2018高考数学(文)升级增分训练 概率与统计
2018年高考文科数学分类之统计与概率
统计与概率一、选择题：1.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.73.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3二、填空题：4.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方式有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最适合的抽样方法是______.5.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为___________．6.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为___________．7.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是___________（结果用最简分数表示）．三、解答题：8.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）．9.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2000年至2016的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．10.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，11.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）12.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．答案：ABD ；分层抽样；90；310；158.答：（1）（2）0.48；（3）347.45m9.答：10.答：（1）第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上：168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高；（2）由茎叶图可知，中位数7981802m+==，且列联表为：（3）由（2）可知()22224015510 6.63520202020K-==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．11.答：（1）0.025；（2）0.814；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．12.答：（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种；（ii）5 21。
2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计(解析版附后)
2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,542．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 34．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29 B.14 C.512D.125．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.86．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.127．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.388．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.7109．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.71210．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.3411．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.1612．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．14．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．15．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．16．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．2018年高三数学高考考前综合提升训练：概率与统计（解析版）(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A ．1,2,3,4,5,6 B ．6,16,26,36,46,56 C ．1,2,4,8,16,32D ．3,9,13,27,36,54解析：选B.系统抽样是等间隔抽样，故选B.2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x A.y ^＝x －1 B.y ^＝x ＋1 C.y ^＝12x ＋88D.y ^＝176 解析：选 C.由已知得x ＝176，y ＝176，因为点(x ，y )必在回归直线上，代入选项验证可知C 正确．3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3解析：选A.由相关系数的定义，以及散点图所表达的含义可知r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1，故选A. 4．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点．甲、乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙掷骰子向上的点数的概率为( ) A.29B.14C.512D.12解析：选C.依题意，所求的概率等于5＋4＋3＋2＋136＝512，故选C.5．在一次学业水平测试中，小明成绩在60～80分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5D ．0.8解析：选A.小明成绩为优秀的概率P ＝1－0.5－0.3＝0.2，故选A.6．对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a 的值是( )A.116B.18C.14D.12解析：选B.依题意可知样本点的中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38， 则38＝13×34＋a ，解得a ＝18. 7．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.38解析：选C.依题意，将题中的两张卡片排在一起组成两位数共有6种情况，其中奇数有3种情况，因此所求的概率等于36＝12，故选C.8．在区间(－5,5)内随机地取出一个实数a ，使得不等式2＋a －a 2＞0成立的概率是( ) A.110 B.310 C.510D.710解析：选B.2＋a －a 2＞0, 得－1＜a ＜2. 所以由几何概型知其概率为2－－5－－＝310，故选B.9．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选A.从2名男生和2名女生中任选两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，共有12种选法，其中星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的结果有4种，所求概率为412＝13，故选A.10．已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,4]上随机取一个实数x 0，则使得f (x 0)≥1成立的概率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：选C.由f (x 0)＝log 2x 0≥1，解得x 0≥2，故所求概率是4－24－1＝23，故选C.11．从等腰直角△ABC 的斜边AB 上任取一点P ，则△APC 为锐角三角形的概率是( ) A ．1 B.12 C.13D.16解析：选B.依题意，取AB 的中点M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，结合图形分析可知，当点P 介于点B ，M (不含点B ，M )之间时，△APC 为锐角三角形，因此所求的概率等于12，故选B.12．20名志愿者中女生8人，男生12人，按性别用分层抽样方法从中抽取5人，再从5人中抽取2人，则至少抽到一名女生的概率是( ) A.12 B.14 C.25D.710解析：选D.每个人被抽到的概率为520＝14，由分层抽样知，女生要抽8×14＝2人，男生要抽3人，记女生为n 1，n 2，记男生为m 1，m 2，m 3，现从中抽取2人，则总的基本事件为(n 1，n 2)，(n 1，m 1)，(n 1，m 2)，(n 1，m 3)，(n 2，m 1)，(n 2，m 2)，(n 2，m 3)，(m 1，m 2)，(m 1，m 3)，(m 2，m 3)，共10个，至少有一个女生的基本事件数为7个，故概率P ＝710，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两名同学在5次数学测验中的成绩统计如茎叶图所示，则甲、乙两人5次数学测验的平均成绩依次为________．解析：由茎叶图可得x 甲＝72＋74＋88＋85＋965＝83，x 乙＝77＋79＋81＋93＋905＝84.答案：83,8414．某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中a 的值为________．解析：由题知组距为10，根据频率分布直方图得(0.04＋0.03＋0.02＋2a )×10＝1，解得a ＝0.005. 答案：0.00515．在长为16 cm 的线段AB 上任意取一点C ，以CA ，CB 为邻边长做一个矩形，则该矩形面积大于60 cm 2的概率为________．解析：设CA ＝x (x ∈(0,16))，则CB ＝16－x ，故矩形的面积S ＝x (16－x )，令x (16－x )＞60，解得6＜x ＜10，故所求概率P ＝10－616＝14.答案：1416．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心．在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 解析：依题意得知，所求的概率等于⎝ ⎛⎭⎪⎫π×12×2－12×43π×13π×12×2＝23.2答案：3。
2018高考数学(文)热点题型概率与统计 全国通用 含解析
概率与统计热点一统计与统计案例以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出估计,判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生数据处理能力.【例1】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元。
在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元。
现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数。
（1）若n＝19，求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n 的最小值;（3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解(1）当x≤19时，y＝3 800；当x〉19时，y＝3 800＋500（x－19)＝500x－5 700。
所以y与x的函数解析式为y＝错误!（x∈N).(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0。
46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19。
（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300,10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10）＝4 000，100若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(4 000×90＋4 500×10)＝4 050.100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件。
2018届高三数学(文)高考总复习：升级增分训练 概率与统计 Word版含解析
升级增分训练概率与统计1．(2017·重庆适应性测试)据我国西部各省(区，市)2015年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间28,38)上的频率是()A．0.3B．0.4C．0.5 D．0.7解析：选A依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.2．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是()A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C正确，故D错误．3．(2016·福建省毕业班质量检测)某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：由表中数据，得线性回归方程l ：y ＝bx ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ^＝∑i ＝1n(x i－x －)(y i－y －)∑i ＝1n(x i－x －)2，a ^＝y －－b ^x －，则下列结论错误的是( )A.b^＞0 B.a ^＞0C ．直线l 过点(4,8)D ．直线l 过点(2,5) 解析：选D 因为x ＝4，y ＝8， 所以回归直线l 过样本的中心点(4,8)， 所以选项C 正确；因为b ^＝1.4＞0，a ^＝y －－b ^x －＝8－1.4×4＝2.4＞0， 所以选项A 、B 都是正确的；y ^＝1.4x ＋2.4，因为1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2,5)不在直线l 上，所以选项D 是错误的，故选D.4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解析：由题意知b^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a^＝71－(－1.818 2)×72≈77.364， 所以y ^＝－1.818 2x ＋77.364， 所以销量每增加1千箱， 则单位成本约下降1.818 2元． 答案：1.818 25．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图1所示：(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)；(2)甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 解：(1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5， 乙组数据的中位数为75＋822＝78.5.从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散． (2)由茎叶图知，甲组中60,70)的人数为1，故c ＝0.01. 70,80)的人数为5人，故a ＝0.05.80,90)，90,100]的人数分别为2人， 故b ＝0.02.(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P ＝16100＝425.6．(2017·合肥质检)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程； (2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y －∑i ＝1n x 2i －n x－2，a ^＝y －b ^x －.解：(1)由数据得x －＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3， y －＝15(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，∑i ＝15x i y i ＝0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18＝1.92.∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55.5x － y －＝5×3×0.1＝1.5， 5x －2＝45，故b^＝1.92－1.555－45＝0.042.a^＝0.1－0.042×3＝－0.026，所以线性回归方程为y^＝0.042x－0.026.(2)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点．由y^＝0.042x－0.026＞0.5，解得x≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.7．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．8．(2016·云南省统测)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在80,100]的学生可取得A等(优秀)，在60,80)的学生可取得B等(良好)，在40,60)的学生可取得C等(合格)，不到40分的学生只能取得D等(不合格)．为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x 人， 根据题意得x ＝100×1－10×(0.006＋0.012×2＋0.018＋0.024＋0.026)]＝2. 据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为2100×1 600＝32.(2)根据已知条件得2×2列联表如下：∵K 2＝100×(12×34－6×48)260×40×18×82≈0.407＜2.706，∴没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．。
2018届高考数学(文科)三轮冲刺提分课件：专题四 概率与统计
性质:标准差(或方差)越小,说明数据波动程度越小,越稳定; 标准差(或方差)越大,说明数据越分散,越不稳定. 3.变量间的关系与回归分析 (1)相关关系:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系.与函数关系不同, 相关关系是一种不确定关系.
