2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第三章 导数及其应用 3-1 Word版含答案
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-7
2-7A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数y ＝5x 与函数y ＝－15x 的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称【解析】 y ＝－15x ＝－5－x ，可将函数y ＝5x 中的x ，y 分别换成－x ，－y 得到，故两者图象关于原点对称．【答案】 C2．(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【解析】 根据函数的奇偶性及特值法进行判断．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A ，B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D.【答案】 D3．(2016·揭阳模拟)设定义在－1，7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则关于函数y ＝1f （x ）的单调区间表述正确的是( )A ．在－1，1]上单调递增B ．在(0，1]上单调递减，在1，3)上单调递增C ．在5，7]上单调递增D ．在3，5]上单调递增【解析】 由题图可知，f (0)＝f (3)＝f (6)＝0，所以函数y ＝1f （x ）在x ＝0，x ＝3，x ＝6时无定义，故排除A 、C 、D ，选B.【答案】 B4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 【解析】 借助函数的图象求解该不等式． 令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．【答案】 C5．(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2，＋∞)【解析】 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 B6．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．【解析】 设g (x )上的任意一点A (x ，y )，则该点关于直线x ＝1的对称点为B (2－x ，y )，而该点在f (x )的图象上．∴y ＝⎝⎛⎭⎫132－x＝3x －2，即g (x )＝3x －2.【答案】 g (x )＝3x －27．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．【解析】 f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值， f (4)＝6. 【答案】 68．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．【解析】 画出函数y ＝|x －a |－1的图象与直线y ＝2a ，利用数形结合思想求解即可． 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点， 故2a ＝－1，解得a ＝－12.【答案】 －129．已知函数f (x )＝x1＋x .(1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．【解析】 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝2x ，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ 【解析】 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·唐山模拟)函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)． 当0<x <1时，y ＝e－ln x－1＋x ＝1x－1＋x ；当x ≥1时，y ＝e ln x ＋1－x ＝x ＋1－x ＝1，故选项D 正确． 【答案】 D12．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【解析】 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在－3，3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0， 即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 【答案】 D13．(2014·天津)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解析】 设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|， 在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |， y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点，所以，①⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a （1－x ）(－3<x <0)有两组不同解．消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∴Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，又∵x 1＋x 2＝a －3<0，x 1·x 2＝a >0，∴0<a <1.②⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3x ，y ＝a （x －1）(x >1)有两组不同解． 消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两不等实根x 3、x 4， ∴Δ＝a 2－10a ＋9>0，又∵x 3＋x 4＝a －3>2，∴a >9. 综上可知，0<a <1或a >9. 【答案】 (0，1)∪(9，＋∞)14．(2016·湖北重点中学联考)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．【解析】 y ＝f (x ＋1)向右平移1个单位得到y ＝f (x )的图象，由已知可得f (x )的图象的对称轴为x ＝1，过定点(2，0)，且函数在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f （x ）≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f （x ）≥0.由图可知符合条件的解集为(－∞，0]∪(1，2]． 【答案】 (－∞，0]∪(1，2]15．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 【解析】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4. f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的减区间是2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．。
导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第三章 导数及其应用 3-1 Word版含解析
3-1A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22 D ．ln 2【解析】由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.【答案】B2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e【解析】由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.【答案】B3．(2014·大纲全国)曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1【解析】y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.【答案】C4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0【解析】对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】D5．曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为()A.112B.16C.13D.12【解析】求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是⎝⎛⎭⎫23，0，(1，0)，(1，1)，于是三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1－23×1＝16，故选B. 【答案】B6．(2015·天津)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【解析】f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.【答案】37．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【解析】根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.【答案】x －y －2＝08．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．【解析】先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2，7)求出a 的值．∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.【答案】19．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．【解析】(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14. ∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)， 即x ＋4y ＋17＝0.10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过坐标点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·江西新余一中、宜春中学高三8月联考)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4C ．