深圳市科学高中2016届高二上学期入学考试(数学)
广东省深圳市高级中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试题
深圳市高级中学2016-2017学年度下学年高二第一次月考数学试题时间:120分钟 总分:150分1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
4.试卷分两部分选择题和非选择题学校:___________姓名：___________班级：__________学号__________一.单项选择题(本大题10个选项 各小题5分 本大题50分)1．集合{}{}{}20,1,2,3,4,1,2,|540U A B x Z x x ===∈-+<，则()U C AB =（ ） A ．{}0,1,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}0,4D ．{}02．设{}{}2,|21,|log 0x U R A x B x x ==>=>,则U AC B =（ ） A ．{}|0x x < B ．{}|1x x > C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x ≤<3则sin 2α的值为（ ）A 4． 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的所对边分别为a 、b 、c ,若()222tan a b c C ab +-=,则角C 的 值为（ ）A B C ．D 5．计算sin 47cos17cos 47cos107+的结果等于（ ）A B CD6．以下四个命题中：①在回归分析中, 可用相关指数2R的值判断的拟合效果,2R越大,模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近1；③若数据123,,,...,nx x x x的方差为1,则1232,2,2,...,2nx x x x的方差为2；④对分类变量x与y的随机变量2k的观测值k来说, k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大. 其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率p的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n，落到正方形内的豆子数为m，则圆周率p的估算值是（）A．nmB．2nmC．3nmD．2mn8．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续天每天新增感染人数不超过人”，根据连续7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）①平均数；②标准差；③平均数且标准差；④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1.A.①②B.③④C.③④⑤D.④⑤二.填空题(本大题20分各小题5分)9．已知实数x 、y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为 ．10．在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：①有三个面为全等的等腰 直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体；③每个面都是直角三角形的四面体；④有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.以上结论其中正确的是________(写出所有正确结论的编号).11．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举， 这个伟大创举与古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如上图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a ＝6102，b ＝2016时，输出的a ＝ .12．如图, 在ABC ∆中,3sin ,223ABC AB ∠==, 点D 在线段AC 上, 且432,3AD DC BD ==,则cos C = ．三.解答题(本大题80分13 14 15 16小题10分17小题14分18小题16分)13．已知函数的图像两相邻对称轴之间的距离是，若将的图像先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数为奇函数.（1）求的解析式；（2）求的对称轴及单调区间；（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.14．已知(2,0),(2,0)A B -，动点M 满足2AMB θ∠=，24||||cos AM BM θ•=. （1）求||||AM BM +的值，并写出M 的轨迹曲线C 的方程；（2）动直线:l y kx m =+与曲线C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，是否存在圆222x y r +=使得l 恰好是该圆的切线，若存在，求出r ；若不存在，说明理由.15．已知||2a ，||3b ，a 与b 的夹角为120．（1）求|2|a b 的值；（2）求2a b 在a 方向上的投影．16．如图, 在三棱锥S ABC -中,SA ⊥ 底面ABC 90ABC ∠=,且SA AB =,点M 是SB 的中点, AN SC ⊥交SC 于点N .（1）求证：SC ⊥平面AMN ；（2）当1AB BC ==时, 求三棱锥M SAN -的体积.17．如图AB 是O 的直径,点C 是AB 上一点,VC 垂直O 所在平面,,D E 分别为,VA VC 的中点.（1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）若6,VC CA O ==的半径为5,求点E 到平面BCD 的距离.18．某城市随机抽取一个月(30天) 的空气质量指数API 监测数据, 统计结果如下： API[]0,50 (]50,100 (]100,150 (]150,200 (]200,250 (]250,300 (]300,350空气质量优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 2 4 5 9 4 3 3（1）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API 的平均值；（2）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S (单位：元) 与空气质量指数API (记为w )的关系式为0,01004400,1003002000,300350w S w w w ≤<⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩,若在本月30天中随机抽取一天,试估计该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率.参考答案1．C2．C3．D4．A5．D6．B7．B8．D9．710．①②③④11．181213．(1)；(2)增区间为，减区间为；(3).14．（1||||42AM BM +=215．（1（2）-1 试题分析：（1）由题已知||2a ，||3b 及其夹角，可利用2||a a ，转化为向量的乘法解决，可得；（2）由为求向量的投影，则由向量乘法cos a b a b ，则a 在b 的投影为cos a ，则可利用cos a ba b 变形．可求出投影．16．（1）详见解析（217．(1)证明见解析；18．（1）175（2。
高二上开学考数学试题
A.直角三角形
B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
12.数列 an
中，
a1
2
且
an
an1
an
n an1
2(n
2)
，则数列
an
1
12
的前
2020 项和为 A. 4040
2021
B. 2019
1010
C. 2020
2021
（） D. 4039
2020
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
x y 4 0
13.已知 x, y 满足约束条件
x y0
，则 z 4x y 的最小值为_______．
x 2
14.已知平行直线 l1 : 2x y 1 0 , l2 : 2x y 1 0 ,则 l1 与 l2 的距离是_________.
15.已知 x 0, y 0 ,且 2x y 1,求 1 1 的最小值__________ xy
10.如图,长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AA1 AB 2, AD 1 ,点 E, F , G 分别
是 DD1, AB,CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角是（
）
A. 60
B. 45
C. 30
D. 90
11.若 a b c b c a 3bc ,且 sin A 2 sin B cos C ,那么△ABC 是（ ）
正确的是 A. / / , m , n m / /n C. m , m n n / /
（） B. l , l / / D. / / , l l
6.已知 tan 2 ,则 sin 2 sin2 （ ）
2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |﹣3＜x ＜2}C ．{x |﹣2＜x ≤1}D ．{x |﹣2≤x ≤1}2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．35．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425D ．24256．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√21217．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．358．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ）A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5）C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=210．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣1，0），B （2，0），动点M 满足MB ＝2MA ，直线l ：x ﹣my +1＝0，则以下说法正确的是（ ） A ．动点M 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝4 B ．直线l 与动点M 的轨迹一定相交C ．若直线l 与动点M 的轨迹交于P 、Q 两点，且PQ =2√3，则m ＝±1D ．动点M 到直线l 距离的最大值为312．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，G 为C 1D 1的中点，点P 在线段B 1C 上运动，点Q 在棱C 1C 上运动，M 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D B ．PQ +QG 的最小值为3√2C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i 是实系数一元二次方程x 2﹣ax +b ＝0的一个根，则b ＝ ．14．已知⊙M ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4，直线l ：2x +y +2＝0，点P 为直线l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线P A ，切点为A ，则切线段P A 长的最小值为 ．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 ． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0． （1）求直线BC 的方程；（2）若△ABC 的外接圆为圆M ，过点P(√2，2)作圆M 的切线，求切线方程． 20．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是矩形，AC ＝AA 1，AC 1⊥A 1B ． （1）求证：面ACC 1A 1⊥面ABC ；（2）若BC ＝1，AC ＝2，∠A 1AC ＝60°，在棱AC 上是否存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点．2023-2024学年广东省深圳市科学高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．已知集合A ={x|x−1x+3＜0}，B ={x||x|＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜1} B ．{x |﹣3＜x ＜2} C ．{x |﹣2＜x ≤1} D ．{x |﹣2≤x ≤1}解：因为x−1x+3＜0⇒(x −1)(x +3)＜0⇒−3＜x ＜1，所以A ＝{x |﹣3＜x ＜1}．因为|x |＜2⇒﹣2＜x ＜2，所以B ＝{x |﹣2＜x ＜2}． A ∩B ＝{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：A ．2．已知直线l ，m 和平面α，β．若α⊥β，l ⊥α，则“l ⊥m ”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为α⊥β，l ⊥α，若m ⊥β，则可得l ⊥m ，必要性成立；若l ⊥m ，则m ∥α或m ⊂α都有可能，但是m ⊥β不一定成立，充分性不成立． 所以“l ⊥m ”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．3．在△ABC 中，CM →=3MB →，AN →+CN →=0，则（ ）A ．MN →=14AC →+34AB →B ．MN →=23AB →+76AC →C ．MN →=16AC →−23AB →D ．MN →=14AC →−34AB →解：由CM →=3MB →，AN →+CN →=0，可得BM →=14BC →，AN →=12AC →，所以MN →=AN →−(AB →+BM →)=12AC →−AB →−14BC → =12AC →−AB →−14(AC →−AB →) =14AC →−34AB →．故选：D ．4．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r ＝（ ） A ．√2B ．√3C ．2√3D ．3解：令圆锥底面圆半径为r ′，则2πr ′=πr ，解得r ′=12r ， 从而圆锥的高ℎ=√r 2−r′2=√32r ， 因此圆锥的体积V =13πr′2ℎ=13π(12r)2⋅√32r =3π，解得r =2√3．故选：C ．5．已知sin(α−π4)=−35，且α为锐角，则cos2α＝（ ） A ．−1225B ．1225C ．−2425 D ．2425解：由sin(α−π4)=−35，且α为锐角，所以α∈(0，π2)， 可得α−π4∈(−π4，π4)，所以cos(α−π4)=√1−sin 2(α−π4)=45； 因此cosα=cos[(α−π4)+π4]=cos(α−π4)cos π4−sin(α−π4)sin π4=7√210， cos2α=2cos 2α−1=2×(7√210)2−1=2425． 故选：D ．6．已知正四面体ABCD ，M 为AB 中点，则直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为（ ） A ．23B ．√36C ．√2121D ．4√2121解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为2，取AD 的中点F ，连接MF 、CF ，因为M 、F 分别为AB 、AD 的中点，则MF ∥BD 且MF =12BD =1，因此∠CMF 或其补角为直线CM 与直线BD 所成的角， 因为△ABC 为等边三角形，M 为AB 的中点， 则CM ⊥AB ，且CM =ACsin60°=√3，同理CF =√3，在等腰△CMF 中，cos ∠CMF =12MFMC =123=√36，所以直线CM 与直线BD 所成角的余弦值为√36． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，O 为椭圆的对称中心，F 为椭圆的一个焦点，P 为椭圆上一点，PF⊥x 轴，PF 与椭圆的另一个交点为点Q ，△POQ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A ．√32B ．√5−12C ．√3+14D ．35解：如图，不妨设F （c ，0），P （c ，y 0）， 因为点P （c ，y 0）在椭圆上，所以c 2a 2+y 02b 2=1，解得y 0=±b 2a ，所以P(c ，b2a)，又△POQ 为等腰直角三角形，所以|PF |＝|OF |， 即b 2a=c ，即a 2﹣c 2＝ac ，所以e 2+e ﹣1＝0， 解得e =√5−12或e =−1−√52（舍）． 故选：B ．8．已知正三棱锥A ﹣BCD 的外接球是球O ，正三棱锥底边BC ＝3，侧棱AB =2√3，点E 在线段BD 上，且BE ＝DE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．[9π4，3π]B ．[2π，3π]C ．[11π4，4π]D ．[9π4，4π]解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接O 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则O 1D ＝3sin60°×23=√3，AO 1=√AD 2−DO 12=3，在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，在△DEO 1中，O 1E =√3+94−2×√3×32×cos30°=√32，∴OE =√O 1E 2+OO 12=√34+1=√72， 过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时， 截面的面积最小，此时截面圆的半径为： r =√22−(√72)2=32，最小面积为π×(32)2=9π4， 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． ∴所得截面圆面积的取值范围是[9π4，4π]．故选：D ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知空间中三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2），则（ ） A ．向量AB →与向量AC →垂直B ．平面ABC 的一个法向量为n →=（l ，2，﹣5） C ．AC →与BC →的夹角余弦值为√6611D ．