《向量的概念及表示》
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向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
向量的概念及表示(公开课)
向量
向量
向量的表示
向量的大小 (模)
向量的方向
平行向量 共线向量) (共线向量)
零向量
单位向量
课堂小结
向量及向量符号的由来
向量最初被应用于物理学, 向量最初被应用于物理学,被称为矢 很多物理量,如力,速度,位移, 量.很多物理量,如力,速度,位移,电 场强度,磁场强度等都是向量. 场强度,磁场强度等都是向量. 大约公元前350 350年 大约公元前350年,古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 向量一词来自力学, 量.向量一词来自力学,解析几何中的有 向线段 向线段. 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿 学家牛顿. 大科学家牛顿.
共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 共线向量: 平行向量也叫做共线向量. 相反向量 : 长度相等 且方向相反的向量 叫做相反向量. 记作: 叫做相反向量. 记作: a
思考: 思考:
1,若两个向量相等,则它们的起点和终点 ,若两个向量相等, 分别重合吗? 分别重合吗? 2,向量 AB 与 CD 是共线向量,则A,B, 是共线向量, , , , C,D四点必在一直线上吗 C,D四点必在一直线上吗? 四点必在一直线上吗? 3,平行于同一个向量的两个向量平行吗? ,平行于同一个向量的两个向量平行吗? 4,若四边形 若四边形ABCD是平行四边形,则有 是平行四边形, 是平行四边形 A AB = DC 吗? B
学生活动
a
(1),如上图,设图中小正方形的边长为1,则| a |= ),如上图 设图中小正方形的边长为1 如上图,
.
(2),请在上图中画出与| a |相等的向量(要求所画向量的 请在上图中画出与| |相等的向量 相等的向量( ),请在上图中画出与 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). 起点和终点在方格的格点处,以下要求不变). (3),请在上图中画出模为| a |的2倍的向量. 请在上图中画出模为| |的 倍的向量. ),请在上图中画出模为 思考:观察上图中的向量,我们可将其分为模为 2 和 2 2 思考:观察上图中的向量, 两类;你能否将这些向量按照" 进行分类? 两类;你能否将这些向量按照"方向"进行分类?
向量的概念及向量的表示
空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，则对 空间任一向量 p，存在一个唯一的有 序实数组 x、y、z，使得 p = xa + yb + zc。
应用
空间向量基本定理是空间向量坐标表 示的基础，它说明空间中的任一向量 都可以表示为其他三个不共面向量的 线性组合。
向量在解析几何中作用
线性组合与线性方程组的解
线性方程组可以表示为一系列向量的线性组合等于零向量的形式。线性方程组的解与这些 向量的线性相关性密切相关。当且仅当这些向量线性无关时，方程组有唯一解；否则，方 程组有无穷多解或无解。
04 向量运算及应用
加法运算及物理意义
向量加法的定义
两个向量相加，即将它们的对应 分量相加得到新的向量。
磁场强度
磁场强度是描述磁场中某点磁场力作用强弱和方向的物理量，也是一个矢量。在电磁学中，磁场强度 用向量表示，其大小等于单位电流元在该点所受磁场力的大小与电流元方向之间的夹角的正弦值的乘 积，方向遵循右手定则。
波动现象中波矢描述
• 波矢：波矢是描述波动现象中波的传播方向和波长的物理量， 是一个矢量。在波动现象中，波矢用向量表示，其大小等于波 的角频率与光速的比值，方向指向波的传播方向。波矢在波动 现象的研究中具有重要意义，例如在光的干涉、衍射等现象中 需要用到波矢的概念。
到新的向量。
几何意义
02
数乘运算在几何上表现为向量的缩放，即改变向量的长度而不
改变其方向。
物理意义
03
在物理学中，数乘运算用于描述力的缩放或速度的变化，如一
个力的大小可以通过数乘运算进行调整。
点积、叉积运算及应用
点积运算的定义
两个向量的点积是将它们的对应分量相乘后相加 得到的标量。
向量的概念及表示
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
问题情境 • 如图所示，用100N的力，按照不同的
方向拉一辆车，效果一样吗？
30º
建构数学
一．向量的相关概念
1、既有大小又有方向的量叫做向量。 (矢量) 2、只有大小没有方向的量叫做数量（。标量）
1、数量与向量的区别？ 2、在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
学生活动
• 例1:质量、加速度、身高、体 重、面积、体积、力、温度、 路程、位移、密度、数轴这些 量中，哪些是数量？哪些是向 量？
向量的2个要素:“大小”和“方向”
建构数学 2、向量的表示 Ｎ f
几何表示
向量常用一条有向线段来表示.