1 D.π2【解析】由f (x )＝e x cos x ，得f ′(x )＝e x cos x －e x sin x .所以f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1，即倾斜角α满足tan α＝1.根据α∈0，π)，得α＝π4. 【答案】B12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3D ．不确定 【解析】依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6，∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，∴f ′(x )＝－sin x ＋1.∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数， 又－π2<－π3<π3<π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 【答案】C13．(2016·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．【解析】设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1，0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式， 得k 1＝－a 和k 2＝274－a ， 由题意，它们互为相反数得a ＝278. 【答案】27814．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，当a ＝________时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． 【解析】设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎨⎧x0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． 【答案】－3415．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)． 若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)，得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以两条切线不是同一条直线．。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第十章 统计与统计案例 10-1 解析 Word版
10-1A 组 专项基础训练 (时间：25分钟)1．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法 【解析】 根据条件按比例抽样得知抽样方法．根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 【答案】 C2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12【解析】 设样本容量为N ，则N ×3070＝6，∴N ＝14，∴高二年级所抽学生人数为14×4070＝8.【答案】 B3．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250 ②5，9，100, 107, 111, 121, 180，195, 200, 265 ③11, 38，65, 92，119, 146，173, 200, 227, 254 ④30, 57, 84, 111, 138，165，192, 219, 246, 270 关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A ．②、③都不能为系统抽样B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样【解析】 因为③为系统抽样，所以选项A 不对；因为②为分层抽样，所以选项B 不对；因为④不为系统抽样，所以选项C 不对，故选D.【答案】 D4．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( )A ．13B ．19C ．20D ．51 【解析】 抽样间隔为46－33＝13， 故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C. 【答案】 C5．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生是高一学生的两倍，高二学生比高一学生多300人，现在按1100的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，则高一学生应抽取的人数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10【解析】 设高一学生有x 人，则高三学生有2x 人， 高二学生有(x ＋300)人，学校共有4x ＋300＝3 500(人)， 解得x ＝800(人)，由此可得按1100的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本，高一学生应抽取的人数为1100×800＝8(人)，故应选A. 【答案】 A6．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否达标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则61组抽出的号码为________．【解析】 每组袋数：d ＝3 000150＝20，由题意知这些号码是以11为首项，20为公差的等差数列， a 61＝11＋60×20＝1211. 【答案】 12117．将某班的60名学生编号为01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是________．【解析】 编号组数为5，间隔为605＝12，因为在第一组抽得04号：4＋12＝16，16＋12＝28，28＋12＝40，40＋12＝52， 所以其余4个号码为16，28，40，52. 【答案】 16，28，40，528．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．【解析】 抽取比例与学生比例一致．设应从高二年级抽取x 名学生，则x ∶50＝3∶10. 解得x ＝15. 【答案】 159．某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.【解析】 依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.【答案】 1610．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．【解析】 由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x ，则由系统抽样的法则可知，第n 组抽出个体的号码应该为x ＋(n －1)×8，所以第16组应抽出的号码为x ＋(16－1)×8＝123，解得x ＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.【答案】 11B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．(2014·湖南)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3【解析】 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3. 【答案】 D12．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1，450]的人做问卷A ，编号落入区间451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15【解析】 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9，39，69， (939)落入区间451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．【答案】 C13．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．【解析】 关键是确定样本的抽取比例． 男生人数为560×280560＋420＝160.【答案】 16014．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________，若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．【解析】 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20.【答案】372015．一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．【解析】由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.【答案】76。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-3 Word版
4-3A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数【解析】 f (x ＋π)＝lg|sin(x ＋π)|＝lg|sin x |，所以周期为π，对f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |，所以为偶函数，故选C. 【答案】 C2．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 【解析】 由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解． 由图象知，周期T ＝2⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D. 【答案】 D3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．2 【解析】 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 【答案】 D4．(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10【解析】 分析三角函数图象，根据最小值求k ，再求最大值． 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 【答案】 C5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( ) A ．0，1] B.⎣⎡⎦⎤12，1 C ．－1，2] D ．