|AB →|=2解：三点A （﹣1，2，1），B （1，3，1），C （﹣2，4，2）， A 中，AB →=（2，1，0），AC →=（﹣1，2，1），所以AB →•AC →=2×（﹣1）+1×2+0×1＝0，所以AB →⊥AC →，所以A 正确；B 中，设平面ABC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅AB →=0n →⋅AC →=0，即{2x +y =0−x +2y +z =0， 令x ＝1，则n →=（1，﹣2，5），所以B 不正确；C 中，BC →=（﹣3，1，1），AC →•BC →=−1×（﹣3）+2×1+1×1＝6， |AC →|=√(−1)2+22+12=√6，|BC →|=√(−3)2+12+12=√11，所以cos ＜AC →，BC →＞=AC →⋅BC→|AC →|⋅|BC →|=6√6⋅√11=√6611，所以C 正确； D 中，|AB →|=√22+12+02=√5≠2，所以D 不正确． 故选：AC ．10．已知f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＜0)的最小正周期为π，则（ ） A ．f(π4)=√3B ．f （x ）的图象关于直线x =−π6对称 C ．f （x ）在(0，π3)上单调递增D ．f （x ）在（0，2π）上有四个零点解：函数f （x ）=√3sin ωx +cos ωx ＝2sin （ωx +π6）（ω＜0）的最小正周期为π， ∴T =2π−ω=π，即ω＝﹣2， 则f （x ）＝2sin （﹣2x +π6）＝﹣2sin （2x −π6）， A ，∵f （π4）＝﹣2sin （π2−π6）＝﹣2sinπ3=−√3，∴A 错误，B ，当x =−π6时，则f （−π6）＝﹣2sin （−π2）＝2，∴直线x =−π6为对称轴，∴B 正确，C ，∵x ∈（0，π3），∴2x −π6∈（−π6，π2），∴f （x ）＝﹣2sin （2x −π6）在x ∈（0，π3）上单调递减，∴C 错误，D ，令2x −π6=k π，k ∈Z ，则x =π12+kπ2，k ∈Z ，当k ＝0，即x =π12时，符合题意，当k ＝1，即x =7π12时，符合题意， 当k ＝2，即x =13π12时，符合题意，当k ＝3，即x =19π12时，符合题意，∴D 正确， 故选：BD ．11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足MB＝2MA，直线l：x﹣my+1＝0，则以下说法正确的是（）A．动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4B．直线l与动点M的轨迹一定相交C．若直线l与动点M的轨迹交于P、Q两点，且PQ=2√3，则m＝±1D．动点M到直线l距离的最大值为3解：设点M（x，y），因为动点M满足MB＝2MA，且A（﹣1，0），B（2，0），所以√(x−2)2+y2=2√(x+1)2+y2，整理可得x2+y2+4x＝0，即（x+2）2+y2＝4，对于A，动点M的轨迹是以N（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，动点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4，故A正确；对于B，因为直线l：x﹣my+1＝0过定点C（﹣1，0），而点C（﹣1，0）在圆（x+2）2+y2＝4内，所以直线l与动点M的轨迹一定相交，故B正确；对于C，因为PQ=2√3，所以圆心到直线的距离d=√r2−(|PQ|2)2=1，所以d=|−2+1|√1+(−m)=1，解得m＝0，故C错误；对于D，因为圆心N到直线l的距离为1，所以动点M到直线l距离的最大值为1+2＝3，故D正确．故选：ABD．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C 上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．PQ+QG的最小值为3√2C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[π3，π2]D ．当MA +MB ＝4时，三棱锥A ﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为28π3．解：对于A 选项，连接B 1D 1，则B 1D 1⊥A 1C 1，由题可知，BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，且A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则B 1B ⊥A 1C 1， 又B 1D 1∩B 1B ＝B 1，∴A 1C 1⊥平面D 1B 1B ，BD 1⊂平面D 1B 1B ，则BD 1⊥A 1C 1， 同理可得BD 1⊥DC 1，∵DC 1∩A 1C 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，则选项A 正确；对于B 选项，如图展开平面C 1CDD 1，使平面B 1BCDD 1C 1共面，过G 作GP ⊥B 1C ，交B 1C 与点P ，交C 1C 与点Q ，则此时|PQ |+|QG |最小， 由题可知，B 1G ＝3，则GP =3√22， 即|PQ |+|QG |的最小值为3√22，则B 选项错误；对于C 选项，由题可知，A 1B 1∥C 1D 1∥CD ，A 1B 1＝C 1D 1＝CD ， 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，则A 1D ∥B 1C ， 所以AP 与B 1C 所成角即为异面直线AP 与A 1D 所成角， 又点P 在线段B 1C 上运动，可知△AB 1C 是等边三角形，所以直线AP 与A 1D 所成角的取值范围是[π3，π2]，则C 选项正确； 对于D 选项，∵|MA |+|MB |＝4，∴当M 、A 、B 三点共面时， 点M 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，又因为|AB |＝2，所以椭圆的长轴长为4，短轴长为2√3，故点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭球表面， 设AB 的中点为E ，要使三棱锥A ﹣MBC 的体积最大，即M 到平面ABC 的距离最大， 所以当M ∈平面ABB 1A 1，当ME ⊥平面ABC ，且ME =√3时，三棱锥A ﹣MBC 的体积最大， 此时△MAB 为等边三角形，设其中心为O1，三棱锥A﹣MBC的外接球的球心为O，△ABC的外心F，连接OF，OA，OO1，则OF=O1E=√33，AF=√2，所以AO2=OF2+AF2=73，即三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积S=4π×OA2=28π3．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则b＝10．解：复数3+i是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，则3﹣i也是实系数一元二次方程x2﹣ax+b＝0的一个根，故（3+i）（3﹣i）＝b，即b＝10．故答案为：10．14．已知⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：2x+y+2＝0，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线P A，切点为A，则切线段P A长的最小值为1．解：⊙M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4的圆心坐标为M（1，1），半径为2，如图，|MA|＝2，要使|P A|最小，则|PM|最小，为圆心M到直线l：2x+y+2＝0的距离，即√22+12=√5．∴|P A|的最小值为√(√5)2−22=1．故答案为：1．15．我们知道，三脚架放在地面上不易晃动，其中蕴含的数学原理是“不共线三点确定一个平面”；另一方面，空间直角坐标系xOy 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为n →=(a ，b ，c)的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．根据上述知识解决问题：现有一三脚架（三条脚架可看作三条边，它们的交点为顶点）放于桌面，建立合适空间直角坐标系xOy ，根据三支点的坐标可求得桌面所在平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，若三脚架顶点Q 的坐标为（0，2，3），则点Q 到平面α的距离为 √66． 解：平面α的方程为x ﹣2y +z ＝0，取P （0，0，0）， 则平面的法向量为n →=(1，−2，1)，PQ →=(0，2，3)， 则cos〈PQ →，n →〉=PQ →⋅n→|PQ →|⋅|n →|=−4+313×6=−√7878，故点Q 到平面α的距离为|PQ →||cos〈PQ →，n →〉|=√13×√7878=√66．故答案为：√66． 16．已知△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 上的四等分点（靠近点A ）且CD ＝1，（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ），则a +3b 的最大值是 8√33． 解：因为（a ﹣b ）sin A ＝（c +b ）（sin C ﹣sin B ）， 由正弦定理得a （a ﹣b ）＝（c +b ）（c ﹣b ）， 则a 2﹣ab ＝c 2﹣b 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，所以cos ∠ACB =a 2+b 2−c 22ab =12，又∠ACB ∈（0，π），则∠ACB =π3；设∠ACD ＝θ，则∠BCD =π3−θ，且0＜θ＜π3， 在△ACD 中，有ADsinθ=CD sinA，则AD •sin A ＝sin θ，在△BCD 中，有BDsin(π3−θ)=CD sinB，则BD ⋅sinB =sin(π3−θ)，又BD =3AD =3c4，即c 4(sinA +3sinB)=sinθ+sin(π3−θ)， 又由正弦定理知c =2Rsin ∠ACB =√3R （R 为△ABC 的外接圆半径）， 所以√3R 4(sinA +3sinB)=sinθ+√32cos −12sinθ=12sinθ+√32cosθ=sin(θ+π3， 则√38(2RsinA +6RsinB)=sin(θ+π3)，即a +3b =3+π3)，又π3＜θ+π3＜2π3，故当θ+π3=π2，即θ=π6时， 可得(a +3b)max =83=83√3． 故答案为：8√33． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图像如图所示，将函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）的图象．（1）求f （x ）与g （x ）的解析式；（2）求方程g(x)=√2在区间（0，2π）内的所有实数解的和．解：（1）根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=7π12−π3，所以ω＝2，再根据五点法作图，可得2×π3+φ＝π，求得φ=π3， 所以函数f （x ）＝2sin （2x +π3），将函数f （x ）＝2sin （2x +π3）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g （x ）＝2sin[2（x −π4）+π3]＝2sin（2x −π6）的图象，综上可得，f （x ）＝2sin （2x +π3），g （x ）＝2sin （2x −π6）； （2）若g （x ）＝2sin （2x −π6）=√2，可得sin （2x −π6）=√22， 因为0＜x ＜2π， 所以−π6＜2x −π6＜23π6， 所以2x −π6=π4或2x −π6=3π4或2x −π6=9π4或2x −π6=11π4， 所以x =5π24或x =11π24或x =29π24或x =35π24， 可得方程在区间（0，2π）内的所有实数解为5π24，11π24，29π24，35π24，故所有解的和为5π24+11π24+29π24+35π24=103π．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ﹣c ＝（√3sin A ﹣cos A ）b ． （1）求角B 的大小；（2）D 为AC 边上一点，DB ⊥AB ，BC ＝4，BD =√3，求边AB 的长． 解：（1）由已知结合正弦定理可得sinA −sinC =(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sin(A +B)=(√3sinA −cosA)sinB ，∴sinA −sinAcosB =√3sinAsinB ， 又∵sin A ＞0，∴√3sinB +cosB =1，∴sin(B +π6)=12． 又∵B ∈（0，π），∴B +π6∈(π6，7π6)，∴B +π6=5π6，∴B =2π3． （2）∵D 为AC 边上一点，∴S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ， ∴12AB •BC •sin ∠ABC =12AB •BD +12BD •BC •sin ∠DAC ，即12⋅AB ⋅4⋅√32=12⋅AB ⋅√3+12⋅√3⋅4⋅12，解得AB ＝2．19．（12分）已知△ABC 的顶点A （﹣1，﹣1），C （1，﹣1），线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ＝0．（1）求直线BC的方程；（2）若△ABC的外接圆为圆M，过点P(√2，2)作圆M的切线，求切线方程．解：（1）因为线段AB的垂直平分线的方程为x+y＝0，所以点A，B关于直线x+y＝0对称．因为A（﹣1，﹣1），所以B（1，1）．又C（1，﹣1），所以直线BC的方程为x＝1．（2）因为CA⊥CB，A（﹣1，﹣1），B（1，1），所以△ABC外接圆的方程为（x+1）（x﹣1）+（y+1）（y﹣1）＝0，即x2+y2＝2．所以圆M的圆心为（0，0），半径为√2．当切线的斜率不存在时，x=√2满足题意．当切线的斜率存在时，设切线方程为y−2=k(x−√2)，即kx−y+2−√2k=0．因为圆心M到切线的距离d=|2−√2k|√1+k =√2，解得k=√24，所以切线方程为y−2=√24(x−√2)，即√2x−4y+6=0．综上所述，切线方程为x=√2或√2x−4y+6=0．20．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，AC＝AA1，AC1⊥A1B．（1）求证：面ACC1A1⊥面ABC；（2）若BC＝1，AC＝2，∠A1AC＝60°，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角B﹣A1P﹣C的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由．（1）证明：∵AC＝AA1，四边形ACC1A1是平行四边形，∴四边形ACC1A1是菱形，∴AC1⊥A1C，又AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，∴BC⊥AC1，∵侧面BCC 1B 1是矩形，∴BC ⊥CC 1， AC 1∩CC 1＝C 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又BC ⊂⊥平面ABC ， ∴平面ACC 1A 1⊥平面ABC ．（2）解：由（1），以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴，平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系． 平面ACC 1A 1上过点C 且垂直于AC 的直线为z 轴．B （0，1，0），A 1（1，0，√3），设P （t ，0，0）， BP →=（t ，﹣1，0），BA 1→=（1，﹣1，√3），由BC ⊥平面ACC 1A 1，可取平面ACC 1A 1的法向量为m →=（0，1，0）． 设A 1BP 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则n →•BP →=n →•BA 1→=0， ∴tx ﹣y ＝0，x ﹣y +√3z ＝0， 取n →=（√3，√3t ，t ﹣1），∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√3t √3+3t +(t−1)=√22，化为t 2+t ﹣2＝0，t ＞0，解得t ＝1，即CP ＝1．∴在棱AC 上存在一点P ，使得二面角B ﹣A 1P ﹣C 的大小为45°，此时点P 为AC 的中点． 21．（12分）已知椭圆M 焦点在x 轴，离心率为2√23，且过点（3，0），直线l ：x ＝ky +m （m ≠3）与椭圆M 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆经过定点C （3，0）． （1）求椭圆M 的标准方程； （2）求△ABC 面积的最大值． 解：（1）由题意，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，由于椭圆离心率为2√23且过点（3，0）， 所以{c a =2√23a =3，解得a ＝3，c =2√2，b =√a 2−c 2=1，故椭圆M 的标准方程为：x 29+y 2=1．（2）联立{x =ky +mx 29+y 2=1，可得（k 2+9）x 2+2kmy +m 2﹣9＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则当Δ＞0时， 有y 1+y 2=−2kmk 2+9，y 1y 2=m 2−9k 2+9，若以AB 为直径的圆经过定点C （3，0），所以CA →⋅CB →=0，由CA →=(x 1−3，y 1)，CB →=(x 2−3，y 2)，得（x 1﹣3）（x 2﹣3）+y 1y 2＝0，将x 1＝ky 1+m ，x 2＝ky 2+m 代入可得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0， 代入韦达定理可得：(k 2+1)×m 2−9k 2+9+k(m −3)×(−2km k 2+9)+(m −3)2=0，化简可得：5m 2﹣27m +36＝0，解得m =125或m ＝3（舍）， 则直线l ：x =ky +125，故直线过定点Q(125，0)， 则S △ABC =12|QC ||y 1﹣y 2|=12×（3−125）y 12×|y 1﹣y 2| =310√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=310√(−2k×125k 2+9)2−4((125)2−9k 2+9)=95√25(k 2+9)−14425(k 2+9)2， 设t =1k 2+9，0＜t ≤19，则S △ABC =95√−14425t 2+t ，当t =25288∈(0，19]时，S △ABC 取得最大值为38．22．