等差数列课件

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等差数列及其通项公式-完整PPT课件

d=（后一项）-（前一项）
an1 an d
two
练一练
判断下列数列哪些是等差数列，若是等差数列，求公差d （1）10 ，8 ，6 ，4 ，… 是等差数列 d=-2
（2）5 ，9 ，13 ，17，… 是等差数列 d=4
（3）1 ，-1 ，1 ，-1 ，… 不是等差数列
判断方法：定义法： an1 an d (n N *，d为常数) 数列{a n}是等差数列
three 巩固知识典型例题
an a1 (n 1)d
例4 求等差数列-1 ，5 ，11 ，17，…的第几项是119.
解：由题知a1 1，d 6， an 119
an a1 (n 1)d 1 (n 1) 6 6n 7 令119 6n 7
得n 21 所以这个数列的第21项是119
解：设小明、爸爸、爷爷的年龄分别为 a d、a、a d, d为公差
由题知（ a d） a (a d) 120 ①
（ 4 a d） 5 a d
②
由①得 3a 120
a 40
代入②得 d 25 所以祖孙三人的年龄分别为15、40、65岁
four
课后小结
1.
two
动脑思考探索新知
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，则这个数列叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差——用d表示
an1 an d
two
练一练
判断：（1）6 ，3 ，0 ，-5是等差数列
（2）等差数列9 ，6 ，3 ，0的公差d=9-6=3
小结
2.等差数列通项公式 an a1 (n 1)d
four
作业

等差数列_PPT课件

已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问，可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)．当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．

《等差数列的概念》课件

。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方法。而等差数列可以用来表示数据的组距和分组范围。例如，将一组数据分成若干组，每组的组距相等，就可以用等差数列来表示各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析

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等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中，首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差，n 是项数。这个公式可以帮助我们快速计算出等差数列中的任意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？

等差数列与等比数列基本公式PPT课件

例3.已知数列{an}中,a1≠a2,若存在常数p,
使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.
(1)求p
(2)证明{an}成等差数
列
(2)根据已求得的p=1/2 Sn=(1/2)nan,
由等差数列定义,满足an-an-1=d(常数) 的数列是等差数列
所以第一步求通项,第二步“作差”.
证明: n≥2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-
习题分析:
7.数列{an}各项均为正数,前n项和为An,数列{bn}的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.
42
22
cos(A C) 1 A C
故 A=B=C, 公差 d=0.
例2:已知数列{an}为等差数列,公差d≠0,{an}的部分项组成下列数列: ak1 , ak2 , ak3 ,......., akn 恰好为等比数列,其中k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+.....+kn
已知三数和为19=>
a d 2 a d a
19
a
四数为: 9,6,4,2或 25,-10,4,18.
归纳
为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数, 用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。
解(: AS)190,0S2(0-BS)1-0,9S030-S(20C,).1.1..0...(.D,)S1-110-1S0100成等差数列,公差
(S10 S20

Sa110aa211...a..1.2a.1.0.... 10a(2a0121a01(0a)1125(a22a01)

人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)

证明．在求{an}通项公式时，要用到{an－2}是等差数列，先求 1
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．

等差数列ppt课件

等差数列的表示方法
通项公式
an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是首项，d是公差。
前n项和公式
Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中Sn 是前n项和，a1是首项，d是公差。
等差数列的性质
01
02
03
公差性质
公差d是任意两个相邻项的差，即an - a(n-1) = d 。
04
等差数列的应用
在数学中的应用
基础概念理解
等差数列是数学中的基础概念，对于理解数列、函数等其他数学概念有着重要作用。
数学运算
等差数列的特性使其在数学运算中有着广泛的应用，例如求和、求差等。
解决数学问题
等差数列可以用来解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、不等式等。
在物理中的应用
综合练习题
题目：已知一个等差数列的前4项和为40，前8项和为64，求这个等差数列的前12项和。
答案：88
解析：根据等差数列的求和公式，得到前4项和$S_4 = frac{4}{2} times (2a_1 + (4-1)d) = 40$，前8项和$S_8 = frac{8}{2} times (2a_1 + (8-1)d) = 64$。解这个方程组得到首项$a_1=13$，公差 $d=-2$。然后根据等差数列的求和公式，得到前12项和$S_{12} = frac{12}{2} times (2 times 13 + (12-1) times (-2)) = 88$。
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、解决几何问题等。
公式中的参数意义
01
02

