河北省定州中学届高三数学下学期周练试题(五)讲义

河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（五）一、选择题：共12题 每题5分 共60分1．一个球从32米的高处自由落下，每次着地后又回到原来高度的一半，则它第6次着地时，共经过的路程是 米．2．设O 是C ∆AB 的外心，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知2220b b c -+=，则C B ⋅AOA 3的各项都是正数，11a =，对任意的k *∈N，21k a -、2k a 、21k a +成等比数列，公比为k q；2k a 、21k a +、22k a +成等差数列，公差为k d ，且12d =，则数列{}k d 的通项公式为（ ）A ．1k + C 4．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为C H 与水平地面ABO 的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A 、B 两地相距100米，C 60∠BA =，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为C 15∠OA =，A 地测得最高点H 的仰角为30∠HAO =，则该仪器的垂直弹射高度C H 为（ ）AB D5上有两个零点，则m 的取值范围为（A6在等腰C ∆AB 中，，C 2D B =B ，则D A ⋅B E 的值为（ ）A7．数列2014，2015，1，2014-，⋅⋅⋅；从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则该数列的前2015项之和等于（ ）A ．2014B ．2015C ．1D ．08 ）A BC ．C ∆AB 是直角三角形D ．222a b c =+或2C B =A +9．等差数列{}n a 中，4791232a a a a +++=，则能求出值的是（ ）A ．12S B ．13S C．15S D ．14S10．若0x y >>，m n >，则下列不等式正确的是（ ） A ．x m y n -≥-C 11．已知数列{}n a 的前n 项和为31nn S =-（n *∈N ）A ．242 B ．160 C ．486 12．平面内已知向量()2,1a =-，若向量b 与a 方向相反，且，则向量b = （ ） A ．()2,4- B ．()4,2- C ．()4,2- D ．()2,4-评卷人 得分 二、填空题：共4题 每题5分 共20分 13．给出下列命题：①函数a ax ax x x f -++=23)(既有极大值又有极小值，则30><a a 或； ②若xe x xf )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；③过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为13>-<a a 或; ④双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为1e ，双曲线12222=-a y b x 的离心率为2e ，则21e e +的最小值为22.其中为真命题的序号是 .14．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆225)3(22=+-y x 相切，双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程是x y 3=,它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长 ．15)()(3R x bx x x f ∈+=在[]1,1-上是减函数，则b 的取值范围是 ． 16与直线0=-+m y x 有一个交点，则实数m 的取值范围是 .评卷人 得分 8题 共70分17，数列}{n a 满足：*))((,111N n a f a a n n ∈==+．（1）求证（2）求证（*N n ∈）；（3）求证（*N n ∈）．18．已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ． （1（219．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围．20．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 21．如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2．22．正项数列:*),4(,,,21N m m a a a m ∈≥ ，满足: *),(,,,,1321N k m k a a a a a k k ∈<- 是公差为d 的等差数列， k k m m a a a a a ,,,,,111+- 是公比为2的等比数列．（1）若8,21===k d a ，求数列m a a a ,,,21 的所有项的和m S ；（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23．