案例10《导数及其应用》第二轮复习教学设计

延边大学研究生教案（案例教学）周次第周，第次课
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案例10《导数及其应用》第二轮复习教学设计
教学目的要求1.要深刻理解导数的有关概念，掌握导数的运算，会运用导数求切线的方程；
2.要学会用导数的方法研究函数，特别是会运用导数处理函数单调性相关问题；
3.掌握函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决单调性、参数的范围等问题；
4.通过导数的综合应用培养学生的划归思想、数形结合思想、分类讨论思想.
教学重点难点重点：如何运用导数解决单调性问题以及问题转化后一些函数问题的处理.
难点：函数问题的转化
教学方法讲授法（√）谈话法（）讨论法（）演示法（√）实验法（√）练习法（）读书指导法（√）
教学策略事实性（案例）教学策略（√）
直观（活动、情景剧）教学策略（√）
联系实际（体验、诊断）教学策略（√）情感态度（感悟）教学策略（）
教学组织形式课堂教学（√）团队学习（）专题研讨（）现场教学（√）案例分析（√）教育调查（）
学生学习模式科学探究模式（√）自主学习模式（）
合作学习模式（）“读读、议议、讲讲、练练”的模式（√）
案例讨论
的课前准
备阶段
回忆函数的基本概念，性质与图像，讲解导数的概念与几何意义，
案例（一）课堂引入
问：导数能帮我们解决哪些问题？
设计目的：抛砖引玉，帮助学生回忆导数作为工具的作用。

（1）代数
方面：可用导数研究函数的单调性、数值等相关问题；（2）几何方面：可用导数求切线，处理交点个数等问题
（二）典例分析
例1：已知函数()()022
1l n 2≠--=a x ax x x f
（1）若()x f 在区间[]3,1上是增函数，求a 的取值范围； （2）若()x f 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （3）若()x f 在区间[]3,1上不单调，求a 的取值范围； 【设计目的，通过问题链向学生展示题目间的存在关系，揭示解题的通体通解】
（1）问：()x f 在区间[]3,1上是增函数与()x f 的导数有什么关系？
要使()x f 在区间[]3,1上是增函数，等价于
()012212'
≥+--=--=x
x ax ax x x f 在区间[]
3,1上恒成立
问：处理恒成立问题的基本方法有哪些？ 参数分离法、图像分析法：
1111210122
22-≤∴-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-≤⇒≥+--a x x x a x ax
（2）问：()x f 存在单调递减区间与()x f 的导数有什么关系？
若
()x f 存在单调递减区间，即
()01
2212'
<x
x ax ax x x f +--=--=在()+∞,0上解集不为空。

解析：方法一（图像分析法）：
①当0>a 时，0122
<+--x ax 有解成立。

②当0<a 时，因为122+--=x ax y 图像经过()1,0点，所以
只要1010220
44-∴-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-+=∆><<>>a a a a 且0≠a 方法二（参数分离法）：
()012212'
<x
x ax ax x x f +--=--=有解，则
111212
2-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-x x x a >有解，只要1->a 即可，1-∴>a 且
0≠a ，
（3）问“()x f 在区间[]3,1上不单调”与()x f 的导数有什么关系？ ①可以用对立面处理即先求()x f 在区间[]3,1上单调，再求a 的补集
②等价于()012212
'=+--=--=x
x ax ax x x f 在区间
[]3,1上有解
解析：方法一：若()x f 在区间
[]3,1上是减函数，则
()01
2212'
≤+--=--=x
x ax ax x x f 在区间[]3,1上恒成立，
95111210122
22-≥∴-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-≥⇒≤+--a x x x a x ax
则结合（1）小题得，()x f 在区间
[]3,1上不单调时，a 的范围是：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--95,1
方法二：()012212
'
=+--=--=x
x ax ax x x f 在区间()3,1上有解即可，参数分离得
111212
2-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x a 在区间()3,1上有解，而1112
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x 在()3,1上的范围为⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--95,1，所以a 的范围为⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--95,1。

例2：已知函数()()022
1ln 2
≠--
=a x ax x x f ，l 是曲线)(x f y =在[])1(,1f P 处的切线
（1）求l 的方程 （2）若切线l 与曲线)(x f y
=有且只有一个公共点，求实数a
的取值范围
【设计目的：通过本题，让学生理解导数的几何意义，同时掌握曲线切线与方程、不等式的关系，体现导数的综合应用】
解析：（1）
()x
x ax ax x x f 12212'
+--=
--=()1211'
--=--=a a f 221)1(--=a f l ∴的方程是：)1)(1()22
1
(---=---x a a y ，即
12
1
)1(-+
+-=a x a y （2）问切线l 与曲线)(x f y
=有且只有一个公共点的等价命题有哪些？
引导学生得到⎪⎩⎪⎨⎧-++-=--=1
a 211)x (a y 2x 2
ax 2
1lnx y 有且只有一组解，即 02
1
1221ln 2=-+++--a x ax x ax x 在()+∞,0有且只有一个解。

进而可转化为()a ax x ax x x g 2
1
121ln
2-++--=在()+∞,0与x 轴只有
一个交点，则
()()()x
x ax x x ax ax a ax x x g 111112'
-+-=
+-+-=+--=，
()0'=x g 时，a
x 1
1-
=或12=x
①当01<a
- 即0>a 时
有最大值0)1(=g ,所以符合题意
②当11
0<<a
-时，即1-<a 时
如图，当x
0时，()x g 01,>⎪⎭⎫ ⎝⎛-
-∞→a g ，即在区间⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-a 1,0存在,0x 使得()00=x g ，有()01=g ，所以有两个解，不符合题意。

③当11=-
a ，即a=-1时，0)1)(1()('≥-+-=x
x ax x g ，)(x g 在),0(+∞上
x
(0,1) 1 ()+∞,0
()x g '
+ 0
- ()x g
极大值
x
⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0 a 1- ⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,1a 1
()
+∞,1 ()x g '
+ 0
-
- ()x g
极大值
极小值
恒单调递减，又因为0)1(=g ，所以1-=a 成立
④当11
>-a
时，即01<<-a 时，
如图：当+∞→x 时，
0)1
(,)(<-+∞→a
g x g ，即在区间),1
(+∞-a
存在0x ，使得0)(0=x g ，又0)1(=g ，所以有两个解，不符合题意。

综上有a 的范围为0>a
或者1-=a
（三）课堂小结 1.
)(x f 在区间[]b a ,上是增（减）函数，等价于)0(0)('≤≥x f 在
区间
[]b a ,上恒成立 )(x f 在区间[]b a ,存在单调递减（增）区间等价于)0(0)('
><x f 在
区间
[]b a ,上解集不为空
)(x f 在区间[]b a ,上不单调，等价于0)('=x f 在区间[]b a ,上有
解，亦可用其对立面
x
)1,0(
1
)1,1(a -
a
1- ),1
(+∞-a
()x g '
+ 0
-
- ()x g
极大值
极小值
可用其对立面解决
2.在解决导数的综合问题时要注意函数、方程、不等式等之间的联系与转化，要关注数形结合进行分类讨论
3.在求参数范围时，参数分离有时是一种很有效的方法。

案例讨论的问题案例中情境导入如何设计更能吸引孩子的注意力，并快速的使学生想起以往学过的知识。

课堂讨论1.本课的教学重心应该放在快速的给学生回忆起以往学过的知识，并仔细归纳考点
2.突破的关键点在哪里？
案例讨论的总结综
述1.探究式教学应用，着重引导学生建构“十”这个概念
2.设计时要照顾学生的知识起点，地域，环境等差异
3.根据学生不同基础设计差异化的练习。