习题2 二次曲面

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28.8.5二次曲面(二)及习题课.

的正负惯性指数.
23
例1
选择题:曲线
5x2

3y2

3z2
12
y 3
在xOz面上的投影曲线分别绕 x 轴和z
轴旋转一周所成的曲面是
(A) 单叶双曲面、二次锥面． (B) 单叶双曲面、双叶双曲面． (C) 圆柱面、椭球面． (D)马鞍面、单叶双曲面．
24
解题方法消去一个变量可得投影柱面的方程,即可求出投影曲线的方程,再旋转即可.
解消去 y 得平行 y 轴的投影柱面方程为
3z2 5x2 15 即 z2 x2 1
53
z2 x2
投影曲线为
5

3
1
y 0
25
则绕 x 轴旋转得单叶旋转双曲面为: y2 z2 x2 1 53
绕 z 轴旋转得双叶旋转双曲面 z2 x2 y2 1 53

a21
a22
am1 am2
a1n
x1
a2n

,
X

x2

,
amn
xn
34
a11 a12
a1n x1
AX

a21
a22
am1 am2
a11x1 a12 x2

a21x1

a22
x2
a2n x2
d
3
பைடு நூலகம்
12 22 22
故圆的半径 r R2 d2 259 4.
27
例3
判断
A

1
1
1，B

《解释几何-第四版》第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面讲解与习题柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

例1、求直线 x y z 1
2 1 0
绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1
xOz面上的射影柱面，曲线
为曲线L在xOz坐标面上的射影曲线
x2 z 2 4z y0
从方程组
2 x2 z 2 4 y 4z L: 2 2 x 3 z 8 y 12 z
消去z，得，这就是空间曲线L在 2 x xOy面上的射影柱面，曲线 4 y 0
F 1 ( x, y ) 0 z 0
称为空间曲线（1）在xOy坐标面上的射影曲线。同理，曲面 F2 ( x, z) 0 与曲面 F3 ( y, z) 0 分别叫做方程（1）对xOz坐标面与yOz坐标面射影的射影柱面
而曲线
F2 ( x, z ) 0 y0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,

x 2 z 2 0.

规律：
当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。
2
2
2

几种常见的二次曲面

注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间方程 F ( x , y ) 0 表示柱面, 母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上，表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.

高数-附-2 二次曲面

1
与xoy平面平行的平面 z=z1 的交线为

x2 a2

y2 b2
1
z12 c2
z z1 为椭圆.
与yoz平面的交线

y2 b2

z2 c2

1
双曲线.
x 0
x0
x2 a2

y2 b2

z2 c2

1
与yoz平面平行平面的交线

y2 b2

z2 c2
（二）抛物面
(1) x2 y2 z（ p 与 q 同号）
2 p 2q
椭圆抛物面
椭圆抛物面的图形如下：
z z
o x
y
p 0, q 0
xo y
p 0, q 0
用截痕法讨论：设 p 0, q 0
z
（1）用坐标面 xoy(z=0) 与曲面
相截, 截得一点，即坐标原点O.
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z=z1 ( z1>0 ) 的交线为:
xo y
x2

2
pz1

y2 2qz1

1
当 z1变动时，这种椭圆的中心都在 z 轴上.
z z1 为椭圆.
与平面 z z1 (z1 0)不相交.
（2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
截得
x2

2
pz
为抛物线
z
z12
)

b2 c2
y2 (c2

z12 )
为椭
1
z z1 | z1 | c
圆
同理与平面 x x1 和 y y1 的交线也是椭圆.

