2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷(含答案)

2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷命题人：孙允禄 校对人：徐艳娟注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、设集合{}062≤-+=x x x A ,集合B 为函数11-=x y 的定义域，则=B A （ ）A. B. C. D.2、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．()4,2 B ．()4,2- C ．()2,4- D ．()2,43、一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点.甲乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙的概率为（ ） A ．29 B ．14 C ．512 D ．124、变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．29 D ．55、将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈6、某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”7、已知向量(sin 2)θ=-，a ，(1cos )θ=，b ，且⊥a b ，则2sin 2cos θθ+的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．3 8、如图所示程序框图中，输出=S （ ） A.45 B. 55- C. 66- D. 669、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A ．2 B ．29 C ．23D ．310、下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x xy =+C ．2(2)xy x x e =- D ．ln x y x=第8题图第10题图 第9题图11、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为12F F 、，这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形。

若1=10PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为12e e 、，则12e e ⋅的取值范围是( ) A.()0+∞， B. 13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C. 15⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D. 19⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 12、若a 是()sin cos f x x x x =-在(0,2)x π∈的一个零点，则(0,2)x π∀∈，下列不等式恒成立的是（ ）A ．sin sin x a x a ≥ B ．sin cos xa x ≥ C ．322a ππ≤≤ D ．cos cos a a x x -≥- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题~第24题为选考题，考生依据要求作答。

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为c b a ,,，且4524==B c ，，面积2=S ，则b 等于____________.14、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各 顶点都在球O 的表面上，且球O 的表面积为7π，则此三棱柱的体积为 .15、在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个 三等分点，则=⋅+⋅CA CP CB CP .16、已知函数22(1)(),714(1)x ax x f x a x a x ⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩若12,x x R ∃∈且12,x x ≠使得12()(),f x f x =则实数a 的取值范围是____________.三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（本小题满分12分） 已知等比数列{n a }的前n 项和为12,0,3n n S a a >=，且234311,,a a a -成等差数列。

（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设数列{n b }满足31log (1)1n n b S +⋅-=，求适合方程1223125 (51)n n b b b b b b ++++=的正整数n 的值. 18、（本小题满分12分）2014年“五一”期间，高速公路车辆较多。

