巧求函数y=Asin(ωx+φ)解析式

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高中数学人教A版必修4第一章正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图像平移及解析式的求法

正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形．二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin(ωxφ)》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第五章函数y=Asin （ωx φ）》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、解答题1．已知函数()2sin(2)16f x x a π=+++，且当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2.（1）求a 的值；（2）先将函数()y f x =的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，再将所得的图像向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图像，求方程()4g x =在区间[0,]2π上所有根之和.2．写出将sin y x =的图像变换后得到2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像的过程，并在同一个直角坐标平面内画出每一步变换对应的函数一个周期的图像（保留痕迹）． 3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示．（1）求函数f (x )的解析式；（2）如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． 4．用“五点法”画出函数2sin y x =在区间[]0,2π上的图象． 5．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω与2πϕ<)，在同一个周期内，当4x π=时，则y 取最大值1，当712x π=时，则y 取最小值-1． (1)求函数()f x 的解析式．(2)函数sin y x =的图象经过怎样的变换可得到()y f x =的图象 (3)求方程()()01f x a a =<<在[]0,2π内的所有实数根之和． 6．已知函数()2cos 44f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 图象的对称轴；(2)将函数()f x 图象上所有的点向左平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x k =+在()2,4-上有两个零点，求实数k 的取值范围.7．2021年12月9日15时40分，神舟十三号“天宫课堂”第一课开讲！受“天宫课堂”的激励与鼓舞，某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，则火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的最大理想速度公式： 0lnkm v m ω=，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为发动机的喷射速度，0m 和k m 分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量．0km m 被称为火箭的质量比．(1)某单级火箭的初始质量为160吨，发动机的喷射速度为2千米/秒，发动机熄火时的质量为40吨，求该单级火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常单级火箭的质量比不超过10．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，请判断该单级火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：ln20.69≈，无理数e 2.71828=）二、单选题8．为了得到函数3sin 2y x =的图象，只要将函数3sin(21)y x =-的图象（） A ．向左平移1个单位长度 B ．向左平移12个单位长度C ．向右平移1个单位长度D ．向右平移12个单位长度9．函数sin3y x =的图象可以由函数cos3y x =的图象（） A ．向右平移6π个单位得到 B ．向左平移6π个单位得到 C ．向右平移3π个单位得到 D ．向左平移3π个单位得到 10．要得到函数()2cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将cos2y x =的图像（）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移23π个单位长度 D ．向右平移23π个单位长度 11．为了得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数3sin y x =图像上所有点（）A ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12B ．向左平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C ．向左平行移动6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12D ．向右平行移动3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 12．要得到函数π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，需（）A ．将函数3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度D ．将函数3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度13．为了得到函数2cos2y x =的图象，只需把函数2cos 2y x x =+的图象（） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度三、填空题14．将函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度后得到()()sin y g x A x ωϕ==+（0A >，0>ω与π2ϕ≤）的图象如图，则()f x 的解析式为_____．15．彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动所形成的轨迹．这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2，若2OA =，则AOB ∠所对应的弧长为______．参考答案与解析1．（1）2a =；（2）3π. 【分析】（1）由于当[0,]2x π∈时()f x 的最小值为2，所以min ()112f x a =-++=，从而可求出a 的值；（2）由图像变化可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=，从而可求出x 的值【详解】（1）()2sin(2)16f x x a π=+++，∵[0,]2x π∈，∴72[,]666x πππ+∈∴min ()112f x a =-++=，∴2a =；（2）依题意得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =得1sin(4)62x π-=∴4266x k πππ-=+(k Z ∈)或54266x k πππ-=+(k Z ∈) ∴212k x ππ=+或24k x =+ππ，解得12x π=或4x π= ∴所有根的和为1243πππ+=.【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的图像的变换，考查转化能力和计算能力，属于基础题2．答案见解析．图像见解析【分析】由三角函数图像中的相位变换、周期变换、振幅变换叙述变换过程，然后作出图像变换的过程即可.【详解】先将sin y x =的图像上各点向右平移4π个单位得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像再将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，得到函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.再将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上的每一个点保持横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍，得到函数2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.3．（1）f (x )＝sin (2)6x π+ ；（2）答案见解析.【分析】（1）由图像可得A ＝1，51264Tππ-=结合2T πω=可求出ω的值，然后将点(,1)6π代入解析式可求出ϕ的值，从而可求出函数f (x )的解析式；（2）利用三角函数图像变换规律求解【详解】(1)由图像知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×5()126ππ-＝π，故ω＝2Tπ＝2 将点(,1)6π代入f (x )的解析式得sin ()3πϕ+＝1又|φ|＜2π，∴φ＝6π.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin (2)6x π+.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图像，再把y ＝sin 2x 的图像,向左平移12π个单位y ＝sin (2)6x π+的图像． 4．答案见解析【分析】利用五点作图法，列表、描点、连线可作出函数sin y x =在区间[]0,2π上的图象. 【详解】解：按五个关键点列表如下：描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．5．(1)()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)答案见解析 (3)112π【分析】(1)结合已知条件可求出A ，最小正周期T ，然后利用最小正周期公式求ω，通过代值求出ϕ即可；(2)利用平移变换和伸缩变换求解即可；(3)利用正弦型函数的对称性求解即可. (1)设()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期为T 由题意可知，1A =，1721243T πππ=-=即223T ππω== ∴3ω=，即()()sin 3f x x φ=+∵3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴3242k ππϕπ+=+ k Z ∈ 又2πϕ<，∴4πϕ=-∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)利用平移变换和伸缩变换可知，sin y x =的图象向右平移4π个单位长度，得到sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象再将sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．(3)∵()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23π∴()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有3个周期故所有实数根之和为1119112662ππππ++=． 6．(1)14x k =+ k ∈Z (2)()2,0-.【分析】（1）求出()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解方程442x k ππππ+=+，k ∈Z 即得解；（2）求出()2cos 4g x x π=，即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，再利用数形结合分析求解. （1）解：因为()2cos 44f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.令442x k ππππ+=+，k ∈Z ，解得14x k =+ k ∈Z 所以函数()f x 图象的对称轴为直线14x k =+ k ∈Z . （2）解：依题意，将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后，得到的图象对应函数的解析式为()()2sin 12cos 444g x x x πππ⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦.函数()y g x k=+在()2,4-上有两个零点即函数()y g x =的图象与直线y k =-在()2,4-上有两个交点，如图所示所以02k <-<，即20k -<< 所以实数k 的取值范围为()2,0-. 7．(1)2.8千米/秒(2)该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒，理由见解析【分析】（1）明确0k m m ω、、各个量的值，代入即可;（2）求出最大理想速度max v ，利用放缩法比较max 2ln10v =与7.9的大小即可. （1）2ω=，0160m =和40k m =0lnk m v m ω∴=21602ln 2ln 42ln 24ln 2 2.7640=⨯===≈ ∴该单级火箭的最大理想速度为2.76千米/秒.（2）10km M ≤ 2ω= 0max ln km v m ω∴=2ln10= 7.97.97128e22>>=7.97.9ln ln128ln1002ln10e ∴=>>=max v ∴2ln107.9=<.∴该单级火箭最大理想速度不可以超过第一宇宙速度7.9千米/秒.8．B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：()13sin 213sin 22y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝=⎭∴把函数13sin 22x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭的图形向左平移12个单位可得到函数3sin 2y x =．故选：B ． 9．A【分析】化简函数sin 3cos[3()]6y x x π==-，结合三角函数的图象变换，即可求解.【详解】由于函数3sin 3cos(3)cos(3)cos[3()]226y x x x x πππ==+=-=- 故把函数cos3y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到cos3sin 36y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭的图象.故选：A. 10．B【分析】直接由三角函数图象的平移变换求解即可. 【详解】将cos2y x =的图像向右平移3π个单位长度可得2cos2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 11．A【分析】利用三角函数图象变换规律求解即可【详解】将3sin y x =向左平移3π长度单位，得到3sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得的各点的横坐标缩短到原来的12，可得3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象故选：A 12．D【分析】根据三角函数的图像变换逐项判断即可.【详解】解：对于A ，将3sin π5y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于B ，将π3sin 10y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1π3sin 210y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于C ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π5个单位长度后，得到2π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，错误；对于D ，将3sin 2y x =图像上所有点向左平移π10个单位长度后，得到π3sin 25y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，正确.故选:D. 13．C【分析】化简2cos 2y x x =+，再根据三角函数图象平移的方法求解即可【详解】12cos 22cos 222cos 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度得到2cos 22cos263ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x x故选：C14．()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得,A ω的值，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，进而解得ϕ的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知()max 2A g x ==，函数()g x 的最小正周期为45πππ3123T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，所以()()2sin 2g x x ϕ=+．又5π5π2sin 2126g ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5ππ2π62k ϕ+=+（k ∈Z ），解得π2π3k ϕ=-（k ∈Z ）．因为π2ϕ≤，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．将函数()g x 的图象向右平移π6个单位长度后可得到函数()f x 的图象故()ππ2π2sin 22sin 2633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．4π9【分析】根据题意得到圆心角2π9AOB α=∠=，结合弧长公式，即可求解.第 11 页共 11 页【详解】由题意，可知圆心角2π9AOB α=∠=，半径2r OA == 所以AOB ∠所对应的弧长为2π4π299l r α==⨯=．故答案为：4π9.。

