第二章实数 (四)——最简二次根式
八年级上册数学第二章
C.3个
D.4个
2. （2020赤峰）估计 A. 4和5之间
的值应该在( A ) B. 5和6之间
C. 6和7之间
D.7和8之间
3. 3的相反数是（ A ）
A.-3
B.3
C.
D.±3
4. （2020北京）实数a在数轴上的对应点的位置如图Z2-1，若实
数b满足-a＜b＜a，则b的值可以是( B )
A. 2
知识导航
无理数 概念：无限不循环小数
算术平方根
实
定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即
数 平方根 x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根表示为 读作
“根号a”
续表
平方根 定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个 数叫做a 的平方根（二次方根）. 平 性质: 实 方 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 数 根 ②0只有一个平方根，它是0本身； ③负数没有平方根
第二章 实数
单元复习课 本章知识梳理
目录
01 课标要求 02 知识导航
课标要求
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的 平方根、算术平方根、立方根. 2. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平 方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和 立方根. 3. 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应. 能求实数的相反数与绝对值.
B. -1
C. -2
D.-3
5. 如图Z2-2所示为洪涛同学的小测验卷，他的得分应是
___1_0_0____分.
姓名___洪涛___
北师大版八年级数学上册第二章 二次根式的计算
18
解：(1)
＝
3
(3)
1
35÷
3
15；
18
＝
6.
3
32
32
(2)
＝
＝
4＝2.
8
8
1
3
16 5
(3) 35÷ 15＝
5 ×8＝ 2.
3 ab3 3
(4)
2＝
2 ab 2
ab3 3
ab2＝2 b.
3 ab3
(4)
.
2 ab2
题型二
二次根式的加减
5 2
例 2：计算 8＋ 18的结果是________．
1
－ 2
变式 1：计算 8－6
的结果是__________．
2
变式 2：计算：(1)( 3＋ 2)－ 2； (2)2 3＋3 2－5 3－3 2；
(3)( 8＋ 12)－(2 3－ 2)．
解：(1)原式＝ 3＋ 2－ 2＝ 3.
(2)原式＝(2 3－5 3)＋(3 2－3 2)＝－3 3.
(3)原式＝(2 2＋2 3)－(2 3－ 2)＝2 2＋2 3－2
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越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：二次根式的乘除(重点)
1．乘法法则： a· b＝ ab
(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，
根指数不变，只把被开方数相乘．
注意：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要
注意：公式中a，b都必须是非负数；
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
8＋ 18
8
18
(5)
＝ ＋＝ 4＋ 9＝2＋源自＝5222
问题1：你能直接写出下列式子的结果吗？
最简二次根式与同类二次根式
最简二次根式与同类二次根式
《最简二次根式与同类二次根式》
在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，通常在形式上为一个数和一个根号的乘积。
在二次根式中，有两种特别重要的概念，分别是最简二次根式和同类二次根式。
首先来看最简二次根式。
最简二次根式指的是不能再约分根号内部的数的二次根式，也就是说，根号内的数不能再被开方，且在根号外的系数最小化。
例如，√2和√3就是最简二次根式，因
为它们的根号内部的数不能再被开方，且在根号外的系数也是最小的。
接下来是同类二次根式。
同类二次根式指的是二次根式中根号内部的数相同，根号外的系数也相同的二次根式。
例如，√2和2√2就是同类二次根式，因为它们的根号内部的数都是2，根号
