《向量的概念及表示》
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向量的概念及表示
勇
敢
问题情境1
猫以7米每秒的速度去追以5米每 秒跑的老鼠，猫能追上老鼠吗?
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
A B
问题情境2
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
观察上述三个物理量有什么区别？ (1)是只有大小的量 （2）与（3）是有大小和方向的量
只有大小没有方向 既有大小又有方向
B
O
1 AD
D
C
2 OA, OC, OD, AO, BO, CO, DO 3 AD, BC, CB
4、如图、O为正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中： 1 分别写出与 AO, BO相等的向量； 2 写出与 AO共线的向量； 3 写出与 AO的模相等的向量； 4 向量 AO与CO是否相等？ A B
用小写字母表示： a 、b 、 如 c 注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体
a ，书写
用 a 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
学生活动
在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪些 是数量，哪些是向量？
数量：质量、身高、面积、体积
向量：重力、速度、加速度
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代 数运算、能比较大小 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
敢
问题情境1
猫以7米每秒的速度去追以5米每 秒跑的老鼠，猫能追上老鼠吗?
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
A B
问题情境2
m=20kg
(1)
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
观察上述三个物理量有什么区别？ (1)是只有大小的量 （2）与（3）是有大小和方向的量
只有大小没有方向 既有大小又有方向
B
O
1 AD
D
C
2 OA, OC, OD, AO, BO, CO, DO 3 AD, BC, CB
4、如图、O为正方形ABCD对角线的交点，四边 形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中： 1 分别写出与 AO, BO相等的向量； 2 写出与 AO共线的向量； 3 写出与 AO的模相等的向量； 4 向量 AO与CO是否相等？ A B
用小写字母表示： a 、b 、 如 c 注：用小写字母 a 表示向量时，印刷用粗体
a ，书写
用 a 。书写向量时，字母上的箭头不能省略。
学生活动
在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪些 是数量，哪些是向量？
数量：质量、身高、面积、体积
向量：重力、速度、加速度
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代 数运算、能比较大小 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
向量的概念及表示
B
A
例3：判断下列说法是否正确
(1)平行向量一定方向相同
方向相同的向量一定是平行向量 不平行的向量方向一定不相同 方向不相同的向量一定不是平行向量
(2)相等的向量一定平行
不相等的向量一定不平行
平行的向量一定相等
来自百度文库
不平行的向量一定不相等
(3)零向量与任意向量都相等 零向量与任意向量都平行
(4)两个向量相等，则它们的模必然相等
必修四：平面向量
Lilian 20/02/2017
– 向量的概念及表示 – 向量的线性运算 – 向量的坐标表示 – 向量的数量积 – 向量的运用
2.1 向量的概念及表示
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
例1：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量；
平行的向量
B
A
C
O D E
F
例 2、在 4×5 的方格纸中有一个向量 AB ，分别以图中的
格点为起点和终点作向量，其中与 AB 相等的向量有多少个？ 与 AB 长度相等的共线向量有多少个？（ AB 除外）
向量的概念及表示
既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的表示
A
例3：判断下列说法是否正确
(1)平行向量一定方向相同
方向相同的向量一定是平行向量 不平行的向量方向一定不相同 方向不相同的向量一定不是平行向量
(2)相等的向量一定平行
不相等的向量一定不平行
平行的向量一定相等
来自百度文库
不平行的向量一定不相等
(3)零向量与任意向量都相等 零向量与任意向量都平行
(4)两个向量相等，则它们的模必然相等
必修四：平面向量
Lilian 20/02/2017
– 向量的概念及表示 – 向量的线性运算 – 向量的坐标表示 – 向量的数量积 – 向量的运用
2.1 向量的概念及表示
在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
