复合函数求偏导解读
复合函数与隐函数的偏导数-PPT
z x
0,
Fy
Fz
z y
0.
因为 Fz 连续,且Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，所以存在
点( x0 , y0 ,
于就是得
z0 ) 得一个邻域,在这个邻域内 z Fx , z Fy .
Fz
0,
x Fz y Fz
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
例
已知 x2 a2
y2 b2
(2) F (0,0) 0; (3) Fy (0,0) 1 0, 隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0得隐函数 y f ( x),且
dy dx
Fx Fy
y x
e e
x y
.
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点( x, y)
u
v
w
得两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z x
z u
u x
z v
v x
z w
w x
ux
z y
z u u y
z v
v y
z w
w y
zv wy
多元复合函数的求导法则
例 设z
u2
1 v2
w2
,u
x2
y2,v
x2
x
x
z y z x x y
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
y
z
z
z(
x,
y),
试求
2z x 2
复合函数求偏导
w w du w v w t x u dx v x t x
2x w y w yz w, u v t
w y
w v
v y
w t
t y
x
w v
xz
w. t
w w t xy w. z t z t
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
x
x
例1
设 z eu sinv,u xy,v x y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
求复合函数偏导数的链式法则解
Yunnan University
e [ y sin( x y ) cos( x y )]dx
xy
z y
e xy [ x sin( x y ) cos( x y )]dy .
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
例 9 已知 e
解
xy
d e
2 z e 0 ，求 z 和 z .
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
u u 证明： ' ', a ' a ', x t 2u 2u 2 2 '' '', a '' a '', 2 2 x t 所以
2 2u u 2 a . 2 2 t x
将 x0 , y0 换成D内任一点 x , y , 有 xf yf nf x , y ,
' 1 ' 2
即 f f x y nf . x y
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
对z f x , y
x 2 y 2 , 它满足
Yunnan University
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
二、复合函数的全微分
设函数 z f ( u, v ) 具有连续偏导数，则 u，v 不论是 自变量还是中间变量，总有全微分
dz z du z d，结论显然。
（2）如果 u，v 是中间变量， u ( x , y ), v ( x , y ). 有全微分：
§2. 求复合函数偏导数的链式法则
高等数学 复合函数的偏导数
复合函数怎么求偏导_复合函数
复合函数怎么求偏导_复合函数复合函数怎么求偏导复合函数偏导求法可以运用链式求导法。
复合函数求导的前提，复合函数本身及所含函数都可导。
运用链式求导时，导出一个变量，剩余变量视为常数。
z=fu，v)是变量u，v的函数，u，v又是x，y的函数。
即，假定u=p(x，y)，v=v(x，y)。
复合函数求导规则：复合函数求导的前提，复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f(x)=f(u)*g(x);法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f(x)=f(a)*p(u)*g(x)。
偏导数求法：当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。
如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
运用链式求导时，导出一个变量，剩余变量视为常数。
z=fu，v)是变量u，v的函数，u，v又是x，y的函数。
即，假定u=p(x，y)，v=v(x，y)。
什么是复合函数设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠?，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u 为中间变量，y为因变量(即函数)。
高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
复合函数求偏导解读
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v x u x v x
(*)
z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条. 第一条是 x u z，第二条是 x v z ，所以公
z z u z v z w . y u y v y w y
(3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而
u ( x, y, z ),
v ( x, y, z ) 都有偏导数，求复合函数
w f [ ( x, y, z ), ( x, y, z )]
2 v 2 2
解 可得
z f f v x x v x
(sin v 4 x) ( x cos v e v ) 2 x
[sin( x y ) 4 x] [ x cos( x y ) e
2 2 2 2
x2 y2
] 2 x.
z f 在该例中，我们清楚看出 与 含意是不同的. x x f sin v 4 x sin( x 2 y 2 ) 4 x. x z 显然不等于 . x
2t 2t (ln t 1).
z z 例6 设z=f(x,xcosy)，其中f(u,v)为可微函数，求 , . x y
解 令v=xcosy，得
z f f v f f cos y . x x v x x v
z f v f x sin y . y v y v
由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以同样有
复合函数求偏导解读
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du. dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v(x,y)有偏导数，
求复合函数 zf[x,(x,y)的]偏导数 z , z .
x y
自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
免混淆，将公式(6)右端第一项写 f ，而不写为 z .
x
x
பைடு நூலகம்
例1
设
z e u sv i,u n x,v y x y ,求
z x
,
z y
.