外的系数也都是1。
最简二次根式和同类二次根式在化简和运算中都有其特殊的用途。
化简最简二次根式可以使得计算更加简便，而同类二次根式在加减乘除的运算中也有特定的规则。
总之，最简二次根式和同类二次根式是二次根式中的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用和重要的意义。
通过对这两个概念的深入理解，我们可以更好地应用二次根式进行化简和运算。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是数学中的一个重要概念，指的是含有二次根号并不能再简化的根式。
在代数学中，我们常常遇到二次根式，因此了解最简二次根式的定义和特点对我们的数学学习至关重要。
我们来解释一下什么是根式。
根式是含有根号的代数式，常见的根式有平方根和其他次方根。
最简二次根式指的是含有二次根号，并且不能再进行约分或者整理的根式。
最简二次根式的一般形式为：a√b，其中a和b为任意实数，且b为正整数，b的开方不能约分。
√6和5√7都是最简二次根式。
最简二次根式的主要特点是不能再进行进一步的化简。
这是因为二次根号下面所包含的数不是一个完全平方数，无法被开方后得到一个整数，也就无法约分或者化简。
如果一个二次根式中所包含的数是一个完全平方数，那么我们可以进行化简，将根号内的数开方，得到一个整数，这样就无法再简化成最简二次根式了。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数方程的求解过程中。
当我们遇到含有二次根式的方程时，我们通常会将其化简成最简二次根式的形式，便于进行进一步的运算和求解，这样就可以简化计算的步骤和难度。
最简二次根式是含有二次根号并且不能再进行化简的根式。
它在数学中有着重要的应用，特别是在代数方程的求解和计算过程中。
了解最简二次根式的定义和特点可以帮助我们更好地理解和运用代数知识，提高数学学习的效果。
希望通过本文的介绍，读者能够对最简二次根式有更深入的理解，从而更好地掌握数学知识。
第二篇示例：二次根式，又称为根式，是数学中常见的一种形式。
在代数学中，根是多项式方程的一个解，而二次根式具体来说是指其中的二次根。
举例来说，像√2、√3这样的数就是二次根式。
在二次根式中，有两个重要的概念：最简二次根式和非最简二次根式。
这篇文章将会着重介绍最简二次根式的定义及相关知识。
最简二次根式是指二次根式中化简后的形式。
在进行化简时，需要将根号内的数进行简化，使得根号内不含完全平方数。
河北省邯郸市肥乡县八年级数学上册第二章实数复习教案新版北师大版
第二章这章我们已经学完，让我们复习这一单元的知识。
课导入第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方课1.平方根的含义aa的平方根。
，那么这个数就叫做如果一个数的平方等于2ax a?x，即的平方根。
叫做程2.平方根的性质与表示aa?a?a也称为算术平方根，的平方根用表示，⑴表示：正数叫做正平方根，讲a的负平方根。
叫做授a?（根指数2⑵一个正数有两个平方根：省略）00?，记作，负数没有平方根00有一个平方根，为平方与开平方互为逆运算⑶a的平方根的运算。
开平方：求一个数 1立方根的性质2.任何实数都有唯一确定的立方根。
正数的立方根是一个正数。
负数的立方根是一. 立方根是０个负数。
０的开立方与立方3.开立方：求一个数的立方根的运算。
??333333aa?a??a?a?a a取任何数）（这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
*０的平方根和立方根都是０本身。
n（三）推广：次方根naann１次方根。
，这个数就叫做次方（. 如果一个数的是大于１的整数）等于的22. 实数和数轴上的点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．实数和数轴上的点一一对应，即数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：2①尺规可作的无理数，如……②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001 思考：2a一定是正数吗？）－一定是负数吗？－a （1是一个无理数，那么（2）大家都知道－1在哪两个整数之间？15，则ba= , b= 。
小数部分为）（3的整数部分为a, ）判（4断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数； 333一、平方法：比较的大小和22332和的大小二、根号法：比较1?5的大小和三、求差法：比较12 4.实数的三个非负性及性质数范围内，正数和零统称为非负数。