孟道骥《高等代数与解析几何》(第3版)(下册)二次曲面 9.2 课后习题详解【圣才出品】

在 YOZ 平面上的交线，为
即得
因而是 YOZ 平面上的共轭双曲线．共轭双曲面
在 ZOX 平面上的交线，为
即可得
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因而是 ZOX 平面上的共轭双曲线．
第 2 节直纹面
1．已知柱面的准线方程为解：此柱面的准线方程
证
．
证：设 Pi 的坐标为
，这里 ri＞0，则有
由于 i≠j 时，
垂直，于是可得
即得
，i＝1，2，3．试
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是正交矩阵，所以有又 Pi 在 S 上，故可得即将上面三式相加，即可完成证明． 5．证明方程 (λ为参数)表示经过曲线

因此它们垂直当且仅当又 P0∈S，故有于是 P0 的轨迹满足：
当 a≠b 时，为双曲线．当 a＝b 时，为二相交直线：和
6．试证单叶双曲面，双曲抛物面的母线有下列性质： 1）同族的两条母线不共面； 2）异族的两条母线共面； 3）经过单叶双曲面的一条母线的平面也经过另一族的一条母线； 4）经过对双曲抛物面的不平行对称轴的一条母线的平面也经过另一族的一条母线．
将（2，1，3）分别代入．则得μ＝Aλ，μ′＝0，于是过点 M(2，1，3)的两条直母线为，
5．求双曲抛物面
上互相垂直的直母线的交点的轨迹．
解：由抛物面 S 的方程可写为
于是其两族直母线为于是过
，的两条直母线，为
于是可得它们的方向数：
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的椭球面族，并求此族曲面的中心的轨迹方程．证：设

二次曲面及复习ppt课件

r个1
1 1 0 0
;
事实上，设实对称矩阵B的秩为r. 假设
xTBx ≥ 0, ∨ n维列向量x，
那么 B 一定有r 个正的特征值, 剩余 n-r 个特征值均为0.
另外，B与以下矩阵合同
r个1
1 1
0
0
;
P240第14题: 请注意在用定义说明一个矩阵是正定时，需要强调x是非零的向量. 因为x=θ时， xTAx = 0 !
xTAx = (xT, T)Mx > 0,
yTBy = (T, yT)My > 0,
A, B都正定.
;
第六章二次型与二次曲面
§6.1 二次型
例题. 设A, B都是实对称矩阵, M =
AO OB
,
证明: M正定 A, B都正定.
证明: ()
1
1
② 设P1AP =
, Q1BQ =
,
s
t
1
那么P O 1 A O OQ OB
7.当有一个特征值大于零，一个特征值小于零时，一个特征值等于零，曲面为双曲柱面.
7.当有两个特征值等于零，一个特征值大于零时，曲面为一对平行的平面.
8.当有两个特征值等于零，一个特征值小于零时，曲面为一对平行的虚平面.
;
第六章二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例18. f(x, y, z) = x2 + 2y2 z2 + 2kxz.
a11 a12 a13
x
b1
A = a12 a22 a23 x = y B = b2
a13 a23 a33
z
b3
;
第六章二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面

高等数学二次曲面

（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截）均可得抛物线. 均可得抛物线时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月南京航空航天大学理学院数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学理学院数学系`
21
练习题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程，的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面：二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形：三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内在第一卦限内) (在第一卦限内) .

高等数学课后习题2 二次曲面

习题二二次曲面
一、试求平面x 2 0 与椭球面x2 y2 z2 1 相交 16 12 4
的椭圆的半轴和顶点。
解： x2 16
x20 y2 z2
12 4
1

x y2
9

2 z2
3
0
1
半轴为3, 3
顶点为(2,3,0),(2,3,0),(2,0, 3),(2,0, 3).
七、指出下列方程组所表示的曲线：
y2 3z2 4x 8 0 (1)
y 4
(2)
x2 4

y2 9
z2
16

1
z 2
解： ( 1 ) 抛物线，3z2 4x 24 0 y4
( 2 ) 虚圆，
x2 y2 3 49 4
x2 9
y2 250来自 x 3
y 5

0
z 2
z 2
四、
求
曲
线2xx22

y2 y2

z2 z2

16 0
在
xoy
面上
及
zox
面上的投影曲线方程。
解：xoy 面上 ,x2 2 y2 16 z0
zox 面上 ,3x2 2z 2 16 y0
五、求曲线x2 2 y2 z 0 在三个坐标面上的 z x 1
投影方程。
解：(1)xoy面上，x2 2 y2 x 1 0

z0
(2) yoz面上，(z 1)2 2 y2 z 0

x0

解析几何第四章习题及解答

第4章二次曲线和二次曲面习题4.11.在直角坐标系x O y 中，以直线:43120l x y -+=为新坐标系的x '轴，取通过(1,3)A -且垂直于l 的直线为y '轴，写出点的坐标变换公式，并且求直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程。