Ｇ
①有向线段:带有方向的线段。
②有向线段的3要素：起点、方向、长度
问题情境
• 如果要找一个物理量来刻画从学校到东 榆镇政府的位置变化，应该用哪个量？
• “位移”和“路程”这两个物理量一样 吗？
建构数学
一．向量的相关概念
1、只有大小没有方向的量叫做数量。
2、既有大小又有方向的量叫做向量。
路程
只有大小没有方向 数标量量
（只需用一个实数就可以表示的量）
位移
既有大小又有方向 向矢量
2、向量 AB 与向量 BA表示同一个向量。
3、共线向量一定在一条直线上。
4、不相等的两个向量一定不平行。
5、零向量没有方向。
6、任何两个单位向量都是平行向量。
7、起点相同终点不同的两个向量一定不共线。
8、向量就是有向线段。
向有但量向并与线非有段说向是向线向 量段的量就区的是别有形？向象线表段示，。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
向量的概念及表示
向量的定义
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所 指的方向表示向量的方向.
a
A
B
2. 用字母表示 记作：
AB,
或
a
3. 向量的长度(模): 向量 AB 的大小
| AB |
三、两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
D E
F
O
C
A
OA与BC 相等吗？
互为相反向量
B
向量的模是可以进行大小比较的; 向量是不能比较大小的.
| a || b | a b
有意义 没有意义
记作：
0,
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
想一想：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向
量，它们终点的轨迹是什么图形？
四、向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 记作：
a // b
规定：零向量与任一向量平行.
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
记作： b , 若 a b a
一. 向量的定义
既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示
1. 几何法:用有向线段表示 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所 指的方向表示向量的方向.
a
A
B
2. 用字母表示 记作：
AB,
或
a
3. 向量的长度(模): 向量 AB 的大小
| AB |
三、两个基本向量：
零向量: 长度为零的向量(方向任意).量都可平移到同一直线上. 即平行向量也叫做共线向量.
D E
F
O
C
A
OA与BC 相等吗？
互为相反向量
B
向量的模是可以进行大小比较的; 向量是不能比较大小的.
| a || b | a b
有意义 没有意义
记作：
0,
| 0 | 0
单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
想一想：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向
量，它们终点的轨迹是什么图形？
四、向量的关系：
平行向量: 方向相同或相反的非零向量. 记作：
a // b
规定：零向量与任一向量平行.
相等向量: 长度相等且方向相同的向量.
记作： b , 若 a b a
向量及向量的坐标表示
A
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
向量的概念及其运算
O 为在坐标原点,终点A 坐标为 x, y ,则 x, y 称为 OA 的
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
坐标,记为 OA = x, y .
注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量
a 与 b 相等,记为 a b .
课堂练习:
4.正方形 PQRS 对角线交点为 M，坐标原点 O 不在正方形内部，
A 且
OP
=（0，3），
OS
=（4，0），则
RM
=(
)
(A)（ 7 , 1 ） (B)（ 7 , 1 ） (C)（7，4） (D)（ 7 , 7 ）
22
22
22
5.已 知 a (1，2)，b x，1 ,且 a 2b 与 2a b 平 行,则 x 等 于
OA AB OB
实数与 向量的 乘积
三角形法则
两个向 量的数 量积
AB =λ a
λ ∈R
记 a =(x,y)
则 a =(λ x,λ y)
ab a b cos a,b 记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a · b =x1x2+y1y2
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量 的数量积运算.