（12分）已知集合M 是满足下列性制的函数f （x ）的全体，存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立，称数对（a ，k ）为函数f （x ）的“伴随数对”． （1）判断f （x ）＝x 2是否属于集合M ，并说明理由；（2）若函数f （x ）＝sin x ∈M ，求满足条件的函数f （x ）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”，当1≤x ＜2时，f （x ）＝cos （π2x ）；当x ＝2时，f （x ）＝0，求当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的解析式和零点． 解：（1）f （x ）＝x 2的定义域为R ．假设存在实数a 、k （k ≠0），对于定义域内的任意x 均有f （a +x ）＝kf （a ﹣x ）成立， 则（a +x ）2＝k （a ﹣x ）2，化为：（k ﹣1）x 2﹣2a （k +1）x +a 2（k ﹣1）＝0， 由于上式对于任意实数x 都成立，∴{k −1=02a(k +1)=0a 2(k −1)=0，解得k ＝1，a ＝0．∴（0，1）是函数f （x ）的“伴随数对”，f （x ）∈M ． （2）∵函数f （x ）＝sin x ∈M ，∴sin （a +x ）＝k sin （a ﹣x ），∴（1+k ）cos a sin x +（1﹣k ）sin a cos x ＝0， ∴√k 2+2kcos2a +1sin （x +φ）＝0， ∵∀x ∈R 都成立，∴k 2+2k cos2a +1＝0， ∴cos2a =−12(k +1k )，|k +1k |≥2， ∴|cos2a |≥1，又|cos2a |≤1， 故|cos2a |＝1．当k ＝1时，cos2a ＝﹣1，a ＝n π+π2，n ∈Z ． 当k ＝﹣1时，cos2a ＝1，a ＝n π，n ∈Z ．∴f （x ）的“伴随数对”为（n π+π2，1），（n π，﹣1），n ∈Z ． （3）∵（1，1），（2，﹣1）都是函数f （x ）的“伴随数对”， ∴f （1+x ）＝f （1﹣x ），f （2+x ）＝﹣f （2﹣x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），T ＝4．当0＜x ＜1时，则1＜2﹣x ＜2，此时f （x ）＝f （2﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当2＜x ＜3时，则1＜4﹣x ＜2，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝﹣cos (π2x)； 当3＜x ＜4时，则0＜4﹣x ＜1，此时f （x ）＝﹣f （4﹣x ）＝cos (π2x)．∴f （x ）={−cos(π2x)，0＜x ＜1cos(π2x)，1＜x ＜2−cos(π2x)，2＜x ＜3cos(π2x)，3＜x ＜40，x =0，1，2，3，4．∴f （x ）={−cos(π2x)，2014＜x ＜2015cos(π2x)，2015＜x ＜20160，x =2014，2015，2016．∴当2014≤x ≤2016时，函数y ＝f （x ）的零点为2014，2015，2016．。
【小初高学习】高二数学上学期入学试卷(含解析)
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|3x+2＞0}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．（3，+∞）2．函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知，，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．在四边形ABCD中，如果，，那么四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．直角梯形5．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．2 B．5 C．11 D．236．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）7．已知=， =， =，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线8．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C． D．f（x）=﹣log2|x|9．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣210．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=12．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4 B．C．6 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量等于．14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是．15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（Ⅱ）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率．18．已知tanα，tanβ是一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根，且α∈（0，），β∈（，π），（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．22．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|3x+2＞0}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|3x+2＞0}={x|x＞﹣}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则A∩B={x|x＞3}，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先分析函数f（x）=log2x的单调性，进而可得函数f（x）=log2x在区间上的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=log2x在区间上为增函数，∴当x=时，函数f（x）取最小值﹣1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键．3．已知，，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】然后根据θ的正弦值与余弦值，我们易得θ所在的象限．【解答】解：∵，∴θ在第一、二象限，∵，∴θ在第二、三象限，∴θ在第二象限，故选：B．【点评】要判断θ角的位置，我们可以先确定θ角的三角函数值，然后再根据结论进行判断：sinθ：第一、二象限为正，第三、四象限为负；cosθ：第一、四象限为正，第二、三象限为负；tanθ：第一、三象限为正，第二、四象限为负．4．在四边形ABCD中，如果，，那么四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．直角梯形【考点】平面向量数量积的运算；相等向量与相反向量．【分析】数量积=0，两条直线垂直，向量相等，两条直线平行，容易推出结论．【解答】解：由知AB⊥AD，由知AB∥CD，AB=CD，故为矩形．故选A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，平行向量问题，是基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．2 B．5 C．11 D．23【考点】循环结构．【专题】阅读型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y 是否继续循环循环前 2 5 是第一圈 5 11 是第二圈 11 23 否故输出y的值为23．故选D．【点评】本题主要考查了算法流程图，同时考查了分析问题的能力和读图的能力，属于基础题．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1， T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故选D．【点评】本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．7．已知=， =， =，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【考点】向量的共线定理；平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论．【解答】解： =（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．8．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C． D．f（x）=﹣log2|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数．B．f（x）=x2﹣3x=（x﹣）2﹣在（0，+∞）上为不单调．C. ==1﹣在（0，+∞）上为增函数．D．当x＞0时，f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上为减函数．故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，比较基础．9．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．【解答】解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．10．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出A、B的中点坐标，代入直线方程，求出AB的斜率，推出方程组，求解即可．【解答】解：两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，可得K AB=﹣1，即﹣1=，…①AB的中点（）在直线上，可得…②，由①②可得m=5，n=﹣1；∴m+n=4．故选：D．【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．11．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选C．【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．12．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4 B．C．6 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．【解答】解：由题意，则，∴=6， ==2， =2．∴===．即，得，由定义知，故选：D．【点评】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量共线解出y，代入坐标计算．【解答】解：∵，∴，解得y=﹣4．∴3=（1，2）．∴|3|=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的共线定理和模长计算，属于基础题．14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是54 ．【考点】频率分布直方图；频率分布表．【专题】图表型．【分析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16，18]的频率，从而得出成绩在[16，18]的学生人数．【解答】解：因从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为×1=，即成绩在[16，18]的频率为，由频率分布直方图知，成绩在[16，18]的人数为120×=54（人）故答案为：54．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1，根据椎体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1所以V=Sh=故答案为：【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】数形结合；转化思想．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（Ⅱ）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率．（Ⅱ）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）令事件A“三张卡片之和大于9”且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）∴三张卡片之和大于9的概率P（A）=；（Ⅱ）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”，则其对立事件“两次都没抽到数字3”，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4），∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=，∴两次抽取至少一次抽到数字3的概率是．【点评】本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题18．已知tanα，tanβ是一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根，且α∈（0，），β∈（，π），（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）通过方程的根，求出α、β的正切函数值，利用两角和的正切函数，求出正切函数值，通过角的范围，求cos（α﹣β）的值；（2）利用（1）的结果求出α+β的正切函数值，通过角的范围求解角的大小即可．【解答】解：（1）一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根为﹣2和，α∈（0，），β∈（，π），∴tanβ=﹣2，tanα=﹣﹣（2分）∴tan（α﹣β）=，α﹣β∈∴cos（α﹣β）=﹣=﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵tanβ=﹣2，tanα=，∴tan（α+β）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分），∴α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】不考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，注意角的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．【解答】解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，= [（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，= [（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由=，＞，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为=．【点评】本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的取值范围，即可求f（x）的最大值，并求出此时对应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=+sin2x﹣=sin（2x﹣）…3分周期T=π，因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分当2x﹣∈[+2kπ， +2kπ]，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为[+kπ， +kπ]，[+kπ， +kπ]，k∈Z (7)分（2）当，2x﹣∈[﹣，]，…9分sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．22．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．【解答】解：（Ⅰ）直线l方程，原点O到l的距离为，弦长，•ABO面积•∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），∴（﹣1＜k＜1且K≠0），（Ⅱ）令，则k2=，S（k）==4•=4•=4•=4•=4•．∴当t=时，时，S max=2．【点评】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变，属于中档题．。
