球柱系中亥姆霍兹方程分离变量共30页PPT资料
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第九章 球坐标系下的分离变量 球函数
根据前面的讨论，l 为自然数，即 l 0,1, 2,L
① k = 0 时，径向方程为欧拉方程:
此时Helmholhz方程
r2R'' 2rR' l(l 1)R 0
变为Laplace方程 .
令 r et，得其解为： R(r ) c1r l c2r (l1)
② k ≠ 0 时，方程称为 l 阶球贝塞尔方程：
2x
J
l
1 2
(
x
),
nl ( x)
2x
N
l
1 2
(
x
)
分别称为 l 阶球贝塞尔函数和 l 阶球诺依曼函数。
则 l 阶球贝塞尔方程的通解为：
R(r) c1 jl (kr) c2nl (kr)
7. 总结：球坐标系下Helmholhz方程的通解形式
① k = 0 时, Helmholhz方程即为Laplace方程(位势方程)
1
d 2
d 2
m2
即：sin d (sin d) [l(l 1)sin2 m2] 0
d
d
d 2
d 2
m2
0
3. ( ) 的本征问题求解
d 2
d 2
m
2
0
( ) ( 2 )
（自然周期条件）
本征值： m 0,1, 2L
本征函数： ( ) Am cos m Bm sin m
或, 本征值： m 0, 1, 2L
若先选定 l ，则, m 0,1, 2,L l 或, m 0, 1,L , l 若先选定 m，则, l m, m 1, m 2,L (m 0)
附注：(缔合)勒让德函数的正交归一关系：
1
1 Pl
① k = 0 时，径向方程为欧拉方程:
此时Helmholhz方程
r2R'' 2rR' l(l 1)R 0
变为Laplace方程 .
令 r et，得其解为： R(r ) c1r l c2r (l1)
② k ≠ 0 时，方程称为 l 阶球贝塞尔方程：
2x
J
l
1 2
(
x
),
nl ( x)
2x
N
l
1 2
(
x
)
分别称为 l 阶球贝塞尔函数和 l 阶球诺依曼函数。
则 l 阶球贝塞尔方程的通解为：
R(r) c1 jl (kr) c2nl (kr)
7. 总结：球坐标系下Helmholhz方程的通解形式
① k = 0 时, Helmholhz方程即为Laplace方程(位势方程)
1
d 2
d 2
m2
即：sin d (sin d) [l(l 1)sin2 m2] 0
d
d
d 2
d 2
m2
0
3. ( ) 的本征问题求解
d 2
d 2
m
2
0
( ) ( 2 )
（自然周期条件）
本征值： m 0,1, 2L
本征函数： ( ) Am cos m Bm sin m
或, 本征值： m 0, 1, 2L
若先选定 l ，则, m 0,1, 2,L l 或, m 0, 1,L , l 若先选定 m，则, l m, m 1, m 2,L (m 0)
附注：(缔合)勒让德函数的正交归一关系：
1
1 Pl
亥姆霍兹方程PPT课件
B
B
Δr G m
G ξ
T ,p
Β
υΒ μΒ
第一章 热力学第一定律与热化学
6
3.根据吉布斯函数的判据：
用
(
G
)T
,
p
,
BB
B
或
(rGm )T , p
判断都是等效的。
(rGm )T , p 0 反应自发地向右进行
(rGm)T,p 0
反应自发地向左进行，不可能自发 向右进行
K
p
[K
p2
]2
第一章 热力学第一定律与热化学
15
化学平衡常数的表示法
A.理想气体压力平衡常数K
K
p
pGg
p
h H
p
a A
p
d D
p υΒ
p
Kp
pGg pHh
p
a A
p
d D
K
p
p υΒ
B.摩尔分数平衡常数 Kx
Kx
x
g G
x
x
a A
x
h H d D
Chemical Equilibrium
引
言
• 化学平衡是热力学第二定律在化学反应中的具体应用。
• 用热力学原理, 研究化学反应系统的平衡规律, 解决反应的 方向和限度问题, 找出平衡组成与温度, 压力之间的关系.
• 化学平衡的热力学原理, 为实际生产中寻找最佳的反应工艺 条件以提高产率提供理论依据.
