t 4＋9)>0，即：7t 2－6t －1<0，∴－17<t <1．(2)该圆的半径r 满足：r 2＝D 2＋E 2－4F 4＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－(16t 4＋9)＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝⎛⎭⎫t －372＋167， ∴r 2∈⎝⎛⎦⎤0，167，∴r ∈⎝⎛⎦⎤0，477． 12．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2， 所以D ＋E ＝－2． ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．13．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y ．因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1， 则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14． 所以点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝14．。
苏教版高中数学必修二2.2.1圆的方程.docx
2.2.1圆的方程
一、填空题
1、圆2)3()2(22=++-y x 的圆心和半径分别是____________ (2,-3), 2
2、过两点P (2,2),Q (4,2)且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是___2)3()3(22=-+-y x
3、方程052422=+-++m y x y x 表示圆的条件是___________________1<m
4、圆034222=++-+y x y x 的圆心到直线x-y=1的距离为___________2
5、圆0222222=-++y x y x 关于y=x 对称的圆的方程_________
6、)0,3(M 是圆0102822=+--+y x y x 内一点，过M 点最长的弦所在的直线
方程是_______ x-y-3=0
7、已知点)1,6(),5,4(---B A ，则以线段AB 为直径的圆的方程____(x-1)2+(y+3)2=29
8、若实数x 、y 满足042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值是____5+3
9、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1)，则直线AB 的方程是_x+y-4=0
二、解答题：
10、求经过点)2,3(),2,5(B A ，圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程。
答案：(x-4)2+(y-5)2=10
11、求经过三点)2,4(),4,1(),1,1(--C B A 的圆的方程。
答案：x 2+y 2-7x-3y+2=0
12、已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射
到圆周C 的最短路程。
答案：8。
苏教版高考数学必修2同步教学PPT课件第2章 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程
2
2
合 作 探 究 • 攻 重 难
32 5 2 － ＋ －2 ＝2 2 2
2 2
当 堂 达 标 • 固 双 基
10，
课 时 分 层 作 业
∴a＝ 10.又 c＝2，∴b ＝a －c ＝6， y2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为10＋ 6 ＝1.
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自 主 预 习 • 探 新 知
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[自 主 预 习· 探 新 知]
教材整理 椭圆的标准方程
阅读教材 P30～P31 思考上面内容，完成下列问题．
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
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焦点在 x 轴上 标准方程 x2 y 2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
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[解析] (1)(2)明显正确； x2 y2 (3)m＋ n ＝1 中，当 m＝n>0 时方程表示圆，故错误； (4)方程 y2 的分母大于 x2 的分母，故椭圆的焦点在 y 轴上，故错误； x2 2 (5)方程 4 ＋y ＝1 中，a＝2，所以 PF1＋PF2＝4.所以错误； (6)因为 a2－b2＝12－8＝4，所以 c＝2，即焦点坐标为(± 2，0)，故正确．
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y2 x2 ②若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)， 5 2 2 2 2＝1， a ＝6， y x 则有b 解得 2 故椭圆的标准方程为 6 ＋ 5 ＝1. 2 2 b ＝5. a － b ＝ 1 ， x2 y2 y2 x 2 故所求椭圆的方程是 5 ＋ 4 ＝1 或 6 ＋ 5 ＝1.
2018-2019数学苏教版必修2 第2章2.2.3 圆与圆的位置关系 作业
[学业水平训练]1．两圆相交于点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线l ：x －y ＋c ＝0上，则m ＋c ＝________.解析：由题意可知，AB ⊥l ，由于k 1＝1，故k AB ＝－1，即3＋11－m＝－1，解得m ＝5. 又AB 的中点在直线l 上，故3－1＋c ＝0，解得c ＝－2.所以m ＋c ＝5－2＝3.答案：32．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y－1)2＝254所截得的弦长为________． 解析：由题意圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 为x ＋y －1＝0.圆C 3的圆心为(1,1)，其到l 的距离d ＝12.由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，∴弦长为2×232＝23. 答案：233．点P 在圆O: x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．解析：如图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时PQ 最小，最小值为P ′Q ′＝OC －r 1－r 2＝1.答案：14．若a 2＋b 2＝4，则两圆(x －a )2＋y 2＝1与x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________． 解析：∵两圆的圆心分别为O 1(a,0)，O 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝1，∴O 1O 2＝a 2＋b 2＝2＝r 1＋r 2，两圆外切．答案：外切5．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C 1C 2＝________. 解析：依题意，可设与两坐标轴相切的圆的圆心坐标为(a ，a )，半径长为r ，其中r ＝a ＞0，因此圆的方程是(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，由圆过点(4,1)得(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，即a 2－10a ＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C 1，C 2的横坐标，所以C 1C 2＝2×102－4×17＝8. 答案：86．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线的距离d ＝52－322＝2，即为其半径，圆心坐标为(2,2)．所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝27．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x －4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系．解：法一：圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0， ①x 2＋y 2－4x －4y －2＝0. ② ①－②得x ＋2y －1＝0，即y ＝1－x 2. ③ 把③代入①，并整理，得x 2－2x －3＝0, ④其判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有两个不相等的实数根x 1，x 2，把x 1，x 2分别代入方程③，得到y 1，y 2，因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以两圆相交．法二：把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25.