0，2]【解析】 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2.∵cos 2x ∈－1，1]，∴y ∈0，1]． 【答案】 A6．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．【解析】 由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．【答案】 ⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )7．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.【答案】 28．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________．【解析】 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4， 即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0，1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.【答案】 39．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解析】 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .10．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎡⎦⎤0，43时，y ＝g (x )的最大值． 【解析】 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π4（2－x ）－π3＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2－πx 4－π3＝3cos ⎝⎛⎭⎫πx 4＋π3.当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3cosπ3＝32. 方法二：区间⎣⎡⎦⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎡⎦⎤23，2， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤23，2上的最大值． 由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 4－π3，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，43上的最大值为 g (x )max ＝3sinπ6＝32. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22 C.32 D.6＋24【解析】 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，1，且|φ|<π2. 代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，令x ＝0，可得y ＝12.【答案】 A12．(2016·池州月考)已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则nm 等于( )A.332 B. 3C ．－233 D.33【解析】 由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴－n ＝2m sin2π3－n cos 2π3， ∴－n ＝3m ＋n 2，∴3m ＝－32n ，∴n m ＝－233.【答案】 C13．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是______．【解析】 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．【答案】 ⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 14．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β. 其中所有真命题的序号是________． 【解析】 对于①，令x ＝－512π， 则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0， 因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题； 对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，②为真命题； 对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②.【答案】 ①②15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【解析】 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈－2a ，a ]．∴f (x )∈b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第十二章 推理与证明、算法、复数 12-1
12-1A组专项基础训练(时间：45分钟)1．(教材改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A．28B．32C．33 D．27【解析】5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.【答案】B2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理() A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确【解析】f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．【答案】C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.【答案】B4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数是()A．0 B．1C ．2D ．3【解析】 (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误． sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误． 由向量的运算公式知③正确． 【答案】 B5．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n【解析】 若{a n }是等差数列， 则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n （n －1）2d ，∴b n ＝a 1＋（n －1）2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列； 若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn （n －1）2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D. 【答案】 D6．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．【解析】 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1) ＝n （n ＋3）2， 易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 【答案】 147．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________．【解析】 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ；同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H .【答案】 148．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．【解析】 根据校验方程组推理．因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，所以x 2，x 3，x 6，x 7都正确．又因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1，故x 1和x 4都错误，或仅x 5错误．因为条件中要求仅在第k 位发生码元错误，故只有x 5错误．【答案】 59．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律． 【解析】 (1)∵a 1＝5，d ＝2，∴S n ＝5n ＋n （n －1）2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n 2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10．(2015·辽宁铁岭二模改编)已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出类似的性质．【解析】 类似的性质为：若M 、N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M 、P 的坐标分别为(m ，n )、(x ，y )，则N (－m ，－n )． 因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理，y 2＝b 2a 2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2（x 2－m 2）x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这个结论是( )A ．正方形的对角线相等B ．矩形的对角线相等C ．正方形是矩形D ．其他【解析】 根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．【答案】 A12．设⊕是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集【解析】 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．【答案】 C13．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为________________．【解析】 考查类比推理问题，由图看出三棱锥P 1OR 1Q 1及三棱锥P 2OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2， 故体积之比为VO P 1Q 1R 1VO P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.