高中函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质知识点+例题全面

辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.夯实基础训练。

函数y=Asin(ωx+φ)的图象考点及例题讲解突破

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用考纲解读 1.以y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)为主要内容，考查三角函数图象的变换；2.根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象求解析式，研究性质，待定参数；3.以y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)为模型，考查三角函数的实际应用．[基础梳理]1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)列表：(2)描点：⎝⎛⎭⎫－φω，0，⎝⎛⎭⎫π2ω－φω，A ，⎝⎛⎭⎫πω－φω，0，⎝⎛⎭⎫3π2ω－φω，－A ，⎝⎛⎭⎫2πω－φω，0. (3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤12个小环节构成6条路线： (以③⑨⑫线路为例)③把y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象； ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(ωx＋φ)；⑫最后把所有点的纵坐标变为原来的A (A >0)倍，横坐标不变，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义[三基自测]1．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度答案：B2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3答案：A3．电流i (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是i ＝5sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流i 变化的初相、周期分别是( )A.π3，150 B.π6，1100 C.π3，1100 D.π6，150 答案：π3，1504．(必修4·习题1.5例题改编)由y ＝sin x ______得到y ＝sin 13x ______得到y ＝2sin13x ______得到y ＝2sin(13x －π6)．答案：横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变向右平移π2个单位5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)由曲线C 1：y ＝cos x ，向左平移__________个单位，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C 2：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π. 答案：23π 12[考点例题]考点一图象与变换|模型突破[例1] 设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．(3)由y ＝sin x 经过怎样的变换得到f (x )＝cos(ωx ＋φ)的图象(x ∈R )． [解析] (1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ ＝－sin φ＝32， ∴sin φ＝－32. ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表：(3)f (x )＝cos(2x －π3)＝sin[ π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)，所以由y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x ＋π6)的图象，即f (x )＝cos(2x －π3)的图象．[模型解法][高考类题](2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 答案：D考点二由图象求解析式及三角函数模型应用|方法突破[例2] (1)(2018·黄山模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到点A 的距离与点P 的高度之和为( )A ．5米B ．(4＋7)米C ．(4＋17)米D ．(4＋19)米(2) 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是__________．[解析] (1)以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一圈，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )．又T ＝12，所以θ＝π6t ，所以f (t )＝3－2cos π6t ，t ≥0；风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，θ＝6π＋23π，P (3，1)，所以点P 的高度为3－2×⎝⎛⎭⎫－12＝4，因为A (0，－3)，所以AP ＝3＋16＝19，所以点P 到点A 的距离与点P 的高度之和为(4＋19)米． (2)由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f (0)＝2sin π3＝2×32＝62. 答案：(1)D (2)62[方法提升][母题变式]1．若本例(2)中的图象改为如图所示图象，则函数的一个解析式为__________．解析：设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，易得A ＝2. 由34T ＝5π12＋π3＝3π4得T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2，所以2×5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .可取φ＝－π3.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(不唯一) 2．若本例(1)条件不变，在大风车转第一周内，求风车圆周上的点到地面的距离大于4的时间．解析：由题意得，圆周上的点到地面的距离为f (t )＝3－2cos π6t ，t ∈[0,12]，令3－2cos π6t >4，∴cos π6t <－12，∴23π<π6t <43π.∴4<t <8，∴8－4＝4(秒)，即圆周上的点到地面的距离大于4 m 的时间有4秒．考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质的综合应用|思维突破命题点1 三角函数图象变换与性质综合问题[例3] 将函数f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x 轴对称，则ω的最小值为( )A.13 B ．3 C ．6D ．9[解析] 将函数f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3的图象，因为该图象与f (x )＝cos ωx (ω>0)的图象关于x 轴对称，所以cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＝－cos ωx 恒成立，则ωπ3＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，即ω＝3(2k ＋1)，k ∈Z ，当k ＝0时，ω的最小正值为3.故选B.[答案] B [思维升华]1．若函数y ＝cos ωx (ω>0)的图象向右平移π6个单位后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的值可能是( )A.12 B ．1 C ．3D ．4解析：依题意得，函数y ＝cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2的图象向右平移π6个单位后得到的曲线对应的解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －πω6＋π2＝sin ωx ，因此有－πω6＋π2＝－2k π，k ∈Z ，即ω＝12k ＋3，其中k ∈Z ，于是结合各选项知ω的值可能是3.答案：C2．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：向右平移φ个单位长度后，得到g (x )＝sin(2x －2φ)，又因为|f (x 1)－g (x 2)|＝2，所以不妨令2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，所以x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m )π，又因为|x 1－x 2|min ＝π3，所以π2－φ＝π3⇒φ＝π6.答案：D命题点2 与三角函数有关的方程、不等式问题[例4] (1)(2018·揭阳模拟)已知函数f (x )＝sin πx 和函数g (x )＝cos πx 在区间[－1,2]上的图象交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积是( )A.22B.324C. 2D.524(2)设f (x )＝sin x (sin x ＋cos x )＋2cos 2x . ①求函数f (x )的最大值与最小正周期；②求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值集合．[解析] (1)由sin πx ＝cos πx ⇒tan πx ＝1，又x ∈[－1,2]得x ＝－34或x ＝14或x ＝54，即三点坐标分别为⎝⎛⎭⎫－34，－22，⎝⎛⎭⎫14，22，⎝⎛⎭⎫54，－22，故S △ABC ＝12×⎣⎡⎦⎤54－⎝⎛⎭⎫－34×⎣⎡⎦⎤22－⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋2cos 2x ＝32＋12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)＋32， ①当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )max ＝32＋22.T ＝2π2＝π.②令22sin(2x ＋π4)＋32≥32，∴sin(2x ＋π4)≥0.由正弦图象可知2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π8≤x ≤k π＋38π，∴x 的取值集合为{x |k π－π8≤x ≤k π＋38π，k ∈Z }．[答案] (1)C [思维升华][跟踪训练]3．(2018·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1对∀x ∈(－π12，π3)恒成立，则φ的取值范围是( ) A ．[π12，π2]B ．[π6，π3]C ．[π12，π3]D ．[π6，π2]解析：由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈(－π12，π3)时，2x ＋φ∈(－π6＋φ，2π3＋φ)，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎨⎧－π6＋φ≥02π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.答案：B[真题感悟]1.[考点三](2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z . 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A. 答案：A2.[考点二](2015·高考陕西卷) 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 解析：设水深的最大值为M ，由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ①，k －3＝2 ②，解得M ＝8. 答案：C3.[考点二、三](2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 解析：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.。