(rGm)T,p 0 反应达到平衡
第一章 热力学第一定律与热化学
称为亥姆霍兹方程课件
01
02
03
量子波动
在量子力学中，亥姆霍兹 方程可以用于描述微观粒 子的波动性质，如波函数 、概率幅等。
量子谐振子
在量子力学中，亥姆霍兹 方程用于描述量子谐振子 的运动规律，如能级、辐 射等。
量子散射
在量子散射理论中，亥姆 霍兹方程用于研究粒子与 障碍物相互作用时的散射 规律。
PART 06
总结与展望
稳定性解
在某些情况下，亥姆霍兹方程的解是稳定的，这意味着当系统受到微小扰动时，解能够 恢复到原始状态或接近原始状态。稳定性解通常与系统的长期行为和平衡状态有关。
稳定性解的意义
稳定性解对于理解系统的长期行为和稳定性至关重要。在物理学和工程学中，稳定性解 可以用于描述系统的平衡状态和稳定性条件，对于控制和设计系统具有重要的实际意义
对未来研究的展望
探索更复杂的应用场景
深入研究方程解的性质
随着科技的发展，我们需要将亥姆霍兹方 程应用到更复杂的场景中，如非线性波动 、多介质波动等。
目前对于亥姆霍兹方程解的性质研究还不 够深入，未来可以进一步研究解的稳定性 、分岔行为等。
发展数值模拟和计算方法
加强与其他学科的交叉研究
随着计算机技术的发展，我们可以发展更 加高效、精确的数值模拟和计算方法，以 更好地解决实际问题。
当时，科学家们开始研究波动 现象的本质和传播规律，特别 是在流体介质中。
亥姆霍兹方程的提出为解决这 些问题提供了一个数学框架， 并成为了流体力学和声学领域 的基础。
亥姆霍兹方程的应用领域
亥姆霍兹方程在许多科学和工程领域 都有应用，包括物理、化学、生物医
学、地球科学和工程学科等。
在物理中，它可以用于描述电磁波、 引力波等波动现象。
柱函数
(k )
k 0
2
2 ck x k ck x k 2 0
k 0
k (k 2 )ck x k ck 2 x k 0
k 0
(1 2 )c1 x1 k (k 2 )ck ck 2 x k 0
y ' ' ( x) x 1 p( x) x y ' ( x) x
2
y ( x) 0
x 2 2 q( x) x2
x=0是方程的正则奇点，在x=0的邻域内有如下形式的解：
y ( x) x s c k x k c k x k s
k 0 k 0
代入方程，得
n 2 n
x0
0
x 0
(1) x J ( x) n 1) 2 n 0 n!(
x0
1 x 2 ( 1)
x 2
(1) x n 1) 2 n 0 n!(
m k
2 nm
令n=m+k（k为整数），则
2 k m
(1) x J m ( x) k 0 (m k )!(k 1) 2
m k
2 k m
(1) x (1) k 0 (m k )!(k 1) 2
m k
2k m
(1) m
m
(1) x n0 (m n)!(n 1) 2
n
2 nm
(1) x (1) n0 n!(m n 1) 2
吉布斯---亥姆霍兹方程精品课件
△G=△H－T△S
该式是由吉布斯（Gibbs）和亥姆霍兹（Helmholtz） 各自独立证明的，故此式叫吉布斯—亥姆霍兹 （Gibbs--- Helmholtz）公式。
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5
吉布斯—亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程运用
自由能判据：吉布斯—亥姆霍兹公式表明，恒 温恒压下进行的化学反应的方向和限度的判据—— 自由能地变化是由两项决定：一项是焓变△H，另 一项是与熵变有关的T△S。如这两个量使△G成为 负值，则正反应是一个自发反应。因此，焓和熵对 化学反应进行的方向都产生影响，只是在不同条件 下产生的影响的大小不同而已。
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2020年10月3日 星期六 下午3时54分10秒15:54:1020.10.3
•
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2020年10月下午3时54分 20.10.315:54October 3, 2020
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2020年10月3日 星期六 3时54分10秒15:54:103 October 2020
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午3时54分10秒 下午3时54分15:54:1020.10.3
谢谢大家
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10
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3
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4
吉布斯—亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程来由
1876年，Gibbs提出一个把焓和熵归并在一起的状 态函数被称为吉布斯（Gibbs)自由能,用符号G表示， 其定义式为：G=H－TS。据此定义，等温过程的吉布 斯自由能变化△G ：
该式是由吉布斯（Gibbs）和亥姆霍兹（Helmholtz） 各自独立证明的，故此式叫吉布斯—亥姆霍兹 （Gibbs--- Helmholtz）公式。