(1)在实(2)非负数有三种形式0；①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥a2②任何一个实数a的平方是非负数，即；≥0 ③任何非负数的算术平方根是非负数，即0?a）非负数具有以下性质3（①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；0 ，则每个非负数都等于③几个非负数之和等于0二、题型解析、有关概念的识别题型一.，其中，无理数，，，3π1.010010001下面几个数：例1. ，…，1.23）的个数有（4 D、3 C 、 1 A、 B2 、】下列说法中正确的是（【变式1 ） B3 的平方根是±A、、的立方根是±114、是5的平方根的相反数=C、±1 D题型二、计算类型题），则下列结论正确的是（例2.设 B. A.D.C..计算：例3 4.例先化简，再求值：b111?51?5，b=．，其中a=??)(ab?ba?ba22a33b31?1?2a互为相反数，求的值。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最简二次根式是指根号下面的被开方数为正数，且不能再约简的二次根式。
它是代数学中一个非常重要的概念，常常出现在高中数学的教学内容中。
二次根式在数学中的引入，是为了解决方程x^2=a 中的数a 是不是负数时的问题。
在实数范围内，如果a 大于等于0，那么方程x^2=a 有两个不同的实根；如果a 小于0，那么方程就没有实数根了。
为了能够对所有的实数进行开平方运算，数学家就引入了二次根式的概念。
最简二次根式就是在二次根式中的一种特殊形式，它只包含一个根号和一个不可约的正整数。
也就是说，如果一个二次根式不能再约简，那么它就是最简二次根式。
最简二次根式的一般形式为\sqrt{n} ，其中n 是一个正整数，且n 不含有平方因子，即n 的素因数分解中没有一个数出现了两次及以上。
举例来说，\sqrt{2} 、\sqrt{3} 、\sqrt{5} 都是最简二次根式，因为它们没有共同的公因数，无法再约简；而\sqrt{4} 、\sqrt{6} 、\sqrt{8} 就不是最简二次根式，因为它们的因数中有平方因子。
最简二次根式在数学中的运算和化简中有着很重要的作用。
在代数中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除等运算，而如果能够将二次根式化为最简形式，就可以简化运算过程，减少出错的可能性。
最简二次根式的化简规则是：提取出平方因数后，就无法再继续简化了。
对于\sqrt{4m^2} ，我们可以提取出m，得到m\times \sqrt{4} = 2m ，但不能再将其简化。
最简二次根式在数学中的应用非常广泛，不仅在代数中常见，也会在几何、物理等领域中不断出现。
掌握好最简二次根式的定义和化简方法，可以帮助我们更好地理解数学知识，提高解题的速度和准确性。
在学习最简二次根式的过程中，我们还需要注意以下几点：要能够区分最简二次根式和一般的二次根式；要掌握最简二次根式的化简规则；要多做练习，加深对最简二次根式的理解和运用能力。
最简二次根式的定义。
最简二次根式的定义。
最简二次根式是一种特殊的数学表达形式，它可以表示为一个数的平方根乘以一个常数。
这种形式简洁明了，便于计算和理解。
下面，我将通过一个小故事来说明最简二次根式的定义。
从前有一个叫小明的小孩，他非常喜欢数学。
有一天，他在课堂上学到了最简二次根式的定义。
他觉得这个概念非常有趣，于是决定用一个故事来解释它。
小明想象自己是一颗种子，他被种在了一片美丽的花园里。
花园里有各种各样的花朵，有红的、黄的、蓝的，还有紫的。
小明非常喜欢这些花朵，他想要把它们种植在自己的花园里。
于是，小明开始仔细观察每一朵花的特点。
他发现，每一朵花的花瓣数量都是一个平方数。
比如，有的花有4片花瓣，有的花有9片花瓣，还有的花有16片花瓣。
小明觉得这非常有趣，于是他开始思考如何用最简二次根式来表示这些花瓣数量。
小明想了很久，终于找到了一个规律。
他发现，每一朵花的花瓣数量可以表示为一个数的平方根乘以一个常数。
比如，有4片花瓣的花可以表示为2乘以根号2，有9片花瓣的花可以表示为3乘以根号3，有16片花瓣的花可以表示为4乘以根号4。
小明非常高兴地告诉他的朋友们这个有趣的发现。
他们也都被小明的观察和思考所打动，纷纷开始在花园里寻找平方根和常数的关系。
通过这个故事，我们可以看出最简二次根式的定义是如何应用在现实生活中的。
它不仅仅是一种数学概念，更是一种思维方式和观察力的培养。
这种简洁明了的表达形式，使我们能够更好地理解和计算各种数学问题，同时也增加了我们对数学的兴趣和热爱。