6. 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

正弦型函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及应用考点一、作函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．- 2 -【例题】1. 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？考点二、求函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的解析式A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，【例题】1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．考点三、函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正. 【例题】1.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2，给出以下四个论断： ①它的图象关于直线x ＝π12对称；②它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；③它的周期为π；④在区间⎣⎡⎦⎤－π6，0上是增函数．以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题： (1)________________；(2)________________．2.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为________．(2)设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．(3)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________.(4)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减．则ω的取值范围是________． 3.(1)要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2xy =的图象向__平移____个单位. (2)将函数72sin(2)13y x π=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，求出模最小的向量a .4.已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋sin x cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最大值及取得最大值时的x 的值；(2)求f (x )在[0，π]上的单调增区间．5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2cos 2x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)求f (x )的最大值及相应x 的值．考点四、三角函数模型的应用三角函数应用题与解三角形中的问题不一样，主要是构造三角函数，并利用三角函数的性质解决相关问题，多与能建立形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )等形式的函数问题有关．【例题】1．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间．2．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？- 4 -。

高中函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质知识点+例题全面

2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质(解析版)

第四篇三角函数与解三角形专题4.05函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质【考试要求】1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．【知识梳理】1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径4.三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.【微点提醒】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|2π表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|2π表示频率，φ表示初相位.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( ) (4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.【教材衍化】2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3B.2，14π，π3C.2，14π，－π3D.2，4π，－π3【答案】 C【解析】由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________. 【答案】 y ＝6－cos π2x【解析】设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π2.所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 【真题体验】4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )【答案】 A【解析】由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C. 5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 【答案】 D【解析】函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 6.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 【答案】π2＋4【解析】相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.【考点聚焦】考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ(k ∈Z ).由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π3(k ∈Z ). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.【规律方法】作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2B.32C.23D.12【答案】 (1)D (2)A【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值. 考点二求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭⎫11π12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，0(k ∈Z ) 【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2，法一T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝⎛⎭⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2，所以φ＝π3.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ).由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π2， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π6(k ∈Z )【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，则由图象知，f ⎝⎛⎭⎫512π＋φ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫56π＋2φ＝2. ∴5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π12＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.(2)由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z ).∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z ). 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用角度1 三角函数模型的应用【例3－1】如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.【答案】 4【解析】以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，又周期T ＝12，所以θ＝π6t ，则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝3－2cos π6t (t ≥0)，当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫π6×40＝4. 角度2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可.所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】 20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6），所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋523(其中x ∈R )，求：①函数f (x )的最小正周期；②函数f (x )的单调区间；③函数f (x )图象的对称轴和对称中心. 【答案】见解析【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5(12sin 2x －32cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以函数的最小正周期T ＝2π2＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 【反思与感悟】1.五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.类型1 三角函数的周期T 与ω的关系【例1】为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972π C.1992π D.100π【答案】 B【解析】由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥1972π.【评析】解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2πω与所给区间的关系，从而建立不等关系.类型2 三角函数的单调性与ω的关系【例2】若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( )A.0≤ω≤23B.0≤ω≤32C.23≤ω≤3D.32≤ω≤3 【答案】 D【解析】令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. 【评析】根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>23，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤34，78 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k πω(k ∈Z ).当k ＝0时，3π4ω≤π，即34≤ω，当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤78.综上，34≤ω≤78.(2)显然ω≠0，分两种情况：若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32. 若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥32.【评析】这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】 A【解析】由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π4B.－π4C.π4D.5π4【答案】 B【解析】将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4. 3.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 D【解析】由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P (32，－332)，得|MN |＝2×3323×2＝6.∴该函数的最小正周期T ＝6.4.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图象向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增. 5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π24 B.7π24C.5π12D.7π12【答案】 B【解析】由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6，从而2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π12－x ＋2t －π6＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0，所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝724π.二、填空题6.将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10―————————―→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7.(2018·沈阳质检)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.【解析】由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2.∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3. 8.已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4·ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z ). ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.三、解答题9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24). (1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 【答案】见解析【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π4的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32. (2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1C.－ 2D.－ 3【答案】 B【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z ).∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫π6＝－1. 12.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1100πC.1100D.440【答案】 C【解析】 f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π3 ＝220⎣⎡⎦⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝⎛⎭⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －32cos 100πx＝2203⎝⎛⎭⎫32sin 100πx －12cos 100πx＝2203×sin ⎝⎛⎭⎫100πx －π6，则由对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1100(T 为f (x )的最小正周期)，故选C.13.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，则函数g (x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值.【答案】见解析【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝⎛⎭⎫π6，0，由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 【新高考创新预测】15.(多填题)已知函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________.【答案】 π31 【解析】函数f (x )＝23sin ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx 2－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 由T ＝2πω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。