解法1 得
zzuzv x ux vx
eusivn yeuco v1 s
ex[y ysix ny )( co x y s)， (]
zzuzv y u y v y
(2) (3)
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u(x,y,z),
v(x,y,z)都有偏导数，求复合函数
w f[( x ,y ,z )( ,x ,y ,z )]
的偏导数 w,w,w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v, x u x v x
wwuw v,
(4)
y u y v y
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v.
(6)
y v y
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 zf[x,(x,y)中]的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而 f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
复合函数求偏导解读
z f f v ， x x v x (6) z f v . y v y
z z f 注意： 这里的 与 是代表不同的意义.其中 x x x 是将函数 z f [ x, ( x, y )] 中的y看作常量而对自变量x f 求偏导数，而 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x 个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避 f 免混淆，将公式(6)右端第一项写 ，而不写为z . x x
z 由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 x 由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变
量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应
自变量的偏导数乘积，即
z z u z v z w . x u x v x w x
同理可得到，
(2)
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路 径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z, 有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 z u 个偏导数 与 的乘积. u x 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？
定理8.5 设函数 u ( x, y ), v ( x, y )在点(x,y)处有偏 导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则 复合函数 z f [ ( x, y ), ( x, y )] 在点(x,y)处的偏导数 z z 存在，且有下面的链式法则： , x y z z u z v , x u x v x (1) z z u z v . y u y v y 复合函数的结构图是
复合函数的偏导数和全微分--非常重要
例 2 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ，v = cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t
t
= e cos t − e sin t + cos t
链式法则如图示
u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) 、 类似地再推广，
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，复合 的偏导数，
2
∂f 2′ ∂f 2′ ∂u ∂f 2′ ∂v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = ⋅ + ⋅ ∂u ∂z ∂v ∂z ∂z ∂ 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 ∂x∂z
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.
第五节
复合函数的偏导数和全微分
一、链式法则
定理 定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导 ， 函数 z = f ( u, v ) 在对应点 ( u, v ) 具有连续偏 导数， 导数，则复合函数 z = f [φ ( t ),ψ ( t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算： 导，且其导数可用下列公式计算：
复合函数求偏导94424
w w u w v ,
(4)
y u y v y
w w u w v. z u z v z
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
exy[xsin( x y) cos( x y)].
例2 设z f (x2 y2, xy)
，其中f(u,v)为
z , z . x y
解 令u x2 y2,v xy，可得
z z u z v x u x v x
2x z y z ， u v
z z u z v 2 y z x z ，
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z),
v (x, y, z)
都有偏导数，求复合函
数
w f [(x, y, z), (x, y, z)]
w, w, w
x y z
的偏导数
.
借助于结构图，可得