圆C 1的圆心是点(－1，－4)，半径长r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y －2)2＝10，圆C 2的圆心是点(2,2)，半径长r 2＝10.圆C 1与圆C 2的连心线的长为(－1－2)2＋(－4－2)2＝35， 圆C 1与圆C 2的两半径长之和是r 1＋r 2＝5＋10，两半径长之差r 1－r 2＝5－10.而5－10<35<5＋10，即r 1－r 2<35<r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相交，它们有两个公共点．所以圆C 1与圆C 2相交．8．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．(1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程；(2)若圆O 2与圆O 1交于A 、B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程．解：(1)由两圆外切，∴O 1O 2＝r 1＋r 2，r 2＝O 1O 2－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－82，两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)设圆O 2的方程为：(x －2)2＋(y －1)2＝r 22. ∵圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程：4x ＋4y ＋r 22－8＝0.①作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2， O 1H ＝O 1A 2－AH 2＝22－(2)2＝ 2.又圆心(0，－1)到直线①的距离为|r 22－12|42＝2， 得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20. [高考水平训练]1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：如图，设两圆的公共弦为AB ，AB 交y 轴于点C ，连结OA ，则OA ＝2.把x 2＋y 2＝4与x 2＋y 2＋2ay －6＝0相减，得2ay ＝2，即y ＝1a为公共弦AB 所在直线的方程，所以OC ＝1a.因为AB ＝23，所以AC ＝3，在Rt △AOC 中，OC 2＝OA 2－AC 2，即1a 2＝4－3＝1，因为 a ＞0，所以a ＝1. 答案：12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 解析：x 2＋y 2－8x ＋15＝0化成标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则该圆的圆心为M (4,0)，半径长为1.若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径长的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1即可，所以有d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43(依据二次函数y ＝3x 2－4x 的图象求解)，所以k 的最大值是43. 答案：433．已知经过点A (1，－3)，B (0,4)的圆C 与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交，它们的公共弦平行于直线2x ＋y ＋1＝0，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则两圆的公共弦方程为(D ＋2)x ＋(E ＋4)y ＋F －4＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋2E ＋4＝－2，D －3E ＋F ＋10＝0，4E ＋F ＋16＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝6，E ＝0，F ＝－16.∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋6x －16＝0，即(x ＋3)2＋y 2＝25.4．已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝9.(1)Q ′为PQ 中点，画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B .直线PA ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．解：(1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32，∴Q (4,2)．PQ 中点为Q ′(1，－12)，半径为r ＝PQ 2＝612， 故以Q ′为圆心的圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋12)2＝614(如图所示)． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA⊥AQ，∴PA是圆Q的切线，同理PB也是圆Q的切线．(3)将圆Q与圆Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0. 即直线AB的方程为6x＋5y－25＝0.。
高中苏教版数学必修2 第2章 2.2 2.2.1 第2课时 圆的一般方程课件PPT
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1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状． [解] 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)， 半径为 a2－1的圆； 当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)； 当－1<a<1时，此方程不表示任何曲线．
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自主预习 探新知
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1．圆的一般方程的定义
(1)当 D2＋E2－4F>0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的
一般方程，其圆心为
－D2 ，－E2
，半径为
1 2
D2＋E2－4F ．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 __－__D2_，__－__E2__ __．
(3)当 D2＋E2－4F<0 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示 任何图形．
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思考：圆的一般方程具有怎样的特点？
提示：(1)x2，y2项的系数均为1； (2)没有xy项； (3)D2＋E2－4F>0.
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2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－ 4F>0)，则其位置关系如下表：
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Hale Waihona Puke 圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)， B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方 程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．
思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求 解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
2017-2018学年高中数学苏教版必修2模块综合检测卷含解析