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吉布斯—亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程运用
自由能判据：吉布斯—亥姆霍兹公式表明，恒 温恒压下进行的化学反应的方向和限度的判据—— 自由能地变化是由两项决定：一项是焓变△H，另 一项是与熵变有关的T△S。如这两个量使△G成为 负值，则正反应是一个自发反应。因此，焓和熵对 化学反应进行的方向都产生影响，只是在不同条件 下产生的影响的大小不同而已。
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2020年10月3日 星期六 下午3时54分10秒15:54:1020.10.3
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2020年10月下午3时54分 20.10.315:54October 3, 2020
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2020年10月3日 星期六 3时54分10秒15:54:103 October 2020
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午3时54分10秒 下午3时54分15:54:1020.10.3
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吉布斯—亥姆霍兹方程
吉布斯—亥姆霍兹方程来由
1876年，Gibbs提出一个把焓和熵归并在一起的状 态函数被称为吉布斯（Gibbs)自由能,用符号G表示， 其定义式为：G=H－TS。据此定义，等温过程的吉布 斯自由能变化△G ：
9-1柱坐标和球坐标中的分离变量
2
上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 Plm ( x)与第二类连带勒让德函数Qlm ( x)之和，这里 m < n 。 当 l 是整数时，Plm ( x) 及 Qlm ( x为有限项多项式。因此， ) 要求 l 为整数。
二、拉普拉斯方程（圆柱坐标系）
圆柱坐标系拉普拉斯方程中
1 u 1 2u 2u 2 0 2 2 z
d 2 dR 2 2 r [k r l (l 1)]R 0 球贝塞尔方程 dr dr 1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 连带勒让德方程 sin d d sin d 2 m 2 0 d 2
er e e er e e e e er
e e ez e ez e e ez e e e e e ez ez 0
当 μ>0时，Z方程的解为
Z ( z) Ce
式中C, D 为待定常数。
z
De
z
R的方程变为
d2 R dR 2 2 ( 2 m2 ) R 0 d d
若令
x ，则上式变为
2
d2R dR x x ( x 2 m 2 )R 0 dx dx 上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数，即
d 2 dR dr r dr l (l 1) R 0 1 d d m2 sin l (l 1) 2 sin d d sin
0
x y
n
(n)
p1 x
'' 0 sin 2 d 2 dR sin d d r sin R dr dr d d
上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数 Plm ( x)与第二类连带勒让德函数Qlm ( x)之和，这里 m < n 。 当 l 是整数时，Plm ( x) 及 Qlm ( x为有限项多项式。因此， ) 要求 l 为整数。
二、拉普拉斯方程（圆柱坐标系）
圆柱坐标系拉普拉斯方程中
1 u 1 2u 2u 2 0 2 2 z
d 2 dR 2 2 r [k r l (l 1)]R 0 球贝塞尔方程 dr dr 1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 连带勒让德方程 sin d d sin d 2 m 2 0 d 2
er e e er e e e e er
e e ez e ez e e ez e e e e e ez ez 0
当 μ>0时，Z方程的解为
Z ( z) Ce
式中C, D 为待定常数。
z
De
z
R的方程变为
d2 R dR 2 2 ( 2 m2 ) R 0 d d
若令
x ，则上式变为
2
d2R dR x x ( x 2 m 2 )R 0 dx dx 上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数，即
d 2 dR dr r dr l (l 1) R 0 1 d d m2 sin l (l 1) 2 sin d d sin
0
x y
n
(n)
p1 x
'' 0 sin 2 d 2 dR sin d d r sin R dr dr d d
亥姆霍兹方程
热力学 定律
一切过程都必须遵循，保持能量守 恒；不能解决过程是否必然发生、 进行的程度
热力学第二定律——判断在指定的条件下 一个过程能否发生；如能发生的话，能进行到 什么程度；如何改变外界条件（温度、压力等） 才能使变化朝人们所需要的方向进行