广东省深圳市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省深圳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·太康开学考) 已知集合A={x|y=lnx}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=（）A . {﹣1，﹣2}B . {1，2}C . （0，+∞）D . （1，2）2. （2分）为了调查城市PM2.5的情况,按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组,对应的城市数分别为8,16,24.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则中型组中应抽取的城市数为A . 3B . 4C . 5D . 63. （2分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α．其中正确命题的序号是（）A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④4. （2分）(2016·浦城模拟) 执行如图所示的程序框图，则“3＜m＜5”是“输出i的值为5”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二上·山东开学考) 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·牡丹江月考) 抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）A .B .C .D . 37. （2分）(2018·榆社模拟) 设满足约束条件，则的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A . 若，，则B . 若，，则C . 若，，则D . 若，，则9. （2分）(2019·邢台模拟) 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（）A . AC⊥BDB . AC=BDC . AC∥截面PQMND . 异面直线PM与BD所成的角为45°11. （2分） (2015高二上·福建期末) 如图在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1 则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （2分）(2014·湖北理) 在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A . ①和②B . ③和①C . ④和③D . ④和②二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________14. （1分） (2016高二上·上海期中) 在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则△PBC 与△ABC的面积之比是________．15. （1分） (2017高一下·徐州期末) 过点（1，2）且与直线2x﹣y+1=0垂直的直线方程为________．16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）．则第8个三角形数是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2017高二上·佳木斯月考) 已知直线恒过一定点 .（1）求定点的坐标；（2）若，求与直线垂直且经过点的直线方程.18. （10分） (2018高二上·南宁月考) 在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的值.19. （10分） (2016高二下·玉溪期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2 ．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）如果如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．20. （10分） (2015高二上·宝安期末) 已知函数f（x）=log2x，g（x）=x2+2x，数列{an}的前n项和记为Sn ， bn为数列{bn}的通项，n∈N* ．点（bn ， n）和（n，Sn）分别在函数f（x）和g（x）的图象上．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令Cn= ，求数列{Cn}的前n项和Tn．21. （5分）(2017·铜仁模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．22. （15分）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1O⊥平面BCD．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1﹣BCD的体积．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(文)
深圳市高级中学2015－2016学年第一学期期末测试高二文科数学说明：本试卷由两部分组成。
第一部分：期中前基础知识和能力考查，共103分；第二部分：期中后知识考查，共47分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
1、答第一部分前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卷收回。
4、参考公式和数据表：的观测值为))()()(()(2kd b c a d c b a bc ad n ++++-=常用数据表：第Ⅰ卷（共103分）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“1=x ”是“02=-x x ”的( )A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 2B. 1C.D.3．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)()1(x f f <-的解集是（ ） A ． )1,(--∞ B ．),1(+∞- C ． )1,1(- D ．（),1()1,+∞-∞- 4 .已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为（ ）2K 2313A ．1 BC.5 D．5．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等）A.224515y x -=B.225514y x -= C.22154y x -= D.22154x y -= 6.设0x >，0y >，且220x y +=，则lg lg x y +的最大值是 ( ) A. 50B. 2C. 1lg5+D. 17. 一名小学生的年龄和身高（单位：cm)的数据如下：由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为，预测该学 生10岁时的身高为（ ）A.154B. 153C.152D. 1518．设集合]2,1[),1,0[==B A ，函数2,()42,x x Af x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩，若0x A ∈且()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦，则0x 的取值范围是( ) A ． B ．(1,2log 3) C ． D ．[09．设不等式组所表示的平面区域是,平面区域与关于直线对称,对于中的任意一点A 与中的任意一点B , 的最小值为( ) A ． B ． C ．4 D ．2二、填空题 (本大题共2小题，每小题5分，共10分)8.8y x a =+x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩1Ω2Ω1Ω3490x y --=1Ω2Ω||AB 28512510.已知a b c ，，分别是ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边，若1a b ==，且B 是 A 与C 的等差中项，则sin A = .11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共48分）12. （本小题满分12分）已知向量互相垂直，其中.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求的值.13．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和.14．（本小题满分12分）已知长方形ABCD, AB=2,BC=1.以AB 的中点为原点建立（如图）所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.15．（本小题满分12分）设函数3221()231,0 1.3f x x ax a x a =-+-+<< (sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与(0,)2πθ∈sin cos θθ和sin()102πθϕϕ-=<<cos ϕ2O xoy l ll（Ⅰ）求函数)(x f 的极大值；（Ⅱ）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围．第Ⅱ卷（共47分）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省深圳市高二上学期开学数学试卷
广东省深圳市高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·酉阳期末) 已知集合，则中元素的个数为（）A . 必有1个B . 1个或2个C . 至多1个D . 可能2个以上2. （2分）设α∈，则使函数y=xα为奇函数且在（0，+∞）为增函数的所有α的值为（）A . 1，3B . ﹣1，1，2C . ， 1，3D . ﹣1，1，33. （2分） (2016高一上·温州期末) 已知函数f（x）=ln|ax|（a≠0），g（x）=x﹣3+sinx，则（）A . f（x）+g（x）是偶函数B . f（x）•g（x）是偶函数C . f（x）+g（x）是奇函数D . f（x）•g（x）是奇函数4. （2分）(2020·达县模拟) 若向量，，若，则A .D . 35. （2分） (2016高一下·成都期中) 已知向量，则x=（）A . 2或3B . ﹣1或6C . 6D . 26. （2分）函数对任意的都有成立，则的最小值为（）A .B . １C . ２D . ４7. （2分） (2018高一下·中山期末) 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是（）A . 3B . 48. （2分）若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（）A . 16B . 9C . 12D . 89. （2分）为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为M1 ，众数为M2 ，平均值为，则（）A . M1=M2=B . M1=M2＜C . M1＜M2＜D . M2＜M1＜10. （2分） (2016高一下·平罗期末) 已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（）A . 15B . 1811. （2分）若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为（﹣，），则tanα的值为（）A . -B . -C .D . -12. （2分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A . n≤8？B . n≤9？C . n≤10？D . n≤11？二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高一下·惠来期末) 任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形的概率是________．14. （1分） (2017高三下·武邑期中) 若，则f（f（﹣2））=________．15. （2分） (2016高一上·金华期末) 已知sinα= +cosα，且α∈（0，），则sin2α=________，cos2α=________．16. （1分） (2017高一下·宿州期中) 若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·岳池期末) 设θ为第二象限角，若．求（1）tanθ的值；（2）的值．18. （10分）有一游戏规则是：抛掷一骰子，若掷出1点、2点、3点，则得1分，若是掷出4点、5点，则得2分，若掷出6点，则得3分，（1）写出学生A抛掷一次所得分数的期望；（2）学生A与学生B各掷2次，所得分数分别x，y，求|x﹣y|≥1的概率．19. （10分） (2018高二下·临泽期末) 已知向量．（1）若 ,求的值；（2）记，在中，角的对边分别是且满足，求函数的取值范围．20. （10分）如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点.（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC的体积．21. （10分） (2016高二上·开鲁期中) 已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．22. （10分）(2020·华安模拟) 已知圆的极坐标方程为： .（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
深圳市科学高中2016届高二上学期入学考试(数学)资料
深圳市科学高中2016届高二上学期入学考试数 学考试时长：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =+>=+->，则A B ⋂=（ ） A ．()1,-∞- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,1 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,32 D ．()+∞,3 2．函数2()log f x x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 3θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．在四边形ABCD 中，如果0=⋅BD AC ，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．直角梯形 5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ）A.2B.5C.11D.236.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的 图象解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-7．已知b a AB 5+=，b a BC 82+-=，()b a CD -=3，则（ ） A.A B D ，，三点共线 B.A B C ，，三点共线 C.B C D ，，三点共线 D.A C D ，，三点共线8．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 （ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C . ()1xf x x =+ D. 2()log f x x =-9．若3sin cos 0,αα+=则21cos sin 2αα+的值为（ ） A ．310 B ．35 C ．32D ．-210. 两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的 轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它的θ=，若(2,0)u =r ，(1,u v -=r r=+⨯)( （ ）.A 34.B 3 .C 6.D 32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年广东省深圳科学高中高二下学期开学考数学试题及答案
深圳科学高中2023-2024学年第二学期开学考试试题科目：高二数学 考试时长120分钟 卷面总分：150分命题人：卞上 审题人：吴冰欣一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知i 为复数单位，()3i2i 1ia a +=+∈-R ，则复数2i z a =+在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()1,1a =- ，(),2b m = ，或()a b a + ∥，则2a b ⋅=（ ）A ．－8B ．－7C ．7D ．83．过点()2,4M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数条4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）A ．36B ．32C ．28D ．245．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=；②a b b a -=+ 是a 、b共线的充要条件；③若AB CD ∥，则AB ，CD共线；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP xOA yOB zCO =++且1x y z ++=（其中x ，y ，z ∈R ），则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列排序正确的是（）A ．()()()()11f a f a f a f a ''+-<<+B ．()()()()11f a f a f a f a ''+<<+-C ．()()()()11f a f a f a f a ''+<+-<D ．()()()()11f a f a f a f a ''<+-<+7．已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则函数()f x （ ）A ．图象关于直线3πx =-对称B ．图象关于点,36π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的值域为()1,38．若数列{}F 满足11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，则称数列Fibonacci 数列，该数列是由意大利数学家斐波那契于1202年提出，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．则下列结论错误的是（）A ．135********F F F F F +++⋅⋅⋅+=B ．数列{}F 各项除以2后所得的余数构成一个新数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20231349S =C ．记2023F m =，则数列{}n F 的前2021项的和为2m -D ．22212202220232022F F F F F ++⋅⋅⋅+=二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知M 为直线50x y -+=上的一点，动点N 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离之比为2，则（）A ．动点N 的轨迹方程为()2244x y -+=B．2MN ≥C ．12MN NO +的最小值为D ．AON ∠的最大角为3π10．已知数列{}n a :12，212，222，232，312，322，332，342，352，362，372，412，422，…（其中第一项是112，接下来的221-项是212，222，232，再接下来的321-项是313，322，332，342，352，362，372，依此类推），其前n 项和为n S ，则下列判断正确的是（ ）A ．存在常数M ，使得n S M <恒成立B ．1010212-是{}n a 的第2036项C ．20231018S =D ．满足不等式1019n S >的正整数n 的最小值是210011．如图，在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，M 是线段1A E 上的一点，则下列说法正确的是（）A ．当M 点与1A 点重合时，直线1AC ⊂平面ACMB ．当点M 移动时，点D 到平面ACM 的距离为定值C ．当M 点与E 点重合时，平面ACM 与平面11CCD DD ．