希望这个故事能够帮助大家更好地理解最简二次根式的定义，同时也能够激发大家对数学的兴趣和热爱。
让我们一起在数学的花园里探索和发现更多的美丽与奇迹吧！。
最简二次根式的定义。-概述说明以及解释
最简二次根式的定义。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述最简二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数与数论的研究中有着广泛的应用。
简单来说，最简二次根式是指一个形如√a的根式表达式，其中a是一个自然数。
最简二次根式可以被表示为有理数的平方根，并且在根号下的数a是一个最简分数。
最简二次根式在数学中扮演着重要的角色，它们广泛应用于各个领域，包括几何、代数、物理等。
在几何中，最简二次根式可以用来表示一些特殊的长度或比例关系。
而在代数中，最简二次根式的性质与运算规则可以帮助我们进行各种复杂的数学计算。
为了更好地理解最简二次根式的定义，我们需要了解一些相关概念，如根式、有理数和最简分数。
根式是指一个形如√a的表达式，其中a可以是任何实数。
有理数是可以写成m/n的数，其中m和n都是整数，且n不能为零。
最简分数是指一个分数，其分子和分母没有公因数，即它不能被更小的整数表示。
通过对最简二次根式的深入研究，我们可以发现它们具有一些独特的性质。
例如，最简二次根式的和、差、积和商仍然是最简二次根式。
这些性质为我们解决一些复杂的问题提供了便利。
在本文的后续部分中，我们将进一步探讨最简二次根式的性质和应用。
首先，我们将介绍最简二次根式的定义和相关概念。
接着，我们将详细讨论最简二次根式的特性和运算规则。
最后，我们将总结本文的主要内容，并展望最简二次根式在未来研究中的应用前景。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分介绍了整篇文章的组织结构和各部分的内容概述，帮助读者更好地理解文章的整体架构和各个部分的作用。
文章结构部分一般包括以下内容：1. 引言部分：简要介绍文章的主题和研究背景，概述文章的目的和意义。
引言部分可以用几句话引起读者的兴趣和关注，概述研究领域中的问题和现状。
2. 正文部分：根据文章大纲中的各个要点进行展开。
每个要点可以单独成为一个小节，在正文中进行详细的叙述和论证。
正文部分应该清晰地叙述问题、提出观点、列举例证，论述论据等。
第二章实数知识点
5、立方根：如果x3=a,则x叫做a的立方根，也叫a的三次方根，记作“ ”.
6、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
7、求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数.
二、实数
1、无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数有三种类型：⑴含根号且开不尽方的数，如 、 等；⑵化简后含有π的式子，如π、2π、 ；⑶有规律但不循环的无限小数，如0.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数递增1）.
三、二次根式的性质
1、二次根式具有双重非负性，即： ≥0（a≥0）.
2、（ ）2=a（a≥0），反过来a=（ ）2（a≥0）.
3、 = （分类讨论）
记忆口诀：二次根式三性质，双重非负是前提，平方在外直接开，平方在内绝对值。
第二章实数知识点
一、平方根、立方根
1、平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，也叫a的二次方根，记作“± ”.
2、一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根.
3、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”.正数的算术平方根只有一个，且具有非负性.
2、有理数和无理数统称为实数，实数和数轴上的点是一一对应的.
3、形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，它具有双重非负性，即 ≥0、a≥0.
4、最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵也不含开得尽方的因数或因式.二者必须同时具备。化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
5、化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，它们可以合并，合并时把它们的系数相加减，结果仍作为系数.