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
东莞理工学院
Dongguan University of Technology
广东省分布式能源系统重点实验室
3.1.2 热力学第二定律
热力学第二定律：在不违背热力学第一定律的前 提下，判断在一定条件下过程的方向和限度的定律
“自发过程都是热力学不可逆过程”这个结论是 人类经验的总结，也是热力学第二定律的基础
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3.3.1.3 p、V、T都改变的过程
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熵变计算的基本公式
当始、终态一定时，不论过程是否可逆，其熵 变都可用下式求出：
不论过程是否可 逆，都必须通过 可逆过程的热温商来计 算熵变；如果过程是不 可逆的，应设计一个与 该不可逆过程的始、终 态相同的可逆过程
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自然界的自发过程多种多样，但人们发现自发过 程都是相互关联的，从某一个自发过程的不可逆性 可以推断另一个自发过程的不可逆性。因此热力学 第二定律的表述也有多种，但它们都是等价的
3.2球柱系中亥姆霍兹方程分离变量
解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐 标系中解题的不同点： 标系中解题的不同点： 步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂； 步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂； 边条件：物理边界比数学自变量端点少， 边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定 解问题中只提真实物理边界的条件； 解问题中只提真实物理边界的条件； 步二：非稳问题：先将时间变量分离出去， 步二：非稳问题：先将时间变量分离出去，剩下的 空间变量全部都能构成本征值问题。 空间变量全部都能构成本征值问题。 稳定问题： 稳定问题：选择合适的空间变量构成本征值 问题（空间变量不再平权） 问题（空间变量不再平权）
ii)稳定问题 u (r ) 稳定问题 u (x ,y ,z) u (r ,φ) φ u (r ,θ ,φ) θ φ
分成两半， 【例2】无限长空心圆柱导体半径为 分成两半，互相 】无限长空心圆柱导体半径为a分成两半 绝缘，一半电位为 另一半电位为-u 绝缘，一半电位为u0，另一半电位为 0，求 柱内电位分布。 柱内电位分布。 解： − ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ∇u = ∇ 2 u = 0 定解问题： 定解问题：
i)直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y) 直角系中讨论稳定问题： 直角系中讨论稳定问题 0<x<a , 0<y<b 自变量端点值4个 几何边界（ 条边 条边） 自变量端点值 个＝几何边界（4条边） 这时不用提边条件 ii)圆内狄氏问题 圆内狄氏问题u=u (r,φ) 圆内狄氏问题 φ
0 ≤ r < a, 0 ≤ φ ≤ 2π
n =0 ∞
1 1 A0 = 0 a 2π
1 1 Bm = m a π
∫
0
2π
0
f (φ )dφ
数学物理方法 第十一章 柱函数
∞
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 J −v ( x )
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 N v ( x )
ν为整数m时 , Γ(m + k + 1) = (m + k )!
±ν + 2 k k
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
ν
∞ k
x 2ν + 2 k −1
ν −1+ 2 k
x
ν −1+ 2 k
= xν Jν −1
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
k
∞
±ν + 2 k
12
∫x
ν
J ν − 1 ( x ) dx = x J ν ( x ) + C
( −1) 2k 1 =∑ k =1 k! Γ(ν + k + 1) 2
∞ k
ν +2 k
x
2 k −1
1 0 ν + 2k + 2 ∞ d Jν ( x) 2(k + 1) 1 k +1 = ∑(−1) x2k +1 xν dx (k + 1)!Γ(ν + k + 1 + 1) 2 k =0
2 2
[
]
Φ"+λΦ = 0 cos mϕ Φ= Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) sin mϕ
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 J −v ( x )
y ( x ) = C1 J v ( x ) + C2 N v ( x )
ν为整数m时 , Γ(m + k + 1) = (m + k )!