解：直线:43120l x y -+=的方向是(3,4)，与它垂直的方向是(4,3)±-，新坐标系的x '轴的坐标向量取为34(,)55，y '轴坐标向量取为43(,)55-，与直线:43120l x y -+=垂直且的直线方程可设为340x y c ++=，由于过点(1,3)A -，得到直线方程是3490x y ++=，两直线的交点(3,0)-是新坐标原点，所以点的坐标变换公式：34355.43055x x y y ⎡⎤-⎢⎥'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦直线1:3250l x y -+=在新坐标系中的方程：13443:3(3)2()505555l x y x y ''''---++=，化简有1:18200.l x y ''--=2.作直角坐标变换，已知点(6,5),(1,4)A B --的新坐标分别为(1,3),(0,2)-，求点的坐标变换公式。

解：设同定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1) A B =-变为(1,5)A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到125s i n ,c o s .1313θθ==于是点的坐标变换公式是：5121313.1251313x x a y y b ⎡⎤-⎢⎥'⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦将点(1,4)B -及它的像点(0,2)代入得到3713,6213a b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 51237131313.12562131313x x y y ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥'⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设反定向的点的坐标变换公式是：cos sin .sin cos x x a y y b θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦它的向量的坐标变换公式是：cos sin .sin cos u u v v θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦由题意知向量(5,1)A B =-变为(1,5) A B ''=-，于是有5cos sin 1.1sin cos 5θθθθ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦得到s i n 1,c o s 0.θθ=-=于是点的坐标变换公式是：01.10x x a y y b '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦将点(1,4B -及它的像点(0,2)代入得到3,4a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以点的坐标变换公式是： 013.104x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦3.设新旧坐标系都是右手直角坐标系，点的坐标变换公式为5,3,22(1)(2) 2.3;22x x y x y y x y x y ⎛''=++ '=-+⎧⎨' =-⎩''=-+- ⎝ 其中，(,)x y 与(,)x y ''分别表示同一点的旧坐标与新坐标，求新坐标系的原点的旧坐标，并且求坐标轴旋转的角θ。

2020成人高考专升本数学复习(高数一)复习题及答案

2020成人高考专升本数学复习(高数一)复习题及答案2020年成人高考专升本高等数学一复试卷构成分析一、题型分布：本试卷分为选择题、填空题和解答题三部分，分别占总分的40%、40%和70%。

二、内容分布本试卷内容包括极限函数、求导、微分、积分、空间几何、多元函数、无穷级数和常微分方程。

难点在于隐函数求导、全微分、多元函数极值和常微分方程。

复方法：1、结合自身情况制定研究目标；2、分章节重点突破，多做题，做真题。

第一部分极限与连续题型一：求极限方法一：直接代入法（当代入后分母不为零时可用）练1.lim (2x-1)/sinx = _______练2.lim sinx/x (x→π) = _______方法二：约去为零公因子法练1.lim (x²+x-2)/(x-1) (x→1) = _______练2.lim (x⁴-1)/(x³-1) (x→1) = _______方法三：分子分母同时除以最高次项（当极限为∞或-∞时）练1.lim (3x²+1)/(x-1) = _______练2.lim (2x⁵-x+1)/(x⁵-1) (x→∞) = _______练3.lim (√(5x-4)-√x)/(x-1) = _______方法四：等价代换法（当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，ln(1+x)~x，cosx~1-x²/2）等价代换只能用于乘除，不能用于加减）练1.lim sin(x-1)/(x²-1) (x→1) = _______练2.lim (1-cosx)/(xsinx) = _______练3.lim arcsin(x-1)/(x-1) = _______方法五：洛必达法则（分子分母求导）当极限为1-∞型或0/0型或其他变形形式时练1.lim (2n²-n+1)/(3x+5) (2n→∞) = _______练2.lim ln(x)+ex-eⁿx/(x-1) (x→1) = _______两个重要极限（背2个重要极限）lim (1+x)ⁿ/x = eⁿ (x→0)lim (aⁿ-1)/n = ln a (n→∞)练1.对函数f(x)=x^3-3x^2+2x求出其前三阶导数。