例1：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向量；
平行的向量
B
A
C
O D E
F
例 2、在 4×5 的方格纸中有一个向量 AB ，分别以图中的
格点为起点和终点作向量，其中与 AB 相等的向量有多少个？ 与 AB 长度相等的共线向量有多少个？（ AB 除外）
向量的概念及表示
既有大小又有方向的量叫做向量. 向量的表示
向量的概念及表示
（1）·=·
（2）（λ）·=·（λ）=λ（·）
（3）（+）·=·+·
2、向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
字母表示·=x1x2+y1y2
=(x1y1) =x2+y2| |=
两个非零向量=（x1y1）=(x2,y2)夹角θ
sinθ= =
⊥〈〉x1x2+y1y2=0
向量的应用
二、能力、题型设计
1、用图中的、、、表示向量。
解：边结AC、AD
在△ADE中，= + = -
在△ADC中，= + = - +
在△ABC中，= + = - + +
2、已知正方形ABCD的边长为m，=，=，=，求+ +
的模
解：∵+ + = + + = + =2
∴| + + |=2 =2 m
向量的线性运算
=λ1e1+λ2e2
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，一个平面向量用一组基底e1、e2，表示成=λ1e1+λ2e2的形成，我们称它为向量的分解。
例：如图，平行四行边ABCD的对角线交于点O，=，=试用基底、，表示、、和。
分析：利用关系式= +和= 求解
（2）（λ）·=·（λ）=λ（·）
（3）（+）·=·+·
2、向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
字母表示·=x1x2+y1y2
=(x1y1) =x2+y2| |=
两个非零向量=（x1y1）=(x2,y2)夹角θ
sinθ= =
⊥〈〉x1x2+y1y2=0
向量的应用
二、能力、题型设计
1、用图中的、、、表示向量。
解：边结AC、AD
在△ADE中，= + = -
在△ADC中，= + = - +
在△ABC中，= + = - + +
2、已知正方形ABCD的边长为m，=，=，=，求+ +
的模
解：∵+ + = + + = + =2
∴| + + |=2 =2 m
向量的线性运算
=λ1e1+λ2e2
我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，一个平面向量用一组基底e1、e2，表示成=λ1e1+λ2e2的形成，我们称它为向量的分解。
例：如图，平行四行边ABCD的对角线交于点O，=，=试用基底、，表示、、和。
分析：利用关系式= +和= 求解
向量的概念及表示
2.1向量的概念及表示
情境引入
1、《战国策·魏策》中记载了一个寓言故事，说有个人要到南方楚国去，却驾着车往北走，引出了成语“南辕北辙”，这个人能到达楚国吗？
2、老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜，而猫由A 向东南方向以每秒10米的速度追，问猫能否抓到老鼠？
【思考】：以上两例都忽视了什么问题？
自学导引：
1、向量的定义：既有 又有 的量称为向量。
2、向量的表示方法：
（1）几何表示法：向量用 表示，有向线段的 表示向量的大小，有向线段的 表示向量的方向。
（2）代数表示法：以A 为起点，B 为终点的向量记作 ，向量可用小写字母 、 、
（3）向量的模：向量AB 的 称为向量的 或 ，记作
3、两个特殊的向量
（1）零向量：长度为 的向量称为零向量，记作
（2）单位向量：长度等于 单位长度的向量叫做单位向量
4、平行向量、共线向量
（1）平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量。向量a 与b 平行，记作
规定：0与任一向量平行
（2）共线向量：任意一组平行向量都可以平移到 ，故平行向量又称为共线向量。
5、相等向量、相反向量
（1）相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量。向量a 与b 相等，记作
（2）相反向量：与向量a 长度 ，方向 的向量叫做向量a 的相反向量，记作
规定：零向量的相反向量仍是零向量；于是，对任一向量a 有()a a --=
学法指导：
1、向量不同于数量，向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，因此，“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的。
向量的概念及表示
例2： 在4 5达 到 方 格 中 有 一 个 向 量 AB,以 图 中 的 格 点 为 起 点 和 终 点向 作量 ， 其 中 与 AB相 等 的 向量有多少个？与 AB长 度 相 等 的 共 线 向 量 多 有 （ AB 除外 ） 少个？
B
相等的有 7个
A
长度相等 的有15个
课堂小结
向量
B.3 C .4 D.5
练习3.下列说法是否正确 A.若 | a || b |, 则a b B.若 | a | 0, 则a 0 C.若 | a || b |, 则a b或a b D.若a // b, 则a b E.若a b, 则 | a || b | F .若a b, 则a与b不是共线向量 G.若a 0, 则 a 0
高中数学必修 4
第二章
平面向量
问题情境 • 老鼠由A向东方向以 每秒6米的速度逃窜, 而猫由B向西北方向 每秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
嘻嘻!大笨 猫!
唉, 哪儿去了?