②对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A),那么 称 P(A)为事件 A 的概率. ③概率可看成频率在理论上的期望值,它从数量上反映了随 机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近 似地作为这个事件的概率.
������ (������������ -������������ ) =(������ +������ )(������ +������ )(������ +������ )(������ +������ ),其中
n=a+b+c+d 为样本容量.
(3)独立性检验 2 利用随机变量 K 、 独立性假设来确定是否一定有把握认为 “两 个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 两个分类变量 X 和 Y 是否有关系的判断方法: 统计学研究表明(K2 的观测值为 k), 当 k≤3.841 时,认为 X 与 Y 无关; 当 k>3.841 时,有 95%的把握认为 X 与 Y 有关; 当 k>6.635 时,有 99%的把握认为 X 与 Y 有关; 当 k>10.828 时,有 99.9%的把握认为 X 与 Y 有关.
专题四 概率与统计
一、统计与统计案例 1.抽样方法 三种抽样方法的比较
2.用样本估计总体 (1)频率分布直方图的画法 ①求极差:即最大数与最小数的差; ②决定组距与组数:组距与组数的确定没有固定的标准,试 题中一般有规定; ③数据分组:计算各小组的频数和频率,列出频率分布表;
2018高考文科数学分类汇编 概率与统计
概率与统计1.（2018全国卷1文）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半2.（2018全国卷1文）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1， [)0.10.2， [)0.20.3， [)0.30.4， [)0.40.5， [)0.50.6， [)0.60.7，频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）3.（2018全国卷2文）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.34．（2018全国卷2文）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5=-+；根据2010y t 年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．5．（2018全国卷3文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．（2018全国卷3文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．7．（2018全国卷3文）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．10．（2018北京卷文）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140 50 300 200 800 510好评率0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科%网（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）11．（2018天津卷文）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．12．（2018江苏卷）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．13.（2018江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．14．（2018浙江卷）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P 12p122p则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小15．（2018上海卷）有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）。
2018年各地高考数学文科分类汇编——统计与概率
（全国1卷3）答案：（全国1卷19）答案：（全国2卷5）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4 D．0.3答案：D（全国2卷18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5根据2010年至y t=-+；2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 答案：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y $=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y $=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（全国3卷5）答案：B（全国3卷14）答案：分层抽样（全国3卷18）答案：（北京卷17）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）答案：（天津卷15）(15)(本小题满分13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(II)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；(ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率.答案：(I)解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比分别为3:2:2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的志愿者中分别抽取3人，2人，2人. (II)(i)解：从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},A G ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},B G ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},C G ，{},D E ，{},D F ，{},D G ，{},E F ，{},E G ，{},F G ，共21种.(ii)解：由(I)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，{},F G ，共5种.所以，事件M 发生的概率5()21P M =.。
2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．6.（全国卷Ⅱ，理数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【答案】A7.（全国卷Ⅲ，文数5题．5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B8.（全国卷Ⅲ，文数、理数18题．12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()0.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．【答案解析】解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．学科%网以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． （2）由茎叶图知7981802m +==． 列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．9.（北京卷，文数17题，13分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科*网（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案解析】（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为500.0252000=. （Ⅱ）方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是 140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1 =56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为37210.8142000-=. 方法二：设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得16280.8142)00(0P B ==. （Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率. 10.（北京卷，理数17题，12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【答案解析】解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为500.0252000=． （Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P （AB AB +）=P （AB ）+P （AB ）=P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）． 由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ． 11.（天津卷，文数，15题，13分）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．【答案解析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 12.（天津卷，理数，16题，13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案解析】本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．学.科网（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337C CCk k-⋅（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望11218412 ()0123353535357E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．13.（江苏卷，3题，5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为__________.【答案解析】答案：90解析：8989909191905++++=14.（浙江卷，7题，4分）设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P12p-122p 则当p在（0，1）内增大时，A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小【答案】D第11 页共11 页。
2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018全国高考真题数学统计与概率专题（附答案解析）1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案：A2.（全国卷I，文数19题．12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，[)0.60.7，频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)00.1，[)0.10.2，[)0.20.3，[)0.30.4，[)0.40.5，[)0.50.6，频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案解析】解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为11(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为21(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB ，=+．X Y=⨯+，即402520225X Y所以(4025)4025490=+=+=．EX E Y EY（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于400EX>，故应该对余下的产品作检验．4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3【答案】D5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5=+．y t（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案解析】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为。
2018届高三数学(文)高考总复习：升级增分训练 数 列含解析