《I二次曲面介绍》PPT课件_OK

§2 二次曲面介绍
二次曲面：二次方程所表示的曲面.
x2 a2
y2 b2
1
0,
椭圆柱面
x2 y2 z2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
1
0,
双曲柱面
单叶旋转双曲面
x2 2 py 0.
抛物柱面
y2 b2
x2 z2 c2
1
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
二次锥面
双叶旋转双曲面
1
x2 y2 c2 2zc 0 旋转抛物面
面对称.
（2）用平面 z h 去截，截线是个椭圆
x2 y2
h2
a2 b2 1 c2
z
zh
这个椭圆的顶点在 xz, yz平面
（3）曲面在 xz, yz平面的截线为
o
y
x2 a2
z2 c2
1,
和
y2 b2
z2 c2
1.
x
y0
x0
单叶双这是曲两面条可有以共看同成的是虚一轴个和顶虚点轴在长两的条双双曲线曲，线它们8
新的坐标系[O',e1' ,e2' ,e3' ].
x
1 x' 2
1 y' 2
令
y
1
x'
1
y'
2
2
O' =O,e1' (
1, 2
1 ,0), 2
e2' (
1, 2
1 2
, 0), e3'
e3
z z'
坐标变换公式
原方程化为z' = 1 x'2 1 y'2 - 2x' -2.

利用二次曲面的主径面化简二次曲面课件

（4）取不同特征根下的主径面为新坐标平面作坐标变换,
得出曲面的简化方程.
例2 化简二次曲面方程 x2 y2 5z2 6xy 2xz 2yz 6x 6y 6z 10 0
解
二次曲面的矩阵为 1 3 1 3
3
1
1 1
1 5
3
3 0
I1 7, I2 10, I3 36
当=0时,与它相应的主方向为二次曲面的奇向；
当≠0时,与它相应的主方向为非奇主方向,将非奇主方向
（X,Y,Z）代入（6.4-1），就得共轭于这个非奇主方向的主径面.
例1 求二次曲面 3x2 y2 3z2 2xy 2xz 2yz 4x 14y 4z 23 0 的主方向与
主径面.
解二次曲面的矩阵是
垂直，所以有
(a11X a12Y a13Z ) : (a12 X a22Y a23Z ) : (a13X a23Y a33Z ) X :Y : Z,
从而得
aa1112XX
a12Y a22Y
a13Z a23Z
X Y
, ,
a13 X a23Y a33Z Z.
因此方向（X,Y,Z）成为二次曲面（6.1-1）的主方向的充要条件是存在使得上式成立,
定义3 二次曲面主径面的共轭方向（即垂直于主径面的方向）, 或者二次曲面的奇向,称为二次曲面的主方向.
设二次曲面方程为（6.1-1）,方向（X,Y,Z）
如果（X,Y,Z）是（6.1-1）的渐近方向,那么它成为（6.1-1）的主方向的条件是
aa1121
X X
a12Y a22Y
a13Z a23Z
与它共轭的主径面为 x y 2z 0.
同理得，特征根 =3对应的主方向
（X,Y,Z）=（-5,5,-5）= -5（1,-1,1）