设R b a ∈,，函数a x a e xf x--=ln )(，其中e是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ． （1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值；（324．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆，且点)1,2(P 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率； ②求AOB ∆面积的最大值．参考答案 1．94 【解析】试题分析：由题设第一次着地经过的路程是32米，第二次着地、第三次、第四次、第五次、第六次经过的路程分别为12,22,42,82,162⨯⨯⨯⨯⨯米,因此第六次着地后共经过的路程是94122242,8216232=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+米, 故答案应填：94．考点：1、数列求和的方法；2、运用所学知识分析解决实际问题的能力． 2．C 【解析】试题分析：设O 是C ∆AB 的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，延长AO 交外接圆于D ．D A 是O 的直径，∴CD D 90∠A =∠AB =，．()00f =，()22f =，所以，所以C B ⋅AO 的范围是考点：1、向量的数量积；2、二次函数.【方法点睛】设O 是三角形外接圆的圆心，延长AO 交外接圆于D ．D A 是O 的直径，∴CD D 90∠A =∠AB = ，．根据b 的范围求得3．B【解析】 试题分析：21k a -，2k a ，21k a +成公比为k q 的等比数列，21k a +，22k a +，23k a +成公比为1k q +的等比数列，，又1a>，2d=，可求得：12q=，以，2121k k kd a a k+=-=+．考点：1、等比数列；2、等差数列.【方法点睛】21ka-，2ka，21ka+成公比为kq的等比数列，可知21ka+，22ka+，23ka+成公比为1kq+的等比数列.212k k ka a q+=，22211k k ka aq+++=，又 2ka，21ka+，22ka+成等差数列，故212222k k ka a a++=+，把2ka，21ka+，22ka+均用21ka+表示，从而易知2121k k kd a a k+=-=+．4．B【解析】试题分析：由题意，设C=A x，则BC=40x-，在C∆AB内，由余弦定理：222BC=2BA CA BA CA COS BAC+-⋅⋅∠，即()2240=10000100x x x-+-，000C420,301545A CAH=∠=+=，000903060CHA∠=-=，考点：解三角形的实际应用.5．A考点：1、函数的零点；2、三角恒等变换.6．A【解析】试题分析：以A为原点，CA为x轴，AB为y轴，建立直角坐标系，则考点：向量数量积的坐标运算.7．C【解析】试题分析：根据数列的规律可知该数列的前几项为2014，2015，1，20142015-120142015--，，，，，⋅⋅⋅，可知该数列为周期为6的数列，一个周期的和为0，()()20155201420151201420151S S==+++-+-=,故选C.考点：周期数列求和. 8．D 【解析】 ，因为()sinC sin sin cos cos sin A B A B A B=+=+,代入整，解得cos =0A 或 D.考点：解三角形. 9．C 【解析】试题分析：()479121152=32a a a a a a +++=+，故115=16a a +，故能求出值的是15S.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和. 10．D 【解析】试题分析：A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变；B 不正确，因为同向不等式相加，不等号方向不变；C 不正确，因为因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变. 考点：不等式的性质.【方法点睛】严格依据不等式的基本性质:性质1:如果,a b b c >>,那么a c > (不等式的传递性).性质2:如果a b >,那么++a c b c > (不等式的可加性).性质3:如果a b >，0c >,那么ac bc >；如果a b >,0c <,那么ac bc <.性质5:如果0a b >>,0c d >>,那么ac bd >.11．C 【解析】试题分析：()545543131162a S S =-=---=.考点：数列前n 项和. 12．B 【解析】试题分析：因为向量b 与a方向相反，故设()()=2,0b x x x -< ，，解得2x =-，故向量()-4,2b =.考点：1、向量共线；2、向量的模. 13．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件证明平面PCD 内的直线⊥CD 平面PBC 即可；（2）可利用相似三角形想方设法在平面AEC 找一条直线与PB 平行．