模块综合检测[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)1．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行；③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0.若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为________．3．已知两条直线a，b与两个平面α，β，b⊥α，则下列命题中正确的是________．①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b⊥β，则α∥β；④若α⊥β，则b∥β；4．直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为________．5．已知一个圆锥的母线长是5 cm，高为4 cm，则该圆锥的侧面积是________．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A －BB1D1D的体积为________cm3.7．若直线x＋ay－2a－2＝0与直线ax＋y－a－1＝0平行，则实数a＝________.8．圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________．9．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．10．已知直线l ：y ＝－3(x －1)与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内交于点M ，且l 与y 轴交于点A ，则△MOA 的面积等于________．11．已知直线l ⊥平面α，有以下几个判断： ①若m ⊥l ，则m ∥α；②若m ⊥α，则m ∥l ； ③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α. 上述判断中正确命题的序号是________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－(6－2m)·x －4my ＋5m 2－6m ＝0，直线l 经过点(1,0)．若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线l 的方程为________．13．(新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA 为半径的球的表面积为________．14．直线l ：y ＝x ＋b 与曲线c ：y ＝1－x 2仅有一个公共点，则b 的取值范围________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m ，n 的值，使 (1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.16．(14分)已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r>0)与直线x －y ＋22＝0相切． (1)求圆O 的方程； (2)过点(1，33)的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程； 17.(14分)(陕西高考)如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积．18．(16分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，直线l ：x ＋2y ＝0，求经过圆C 1和C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．19．(16分)在如图所示的几何体中，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直，M 为AF 的中点，BN ⊥CE.(1)求证：CF ∥平面MBD ； (2)求证：CF ⊥平面BDN.20．(16分)(广东高考)如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ； (2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F-DEG 的体积V F-DEG . 答案1．解析：对于①，两条直线与同一个平面所成角相等，根据线面角定义，可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面，故①错；对于②，若三点在同一条直线上，则两平面可能相交，故②错；对于③，设α∩β＝l ，m ∥α，m ∥β，利用线面平行的性质定理可以证明m ∥l ，故③正确；对于④，两平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可能相交，也可能平行，故④错，所以选③.答案：③2．解析：l 2与y 轴交于点(0，43)，∴将该点代入l 1的方程，得C ＝－4.答案：－43．解析：对于①：a ∥α，在α内存在a ′∥a ，又b ⊥α，∴b ⊥a ′，∴b ⊥a 正确；对于②：a 还可以在α内；对于③：b ⊥β，b ⊥α，∴α∥β，正确；对于④：b ⊂β或b ∥β，故错误．答案：①③4．解析：圆心(1,2)，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，半径r ＝5，所以截得的弦长为2(5)2－12＝4.答案45．解析：由于圆锥的母线长是5 cm ，高为4 cm ，所以其底面半径为3 cm ，其侧面积S侧＝12×2×3π×5＝15 π(cm 2)． 答案：15π cm 26．解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.答案：67．解析：两直线平行，故1a ＝a 1≠2a ＋2a ＋1，得a ＝1.答案：18．解析：据已知过点P 且与直线l 垂直的直线方程为y ＝x －5，由圆的几何性质可知圆心为直线y ＝x －5与y ＝－4x 的交点，即圆心坐标为A (1，－4)，故半径为点A 到直线x ＋y －1＝0的距离，即r ＝42＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝89．解析：VB －B 1EF ＝VB 1－BEF ＝13×12×1×1×2＝13.答案：1310．解析： 依题意，直线l ：y ＝－3(x －1)与y 轴的交点A 的坐标为(0，3)．由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，y ＝－3(x －1)得，点M 的横坐标x M ＝12，所以△MOA 的面积为S ＝12|OA |×x M ＝12×3×12＝34. 答案3411．解析：对①，若m ⊥l ，则m ∥α或m ⊂α，故①错误；②正确；③正确；④正确． 答案：②③④12．解析：将圆的方程化为标准方程得[x －(3－m )]2＋(y －2m )2＝9， 所以圆心C 在直线y ＝－2x ＋6上．直线l 被圆截得的弦长为定值，即圆心C 到直线l 的距离是定值， 即直线l 过(1,0)且平行于直线y ＝－2x ＋6， 故直线l 的方程是y ＝－2(x －1)，即为2x ＋y －2＝0.答案2x ＋y －2＝013．解析：过O 作底面ABCD 的垂线段OE ，则E 为正方形ABCD 的中心．由题意可知13×(3)2×OE ＝322，所以OE ＝322，故球的半径R ＝OA ＝OE 2＋EA 2＝6，则球的表面积S ＝4πR 2＝24π.答案：24π14. 解析：曲线c 如图，要使l ：y ＝x ＋b 与曲线仅有一个交点，需要－1≤b ＜1或b ＝ 2.答案：{b |b ＝2或－1≤b ＜1}15．解：(1)由题意知：P 在直线l 1，l 2上 ∴⎩⎨⎧m ·m ＋8·(－1)＋n ＝0，2·m ＋m ·(－1)－1＝0，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝7.(1)∵l 1∥l 2∴A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0， 即⎩⎨⎧m ·m －2×8＝0，8×(－1)－m ×n ≠0，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2，或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(2)由l 1在y 轴上的截距为－1得： m ·0＋8×(－1)＋n ＝0，∴n ＝8. 又l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即m ×2＋8m ＝0，∴m ＝0.∴⎩⎨⎧m ＝0，n ＝8.16．解：(1)由题意知，圆心O 到直线x －y ＋22＝0的距离d ＝2212＋(－1)2＝2＝r ，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －33＝k (x －1)，即3kx －3y ＋3－3k ＝0， 由题意知，圆心到直线l 的距离d 1＝|3－3k |9k 2＋9＝1，所以k ＝－33， 则直线l 的方程为x ＋3y －2＝0.所以所求的直线l 的方程为x ＝1或x ＋3y －2＝0.(3)设A (x A,0)，B (x B ，y B )．由题意知，A (－2,0)，设直线AB ：y ＝k 1(x ＋2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x ＋2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2＋4k 21x ＋4k 21－4＝0， 所以x A ·x B ＝4k 21－41＋k 21，所以x B ＝2－2k 211＋k 21，y B ＝4k 11＋k 21，即 B (2－2k 211＋k 21，4k 11＋k 21)， 因为k 1k 2＝－2，用－2k 1代替k 1，得C (2k 21－84＋k 21，－8k 14＋k 21)， 所以直线BC 的方程为y －－8k 14＋k 21＝4k 11＋k 21－－8k 14＋k 212－2k 211＋k 21－2k 21－84＋k 21(x －2k 21－84＋k 21)， 即y －－8k 14＋k 21＝3k 12－k 21(x －2k 21－84＋k 21)， 得y ＝3k 12－k 21x ＋2k 12－k 21＝3k 12－k 21(x ＋23)， 所以直线BC 恒过定点(－23，0)．17.解：(1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1. 又BD ⊄平面CD 1B 1，∴BD ∥平面CD 1B 1.∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴A 1BCD 1是平行四边形，∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B ⊄平面CD 1B 1，∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1.