八年级数学上册第二章《实数》教案
第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a<b,在a,b两数之间插入一个数为.【拓展探究】3.把下列小数化成分数.(1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB,BC,AC 略(解析:AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)2.a+a2(解析:答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x,则10x=7.7·,∴9x=7,从而x=79;(3)设0.3·4·=x,则100x=34.3·4·,∴99x=34,从而x=3499.解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499.4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性. 【难点】 无理数概念的建立.【教师准备】 计算器、立方体、多媒体课件. 【学生准备】 计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢? 1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.251.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图]让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,4 5,59,-845,211.【答案】3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】你能找到其他的无理数吗?[设计意图]通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数a a的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法: 1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( ) A .无限小数都是无理数 B .有限小数是无理数 C .无理数都是无限小数 D .有理数是有限小数 答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A.面积为25的正方形B.面积为425的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C.3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a是有理数吗?解:由勾股定理得: a2=32+52,即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a不是有理数.4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n.(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数.【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.7·,-17,18.无理数有:-π.习题2.2(教材第25页)1.解:-559180,3.97·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数.2.提示:(1)x不是有理数. (2)x≈3.2. (3)x≈3.16.3.(1)✕(2)a(3)✕(4)✕4.解:5a ,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.1.通过与“加法的逆运算是减法、乘法的逆运算是除法”作类比,让学生体会平方和开方互为逆运算的同时,领会数学中处处蕴含着辩证法.2.使学生通过开方运算的学习,解决实际生活中的一些具体问题.【重点】1.数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.(√a)2=a(a≥0)的得出和应用.【难点】1.利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根和平方根.2.(√a)2=a(a≥0)和√a2=|a|的区别和联系.第课时1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的算术平方根.在合作交流等活动中,培养合作精神和创新精神.积极参与教学活动,发展对数学的好奇心和求知欲.。
第二章实数
第二章实数一、认识无理数1、现实生活中存在不是有理数的数求面积为5的正方形的边长。
设边长为x ，则x 2=5。
这里x 既不是整数也不是分数，也就是说，没有一个有理数的平方是5。
现实生活中存在着大量的不是有理数的数。
2、估计数值的大小采用“夹逼法”就是用两个平方数左右来靠近这个数。
用x 表示正方形的边长，若x 2=2，则x 既不是整数也不是分数，我们可以用夹逼的方法估计x 的值，从而求出x 的近似值。
方法：找出最接近这个数的两个平方数，因为12＜2＜22，所以1＜x ＜2。
即x 的整数位是1.因为 1.42=1.96,1.52=2.25.，所以 1.4＜x ＜1.5。
继续确定：因为 1.412=1.9881，1.422=2.0146，所以1.41＜x ＜1.42根据四舍五入法，所以得到，x 的十分位上的数字是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数。
采用夹逼法，首先确定整数位，确定方法是根据给定数，找出这个数前后的平方数。
再确定十分位，注意确定十分位要计算到百分位，四舍五入，确定十分位。
以此类推。
3、无理数无理数：无限不循环小数叫无理数圆周率π=3.14159265…是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.有限小数------ 有理数小数的分类： 无限循环小数--- 有理数无限不循环小数--无理数注意：-π/7 不是分数，是一个无理数目前学习的无理数的表现形式：主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π；以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）（3）还有下节学习到的开方开不尽的数，如:39,5,2 应当注意的是：带根号的数不一定是无理数，如9等；无理数也不一定带根号，如π4、有理数、无理数的联系与区别1）把下列数写成小数的形式。
北师大八年级上册.2二次根式课件
问题：二次根式能进行加减运算吗？
例5 计算：
(1) 48 3;
(4) 45 27
(2) 5 1 ; 5
(3)
4 3
3
6.
结果能合并的， 必须合并。
2、判断下列计算是否正确？
(1) 2 3 5; (2)2 2 2 2; (3) 8 4. 2
知识小结
1、二次根式的乘除法法则：
a b a b（a≥0，b≥0），
2
2
25
10 ;
5 5 55 5
随堂练习
1、计算：
(1) 5 9 ; 20
(2) 12 6 ; 3
以前学习的实数运算法则、运算律有哪些？ 在二次根式的乘除这里能用吗？
例4 计算：
2
(1)3 2 2 3; (2) 12 3 5; (3) 5 1 ;
(4) 13 3 13 3 ;
(5) 12
1 3
3;
(6) 8 18 . 2
解 ： （1）3 2 2 3 3 2 2 3 6 6
乘法交换律
乘法法则
（2） 12 3 5 12 3 5 36 5 6 5 1
2
(3) 5 1
2
5 2
5 12 5 2
5 1 6 2
5
(4) 13 3 13 3 13 2 32 13 9 4 完全平方公式
第二章 实数
2.7.2 二次根式 （乘除运算与法则）
忆一忆
1、二次根式的概念 2、怎样化简为最简二次根式？
48, 18 , 1 . 25 45
问题:下面正方形的边长分别是多少？
面积8
面积2
边长 8
边长 2
82 2
8 根据什么法则化成 2 2 ?