试题解析：证明：（1）因为,//AD CD AD BC ⊥， 所以CD BC ⊥ 又PB CD ⊥，PB BC B = ，PB ⊂平面,PBC BC ⊂平面PBC ，所以CD ⊥平面PBC ，又⊂CD 平面PCD ，所以平面⊥PCD 平面PBC ． （2）连接BD 交AC 于O ，连OE 因为//AD BC ，所以BOD ADO ∆∆~ 所以::1:2DO OB AD BC == 又2PE ED =， 所以//OE PBOE ⊂平面,AEC PB ⊄平面AEC 所以//PB 平面AEC ，考点：1、线面平行的判定；2、线面及面面垂直的判定． 14．{2,8}- 【解析】试题分析：当0≥a 时，直线3+=ax y 单调递增且过定点)3,0(，而抛物线的开口向上，不等式0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞不恒成立,所以欲使不等式0))(3(2≤-+b x ax 在),0[+∞恒成立（当且仅当,注意到b a ,是整数,所以当9,1=-=b a 或1,3=-=b a 时，答案应填：{2,8}-．考点：1、一次函数、二次函数的图象和性质；2、不等式恒成立的转化与化归；3、分类整合的思想、推理证明的思想和意识．【易错点晴】本题借助不等式恒成立考查的是分类整合的数学思想和函数的图象与性质，属于较难的问题．解题时一定要充分借助一次函数、二次函数的图象，并对参数b a ,进行合理的分类，从而将问题进行分析和转化．解题过程中还运用了题设中b a ,为整数这一条件，并以此为基点建立关于b a ,的等式求出了参数b a ,的值．解本题的关键是如何理解题设中“对任意),0[+∞∈x 不等式0))(3(2≤-+b x ax 恒成立”，并能建立与此等价的关于b a ,的等式．15【解析】y x 2=时取等号，故考点：1、基本不等式的灵活运用；2、分式变形的运用和技巧． 16．12 【解析】试题分析：由AO AC AB 2=+可得0=+OC OB 时，到2||||==AO AB ，答案应填：12．考点：1、向量的几何形式的运算和数量积公式；2、圆的有关知识和解直角三角形．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）借助导数运用函数的单调性进行推证；（2）运用数学归纳法进行推证；（3）运用不等式的缩放进行推证．当1n =时，（2）假设()*n k k N =∈时，当()*1n k k N =+∈时，，又10ii a a +->， 3、数学归纳法及推理论证的能力． 18．（1）1,3=-=b a ；（2）4． 【解析】 试题分析：（1）借助绝对值不等式的解集求解；（2）运用柯西不等式求解．试题解析：（1）因为b a x <+||，所以a b x b a -<<--，故⎩⎨⎧-=+=-24a b a b ，解之可得⎩⎨⎧=-=13b a ，即b a ,的值分别为1,3-；）将⎩⎨⎧=-=13b a 代入2、柯西不等式的灵活运用．19 【解析】试题分析：运用极坐标与平面直角坐标的互化，将极坐标方程化为直角坐标，再运用参数方程化为三角函数的最值求解．试题解析：解：曲线C 为4cos 2sin ρθθ=+∴曲线C 的直角坐标方程为22420x y x y +--=即()()22215x y -+-=，所以曲线C 是以()2,1为圆心，∴x y -的取值范围是考点：1、极坐标方程与直角坐标的互化；2、圆的参数方程与直角坐标方程的运用；3、三角函数的最值及20 【解析】试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．试题解析：解：由题意：11Ae e λ= ，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法．21．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）运用弦切角定理可获证；（2）借助三角形的相似推证．试题解析：证明: （1）因为弧AC =弧BD ,所以ABC BCD ∠=∠,又因为ABC ACE ∠=∠(弦切角等于同弧所对圆周角),所以BCD ACE ∠=∠;）在BCD ∆和ECA ∆中,因为BCD ACE ∠=∠,CDB CAE ∠=∠,所以ECA BCD ∆∆~,所以即CD AE CA BD ⋅=⋅,注意到CA BD =,所以CD AE BD ⋅=2.考点：1、圆中的有关定理和运用；2、相似三角形的性质及应用．22．（1）84；（2）1033；（3）存在4k =满足题设． 【解析】 试题分析：（1）依据题设确定所求数列中的项的特征，再利用数列和的定义求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数m ，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数m 的范围．