当基底 i, j 是两个互相垂直的单位向量时,
就建立了平面直角坐标系.如图
a xi y j 一一对应(x, y)
⑴当向量起点在原点时,定义向量坐标
为终点坐标,即若 A(x，y),则 OA =（x,y）;
⑵当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减
向量的基本概念
向量的基本概念向量是应用广泛的数学概念，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中都有重要的应用。
本文将介绍向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示方式、向量的运算以及向量的性质等。
1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，用来表示空间中的位移、速度、力等物理量。
一个向量通常用一个有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量常用字母小写加箭头表示，如a→。
2. 向量的表示方式向量可以通过坐标表示或分量表示来表示。
2.1 坐标表示在直角坐标系中，一个向量可以用它在坐标轴上的投影来表示。
例如，在二维空间中，向量a→可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁是向量在x轴上的投影，a₂是向量在y轴上的投影。
在三维空间中，向量a→可以表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别是向量在x、y、z轴上的投影。
2.2 分量表示向量的分量表示指的是将一个向量根据坐标轴的方向拆分成多个独立的分量。
以二维空间为例，向量a→可以表示为a→ = a₁i→ + a₂j→，其中i→和j→分别是x轴和y轴上的单位向量。
a₁和a₂分别是向量a→在x轴和y轴上的分量。
3. 向量的运算向量具有多种运算，包括加法、减法、数量乘法和点乘法等。
3.1 加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a→和向量b→，它们的和记为c→ = a→ + b→，那么c→的大小等于a→和b→的大小之和，c→的方向与a→和b→相同。
3.2 减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a→和向量b→，它们的差记为c→ = a→ - b→，即c→ = a→ + (-b→)。
其中，-b→表示b→的反向量。
减法也满足交换律和结合律。
3.3 数量乘法向量的数量乘法指的是一个向量乘以一个实数。
设有向量a→和实数k，那么ka→表示向量a→的长度缩放k倍，并且方向与a→相同（当k>0）或相反（当k<0）。
数量乘法也满足结合律和分配律。
向量的概念及表示改
感谢聆听
现有的向量表示方法及其优缺点
Word2Vec
通过训练神经网络来生成词向 量，优点是计算效率高，缺点 是生成的向量维度较高且不易 解释。
GloVe
基于全局矩阵分解的方法，优 点是生成的向量具有较好的语 义信息，缺点是需要大量的语 料库和计算资源。
BERT
基于预训练语言模型的方法， 优点是生成的向量具有丰富的 语义信息且易于解释，缺点是 需要大量的训练数据和计算资 源。
新的向量表示方法的提出与实现
TuckER
通过引入知识图谱信息来生成向量，优点是生成的向量具有丰富 的语义信息和可解释性，缺点是需要额外的知识图谱数据。
Transformer
基于自注意力机制的方法，优点是计算效率高且生成的向量具有 较好的语义信息，缺点是需要大量的训练数据和计算资源。
THANK YOU
02
向量的基本性质
向量的模
向量的模是指向量的大 小或长度，用数学符号 表示为|a|，其中a是一 个向量。
向量的模可以通过勾股 定理计算，即向量的大 小等于其分量的平方和 的平方根。
向量的模具有传递性， 即如果|a|=|b|且|b|=|c|， 则|a|=|c|。
向量的模具有非负性， 即向量的模总是非负的 ，向量的模为0当且仅 当该向量是零向量。
05
向量的表示方法改进
改进向量表示方法的必要性
80%
适应新应用场景
随着技术的发展，向量表示方法 需要适应新的应用场景，如自然 语言处理、图像识别等。
100%
提高计算效率
现有的向量表示方法在处理大规 模数据时效率较低，需要更高效 的表示方法来提高计算效率。
80%
增强可解释性
改进向量表示方法可以使其更易 于解释，从而更好地理解数据的 内在含义。
现有的向量表示方法及其优缺点
Word2Vec
通过训练神经网络来生成词向 量，优点是计算效率高，缺点 是生成的向量维度较高且不易 解释。
GloVe
基于全局矩阵分解的方法，优 点是生成的向量具有较好的语 义信息，缺点是需要大量的语 料库和计算资源。
BERT
基于预训练语言模型的方法， 优点是生成的向量具有丰富的 语义信息且易于解释，缺点是 需要大量的训练数据和计算资 源。
新的向量表示方法的提出与实现
TuckER
通过引入知识图谱信息来生成向量，优点是生成的向量具有丰富 的语义信息和可解释性，缺点是需要额外的知识图谱数据。
Transformer
基于自注意力机制的方法，优点是计算效率高且生成的向量具有 较好的语义信息，缺点是需要大量的训练数据和计算资源。
THANK YOU
02
向量的基本性质
向量的模
向量的模是指向量的大 小或长度，用数学符号 表示为|a|，其中a是一 个向量。
向量的模可以通过勾股 定理计算，即向量的大 小等于其分量的平方和 的平方根。
向量的模具有传递性， 即如果|a|=|b|且|b|=|c|， 则|a|=|c|。
向量的模具有非负性， 即向量的模总是非负的 ，向量的模为0当且仅 当该向量是零向量。
05
向量的表示方法改进
改进向量表示方法的必要性
80%
适应新应用场景
随着技术的发展，向量表示方法 需要适应新的应用场景，如自然 语言处理、图像识别等。
100%
提高计算效率
现有的向量表示方法在处理大规 模数据时效率较低，需要更高效 的表示方法来提高计算效率。
80%
增强可解释性
改进向量表示方法可以使其更易 于解释，从而更好地理解数据的 内在含义。
向量的概念及表示-新课标苏教版
向量模的性质
$|vec{a}| = |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$方向相同或相反；$|vec{a}| > |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$的长度大于$vec{b}$的长度；$|vec{a}| = 0$当且仅当
$vec{a} = vec{0}$。
向量模的性质
1 2
向量的模具有传递性
若$vec{a} = vec{b}$，则$|vec{a}| = |vec{b}|$； 若$|vec{a}| = |vec{b}|$，则$vec{a} = pmvec{b}$。
向量的模具有非负性
$|vec{a}| geq 0$，且当$vec{a} = vec{0}$时， $|vec{a}| = 0$。
量的大小和方向由移动的距离和方向决定。
数乘的几何意义
02
表示向量在数轴上按比例放大或缩小，其结果向量的大小和方
向都发生变化。
向量加法和数乘的综合应用
03
在实际问题中，常常需要将向量进行加法和数乘运算，以解决
实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等。