(2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD -A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1. 又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD -A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.18．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0，得圆C 1和C 2的交点A (0,2)，B (85，65)，可求得线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y ＝0， 则所求圆的圆心C 在此直线上．设所求圆的圆心C 的坐标为(a,2a )，由点C 到点A 的距离等于点C 到直线l 的距离且等于半径，得a 2＋(2a －2)2＝|a ＋4a |5，得a ＝12，圆心C 的坐标为(12，1)，半径为52，故所求圆的方程为(x －12)2＋(y －1)2＝54.19．证明：(1)连结AC 交BD 于点O ，连结OM .因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 的中点，因为M 为AF 的中点，所以FC ∥MO ，又因为MO ⊂平面MBD ，FC ⊄平面MBD ， 所以FC ∥平面MBD .(2)因为正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直， 所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥BD .又因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .因为AC ∩AF ＝A ，所以BD ⊥平面ACF ，因为FC ⊂平面ACF ，所以FC ⊥BD ， 因为AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ，所以AB ⊥平面BCE . 因为BN ⊂平面BCE ，所以AB ⊥BN ，易知EF ∥AB ，所以EF ⊥BN ， 又因为EC ⊥BN ，EF ∩EC ＝E ，所以BN ⊥平面CEF ， 因为FC ⊂平面CEF ，所以BN ⊥FC ， 因为BD ∩BN ＝B ，所以CF ⊥平面BDN .20．解：(1)证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝AC . ∵AD ＝AE ，∴AD DB ＝AEEC ，∴DE ∥BC ，∴DG ∥BF ，在题图2中，DG ⊄平面BCF ， ∴DG ∥平面BCF . 同理可证GE ∥平面BCF .∵DG ∩GE ＝G ，∴平面GDE ∥平面BCF ，又DE ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明：在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点， ∴AF ⊥FC ， ∵BF ＝FC ＝12BC ＝12.在题图2中，∵BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋FC 2， ∴∠BFC ＝90°，∴FC ⊥BF . ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF . (3)∵AD ＝23，∴BD ＝13，AD ∶DB ＝2∶1，在题图2中，AF ⊥FC ，AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面BCF ， 由(1)知平面GDE ∥平面BCF ，∴AF ⊥平面GDE . 在等边三角形ABC 中，AF ＝32AB ＝32， ∴FG ＝13AF ＝36，DG ＝23BF ＝23×12＝13＝GE ，∴S △DGE ＝12DG ·EG ＝118，∴V F -DEG＝13S △DGE ·FG ＝3324.。
高中数学(苏教版必修2)同步文档第2章 2.1.5 2.1.6 学业分层测评18 Word版含解析
学业分层测评(十八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．△三个顶点的坐标(－)，()，()，则边的中线的长为．【解析】的中点坐标为()，∴＝＝.【答案】．已知点(－)，()，点在轴上，且＝，则点的坐标为．【解析】设()，则由＝，得＝，解得＝，所以()．【答案】()．分别过点(－)和点(，－)的两条直线均垂直于轴，则这两条直线间的距离是．【解析】两直线方程为＝－，＝，＝－(－)＝.【答案】．过点()，且与原点距离最大的直线的方程为．【解析】此直线为过()且与垂直的直线，＝，故直线方程为－＝－(－)，即＋－＝.【答案】＋－＝．与直线＋＋＝平行且距离为的直线方程为．【解析】设所求直线方程为＋＋＝.由两平行线间的距离公式得＝，∴－＝，即＝或＝－.即所求直线方程为＋＋＝或＋－＝.【答案】＋＋＝或＋－＝．将一张画有平面直角坐标系且两轴单位长度相同的纸折叠一次，使点()与点(－)重合，若点()与点(，)重合，则＋的值为．【解析】点()与点(－)的垂直平分线为折叠线，直线必与直线平行，即＝，∴＝＝－，整理得＋＝.【答案】．已知(，－)，(，－)，点在直线＋＝上，若使＋取最小值，则点坐标是.【导学号：】【解析】∵点(，－)关于＋＝的对称点为′(，－)，′的直线方程为：－－＝，联立(\\(－－＝，＋＝，))得(\\(＝()，＝－()，))得点的坐标是.【答案】．已知两点()，(－)，点为直线－－＝上的动点，则使＋取最小值时点的坐标为．【解析】因为为直线－－＝上的点，所以可设的坐标为(－)，由两点的距离公式得＋＝(－)＋(－)＋(＋)＋(－)＝－＋，∈.令()＝－＋＝＋≥，所以＝时，＋最小，故.【答案】二、解答题．两条互相平行的直线分别过点()和(－，－)，如果两条平行直线间的距离为，求：()的变化范围；()当取最大值时，两条平行直线的方程．【解】()如图，当两条平行直线与垂直时，两平行直线间的距离最大，为＝＝＝，当两条平行线各自绕点，逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于，所以<≤，即所求的的变化范围是(]．()当取最大值时，两条平行线都垂直于，所以＝－＝－＝－，故所求的平行直线方程分别为－＝－(－)和＋＝－(＋)，即＋－＝和＋＋＝.．直线过点()，且被两条平行线：＋－＝，：＋＋＝所截得的线段长为，求的方程.。
苏教版高中数学必修二：2.2《圆的标准方程》测试.docx
第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程第一课时 圆的标准方程一、选择题1、以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（ ）A 、25)4()5(22=-++y xB 、16)4()5(22=++-y xC 、16)4()5(22=-++y xD 、25)4()5(22=++-y x2、一条直线过点P （-3，23-），且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（ ）A 、3-=xB 、233-=-=y x 或 C 、015433=++-=y x x 或 D 、01543=++y x3、过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（ ）A 、4)1()3(22=++-y xB 、4)1()1(22=-+-y xC 、4)1()3(22=-++y xD 、4)1()1(22=+++y x 4、已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0φa ），有直线l ：03=+-y x ，当直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（ ）A 、12-B 、2-2C 、2D 、12+二、填空题5．已知圆心在x 轴上，半径是5且以A （5，4）为中点的弦长是52，则这个圆的方程是_________．6．已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程是_______．三、解答题7、求圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3）的圆的方程。
8．已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程．。
苏教版高中数学必修二同步练测：第2章 2.2 圆与方程
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2章 2.2 圆与方程 同步测试试卷（数学苏教版必修2）一、填空题（本题包括8小题，每小题5分，共40分）1.直线x －y +3=0被圆（x +2）2+（y －2）2=2截得的弦长等于__________.2.圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0 的位置关系是_________.3.过点P （2，1）作圆C ：x 2+y 2－ax +2ay +2a +1=0的切线有两条，则a 的取值范围是___________. 4．设直线032=--y x 与y 轴的交点为P ，点P把圆25)1(22=++y x 的直径分为两段，则其长度之比为____________. 5.圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是_____________.6．如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx的最大值是_________. 7.已知两圆,10:221=+y x C01422:222=-+++y x y x C .求经过两圆交点的公共弦所在的直线方程__ ____．8．过点M （0，4）、被圆4)1(22=+-y x 截得的线段长为32的直线方程为 _ _．二、解答题（本题共5小题，共60分。
