2015届高考数学第一轮复习(典型题+详解)立体几何专项基础训练

中档题目强化练——立体几何A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是()A.球的三视图总是三个全等的圆B.正方体的三视图总是三个全等的正方形C.水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形D.水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 A解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆.2.设α、β、γ是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α⊥β，m⊥α，则m∥βD.若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β答案 D解析对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m 可以在平面β内，C错；易知D正确.3.设α、β、γ为平面，l、m、n为直线，则m⊥β的一个充分条件为()A.α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB.n⊥α，n⊥β，m⊥αC.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γD.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α答案 B解析如图①知A错；如图②知C错；如图③在正方体中，两侧面α与β相交于l，都与底面γ垂直，γ内的直线m⊥α，但m与β不垂直，故D错；由n⊥α，n⊥β，得α∥β.又m⊥α，则m⊥β，故B正确.4.如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是( )A.EF 与BB 1垂直B.EF 与BD 垂直C.EF 与CD 异面D.EF 与A 1C 1异面 答案 D解析 连接B 1C ，AC ，则B 1C 交BC 1于F ，且F 为B 1C 的中点，又E 为AB 1的中点，所以EF 綊12AC ， 而B 1B ⊥平面ABCD ，所以B 1B ⊥AC ，所以B 1B ⊥EF ，A 正确；又AC ⊥BD ，所以EF ⊥BD ，B 正确；显然EF 与CD 异面，C 正确；由EF 綊12AC ，AC ∥A 1C 1， 得EF ∥A 1C 1.故不成立的选项为D.5.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ( )A.2B.32C.3D.52答案 A解析 由三视图知原几何体可理解为三个部分拼接而成，其中一个棱长为1的正方体，另外两个为正方体的一半.因此易得总体积为2.二、填空题6.三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC 的体积等于________.答案 3解析 ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A 为三棱锥P －ABC 的高，且P A ＝3.∵底面ABC 为正三角形且边长为2，∴底面面积为12×22×sin 60°＝3，∴V P －ABC ＝13×3×3＝ 3.7.已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△P AB 的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)答案 ①③解析 由条件可得AB ⊥平面P AD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而P A ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △P AB ＝12AB ·P A ， 由AB ＝CD ，PD >P A 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错.8.三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C到平面SAB的距离是1 2a.其中正确结论的序号是________. 答案①②③④解析 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，(如图)可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确. 三、解答题9.如图，已知在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB＝2.(1)求证：DB ⊥平面B 1BCC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使得D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由.(1)证明 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，BD ＝2，又∵BC ＝2，CD ＝2，∴∠DBC ＝90°，即BD ⊥BC .又BD ⊥BB 1，B 1B ∩BC ＝B ，∴BD ⊥平面B 1BCC 1.(2)解 DC 的中点即为E 点，连接D 1E ，BE ，∵DE ∥AB ，DE ＝AB ，∴四边形ABED 是平行四边形.∴AD 綊BE .又AD 綊A 1D 1，∴BE 綊A 1D 1，∴四边形A 1D 1EB 是平行四边形.∴D 1E ∥A 1B .∵D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .10.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱AB ，BB ′，B ′C ′，C ′D ′的中点分别是E ，F ，G ，H ，如图所示.(1)求证：AD ′∥平面EFG ；(2)求证：A ′C ⊥平面EFG ；(3)判断点A ，D ′，H ，F 是否共面？并说明理由.(1)证明连接BC′.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′，所以四边形ABC′D′是平行四边形，所以AD′∥BC′.因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.因为EF，AD′是异面直线，所以AD′⊄平面EFG.因为FG⊂平面EFG，所以AD′∥平面EFG.(2)证明连接B′C.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以A′B′⊥BC′.在正方形BCC′B中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C＝B′，所以BC′⊥平面A′B′C.因为A′C⊂平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG，同理可证A′C⊥EF.因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG＝F，所以A′C⊥平面EFG.(3)解点A，D′，H，F不共面.理由如下：假设A，D′，H，F共面，连接C′F，AF，HF.由(1)知，AD′∥BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′.所以AD ′∥平面BCC ′B ′.因为C ′∈D ′H ，所以平面AD ′HF ∩平面BCC ′B ′＝C ′F .因为AD ′⊂平面AD ′HF ，所以AD ′∥C ′F .所以C ′F ∥BC ′，而C ′F 与BC ′相交，矛盾.所以点A ，D ′，H ，F 不共面.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)1.已知直线l 1，l 2与平面α，则下列结论中正确的是( ) A.若l 1⊂α，l 2∩α＝A ，则l 1，l 2为异面直线B.若l 1∥l 2，l 1∥α，则l 2∥αC.若l 1⊥l 2，l 1⊥α，则l 2∥αD.若l 1⊥α，l 2⊥α，则l 1∥l 2答案 D解析 对于选项A ，当A ∈l 1时，结论不成立；对于选项B 、C ，当l 2⊂α时，结论不成立.2.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的命题有( ) A.①②B.①③C.②④D.③④ 答案 B解析 ①中， ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βl ⊥α⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βm ⊂β⇒l ⊥m ，故①正确； ②中，l 与m 相交、平行、异面均有可能，故②错；③中， ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊂β⇒α⊥β，故③正确； ④中，α与β也有可能相交，故④错误.3.如图所示，是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为P A 、PD 的中点.在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF ∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面P AD .其中正确的有( ) A.①②B.②③C.①④D.②④答案 B解析 对于①，因为E 、F 分别是P A 、PD 的中点，所以EF ∥AD .又因为AD ∥BC ，所以EF ∥BC .所以BE 与CF 共面.故①不正确.对于②，因为BE 是平面APD 的斜线，AF 是平面APD 内与BE 不相交的直线，所以BE 与AF 不共面.故②正确 .对于③，由①，知EF ∥BC ，所以EF ∥平面PBC .故③正确.对于④，条件不足，无法判断两平面垂直.4.有一个内接于球的四棱锥P －ABCD ，若P A ⊥底面ABCD ，∠BCD ＝π2，∠ABC ≠π2，BC ＝3，CD ＝4，P A ＝5，则该球的表面积为________.答案 50π解析 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5. 又∠DAB ＝90°⇒P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把P A ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52， ∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.5. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1中点．(1)求证：C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；(2)当点F 在BB 1上什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．(1)证明 如图，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴A1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°.又D 是A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴AA1⊥C1D，又AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)解作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.。