当M 点为线段1AE 中点时，平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．命题“,30xx ∀∈>R ”的否定是______．13．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()11e e xf x x =⋅-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是______．14．如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率13e =，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，Р是椭圆上任意一点，若PF PA ⋅的最大值是12，则椭圆方程为______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知函数()21e xf x x a =--．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．16．（15分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m c b b =+-，向量()n c b b =-+ ，且m n ⊥ ．（1）求证：tan 3tan B A =；（2）延长BC 至点D ，使得DA DB =．当DAC ∠最大时，求tan D 的值．17．（15分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB CD ∥，1AD CD ==，120BAD ∠=︒，90ACB ∠=︒．（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若二面角D PC A --A 到平面PBC 的距离．18．（17分）已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的离心率是3，点(P 在C 上．（1）求C 的标准方程：（2）已知直线l 与C 相切，且与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试问OA OB ⋅是否为定值?若是，求出该定值：若不是，请说明理由．19．（17分）已知数表11121221222n n n a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭中的项()1,2;1,2,,ij a i j n ==⋅⋅⋅互不相同，且满足下列条件：①{}1,2,,2ij a n ∈⋅⋅⋅； ②()()()112101,2,,m m m a a m n +--<=⋅⋅⋅．则称这样的数表2n A 具有性质P ．（1）若数表22A 具有性质P ，且124a =，写出所有满足条件的数表22A ，并求出1112a a +的值；（2）对于具有性质P 的数表2n A ，当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，求证：存在正整数()1k k n ≤≤．使得12k a n =；（3）对于具有性质Р的数表2n A ，当n 为偶数时，求11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值．深圳科学高中2023-2024学年第二学期开学考试参考答案一、单选题题号12345678答案DA BC B CCC二、多选题题号91011答案ACBCDACD三、填空题12．x ∃∈R ，30x≤，13．2y x =，14．22198x y +=8．对于A ：因为11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，所以13520232352023452023F F F F F F F F F F F +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+672023202220232024F F F F F F =++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅=+=，故A 正确；对B ：显然11a =，21a =，由12n n n F F F --=+()*3,N n n ≥∈可知，()*3,N na n n ≥∈，可由12n n aa --+判断，若121n n a a --+=，则1n a =，若120n n a a --+=或120n n a a --+=，则0n a =，由此可得30a =，41a =，51a =，60a =，…，30k a =，311k a +=，()*3213,N k a n n +=≥∈，所以()20231231674134811349S a a a a =+++=+=，故B 正确；对于C ：因为11F =，21F =，12n n n F F F --=+，()*3,Nn n ≥∈，所以124620203462020562020F F F F F F F F F F F F ++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+182020201920202021F F F F F F =++⋅⋅⋅+=+=⋅⋅⋅=，又由选项A ，易知135********F F F F F +++⋅⋅⋅+=，所以123620212021202220232F F F F F F F F m ++++⋅⋅⋅+=+==，则1236202111F F F F F m F m ++++⋅⋅⋅+=-=-，故C 错误；对于D ：()()2*11211123,Nn n n n n n n n F F F F F F F F n n -------⋅=+⋅=+⋅≥∈222202320222022202220212022202120212020F F F F F F F F F ⋅=+⋅=++⋅2222202220212020221F F F F F F =+++⋅⋅⋅++⋅，又因为12F F =，所以222222023202220222021202021F F F F F F F ⋅=+++⋅⋅⋅++，故222222022202120202120232022F F F F F F F +++⋅⋅⋅++=，故D 正确．11．对A ，因为11AA CC ∥，所以点A ，1A ，C ，1C 四点共面，当M 点与1A 点重合时，直线AC ⊂平面ACM ，故A 正确；对B ，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E 为11C D 中点，则设()12,,1M t t -，10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1,0,0A ，()0,1,0C ，则()1,1,0AC =-，()2,,1AM t t =- ，()1,0,0DA = ，设平面ACM 的方向量为(),,m x y z = ，则0AC m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，令1y =，则1x =，z t =，所以()1,1,m t =，则点D 到平面ACM的距离DA m d m ⋅=== ，显然不是定值，故B 错误；对C ，当M 点与E 点重合时，由B 知此时12t =，11,1,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，平面11CC D D 的法向量()1,0,0n =，设平面ACM 与平面11CC D D 夹角为θ，2cos 3m nm nθ⋅===，则sin θ==，故C 正确；对D ，连接11AC ，并在上底面内将直线11AC 沿着11B D，的方向平移，直至该直线经过点M ，交11D A 于点P ，交11C D 于点N ，因为11AA CC ∥，11AA CC =，所以四边形11AAC C 为平行四边形，所以11A C AC ∥，因为11PN A C ∥，所以AC PN ∥，因为点M PN ∈，所以平面ACM 截正方体1111ABCD A B C D -所得的图形为四边形APNC ，不妨以1D 为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则()10,1A -，1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，因为M 为线段1A E 中点，则11,42M ⎛⎫- ⎪⎝⎭．根据直线11PN A C ∥，则1PN k =，设直线PN 的方程为y x b =+，代入点M 坐标得1124b -=+，解得34b =-，则34y x =-，则点P 位于线段11A D 的四分之一等分点处，且靠近点1A ，点N 位于线段11C D 的四分之一等分点处，且靠近点1C ，则AP CN ===，AC =，PN =AC PN ∥，则四边形APNC为等腰梯形，则其高为==，则12APNC S ==梯形D 正确．14．13c e a ==，∴3a c =，设()()000,33P x y c x c -≤≤，则()00,PF c x y =---，()00,PA a x y =-- ，∴()()0000,,PF PA c x y a x y ⋅=---⋅--2222220000002b ac cx ax x y ac cx ax x b x a=-+-++=-+-++-()()2222220000219c x a c x b ac x a c x a c ac a =--+-=--+--．()222222200000111251881494999x cx c x cx c c x c c ⎡⎤=-+=-+-=--⎣⎦∴当03x c =-时，PF PA ⋅ 有最大值为21212c =．∴21c =，则29a =，2228b a c =-=．∴所求椭圆方程为22198x y +=．四、解答题15．（1）当2a =时，()212e xf x x =--，()112e f =-，即切点()1,12e -，()22e x f x '=-，则()122e k f '==-，所以切线()()()12e 22e 1y x --=--，即()22e 1y x =--（2）()f x 定义域为R ，()0f x ≤恒成立，所以21e 0xx a --≤恒成立，即21e xx a -≥恒成立．设()21exx g x -=，则()min a g x ≥，()32e x x g x -'=，令()0g x '=，解出32x =．所以3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 为增函数，3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()323max2322e 2e g x g -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即322e a -≥故实数a 的取值范围322e ,-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．（1）因为m n ⊥，所以()())0m n c b c b bb ⋅=+-+-+=，即22222c b a=-又2222cos b a c ac B =+-，所以，2222222224cos c a b a c ac B +==+-，整理可得4cos c a B=再由正弦定理得：sin 4sin cos C A B =，结合()sin sin sin sin cos sin C A B A A B =+=+，可得，sin cos cos sin 4sin cos A B A B A B +=．即cos sin 3sin cos A B A B =显然cos cos 0A B ≠两边同时除以cos cos A B 可得，sin sin 3cos cos B AB A=，即tan 3tan B A =如图：设02πBAC αα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则()tan 3tan tan 0B αα=>．因为AD BD =，所以B BAD CAD α=∠=+∠，则CAD B α∠=-故()tan tan tan tan 1tan tan B CAD B B ααα-∠=-=+，22tan 2113tan 3tan tan αααα==++因为13tan tan αα+≥=当且仅当13tan tan αα=，即tan α=，6πα=时取等号所以，tan CAD ∠≤=此时tan B =，所以3πB =，故ABD △为等边三角形，即tan D =17．（1）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则PA BC ⊥，而90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又PA AC A = ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．（2）在平面ABCD 内作Ax AB ⊥，由PA ⊥底面ABCD 可得Ax ，AB ，AP 两两垂直，以射线Ax ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，因AB CD ∥，1AD CD ==，120BAD ∠=︒，则60ADC ∠=︒，即ADC △是正三角形，1,02D ⎫-⎪⎪⎭，1,02C ⎫⎪⎪⎭，而AC BC ⊥，则()0,2,0B ，设点()0,0,P t ，()0,1,0DC =，1,2PC t ⎫=-⎪⎪⎝⎭，()0,0,AP t = ，令平面DPC 的一个法向量()111,,n x y z =，则11110102n DC y n PC x y tz ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1z =，得(2n t = ，由（1）知平面PAC的法向量3,02BC ⎫=-⎪⎪⎝⎭，因二面角D PC A --﹐则cos ,n BC n BC n BC ⋅===，解得t =，则(P，1,2PC =⎝ ，令平面PBC 的一个法向量()222,,m x y z =，则2222232102m BC x y m PC x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21y =，得m = ，又()0,2,0AB =，所以A 点到平面PBC 的距离m AB d m⋅===18．（1）由题可得2222231613a b ca c ab ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得13a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故C 的标准方程为2218x y -=；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2218y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2228116880k x kmx m -++-=，则()()()22216481880km k m ∆=---=，即2281k m +=由（1）可知C的渐近线方程为y x =和y x =，不妨设直线l与直线y x =的交点为A ，与直线y x =的交点为B ，联立y x y kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即A ，联立y x y kx m⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B ⎛ ⎝，则OA =，OB ⎛= ⎝，得22781m OA OB k ⎛⋅== -⎝，因为2281k m +=，所以2218m k =-，所以227781m k =--，即7OA OB ⋅=- ，故OA OB ⋅是定值，且该定值为–7．19．（1）满足条件的数表22A 为1423⎛⎫⎪⎝⎭，1432⎛⎫ ⎪⎝⎭，2431⎛⎫⎪⎝⎭所以1112a a +的值分别为5，5，6（2）若当11121n a a a ++⋅⋅⋅+取最大值时，存在1j n ≤≤，使得22j a n =．由数表2n A 具有性质P 可得j 为奇数，不妨设此时数表为1112122222n n n a a a A n a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭①若存在1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），使得111k a a >，交换1k a 和2n 的位置，所得到的新数表也具有性质P ，调整后数表第一行和大于原数表第一行和，与题设矛盾，所以存在1i n ≤≤，使得12i a n=②若对任意的1k a （k 为偶数，1k n ≤≤），都有111k a a <，交换12a 和11a 的位置，所得到的新数表也具有性质P，此时转化为①的情况综上可知，存在正整数()1k k n ≤≤，使得12k a n=（3）当n 为偶数时，令2n k =，()1k n ≤≤，对任意具有性质P 数表11121221222n n n a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫=⎪⋅⋅⋅⎝⎭，一方面，()()()()()()122214241,22,2414321k k a a a a a a k k k -+-+⋅⋅⋅+-≤-+-+⋅⋅⋅++，因此()()212141,222242,23k k a a a a a a k ++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅++．①另一方面，()2111,3,5,,1i i a a i n -≥=⋅⋅⋅-，因此()()11131,2121232,21k k a a a a a a k --++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+-．②记111121,2n S a a a =++⋅⋅⋅+，221222,2n S a a a =++⋅⋅⋅+．由①＋②得；2123S S k k ≤+-．又21282S S k k +=+，可得21112k kS +≤构造数表2143415427433231312142638413n k k k k k k k k k k k A k k k k k k k ++-+-+-⋅⋅⋅+-+⎛⎫=⎪++++⋅⋅⋅-⎝⎭可知数表2n A 具有性质P ，且2211111228k k n nS ++==．|综上可知，当n 为偶数时，11121n a a a ++⋅⋅⋅+的最大值为21128n n+．。
【精品】2016学年广东省深圳中学高二上学期期中数学试卷和解析