A B
◆结论：猫 不能
追上老鼠。 猫的速度再快也没用，因为 方向 错了。
◆速度是既有大小又有方向的量。
建构数学
一．向量的相关概念
D.2
练习2：判断下列命题是否正 确 (1)两个向量相等，则它们 的起点相同，终点相同 ; (2)若 | a || b |, 则a b; (3)若 AB DC，则四边形ABCD是平行四边形 ; (4)平行四边形ABCD中，一定有AB DC; (5)若m n, n k , 则m k ; (6)若a // b, b // c, 则a // c 其中不正确命题的个数 是 B A.2
向量的概念及表示
× ×
零向量 零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ ）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ ）存在与任何向量都平行的向量吗？ 么向量？ 么向量？ 平行向量（共线向量） 平行向量（共线向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上， （6）两个非零向量相等应满足什么条件？ ）两个非零向量相等应满足什么条件？ 模相等且方向相同 （7）共线向量一定在同一直线上． ）共线向量一定在同一直线上．
×
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
OC = AB = ED = FO
练习∶ 练习∶上题中 (1)与向量 长Leabharlann Baidu相等的向量有多少个？ (1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？11
起点， 为向量的终点，读作向量 为向量的终点 向量AB . 起点，B为向量的终点，读作向量
几何法： 几何法：
★用有向线段表示向量，有向线段的 有向线段表示向量， 起点为向量的起点，有向线段的终点 为向量的起点 终点为 起点为向量的起点，有向线段的终点为 uuur 向量的终点 如图： 终点.如图 向量的终点 如图： AB
向量的概念及向量的表示
坐标表示法
向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任 作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj，因 此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。
向量的坐标运算
设向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a+b=(x1+x2,y1+y2)，向量a-b=(x1x2,y1-y2)，数乘向量λa=(λx1,λy1)。
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03 向量空间与基向量
向量空间定义及性质
向量空间定义
向量空间是一个集合，其中的元 素称为向量，满足特定的加法和 数乘运算规则，且对这两种运算
封闭。
向量空间的性质
向量空间具有加法交换律、加法结 合律、数乘结合律、数乘分配律等 基本性质。
向量空间的维度
向量空间的维度是指该空间中线性 无关向量的最大个数，也是基向量 的个数。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢和方向的物理量，同样是一个矢量。在 力学中，加速度用向量表示，其大小等于物体在单位时间内速度的变化 量，方向指向速度变化的方向。
电磁学中电场强度、磁场强度等矢量描述
电场强度
电场强度是描述电场中某点电场力作用强弱和方向的物理量，是一个矢量。在电磁学中，电场强度用 向量表示，其大小等于单位正电荷在该点所受电场力的大小，方向指向正电荷所受电场力的方向。
向量的概念及表示(yong)
学生活动
a
（1）、如上图,设图中小正方形的边长为1，则| a|=
。
问题：
如图，这组向量之间,从方向 a 上看存在着什么关系？
平行向量：
记作：a //
b
c
方向相同或相反的非零向量.
b // c
因为零向量的方向是任意的， 所以规定：零向量与任一向量平行.
我们知道：对于一个向量，只要不改变 它的大小和方向，是可以任意平移，与起 点无关。这就是常说的：自由向量。
b 5 且b b c 3 a a 且 b c
a // b且b // c a // c
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点 分别重合吗？ • 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、D四点必在一直线上吗？ • 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ • ４、若四边形ABCD是平行四边形，则有 A AB ＝ DC 吗? B
a
建构数学
3、向量的大小(模)
向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的 长度(或称 模). 记作 | AB | .
思考： AB与BA相同吗？AB 与 BA 相同吗？
建构数学
零向量：长度为 0 的向量，记作
0.
源自文库
单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量，叫做 单位向量 . 这两个量仅从大小上刻画了向量． 思考: • 单位向量唯一吗? • 平面直角坐标系内,所有起点在原点的单位向 量,它们终点的轨迹是什么图形?
向量的概念及表示
向量的方向
平行向量 （共线向量）
零向量
单位向量
小结:
定义 几何表示法：有向线段 表示 符号表示法：
a ，b
AB
向量
向量的有关概念
长度（模） 零向量 特殊向量 单位向量 向量间 平行（共线） 相等
的关系
课堂小结
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 • 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 • 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
老鼠由A地向东北方向以每秒6米 的速度逃窜,而猫由B地向东南方向每 秒10米的速度追. 问猫能否抓到老鼠?
速度是既有大小又有方向的量!