等差数列公式ppt课件

下节课预告
• 下节课我们将学习等差数列在实际生活中的应用，以及如何利用等差数列解决实际问题。同时，我们还将学习等差数列的性质，进一步加深对等差数列的理解。
感谢观看
THANKS
一般形式
等差数列的通项公式可以表示为an=kn+b，其中k 和b是常数，n是项数。
特殊形式
当k=0时，等差数列变为常数列；当b=0时，等差数列变为等差序列。
扩展形式
通过变换通项公式，我们可以得到其他形式的等差数列。
等差数列通项公式的应用
数学问题求解
数学建模
利用通项公式可以求解等差数列中的未知数。
日常计数
在日常生活中，我们经常使用等差数列来计数物品，例如按顺序排列的电话号码、门牌号等。
等差数列在数学领域中的应用
数学分析
在数学分析中，等差数列是研究函数和级数的重要工具，可以用
于证明一些数学定理和性质。
几何学
在几何学中，等差数列可以用于计算一些几何形状的周长、面积
和体积等。
组合数学
在组合数学中，等差数列可以用于计算组合数的公式和性质。
通过建立数学模型，我们可以利用通项公式解决实际问题。
实际应用
等差数列在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，例如在统计学、物理学等领域。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
01
通过对等差数列的性质进行归纳和演绎，利用倒序相加法推导出等差数列的求和公式。
02
倒序相加法的原理是将等差数列的前n项和与后n项和相加，再除以2得到n项和的公式。
等差数列求和公式还可以用于解决一些实际问题，例如计算存款的本金和利息、计算工资等。

等差数列ppt课件

(4)通项公式可变形为an=dn+(a1-d)，当d≠0时可把an 看作自变量为n的一次函数.
2.等差数列的通项公式常用的推导方法： (1)方法一(叠加法)：因为{an}是等差数列，所以an-an-1=d，an-1-an-2=d， an-2-an-3=d，…， a3-a2=d，a2-a1=d. 将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d，所以an=a1+(n-1)d.
2.2 等差数列第1课时等差数列
【知识提炼】
1.等差数列的定义 (1)从第_2_项起
条件 (2)每一项与它的_前__一__项__的差等于_同__一__个__常__数__ 结论这个数列就叫做等差数列有关这个常数叫做等差数列的_公__差__，通常用字母_d_ 概念表示
2.等差中项
(1)条件：三个数a，A，b成等差数列.
2.已知实数m是1和5的等差中项，则m等于( )
A. 5
B.± 5
C.3
D.±3
【解析】选C.由题意得2m=1+5，解得m=3.
3.等差数列{an}中，a2=-4，d=3，则a1为( )
A.-9
B.-8
C.-7
D.-4
【解析】选C.由题意得，a2=a1+d，所以a1=a2-d=-4-3=-7.
(2)结论：A叫做a，b的等差中项. (3)关系：_A___a_2_b_.
3.等差数列的通项公式
(1)条件：等差数列{an}的首项为a1，公差为d. (2)通项公式：an=_a_1+_(_n_-_1_)_d_.
【即时小测】 1.判断 (1)常数列是等差数列.( ) (2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( )

《等差数列》PPT课件

解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件， a1＝３３，a１２＝１１０，n=12. 由通项公式，得a１２＝ a1＋（１２－１）d 即１１０＝３３＋１１d d＝７因此a２＝３３＋７＝４０， a３＝４０＋７＝４７， a４＝５４， a５＝６１， a６＝６８， a ７＝７５，a８＝８２， a９＝８９， a１０＝９６ a＝１１＝１０３答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是４０ cm ，４７ cm ，５４ cm ，６１ cm ，６８ cm ，７５ cm ，８２ cm ，８９ cm ，９６ cm ，１０３ cm
新概念在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？解: 依题得, A-a=b-A
所以,
A=(a+b)/2
A为a,b的
等差中项
要点扫描
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*）
一个公式：an=a1+（n-1）d
一种思想：方程思想一个概念： A=a+b/2
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 解：由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差联立方程求解
例３梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０ cm，中间还有１０级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度．
点评：解等差数列有关问题时转化为
a1和d是常用的基本方法
接轨高考
（此题为2003年全国高考题）则n的值为（） C A.48 B.49 C.50
1 等差数列{an}中，已知 a1 , a2 a5 4, an 33 3