函数y=Asin(ωx+φ)的性质

关的
②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调单调
2
与正
区间的方法：采用“换元”法整体代换，将区弦
ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间.
间的求解技
例2.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图某摩天轮最高点距离地面高度为120m , 转盘直径为110m ，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的距离进舱。转一周大约需要30 min . (1)游客甲坐上摩天轮的座舱开始转动t min 后距离地面的高度为Hm, 求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；
函数
图
区间－π6，23π上存在零点，求实数 k 的取值范围.
象的特
解（1）f(x)＝ 3sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－12 ＝ 23sin 2ωx＋cos 2ω2 x＋1－12
点
＝
3 2 sin
2ωx＋21cos
2ωx＝sin2ωx＋π6，
，因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为π2. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π
令 2x＋π6＝kπ(k∈Z)，则 x＝k2π－1π2(k∈Z)，所以对称中心为k2π－1π2，45(k∈Z).
（3）当 sin2x＋π6＝－1，即 2x＋6π＝－π2＋2kπ(k∈Z)，x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为34，
此时 x 的取值集合是xx＝－π3＋kπ，k∈Z

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用考点与提醒归纳

函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用考点与提醒归纳一、基础知识1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法(1)两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x ”发生多大变化，而不是看角“ωx ＋φ”的变化．考点一求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[典例] (1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (2)(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝________________.[解析] (1)由题图可知A ＝2，T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝3π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. (2)依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6.[答案] (1)B (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6[解题技法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有以下2种[题组训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1. 2.(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23，T ＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23，即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23，即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．因为|φ|<π，所以k ＝0，φ＝－3π4.故函数的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4.考点二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换[典例] (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2[解析] 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2. [答案] D[解题技法] 三角函数图象变换中的3个注意点(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数； (2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y ＝A sin x 到y ＝A sin(x ＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y ＝A sin ωx 到y ＝A sin(ωx ＋φ)时，变换量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[题组训练]1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选B 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，因此变换后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12.2．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又因为φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.考点三三角函数模型及其应用[典例] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数f (x )的简图如图所示，三角函数模型为：f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[题组训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C 设水深的最大值为M ，由题意并结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M＝8.2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3 B.33C ．1D.3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确．4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3. 5.(2019·武汉调研)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论： ①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A . 则正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫14，0和⎝⎛⎭⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12⎝⎛⎭⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z)，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z)，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z)时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.6．(2018·山西大同质量检测)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又∵0<ω<10，∴ω＝6. 7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，最小正周期T 为__________，频率为___________，初相φ为___________．解析：振幅A ＝2，最小正周期T ＝2ππ3＝6，频率f ＝16.因为图象过点(0,1)，所以2sin φ＝1，所以sin φ＝12，又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.答案：2 6 16 π68.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.解析：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－ωx (ω>0)向左平移半个周期得g (x )的图象，若g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1，则ω的取值范围是________．解析：由题意，得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω ＝sin ⎣⎡⎦⎤－π－⎝⎛⎭⎫ωx －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3，由x ∈[0，π]，得ωx －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，ωπ－π3. 因为g (x )在[0，π]上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1，所以π2≤ωπ－π3≤4π3，解得56≤ω≤53.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤56，53. 答案：⎣⎡⎦⎤56，5310．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝0，故π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝－cos π2x ＋6. 答案：y ＝－cos π2x ＋611．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．解：(1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，又因为f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32且－π2<φ<0，所以φ＝－π3. (2)由(1)知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 列表：12．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)∵T 2＝11π12－5π12＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，又∵sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1，|φ|<π2， ∴φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. ∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当4x ＋π6＝π2时，x ＝π12，∴g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1，又因为g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. B 级1．(2019·惠州调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫A >0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又∵|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增．所以选项B 正确．2．(2019·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则实数ω的值为( )A.74 B.32C ．2D.54解析：选C 因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π12，又因为函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以g ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以{ ω＝8k ＋2(k ∈Z )，0<ω≤6，所以ω＝2.3.(2018·南昌模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式，并写出其图象的对称中心； (2)若方程f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝a 有实数解，求a 的取值范围．解：(1)由图可得A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝2，可得2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z)． (2)设g (x )＝f (x )＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，则g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，t ∈[－1,1]，记h (t )＝－4t 2＋2t ＋2＝－4⎝⎛⎭⎫t －142＋94，因为t ∈[－1,1]，所以h (t )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，即g (x )∈⎣⎡⎦⎤－4，94，故a ∈⎣⎡⎦⎤－4，94.故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－4，94.。

函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质

探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)图像及图像变换
探究点2 求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式
例 2.(2011·江苏) 已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A，ω，φ 为常数，A>0， ω>0) 的部分图象如图所示，则 f(0)的值是 ______．
高考链接
[2021.四川卷]函数f(x ) 2 sin ( x )( 0 , ) 的 22
局部图象如下图，那么 , 的值分别是〔 A 〕
〔A〕2
,
3
〔C〕4
,
6
〔B〕
2,
6
〔D〕
4, 3
高考链接
(2012·天津卷)将函数 f(x)＝sinωx(其中 ω>0)的图象向右
平移π4个单位长度，所得图象经过点34π，0，则 ω 的最小值是
4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像与性质
考情分析
• “根据图像和性质求三角型函数解析式〞是高考常考内容.
• 一般以小题和大题的第一问为主,考察时有时只求局部参数,且往往会再结合其他性质提出问题
• 难度一般不大.
知识梳理
知识梳理
关键: 找出与x相对应的五个点
知识梳理
知识梳理
难点正本疑点清源
规范解答
答题模板
解 (1)由图象知 A＝ 3，以 Mπ3，0为第一个零点，N56π，0为第二个零点．
[2 分]
列方程组ωω··π536π＋＋φφ＝＝0，π，
ω＝2，解之得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.

函数y=Asin(ωx+φ)的解析式求法

2 的一段图象如图所示．
(1)求 f(x)的解析式．
f(x)＝3sin
2x－ π 5 10
．
5．已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)
A＞0，ω＞0，|φ|＜π 2
的最小正周期为 2，且当 x＝1时，
3
f(x)取得最大值 2．
(1)求函数
f(x)的解析式．f(x)＝2sin
πx＋π 6
．
数学 ·必修4(A版)
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课前自主预习
课堂互动探究
课时跟踪检测
思路点拨：可由最高点、最低点确定A，再由周期确定
ω，然后由图象过已知点确定φ.
解：方法一(逐一定参法)
由图象知振幅 A＝3，
又 T＝5π－
－π 6
＝π，
∴ω＝2π＝2．
6
T
由点
－π，0 6
，令－π6×2＋φ＝0，
得φ＝π， 3
∴y＝3sin
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(3)从寻找“五点法”中的第一零点－ωφ ，0(也叫初始点) 作为突破口．以 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离 y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在 ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在 ωx＋φ＝32π＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
最高点ωx＋φ＝π2或最低点ωx＋φ＝32π不易出错，而用零点时一定要分清是“上始点”(ωx＋φ＝0)，还是“下始点”(ωx＋φ
＝π)，否则将有可能得出错解．此外，若 φ 不在要求的范围内，