解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位）9．（12分）已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l ()R m ∈.（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程． 建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟100分10．（12分）一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径长30 km 的圆形区域．已知港口位于台风正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？11．（12分）已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．12.（12分）已知圆2260x y x y m ++-+=和直线230x y +-=交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．13.（12分）求圆心在直线0x y +=上，且过两圆22210240x y x y +-+-=，22x y ++28=0交点的圆的方程．第2章 2.2 圆与方程同步测试试卷（数学苏教版必修2）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4.5. 6. 7. 8.二、解答题9.10.11.12.13.第2章 2.2 圆与方程 同步测试试卷（数学苏教版必修2）答案一、填空题1. 解析：圆心为（-2，2），圆心到直线的距离为，圆的半径为，由勾股定理求出弦长的一半为，所以弦长为.2.相离 解析：由圆x 2+y 2+2x+6y+9=0与圆x 2+y 2-6x+2y+1=0，分别化为标准形式得（x+1）2+（y+3）2=1，（x-3）2+（y+1）2=9，所以得到圆心坐标分别为（-1，-3）和（3，-1），半径分别为r=1和R=3，则两圆心之间的距离d=,所以两圆的位置关系是相离．3. -3<a≤，或a≥2 解析：由题意可知，点P 在圆C 外部，则有4+1-2a+2a+2a+1>0,故a>-3. 将圆的方程化成+=-2a-1,应有-2a-1≥0,解得a≤或a≥2.综上，-3<a≤，或a≥2.4. 7:3或3：7 解析：可先求得P 点的坐标为(0,），由图可先求得PC 的距离为2，且圆的半径为5，所以可知|PA|=R+|PC|=5+2=7，|PB|=R-|PC|=5-2=3，所以两段的比为7:3或3：7.5. (x+7)²+(y+1)²=1 解析：x²+y²-2x-6y+9=0化成标准形式：(x-1)²+(y-3)²=1,圆心为(1,3)，半径为 r 1=1. 设对称圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r,圆心为(a,b)，则半径r 2=1. ∵对称圆与圆x²+y²-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称, 即对称圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称, =,化简得a-2b+5=0. ①2×++5=0,化简得2a+b+15=0. ②①+2②得a=-7.将 a=-7代入①中可得b=-1. 所以对称圆的方程是(x+7)²+(y+1)²=1.6. 解析：令=k,y=kx,则问题是直线和圆有公共点时，直线斜率的最大值. y=kx 恒过原点，且原点在圆外，所以斜率的最大值应该在直线是切线时取到. +=3,圆心(2,0),半径r=,圆心到切线距离等于半径,所以=,平方得4=3(+1),=3,所以k 最大=.所以的最大值是．7. 02=-+y x 解析：C 2方程－C 1方程，即得到经过两圆交点的公共弦所在的直线方程,即y=2. 8. x =0或15x ＋8y －32=0 解析：①k 存在时，设直线L ：y-4=kx,圆心到直线距离d=,,k=,y-4=x,15x+8y-32=0;②k 不存在时，直线L ：x=0． 二、解答题9．解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m , 所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3(.又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d ,所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长. 此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以.即最短弦长为54.又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为2.此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即 10．解：我们以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为22230x y +=①. 轮船航线所在直线l 的方程为17040x y +=，即472800x y +-=②.如果圆O 与直线l 有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果 O 与直线l 无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向． 由于圆心O （0，0）到直线l 的距离 ， 所以直线l 与圆O 无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．11．解：由01220503206222=++-⇒⎩⎨⎧=-+=+-++m y y y x m y x y x ，⎪⎩⎪⎨⎧+==+∴51242121m y y y y . 又OP ⊥OQ ，∴ x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1x 2=96(y 1+y 2)+4y 1y 2= 5274-m ，∴05125274=++-mm ，解得m =3. 12．解：将32x y =-代入方程2260x y x y m ++-+=，得2520120y y m -++=．设P ()11,x y ，Q ()22,x y ，则12,y y 满足条件：1212124,5m y y y y ++==． ∵ OP ⊥OQ , ∴12120,x x y y +=而1132x y =-，2232x y =-，∴()121212964x x y y y y =-++．∴3m =，此时Δ0>，圆心坐标为（－12，3），半径52r =．13.解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）将两圆的方程联立得方程组22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩，xyPQO因所求圆心在直线0x y +=上，故设所求圆心坐标为(,)x x -，则它到上面的两个交点 （－4，0）和（0，2）的距离相等，故有2222(4)(0)(2)x x x x --++=++，即412x =-，∴3x =-，3y x =-=，从而圆心坐标是（－3，3）．又22(43)310r =-++=， 故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）同解法一求得两交点坐标A （－4，0），B （0，2），弦AB 的中垂线为230x y ++=， 它与直线0x y +=交点（－3，3）就是圆心，又半径10r =，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=． 解法三：（用待定系数法求圆的方程） 同解法一求得两交点坐标为A （－4，0），B （0，2）．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=，因两点在此圆上，且圆心在0x y +=上，所以得方程组 222222(4)(3)0a b r a b r a b ⎧--+=⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得3310a b r ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的方程为22(3)(3)10x y ++-=．解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？） 设所求圆的方程为222221024(228)0x y x y x y x y λ+-+-++++-=(1)λ≠-，即 222(1)2(5)8(3)0111x y x y λλλλλλ-+++-+-=+++．可知圆心坐标为15(,)11λλλλ-+-++． 因圆心在直线0x y +=上，所以15011λλλλ-+-=++，解得2λ=-．将2λ=-代入所设方程并化简，求得圆的方程为226680x y x y ++-+=．。
高中数学必修二(苏教版)练习：2.2.3