w w u w v ,
x u x v x
运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏
导数的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式.
1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
u (x, y),v (x, y), w (x, y)
都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
二元复合函数求偏导
二元复合函数求偏导二元复合函数求偏导是高等数学中的一个重要概念，它在微积分、统计学和金融学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍二元复合函数求偏导的定义、求法以及应用。
一、定义二元复合函数指的是由两个变量组成的函数，例如f(x,y)=g(u,v)，其中u=u(x,y)和v=v(x,y)是关于x和y的函数。
对于这样的函数，我们可以通过求偏导来研究它们的性质。
二、求法对于一个二元复合函数f(x,y)=g(u,v)，我们可以通过链式法则来求它的偏导数。
具体来说，如果我们想求f关于x的偏导数，那么可以按照以下步骤进行：1. 求出u关于x的偏导数：u_x = ∂u/∂x2. 求出v关于x的偏导数：v_x = ∂v/∂x3. 将上述结果代入g中得到g_x = ∂g/∂u * u_x + ∂g/∂v * v_x4. 最后将g_x代入f中得到f_x = g_x同理，我们也可以求出f关于y的偏导数：1. 求出u关于y的偏导数：u_y = ∂u/∂y2. 求出v关于y的偏导数：v_y = ∂v/∂y3. 将上述结果代入g中得到g_y = ∂g/∂u * u_y + ∂g/∂v * v_y4. 最后将g_y代入f中得到f_y = g_y需要注意的是，这里的符号“∂”表示偏导数，而不是普通的导数。
三、应用二元复合函数求偏导在实际应用中有很多用处。
例如，在金融学中，我们可以通过求偏导来研究不同投资方案之间的收益率差异。
在微积分中，我们可以通过求偏导来研究曲面的切线和法线。
在统计学中，我们可以通过求偏导来估计参数值和预测未来趋势。
总之，二元复合函数求偏导是一个非常重要的概念，在数学和实际应用中都有广泛应用。
掌握这个概念对于提高数学素养和解决实际问题都有很大帮助。
复合函数求偏导数链式法则
复合函数求偏导数链式法则复合函数求偏导数，这个话题听起来可能有点头疼，尤其是当你正准备吃一碗热腾腾的面条时，突然被数学问题打断了。
哈哈，别急，咱们慢慢来聊聊这件事。
你知道，复合函数就像是一个美味的汉堡，上面是一层层的配料，下面是一块块的面包，每一层都可以给你带来不同的味觉享受。
就像汉堡的不同材料，复合函数也有不同的变量，每个变量都有自己的“故事”。
所以当我们说到偏导数，其实就是在研究这些“配料”之间的关系。
你想啊，就像是你在调配一杯饮料，糖、果汁、冰块，这些成分的比例调整，直接影响到你最后喝到的味道。
再说到链式法则，这个法则简直就像是数学界的小魔法。
想象一下，你在做一个复杂的菜，得先准备好配料，接着烹饪，然后再装盘，最后才能大快朵颐。
链式法则也是这样，得先从外到内，逐层求导，最后把结果结合起来。
哎，你可能会想，这样做到底有什么好处呢？简单来说，它能帮助我们更高效地处理那些复杂的函数。
就像你平时做饭，如果每一步都不分清楚，结果可能就是一锅“杂烩”，让人哭笑不得。
数学里也是，特别是碰到多变量的情况，链式法则就像一个指路明灯，帮你找到方向。
讲到这里，咱们得进入正题，假设你有个函数 y=f(g(x))，这个 g(x)又是个独立的函数，求偏导数的时候，我们要考虑到 g(x) 对 x 的变化影响了 f。
就像一颗小种子，埋在土里，根系伸展到土壤中，影响着上面的植物生长。
想象一下，你在爬一座山，山顶的风景美不胜收，但你得先迈出每一步。
我们对外层的函数 f 进行求导，然后乘以内层函数 g 的导数，哇，这样一来，复杂的问题就被简单化了。
多有意思啊！不再是数学书上的生硬公式，而是像做菜一样，动手就能感受到其中的乐趣。
不过，偏导数的求法并不是一蹴而就的，像学骑自行车一样，前期可能会摔跤，但一旦掌握了，骑行就变得顺畅自如。
记得第一次学偏导数的时候，脑子里一片混乱，符号、公式交错在一起，就像一团麻绳，理不清头绪。
不过，多练习几遍，熟能生巧，你就能在这些复杂的关系中游刃有余。
复合函数的偏导数
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z tz u源自u tz v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
证: 把 u (x2 y2 )看作是由函数
u (z)及 z x2 y2
复合而成，分别对 x 与 y求导得
u (z) 2x, u (z) 2y,
x
y
从而 x u y u 2xy(z) 2xy(z) 0.
y x
例8 设z f (u, x, y), 其中 f 具有对各变量的连续的 二阶偏导数，且 u xey , 求 2 z . yx
ux
zv
z z u z v z w y u y v y w y
wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
其中 fij表示 f 先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.
三、小结
1、链式法则 （特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
演示文稿复合函数与隐函数的偏导数
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析 在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个 自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量 的个数.