03 向量的减法与向量的模
向量的减法
向量的减法可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。在平行四边形法则中，从一个向量出发，作另一个向量平行且方向 相反的向量，所得到的向量即为两向量的差。在三角形法则中，从一个向量出发，连接另两个向量的端点，所得到的向量即 为两向量的差。
向量的概念及表示-新课标苏教版
目 录
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的减法与向量的模 • 向量的数量积 • 向量的向量积
01 向量的定义与表示
向量的定义
向量是有大小和方向 的量，表示为 $overrightarrow{A B}$或 $overrightarrow{a} $。
$|vec{a}| = |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$与$vec{b}$方向相同或相反；$|vec{a}| > |vec{b}|$当且仅当$vec{a}$的长度大于$vec{b}$的长度；$|vec{a}| = 0$当且仅当
$vec{a} = vec{0}$。
向量模的性质
1 2
向量的模具有传递性
若$vec{a} = vec{b}$，则$|vec{a}| = |vec{b}|$； 若$|vec{a}| = |vec{b}|$，则$vec{a} = pmvec{b}$。
向量的模具有非负性
$|vec{a}| geq 0$，且当$vec{a} = vec{0}$时， $|vec{a}| = 0$。
量的大小和方向由移动的距离和方向决定。
数乘的几何意义
02
表示向量在数轴上按比例放大或缩小，其结果向量的大小和方
向都发生变化。
向量加法和数乘的综合应用
03
在实际问题中，常常需要将向量进行加法和数乘运算，以解决
实际问题，如力的合成与分解、速度和加速度的计算等。
03 向量的减法与向量的模
向量的减法
向量的减法可以通过平行四边形法则或三角形法则进行。在平行四边形法则中，从一个向量出发，作另一个向量平行且方向 相反的向量，所得到的向量即为两向量的差。在三角形法则中，从一个向量出发，连接另两个向量的端点，所得到的向量即 为两向量的差。
向量的概念及表示-新课标苏教版
目 录
• 向量的定义与表示 • 向量的加法与数乘 • 向量的减法与向量的模 • 向量的数量积 • 向量的向量积
01 向量的定义与表示
向量的定义
向量是有大小和方向 的量，表示为 $overrightarrow{A B}$或 $overrightarrow{a} $。
向量的概念及向量的表示
对于任意两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，有 $|vec{a}||vec{b}| = sqrt{vec{a} cdot vec{a} cdot vec{b} cdot vec{b}}$。
向量模的计算
定义
向量$vec{a}$的模定义为 $|vec{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$，其中$n$是向量的维 数，$a_i$是向量的分量。
向量坐标的运算
总结词
向量的坐标运算包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
详细描述
设两个平面向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$；数乘运算中， $koverset{longrightarrow}{a} = (kx_{1}, ky_{1})$；向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$。
计算方法
根据定义，可以通过计算向量 的分量平方和，然后取平方根 得到向量的模。
特殊情况
当向量模为0时，表示该向量 是零向量；当向量模为无穷大 时，表示该向量不存在。
向量模的应用
80%
向量长度
向量的模可以用来表示向量的长 度或大小。
向量模的计算
定义
向量$vec{a}$的模定义为 $|vec{a}| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$，其中$n$是向量的维 数，$a_i$是向量的分量。
向量坐标的运算
总结词
向量的坐标运算包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
详细描述
设两个平面向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和 $overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$，则它们的和向量 $overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$；数乘运算中， $koverset{longrightarrow}{a} = (kx_{1}, ky_{1})$；向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$。
计算方法
根据定义，可以通过计算向量 的分量平方和，然后取平方根 得到向量的模。
特殊情况
当向量模为0时，表示该向量 是零向量；当向量模为无穷大 时，表示该向量不存在。
向量模的应用
80%
向量长度
向量的模可以用来表示向量的长 度或大小。
向量知识点
向量知识点向量是数学中的一个重要概念，它具有许多应用领域，包括物理学、工程学和计算机科学等。
在这篇文章中，我将介绍向量的基本概念、运算规则以及一些常见的应用。
一、向量的基本概念向量是一个有大小和方向的量。
它可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学中，向量通常用加粗的小写字母（例如a）表示。
一个向量可以在坐标系中表示为一个有序的数字组合，这些数字称为向量的分量。
例如，在二维平面上，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别是向量在x和y方向的分量。
在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)。
二、向量的运算规则1.向量的加法：向量的加法是按照分量进行的。
对于两个向量a=(a1,a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的和为(a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
2.向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
对于向量a=(a1, a2, a3)和标量c，它们的数乘为(c a1, c a2, c*a3)。
3.向量的点积：向量的点积是将两个向量对应分量相乘后相加得到的结果。
对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的点积为a1b1 + a2b2 + a3*b3。
4.向量的叉积：向量的叉积是只适用于三维空间的一种运算。
对于向量a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)，它们的叉积为(a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