±ν + 2 k k
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
ν
∞ k
x 2ν + 2 k −1
ν −1+ 2 k
x
ν −1+ 2 k
= xν Jν −1
1 x J ±ν ( x ) = ∑ ( −1) k! Γ( ±ν + k + 1) 2 k =0
k
∞
±ν + 2 k
12
∫x
ν
J ν − 1 ( x ) dx = x J ν ( x ) + C
( −1) 2k 1 =∑ k =1 k! Γ(ν + k + 1) 2
∞ k
ν +2 k
x
2 k −1
1 0 ν + 2k + 2 ∞ d Jν ( x) 2(k + 1) 1 k +1 = ∑(−1) x2k +1 xν dx (k + 1)!Γ(ν + k + 1 + 1) 2 k =0
2 2
[
]
Φ"+λΦ = 0 cos mϕ Φ= Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) sin mϕ
helmholtz方程_分离变量_概述及解释说明
helmholtz方程分离变量概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍并解释Helmholtz方程的分离变量方法。
Helmholtz方程是物理学中广泛应用的一种偏微分方程，涉及声波传播、电磁场分析以及结构振动等众多领域。
通过使用分离变量方法，我们可以将复杂的Helmholtz方程转化为一系列简单的代数方程或常微分方程，从而更容易求解和分析。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述：首先，在引言部分我们将给出对Helmholtz方程和分离变量方法的定义和背景介绍；接着，我们将详细讨论应用领域，并探讨为何分离变量方法在这些领域中非常有效；然后，我们将系统地概述分离变量方法的基本思想、原理和求解步骤，并通过一些具体示例进行说明；最后，我们将就散焦问题讨论并比较分离变量方法的优势与不足点，并提供实际应用中需要注意的事项。
1.3 目的通过对Helmholtz方程的分离变量方法进行详细概述和解释说明，本文旨在帮助读者深入理解分离变量方法的原理和应用，以及它在实际问题中的优势和限制条件。
读者可以通过本文了解如何利用分离变量方法有效地解决Helmholtz方程相关的问题，并为使用该方法时需要留意的注意事项提供指导。
2. Helmholtz方程2.1 定义和背景Helmholtz方程是一个偏微分方程，描述了在空间中传播的波动现象。
它由德国物理学家和生理学家赫尔姆霍兹于19世纪中叶提出，被广泛应用于各个科学领域和工程问题的研究中。
Helmholtz方程可以写为：∇^2ψ+ k^2ψ= 0其中∇^2表示拉普拉斯算子，k是波数，ψ是待求函数。
这个方程描述了波动现象的传播特性，并且可以通过适当的边界条件来表示不同类型的边界情况。
它在声学、电磁学、量子力学等领域中都有着重要的应用。
2.2 分离变量方法简介分离变量方法是解决偏微分方程的常用方法之一。
对于Helmholtz方程而言，我们可以利用该方法将多元函数分解为一维函数的乘积形式，然后针对每一个一维函数进行求解。
17.数学物理方法讲义课件-第十七章 柱函数
第一类柱函数——第一类贝塞耳函数（贝塞耳函数） 第二类柱函数——第二类贝塞耳函数（诺依曼函数）
例题 计算积分 J3 ( x)dx
解
d
dx
x n Jn ( x)
x n Jn 1( x)
J3 ( x)dx x2[x2J3 ( x)]dx
x
2
d dx
[
x
2
J
2
(
x)]dx
J2( x) 2 x1J2( x)dx
k0
k!