升级增分训练 数 列1．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 016＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选B 由题意得：a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10＝8，…，所以数列中的项从第3项开始呈周期性出现，周期为6，故a 2 016＝a 335×6＋6＝a 6＝6．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝x 2＋x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －2B ．a n ＝n 2＋n －2C ．a n ＝⎩⎨⎧0，n ＝12n －1，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧0，n ＝12n ，n ≥2解析：选D 由于点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，则S n ＝n 2＋n －2，当n ＝1时，得a 1＝S 1＝0，当n ≥2时，得a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －2－(n －1)2＋(n －1)－2]＝2n ．故选D ．3．若数列{b n }的通项公式为b n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13，则数列{b n }中的最大项的项数为( )A ．2或3B ．3或4C ．3D ．4解析：选B 设数列{b n }的第n 项最大． 由⎩⎨⎧b n ＋1≤b n ，b n ≥b n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧－⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋＋12n ＋1＋13≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13，－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＋13≥－⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －＋12n －1＋13，整理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n ＋1≥12n ，1＋12n ≤12n －1，即⎩⎨⎧n 2＋n －12≥0，n 2－n －12≤0，解得n ＝3或n ＝4． 又b 3＝b 4＝6，所以当n ＝3或n ＝4时，b n 取得最大值．4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A ．n2n －1B ．n ＋12n －1＋1C ．2n －12n －1D ．n ＋12n ＋1解析：选A 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ， 则b 1＝4，b 2＝8，又{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ， 所以nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ， 所以S n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n ＝4．当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0， 所以n ＋n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1．又因为a 11＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1(n ∈N *)，所以a n ＝n2n －1(n ∈N *)．5．(2017·山西省质检)记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n 满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n 的最小值是( ) A ．157B ．95C ．53D ．75解析：选C ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3， ∴q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2，又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋8n (m ＋2n ) ＝115⎝⎛⎭⎪⎫17＋2n m ＋8m n ≥115⎝ ⎛⎭⎪⎫17＋22n m ×8m n ＝53，当且仅当2n m ＝8mn ，n ＝2m ， 即m ＝3，n ＝6时等号成立， ∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C ． 6．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选C 由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n＋t －t n ＋－12n ＋2＜2t －t n ＋－12n，即tn －12n＋t n ＋－12n ＋2＞t n ＋－12n，化简得t (n －2)＞1．当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立， 则t ＞1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．7．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n ＞0(n ＝1,2，3，…)．则q 的取值范围为________．解析：因为{a n }为等比数列，S n ＞0， 可以得到a 1＝S 1＞0，q ≠0， 当q ＝1时，S n ＝na 1＞0； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n 1－q＞0，即1－q n 1－q ＞0(n ＝1,2,3，…)， 上式等价于不等式组⎩⎨⎧1－q ＜0，1－q n＜0(n ＝1,2,3，…)，①或⎩⎨⎧1－q ＞0，1－q n＞0(n ＝1,2,3，…)．②解①式得q ＞1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数，得－1＜q ＜1． 综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)8．(2016·河南六市一联)数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30＝________．解析：由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3， 若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)， ∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝∑k ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝9－52＋90－522×10＝470．答案：4709．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，则a n ＝________．解析：由a 1，a 2＋5，a 3成等差数列可得a 1＋a 3＝2a 2＋10， 由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， 得2a 1＋2a 2＝a 3－7， 即2a 2＝a 3－7－2a 1，代入a 1＋a 3＝2a 2＋10，得a 1＝1， 代入2S 1＝a 2－22＋1，得a 2＝5． 由2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，得当n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减，得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ， 即a n ＋1＝3a n ＋2n ，当n ＝1时，5＝3×1＋21也适合a n ＋1＝3a n ＋2n ， 所以对任意正整数n ，a n ＋1＝3a n ＋2n ． 上式两端同时除以2n ＋1， 得a n ＋12n ＋1＝32×a n 2n ＋12，等式两端同时加1，得 a n ＋12n ＋1＋1＝32×a n 2n ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n＋1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1是首项为32，公比为32的等比数列，所以a n 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，所以a n 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，所以a n ＝3n －2n ． 答案：3n －2n10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，2，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，7π12上为单调函数． (1)求ω，φ的值；(2)设a n ＝nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π3(n ∈N *)，求数列{a n }的前30项和S 30． 解：(1)由题可得ωπ12＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ， 7ωπ12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得ω＝2，φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， ∵|φ|＜π， ∴φ＝－2π3． (2)由(1)及题意可知a n ＝2n sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)， 数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π3－2π3(n ∈N *)的周期为3，前三项依次为0，3，－3，∴a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n＝(3n －2)×0＋(3n －1)×3＋3n ×(－3) ＝－3(n ∈N *)，∴S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝－103．11．已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝43，B ＝60°，且a 2＋c 2＝2b 2；等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b ．数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n ＋1项和P 2n ＋1．解：(1)∵S ＝12ac sin B ＝43，∴ac ＝16，又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝ac ＝16， ∴b ＝4，从而(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64，a ＋c ＝8， ∴a ＝c ＝4． 故可得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，∴a n ＝4n ． ∵T n －2b n ＋3＝0， ∴当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }为等比数列， ∴b n ＝3·2n －1．(2)依题意，c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数.P 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝[4＋n ＋n ＋2＋6－4n 1－4＝22n ＋1＋4n 2＋8n ＋2．12．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意n ∈N *，都有2S n ＝(n ＋1)a n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫4a n a n ＋的前n 项和为T n ，求证：12≤T n ＜1．解：(1)因为2S n ＝(n ＋1)a n ， 当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减，得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，即(n －1)a n ＝na n －1， 所以当n ≥2时，a n n ＝a n －1n －1，所以a n n ＝a 11．因为a 1＝2， 所以a n ＝2n ．(2)证明：因为a n ＝2n ， 令b n ＝4a na n ＋，n ∈N *，所以b n ＝42nn ＋＝1nn ＋＝1n －1n ＋1． 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1． 因为1n ＋1＞0，所以1－1n ＋1＜1．因为f (n )＝1n ＋1在N *上是递减函数，所以1－1n ＋1在N *上是递增的，所以当n ＝1时，T n 取最小值12．所以12≤T n ＜1．。
2018年高三数学(文)一轮复习高考大题增分专项 函数与导数
高考大题 增分专项
题型一 题型二 题型三
高考大题增分专项一
考情分析 典例突破
பைடு நூலகம்
高考中的函数与导数
专题总结 策略一 策略二
-4策略三
例1(2016全国丙卷,文21)设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性; ������-1 (2)证明当 x∈(1,+∞)时,1< <x;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx. 解(1)(导数与函数的单调性) 1 由题设,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= -1, ������ 令f'(x)=0解得x=1. 当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当 x∈(0,+∞)时,因为 e >1, ������ + ≥2 号成立 , 所以 ex ������ + 2
1 ������
������ · 2
1 ������
= 2 当且仅当������ =
>1,所以 h'(x)<0,
所以 h(x)在(0,+∞)上为减函数, 所以 h(x)<h(0)=3,所以 m<3.
ln������
高考大题 增分专项
题型一 题型二 题型三
高考大题增分专项一
考情分析 典例突破
高考中的函数与导数
专题总结 策略一 策略二
-5策略三
(2)由(1)知 f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0. 所以当 x≠1 时,ln x<x-1. 故当 x∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln < -1,即 1< (3)由题设 c>1,(构造函数) 设 g(x)=1+(c-1)x-cx,则 g'(x)=c-1-cxln c, 令 g'(x)=0,解得 x0= ln������ . 当 x<x0 时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当 x>x0 时,g'(x)<0,g(x)单调递减. 由(2)知 1<ln������<c,故 0<x0<1. 又 g(0)=g(1)=0,故当 0<x<1 时,g(x)>0. 所以当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
2018年高考大题增分专项6 概率与统计
=
∑
(ti-t)2=9+4+1+0+1+4+9=28,
7
i=1
∑ (ti-������)(yi-������)=(-3)×(-1.4)+(-2)×
(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,
^
������ =
������=1
∑ (������������ -������)(������������ -������)
高考大题 增分专项
题型一 题型二 题型三
高考大题增分专项六
考情分析 题型四 题型五 典例突破 题型六
高考中的概率与统计
专题总结
-3-
题型一
回归分析与相关系数
突破策略
分散、合成计算法
在计算回归方程的斜率������ =
∑ (������������ -������)(������������ -������)
������=1
������
∑ ������2 ������ -������������
2
和相关系
数 r=
������=1
∑ (������������ -������) ∑ (������������ -������)
������=1 ������
时,由于这两个量组成比较复杂,求它的值计
算量比较大,为了计算准确,可将这两个量分成几个部分分别计算,最 后再合成,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.