试题解析：解：（1）由已知*8,,2,16n k k m k N a n a a <∈===，故*1231,,,,,(,)k k a a a a a k m k N -<∈ 为：2，4，6，8，10，12，14，16；111,,,,,m m k k a a a a a -+ 公比为2，则对应的数为2，4，8，16， 从而12,,m a a a 即为：2，4，6，8，10，12，14，16，8，4；（2）()*1231,,,,,,k k a a a a a k m k N -<∈ 是首项为2，公差为2 的等差数列，故*,,2n k m k N a n <∈=，从而2k a k =， 而111,,,,,m m k k a a a a a -+ 首项为2，公比为2的等比数列且22m k k a -+=， 故有222m k k -+=；即12m k k -+=,即k 必是2的整数幂又122+=⋅m k k ，要m 最大，k 必需最大，2016k m <<，故k 的最大值为102，所以1103410241021022222210+==⋅=⋅m ，即m 的最大值为1033 （3）由数列1231,,,,,k k a a a a a - 是公差为d 的等差数列知，()11k a a k d =+-，而111,,,,m m k k a a a a a -+ 是公比为2的等比数列，则k m k a a -+⋅=112，故k m a d k a -+⋅=-+1112)1(，即()()11121m k k d a +--=-，又()121113k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++ ，12m a a =，则，即1226211-⋅=+⋅-+-+km k m k k 显然6k ≠，则，将1,2,3,4,5k =，代入验证知， 当4k =时，上式右端为考点：1、数列求和的定义及等差、等比数列的知识；2、数列最值的求解和推理论证的能力及运用；3、存在型问题的求解方法；423．（1）10a b =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）依据题设建立关于b a ,方程组求解；（2）运用函数极值的定义进行证明；（3）分离参数m ，运用存在型不等式恒成立的转化途径求分出来的函数的最值，再确定题设中参数m 的范围．，∴()1f e a '=-，，且函数()f x '图像在()0,+∞上不间断，，使得()00f x '=，结合函数()f x '在()0,+∞是增函数有：∴函数()f x 存在极小值()0f x ）1,2x ⎡⎫∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln 0x e m x x x --≤成立，1,2x ⎡⎫⇔∃∈+∞⎪⎢⎣⎭，使得不等式ln x m e x x ≥-成立（*）令()1ln ,,2x h x e x x x ⎡⎫=-∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则()()ln 1x h x e x f x '=--=，∴结合（2）得：()()000min ln 1x h x f x e x '⎡⎤==--⎣⎦，其中01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()00f x '=，即0010x e x -=，∴00001,ln x e x x x ==-，∴()0000min 0011ln 112110x h x e x x x x x '=--=+->⋅-=>⎡⎤⎣⎦，∴()1,,02x h x ⎡⎫'∈+∞>⎪⎢⎣⎭，∴()h x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭内单调递增． ∴()1122min 1111ln ln 22222h x h e e ⎛⎫==-=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121ln 2,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ 考点：1、导数法求曲线的切线方程；2、函数的单调性与极值的关系；3、存在型不等式成立的参数范围的求解方法；4、转化化归能力、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查运用导数的有关知识在解决函数的相切、极值等问题中的具体运用，通过对函数的导数的研究，解决了函数中的直线与曲线相切的问题；利用导数值的的正负研究了函数的单调,第(2)问依据极值的定义，证明函数极值的存在性，有效地检测了推理论证的能力．第（3）问设置的存在型的不等式成立问题，求解时运用分类参数的方法将参数分离出来得到ln x m e x x ≥-，将问题转化为求函数x x e x h x ln )(-=的最小值问题，学生易犯的错误是求其最大值，有效地检测了运用导数解答数学问题的应用思想和意识，体现了函数与方程思想灵活运用，同时也考查学生综合运用所学知识分析解决问题的意识和能力．24．（1（2）①1k =-；②【解析】试题分析：（1及点)1,2(P 在椭圆上建立方程组即可获解；（2）①可利用点差法或待定法进行求解可直接获解；②设直线AB 的方程为(),0,3y x m m =-+∈，再建立面积关于m 的函数，最后求其最值．，直线AB 的斜率为k由题意，0∆>，在线段OP 上，所以的方程为y kx m=+，考点：1、椭圆的定义及离心率等有关概念；2、直线与椭圆的位置关系；3、目标函数的最值及求解方法；4、运算求解能力和分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的圆锥曲线中的代表椭圆的有关性质与知识，第（1）问中的问题借助题设建立方程组求出了基本量cba,,，体现了方程思想的运用；第（2）通过直线与椭圆的位置关系为平台，考查方程与函数思想和运算求解能力的运用，体现了有效考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，体现了知识运用的综合性、灵活性．。