第二类曲面积分例题

第二类曲面积分例题（原创版）目录一、引言二、第二类曲面积分的概念和方法1.概念2.方法三、例题解析1.例题一2.例题二四、结论正文一、引言在数学中，曲面积分是一种常见的积分形式。

与第一类曲面积分（对于标量场在曲面上的积分）不同，第二类曲面积分是对向量场在曲面上的积分。

第二类曲面积分的概念和方法对于理解更复杂的数学问题具有重要意义，因此本文将通过例题解析来介绍第二类曲面积分的相关知识。

二、第二类曲面积分的概念和方法（1）概念第二类曲面积分指的是对于一个给定的曲面 S 和曲面 S 上的一个向量场 F，将曲面 S 划分为若干小的面元 dS，计算每个面元上的向量场F 与法向量的内积的和，再对所有面元求和。

当面元尺寸趋近于 0 时，若极限存在，则称该极限为向量场 F 在曲面 S 上的第二类曲面积分。

（2）方法求解第二类曲面积分的方法通常有以下两种：1.直接积分法：将曲面 S 参数化，即将曲面上每个点表示为参数 (u, v) 的形式，然后对向量场 F 在参数空间上的表达式进行积分。

2.间接积分法：先求曲面 S 的边界曲线 C，然后对边界曲线 C 上的向量场 F 进行积分，再利用曲线 C 与曲面 S 的关系求解第二类曲面积分。

三、例题解析（1）例题一给定曲面 S：z = x^2 + y^2，向量场 F：F(x, y, z) = (x, y, 1)，求曲面 S 上的第二类曲面积分。

解：采用直接积分法，首先将曲面 S 参数化，令 x = rcosθ, y = rsin θ, z = r，带入向量场 F 的表达式得到 F(r, θ) = (rcosθ, rsinθ, 1)。

然后对参数 (r, θ) 进行积分，积分区间为 0 到 1（因为曲面 S 的范围是 0 到 1），得到曲面积分：∫∫F(r, θ)drdθ = ∫∫(rcosθ, rsinθ, 1)drdθ = ∫r(rcosθ + rsinθ)dθ + ∫dθ = r^2(1/2 + 1/2) + θ = r^2 + θ。

解析几何习题-柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面（可编辑）

解析几何习题-柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面第4章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§4.1柱面 1、已知柱面的准线为：且（1）母线平行于轴；（2）母线平行于直线，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程中消去，得到：即：此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点，过且平行于直线的直线方程为：而在准线上，所以上式中消去后得到：此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量任取准线上一点，过的母线方程为：而在准线上，所以：消去，得到：此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为：它与已知直线的交点为，这三点所定的在平面上的圆的圆心为，圆的方程为：此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点，且方向为的直线方程为：将此式代入准线方程，并消去得到：此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为，母线的方向平行于矢量，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：与式中的为参数。

证明：对柱面上任一点，过的母线与准线交于点，则，即亦即，此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达，即：此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4.2锥面 1、求顶点在原点，准线为的锥面方程。

解：设为锥面上任一点，过与的直线为：设其与准线交于，即存在，使，将它们代入准线方程，并消去参数，得：即：此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为，准线为，试求它的方程。

解：设为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：令它与准线交于，即存在，使将它们代入准线方程，并消去得：此为要求的锥面方程。

3、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）圆锥的轴与等角，故的方向数为与垂直的平面之一令为平面在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点，该圆的圆心为，故该圆的方程为：它即为要求圆锥面的准线。