^
^
高考大题 增分专项
题型一 题型二 题型三
高考大题增分专项六
2018年高考真题文科数学分类汇编专题7概率与统计
专题7排列组合二项式定理概率统计与分布列（2018全国1卷）3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】分析：首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.详解：设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.（2018全国2卷）5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率. 详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.（2018全国3卷）5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.75．答案：B解答：由题意.故选B. （2018浙江卷）7.设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0，1)内增大时( ) A . D (ξ)减小B . D (ξ)增大C .D (ξ)先减小后增大D . D (ξ)先增大后减小7.答案：D 解答：111()0122222p p E p x -=???+， 22211113()()()()222222p p D p p p x -=?+?+?22111()422p p p =-++=--+，10.450.150.4P =--=D x先增大后减小，故选D.所以当p在(0,1)内增大时，()（2018全国3卷）14．某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．14．答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.（2018江苏卷）3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.点睛：的平均数为.（2018江苏卷）6. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．【答案】【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法（理科）：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. （2018浙江卷）14.二项式(+)8的展开式的常数项是_________________________14.答案：7解答：通项1813181()()2rrr r T C x x --+=843381()2r r r C x -=. 84033r -=，∴2r =.∴常数项为2281187()7242C ⨯⋅=⨯=. （2018浙江卷）16从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________________个没有重复数字的四位数(用数字作答) 16.答案：1260解答：224121353435337205401260C C A C C C A +=+=（2018全国1卷）19. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【答案】(1)直方图见解析.(2) 0.48．(3).【解析】分析：(1)根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；(2)结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；(3)根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少，从而求得结果.详解：（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48．（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为．估计使用节水龙头后，一年可节省水．点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.（2018全国2卷）18. 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．【解析】分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测.详解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．点睛：若已知回归直线方程，则可以直接将数值代入求得特定要求下的预测值；若回归直线方程有待定参数，则根据回归直线方程恒过点求参数.（2018全国3卷）18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，．18．解答：（1）第一种生产方式的平均数为，第二种生产方式平均数为，∴，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，∴第二种生产方式的效率更高.（2）由茎叶图数据得到，∴列联表为m m m ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K k k ≥184x =274.7x =12x x >80m =（3），∴有的把握认为两种生产方式的效率有差异.（2018北京卷）17. 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..详解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50， 故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B .没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部. 由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯99%点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.（2018天津卷）15. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】(Ⅰ)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人；(Ⅱ)（i）答案见解析；（ii）．【解析】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．。
【精品】2018届高三数学(文)高考总复习：升级增分训练 函数与方程含解析
升级增分训练（一）函数与方程1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z 上存在零点的函数是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x解析：选B 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z 时，sin 2x ＜0，sin 2x ＞0恒成立．故排除A ，D ，若tan 2x ＝0， 则2x ＝k π，x ＝k π2，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z 上不存在零点，当x ＝3π4＋2k π，k ∈Z 时，cos 2x ＝0，故选B ． 2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )、(b ，c )内B ．(－∞，a )、(a ，b )内C ．(b ，c )、(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )、(c ，＋∞)内解析：选A f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，即f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，又∵f (x )在R 上是连续函数，∴两零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内．3．在下列区间中，函数f (x )＝3x －x 2有零点的是( ) A ．0,1] B ．1,2] C ．－2，－1]D ．－1,0]解析：选D ∵f (0)＝1，f (1)＝2， ∴f (0)f (1)＞0；∵f (2)＝5，f (1)＝2，∴f (2)f (1)＞0； ∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，∴f (－2)f (－1)＞0；∵f (0)＝1，f (－1)＝－23，∴f (0)f (－1)＜0．易知－1,0]符合条件，故选D ．4．(2017·皖江名校联考)已知函数f (x )＝e x －2ax ，函数g (x )＝－x 3－ax 2．若不存在x 1，x 2∈R ，使得f ′(x 1)＝g ′(x 2)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,3)B ．(－6,0)C ．－2,3]D ．－6,0]解析：选D 易得f ′(x )＝e x －2a ＞－2a ，g ′(x )＝－3x 2－2ax ≤a 23，由题意可知a 23≤－2a ，解得－6≤a ≤0．5．函数y ＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)解析：选C 由题意，求函数y ＝12ln x ＋x －1x －2(x ＞0)的零点，即为求曲线y ＝12ln x 与y ＝－x ＋1x ＋2的交点，可知y ＝12ln x 在(0，＋∞)上为单调递增函数，而y ＝－x ＋1x＋2在(0，＋∞)上为单调递减函数，故交点只有一个，当x＝2时，12ln x ＜－x ＋1x ＋2，当x ＝e 时，12ln x ＞－x ＋1x ＋2，因此函数y ＝12ln x＋x －1x－2的零点在(2，e)内．故选C ．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )；②当x ∈－1,1]时，f (x )＝1－x 2．若函数g (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则函数y ＝f (x )－g (x )在区间(－4,5)上的零点个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 函数f (x )与g (x )在区间－5,5]上的图象如图所示，由图可知，函数f (x )与g (x )的图象在区间(－4,5)上的交点个数为9，即函数y ＝f (x )－g (x )在区间(－4,5)上零点的个数是9．7．(2017·昆明两区七校调研)若f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈0，1]时，f (x )＝x ，在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m2有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞解析：选B 依题意，f (x )＝1fx ＋－1，当x ∈(－1,0)时，x ＋1∈(0,1)，f (x )＝1fx ＋－1＝1x ＋1－1，由g (x )＝0得f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12．在同一坐标系上画出函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12在区间(－1,1]内的图象，结合图象可知，要使g (x )有两个零点，只需函数y ＝f (x )与y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫该直线斜率为m ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0在区间(－1，1]内的图象有两个不同的交点， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23，选B ．8．(2017·海口调研)若关于x 的方程|x 4－x 3|＝ax 在R 上存在4个不同的实根，则实数a 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，427B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，427C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫427，23D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤427，23解析：选A 依题意，注意到x ＝0是方程|x 4－x 3|＝ax 的一个根． 当x ＞0时，a ＝|x 3－x 2|，记f (x )＝x 3－x 2， 则有f ′(x )＝3x 2－2x ，易知f (x )＝x 3－x 2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在区间(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增．又f (1)＝0， 因此g (x )＝|x 4－x 3|x＝⎩⎨⎧|f x ，x ＞0，－|f x，x ＜0的图象如图所示，由题意得直线y ＝a 与函数y ＝g (x )的图象有3个不同的交点时，a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，427，选A ．9．对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( )A ．