A地 Ｂ地
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射 处接到命令：向1200公里处发射两枚 战斧式巡航导弹（精度10米左右，射 程超过2000公里），试问导弹是否能 击中伊拉克的军事目标？
学生活动
a
（1）、如上图,设图中小正方形的边长为1，则| a|=
。
（2）、请在上图中画出与| a |相等的向量（要求所画向量的 起点和终点在方格的格点处，以下要求不变）。 （3）、请在上图中画出模为| a |的2倍的向量。 思考：观察上图中的向量，我们可将其分为模为 2 和 2 2 两类；你能否将这些向量按照“方向”进行分类？
向量的概念及表示
在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
问题情境 • 如图所示，用100N的力，按照不同的
方向拉一辆车，效果一样吗？
30º
建构数学
一．向量的相关概念
1、既有大小又有方向的量叫做向量。 (矢量) 2、只有大小没有方向的量叫做数量（。标量）
1、数量与向量的区别？ 2、在你学过的量中，哪些是数量，哪些 是向量？
2、向量 AB 与向量 BA表示同一个向量。
3、共线向量一定在一条直线上。
4、不相等的两个向量一定不平行。
5、零向量没有方向。
6、任何两个单位向量都是平行向量。
7、起点相同终点不同的两个向量一定不共线。
8、向量就是有向线段。
向有但量向并与线非有段说向是向线向 量段的量就区的是别有形？向象线表段示，。
叫做相反向量。 a的相反向量,记作- a
规定:零向量的负向量仍为零向量。
例2：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角 线的交点。
1 找出与向量DA相等的向量。
2 找出与向量DC的负向量。
3 找出向量 AB平行的向量。
D
C
O
A
B
P28----练习
判断：
1、两个向量相等，则它们的起点和终点一定重合。
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。
向量的概念及表示
r 记作： a
则: (a) ? a
C D
a . 规定： 零向量的相反向量仍是零向量
探究4: 相等向量一定是平行向量吗?
平行向量一定是相等向量吗 B ? a
A
向量相等
向量平行
11
例题精析
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
(1)试找出与 FE 共线的向量; (2)找出与 FE 相等的向量; (3) OA 与 BC 相等吗?
练习2、3、4
习 题 1、 2、 3、 4
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为 过O点且平行于AB的线段. D 1.写出图中的各组共线向量 E O 2.写出图中的各组相等向量 3.写出图中的各组同向向量
C
F
B
21
探究: 课本P58 拓展延伸
A
下课了!
同学们再见!
谢谢 大家!
22
4.平行向量
C P 有向线段的长度表示向量的大小; 箭头所指的方向表示向量的方向 .
字母表示法：
D i)用上面带有箭头的有向线段来表示；如： ii)用小写的字母来表示；如：
注意：
起点应写在 终点的前面
a AB
A M
B
b MN
N
5
3.向量的模
向量 AB ( a )的大小称为向量的长度(或称为模), C AB 4cm CD P 4cm 记作: AB ( a )
则: (a) ? a
C D
a . 规定： 零向量的相反向量仍是零向量
探究4: 相等向量一定是平行向量吗?
平行向量一定是相等向量吗 B ? a
A
向量相等
向量平行
11
例题精析
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中：
(1)试找出与 FE 共线的向量; (2)找出与 FE 相等的向量; (3) OA 与 BC 相等吗?
练习2、3、4
习 题 1、 2、 3、 4
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为 过O点且平行于AB的线段. D 1.写出图中的各组共线向量 E O 2.写出图中的各组相等向量 3.写出图中的各组同向向量
C
F
B
21
探究: 课本P58 拓展延伸
A
下课了!
同学们再见!
谢谢 大家!
22
4.平行向量
C P 有向线段的长度表示向量的大小; 箭头所指的方向表示向量的方向 .