课时训练22圆与圆的位置关系1.两圆x2+y2+2x-4y+3=0与x2+y2-4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是()A.B.C.4D.4解析：由x2+y2+2x-4y+3=0得(x+1)2+(y-2)2=2,由x2+y2-4x+2y+3=0得(x-2)2+(y+1)2=2,两圆圆心距为=3,故两圆外离,则两圆上的点之间的最短距离是3.★答案★：A2.两圆x2+y2-6x+8y-75=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数是()A.1B.2C.3D.4解析：将两圆化为标准式有:(x-3)2+(y+4)2=102和(x+2)2+(y-4)=82.两圆圆心距为.两半径之和为10+8=18,两半径之差为10-8=2,由<18,且>2,知两圆相交,所以两圆的公切线条数是2.★答案★：B3.若圆(x-a)2+(y-b)2=c2和圆(x-b)2+(y-a)2=c2相切,则a,b,c之间的关系是()A.a=b+cB.(a-b)2=c2C.(a+b)2=c2D.(a-b)2=2c2解析：由两圆半径相等,知两圆外切,两圆外切⇔两圆圆心距等于两半径之和, ∴=2c,∴(a-b)2=2c2.★答案★：D4.若圆(x-a)2+(y-b)2=4始终平分圆x2+y2+2x+2y-1=0的周长,则动点M(a,b)的轨迹方程是()(导学号51800157)A.(a+1)2+b2=1B.a2+(b+1)2=1C.(a+1)2+(b+1)2=1D.a2+b2=1解析：由题意知圆x2+y2+2x+2y-1=0的直径应是圆(x-a)2+(y-b)2=4的一条弦,所以在圆(x-a)2+(y-b)2=4内,弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形,所以弦心距d==1,所以动点M(a,b)的轨迹方程是(a+1)2+(b+1)2=1.★答案★：C5.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为.解析：设所求圆的半径为r,圆心(a,b),则有b=r=6,且=r-1.解之,得a=±4.∴所求圆的方程为(x±4)2+(y-6)2=36.★答案★：(x±4)2+ (y-6)2=366.圆心为(2,1)且与已知圆x2+y2-3x=0的公共弦所在直线经过点(5,-2)的圆的方程为.(导学号51800158)解析：设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,①已知圆的方程为x2+y2-3x=0.②②-①得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0,又此直线经过点(5,-2),∴5-4-5+r2=0,∴r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.★答案★：(x-2)2+(y-1)2=47.求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.解圆C:(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为C(-5,-5),半径为5.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则有于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.8.求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程.(导学号51800159)解(方法一)联立两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.再由联立得两交点坐标A(-1,2),B(5,-6).∵所求圆以AB为直径,∴圆心是AB的中心点M (2,-2),圆的半径为r=AB=5.于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25.(方法二)设所求圆的方程为x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数),得圆心C.∵圆心C在公共弦AB所在直线上,∴4×+3×-2=0.解得λ=.∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.9.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0,圆C2:x2+y2-2ax-2by+a2-1=0.当a,b变化时,圆C2始终平分圆C1的周长,求圆C2的面积最小时圆的方程.(导学号51800160)解将两圆方程相减,得到两圆相交弦所在直线方程为2(1+a)x+2(1+b)y-a2-1=0.由于圆C2始终平分圆C1的周长,因此C1(-1,-1)必在相交弦所在直线上,∴2(1+a)×(-1)+2(1+b)×(-1)-a2-1=0,即b=-.由圆C2方程,得r=,∴S=πr2=π(1+b2)=π+π×=π+[(a+1)2+4]2.∴当a=-1时,S取最小值5π,此时b=-2, ∴圆C2的方程为x2+y2+2x+4y=0.。
苏教版数学高一-2017高中 必修二训练 第二章 平面解析几何初步(过关检测)
第2章过关检测(满分:100分时间:45分钟)一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.如果直线mx+3y-1=0与直线x-y+5=0互相垂直,那么m等于()A.1B.2C.3D.4解析：由两直线垂直得m·1+3×(-1)=0,解得m=3.答案：C2.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角为,则m的值为()A.3B.4C.5D.6解析：直线的斜率k==tan=1,解得m=3.答案：A3.(2016河南洛阳八中段考试题)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心C在x轴上,则圆C的方程为()A. (x-2)2+y2=50B.(x+2)2+y2=10C.(x+2)2+y2=50D.(x-2)2+y2=10解析：易得线段AB的垂直平分线为2x-y-4=0.∵圆心在此垂直平分线上,令y=0,得x=2, ∴圆心为(2,0),半径为,∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案：D4.点P(-3,2,-1)关于平面xOy的对称点的坐标为()A.(3,-2,1)B.(3,-2,-1)C.(-3,2,-1)D.(-3,2,1)解析：P(x,y,z)关于平面xOy的对称点坐标是(x,y,-z).答案：D5.(2016课标全国高考甲卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()(导学号51800169)A.-B.-C.D.2解析：圆的方程可化为(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).由点到直线的距离公式,得d==1,解得a=-,故选A.答案：A6.已知a,b,c是某一直角三角形的三条边,c为斜边,若点(m,n)在直线ax+by+2c=0上,则m2+n2的最小值为()A.2B.3C.4D.5解析：由题意知c2=a2+b2,am+bn+2c=0,m2+n2的几何意义是点(m,n)到原点(0,0)的距离的平方,当连结原点与点(m,n)的直线与直线ax+by+2c=0垂直时,m2+n2取得最小值,最小值为=4.答案：C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)7.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为.(导学号51800170)解析：直线方程可化为a(x+1)+1-x-y=0,所以解得则圆心C的坐标为(-1,2),则圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.答案：x2+y2+2x-4y=08.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有条.解析：圆的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),半径r=13.过点A(11,2)的最短的弦长为10,最长的弦长为26(分别只有一条),还有长度为11,12,…,25的各2条,∴弦长为整数的共有2+2×15=32(条).答案：329.若圆C1:x2+y2-2mx+m2=4与圆C2:x2+y2+2x-4my=8-4m2相交,则m的取值范围是.(导学号51800171)解析：∵圆C1与C2相交,∴|r1-r2|<C1C2<r1+r2.圆C1和圆C2的方程可化为圆C1:(x-m)2+y2=4,圆C2:(x+1)2+(y-2m)2=9, ∴C1(m,0),r1=2,C2(-1,2m),r2=3,则1<<5,解得-<m<-或0<m<2.答案：∪(0,2)10.已知点P是直线x+y+6=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B为切点,C为圆心,则当四边形PACB的面积最小时,点P的坐标为.(导学号51800172)解析：如图所示,四边形PACB的面积S=2S△PAC=PA·AC=PA,PA=,要使S最小,需PC最小,当PC与直线x+y+6=0垂直时,PC取得最小值,此时直线PC的方程为y-1=x-1,即x-y=0,与x+y+6=0联立,解得P(-3,-3).答案：(-3,-3)三、解答题(本大题共4小题,共50分)11.(12分)已知两直线l1: mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值, 使(1)l1和l2相交于点P(m,-1);(2)l1∥l2;(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.