2015-2016学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=，a=2，b=1，则c等于（）A．B．C．D．12．（4分）下列结论不正确的是（）A．若ab＞bc，则a＞c B．若a3＞b3，则a＞bC．若a＞b，c＜0，则ac＜bc D．若＜，则a＞b3．（4分）在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必是（）A．等腰三角形B．正三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．275．（4分）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2015=（）A．B．C．D．6．（4分）已知△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cosBsinAsinC=sin2B，则（）A．a，b，c成等差数列 B．，，成等比数列C．a2，b2，c2成等差数列D．a2，b2，c2成等比数列7．（4分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|，则不等式f（x）＞1的解集为（）A．（，2）B．（，2）C．（，3）D．（，3）8．（4分）在平面直角坐标系中，定义到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换为“γ变换”，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过“γ变换”得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么S10的值为（）A．B．C．D．二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为．10．（4分）已知等比数列{a n}的公比，则的值为．11．（4分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的前10项之和为．12．（4分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．13．（4分）已知实数x，y满足，则|3x+4y﹣7|的最大值是．14．（4分）以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则a1+a2+…+a n=．三、解答题（4大题，共44分）15．（10分）△ABC中，BC=7，AB=3，且=．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小；（3）求△ABC的面积．16．（10分）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（1）用含x的表达式表示池壁面积S；（2）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？。
广东省深圳市高二上学期开学数学试卷
广东省深圳市高二上学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·郴州模拟) 已知，，则 =（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）要从已编号（1～50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射的试验，用选取的豪迈间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）A . 5，10，15，20，25B . 3，13，23，33，43C . 1，2，3，4，5D . 2，4，8，16，324. （2分）下列结论正确的是（）A . 当x>0且时,B . 当x>0时,C . 当时,的最小值为2D . 当时,无最大值5. （2分） (2020高一下·宁波期中) 已知，，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·邢台月考) 若一个数列的前三项依次为6，18，54，则此数列的一个通项公式为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高二上·郑州期中) 在中，，，，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2015高一下·自贡开学考) 以速度v（常数）向图所示的瓶子注水，则水面高度h与时间t的函数关系是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高一下·遂宁期末) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（）A . 13B . 14C . 15D . 1610. （2分）(2018·全国Ⅱ卷理) 为计算 ,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A . i=i+1B . i=i+2C . i=i+3D . i=i+411. （2分） (2016高一上·浦东期中) 已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A . a+ ＞2B . a+ ≥2C . a+ ≤﹣2D . |a+ |≥212. （2分） (2018高一上·河北月考) 关于有下列结论:①函数的最小正周期为；②表达式可改写成；③函数的图象关于点对称；④函数的图象关于直线对称.其中错误的结论是（）A . ①②B . ①③C . ④D . ②③二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·银川期中) 在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．14. （1分）过点作圆的两条切线，切点分别为，则·= ________ .15. （1分）(2020·昆山模拟) 已知函数有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为________.16. （1分） (2020高一下·石家庄期中) 函数，则不等式的解集为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二上·武邑月考) 为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数；（Ⅱ）已知A，是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且在训练组的概率.18. （10分） (2020高一下·常熟期中) 已知函数f(x)=（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）若α∈ ,且f(α)= ,求19. （10分）(2020·鄂尔多斯模拟) 设的内角的对边分别为，已知.（1）求B；（2）若是钝角三角形，且，求的取值范围.20. （10分） (2018高一下·鹤岗期中) 在数列中，， .（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和 .21. （5分）(2018·浙江) 已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3 ， a5的等差中项．数列{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n ．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．22. （15分） (2017高一上·蓟县期末) 已知函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设函数，若对任意x1 ，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。
广东省深圳市科学高中高二数学上学期入学试卷(含解析)
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|3x+2＞0}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．（3，+∞）2．函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．已知，，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．在四边形ABCD中，如果，，那么四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．直角梯形5．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．2 B．5 C．11 D．236．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）7．已知=， =， =，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线8．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C． D．f（x）=﹣log2|x|9．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣210．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=12．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4 B．C．6 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量等于．14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是．15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（Ⅱ）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率．18．已知tanα，tanβ是一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根，且α∈（0，），β∈（，π），（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．20．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．22．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|3x+2＞0}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．C．D．（3，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|3x+2＞0}={x|x＞﹣}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则A∩B={x|x＞3}，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】对数函数的图像与性质．【专题】计算题；规律型；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先分析函数f（x）=log2x的单调性，进而可得函数f（x）=log2x在区间上的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=log2x在区间上为增函数，∴当x=时，函数f（x）取最小值﹣1，故选：A．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，其中熟练掌握对数函数的单调性与底数的关系是解答的关键．3．已知，，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【考点】三角函数值的符号．【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】然后根据θ的正弦值与余弦值，我们易得θ所在的象限．【解答】解：∵，∴θ在第一、二象限，∵，∴θ在第二、三象限，∴θ在第二象限，故选：B．【点评】要判断θ角的位置，我们可以先确定θ角的三角函数值，然后再根据结论进行判断：sinθ：第一、二象限为正，第三、四象限为负；cosθ：第一、四象限为正，第二、三象限为负；tanθ：第一、三象限为正，第二、四象限为负．4．在四边形ABCD中，如果，，那么四边形ABCD的形状是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．直角梯形【考点】平面向量数量积的运算；相等向量与相反向量．【分析】数量积=0，两条直线垂直，向量相等，两条直线平行，容易推出结论．【解答】解：由知AB⊥AD，由知AB∥CD，AB=CD，故为矩形．故选A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，平行向量问题，是基础题．5．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．2 B．5 C．11 D．23【考点】循环结构．【专题】阅读型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y 是否继续循环循环前 2 5 是第一圈 5 11 是第二圈 11 23 否故输出y的值为23．故选D．【点评】本题主要考查了算法流程图，同时考查了分析问题的能力和读图的能力，属于基础题．6．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】通过函数的图象求出A，求出函数的周期，利用周期公式求出ω，函数过（），结合φ的范围，求出φ，推出函数的解析式，通过函数图象的平移推出结果．【解答】解：由图象知A=1， T=﹣=，T=π⇒ω=2，由sin（2×+φ）=1，|φ|＜得+φ=⇒φ=⇒f（x）=sin（2x+），则图象向右平移个单位后得到的图象解析式为y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故选D．【点评】本题考查学生的视图能力，函数的解析式的求法，图象的变换，考查计算能力．7．已知=， =， =，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【考点】向量的共线定理；平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形法则可求得，由向量共线条件可得与共线，从而可得结论．【解答】解： =（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．【点评】本题考查向量共线的条件，属基础题，熟记向量共线的充要条件是解决问题的关键．8．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C． D．f（x）=﹣log2|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数．B．f（x）=x2﹣3x=（x﹣）2﹣在（0，+∞）上为不单调．C. ==1﹣在（0，+∞）上为增函数．D．当x＞0时，f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上为减函数．故选：C【点评】本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握掌握常见函数的单调性，比较基础．9．若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣2【考点】二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．【解答】解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=﹣所以故选A．【点评】此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．10．两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】求出A、B的中点坐标，代入直线方程，求出AB的斜率，推出方程组，求解即可．【解答】解：两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y﹣2=0上，可得K AB=﹣1，即﹣1=，…①AB的中点（）在直线上，可得…②，由①②可得m=5，n=﹣1；∴m+n=4．故选：D．【点评】本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．11．动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2=【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【专题】计算题．【分析】根据已知，设出AB中点M的坐标（x，y），根据中点坐标公式求出点A的坐标，根据点A在圆x2+y2=1上，代入圆的方程即可求得中点M的轨迹方程．【解答】解：设中点M（x，y），则动点A（2x﹣3，2y），∵A在圆x2+y2=1上，∴（2x﹣3）2+（2y）2=1，即（2x﹣3）2+4y2=1．故选C．【点评】此题是个基础题．考查代入法求轨迹方程和中点坐标公式，体现了数形结合的思想以及分析解决问题的能力．12．已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4 B．C．6 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用数量积运算和向量的夹角公式可得=．再利用平方关系可得，利用新定义即可得出．【解答】解：由题意，则，∴=6， ==2， =2．∴===．即，得，由定义知，故选：D．【点评】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义，考查了计算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设向量等于．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量共线解出y，代入坐标计算．【解答】解：∵，∴，解得y=﹣4．∴3=（1，2）．∴|3|=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的共线定理和模长计算，属于基础题．14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是54 ．【考点】频率分布直方图；频率分布表．【专题】图表型．【分析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16，18]的频率，从而得出成绩在[16，18]的学生人数．【解答】解：因从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为×1=，即成绩在[16，18]的频率为，由频率分布直方图知，成绩在[16，18]的人数为120×=54（人）故答案为：54．【点评】解决此类问题的关键是准确掌握利用频率分布直方图进行分析并且运用公式进行正确运算．15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1，根据椎体体积公式计算即可．【解答】解：由三视图复原几何体为一三棱锥，底面三角形一边为2，此边上的高为，三棱锥的高为1所以V=Sh=故答案为：【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．16．曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围为．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】数形结合；转化思想．【分析】先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．且k AP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=则实数k的取值范围为故答案为：【点评】本题考查直线与圆相交的性质，同时考查了学生数形结合的能力，是个基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是1，2，3，4，5，现从盒子中随机抽取卡片（Ⅰ）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（Ⅱ）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）先写出三张卡片上的数字全部可能的结果，一一列举出，把满足数字之和大于9的找出来，由此求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率．（Ⅱ）列举出每次抽1张，连续抽取两张全部可能的基本结果，而满足条件的事件是两次抽取中至少一次抽到数字3，从前面列举出的结果中找出来，根据互斥事件的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）令事件A“三张卡片之和大于9”且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：（1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5）∴三张卡片之和大于9的概率P（A）=；（Ⅱ）令事件B为“两次抽取至少一次抽到数字3”，则其对立事件“两次都没抽到数字3”，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4），∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=，∴两次抽取至少一次抽到数字3的概率是．【点评】本题主要考查古典概型、等可能事件的概率，用列举法计算，可以列举出所有基本事件和满足条件的事件，应用列举法来解题，是这一部分的最主要思想，属于中档题18．已知tanα，tanβ是一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根，且α∈（0，），β∈（，π），（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）通过方程的根，求出α、β的正切函数值，利用两角和的正切函数，求出正切函数值，通过角的范围，求cos（α﹣β）的值；（2）利用（1）的结果求出α+β的正切函数值，通过角的范围求解角的大小即可．【解答】解：（1）一元二次方程3x2+5x﹣2=0的两根为﹣2和，α∈（0，），β∈（，π），∴tanβ=﹣2，tanα=﹣﹣（2分）∴tan（α﹣β）=，α﹣β∈∴cos（α﹣β）=﹣=﹣=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵tanβ=﹣2，tanα=，∴tan（α+β）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵α∈（0，），β∈（，π），∴α+β∈﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分），∴α+β=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】不考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，注意角的范围的求法，考查分析问题解决问题的能力．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A ﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…（1分）因AA1=AB，则AD⊥A1B…（2分）由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…（3分）得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥B C．…（4分）因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（7分）（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…（8分）在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…（9分）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…（10分）且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…（14分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．（Ⅰ）已知两组技工在单位时间内加工的合格零件数的平均数都为10，分别求出m，n的值；（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】古典概型及其概率计算公式；极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意根据平均数的计算公式分别求出m，n的值．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些．（Ⅲ）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“待整改”的基本事件的个数，即可求得该车间“待整改”的概率．【解答】解：（I）由题意可得=（7+8+10+12+10+m）=10，解得 m=3．再由=（n+9+10+11+12）=10，解得 n=8．（Ⅱ）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差，= [（7﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2+（13﹣10）2]=5.2，= [（8﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（12﹣10）2]=2，并由=，＞，可得两组的整体水平相当，乙组的发挥更稳定一些．（Ⅲ）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为（a，b），则所有的（a，b）有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足a+b≤17的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足a+b＞17的基本事件个数为25﹣5=20，即该车间“待整改”的基本事件有20个，故该车间“待整改”的概率为=．【点评】本题主要考查方差的定义和求法，古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于中档题．21．已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），由正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先求2x﹣的范围，可得sin（2x﹣）的取值范围，即可求f（x）的最大值，并求出此时对应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=﹣=sin2x+sinxcosx﹣=+sin2x﹣=sin（2x﹣）…3分周期T=π，因为cosx≠0，所以{x|x≠+kπ，k∈Z}…5分当2x﹣∈[+2kπ， +2kπ]，即+kπ≤x≤+kπ，x≠+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的单调递减区间为[+kπ， +kπ]，[+kπ， +kπ]，k∈Z (7)分（2）当，2x﹣∈[﹣，]，…9分sin（2x﹣）∈（﹣，1），当x=时取最大值，故当x=时函数f（x）取最大值为1…12分【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．22．已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．【考点】直线与圆的位置关系；二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式进行化简．（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值，注意换元后变量范围的改变．【解答】解：（Ⅰ）直线l方程，原点O到l的距离为，弦长，•ABO面积•∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），∴（﹣1＜k＜1且K≠0），（Ⅱ）令，则k2=，S（k）==4•=4•=4•=4•=4•．∴当t=时，时，S max=2．【点评】本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的最大值，注意换元中变量范围的改变，属于中档题．。
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二(上)入学数学试卷
2015-2016学年广东省深圳市科学高中高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|3x+2＞0}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．（3，+∞）2．（5分）函数f（x）=log2x在区间上的最小值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）已知，，则θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角4．（5分）在四边形ABCD中，如果，，那么四边形ABCD的形状是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．直角梯形5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．26．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）7．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线8．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．D．f（x）=﹣log2|x| 9．（5分）若3sinα+cosα=0，则的值为（）A．B．C．D．﹣210．（5分）两圆相交于两点A（1，3）和B（m，n），且两圆圆心都在直线x﹣y ﹣2=0上，则m+n的值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A．（x+3）2+y2=4 B．（x﹣3）2+y2=1 C．（2x﹣3）2+4y2=1 D．（x+3）2+y2= 12．（5分）已知向量与的夹角为θ，定义×为与的“向量积”，且×是一个向量，它的长度|×|=||||sinθ，若=（2，0），﹣=（1，﹣），则|×（+）|=（）A．4 B．C．6 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设向量等于．14．（5分）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1：3：7：6：3，那么成绩在[16，18]的学生人数是．。
广东省深圳市高级中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题及答案(理)
深圳市高级中学2015-2016学年第一学期期末测试高二理科数学本试卷由两部分组成。
第一部分：期中前基础知识和能力考查，共91分；第二部分：期中后知识考查，共59分。
全卷共计150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第1卷（本卷共计91分）一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1. 若2=a ，集合}3|{3≤=x x B ，则( ) A ．a B ∈C ．B a ∈}{D ．B a ∈2. 如图，在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数12z z 的值是( )A ．i 21+-B ．i 22--C ．i 21+D ．i 21- 3. 若ABC ∆的三边长分别为3，2，5，则ABC ∆的形状是( ) A. —定是锐角三角形 B.—定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4. 设m 、n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则m α⊥的—个充分条件是( )A ．m //n ,n //β, αβ⊥B ． n //β,α//βC ．m //n ，n β⊥,α//β D ．m n ⊥,n β⊥,αβ⊥5. 若点P (x ,y ）坐标满足，则点P 的轨迹图象大致是( )6．若实数,x y 满足条件01001x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则|3|x y -的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．37. 椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两焦点分别为1F 、2F ，以1F 2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( ) A ．12 B．2C1 D．4- 二．填空题（本大题共2小题,每小题5分,共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上） 8. 已知是奇函数, , ,则的值是 .9. 经过双曲线221916y x -=的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是 .三．解答题(本大题共4小题,共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)10. （本题满分10分）已知数列的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）数列的前项的和的公式.()fx ()()4g x f x =+()12g =()1f -{}n x 13x =2nn x p nq =+,,n N p q *∈145,,x x x ,p q {}n x n n S11. （本题满分12分）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值.12. （本题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD(Ⅰ) 证明：BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若二面角A －PC －D 的大小为60°，求AP 的值．13.（本题满分12分）如图,一抛物线型拱桥的拱顶o 离水面高4米,水面宽度10=AB 米.现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过,已知货箱长20米,宽6米,高2.58米（竹排与水面持平）,问货箱能否顺利通过该桥?第Ⅱ卷（本卷共计59分）四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14. 由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有( )A ．10个B ．14个C ．16个D ．18个15. 记2016201620161.80.2,2a b =+=，则它们的大小关系为( ) A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．以上均有可能16. 方程049623=-+-x x x 的实根的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．317. 设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (k )满足：当“f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ＜5，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8，均有f (k )＜k 2成立 D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4，均有f (k )≥k 2成立18. 路灯距地平面为8m ，一个身高为1.6m 的人以84 m/min 的速率从路灯在地面上的射影点C 处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为v 为( ) A.7/20m s B.s /m 227 C.s /m 237D.s /m 247 五.填空题（本大题共2小题,每小题5分,共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上） 19．某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、;有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、.定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定;否则, 若第名工人没有操作第号织布机，规定.则等式54434241=++++n a a a a 的实际意义是：第 名工人共操作了 台织布机. 20．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； 0)('=x f 的解是 .六．解答题(本大题共2小题,共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. （本题满分10分）计算下列积分：（1）⎰--21|1|dx x ；（2）0⎰.m m N *∈m n n N *∈n i j a i j 1i j a =i j 0i j a=22. （本题满分14分）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （I ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（II ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在（I ）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F .