《y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式》专题

《y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质（二）》专题2014年（）月（）日班级姓名四分学识智，三心细耐恒，二成应试法，一片平常心。

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质如下：函数sin()y A x ωφ=+是奇函数⇔图象关于原点对称⇔ f (0)＝0⇔ϕ= . 函数sin()y A x ωφ=+是偶函数⇔图象关于y 轴对称⇔ f (0)＝A 或f (0)＝－A⇔ϕ= .函数cos()y A x ωφ=+是奇函数⇔图象关于原点对称⇔ f (0)＝0⇔ϕ= .函数sin()y A x ωφ=+是偶函数⇔图象关于y 轴对称⇔ f (0)＝A 或f (0)＝－A⇔ϕ= .(1)若函数f (x )＝5sin(2x ＋α)是偶函数，则α等于(2)若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)是奇函数，则φ等于例1 利用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3在一个周期内的草图．根据图像写出此函数的对称轴和对称中心、单调增区间【由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象求三角函数的解析式】1.已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )A.1,6πωϕ==B.1,6πωϕ==- C.2,6πωϕ==D.2,6πωϕ==-2.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则()f x = ．由y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定其解析式，可以根据“五点”作图法逆向思维，从图象上确定“五点”中的某些点的横坐标，建立关于参数ω、φ的方程，列方程组求出ω和φ的值.1．由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A ，ω，φ的值． (1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)因为T ＝2πω，所以往往通过求周期T 来确定ω，可通过已知曲线与x 轴的交点从而确定T ，即相邻的最高点与最低点之间的距离为T2；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T .(3)从寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)作为突破口．以y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y 轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．3.函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，02πϕ<≤)的部分图象如图所示，则P (ω，ϕ)的坐标（）A.（2,2π） B. （2,4π） C. （4,2π） D. （4,4π）4.已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ) +b 的部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，φ|<π2，那么（）A. 4A =B. 6πϕ=C. 1ω=D. 4b =5.函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，πϕπ-≤≤)的部分图象如图所示，ϕ=6.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则7 () 12fπ=7.如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象，试写出函数的表达式．8.如图为y＝A sin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．。

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换典例已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用命题点1：三角函数模型典例如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．命题点3：三角函数图象性质的综合典例已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。

人教版高中数学必修4怎样求y=Asin(ωxφ)的解析式

怎样求y=Asin(ωx+ϕ)的解析式学习了正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)后，经常会遇到确定其解析式的问题.这里振幅A常由函数的最值确定，ω则由周期公式T=2πω来求得，问题的关键是求初相ϕ.本文介绍确定正弦函数解析式的两种基本方法.一、待定系数法分析正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)满足的几何条件，列出关于A、ω、ϕ的三个方程，从而解出A、ω、ϕ，这就是待定系数法.例1 若函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，0<ϕ<2π)的最小值是－2，周期为23π，且它的图象经过点(0,)，求此函数的解析式.解析：∵函数的最小值是－2，∴A=|－2|=2.∵函数的周期是23π，∴23π=2πω，解得ω=3.∵函数的图象经过点(0,),∴将x=0，y=及A=2代入y=Asin(ωx+ϕ)得－=2sinϕ，sinϕ=－2.∵0<ϕ<2π，∴y=54π或74π.故所求函数的解析式是：y=2sin(3x+54π)或y=2sin(3x+74π)例2 已知函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的图象如图1所示，求此函数的解析式.分析：由图1提供的信息，正弦曲线相邻的最大、最小值之间为周期的12.∴2T=56π－6π=23π，即T=43π，∴ω=2Tπ=32又显然有A=2，下面只须求初相ϕ.设曲线与x轴交C，易知，C(2π,0)将A=2，ω=32，x=2π，y=0代入y=Asin(ωx+ϕ)得0=2sin(34π+ϕ).∴ϕ=kπ－34π，(k∈Z).注意到y=Asin(ωx+ϕ)的图象是由y=sinx的图象，经过振幅、周期变换，且向右平移而得，当k=0时，ϕ在区间[－π,π]上有解.∴ϕ=－34π，故函数的解析式是y=2sin(32x－34π).二、平移变换图1图2 我们知道，设A>0，ω>0，正弦函数y=Asin(ωx+ϕ)=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可以看成是由函数y=sinx 的图象经过下面变换而得到： y=sinx 的图象 →y=Asinx 的图象（振幅变换）→y=Asinωx 的图象（周期变换）→y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象（平移变换），这里抓住特殊点的平移来求ϕ.例3 图2是正弦曲线y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个周期的图象，试求此函数的解析式.分析这里2T =32π，∴T=3π，ω=23.∵函数的图象可以看成是y=sinx 的图象经过振幅变换、周期变换后，再向左平移52π个单位.∴52π=ϕω，即ϕ= 54π·23=53π.下面只须再由图象过点(0,来确定A. 将x=0，y=及ϕ=53π代入y=Asin(ωx+ϕ)=Asin 53π，A=2，故函数的解析式是y=2sin(23x+53π).评注：由y=Asinωx 的图象经过平移得到y=Asin[ω(x+ϕω)]的图象，可从图像上特殊点的变化得到平移的规则，如本题中向左平移52π个单位等. 三、“五点法”我们知道，用“五点法”作函数y=Asin(ωx+ϕ)的简图，主要是作变量代换X=ωx+ϕ，由X 取0，2π，π，32π，2π来求出对应的x 的值，确定图象五个关键点的位置.而求其表达式，则相当于X ，x 已知，求ω与ϕ.例4 如图3，写出函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)的一个表达式.解析：易知，令X=ωx+ϕ.图象中的特征点(2,－)，(6,0)对应y=sinX 图象中五个关键点的两点(32π,－1)，(2π,0)，因此， 32262πωϕωϕπ⎧⋅+=⎪⎨⎪⋅+=⎩，解得854πωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴8πx+54π)评注：建立x ，X 对应点间的联系，必须注意特征点是与y=sinx 图象上五个关键点中(0,0)，(2π,1)，(π,0)，(32π,－1)，(2π,0)的哪一个相对应，如当ω·2+ϕ=32π时，只能有ω·6+ϕ=2π.而已知图象求表达式，答案是不唯一的，但只是ϕ值不同，可以相差2kπ(k ∈Z).如当ω·6+ϕ=0时，由ω·2+ϕ=2π也可解得：ω=8π，ϕ=－34π.。

人教B版(2019)数学必修第三册期末复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

A．f(x)与g(x)的图象重合 ×
B.
5
,0
12
)
为f(x)图象的一个对称中心 √
5
C．直线x＝－为函数g(x)图象的一条对称轴 √
12

π

令2x＋＝kπ ＋ (k∈Z)，得x＝＋ (k∈Z)，
3
2
2
12
令k＝－1，则可知选项C正确．

2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，
6
令k＝1，则可知选项B正确；

12
(k∈Z)，

2．(多选)分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位长度，
6
1
然后将其上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各
2
1