某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（t km /）分成六段：[60,65),[65,70), [70,75), [75,80),[80,85),[85,90)后得到如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）； （Ⅱ）若从车速在[60,70)的车辆中任抽取2辆， 求车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率.19、（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求证：平面BDGH //平面AEF ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.20、（本小题满分12分）已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =，抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点F 与椭圆1C 的一个焦点重合．（Ⅰ）过F 的直线与抛物线2C 交于,M N 两点，过,M N 分别作抛物线2C 的切线12,l l ，求直线12,l l 的交点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）从圆22:5O x y +=上任意一点P 作椭圆1C 的两条切线，切点为,A B ， 证明：APB ∠为定值，并求出这个定值．21、（本小题满分12分）已知函数()f x 的导函数2()2f x x ax b '=++(0)ab ≠，且(0)0f =. 设曲线()y f x =在原点处的切线1l 的斜率为1k ，过原点的另一条切线2l 的斜率为2k . （1）若1k 2:k =4：5，求函数()f x 的单调区间；（2）若21k tk =时，函数()f x 无极值，且存在实数t 使()(12)f b f t <-成立，求实数a 的取值范围.考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，=4AC ，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E . （1） 求BD 长； （2）当CE ⊥OD 时，求证：AO AD =.AEODCB（1）写出直线与曲线的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()223,()12f x x a x g x x =-++=-+. (1)解不等式()5g x <；(2)若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷答案及评分标准一．选择题：DCCDB CABDC BA 二．填空题：13．5 14．9415．4 16．()(),23,5-∞三．解答题：17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23a -，31a ，41a 成等差数列，得2123q q-+=， 解得13q =，或1q =-（舍）．所以12()3n n a =⋅ ……………………………6分 （2）因11121(1)13311313n n n S +++-==--，所以31log (1)1n S n +-=--，故11n b n =-+． 1111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++． 122311111111123341222n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-+++ 依题意得11252251n -=+． 解得100n = ……………………………12分18．解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 ………2分 这40辆小型车辆的平均车速为：77405.8745.82105.77125.7285.6745.622=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（t km /）……5分（2）从图中可知，车速在[60,65)的车辆数为：10.015402m =⨯⨯=（辆）车速在[65,70)的车辆数为：20.025404m =⨯⨯=（辆）设车速在[60,65)的车辆设为,a b ，车速在[65,70)的车辆设为,,,c d e f ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e a f b c b d b e b f c d c e c f d e (,)(,)d f e f 共15种其中车速在[65,70)的车辆至少有一辆的事件有：(,),(,),(,),(,),(,),(,),a c a d a e a f b c b d (,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)b e b f c d c e c f d e d f e f ，共14种所以，车速在[65,70)的车辆至少有一辆的概率为1415P =. ……………………………12分19．解：（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF 平面ABCD BD =， 且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF . ……………………….4分…………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ），得 AC ⊥平面BDEF ，又因为AO =，四边形BDEF 的面积3BDEFS =⨯=，所以四棱锥A BDEF -的体积1143BDEFV AO S =⨯⨯=.同理，四棱锥C BDEF -的体积24V =.所以多面体ABCDEF 的体积128V V V =+=. …………………12分20．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，则3c a =，即a =，则b =，椭圆方程为2222132y x c c +=，将点的坐标代入得21c =，故所求的椭圆方程为22132y x +=焦点坐标为(0,1)±， 故抛物线方程为24x y =．···································································································2分设直线:1MN y kx =+，1122(,),(,)M x y N x y ，代入抛物线方程得2440x kx --=，则12124,4x x k x x +==-，由于214y x =，所以1'2y x =，故直线1l 的斜率为112x ，1l 的方程为211111()42y x x x x -=-，即2111124y x x x =-，同理2l 的方程为2221124y x x x =-，令22112211112424x x x x x x -=-，即1212121()()()2x x x x x x x -=-+，显然12x x ≠， 故121()2x x x =+，即点Q 的横坐标是121()2x x +，点Q 的纵坐标是221111*********()124444y x x x x x x x x x =-=+-==-，即点(2,1)Q k -，故点Q 的轨迹方程是1y =-．······························································································4分（Ⅱ）证明：①当两切线的之一的斜率不存在时，根据对称性，设点P 在第一象限， 则此时PP此时两条切线方程分别为x y =此时π2APB ∠=, 若APB ∠的大小为定值，则这个定值只能是π2．·····························································5分 ②当两条切线的斜率都存在时，即x ≠00(,)P x y ，切线的斜率为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，与椭圆方程联立消元得2220000(32)4()2()60k x k y kx x kx y ++-+--=．··············6分 由于直线00()y y k x x -=-是椭圆的切线，故2220000[4()]4(32)[2()6]0k y kx k kx y ∆=--+--=，整理得2220000(2)2(3)0x k x y k y -+--=．·······································································8分 切线,PA PB 的斜率12,k k 是上述方程的两个实根，故2012232y k k x -=--，·····················10分 点P 在圆225x y +=上，故220032y x -=-，所以121k k =-，所以π2APB ∠=． 综上可知：APB ∠的大小为定值π2，得证．···································································12分21．（1）由已知321()3f x x ax bx =++ 1(0)k f b '==，设2l 与曲线()y f x =的切点为000(,)(0)x y x ≠则22000000123y x ax b x ax b x ++==++ 所以 200203x ax +=，即032x a =-， 则2222393()3244k f a a a b a b '=-=-+=-+.又2145k k = ，所以2345a b b -+=，即23b a =- 因此22()23(3)()f x x ax a x a x a '=+-=+-①当0a >时，()f x 的增区间为(,3)a -∞-和(,)a +∞，减区间为(3,)a a -.②当0a <时，()f x 的增区间为(,)a -∞和(3,)a -+∞，减区间为(,3)a a -. ………..5分（2）由（1）若21k tk =，则23,04a b tb ab -+=≠，∴1t ≠， 于是234(1)a b t =-，所以223()24(1)a f x x ax t '=++-，由()f x 无极值可知，223401a a t∆=-≤-，即21401t a t -≤-， 所以1410,114t t t -≤≤<- 由()(12)f b f t <-知，12b t <-，即23124(1)a t t <--，就是234(1)(12)a t t <--，而114t ≤<，故max 3{4(1)(12)}2t t --=，所以2332a <，又0a ≠，因此2((0,)22a ∈-. …………………..12分22、（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴ACODOC BD =， ∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9．…………………5分 （2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ．∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分23、（1）直线:l y x =，曲线22:12x C y +=……………………4分 （2）设点()00,M x y 及过点M的直线为0102:x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由直线1l与曲线C 相交可得：222000032202t x y +++-=数学文科试卷 共11页 第11页 220022883332x y MA MB +-⋅=⇒=，即：220026x y += 2226x y +=表示一椭圆……………………8分取y x m =+代入2212x y +=得：2234220x mx m ++-= 由0∆≥得m ≤≤故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =……10分24、(1)由125x -+<得5125x -<-+<713x ∴-<-<，得不等式的解集为{}24x x -<<……………………5分(2)因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， 又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.……………………10分。