对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．高二理科数学参考答案一．选择题：每小题5分，满分60分1-12 DAACB BCBBC DA 二.填空题：每小题5分，满分20分13. 2 14.22121504x y x y +---= 15.4,5 16.(2,4)； 3（说明：15，16两小题，第一空2分，第二空3分） 三．解答题：10+12+12+12+10+14=7017. 解：（Ⅰ）由得,31=x 32=+q p ，（2分）又q p x 4244+=，q p x 5255+=得q p q p 8252355+=++，（4分）解得p =1,q =1 （6分）(Ⅱ) .)21()222(2n S nn+++++++= .2)1(221++-=+n n n （10分）18. 解：（Ⅰ）22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-=sin 4cos4)4x x x π++（4分）所以()f x 的最小正周期为2π（6分）(Ⅱ)依题意()))184y g x x ππ==-++)14x π=-+. （9分）因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤.当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0.（12分） 19. 解： (Ⅰ) 设O 为AC 与BD 的交点，作DE ⊥BC 于点E ．由四边形ABCD 是等腰梯形得CE ＝2BC AD-＝1， DE 3，所以BE ＝DE ， 从而得∠DBC ＝∠BCA ＝45°，所以∠BOC ＝90°，即AC ⊥BD ． 由PA ⊥平面ABCD 得PA ⊥BD ，所以BD ⊥平面PAC ．（6分） (Ⅱ) 作OH ⊥PC 于点H ，连接DH ．由(Ⅰ)知DO ⊥平面PAC ，故DO ⊥PC ．所以PC ⊥平面DOH ，从而得PC ⊥OH ，PC ⊥DH ．故∠DHO 是二面角A －PC －D 的平面角，所以∠DHO ＝60°．在Rt △DOH 中，由DO ，得OH在Rt △PAC 中，PA PC ＝OH OC ．设PA ＝x ，．解得x ，即 AP ．（12分） （用空间向量方法的，比照给分）20. 解:以O 为坐标原点,以过O 且与水面平行的直线为x 轴, 以过O 的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （2分） 则抛物线方程为py x 22-=,点)4,5(-在抛物线上,解得y x 4252-=（7分）货箱的长边为前进方向,宽边和x 轴重合,从桥洞中心行驶,此时能允许通过的最大高度为2.56<2.58, 所以,货箱不可以通过. （12分） (说明:与此建系方案不一样的比照给分) 21. 解：（1）52（5分）（2）π4（10分） 22. 解：(Ⅰ)由()32f x x x b =-++，得()()23232f x x x x x '=-+=--， 令()0f x '=，得0x =或23． 列表如下：由13()28f b -=+，24()327f b =+，∴12()()23f f ->，即最大值为133()288f b -=+=，∴0b =．（4分）(Ⅱ)由()()22g x x a x ≥-++，得()2ln 2x x a x x -≤-．[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤，且等号不能同时取，∴ln ,ln 0x x x x <->即，∴22ln x x a x x -≤-恒成立，即2min 2()ln x x a x x-≤-．令()[]()22,1,ln x x t x x e x x -=-，求导得2')ln ()ln 22)(1()(x x x x x x t --+-=当[]1,x e ∈时，0ln 22,1ln ,01>-+≤≥-x x x x ，从而()0t x '≥，∴()t x 在[]1,e 上为增函数，∴()()min 11t x t ==-，∴1a ≤-．（9分） (Ⅲ)存在.由条件，()32,1ln ,1x x x F x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩，假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y 轴两侧， 不妨设()()(),0P t F t t >，则()32,Q t t t -+，且1t ≠．POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴0OP OQ ⋅=，∴0))((232=++-t t t F t ()*，是否存在,P Q 等价于方程()*在0t >且1t ≠时是否有解．①若01t <<时，方程()*为()()232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=， 此方程无解；②若1t >时，()*方程为()232ln 0t a t t t -+⋅+=，即()11ln t t a=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1ln 1h t t t'=++，显然，当1t >时，()0h t '>，即()h t 在()1,+∞上为增函数，∴()h t 的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．（14分）。
深圳科学高中2021级高二年级 第一学期开学初学业质量检测(试卷)(1)(1)
深圳科学高中2021级高二年级第一学期十月质量检测科目：数学 考试时长：120分钟 卷面总分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设集合{}36A x x =<<，集合{}2450B x x x =--≤，则AB =（ ）A ．{}35x x << B ．{}35x x <≤ C ．{}16x x -≤< D ．{}15x x -<≤2．复数1i1iz -=+的虚部是（ ）A ．2-B ．2C ．i 2-D 3．设a R ∈，则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知5a ＝，4b ＝，且·12a b -＝，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）A ．35b B ．35b C ．34b D ．34b 5．已知α，β表示平面，m ，n 表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）A ．假设m α⊥，m n ⊥，那么//n αB ．假设m α⊂，n β⊂，//αβ，那么//m nC ．假设m α⊂，n α⊂，//m β，n//β，那么//αβD ．假设//αβ，m α⊂，那么//m β6．已知0.50.2a =，0.40.3b =，0.3log 0.2c =，则这三个数的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<7．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个 零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦8．已知x R ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=-≠有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4554,,5643⎡⎫⎛⎤⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦B ．4554,,5643⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．3443,,4532⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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深圳市科学高中2016届高二上学期入学考试数 学考试时长：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用2B 铅笔，修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出答题框．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合{}()(){}320,130A x x B x x x =+>=+->，则A B ⋂=（ ） A ．()1,-∞- B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--32,1 C ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,32 D ．()+∞,3 2．函数2()log f x x =在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是( )A ．1-B ．0C ．1D ．2 3θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角4．在四边形ABCD 中，如果0=⋅BD AC ，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ）A ．矩形B ．正方形C ．菱形D ．直角梯形 5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ）A.2B.5C.11D.236.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的 图象解析式为（ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+D ．y =sin(2)6x π-7．已知b a AB 5+=，b a BC 82+-=，()b a CD -=3，则（ ） A.A B D ，，三点共线 B.A B C ，，三点共线 C.B C D ，，三点共线 D.A C D ，，三点共线8．下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 （ ） A. ()3f x x =- B. 2()3f x x x =- C . ()1xf x x =+ D. 2()log f x x =-9．若3sin cos 0,αα+=则21cos sin 2αα+的值为（ ） A ．310 B ．35 C ．32D ．-210. 两圆相交于两点(1,3)A 和(, )B m n ，且两圆圆心都在直线20x y --=上，则m n +的值是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 411．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连结线段PQ 的中点的 轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝112.已知向量与的夹角为θ，定义⨯为与的“向量积”，且⨯是一个向量，它的θ=，若(2,0)u =r ，(1,u v -=r r=+⨯)( （ ）.A 34.B 3 .C 6.D 32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量(1,2),(2,),//,|3|a b y a b a b ==-+若则等于 14.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ．16.曲线1y =+与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是_______________.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.（本小题满分10分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上编有一个数字，分别是 1，2，3，4，5现从盒子中随机抽取卡片（1）若一次抽取3张卡片，求所抽取的三张卡片的数字之和大于9的概率（2）若从编号为1、2、3、4的卡片中抽取，第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片，求两次抽取至少一次抽到数字3的卡片的概率．18.（本小题满分12分）已知βαtan ,tan 是一元二次方程02532=-+x x 的两根，且）求)cos(βα-的值．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且12AA AB == (1) 求证：AB BC ⊥；(2) 若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6π.求锐二面角1A AC B --的大小.BA 1CAB 1C 120．（本小题满分12分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数的统计数据的茎叶图如图所示．已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数都为10．（1）分别求出m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件的方差2s 甲和2s 乙，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件个数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．为数据12,,,n x x x 的平均数）．21.（本小题满分12（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2时，求()f x 的最大值，并求此时对应的x 的值．22．（本小题满分12分）已知直线l :y =k (x +22)与圆O:224x y +=相交于A 、B 两点，O是坐标原点，三角形ABO 的面积为S .（1）试将S 表示成k 的函数S (k )，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.参考答案二．填空题13．【答案】5 14．15. 【答案】54 16.【答案】53124⎛⎤⎥⎝⎦， 三．解答题17. 试题解析：（1）令事件A “三张卡片之和大于9”，且从5张卡片中任取三张所有结果共十种：1分 （1，2，3）（1，2，4）（1，2，5）（1，3，4，）（1，3，5）（1，4，5）（2，3，4）（2，3，5）（2，4，5）（3，4，5） 3分 ∴三张卡片之和大于9 5分 （2）令事件B 为“两次抽取至少一次抽到数字3”“两次都没抽到数字3”6分第一次抽一张卡片，放回后再抽取一张卡片共16种结果：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4），（3，1）（3，2）（3，3）（3，4），（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）8分 ∴两次抽取至少一次抽到数字3 10分 18.试题解析：（1）方程的两根为2-和4分6分8分12分 考点：1.两角和与差的正切公式；2.同角三角函数的基本关系 19.解：（1）证明：如右图，取1A B 的中点D ，连接AD ， A 1B 1C 1DE因1AA AB =，则1AD A B ⊥ 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ， 且平面1A BC 侧面11A ABB 1A B =，得1AD A BC ⊥平面，又BC ⊂平面1A BC ， 所以AD BC ⊥. 4分因为三棱柱111ABC A B C —是直三棱柱， 则1AA ABC ⊥底面， 所以1AA BC ⊥.又1=AA AD A ，从而BC ⊥侧面11A ABB ， 又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥. ………………6分 （2）连接CD ，由（1）可知1AD A BC ⊥平面，则CD 是AC 在1A BC 平面内的射影 ∴ ACD ∠即为直线AC 与1A BC 平面所成的角，则=6ACD π∠在等腰直角1A AB ∆中，12AA AB ==，且点D 是1A B 中点 ∴112AD A B ===2ADC π∠，=6ACD π∠AC =过点A 作1AE AC ⊥于点E ，连DE 由（1）知1AD A BC ⊥平面，则1AD AC ⊥，且AE AD A = ∴ AED ∠即为二面角1A AC B --的一个平面角 10分 且直角1A AC ∆中：113A A AC AE AC ===又AD ，=2ADE π∠∴sin =AD AED AE ∠==，且二面角1A AC B --为锐二面角∴ =3AED π∠，即二面角1A AC B --的大小为3π…………12分 20．试题解析：（13=m ，，∴8=n ； （4分） （2）根据题意可得：，22乙甲s s <，∴甲乙两组的整体水平相当，乙组更稳定一些；（18分）（3）质监部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，设两人加工的合格零件数分别为),(b a ，则所有的),(b a 有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)11,7(，)12,7(，)8,8(，)9,8(，)10,8(，)11,8(，)12,8(，)8,10(，)9,10(，(10,10)，(10,11)，(10,12)，(12,8)，(12,9)，(12,10)，(12,11)，(12,12)，(138)，，(13,9)，(13,10)，(13,11)，(13,12)，共计25个，而17a b +≤的基本事件有)8,7(，)9,7(，)10,7(，)8,8(，)9,8(，共计5个基本事件，故满足17a b +>的基本事件共有“质量合格”的基本事件有20个，故该车间“质量合格”（12分） 考点：平均数与方差及古典概型问题．21.试题解析：（1）4分调递减，∴()f x 的单调递减区间为，k Z ∈； 8分 （2 10分时，函数()f x 的最大值为1． 12分考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的最值与单调性22．解：:如图,(1)直线l 议程 ),0(022≠=+-k k y kx 原点O 到l 的距离为2122kk oc +=弦长222218422KK OC OA AB +-=-= △ABO 面积2221)1(2421K K K OC AB S +-==),0(11,0≠<<-∴>K K AB )011(1)1(24)(222≠<<-+-=∴K k k k k k S 且 ……6分(2) 令.81)43(224132241)1(24)(22222+--=-+-=+-=∴t t t k k k k S∴当t=43时, 33,31,431122±===+k k k时, 2max =S ……12分,121,112<<=+t tk。