点的横坐标缩短到原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(

6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移

________个单位得到y＝f(x)的图象．
6

6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，

4
向右平移个单位长度
y＝2cos 2x

y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
①
②

6
向左平移个单位长度
y＝sin x
f(x)＝sin 2

+
6
y＝sin x

专题23 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2021年新高考数学基础考点一轮复习

专题23 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用【考点总结】1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 【常用结论】1．两种图象变换的区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度．②先周期变换(伸缩变换)，再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．即图象的左右平移变换是针对x 而言的，应是x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 2．周期与对称性之间的关系(1)正弦曲线或余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期；(2)正切曲线相邻的两对称中心之间的距离是12周期．3．对称轴(对称中心)与函数值的关系在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0. 【易错总结】(1)搞错图象平移的单位长度； (2)搞错横坐标伸缩与ω的关系；(3)搞不清f (x )在x ＝π2处取最值；(4)确定不了解析式中φ的值．例1．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选D.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D.例2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．解析：根据函数图象变换法则可得．答案：y ＝sin 12x例3．若函数f (x )＝sin ωx (0<ω<2)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：由题意知当x ＝π3时，函数取得最大值，所以有sin ωπ3＝1，所以ωπ3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以ω＝32＋6k (k ∈Z )，又0<ω<2，所以ω＝32.答案：32例4．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.答案：π6【考点解析】【考点】一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1、已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．【解】 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin X .列表如下：(3)法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．法二：将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象．(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．【变式】1．函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象 ( )A ．向右平移π6个单位长度得到B ．向右平移π3个单位长度得到C ．向左平移π6个单位长度得到D ．向左平移π3个单位长度得到解析：选A.将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象可以由函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选A.【变式】2．将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝cos 2x ＋sin 2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12解析：选D.将函数y ＝cos x －sin x ＝2cos(x ＋π4)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2cos(x＋π4－φ)的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)的图象，又y ＝2cos(1a x ＋π4－φ)＝cos 2x ＋sin 2x ＝2cos(2x －π4)，所以1a ＝2，π4－φ＝－π4＋2k π(k ∈Z )，所以a ＝12，又φ>0，所以φ＝π2＋2k π(k ∈N )，结合选项知选D.【变式】3．(2020·福州模拟)若ω>0，函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos(ωx ＋π3)的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos(ωx －ωπ3＋π3)的图象．因为所得函数图象与y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝－72－6k (k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52【考点】二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例1、 (1)如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，|φ|<π2)的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为( )A ．f (x )＝2sin(2x －π3)B ．f (x )＝2sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝2sin(2x ＋π6)D ．f (x )＝2sin(2x －π6)(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f (－π3)＝________.【解析】 (1)由题意知，A ＝2，函数f (x )的图象过点(0，3)，所以f (0)＝2sin φ＝3，由|φ|<π2，得φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)．故选B. (2)由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以f (－π3)＝－62.【答案】 (1)B (2)－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.【变式】1．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象是( )解析：选A.由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C.故选A. 【变式】2．(2020·安徽黄山毕业班第二次质量检测)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫5π6，－1 B ．⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫π12，－1D ．⎝⎛⎭⎫5π6，0解析：选A.由题图得⎝⎛⎭⎫π3，－1为f (x )图象的一个对称中心，T 4＝π3－π12，所以T ＝π，从而f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π3＋k π2，－1(k ∈Z )，当k ＝1时，为⎝⎛⎭⎫5π6，－1，选A. 【考点】三、三角函数图象与性质的综合应用角度一三角函数图象与性质的综合问题例1、(2020·河南郑州三测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，要使f (a ＋x )－f (a －x )＝0成立，则a 的最小正值为( )A.π12B ．π6 C.π4D ．π3【解析】由函数图象可得，函数的最大值为2，即A ＝2.因为函数图象过点(0，1)，即f (0)＝1，所以sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫11π12，0，所以f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫ω×11π12＋π6＝0，又x ＝11π12在函数f (x )的单调递增区间内，所以令11π12ω＋π6＝2k π(k ∈Z )，解得ω＝24k －211(k ∈Z )．由函数图象可得最小正周期T >11π12，即2πω>11π12，解得ω<2411.又ω>0，故k ＝1，从而ω＝2211＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由f (a ＋x )－f (a －x )＝0，得f (a ＋x )＝f (a －x )，所以该函数图象的对称轴为直线x ＝a . 令2a ＋π6＝n π＋π2(n ∈Z )，解得a ＝n 2π＋π6(n ∈Z )．要求a 的最小正值，只需n ＝0，得a ＝π6，故选B.【答案】 B求解该题的难点是ω的确定，需要根据函数的周期与函数的零点所在位置列出条件，x ＝11π12在函数的单调递增区间内，如果忽视这个隐含条件，就会得到11π12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，从而产生增解，无法得到正确的选项．故根据函数图象确定函数解析式时，要准确定位函数图象的特征性质．角度二函数零点(方程根)问题例2、(2020·湖南株洲二模)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8恰有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫5π4，11π8 B ．⎣⎡⎭⎫9π4，7π2 C.⎝⎛⎦⎤5π4，11π8D ．⎝⎛⎦⎤9π4，7π2【解析】由题意得方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8有三个不同的实数根．画出函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，9π8的大致图象，如图所示．由图象得，当22≤a <1时，方程cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝a 恰好有三个不同的实数根．令2x －π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝π8＋k π2，k ∈Z .当k ＝0时，x ＝π8.不妨设x 1<x 2<x 3，由题意得点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝π8对称，所以x 1＋x 2＝π4.又结合图象可得π≤x 3<9π8，所以5π4≤x 1＋x 2＋x 3<11π8.故x 1＋x 2＋x 3的取值范围为⎣⎡⎭⎫5π4，11π8.故选A. 【答案】 A巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．【变式】1．(2020·山东烟台3月模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12，则当ω取最小值时，函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 解析：选C.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图象向右平移π6个单位长度后，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋φ的图象．因为所得函数图象关于y 轴对称，所以－ωπ6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得ω＝－6k －3＋6φπ，k ∈Z .又f ⎝⎛⎭⎫πω＝－12＝sin ()π＋φ＝－sin φ，即sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6.所以ω＝－6k －2，又ω>0，所以取k ＝－1，可得ωmin ＝4，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.故选C.【变式】2．(2020·新疆乌鲁木齐二检)若关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 在区间(]0，π上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，2)B ．[0，2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋1)解析：选A.关于x 的方程(sin x ＋cos x )2＋cos 2x ＝m 可化为sin 2x ＋cos 2x ＝m －1，即sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12.易知sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝m －12在区间(0，π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，且|x 1－x 2|≥π4.令2x ＋π4＝t ，即sin t ＝m －12在区间⎝⎛⎦⎤π4，9π4上有两个不同的实数根t 1，t 2. 作出y ＝sin t ⎝⎛⎭⎫π4<t ≤9π4的图象，如图所示，由|x 1－x 2|≥π4得|t 1－t 2|≥π2，所以－22≤m －12<22，故0≤m <2，故选A.。