第1课时二次根式及其化简PPT课件(北师大版)
A．3
B．5
C．15
D．25
【解析】因为135＝15×9 , 所以要使 135n 是整数，正整
数n的最小值为15.
2.（淮安·中考）计算： 9 11 3 .
解:原式= 32 +1-3 =3+1-3=1.
3. 设 a 0 ，b 0，化简下列二次根式.
1 72;
2 8a2b3 .
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
一般地，形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式; a叫做被开方数.
例1：判断下列式中哪些是二次根式.
⑴，
⑵ 16,
(3)
，
(4) (m 3)2 .
解：(1)、(3)、(4)是二次根式，（2）不是二次根式.
二 二次根式的性质及化简
问题：视察比较
1 49 = 4 9
2 25 4 = 25 4
第二章 实数
2.7 二次根式
第1课时 二次根式及其化简
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解二次根式的定义及最简二次根式；（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题.（难点）
导入新课
视察与思考
问题：如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC 的长是多少？
甲同学： AC AB2ห้องสมุดไป่ตู้ BC2 22 22 8;
例2：化简：(1) 50； (2) 2 ； (3) 1 .
7
3
解: (1) 50 25 2 25 2 5 2;
(2) 2 2 2 7 1 14; 7 7 7 7 7
(3) 1 1 3 1 3. 3 3 3 3
当堂练习
1.（自贡·中考）已知n是一个正整数，135n 是整数，则
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
最简二次根式
最简二次根式什么是二次根式二次根式是指形如√a的根式，其中a是一个非负实数。
在二次根式中，a也被称为被开方数。
二次根式的化简最简二次根式是指不能再被开方的二次根式，即已经被化简到最简形式的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算。
二次根式的化简主要分为以下几种情况：情况一：a为完全平方数如果被开方数a是一个完全平方数，即存在一个整数b，使得b^2=a，那么二次根式可以直接化简成b。
示例：√4 = 2 √9 = 3情况二：a为非完全平方数如果被开方数a是一个非完全平方数，那么我们需要寻找它的最大完全平方数素因子，并将其提取出来。
以√50为例，我们可以将50分解成5乘以10，再将10分解成2乘以5。
其中5是50的最大完全平方数素因子，所以我们可以将√50化简为√(5*10)，然后再继续分解。
√(510) = √5 √10接着，我们继续寻找√10。
我们发现10不是完全平方数，但可以继续分解为2乘以5。
√(525) = √5 * √2 * √5继续分解，我们发现√2也不能被再分解，所以最终的化简形式为：√50 = √5 * √2 *√5 = 5√2情况三：出现分数当二次根式中出现分数时，我们可以将分子和分母分别进行化简，然后再进行约分。
例如，对于√(4/9)，我们可以先化简分子和分母，得到√4/√9 = 2/3。
情况四：多个二次根式的加减当多个二次根式进行加减操作时，我们需要先化简每个二次根式，然后进行合并。
例如，√2 + √8，我们先将√2和√8分别化简为最简形式：√2 = √(21) = √2 √1 = √2 √8 = √(42) = √4 √2 = 2√2然后将化简后的二次根式相加，得到最终结果为3√2。
总结最简二次根式是指已经被化简到无法再被开方的二次根式。
化简二次根式是一种常见的数学运算，涉及到被开方数的分解和提取最大完全平方数素因子的操作。
在运算过程中，我们还需要注意处理分数和多个二次根式的加减操作，以得到最终的化简形式。
北师大版八年级数学上册第二章实数全章教案
第二章实数1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.一、本章主要内容及要求1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.掌握必要的运算(包括估算)技能.3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.二、教材分析从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?a可能是分数吗?……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.【重点】1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢?引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.2.鼓励学生自主探索和合作交流.本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.1认识无理数2课时2平方根2课时3立方根1课时4估算1课时5用计算器开方1课时6实数1课时7二次根式3课时回顾与思考1课时1认识无理数1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.3.会判断一个数是不是无理数.1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.【重点】理解无理数的概念.【难点】判断一个数是不是无理数.第课时感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.【重点】感受无理数产生的背景.【难点】会判断一个数是不是无理数.【教师准备】两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.【学生准备】两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.导入一:七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:(1)一个整数的平方一定是整数吗?(2)一个分数的平方一定是分数吗?[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.导入二:一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?探究活动1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗?2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?出示教材P21图2 - 1.