【答案】VO P 1Q 1R 1VO P 2Q 2R 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 214．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．(小前提)又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)15．(2015·汉中调研)对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现．(1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫42 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013. 【解析】 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1， 由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f ⎝⎛⎭⎫12＝13×⎝⎛⎭⎫123－12×⎝⎛⎭⎫122＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1. (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2， 即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＝2， f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0112 013＝2， f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫2 0102 013＝2， …f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＋f ⎝⎛⎭⎫12 013＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎫22 013＋f ⎝⎛⎭⎫32 013＋f ⎝⎛⎭⎫42 013＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0122 013＝12×2×2 012＝2 012.。
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第三章 导数及其应用 3.2.1 含答案
课时1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1 求函数f(x)＝ln xx的单调区间．解函数f（x)的定义域为（0，＋∞）．因为f（x）＝错误!,所以f′（x)＝错误!.当f′（x)>0，即0〈x〈e时,函数f(x)单调递增;当f′(x)〈0，即x>e时,函数f（x）单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为（0,e）,单调递减区间为(e，＋∞)．思维升华确定函数单调区间的步骤：（1）确定函数f（x)的定义域；(2）求f′(x）；（3）解不等式f′（x）〉0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x）〈0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．已知定义在区间（－π，π）上的函数f(x）＝x sin x＋cos x，则f（x）的单调递增区间是________________．答案错误!和错误!解析f′（x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x．令f′（x）＝x cos x≥0,则其在区间（－π，π)上的解集为错误!和错误!,即f(x)的单调递增区间为错误!和错误!.题型二含参数的函数的单调性例2 已知函数f(x)＝ln x＋ax＋错误!－1。
(1）当a＝1时，求曲线y＝f（x)在点(2，f(2)）处的切线方程; (2）当－错误!≤a≤0时，讨论f(x）的单调性．解(1）当a＝1时，f（x）＝ln x＋x＋错误!－1，此时f′（x)＝错误!＋1－错误!，f′（2)＝错误!＋1－错误!＝1.又因为f(2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2，所以切线方程为y－（ln 2＋2)＝x－2，整理得x－y＋ln 2＝0.（2）f′(x）＝错误!＋a－错误!＝错误!＝错误!.当a＝0时,f′（x）＝错误!.此时，在(0，1)上,f′(x）<0，f(x）单调递减；在(1，＋∞)上,f′（x）>0，f（x)单调递增．当－错误!≤a〈0时,f′（x）＝错误!。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第十章 统计与统计案例 10-2 解析 Wor
10-2A组专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·山东)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④【解析】根据茎叶图中的数据的分布可以看出平均数和标准差的大小关系．甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.【答案】B2．(2014·陕西)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为() A．x，s2＋1002B．x＋100，s2＋1002C．x，s2D．x＋100，s2【解析】x1＋x2＋…＋x1010＝x，y i＝x i＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为x＋100，方差不变，故选D. 【答案】D3．(2015·陕西)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为( )A ．93B ．123C ．137D ．167【解析】 分别计算出初中部、高中部的女教师人数，然后求和．初中部的女教师人数为110×70%＝77，高中部的女教师人数为150×(1－60%)＝60，该校女教师的人数为77＋60＝137，故选C.【答案】 C4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x【解析】 30个数中第15个数是5，第16个数是6， 所以中位数m e ＝5＋62＝5.5，众数m o ＝5，平均值x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930.∴m o <m e <x . 【答案】 D5．(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139，151]上的运动员人数是________．【解析】 对数据进行分组，在区间139，151]上有几组就有几个运动员．35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间139，151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．【答案】 46．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为________．【解析】 依题意，甲班学生的平均分85＝78＋79＋85＋80＋92＋96＋80＋x 7，故x ＝5.乙班学生成绩的中位数是83，故其成绩为76，81，81，83，91，91，96，∴y ＝3，∴x ＋y ＝8. 【答案】 87．在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的13，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是________．【解析】 设中间小长方形的面积为S ， 则S ＝13(1－S )，3S ＝1－S ，∴S ＝14，即频率＝14.∵频数＝10，∴样本容量＝频数频率＝1014＝40.【答案】 408．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．【解析】(1)如下表所示频率分布表.(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1，3]内的概率约为0．50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意505 000＝20x＋20，解得x＝5 000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数大约是1 980件．9．(2014·广东)随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下：(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【解析】(1)由所给数据知，落在区间(40，45]内的有7个，落在(45，50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝n125＝725＝0.28，f2＝n225＝225＝0.08.(2)样本频率分布直方图如图．(3)根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率为0.2，设所取的4人中，日加工零件数落在区间(30，35]的人数为ξ，则ξ～B(4，0.2)，P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－0.2)4＝1－0.409 6＝0.590 4，所以在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率为0.590 4.B组专项能力提升(时间：15分钟)10．(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石【解析】 254粒和1 534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量． 设1 534石米内夹谷x 石，则由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈169.故这批米内夹谷约为169石． 【答案】 B11．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则2x 1＋3，2x 2＋3，…，2x n ＋3的平均数和方差分别为( )A ．x 和s 2B ．2x ＋3和4s 2C ．2x ＋3和s 2D ．2x ＋3和4s 2＋12s ＋9【解析】 方法一：平均数为1n (2x 1＋3＋2x 2＋3＋…＋2x n ＋3)＝1n 2(x 1＋x 2＋…＋x n )＋3n ]＝2x ＋3；方差为1n {(2x 1＋3)－(2x ＋3)]2＋(2x 2＋3)－(2x ＋3)]2＋…＋(2x n ＋3)－(2x ＋3)]2}＝1n4(x 1－x )2＋4(x 2－x )2＋…＋4(x n －x )2]＝4s 2. 