专题61 高中数学函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用(解析版)

专题61 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质及应用知识点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)中，A ，ω，φ的物理意义(1)简谐运动的振幅就是A . (2)简谐运动的周期T ＝2πω.(3)简谐运动的频率f ＝1T ＝ω2π.(4)ωx ＋φ称为相位．(5) x ＝0时的相位φ称为初相．知识点二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质题型一已知函数图象求解析式1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．[解析]解法一：逐一定参法：由图象知A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝3sin(2x ＋φ)． ∵点⎝⎛⎭⎫－π6，0在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－π6×2＋φ＝2k π，得φ＝π3＋2k π(k ∈Z)． ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法二：待定系数法由图象知A ＝3.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，且由图象的上升及下降趋势，可得⎩⎨⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解法三：图象变换法由A ＝3，T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin2x 向左平移π6个单位长度而得，所以y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6D.π6[解析]由图象知T ＝2πω＝2⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝π，所以ω＝2，2×π6＋φ＝2k π(k ∈Z)，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝－π3.故选A.3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[解析]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又由点⎝⎛⎭⎫－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 4．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<|φ|<π2的图象的一部分，则函数的一个解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫1011x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图象知A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∵图象过⎝⎛⎭⎫π6，2，∴2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又∵0<|φ|<π2，∴φ＝π6.∴函数解析式y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 5．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析]由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．[答案] D6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫7π12等于( )A.12B ．0C ．2D ．－2 [解析]解法一：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π4，0代入上式得，sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，又⎝⎛⎭⎫34π，0是图象上升的趋势的点， ∴3π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－3π4.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π4＋2k π－3π4＝0. 解法二：由图可知，32T ＝5π4－π4＝π，即T ＝2π3.又由正弦图象性质可知，若f (x 0)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫x 0＋T 2＝0.∴f ⎝⎛⎭⎫7π12＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋π3＝0.[答案] B 7．已知函数f (x )＝|A cos(x ＋φ)＋1|⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝2，φ＝π6B ．A ＝3，φ＝π6C ．A ＝2，φ＝π3D ．A ＝3，φ＝π3[解析]由题图知：A ＝3－（－1）2＝2，又f (0)＝|2cos φ＋1|＝2，所以cos φ＝12或cos φ＝－32(舍)，因为|φ|<π2，即－π2<φ<π2，由图象知φ>0，所以φ＝π3，故选C.8．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.[解析]由图象可得最小正周期为2π3.所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π2＝23. 9．已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A ⎝⎛⎭⎫π2，2，B ⎝⎛⎭⎫3π2，2，则f (0)＝________．[解析]由函数图象可知函数f (x )的周期T ＝3π2－π2＝π，ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝2，则cos φ＝－22.因为φ∈[0，π]，所以φ＝3π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，则f (0)＝－ 2. 10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6D ．B ＝4[解析]由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π4，T ＝π，ω＝2.因为2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6，故选C.11．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4＋2 [解析]由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，函数f (x )的周期为⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫－π2×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝12，又因为点⎝⎛⎭⎫π2，6在函数f (x )的图象上所以6＝2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋4. 12．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫65x ＋3π5D ．y ＝－cos ⎝⎛⎭⎫56x ＋3π5 [解析]T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，排除A 、D.不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，由题图知A ＝1，于是65·π3＋φ＝2k π＋π(k ∈Z)，所以φ＝2k π＋3π5(k ∈Z)，所以φ可以是3π5，故选C.13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为______________．[解析]由题图得A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，即T ＝π.由ω>0，T ＝2πω＝π得ω＝2. 又当x ＝π3时，ωx ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，即2×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，所以φ＝2k π－π6(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6(x ∈R)．14．下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变[解析] 由图象可知A ＝1，T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 故将函数y ＝sin x 先向左平移π3个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得原函数的图象．[答案] A15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式为f (x )＝______________.[解析]由函数图象上相邻最高点和最低点距离为22，得 ⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝2 2.解得T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又∵函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，∴f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12. 又∵－π2≤φ≤π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 16．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ <π2的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差π4，且图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，求这个函数的解析式．[解析]由题意知A ＝5，T 2＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4，所以y ＝5sin(4x ＋φ)．又因为图象经过点⎝⎛⎭⎫0，52，所以52＝5sin φ，即sin φ＝12，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z)或φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)，又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以这个函数的解析式为y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. 17．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间．[解析] (1)由函数f (x )的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，可知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2ππ＝2.又函数f (x )图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫7π12，－3，|φ|<π2，所以A ＝3，2×7π12＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，则可得单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π12，⎣⎡⎦⎤7π12，π. 18．已知定义在(－∞，＋∞)上的函数f (x )，对任意x ∈R ，恒有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )成立． (1)求证：函数f (x )是周期函数，并求出它的最小正周期； (2)若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0＜φ＜π2 在一个周期内的图象如图所示，求出f (x )的解析式，并写出它的对称轴方程． [解析] (1)因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π2＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，它的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )的最小正周期为π，ω>0，所以2πω＝π，所以ω＝2.由题中图象知A ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，所以它的对称轴方程为x ＝k π2＋π12(k ∈Z)．19．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，求f (x )的解析式． [解析]由最低点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2. 在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z)．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 20．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝sin x 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程． [解析] (1)由图象知A ＝1.f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|＜π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.(2)变换过程如下：y ＝sin x 图象上的――――――――――――――――→所有点的横坐标缩小为原来1/2倍纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象，再把y ＝sin 2x 的图象,向左平移π12个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象． 21．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． [解析] (1)由函数图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 22．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，A >0，|φ|<π2的图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的值域．[解析] (1)由图象可知A ＝1，T 4＝2π4ω＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2.又由图象知2·π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1. 23．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在x ∈[－1，2]的值域．[解析] (1)由题图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，所以ω＝2πT ＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.将点(－1，0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.因为|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)因为－1≤x ≤2，所以0≤π4x ＋π4≤34π，所以0≤sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤1，所以0≤2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4≤2. 所以函数f (x )的值域为[0，2]．24．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解析] (1)A ＝3，2πω＝43⎝⎛⎭⎫4π－π4＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋φ过⎝⎛⎭⎫π4，0，得sin ⎝⎛⎭⎫π10＋φ＝0. 又∵|φ|<π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x －π10. (2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎡⎦⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝⎛⎭⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2，k ∈Z ∵m ＞0，∴m min ＝3π2. 故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．25．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫3π2，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数解析式； (2)写出函数的单调区间．[解析] (1)依题意，得A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝⎛⎭⎫π2，2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4. (2)令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z)．26．如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图象． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )的图象与f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求函数g (x )的解析式及g (x )的最小正周期．