图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.问题1拼成后的正方形是什么样的呢?问题2拼成后的大正方形面积是多少?问题3若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?【总结】没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.[设计意图]选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.思路一(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?(3)b是有理数吗?【问题解答】(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.(2) b2=5.(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.思路二在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.【问题解答】构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.[设计意图]创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.[知识拓展]正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.4答案:B2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是()A.16B.25C.2D.4答案:C3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:长度是有理数的线段为,长度不是有理数的线段为.答案:略第1课时1.拼接正方形.2.做一做.3.a,b存在,但不是有理数.一、教材作业【必做题】教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.【选做题】教材第22页习题2.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC 中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.【能力提升】2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数. 假设a ,b 是两个有理数,且a <b ,在a ,b 两数之间插入一个数为 . 【拓展探究】3.把下列小数化成分数. (1)0.6;(2)0.7·;(3)0.3·4·.4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?试一试.【答案与解析】1.AB ,BC ,AC 略(解析:AB 2=42+12=17,BC 2=22+32=13,AC 2=22+42=20.)2.a+b2(解析:答案不唯一,如插入a 和b 正中间的数.)3.解析:(1)0.6=35; (2)设0.7·=x ,则10x =7.7·,∴9x =7,从而x =79;(3)设0.3·4·=x ,则100x =34.3·4·,∴99x =34,从而x =3499. 解:(1)0.6=35. (2) 0.7·=79. (3) 0.3·4·=3499. 4.略大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.随堂练习(教材第21页)解:因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.习题2.1(教材第22页)1.解:答案不唯一.如图(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.2.解:答案不唯一.如图(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?可能是整数吗?可能是分数吗?解:它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.第课时掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.【重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【难点】无理数概念的建立.【教师准备】计算器、立方体、多媒体课件.【学生准备】计算器、复习有理数的分类.导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如-1,0,2,3,…)分数(如13,-25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图]通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.一、数的小数表示面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?边长a面积S1<a<2 1<S<41.4<a<1.5 1.96<S<2.251.41<a<1.42 1.9881<S<2.01641.414<a<1.415 1.999396<S<2.0022251.4142<a<1.4143 1.99996164<S<2.00024449【思考】a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】(1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢?(提示:精确到0.1,b≈2.2,精确到0.01,b≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图]让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a=1.41421356…,b=2.2360679…,c=1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.二、有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么? 3,45,59,-845,211.【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况? 思路二回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数. 【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数) 【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.