解(1)由得m=1,n=7.∴当m=1,n=7时,l1与l2交于点P(m,-1).(2)由题意得,即m2-16=0,得m=±4.又,即n≠-.∴m=4,n≠-2或m=-4,n≠2时,l1∥l2.(3)当且仅当m·2+8·m=0,即m=0时,l1⊥l2.又-=-1,∴n=8,即m=0,n=8时,l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.12.(12分)一个圆切直线l1:x-6y-10=0于点P(4,-1),且圆心在直线l2:5x-3y=0上,求该圆的方程.(导学号51800173)解过点P(4,-1)且与直线l1:x-6y-10=0垂直的直线的方程设为6x+y+C=0,把点P的坐标代入,得C=-23,即6x+y-23=0.设所求圆的圆心为M(a,b),由于所求圆切直线l1:x-6y-10=0于点P(4,-1),则满足6a+b-23=0①;又由题设圆心M在直线l2:5x-3y=0上,则5a-3b=0②.联立①②,解得a=3,b=5,即圆心M(3,5),因此半径r=PM=,所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37.13.(12分)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(导学号51800174)(1)求圆心的坐标及半径r;(2)已知不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴、y轴上的截距相等,求直线l的方程;(3)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线,切点为M,点O为坐标原点,且有PM=OP,求点P的轨迹方程.解(1)圆心坐标C为(-1,2),半径为.(2)∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,设直线l的方程为x+y=a.∵圆C与直线l相切,∴圆心(-1,2)到切线的距离等于半径,即,∴a=-1或a=3.∴所求切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.(3)∵切线PM与半径CM垂直,设P(x,y).∴PM2=PC2-CM2.又PM=OP,∴PC2-CM2=OP2,即(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,∴点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.14.(14分)已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(导学号51800175)(1)求证:对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)当m=1时,求直线l被圆C所截得的弦长;(3)直线l与圆C交于A,B两点,若AB=,求m的值.(1)证明(方法一)由消去y整理,得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0.∵Δ=(-2m2)2-4(m2+1)·(m2-5)=16m2+20>0,对一切m∈R成立,∴直线l与圆C总有两个不同交点.(方法二)l方程可化为y-1=m(x-1),m∈R.由点斜式方程知,l恒过定点(1,1),又12+(1-1)2<5,∴点(1,1)在圆C内部.∴l与圆C必有两个不同的交点.(2)解当m=1时,l为x-y=0.(方法一)由得x2-x-2=0.∴x=-1或x=2.∴l与圆C的两交点为P(-1,-1),Q(2,2).∴弦长为PQ=3.(方法二)圆半径为,圆心(0,1)到l:x-y=0的距离为.∴弦长为2=2=3.(3)解∵AB=,圆半径r=,设圆心(0,1)到直线l的距离为d,则d=,∴由点到直线的距离公式,得,解得m=±.。
高中数学：第2章 2.2 2.2.3 待定系数法
2.2.3 待定系数法学习目标：1.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式．(重点)2.掌握待定系数法的特征及应用，了解待定系数法在函数中的应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]待定系数法的定义一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．思考：待定系数法求函数解析式的步骤有哪些？[提示] (1)根据题设条件，设出含有待定系数的该函数解析式的恰当形式． (2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程(组)．(3)解方程(组)，求出待定系数的值(或消去待定系数，从而使问题得到解决)． (4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式．[基础自测]1．思考辨析(1)确定一次函数的解析式只需要二个条件即可．( )(2)一个反比例函数的图象过(2,8)点，则其解析式为y ＝－16x .( ) (3)一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则其解析式为y ＝12x ＋52.( ) [解析] (1)√ 确定一次函数的解析式，即确定k ，b 的值，因此需要列关于k ，b 的两个二元一次方程求解．(2)× 反比例函数图象过点(2,8)则其解析式为y ＝16x .(3)√ 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，把(1,3)，(3,4)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝33k ＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，所以解析式为y ＝12x ＋52.[答案] (1)√ (2)× (3)√2．若函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P (3，－2)和Q (－1,2)，则这个函数的解析式为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝－x －1D ．y ＝－x ＋1D [把点P (3，－2)和Q (－1,2)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－2＝3k ＋b ，2＝－k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝1.所以y ＝－x ＋1，故选D.]3．已知一个二次函数的顶点坐标为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )【导学号：60462146】A ．y ＝14x 2＋1 B ．y ＝14x 2＋4 C ．y ＝4x 2＋1D ．y ＝x 2＋4D [设该二次函数的解析式为y ＝a (x －0)2＋4，即y ＝ax 2＋4，(1,5)代入，得a ＋4＝5，所以a ＝1，故解析式为y ＝x 2＋4.]4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为________． 5 [∵f (3)－f (－1)＝8a ＋4b ＝0， ∴4a ＋2b ＝0， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋5＝5.][合 作 探 究·攻 重 难]待定系数法求一次函数的解析式【导学号：60462147】(2)已知一次函数的图象与x 轴交点的横坐标为－32，并且当x ＝1时，y ＝5，则这个一次函数的解析式为______．[解析] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ＋3，所以⎩⎨⎧k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝－3.所以函数的解析式为f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.(2)设所求的一次函数为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意知一次函数图象上有两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0和(1,5)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝－32k ＋b ，5＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝3，所以y ＝2x ＋3.[答案] (1)2x ＋1或－2x －3 (2)y ＝2x ＋3[规律方法] 用待定系数法求一次函数解析式的具体步骤： (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； (2)根据题意列出关于k 和b 的方程组； (3)求出k ，b 的值，代入即可． [跟踪训练]1．一次函数的图象经过点(2,0)和点(－2,1)，则此函数的解析式为________． y ＝－14x ＋12 [设函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点(2,0)和(－2,1)代入解析式，得⎩⎨⎧0＝2k ＋b ，1＝－2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.所以函数的解析式为y ＝－14x ＋12.]