字母表示法：
D i)用上面带有箭头的有向线段来表示；如： ii)用小写的字母来表示；如：
注意：
起点应写在 终点的前面
a AB
A M
B
b MN
N
5
3.向量的模
向量 AB ( a )的大小称为向量的长度(或称为模), C AB 4cm CD P 4cm 记作: AB ( a )
向量的概念及表示
向量的基本性质
向量的加法
向量加法的定义： 将两个向量的相应 分量相加得到新的 向量
向量加法的运算法 则：向量加法满足 交换律和结合律
向量加法的几何意 义：将两个向量的 起点重合将两个向 量的终点相连得到 新的向量
向量加法的应用： 在物理、工程等领 域广泛应用如力、 速度、加速度等向 量的合成
向量的数乘
向量的表示方法
向量的表示方 法：向量可以 用有序数组表 示如(, b, c)
向量的表示方 法：向量也可 以用向量符号
表示如→
向量的表示方 法：向量还可 以用向量空间 表示如R^n
向量的表示方 法：向量还可 以用向量矩阵
表示如x=b
向量的模
向量的模：向量的长度或大小表示向量的绝对值 向量的模的公式：|v|=sqrt(v1^2+v2^2+...+vn^2) 向量的模的性质：向量的模是非负的且等于零的向量是零向量 向量的模的应用：在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛应用
向量的混合积
定义：向量的混合积是三个向量的 乘积
几何意义：表示三个向量所构成的 平行六面体的体积
添加标题
添加标题
运算法则：×b×c=·(b×c)
添加标题
添加标题
物理意义：表示三个向量所构成的 平行六面体的力矩
向量的应用
向量在几何学中的应用
相关主题
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一定
BACK
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1，方向 不一定相同。 单位向量可以有无数多个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量
它们的终点的轨迹是什么图形？
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ➢我们规定零向量与任一向量平行
（2）与向量DF的模一定相等的向
B
量有_5_个,分别是__F_D_,_E_B_,B__E_,E_A__,A_E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是___C_F_,__F_A___。
BACK
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：
（1）与ED相等的向量；
A
（2）与ED共线的向量；
（3）与FE相等的向量； （4）与FE共线的向量。 F
E
M
(1) 3个 (2) 9个 (3) 3个 (4) 11个
B
D
C
BACK
课堂小结
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
知识链接
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
说明2： 有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有
方向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 向量 AB、CD 是同一个向量。 不同的。
说明3：两个特殊向量
1、零向量 ：长度为 0 的向量。记作 0
BACK
练习： 在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪 些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
a
b
记做：a// b// c
c
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
D
A
记作：AB DC
B
C
相反向量的定义：我们把与a 长度相等，方向相反的
向量叫做a 的相反向量. 记做：- a
a
c
b
c= -a a = -c
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：
E
D
(1)试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC相等吗？
O F
C
若不相等，则之间有什么关系？
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
共有2种不同的模 共有8种不同的向量
若改为1×2的方格纸中的格点为起点 和终点的所有向量中，可得到多少种 不同的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
共有14种不同的向量
欢迎来到： 过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
8
9
10
★★★题：
11
12
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向量 ．向量一词来自力学、解析几何中的有向 线段。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
课后作业： P57 1、3
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
大小记为┃a┃
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段 表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中 的向量也叫 自由向量
如图：他们都表示 a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，
（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？
（ AB除外）
B
(1)共有7个向量与AB相等
A
(2)共有15个向量与AB共线
合作探究：
如图：以1×1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
- ( - a) =？
三：向量之间的关系
a
5.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
a,b,c为 共线向量
b c
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量 的概念中应注意零向量的特殊性
湖面上有三个景点O,A,B,
（如图）一游艇将游客从
景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景
o
点B.从景点O到景点A有
一个位移，从景点A到景
B
点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
位移既有大小又有方向，
A
距离只有大小没有方向
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
C
A
O
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定
成
ຫໍສະໝຸດ Baidu
×
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且 存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则 c =__0__
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
靖江市刘国钧中学瞿竞泓
2021年5月11日星期二6时18分54秒
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
BACK
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
不相等的单位向量有__2___个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有__7_个,
E
F
分别是_D__C_,D_B_,B_D_,_F_E_,E_F_, C_B__, B_C_____；
BACK
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
BACK
练习 1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共线向量一定在一条直线上吗？ 不一定
2、单位向量 ：长度为 1 个单位长度的向量。 0 向量大小为0，方向
不确定的。可以是任意方向 单位向量大小为1，方向 不一定相同。 单位向量可以有无数多个
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量
它们的终点的轨迹是什么图形？
三：向量之间的关系
3.平行向量的定义：
➢方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 ➢我们规定零向量与任一向量平行
（2）与向量DF的模一定相等的向
B
量有_5_个,分别是__F_D_,_E_B_,B__E_,E_A__,A_E___；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有_2_个,
分别是___C_F_,__F_A___。
BACK
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形，请分别写出：
（1）与ED相等的向量；
A
（2）与ED共线的向量；
（3）与FE相等的向量； （4）与FE共线的向量。 F
E
M
(1) 3个 (2) 9个 (3) 3个 (4) 11个
B
D
C
BACK
课堂小结
向量
向量的表示
向量的大小 （模）
零向量
单位向量
向量的方向
平行向量 （共线向量）
知识链接
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
不是，方向不同
说明2： 有向线段与向量的区别：
有向线段：有固定起点、大小、方向
向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有
方向。
B
D
B
D
A
C
A
C
有向线段AB、CD是 向量 AB、CD 是同一个向量。 不同的。
说明3：两个特殊向量
1、零向量 ：长度为 0 的向量。记作 0
BACK
练习： 在质量、重力、速度、加速度、 身高、面积、体积这些量中，哪 些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
a
b
记做：a// b// c
c
e
f
那么e与 f 之间是什么关系？
两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？
三：向量之间的关系
4.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量
D
A
记作：AB DC
B
C
相反向量的定义：我们把与a 长度相等，方向相反的
向量叫做a 的相反向量. 记做：- a
a
c
b
c= -a a = -c
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗……
请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉 克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信 息导弹是否能击中目标？
答案：不能，因为 没有给定发射的方向.