(1)k
(k n
1)
x 2
2 k n
(1)k
k!(k n
2)
1 22k n 1
x 2k n 1
x n
k0
xn Jn 1( x)
基本递推关系：
d dx
xn Jn ( x)
xn Jn 1( x)
d
dx
x n Jn ( x)
x n Jn 1( x)
nxn 1Jn ( x) xn Jn ( x) xn Jn 1( x) nxn 1Jn ( x) xn Jn ( x) xn Jn 1( x)
J2 ( x) 2x1J1( x) C
例题
解
1
计算积分 (1 x2 )J0 (x)xdx，其中 J0 () 0 。
0
利用递推关系，分部积分
1
1
(1 x2 )J0 (x)xdx
(1
x
2
)
1
d dx
xJ1
(x)dx
0
d
dx
xn Jn ( x)
xn Jn 1( x)
0
(1
x2)
Jn
(x)
1
数学物理方法-亥姆赫兹方程
x
d 2 R 1 dR m 2 1 2 R0 2 dx x dx x
m阶贝塞尔方程
m 0, R E ln r F
m 0, R Er m Fr m
12 12
特殊函数方程
d m2 2 d (1 x ) l (l 1) 0 连带（缔合）勒让德方程 2 dx dx 1 x
d 2R dR 2 2 x x ( x m )R 0 2 dx dx
2
m阶贝塞尔方程 m阶修正（虚宗量）贝塞尔方程
d 2R dR 2 2 x x ( x m )R 0 2 dx dx
2
2 d R dR 2 2 2 r 2 r k r l (l 1) R 0 2 dr dr
( ) A cos m B sin m
0
z
周期性边界条件
2 0
Z ( z ) C cosz D sinz
De
Z Cz D
m 0, R E ln r F
x
x2 d R dR 2 2 x ( x m )R 0 2 dx dx
d 2 R 1 dR m2 d 2 R 1 dR m 2 x 2 R 0 2 1 2 R0 2 d d dx x dx x
m阶贝塞尔方程
7 7
拉普拉斯方程球坐标系分离变量结果
d 2 2 m 0 d 2
A cos m B sin m
1 d dR 2 m 2 1 d 2Z k 2 2 2 R d d Z dz
d 2Z 2 Z 0 2 dz
d 2 R 1 dR m 2 1 2 R0 2 dx x dx x
m阶贝塞尔方程
m 0, R E ln r F
m 0, R Er m Fr m
12 12
特殊函数方程
d m2 2 d (1 x ) l (l 1) 0 连带（缔合）勒让德方程 2 dx dx 1 x
d 2R dR 2 2 x x ( x m )R 0 2 dx dx
2
m阶贝塞尔方程 m阶修正（虚宗量）贝塞尔方程
d 2R dR 2 2 x x ( x m )R 0 2 dx dx
2
2 d R dR 2 2 2 r 2 r k r l (l 1) R 0 2 dr dr
( ) A cos m B sin m
0
z
周期性边界条件
2 0
Z ( z ) C cosz D sinz
De
Z Cz D
m 0, R E ln r F
x
x2 d R dR 2 2 x ( x m )R 0 2 dx dx
d 2 R 1 dR m2 d 2 R 1 dR m 2 x 2 R 0 2 1 2 R0 2 d d dx x dx x
m阶贝塞尔方程
7 7
拉普拉斯方程球坐标系分离变量结果
d 2 2 m 0 d 2
A cos m B sin m
1 d dR 2 m 2 1 d 2Z k 2 2 2 R d d Z dz
d 2Z 2 Z 0 2 dz
数学物理方程：第5章 柱坐标下的分离变量法(柱函数)
第5章 柱坐标下的分离变量法（柱函数）§5.1 极坐标下的分离变量法本节讨论：①二维调和方程的分离变量法，②圆形域内发展方程的分离变量法⒈ 二维调和方程的分离变量法▲圆域定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧=<+==+=∆=),()(0222y x f u R y x r u u u R r yy xx （圆域、圆柱域） (5.1.1)对圆型区域总是采用极坐标（cos ,sin x r y r ϕϕ==），定解问题可写为222222110(,02)(cos ,sin )()r R u u uu r R r r r r u f R R f ϕπϕϕϕϕ=⎧∂∂∂∆=++=<<<⎪∂∂∂⎨⎪==⎩ (5.1.2)①离变量：令()()u R r ϕ=Φ代入定解问题，得0=Φ+Φ''λ， 02=-'+''R R r R r λ (5.1.3)②但由于定解条件属非齐次的，不能直接分离。