2,4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3D ．2,3]解析：选D 函数f (x )＝e x －1＋x －2的零点为x ＝1， 设g (x )＝x 2－ax －a ＋3的零点为b ，若函数f (x )＝e x －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”， 则|1－b |≤1，∴0≤b ≤2．由于g (x )＝x 2－ax －a ＋3必经过点(－1,4)， ∴要使其零点在区间0,2]上， 则⎩⎨⎧g ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0，即⎩⎨⎧－a ＋3≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ·a2－a ＋3≤0，解得2≤a ≤3．10．已知在区间－4,4]上g (x )＝－18x 2－x ＋2，f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ＋＋43x ＋，－4≤x ≤－1，2|x －1|－2，－1＜x ≤4，给出下列四个命题：①函数y ＝fg (x )]有三个零点； ②函数y ＝gf (x )]有三个零点； ③函数y ＝ff (x )]有六个零点； ④函数y ＝gg (x )]有且只有一个零点． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 画出函数f (x )，g (x )的草图，如图，①设t ＝g (x )，则由fg (x )]＝0，得f (t )＝0，则t ＝g (x )有三个不同值，由于y ＝g (x )是减函数，所以fg (x )]＝0有3个解，所以①正确；②设m ＝f (x )，若gf (x )]＝0，即g (m )＝0， 则m ＝x 0∈(1,2)，所以f (x )＝x 0∈(1,2)， 由图象知对应f (x )＝x 0∈(1,2)的解有3个， 所以②正确；③设n ＝f (x )，若ff (x )]＝0，即f (n )＝0，n ＝x 1∈(－3，－2)或n ＝0或n ＝x 2＝2，而f (x )＝x 1∈(－3，－2)有1个解，f (x )＝0对应有3个解，f (x )＝x 2＝2对应有2个解，所以ff (x )]＝0共有6个解，所以③正确；④设s ＝g (x )，若gg (x )]＝0，即g (s )＝0， 所以s ＝x 3∈(1,2)，则g (x )＝x 3，因为y ＝g (x )是减函数，所以方程g (x )＝x 3只有1个解，所以④正确，故四个命题都正确．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x ＞1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：当x ∈0,1]时，f ′(x )＝6x 2＋6x ≥0， 则f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 在0,1]上单调递增，因为函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点， 所以在区间0,1]和(1，＋∞)内分别有一个交点， 则m ＜0，且f (1)＝m ＋5＞0，解得－5＜m ＜0． 答案：(－5,0)12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．解析：①当x ≤0时，y ＝f (f (x ))－1＝f (2x )－1＝log 22x －1＝x －1， 令x －1＝0，则x ＝1， 显然与x ≤0矛盾， 所以此情况无零点． ②当x ＞0时，分两种情况： 当x ＞1时，log 2x ＞0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝log 2(log 2x )－1， 令log 2(log 2x )－1＝0，得log 2x ＝2， 解得x ＝4；当0＜x ≤1时，log 2x ≤0，y ＝f (f (x ))－1＝f (log 2x )－1＝2log 2x －1＝x －1， 令x －1＝0，解得x ＝1．综上，函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为2． 答案：213．(2017·湖北优质高中联考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：原问题可转化为求y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4,6]内的交点的横坐标的和，因为上述两个函数图象均关于x ＝1对称， 所以x ＝1两侧的交点关于x ＝1对称， 那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数在－4,6]上的图象(如图)， 可知在x ＝1两侧分别有5个交点， 所以所求和为5×2＝10．答案：1014．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x x ＋1，－1＜x ≤0，x ，0＜x ≤1与g (x )＝a (x ＋1)的图象在(－1,1]上有2个交点，若方程x －1x＝5a 的解为正整数，则满足条件的实数a 的个数为________．解析：在同一坐标系中作出函数f (x )与g (x )的图象，如图，结合图象可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，12．由x －1x＝5a ，可得x 2－5ax －1＝0，设h (x )＝x 2－5ax －1，当x ＝1时，由h (1)＝1－5a －1＝0， 可得a ＝0，不满足题意；当x ＝2时，由h (2)＝4－10a －1＝0， 可得a ＝310≤12，满足题意；当x ＝3时，由h (3)＝9－15a －1＝0可得a＝815＞1 2，不满足题意．又函数y＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件的实数a的个数为1．答案：1。
2018高考数学(文)升级增分训练 导数的综合应用(一)
升级增分训练 导数的综合应用（一）1．设函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋x －a －1(a ∈R)． (1)当a ＝－12时，求函数f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥0时，不等式f (x )≥x －1在(e 是自然对数的底数)时，不等式f (x )－g (x )＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，f (x )＝4x －4x ，f ′(x )＝4＋4x2，f ′(2)＝5，又f (2)＝6，∴所求切线方程为y －6＝5(x －2)， 即y ＝5x －4．(2)由题意知，x ∈(1，e]时，mx －mx－3ln x ＜3恒成立，即m (x 2－1)＜3x ＋3x ln x 恒成立， ∵x ∈(1，e]，∴x 2－1＞0， 则m ＜3x ＋3x ln x x 2－1恒成立．令h (x )＝3x ＋3x ln xx 2－1，x ∈(1，e]，则m ＜h (x )min ．h ′(x )＝－x 2＋x －6x 2－2＝－x 2＋x ＋6x 2－2，∵x ∈(1，e]， ∴h ′(x )＜0，即h (x )在(1，e]上是减函数． ∴当x ∈(1，e]时，h (x )min ＝h (e)＝9e －．∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，9e 2e －2．3．(2017·广西质检)设函数f (x )＝c ln x ＋12x 2＋bx (b ，c ∈R ，c ≠0)，且x ＝1为f (x )的极值点．(1)若x ＝1为f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用c 表示)； (2)若f (x )＝0恰有两解，求实数c 的取值范围．解：f ′(x )＝c x ＋x ＋b ＝x 2＋bx ＋cx(x ＞0)，又f ′(1)＝0，所以f ′(x )＝x －x －cx(x ＞0)且c ≠1，b ＋c ＋1＝0．(1)因为x ＝1为f (x )的极大值点，所以c ＞1， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当1＜x ＜c 时，f ′(x )＜0； 当x ＞c 时，f ′(x )＞0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，(c ，＋∞)；单调递减区间为(1，c )． (2)①若c ＜0，则f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．f (x )＝0恰有两解，则f (1)＜0，即12＋b ＜0，所以－12＜c ＜0；②若0＜c ＜1，则f (x )极大值＝f (c )＝c ln c ＋12c 2＋bc ，f (x )极小值＝f (1)＝12＋b ，因为b ＝－1－c ，则f (x )极大值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极小值＝－12－c ＜0，从而f (x )＝0只有一解；③若c ＞1，则f (x )极小值＝c ln c ＋c 22＋c (－1－c )＝c ln c －c －c 22＜0，f (x )极大值＝－12－c ＜0，则f (x )＝0只有一解．综上，使f (x )＝0恰有两解的c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0． 4．(2017·福建省质检)已知函数f (x )＝ax －ln(x ＋1)，g (x )＝e x－x －1．曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处的切线相同．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ≥0时，g (x )≥kf (x )，求k 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a －1x ＋1(x ＞－1)，g ′(x )＝e x－1，依题意，f ′(0)＝g ′(0)，即a －1＝0，解得a ＝1， 所以f ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0． 故f (x )的单调递减区间为(－1,0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)由(1)知，当x ＝0时，f (x )取得最小值0， 所以f (x )≥0，即x ≥ln(x ＋1)，从而e x≥x ＋1． 设F (x )＝g (x )－kf (x )＝e x＋k ln(x ＋1)－(k ＋1)x －1， 则F ′(x )＝e x＋k x ＋1－(k ＋1)≥x ＋1＋kx ＋1－(k ＋1)， (ⅰ)当k ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋1x ＋1－2≥0(当且仅当x ＝0时等号成立)， 此时F (x )在．5．(2016·石家庄质检)已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x－e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x g x ，g x ，f x ＜g x ，试讨论函数h (x )零点的个数．解：(1)由已知，f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x， 所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1， 由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x－e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x ＜1时，g (x )＜0， 又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R 上单调递减，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，f (－1)＝34－a ＞0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点， 此时y ＝h (x )有两个零点；②当a ＞0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0， 两根为x 1＝－a3＜0，x 2＝ a3＞0，则－ a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ a 3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－ a 33＋a ⎝⎛⎭⎪⎫－ a 3－14＝－2a3a 3－14＜0；现在讨论极大值的情况：fa3＝－a 33＋aa 3－14＝2a3a 3－14， 当fa3＜0，即a ＜34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零， 此时y ＝h (x )有两个零点； 当fa3＝0，即a ＝34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝ a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点； 当fa3＞0，即a ＞34时， 函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a3，若f (1)＝－1＋a －14＜0，即a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝－1＋a －14＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝－1＋a －14＞0，即a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a ＜34或a ＞54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34＜a ＜54时，y ＝h (x )有四个零点． 