1200公里
1200公里
1200公里
1200公里
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：
E
D
(1)试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3）OA与BC相等吗？
O F
C
若不相等，则之间有什么关系？
解：（1）BC，OA
A
B
（2）BC FE
（3）虽然OA // BC，且|OA|=|BC|，
但是它们方向相反，故这两个向量不相等.
共有2种不同的模 共有8种不同的向量
若改为1×2的方格纸中的格点为起点 和终点的所有向量中，可得到多少种 不同的模？多少种不同的向量呢？
共有4种不同的模
共有14种不同的向量
欢迎来到： 过关竞技场
★题：
1
2
3
4
5
6
★★题：
7
8
9
10
★★★题：
11
12
练习： 1、单位向量是否一定相等？
不一定
2、单位向量的大小是否一定相等？
• 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向量 ．向量一词来自力学、解析几何中的有向 线段。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
课后作业： P57 1、3
大小记着：│AB│
Ｂ
A
a
②也可以表示： a b c d ….
大小记为┃a┃
说明1：
我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段 表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中 的向量也叫 自由向量
如图：他们都表示 a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
OA BC
例2：在图中的4×5方格纸中有一个向量 AB，
分别以图中的格点为起点和终点作向量，
（1）其中与 AB 相等的向量有多少个？
（2）与 AB 长度相等的共线向量有多少个？
（ AB除外）
B
(1)共有7个向量与AB相等
A
(2)共有15个向量与AB共线
合作探究：
如图：以1×1方格纸中的格点为起点和 终点的所有向量中，可得到多少种不同 的模？有多少种不同的向量？
- ( - a) =？
三：向量之间的关系
a
5.共线向量与平行向量的关系：
a// b// c
a,b,c为 共线向量
b c
bc a
任意一组平行向量都可以平移到同一直线上
平行向量就是共线向量
两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？
说明：在平行向量、共线向量、相等向量 的概念中应注意零向量的特殊性
湖面上有三个景点O,A,B,
（如图）一游艇将游客从
景点O送至景点A,半小时 后，游艇再将游客送至景
o
点B.从景点O到景点A有
一个位移，从景点A到景
B
点B也有一个位移。
位移和距离这两个量有 什么不同？
位移既有大小又有方向，
A
距离只有大小没有方向
合作探究：
观察下述三个量有什么区别？
m=20kg
(1)
正确的有：（4）
练习:
1.设O为正△ABC的中心,则向量AO,BO,CO是 (B )
A.相等向量
B.模相等的向量
C.共线向量
D.共起点的向量
C
A
O
B
练习:
1. 命题：“│a│=│b│”成立，则“ a = b ”一定
成
ຫໍສະໝຸດ Baidu
×
立
BACK
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且 存在向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则 c =__0__
F=20N
(2)
V =20km/h
(3)
（2）（3）都是有大小和方向的量
靖江市刘国钧中学瞿竞泓
2021年5月11日星期二6时18分54秒
一、向量的定义 既有大小又有方向的量
向量的模
向量的长度
二、向量的表示方法
①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为：ＡＢ。
BACK
练习：
1.与非零向量 a 平行的向量中，
不相等的单位向量有__2___个.
BACK
练习：如图,EF是△ABC的中位线,AD是BC 边上的中
线,在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有__7_个,
E
F
分别是_D__C_,D_B_,B_D_,_F_E_,E_F_, C_B__, B_C_____；