线性代数之二次曲面

这些交线都是椭圆.
平面 z h (| h | c) 截割该曲面的截痕(交线)为：
x2 y2 2 1 a2 b 2 2 (c 2 h 2 ) 2 (c h ) c c2 z h 这是平面 z h 上的一个椭圆,
它的两个半轴分别为 a 2 b 2 2 c h 和 c h2 . c c 当 h 由小变到大时, 椭圆由大变到小,最后缩成一点. 且这一系列椭圆的中心都在 z 轴上.
总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴旋转一周得到的旋转曲面方程可以这样得到：将曲线方程中与转轴相同的变量不动，把另一个变量换为它自己的平方与方程中未出现的变量的平方和的平方根即可.
z ky 例求直线 , 绕 z 轴旋转一周得到的曲面的方程 x 0
解：z不动，用 x 2 y 2 替代 z ky 中的 y 得 z k x y
一、椭球面
x2 y 2 z 2 由方程 2 2 1 (a, b, c 0) (1) 2 a b c 确定的曲面，称为椭球面， a, b, c 称为椭球面的三个半轴. x2 y2 z2 由方程(1)知 2 1, 2 1, 2 1. a b c 即 | x | a, | y | b, | z | c
类似可得曲线C到zox平面、 yoz平面的投影.
z 4 x2 y 2
x 2 y 2 z 2 1, ( z 0) 例求曲线 2 x y2 x 0 在xoy, zox坐标面的投影.
解 : x 2 y 2 x 0就是以C为准线, 母线垂直于 xoy平面的柱面,C在xoy平面的投影曲线为
半径 r=2, 球心 O(2,0,0). 球心到平面的距离
2 1 0 2 0 1 12 22 (1) 2

解析几何中的二次曲面方程

解析几何中的二次曲面方程在解析几何中，二次曲面是指满足二次方程的曲面。

它们可以是平面、圆锥曲面、圆柱曲面、椭球面、双曲面、抛物面等各种曲面。

在本文中，我们将主要探讨二次曲面方程的一些基本性质和解法。

首先，我们来看一下二次曲面方程的形式。

二次曲面方程的形式一般地，二次曲面的方程可以写成如下形式：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数。

该式的形式比较复杂，不便于直接分析，所以我们需要通过一些方法将其化简。

二次曲面方程的化简化简二次曲面方程的常用方法有以下几种。

1. 移项将方程左右两边同时加上或减去某一项，使方程中的一项可以消去。

例如：Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0可以移项为：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 02. 合并同类项将方程中的同类项合并，减少方程中的项数。

例如：Ax² + Dxy + Gx + By² + Fyz + Hy + Cz² + Exz + Iz + J = 0可以合并同类项为：A(x² + y²) + B(y² + z²) + C(z² + x²) + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 03. 正交变换通过正交变换，将二次曲面旋转、平移或缩放成为标准形式。

常用的标准形式包括：点(x,y,z)在平面上的情形、点(x,y,0)在柱面上的情形、点(x,y,0)在双曲面的情形等。

二次曲面方程的解法在化简完二次曲面方程后，我们可以采用以下方法求解方程。

二次曲面习题课

1
(a,b, c 0)
（2）椭球面的性质
（1）关于坐标原点、坐标轴、坐标面都对称。
（2） | x | a , | y | b , | z | c
并有六个顶点 (a , 0, 0) , (0, b, 0) , (0, 0,c)
（3）形状（与三个坐标面的交线）：
x 2 a2
准线为r(u) {x(u), y(u), z(u)}母线平行于s {X ,Y , Z}的柱面为 r(u, v) r(u) vs
2、锥面 (conical surface)
圆锥面锥面
直线l1绕另一条与l1相交于O的直线l2旋转一周所得旋转曲面称为圆锥面.
O —— 顶点 (vertex) 两直线的夹角—— 半顶角一直线通过定点O，且沿空间中一条定曲线C 移动所产生的曲面称为锥面. O —— 顶点 C —— 准线（不唯一）动直线 —— 母线（不唯一）

y

b
sec
u
sin
v
z c tan u
(2) 双叶双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
(a,b, c 0)
x a tan u cos v

y

b
tan
u
sin
v
z c sec u
6、抛物面 (paraboloid)
z
I．椭圆抛物面(elliptic paraboloid)
定理一个关于 x, y, z 的齐次方程表示的曲面一定是
以原点为顶点的锥面。推论一个关于 x x0 , y y0 , z z0 的齐次方程表示顶点在
(x0 , y0 , z0 ) 的锥面。