寻找新的（自然）条件；根据定解问题的特点，我们寻求的解应该存在唯一解。
由固有值理论，可以对第一个方程补充周期性条件：(,)(,2)u r u r ϕϕπ=+，即()(2)ϕϕπΦ=Φ+。
因此有方程：()(2)λϕϕπ''Φ+Φ=⎧⎨Φ=Φ+⎩(5.1.4) 可求得，其特征值2(0,,)n n n λ==⋅⋅⋅∞，特征函数为：2/)(00C =Φθ ()cos sin n n n C n D n θϕϕΦ=+ (5.1.5)③而关于R 的方程变为欧拉方程：022=-'+''R n R r R r ，它的通解为：r B A R ln 000+= 和 n n n n n r B r A R -+= (5.1.6)④拉普拉斯方程的通解为：01ln ()(cos sin )2n n n n n n n C u B r A r B r C n D n ϕϕ∞-==++++∑ (5.1.7)顾及解在原点（0r =）的有界性质得0=n B （取10=A ）；因而01(cos sin )2n n n n Cu r C n D n ϕϕ∞==++∑ (5.1.8)系数n C 与n D 由边界条件(,)()u R f ϕϕ=确定。
第四讲上-柱坐标中的分离变量法
R' ' R' ' ' 2 2 R R
2
' ' 0
2
2
2013-8-9
R' ' R' R 0
2 2
6
R' ' R' R 0
16
0:
2
取 : , 为实数
2 2
A e B e
这不是周期函数
A B 0
2013-8-9 17
总之，本征值问题的本征值为
n ,
2 2
n 0,1,2,3,
本征函数为
A cosn B sin n
C0 D0 ln b 0 n n Cnb Dnb 0
C0 D0 ln b 2n Dn Cnb
D0 ln , n 0 Rn b C n b 2 n n , n 1,2,3, n
2013-8-9
7
亥姆赫兹经分离变量后变为：
Z ' ' z Z z 0
R' ' R' R 0
2 2 2 2
2013-8-9 8
' ' 0
2
二、圆形域上的定解问题
例1 半径为b的“无限长”圆柱形接地导 体，放置在均匀外电场E0中，圆柱的轴线与 E0方向垂直，求电势分布。
5
R' ' R' ' ' Z ' ' z 2 R R Z z
2
' ' 0
2
2
2013-8-9
R' ' R' R 0
2 2
6
R' ' R' R 0
16
0:
2
取 : , 为实数
2 2
A e B e
这不是周期函数
A B 0
2013-8-9 17
总之，本征值问题的本征值为
n ,
2 2
n 0,1,2,3,
本征函数为
A cosn B sin n
C0 D0 ln b 0 n n Cnb Dnb 0
C0 D0 ln b 2n Dn Cnb
D0 ln , n 0 Rn b C n b 2 n n , n 1,2,3, n
2013-8-9
7
亥姆赫兹经分离变量后变为：
Z ' ' z Z z 0
R' ' R' R 0
2 2 2 2
2013-8-9 8
' ' 0
2
二、圆形域上的定解问题
例1 半径为b的“无限长”圆柱形接地导 体，放置在均匀外电场E0中，圆柱的轴线与 E0方向垂直，求电势分布。
5
R' ' R' ' ' Z ' ' z 2 R R Z z
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解：
定解问题
2u0 0ra, 02 u(a,)f()
①
设：u(r,)R (r) () 代入①中方程得：
()()0 ② r2RrRR0 ③
对于φ，需要补充自然边界条件
由物理场的单值性可得：
u(r,)u(r,2)
周期条件
为简单： u(r,0)u(r,2)
将u=R代入周期条件：
R (r) (0 )R (r) (2 ) (0) (2)
讨论：
1）若稳定问题 =0，则①②结果不变
(1) (2)
1
r
d dr
(r
dR dr
)
r2
R
0
变型贝塞尔方程
2) 若稳定问题，且u=u (r,) →=0，
(2)
r2RrRR0 欧拉型方程
2.球系中的变量分离
1(r2 u )1 (s iu ) n 1 2 u u 0 r2 r r r2 si n r2 si n 2
代入r=a处边条件定解：
u (a ,) a m A m co m sB m sm i n f() n 0
A0 a10
1
2
2
0
f()d
Ama1m102f()com sd
Bma1m102f()sim nd
讨论：
1.自然边条件
周期条件
单值
主要类 型
有界条件
有限
什么条件下提自然边条件：
自变数端点个数>几何边界个数
自变量端点四个
0, 0,
a 2
>几何边界一个(r=a)
需要在另外三个端点处补自然边条件：