三、向量的应用1.物理学中的向量：在物理学中，速度、加速度和力等都是向量。
通过使用向量，我们可以更好地描述和计算物体的运动。
2.工程学中的向量：在工程学中，向量可以用于表示力的合成、电路中的电流和电压以及机器人的运动轨迹。
3.计算机科学中的向量：在计算机图形学中，向量常用于表示点、线、面和体素等几何对象。
此外，向量在机器学习和数据挖掘中也有广泛的应用，例如在聚类、分类和回归分析中。
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F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
靖江市刘国钧中学瞿竞泓
2021年5月11日星期二6时18分54秒
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：
E
D
(1)试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC相等吗？
O F
C
若不相等，则之间有什么关系？
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
- ( - a) =？
三：向量之间的关系
a
5.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
a,b,c为 共线向量
b c
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量 的概念中应注意零向量的特殊性
BACK
练习： 在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪 些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向量 ．向量一词来自力学、解析几何中的有向 线段。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
课后作业： P57 1、3
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，
（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？
（ AB除外）
B
(1)共有7个向量与AB相等A(2)共有15个向量与AB共线
合作探究：
如图：以1×1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
一定
BACK
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
大小记为┃a┃
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段 表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中 的向量也叫 自由向量
如图：他们都表示 a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
共有2种不同的模 共有8种不同的向量
若改为1×2的方格纸中的格点为起点 和终点的所有向量中，可得到多少种 不同的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
共有14种不同的向量
欢迎来到： 过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
8
9
10
★★★题：
11
12
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
C
A
O
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定
成
×
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且 存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则 c =__0__
A
（2）与ED共线的向量；
（3）与FE相等的向量； （4）与FE共线的向量。 F
E
M
(1) 3个 (2) 9个 (3) 3个 (4) 11个
B
D
C
BACK
课堂小结
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
知识链接
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
说明2： 有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有
方向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 向量 AB、CD 是同一个向量。 不同的。
说明3：两个特殊向量
1、零向量 ：长度为 0 的向量。记作 0
BACK
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
不相等的单位向量有__2___个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有__7_个,
E
F
分别是_D__C_,D_B_,B_D_,_F_E_,E_F_, C_B__, B_C_____；
（2）与向量DF的模一定相等的向
B
量有_5_个,分别是__F_D_,_E_B_,B__E_,E_A__,A_E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是___C_F_,__F_A___。
BACK
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：
（1）与ED相等的向量；
a
b
记做：a// b// c
c
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
D
A
记作：AB DC
B
C
相反向量的定义：我们把与a 长度相等，方向相反的
向量叫做a 的相反向量. 记做：- a
a
c
b
c= -a a = -c
2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1，方向 不一定相同。 单位向量可以有无数多个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量
它们的终点的轨迹是什么图形？
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ➢我们规定零向量与任一向量平行
湖面上有三个景点O,A,B,
（如图）一游艇将游客从
景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景
o
点B.从景点O到景点A有
一个位移，从景点A到景
B
点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
位移既有大小又有方向，
A
距离只有大小没有方向
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)