方法二：原数据乘以2加上3得到一组新数据，则由平均数、方差的性质可知得到的新数据的平均数、方差分别是2x ＋3和4s 2.【答案】 B12．(2014·江苏)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.【解析】 底部周长在80，90)的频率为0.015×10＝0.15， 底部周长在90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24. 【答案】 2413．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________．若要从身高在120，130)，130，140)，140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在140，150]内的学生中选取的人数应为________．【解析】 ∵小矩形的面积等于频率， ∴除120，130)外的频率和为0.700， ∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在120，130)，130，140)，140，150]内的学生分别为30人，20人，10人， ∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在140，150]中选取的学生应为3人． 【答案】 0.030 314．(2015·广东)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300]分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220，240)，240，260)，260，280)，280，300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240)的用户中应抽取多少户？【解析】 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5， ∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在220，240)内，设中位数为a ，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在220，240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为240，260)，260，280)，280，300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15，∴从月平均用电量在220，240)的用户中应抽取 25×15＝5(户)．。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-1 Word版
4-1A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．角α的终边过点P (－1，2)，则sin α等于( ) A.55 B.255C ．－55 D ．－255【解析】 由三角函数的定义， 得sin α＝2（－1）2＋22＝255.【答案】 B2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( ) A.π3 B.π2 C. 3 D ．2【解析】 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ， 所以3r ＝α·r ，∴α＝ 3. 【答案】 C3．(2016·湖北三极联考)已知角x 的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin5π6，cos5π6，则角x 的最小正值为( )A.5π6B.5π3 C.11π6 D.2π3【解析】 因为sin x ＝cos 5π6＝－32， cos x ＝sin5π6＝12， 所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，故当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3.【答案】 B4．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2 【解析】 ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴角α2在第二象限或第四象限． 当α2在第二象限时，y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0， 当α2在第四象限时，y ＝－sin α2sin α2＋cos α2cos α2＝0， 综上，y ＝0. 【答案】 A 5．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确； 由于sinπ6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错； 当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错． 综上可知只有③正确． 【答案】 A6．设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________． 【解析】 设P (m ，5)到原点O 的距离为r ，则m r ＝cos α＝24m ，∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104. 【答案】1047．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cosα＝________．【解析】 由题意及图，易知A 点的横坐标为－35，所以cos α＝－35.【答案】 －358．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是____________． 【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )9．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．【解析】 由题意，得r ＝3＋m 2， 所以sin θ＝m 3＋m2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5， 故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)， 角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)， 角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.10．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【解析】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3 cm ，S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×π3×22－12×22×sin π3 ＝⎝⎛⎭⎫2π3－3(cm 2)． B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2 D ．80 cm 2 【解析】 ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．【答案】 B12．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3【解析】 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 【答案】 B13．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．【解析】 设B (x ，y )，由题意知|OA |＝|OB |＝2， ∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3， ∴B 点的坐标为(1，3)． 【答案】 (1，3) 14．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①MP <OM <0； ②OM <0<MP ； ③OM <MP <0； ④MP <0<OM .其中正确的是________．【解析】 角1718π在第二象限，OM <0，MP >0，∴②正确． 【答案】 ②15．如图所示，动点P ，Q 从点A (4，0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．【解析】 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点和Q 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2， y C ＝－sinπ3·4＝－2 3. 所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-9
2-9A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2016·临沂质检)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元【解析】 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.【答案】 D2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )【解析】 根据题意得解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图象为B.【答案】 B3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240吨 B ．200吨C ．180吨D ．160吨【解析】 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x－30， 则y x ≥2 x 10·4 000x－30＝10，当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号， 因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.【答案】 B4．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 【解析】 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 【答案】 A5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元【解析】 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32. 