6．已知函数f (x )＝ax ＋b ln x ＋1，此函数在点(1，f (1))处的切线为x 轴． (1)求函数f (x )的单调区间和最大值； (2)当x ＞0时，证明：1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x； (3)已知n ∈N *，n ≥2，求证：12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝0，因为f ′(x )＝a ＋bx，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝－x ＋ln x ＋1． 即f ′(x )＝－1＋1x＝1－xx，又函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0． 故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 函数f (x )的最大值为f (1)＝0．(2)证明：由(1)知f (x )＝－x ＋ln x ＋1， 且f (x )≤0(当且仅当x ＝1时取等号)， 所以ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时取等号)． 当x ＞0时，由x ＋1x ≠1，得ln x ＋1x ＜x ＋1x －1＝1x； 由x x ＋1≠1，得lnx x ＋1＜xx ＋1－1＝－1x ＋1⇒－ln x x ＋1＞1x ＋1⇒ln x ＋1x ＞1x ＋1． 故当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． (3)证明：由(2)可知， 当x ＞0时，1x ＋1＜ln x ＋1x ＜1x． 取x ＝1,2，…，n －1，n ∈N *，n ≥2， 将所得各式相加，得12＋13＋…＋1n ＜ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＜1＋12＋…＋1n －1， 故12＋13＋…＋1n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1．。
2018版高考数学二轮复习 第3部分 考前增分策略 专题1 考前教材重温 7 概率与统计教学案 理
7.概率与统计■要点重温…………………………………………………………………………· 1．随机抽样方法简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且是不放回抽样．[应用1] 某社区现有480个住户，其中中等收入家庭200户、低收入家庭160户，其他为高收入家庭．在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了6户，则该社区本次抽取的总户数为________．[解析] 设本次抽取的总户数为x ，由抽样比例可知6x ＝480－200－160480，则x ＝24.[答案] 242．对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．[应用2] 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图23所示：图23若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________．[解析] 由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名． [答案] 4 3．样本数据的数字特征在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和，众数是最高矩形的中点的横坐标． 标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)简化计算公式①s 2＝1n [(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－n x 2]，或写成s 2＝1n(x 21＋x 22＋…＋x 2n )－x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．[应用3] (1)某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图24是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )图24A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75(2)已知样本数据3,4,5，x ，y 的平均数是5，标准差是2，则xy ＝( ) A ．42 B ．40 C ．36D ．30(3)某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了40个用户，根据用户满意度的评分制成频率分布直方图(如图25)，则该地区满意度评分的平均值为________.【导学号：07804193】图25[解析] (1)产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，……，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，故选C. (2)由3＋4＋5＋x ＋y 5＝5得x ＋y ＝13，①由15－2＋－2＋－2＋x －2＋y －2]＝ 2得x 2＋y 2－10x －10y ＋45＝0， ② ①×10＋②得，x 2＋y 2＝85③①2－③得，2xy ＝84，即xy ＝42，故选A.(3)由直方图估计评分的平均值为55×0.05＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.25＋95×0.15＝77.5.[答案] (1)C (2)A (3)77.5 4．变量间的相关关系变量间的相关关系以散点图为基础，设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)…，(x n ，y n )是两个具有线性相关关系的变量的一组数据，其回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则 ⎩⎪⎨⎪⎧b^＝∑n i ＝1x i－x y i－y ∑ni ＝1x i－x2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －nx2a ^＝y －b ^x .[应用4] 假设某商品的销售量x (件)与利润y (万元)有如下统计数据：且已知∑i ＝15x 2i ＝90，∑i＝15y 2i ＝140.8，∑i ＝15x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)对x ，y 进行线性相关性检验；(2)如果x 与y 具有线性相关关系，求出回归直线方程，并估计销售量为10件时，利润约是多少？附相关公式：r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1n y i －y2，b ^＝∑i ＝ 1nx i －xy i －y∑i ＝ 1nx i －x2＝∑i ＝ 1nx i y i －n x·y∑i ＝ 1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^·x .[解] (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，相关系数r 的分子为∑i ＝15()x i－x ()y i－y ＝∑i ＝15x i y i －5x ·y ＝122.3－5×4×5＝12.3，∑i ＝15()x i－x 2＝ ∑i ＝15x 2i－5()x 2＝ 90－5×16 ＝ 10，∑i ＝15(y i －y )2＝∑i ＝15y 2i －5(y )2＝140.8－125＝15.8， 所以r ＝12.310×15.8＝12.3158＝12.379×2≈0.987.因为0.987>0.75，所以x 与y 之间具有很强的线性相关关系． (2)因为b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x ·y∑5i ＝1x 2i －nx2＝12.310＝1.23， a ^＝y －b ^·x ＝0.08，所以所求的回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计销售量为10 件时，利润约为12.38 万元． 5．独立性检验两个分类变量X 和Y 相关的可信度，常通过随机变量K 2的观测值k ＝n ad －bc 2a ＋ba ＋cb ＋dc ＋d来衡量， k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大．[应用5] 甲乙两个学校高三年级分别为1100人，1000人，为了统计两个学校在地区第二次模拟考试中数学科目的成绩，采用分层抽样的方法抽取了105名学生的成绩，并作出了部分频率分布表如下(规定考试成绩在[120,150]内为优秀)： 甲校：(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异.K 2＝n ad a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.附：[解] (1)x ＝6，y ＝7. 估计甲校的优秀率为1055≈18.2%；乙校的优秀率为2050＝40%.(2)填表如下：K 2＝－30×75×55×50≈6.109.∵6.109＞5.024，∴有97.5%的把握认为这两个学校的数学成绩有差异． 6．解排列组合问题的常用策略相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果． [应用6] (1)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种．(2)从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________个．(用数字作答)[解析] (1)把4个球分成3组，每组至少1个，即分的小球个数分别为2,1,1的3组，有C 24C 12C 11A 22种．最后将三组球放入4个盒中的3个，有分配方法数A 34种，因此，放法共有C 24C 12C 11A 22×A 34＝144(种)．(2)将问题分成三类：①含数字5，不含数字0，则选元素的过程有C 13·C 24种方法，将5排在末位，则组数的过程有A 33种方法，依据分步计数原理得这一类共有C 13C 24A 33＝108个；②含数字0，不含数字5，则选元素的过程有C 23C 14种方法，将0排在末位，则组数过程有A 33种方法，这一类共有C 23C 14A 33＝72个；③含数字0，也含数字5，则选元素的过程有C 13C 14，若0在末位，则组数过程有A 33种方法，若0不在末位，则组数过程有C 12A 22种方法，这一类共有C 13C 14(A 33＋C 12A 22)＝120个．根据分类计数原理，其中能被5整除的四位数共有108＋72＋120＝300个 [答案] (1)144 (2)300 7．二项式系数的性质(1)对称性：C k n ＝C n －kn (k ＝0,1,2，…，n )．(2)系数和：C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.(3)最值：n 为偶数时，n ＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项，二项式系数为C n2n ；n 为奇数时，(n ＋1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第n ＋12项及第n ＋12＋1项，其二项式系数为.[应用7] (1)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．1(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4展开式中的常数项为________． [解析] (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝12n ，则a n ＝2n，b n ＝12n ，a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n＝n－1－12n＝2n ＋1，故选C.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4＝x －8x 4，由二项式定理知(x －1)8通项为T r ＋1＝C r 8x8－r(－1)r，令r＝4得T 5＝C 48x 4(－1)4＝70x 4，故⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x 4展开式中的常数项为70.[答案] (1)C (2)70 8．概率的计算公式(1)互斥事件有一个发生的概率P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，若事件A 与B 对立P (B )＝1－P (A )．(2)古典概型的概率计算公式：P (A )＝m n ＝card Acard I；[应用8] 某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为________． [解析] 由题意可分两种情况只有甲乙中一人参加，有C 12C 35A 44＝480. 