每一项 函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例 设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解 法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二 令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y
多元复合函数的求偏导法则
dy dx
Fx Fy
【例5】 设x2 + y2 = 1，求 dy dx
解 因为F(x，y) = x2 + y2－1，
Fx 2x Fy 2 y
所以
dy dx
Fx Fy
2x 2y
x y
【例6】
设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求
z x
z ，y
解
法一：直接法
两边对x求偏导，得 2x 6z z 4 x
dy dx
解
两边对x求导，得
2x 2yy 0
解得
y x
y
还有没有其他求导方法？
现由多元复合函数的求导法则推导出一元隐函数 的求导公式。
1、 设方程F(x，y) = 0确定了隐函数y = f (x)，将其代 入方程得 F[x，f (x)] = 0
两端对x求导，得
Fx
Fy
dy dx
0
若 Fy 0 ，则有
y f [( x)] 对 x 的导数为 dy dy du
dx du dx 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形。
1、两个中间变量，一个自变量
设z = f (u， )，u = (x)， (x)，
du
z
u
u
dx
z
z v
v
图7-20
x dv dx
则复合函数z = f [ (x)， (x)]的导数（或全导数）为
解 ： 其关系图如图7-21，
z x
z u u x
z
x
2u e x y2
u2
1 2x
u2
2(e2x2 y2 x) = e2x2y2 x2 y
z z u z 2u 2yexy2 1 1
多元复合函数求偏导
多元复合函数求偏导多元函数是指一个或多个自变量与一个因变量之间的函数关系。
对于多元函数中的每个自变量，我们都可以求它们的偏导数。
多元复合函数就是由多个函数复合得来的函数，偏导数的求法稍有不同。
下面将详细介绍多元复合函数求偏导的方法。
一、多元复合函数的定义多元函数可以写作f(x1,x2,...,xn)=y的形式，其中x1,x2,...,xn是自变量，y是因变量。
如果一个函数g(t)的自变量t可以表示为f中的一个或多个自变量，那么g也称为f的复合函数。
设有函数f(x,y)和g(t)且t=f(x,y)，则g(t)=g(f(x,y))是f的复合函数。
二、一元复合函数的偏导数对于单变量函数f(x)，其导数可以表示为：lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx则f的一阶导数是f'(x)=lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx对于复合函数g(f(x))，我们可以将其看作是两个函数的复合，即：g(t)=g(f(x))，其中t=f(x)对g而言，其导数可以表示为：g'(t)=lim（g(t+Δt)-g(t)）/Δ tf'(x)可以写成：f'(x)=lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx将f'(x)代入g'(t)中，得到：g'(t)=lim（g(f(x+Δx))-g(f(x))）/Δx将f(x+Δx)代回t中，得到：g'(t)=lim（g(f(x+Δx))-g(f(x))）/f'(x) Δx这就是一元复合函数的偏导数。
三、多元复合函数的偏导数对于多元函数f(x1,x2,...,xn)=y，其一阶偏导数可以表示为：∂f/∂xi=lim（f(x1,x2,...,xi+Δxi,...,xn)-f(x1,x2,...,xi,...,xn)/Δxi这表示当其他自变量不变时，对于xi的变化率。
如果一个函数g(t)可以写成f的一个或多个自变量的函数，那么g也称为f的复合函数。
二元复合函数求偏导
二元复合函数求偏导二元复合函数是高等数学中的重要概念，它描述了两个函数的复合关系。
在计算和解析中，求二元复合函数的偏导数是一个常见的问题。
本文将从人类的视角出发，以简洁明晰的语言，介绍二元复合函数的偏导数的求解方法。
我们需要明确二元复合函数的定义。
二元复合函数是由两个函数组合而成的新函数，其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
假设有两个函数f(x)和g(x)，其中f的定义域为A，值域为B，g的定义域为B，值域为C。
那么二元复合函数可以表示为h(x)=g(f(x))，其中h的定义域为A，值域为C。
在求二元复合函数的偏导数时，我们需要使用链式法则。
链式法则是微积分中的一条重要规则，用于求复合函数的导数。
链式法则的表达式为：d(h(g(f(x))))/dx = (dh/dg) * (dg/df) * (df/dx)。
其中，dh/dg表示h对g的导数，dg/df表示g对f的导数，df/dx表示f 对x的导数。
在实际应用中，求解二元复合函数的偏导数通常需要根据具体函数的形式进行推导。
我们以一个具体的例子来说明求解二元复合函数偏导数的过程。
假设有一个二元复合函数h(x,y)=g(f(x,y))，其中f(x,y)和g(u,v)分别是关于x和y的函数。
现在我们希望求解h对x的偏导数∂h/∂x。
根据链式法则，我们有∂h/∂x = (∂h/∂f) * (∂f/∂x)。
接下来，我们需要分别求解∂h/∂f和∂f/∂x。
对于∂h/∂f，我们将h对f的偏导数表示为∂h/∂f = (∂g/∂u) * (∂u/∂f)。
其中，u=f(x,y)，v=g(u,v)。
然后，我们需要求解∂u/∂f。
根据f对x的偏导数定义，我们有∂u/∂f = (∂f/∂x) * (∂x/∂f)。
注意，这里的∂x/∂f是指x对f的导数，而不是f对x的导数。
我们需要求解∂f/∂x。
根据f对x的偏导数定义，我们有∂f/∂x = (∂f/∂x) * (∂x/∂x) = (∂f/∂x)。
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定理8.5 设函数 u (x, y),v (x, y)在点(x,y)处有偏
导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数，则
复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x,y)处的偏导数
z , z 存在，且有下面的链式法则： x y
z z u z v ,
x u x v x z z u z v .