u(r,0)u(r,2 ) |u(0,)|
iii)若遇球系 u = u (r , , )
0 r a , 0 0 2
自变量端点6个>几何边界1个，补5个自然边条件
r=0
=0 , π =0 ,2π
有界条件 周期条件
2.简并
本征值问题：(0())(2()) 0
(*)
解得： m m (m ) 2 Amcosm m Bm si0n,1 m ,2 LL
当m=0时 00, 0A0
无简并
当m≠0时 一个本征值
两个线性无关的本征函数，
称本征值是二度简并的。
m≠0
m m( m ) 2Amcosm B m m si0 n,1 m ,2LL
步三：本征值问题中的边界条件不再只是一、二类 边条件，可能会由周期条件、有界构成； 欧拉型微分方程的求解。
步四：基本同直角坐标系
§2圆内狄氏问题
圆内狄氏问题：
2u f(rv) (稳定场方程) 第一类边条件
区别于直角系的特点： 欧拉方程 自然边条件 本征值简并
【例1】半径为a的无限长圆柱形均匀导体，体内无热 源，柱面温度u(a, φ)=f(φ) 求稳定时导体内稳 定的温度分布。
解方程③： r2R m rR m m 2R m0
设r=et，d r=e td t，代入③中得：
d2Rm dt2
m2Rm
0
R的通解： m0 R0(t)C0D0t m0 Rm(t)CmemtDmemt
m0 R0(x)C0D 0ln r m0 Rm(r)CmrmD mrm
∵原点处的 温度为一有限值，即 |u(0,)|<∞,
u(0,)R (0) ()
∵ ()有 限
| R(0)|
为保证所得的解满足有界条件：
D 0 0 , D m 0m 1 ,2 L L
r2Rm rRm m2Rm0 ⑤ | R(0)|
的解为： R m (r)rm m 0,1 ,2
①的通解为：
u(r,) rm A mco m sB msim n n0
设 u (r ,,) R (r) () () 代入上式
0①1sin源自dd(sin
d) ( d
sin2
)
0
②
连带勒让德方程
1 r 2
d dr
(r2
dR) (
dr
)R r2
0
③ 球贝塞尔方程
讨论： 1）稳定问题：=0
(1) (2)
r 2 R 2rR R 0
欧拉型方程
2) 稳定问题且
A m , B m是两个独立的待定系数
m m2 给定
令 A m 0B m 1 a m sim n
令 A m 1B m0 b mco ms
Sinmφ和cosmφ 是对应同一个本征值m2下的两个 线性无关的本征函数
一个本征值→两个本征函数，称m m2是二度简并的 但 m=0时，只对应0＝A0一个本征函数，
解题过程由曲线坐标系自身的特点带来的与直角坐 标系中解题的不同点：
步一：方程：空间变量的拉氏算子的表达式较复杂； 边条件：物理边界比数学自变量端点少，在定 解问题中只提真实物理边界的条件；
步二：非稳问题：先将时间变量分离出去，剩下的 空间变量全部都能构成本征值问题。 稳定问题：选择合适的空间变量构成本征值 问题（空间变量不再平权）
u(r,)
0 0
1
sin
d
d
(sin
d)
d
0
r2R 2rR R 0
勒让德方程 欧拉型方程
解题思路：步骤与直角坐标系中大同小异
分几大步： 步一：写出定解问题 步二：分离变量（如果定解问题确为可直接分离变量
的形式） 步三：解本征值问题
解不构成本征值问题的变量的常微分方程 步四：迭加特解得通解
定解
m=0是非简并的
二阶常微分方程的本征值问题最多只能是二度简并
X"(x)+λX(x)=0 一二三类齐次边条件
i) 直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y)
ii) 圆内狄氏问题u=u (r,)
iii) 若遇球系 u = u (r , , )
i)直角系中讨论稳定问题：u=u (x ,y) 0<x<a , 0<y<b
自变量端点值4个＝几何边界（4条边） 这时不用提边条件
ii)圆内狄氏问题u=u (r,)
0ra, 02
∴所满足的本征值问题为：
()() 0
(0) (2)
④
解：i) <0时
()AeBe
显然： A BA e2B e 2
不是本征值
ii) =0
()AB
(0)(2)
A A B2
B 0, A任意
∴ =0是本征值，对应的本征函数为()A
iii) >0 ()A cos B sin
代入 (0)(2)
A A co 2 s B si2 n
比较A、B的系数： A A co 2 s B si2 n
1 cos 2 0 sin 2
2 2m m 2 n n2
m m( )m 2Am m co 1m ,2s Bmsim n
m
综合ii、iii得本征值问题④的解为：
m m ( m ) 2A m co sm B m sinm m 0 ,1 ,2L