甲乙两人参加有C 25A 44＝240则满足条件总的发言总数为480＋240＝720. 甲乙两人参加，且发言时不相邻的包括情况有C 25A 22A 23＝120. 则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为120720＝16.[答案] 16(3)几何概型的概率计算公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积和体积试验的全部结果所构成的区域长度面积和体积.[应用9] 在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )【导学号：07804194】A ．π12B ．1－π12C ．π6D ．1－π6[解析] 记“点P 到点O 的距离大于1”为A ， P (A )＝23－12×43π×1323＝1－π12. [答案] B(4)条件概率的概率计算公式：P (B |A )＝P A ∩B P A ＝n A ∩Bn A.[应用10] 盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( ) A.35 B ．59 C.110D ．25[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ， 则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P ABP A ＝1335＝59.[答案] B(5)相互独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ·B )＝P (A )·P (B )； (6)独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C k n P k (1－P )n －k；(7)若X ～N (μ，σ2)，则满足正态分布的三个基本概率的值是：①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.[应用11] 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．图26[解析] 三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N (1000,502)，得三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P ＝12，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率P 1＝1－(1－P )2＝34.那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P 2＝P 1×P ＝38.[答案] 389．离散型随机变量的均值、方差(1)离散型随机变量的均值、方差：均值：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ；方差：D (X )＝[x 1－E (X )]2p 1＋[x 2－E (X )]2p 2＋…＋[x n －E (X )]2p n . (2)两点分布与二项分布的均值、方差．①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． ②若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．[应用12] 由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图27所示．图27节排器等级如表格所示(1)如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；(2)如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X 的分布列及数学期望． [解] (1)由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号的节排器中一级品的概率为35，二级品的概率为25，则用分层抽样的方法抽取10件，其中有6件一级品，4件二级品，所以从这10件节排器中随机抽取3件，至少有2件一级品的概率 P ＝1－C 34＋C 24C 16C 310＝23. (2)由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为710，二级品的概率为14，三级品的概率为120.如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X 可能的值为0,1,2,3 .又P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫141×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164.所以X 的分布列为E (X )＝0×64＋1×64＋2×64＋3×64＝4.■查缺补漏…………………………………………………………………………·1．高三学生体检，某班级随机抽取5名女学生的身高x (厘米)和体重y (公斤)的数据如下表：根据上表可得回归直线方程为y ＝0.92x ＋a ，则a ＝( )【导学号：07804195】A ．－96.8B ．96.8C ．－104.4D ．104.4A [回归直线方程过点(x ，y )，而x ＝165，y ＝55，所以a ＝55－0.92×165＝－96.8，选A.]2．(x 2－x －2)6的展开式中x 2的系数等于( )A ．－48B ．48C ．234D ．432B [(x 2－x －2)6＝(2－x )6(1＋x )6＝(C 0626－C 1625x ＋C 2624x 2－…)(C 06＋C 16x ＋C 26x 2＋…)所以展开式中x 2的系数为C 0626C 26－C 1625C 16＋C 2624C 06＝48.选B.]3．如图28是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列， 则年龄在[35,40)的频率是( )图28A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3C [[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率和为1－(0.01＋0.07)×5＝0.6，又[30,35)，[35,40)，[40,45]的概率依次成等差数列，所以[35,40)的频率为0.63＝0.2.选C.]4．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有( ) A ．192种 B ．216种 C ．240种D ．288种B [完成这件事件，可分两类：第一类，最前排甲，其余位置有A 55＝120种不同的排法；第二类，最前排乙，最后有4种排法，其余位置有A 44＝24种不同的排法；所以共有A 55＋4A 44＝216种不同的排法．]5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B ．π－22C.π6D ．4－π4D [如图所示，正方形OABC 及其内部为区域D ，且区域D的面积为4，而区域D 中阴影部分内的点到坐标原点的距离大于2，易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.]6．若(1＋2x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7的值为( )A ．－2B ．－3C ．253D ．126C [令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－3，a 8＝2×(－2)7＝－256， ∴a 0＋…＋a 7＝－a 8－3＝253.选C.]7．已知某路段最高限速60 km/h ，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图29(单位：km/h)．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为( )图29A.415 B ．25 C.815D ．35C [由茎叶图可知，这6辆汽车中有2辆汽车超速，所以从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为P ＝C 12C 14C 26＝815，故选C.]8．如图30，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有( )【导学号：07804196】图30A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种B [由图可知，区域2,3,5,4不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有A 46×2＝720种，故选B.] 9．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是________．189256 [该人投篮4次，命中3次的概率为P 1＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫343⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝2764；该人投篮4次，命中4次的概率为P 2＝C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，故至少命中3次的概率是P ＝2764＋81256＝189256.]10．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．图31(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图31所示，则该样本的方差为________．(1)2,10,18,26,34 (2)62 [(1)分段间隔为405＝8，则所有被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)x ＝15(59＋62＋70＋73＋81)＝69.s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.]11．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)如下表所示：已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且∑i ＝16x i ＝39，∑i ＝16y i ＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲：y ^＝4x ＋54；乙：y ^＝－4x ＋106；丙：y ^＝－4.2x ＋105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”．现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率．[解] (1)∵变量x ，y 具有线性负相关关系，∴甲是错误的．又∵∑6i ＝1x i ＝39，∑6i ＝1y i ＝480，∴x ＝6.5，y ＝80，满足方程y ^＝－4x ＋106，故乙是正确的．由∑6i ＝1x i ＝39，∑6i ＝1y i ＝480，得a ＝8，b ＝90.(2)由计算可得“理想数据”有3个，即(4,90)，(6,83)，(8,75)．从检测数据中随机抽取2个，共有15种不同的情形，其中这两个检测数据均为“理想数据”有3种情形．故所求概率为P ＝315＝15.12．某技术公司新开发了A ，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：(1)(2)生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．[解] (1)产品A 为正品的概率为40＋32＋8100＝45. 产品B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34. (2)随机变量X 的所有取值为180,90,60，－30，P (X ＝180)＝45×34＝35； P (X ＝90)＝15×34＝320； P (X ＝60)＝45×14＝15； P (X ＝－30)＝15×14＝120.所以，随机变量X 的分布列为：E (X )＝180×35＋90×320＋60×5＋(－30)×20＝132.。
2018年高考数学考试大纲解读专题11概率与统计文