[解析] (1)由图，知A ＝2，T ＝7－(－1)＝8，∴ω＝2πT ＝2π8＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 将点(－1,0)代入，得0＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)作出与f (x )的图象关于直线x ＝2对称的图象(图略)，可以看出g (x )的图象相当于将f (x )的图象向右平移2个单位长度得到的，∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π4(x －2)＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4， ∴g (x )的最小正周期为2ππ4＝8.27．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6＋1(ω＞0,0＜φ＜π) 为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间． [解析] (1)∵f (x )为偶函数，∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0＜φ＜π，∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＋1＝2cos ωx ＋1. 又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1. (2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． 28．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一系列对应值如下表：x －π6 π3 5π6 4π3 11π6 7π3 17π6 y－1131－113(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)的最小正周期为2π3，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1.(答案不唯一) (2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin ⎝⎛⎭⎫kx －π3＋1的最小正周期为2π3，且k ＞0，∴k ＝3.令t ＝3x －π3，∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3， ∴t ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，如图所示，当sin t ＝s 在⎣⎡⎦⎤－π3，2π3上有两个不同的实数解时，s ∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时，由方程f (kx )＝m 恰有两个不同的实数解得m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)．题型二三角函数图象与性质的综合应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的对称中心是___________，对称轴方程是__________________． [解析] 函数的对称中心：12x ＋π6＝k π，k ∈Z ，∴x ＝2k π－π3，k ∈Z ，即⎝⎛⎭⎫2k π－π3，0(k ∈Z)，对称轴方程：12x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.2．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6[解析]∵x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.3．将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π12，0B.⎝⎛⎭⎫π3，0C.⎝⎛⎭⎫5π12，0D.⎝⎛⎭⎫2π3，0 [解析]由题意g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝2π3，故函数y ＝g (x )的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫2π3，0. 4．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数g (x )图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫5π12，0B.⎝⎛⎭⎫π4，0C.⎝⎛⎭⎫π6，0D.⎝⎛⎭⎫π12，0 [解析]将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫12x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，再向右平移π6个单位可以得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12的图象，因此，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －5π12，由g ⎝⎛⎭⎫5π12＝sin 0＝0，选项A 正确． 5．在函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________． [解析] 设4x ＋2π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π4－π6(k ∈Z)，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3图象的对称中心坐标为⎝⎛⎭⎫k π4－π6，0(k ∈Z)．取k ＝1得⎝⎛⎭⎫π12，0满足条件． 6．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 [解析] 由①知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由②③知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．7．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.[解析]依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，以下命题中为假命题的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数 [解析]令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选C. 9．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号) ①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . [解析] f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32.f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0，故①错，②正确．令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确．函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错． 10．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x ＝π6，则φ的值为________．[解析]由题意知2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，所以φ＝－56π.11．函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后得到的函数是奇函数，则函数f (x )的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫－π3，0对称 B ．关于直线x ＝－π6对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 D ．关于直线x ＝π12对称 [解析]将函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后，可得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令x ＝－π3，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－5π6＝－32，故排除A ；令x ＝－π6，求得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2＝0，故排除B ；令x ＝π12，求得f (x )＝cos 0＝1，为函数的最大值，排除C ，选D.12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )A.23B.143C.263D.383[解析]因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以直线x ＝π6＋π32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴，又因为f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以当x ＝π4时，f (x )取得最小值．所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103，(k ∈Z)又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π6，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k ＝1，即ω＝8－103＝143.13．已知函数f (x )＝32sin x cos x ＋12cos 2x ＋1. (1)求f (x )的振幅、最小正周期及单调增区间； (2)求f (x )的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f (x )的最小值及取得最小值时的x 的取值集合．[解析] (1)f (x )＝34sin2x ＋cos2x ＋14＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋54＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 所以函数f (x )的振幅为12，最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z)．令2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π12(k ∈Z)，所以对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，54(k ∈Z)． (3)当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，f (x )的最小值为34，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－π3＋k π，k ∈Z .14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． [解析]由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1.依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z. 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，所以T ≥π，即2πω≥π.∴ω≤2，又ω＞0， ∴k ＝1时，ω＝23；k ＝2时，ω＝2.故φ＝π2，ω＝2或23.15．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． (2)因为x ∈[0，3π]，所以12x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π3， sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6∈[－1，1]，因为当x ∈[0，3π]时，方程f (x )＝m 有唯一实数根，所以函数f (x )的图象和直线y ＝m 只有一个交点，如图所示：故方程f (x )＝m 有唯一实数根m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，12∪{1，－1}．16．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝712π时，f (x )取得最小值－3. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围． [解析] (1)由题意，易知A ＝3，T ＝2⎝⎛⎭⎫712π－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z.又∵－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z. (3)由题意知，方程sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝m －16在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π6上有两个实根． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π6，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m －16∈⎣⎡⎭⎫32，1，∴m ∈[1＋33，7)． 17．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值． [解析] (1)f (x )＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin2ωx ＋π6，由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的图象的一条对称轴，所以2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，解得ω＝32k ＋12(k ∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝12，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为[2k π－2π3，2k π＋π3](k ∈Z)．(2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos x2，由g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65，得cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故π6＜α＋π6＜2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6·cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6·sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 18．设m 为实常数，已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在开区间(0,2π)内有两相异实根α，β.(1)求m 的取值范围；(2)求α＋β的值．[解析]作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0,2π)上的图象如图所示．(1)若方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两相异实根α，β，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝m 有两个相异的交点．观察图象知，当－2＜m ＜2且m ≠1时有两个相异的交点，即方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝m 在区间(0,2π)内有两个相异实根，故实数m 的取值范围为(－2，1)∪(1，2)．(2)当m ∈(－2，1)时，由图象易知两交点关于直线x ＝5π4对称，∴α＋β2＝5π4，α＋β＝5π2.当m ∈(1，2)时，由图象易知两交点关于直线x ＝π4对称，∴α＋β2＝π4，α＋β＝π2，故α＋β的值为5π2或π2.。

1.3.4 函数y=Asin(ωx+φ)解析式

1.3.4 函数sin()y A x ωϕ=+的解析式一、课题：函数sin()y A x ωϕ=+的解析式二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；2．能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；2．根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ．四、教学过程：（一）复习：由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法：（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。

（二）新课讲解：1．根据函数图象求解析式例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。

解：由图知：函数最大值为又∵0A >，∴A =由图知52632T πππ=-= ∴2T ππω==，∴2ω=，又∵157()23612πππ+=，∴图象上最高点为7(12π，7)12πϕ⨯+，即7sin()16πϕ+=，可取23πϕ=-，所以，函数的一个解析式为2)3y x π=-． 2．由已知条件求解析式例2：已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

解：由题意：5A =，24T π=， ∴22T ππω==， ∴4ω=， ∴5cos(4)y x ϕ=+，又∵图象经过点5(0,)2-， ∴55cos 2ϕ-=，即1cos 2ϕ=-， x3- 3π 56π 3O又∵0ϕπ<<， ∴23πϕ=，所以，函数的解析式为25cos(4)3y x π=+．例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为最小值为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式。

巧求函数y=Asin(ωx+φ)解析式

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1.3.4 函数y=Asin(ωx+φ)解析式

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