待定系数法求二次函数的解析式2(1)图象过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图象顶点为(1,2)，并且过点(0,4)；(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．[思路探究] 设二次函数的解析式→列出含参数的方程(组)→解方程(组)→写出解析式[解] (1)由题意设二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)(x －4)，整理，得y ＝ax 2－6ax ＋8a .又∵图象过点(0,3) ∴8a ＝3，∴a ＝38.∴解析式为y ＝38(x －2)(x －4)．(2)设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)2＋2. 又∵图象过点(0,4) ∴a ＋2＝4，∴a ＝2. ∴解析式为y ＝2(x －1)2＋2. (3)设函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题设知⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝5，即⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝2，∴函数的解析式为y ＝x 2－2x ＋2.[规律方法] 求二次函数解析式，应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，利用待定系数法求解.(1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，a ，b ，c 为常数，a ≠0.(2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，a ≠0.(3)若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)，a 为常数，且a ≠0.)[跟踪训练]2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式.【导学号：60462148】[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)由f (0)＝1得，c ＝1 ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x 即2ax ＋a ＋b ＝2x∴⎩⎨⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1. 所以f (x )＝x 2－x ＋1待定系数法的综合应用[1．根据函数图象求函数解析式的关键是什么？ 提示：观察函数图象的形状．图2-2-32．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2-2-3所示，求该函数的解析式，并求出该函数的值域．提示：设二次函数解析式为y ＝a (x －1)2－1，(a ＞0)． 又函数过点(0,0)，故a ＝1，所以所求函数的解析式为y ＝(x －1)2－1(0≤x ＜3)． 由图可知该函数的取值满足－1＝f (1)≤f (x )＜f (3)＝3， 即该函数的值域为[－1,3)．如图2-2-4，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求此函数的解析式．图2-2-4[解] 设左侧的射线对应的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0，x ≤1)，因为点(1,1)，(0,2)在此射线上，故⎩⎨⎧k ＋b ＝1，b ＝2， 解得k ＝－1，b ＝2，所以左侧射线对应的函数解析式为y ＝－x ＋2(x ≤1)， 同理可求x ≥3时，函数的解析式为y ＝x －2(x ≥3)； 当1≤x ≤3时，抛物线对应的函数为二次函数．法一：(顶点式)设抛物线的方程为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，由点(1,1)在抛物线上可知a ＋2＝1，所以a ＝－1，所以抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 法二：(一般式)设抛物线的方程为y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0,1≤x ≤3)． 因为其图象过点(1,1)，(2,2)，(3,1)，所以有⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－2，所以抛物线对应的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上，函数的解析式为 y ＝⎩⎨⎧－x ＋2，(x <1)，－x 2＋4x －2，(1≤x <3)，x －2，(x ≥3).[规律方法] 1.由函数图象求函数的解析式，关键观察函数图象的形状，分析图象由哪几种函数的图象组成，然后再在不同区间上，利用待定系数法求出相应的解析式．2．分段函数的表达式要注意端点值． [跟踪训练]3．已知二次函数图象与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)，且函数图象经过点(－1,8)，求二次函数解析式. 【导学号：60462149】[解] 法一：(一般式)设二次函数的表达式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0) 因为函数f (x )经过点(－2,0)，(3,0)和(－1,8)，所以⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝09a ＋3b ＋c ＝0a －b ＋c ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－2b ＝2c ＝12.所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.法二：(两根式)设二次函数解析式为f (x )＝a (x ＋2)(x －3)，又因为二次函数图象经过(－1,8)，所以－4a ＝8，即a ＝－2，所以二次函数解析式为f (x )＝－2(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝－2x 2＋2x ＋12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知2x 2＋x －3＝(x －1)(ax ＋b )，则a ，b 的值分别为( ) A ．2,3 B ．3,2 C ．－2,3D ．－3,2A [2x 2＋x －3＝ax 2＋(b －a )x －b ，根据恒等式⎩⎨⎧a ＝2，b －a ＝1，－3＝－b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.] 2．已知函数f (x )＝ax 2＋k 的图象过点(1,7)和点(0,4)，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝3x 2＋4B ．f (x )＝2x 2＋5C ．f (x )＝3x 2＋2D ．f (x )＝5x 2＋4A [将(1,7)与(0,4)代入函数f (x )＝ax 2＋k 可得a ＝3，k ＝4.]3．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象顶点为(2,3)，且过点(3，－1)，则函数的解析式为________.【导学号：60462150】y ＝－4x 2＋16x －13 [由题意设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋3， 则－1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－4.]4．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.2 [f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3， 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎨⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，∴⎩⎨⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－7.∴5a －b ＝2.]5．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．[解] 法一：(一般式)设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由条件可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)和(7,0)．将三个点的坐标代入，得⎩⎨⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73.∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：(两根式)∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)． ∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)， 把顶点(4，－3)代入得－3＝a (4－1)×(4－7)， 解得a ＝13.∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.。