专题11概率与统计考徊原女(六)统计1 •随机抽样(1)理解随机抽样的必要性和重要性•(2 )会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法2 •用样本估计总体(1 )了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点•(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差) ，并作出合理的解释•(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想•(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题3 .变量的相关性(1 )会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系(2 )了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(七)概率1. 事件与概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别(2)了解两个互斥事件的概率加法公式•2 •古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式•(2)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率3 •随机数与几何概型(1) 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率(2) 了解几何概型的意义•（十七）统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题1 .独立性检验了解独立性检验（只要求2X 2列联表）的基本思想、方法及其简单应用2. 回归分析了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用对于统计的考查：1•从考查题型来看，选择题、填空题与解答题并重，并各有侧重，选择题、填空题中以考查抽样方法和用样本估计总体为主，兼顾两个变量的线性相关；解答题中则重点考查求回归直线方程及独立性检验2 •从考查内容来看，主要考查抽样方法的选择，利用频率分布直方图、茎叶图等图表分析众数、中位数、平均数等数字特征，两个变量之间的线性相关等3 •从考查热点来看，用样本估计总体是高考命题的热点，频率分布直方图、茎叶图、众数、中位数、平均数等是考查的重点，要能够对数据进行分析，然后对总体作简单、准确的评价对于概率的考查：1•从考查题型来看，涉及本专题的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古典概型和几何概型概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查古典概型概率的计算2 .从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，体现了概率问题的实际应用状况3 •从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率解答题中常与统计知识相结合考查概率的求解，需注意知识的灵活运用考向一三种抽样方法3样题1《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十 ，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了 560钱，乙带了 350 钱，丙带了 180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应 出 ____________________ 钱（所得结果四舍五入，保留整数）.【答案】171090考向二 样本的数字特征样题2 （2017新课标全国I 文科）为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这 n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为X 1, X 2,…，X n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A . X 1 , X 2,…，X n 的平均数B. X 1, X 2,…，X n 的标准差C. X 1 , X 2,…，X n 的最大值D. X 1, X 2,…，X n 的中位数【答案】B【解析】评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选企【名师点睛】介数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平,中位数：一组数1S 中间的数（起到分水岭的作用）＞ 中位数反映一组数抿的中间水平' 平1渊：反映一组数据的平均水平；方差:反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这m 数据偏离平均数的大 小）.在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 标准差罡方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度.考向三频率分布直方图的应用样题3（2017新课标全国n 文科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg ）,其频率分布直方图如下:【解析】本题主要考查分层抽样法.设丙应出x 钱，由题意可得100 560350x 180求解可得(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;箱产量v 50 kg箱产量》50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较附:P (/才)0.050 0.010 0.001 k3.841 6.63510.8282 n(ad - be)2K(a +b)(c +d)(a + c)(b + d)【解祈】(1)旧养殖法的箱产量低于刃婕的频率为(0.012-0.C 14-0.02440.034+0.040) X5-0.62. 因此』事件九的概率估计值为0 62.(2)根据箱产量的频率分布直團得列联表箱产量＜50 kg箱产量＞50 kg旧养殖法 62 38新养殖法34(56^200x(62x66-34x38? 100x^100x96x104由于15.705＞6.635,故有嗨的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3) 箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖M5.7O5-50 kg 到55 kg 之间，旧(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于7125A . C.B. D.法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖 法.【名师点睛】（1）频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积之和为 1.（2）频率分布直方图中均值等于组中值与对应概率乘积的和（3 ）均值大小代表水平高低，方差大小代表稳定性 考向四 线性回归方程及其应用 样题4为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：收入x （万兀） 8.0 8.6 10.0 11.4 12.0 支出y （万兀）4.15.26.16.77.9根据上表可得回归直线方程 y =bx <?，其中8 = 0.65，召n y -bk ，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为 A . 9.05 万元 B. 9.25 万元 C. 9.75 万元 D. 10.25 万元【答案】B【解析】由表格知收入无= 10,7 = 6,回归直线方程过点（兀刃，所以& = 一 $匚=6- 065 x 10 = -0.5, 当兀=15时，由回归直线方程得J = 9.25,故选R考向五概率的求解样题5 （2017新课标全国I 文科）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是【答案】B【解析】不妨设正方形边长为0由图形的对称性可知*太极图中黑、白著坯面积相等，即各占圆面积 的一半.-X3CX （—）2由几何概型概率的计章公式得,所求概率为Z =-,选B.a E秒杀解析：由题意可潮 此点取自黒色部分的概率即为黑色咅吩面积占整个面积的比例，由團可知其概 率卩满足-J 故选B*4 2【名师点睛】对于一个具体冋题能否用几何概型的概率公式计算事件的概率，关键在于能否将冋题几何 化，也可根據实际问题的具体情况，选取合适的醪数建立适当的坐标系，在此基础上』将实验的毎一结 果 对应于该坐标系中的一点』使得全体结果枸成一个可度量的区域；另外，从几何概型的定义可知，在几何概型中厂等可能”T 司理解为对应于每个实验结果的点落入某区 域内的可能性大小，仅与该区域的度量成正匕而与该区域的位畫形状无关.样题6如图,茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超 过乙的平均成绩的概率为甲B.C.-5D. 7_107127【答案】C,x 甲 • x 乙,即 352+ x ：：： 450,得到 x 98 ,又因为x -90，且x 是整数，故基本事件为从 90到99,共10个, 而满足条件的为90到97,共8个,84故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P = 二，故选C.10 5考向六独立性检验【解析】由茎叶图可知，甲的平均成绩为X 甲二 88 89 90 919290 ,乙的平均成绩为x 「83 83 87 99x样题7某校为了让高一学生更有效率地利用周六的时间，在高一新生第一次摸底考试后采取周六到校自主学习，同时由班主任老师值班，家长轮流值班• 一个月后进行了第一次月考，高一数学教研组通过系统抽样抽取了⑴名学生，并统计了他们这两次数学考试的优良人数和非优良人数，其中部分统计数据如下：⑴请画出这次调查得到的列联表，并判定能否在犯错误的概率不超过小：丨的前提下认为周六到校自习对提高学生成绩有效？(2)从这组学生摸底考试数学优良成绩中和第一次月考数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取个成绩，再从这个成绩中随机抽取个，求这个成绩来自同一次考试的概率•下面是临界值表供参考：2n-ad―bc，其中*： -m(参考公式：K2(a+b )(c+d )(a+c)(b+d )【解析】(1 列联表如下:计算得的观测值为k晋畑28，因此能在犯错误的概率不超过的前提下，认为周六到校自习对提高学生成绩有效8(2)从摸底考试数学优良成绩中抽取—x5 = 3个，记为45,C, 从第一次月考数学非优良成绩中抽取磐x5 = 2个记为D E. 从这个成绩中随机抽取个，包含的基本事件有：5 2(4町共io个. 这个成绩来自同一次考试包含的基本事件有：aB"QUQ,(D,E),共4个2从这个成绩中随机抽取个，设这个成绩来自同一次考试为事件，5 2 2 A则尸(")=春€，因此，这2个成绩来自同一次考试的概率是彳-。
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升级增分训练 概率与统计
1．(2017·重庆适应性测试)据我国西部各省(区，市)2015年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间的人数分别为2人，
故b ＝0.02.
(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，
得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个， 故所求概率P ＝16100＝4
25
.
6．(2017·合肥质检)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：
(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；
(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．
附：b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x －·y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －n x －
2
，a ^＝y －b ^x －
.
解：(1)由数据得x －＝1
5(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
y －
＝15
(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，
∑i ＝15
x i y i ＝0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18＝1.92.
∑i ＝1
5
x 2
i ＝12＋22＋32＋42＋52
＝55. 5x － y －
＝5×3×0.1＝1.5， 5x －2
＝45，
故b ^＝1.92－1.555－45＝0.042.
a ^
＝0.1－0.042×3＝－0.026，
所以线性回归方程为y ^
＝0.042x －0.026.
(2)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点． 由y ^
＝0.042x －0.026＞0.5，解得x ≥13，
故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.
7．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w ＝3时，估计该市居民该月的人均水费． 解：(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%. 依题意，w 至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)． 8．(2016·云南省统测)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在的学生可取得A 等(优秀)，在七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数；
(2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？
附：K2＝
n ad－bc2
a
＋b c＋d a＋c b＋d
解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x＝100×＝2.
据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为2
100
×1 600＝32.
(2)根据已知条件得2×2列联表如下：
∵K2＝
－2
60×40×18×82
≈0.407＜2.706，
∴没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．。