三、例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·;无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能.[设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类. [知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法: 1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数 答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( ) A .面积为25的正方形 B .面积为425的正方形 C .面积为8的正方形 D .面积为1.44的正方形 解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C .3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数. 4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n ,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1). (1)写出所有有理数; (2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n .(2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第2课时1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.一、教材作业【必做题】教材第24页随堂练习.【选做题】教材第25页习题2.2第2,4题.二、课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x,则x()A.1<x<2B.2<x<3C.3<x<4D.4<x<52.一个正三角形的边长是4,高为h,则h是()A.整数B.分数C.有限小数D.无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是,则斜边长是数. 【拓展探究】4.设半径为a的圆的面积为20 π.(1)a是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5.(3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.随堂练习(教材第24页)解:有理数有:0.4583,3.7·,-17,18.无理数有:-π. 习题2.2(教材第25页) 1.解:-559180,3.97·,-234.10101010…(相邻两个1之间有1个0)是有理数,0.12345678910111213…(小数部分由相继的正整数组成)是无理数. 2.提示:(1)x 不是有理数. (2)x ≈3.2. (3)x ≈3.16. 3.(1)✕ (2) (3)✕ (4)✕4.解:5π,π-1,3.4141141114…(相邻两个4之间1的个数逐次加1)等,答案不唯一.由于本节的重点之一是让学生经历借助计算器探索无理数是无限不循环小数的过程,因此,要重视教材创设(或相同类型)的问题,针对内容应该花较多的时间,教师应积极引导,让学生有充足的时间借助计算器进行思考和交流,循序渐进地缩小范围,体会无限逼近的思想.本节渗透了用有理数近似地表示无理数和用有理数逼近无理数的数学思想,通过探索,学生容易理解“无限”,但对“不循环”一般不会有清楚的认识,只有逐步渗透理解,教学中不必多说.“逼近”思想可以借用中央电视台的“幸运52”的猜商品的价格游戏进行解释.为进一步让学生理解无理数的概念,应强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别,前者不能化为分数,后者可以化为分数,但如何化成分数,教师不必深入讲解.鼓励学生自学教材中的“读一读”,了解无理数产生的历史背景和人类的科学精神,特别是对学有余力的学生,在教师引导下,可阅读“边长为1的正方形的对角线的长是无理数”的严格证明.一根长为5米的电线杆竖立于地面,为保证它的安全,要用三根钢丝把它固定,要求每根钢丝一头拉着电线杆的最上端,一头系在离电线杆3米远的地面木桩上,则每根钢丝的长要满足什么条件?它是有理数吗?大概是多长?〔解析〕每根钢丝的长要满足它的平方等于52+32,它不是有理数,大概是5.8米.解:由勾股定理,得钢丝长的平方等于52+32=34,但是找不到一个整数的平方是34,也找不到一个分数的平方是34,所以,它不是有理数,5.82=33.64,接近于34,所以大概为5.8米.2平方根1.了解数的算术平方根、平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根和平方根.2.了解开方与平方是互逆运算,会利用平方运算求某些非负数的算术平方根和平方根.通过教学过程的参与,培养学生学习的主动性,提高数学表达和运算能力.。
最简二次根式的要求
最简二次根式的要求以最简二次根式的要求为标题，我们来探讨一下什么是最简二次根式以及如何将二次根式化简到最简形式。
在数学中，二次根式是指具有形式√a的表达式，其中a是一个非负实数。
我们知道，二次根式可以用于表示平方根、立方根等根号运算。
而最简二次根式是指在化简过程中，将二次根式化简到最简形式，不含有相同根号下的平方数。
我们来看一个例子：√12。
我们可以将12分解为2的平方乘以3，即12 = 2² × 3。
因此，√12可以写成√(2² × 3)。
根据根号运算的性质，我们可以将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法，即√(2² × 3) = √2² × √3。
继续化简，我们得到√2² × √3 = 2√3。
所以，√12的最简二次根式为2√3。
接下来，我们来看一个稍复杂的例子：√80。
我们可以将80分解为16乘以5，即80 = 16 × 5。
因此，√80可以写成√(16 × 5)。
继续化简，根据根号运算的性质，我们得到√(16 × 5) = √16 × √5。
由于16是4的平方，我们可以将√16写成4，即√16 = 4。
所以，√80可以化简为4√5。
因此，4√5就是√80的最简二次根式。
通过以上两个例子，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：首先，将根号内的数分解为两个互质因数的乘积；然后，将根号内的乘法拆分为两个根号的乘法；最后，将含有平方数的根号化简为该平方数。
按照这个步骤，我们可以将任何一个二次根式化简到最简形式。
除了分解因式和运用根号运算的性质外，我们还可以利用有理化的方法来化简二次根式。
有理化是指将含有根号的式子转化为不含根号的式子。
例如，对于√(3/5)，我们可以将它有理化为(√3) / (√5)。
又如，对于√(2 + √3)，我们可以将它有理化为√(2 + √3) × (√(2 - √3)) / (√(2 - √3))。