高三数学一轮基础巩固 第8章 第6节 抛物线(含解析)新人教B版

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第8章 第6节 抛物线

新人教B 版

一、选择题

1．(2015·石家庄五校联考)若抛物线y ＝ax2的准线的方程是y ＝2，则实数a 的值是( ) A.18 B ．－18

C ．8

D ．－8

[答案] B

[解析] 由条件知，－14a ＝2，∴a ＝－18.

2．(2014·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )

A ．抛物线

B ．椭圆

C ．双曲线的一支

D ．直线

[答案] A

[解析] P 在BM 的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.

又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于P 到M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．

3．(文)直线y ＝x －3与抛物线y2＝4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为( )

A ．48

B ．56

C ．64

D ．72

[答案] A

[解析] 由题意不妨设A 在第一象限，联立y ＝x －3和y2＝4x 可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x ＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，

故S 梯形APQB ＝12(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.

(理)(2013·郑州质量预测)过抛物线y2＝8x 的焦点F 作倾斜角为135°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的长为( )

A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

[答案] D

[解析] 抛物线y2＝8x 的焦点F 的坐标为(2,0)，直线AB 的倾斜角为135°，故直线AB 的方程为y ＝－x ＋2，代入抛物线方程y2＝8x ，得x2－12x ＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB 的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.

4．(2014·湖北武汉调研)已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )

A ．2

B ．2 2

C ．2 3

D ．4 [答案] C

[解析] 设P 点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋2＝42，x0＝32，

代入抛物线的方程，得|y0|＝26，S △POF ＝12|y0|·|OF|＝23，选C.

5．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )

A ．2

B ．12

C.32 D ．52

[答案] C

[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1

＝4，

∴x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，即AB 中点C 的横坐标是32.

(理)(2014·武昌模拟)直线y ＝k(x －2)交抛物线y2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为3，则弦AB 的长为( )

A ．6

B ．10

C ．215

D ．16

[答案] B

[解析] 将y ＝k(x －2)代入y2＝8x 中消去y 得，k2x2－(4k2＋8)x ＋4k2＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝4k2＋8k2＝6，∴k ＝±2，

∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝5· x1＋x2 2－4x1x2＝5·36－4×4＝10.

6．已知直线l1：4x －3y ＋6＝0和直线l2：x ＝－1，P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A ．2

B ．3

C.115 D ．3716

[答案] A

[解析] 直线l2：x ＝－1为抛物线y2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l2的距离等于P 到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x 上找一个点P ，使得P 到点F(1,0)

和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x －3y ＋6＝0的距离，即dmin ＝|4－0＋6|5

＝2，故选A.

[点评] 与抛物线有关的最值问题常见题型．

(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．

①(2013·甘肃天水调研)已知P 为抛物线y ＝14x2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的

坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．

[答案] 5－1

[解析] 如图，抛物线y ＝14x2，即x2＝4y 的焦点F(0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上

的射影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF|，

则|PP ′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝22＋12＝ 5.

所以(|PA|＋|PM|)min

＝(|PA|＋|PP ′|－1)min ＝5－1.

(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．

②(2013·河南洛阳、安阳统考)点P 在抛物线x2＝4y 的图象上，F 为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P 的坐标为________．

[答案] (－1，14)

[解析] 由抛物线定义可知PF 的长等于点P 到抛物线准线的距离，所以过点A 作抛物线准线

的垂线，与抛物线的交点(－1，14)即为所求点P 的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．

③已知抛物线y2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．

[分析] 抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d 的问题，运用三点共线可使问题得到解决．

[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y2＝2x ，

得y ＝±6，∵6>2，

∴点A 在抛物线内部．

设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，

由定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d ，

当PA ⊥l 时，|PA|＋d 最小，最小值为72，

即|PA|＋|PF|的最小值为72，

此时P 点纵坐标为2，代入y2＝2x ，得x ＝2，

即点P 的坐标为(2,2)．

(3)抛物线上动点到定直线与抛物线准线(或焦点)距离和(或差)的最值转化为点到直线距离最小．

④已知P 是抛物线y2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( ) A. 3 B ． 5

C ．2

D ．5－1

[答案] D

[解析] 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF|－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF|－1.易

知d ＋|PF|的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋ －1 2

＝5，所