(1)
y u y v y
复合函数的结构图是
公式(1)给出z对x的偏导数是
z z u z v
(*)
x u x v x
公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 z 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公 x 式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即
z z u z v y u y v y
eu sin v x eu cos v 1
exy[xsin( x y) cos( x y)].
解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v， 用x，y代入，则得到 z exy sin( x y) ，z 是x，y二元复合函数，根 据复合函数的链式法则，得
注意： 这里的 z 与f 是代表不同的意义.其中 z
x x
x
是将函数 z f [x, (x, y)]中的y看作常量而对自变量x
求偏导数，而f 是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一 x
个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避
免混淆，将公式(6)右端第一项写f ，而不写为z .
x y 自变量x到达z的路径有二条，第一路径上只有一
个函数，即z是x的函数.第二路径上有两个函数z和v.自 变量y到达z的路径只有一条，于是 z , z 的偏导数
x y 公式应是：
z f f v，
x x v x z f v .
(6)
y v y
z z u z v z w.
(2)
x u x v x w x
同理可得到，
z z u z v z w.
(3)
y u y v y w y
2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x, y, z), v (x, y, z) 都有偏导数，求复合函数
w f [(x, y, z), (x, y, z)]
的偏导数 w, w, w . x y z
借助于结构图，可得
w w u w v ,
x u x v x
w w u w v ,
(4)
y u y v y
w w u w v. z u z v z
3.设函数w=f(u,v)有连续偏导数，而 u (x), v (x)
可导，则复合函数
z f [(x), (x)]
只是自变量x的函数， 求z对x的导数 dz .
dx
可得
dz z du z dv.
(5)
dx u dx v dx
在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的
(1)公式(*)的项数，等于结构图中自变量x到达z 路径的个数.函数结构中自变量x到达z的路径有两条.
第一条是 x u z，第二条是 x v z，所以公
式(*)由两项组成.
(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路
径中函数及中间变量的个数.如第一条路径 x u z,
u (x, y),v (x, y), w (x, y) 都有偏导数，求复合函数 z f [(x, y), (x, y), (x, y))
的偏导数 z , z . x y
由结构图看出自变量x到达z的路径有三条，因此 z x
由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变 量，所以每项是函数对中间变量及中间变量对其相应 自变量的偏导数乘积，即
有一个函数z和一个中间变量u，因此，第一项就是两 个偏导数z 与u的乘积.
u x 复合函数结构虽然是多种多样ห้องสมุดไป่ตู้求复合函数的偏 导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用 上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数 的公式.这一法则通常形象地称为链式法则.
下面借助于函数的结构图，利用链式法则定出偏 导数公式. 1、设z=f(u,v,w)有连续偏导数，而
一元复合函数.因此，z对x的导数 dz 又称为z对x的全 dx
导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x
的一元函数，故对x的导数应写成 dz , du , dv ，而不能
写成 z , u , v .
dx dx dx
x x x
公式(5)是公式(2)的特殊情形，两个函数u,v的自
变量都缩减为一个，即公式(2)就变成 (5).更特殊地，
如果函数z不含v，只是u的函数，于是公式(5)变成
dz dz du . dx du dx 这正是一元复合函数的求导公式.
4.设函数z=f(x,v)有连续偏导数，v (x, y) 有偏导数， 求复合函数 z f [x, (x, y)] 的偏导数 z , z .
x
x
例1
设 z eu sinv,u
xy,v
x
y, 求 z , z . x y
解法1 得
z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
exy[ y sin(x y) cos(x y)]，
复合函数求偏导
一、复合函数的链式法则 二、全微分形式不变性
一、复合函数的链式法则
设z=f(u,v)是变量u，v的函数，而u，v又是x，y的
函数，即u (x, y),v (x, y) ，如果能构成z是x ,y的
二元复合函数
z f [(x, y), (x, y)],
如何求出函数z对自变量x，y的偏导数呢？