因为x ∈0，16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．【答案】 C6．如图是某质点在4秒钟内作直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程为________ cm.【解析】 总路程为(2＋4)×1×12＋4×1＋12×2×4＝11. 【答案】 117．(2016·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e－8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e－bt ＝18a ， e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24. 所以再经过16 min.【答案】 168．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.【答案】 99．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)(元)成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益＝用电量×(实际电价－成本价)]【解析】 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，k ＝0.2. ∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2， 即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2. (2)根据题意，得⎝⎛⎭⎫1＋15x －2·(x －0.3) ＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6.经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根．∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．【解析】 (1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52， 故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2， 0<x ≤4，－18x ＋52， 4<x ≤20. (2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0<x ≤4，－18x 2＋52x ， 4<x ≤20， 当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋1008， f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00【解析】 当x ∈0，4]时，设y ＝k 1x ，把(4，320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈4，20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4，320)，(20，0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400. ∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ， 0≤x ≤4，400－20x ， 4<x ≤20. 由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤480x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240. 解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.【答案】 C12．(2016·江门模拟)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x %)，则每年销售量将减少10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10【解析】 由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x )·70·x 100， 令104·(100－10x )·70·x 100≥112×104， 解得2≤x ≤8.故x 的最小值为2.【答案】 A13．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1C ．aD ．a －1【解析】 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b （1＋a ）12－b b＝(1＋a )12－1. 【答案】 B14．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．【解析】 设第n (n ∈N *)年的年产量为a n ，则a 1＝12×1×2×3＝3； 当n ≥2时，a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)·(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2. 又a 1＝3也符合a n ＝3n 2，所以a n ＝3n 2(n ∈N *)．令a n ≤150，即3n 2≤150，解得－52≤n ≤52，所以1≤n ≤7，n ∈N *，故最长的生产期限为7年．【答案】 715．(2015·福建福州月考)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·q x；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q>1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．。
2017版高考数学(文)(全国)一轮复习文档：第三章 导数及其应用 3.2.3 含答案
课时3导数与函数的综合问题题型一用导数解决与不等式有关的问题命题点1 解不等式例1 设f（x)是定义在R上的奇函数,且f（2)＝0，当x>0时，有错误!〈0恒成立，则不等式x2f(x)〉0的解集是( ）A．（－2，0)∪（2，＋∞）B．(－2，0)∪(0，2)C．(－∞,－2)∪（2,＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2）答案D解析x〉0时错误!′〈0，∴φ(x)＝错误!为减函数，又φ（2)＝0，∴当且仅当0<x<2时，φ(x)>0，此时x2f（x)〉0.又f(x）为奇函数，∴h(x)＝x2f（x）也为奇函数．故x2f(x）>0的解集为（－∞，－2)∪(0,2）．命题点2 证明不等式例2 证明:当x∈[0，1]时,错误!x≤sin x≤x。
证明记F（x)＝sin x－错误!x，则F′(x)＝cos x－错误!.当x∈（0，错误!）时，F′（x）〉0，F（x)在[0，错误!]上是增函数；当x∈(错误!，1）时，F′(x）〈0，F(x）在［错误!，1］上是减函数．又F(0）＝0，F(1)〉0，所以当x∈［0，1]时，F（x）≥0，即sin x≥2 2 x.记H(x)＝sin x－x，则当x∈（0,1)时，H′（x)＝cos x－1〈0,所以H(x）在[0,1］上是减函数,则H(x)≤H（0）＝0，即sin x≤x。
综上,错误!x≤sin x≤x,x∈［0，1］．命题点3 不等式恒成立问题例3 已知函数f（x)＝ln x－错误!.若f（x）<x2在(1，＋∞）上恒成立，求a的取值范围．解∵f(x）〈x2，∴ln x－ax<x2，又x>0，∴a>x ln x－x3，令g（x）＝x ln x－x3，则h（x）＝g′（x）＝1＋ln x－3x2，h′（x)＝错误!－6x＝错误!,∵当x∈（1，＋∞）时，h′（x)<0,∴h(x）在（1，＋∞)上是减函数，∴h（x）〈h(1)＝－2〈0，即g′（x）〈0.∴g(x）在(1，＋∞）上也是减函数,∴g(x)<g（1）＝－1，∴当a≥－1时，f(x）<x2在（1，＋∞）上恒成立．思维升华（1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；（2)证明不等式f（x）〈g（x)，可构造函数F（x）＝f（x）－g(x)，利用导数求F（x）的值域,得到F(x)<0即可；（3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．设a∈R,已知函数f（x）＝ax3－3x2。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-6 Word版
4-6A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．(2015·乌鲁木齐诊断测试三)已知sin 2α＝－2425，且α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin α＝( ) A.35 B.45C ．－35D ．－45【解析】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴cos α<0，sin α>0， 且|cos α|>|sin α|，又(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－2425＝125， ∴sin α＋cos α＝－15， 同理可得sin α－cos α＝75，∴sin α＝35，故选A. 【答案】 A2．若sin α＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225 B ．－225C.425 D ．－425【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos α ＝sin αcosπ4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 【答案】 A3．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( ) A.π4 B.3π4C.π3D.π6【解析】 tan A ＝tan π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－－2＋131－（－2）×13＝1.又A 为△ABC 的内角．故A ＝π4. 【答案】 A4．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210C.3210D.7210【解析】 由tan α＋1tan α＝103 得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos 2α＝－45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 【答案】 A5．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A.1318 B.1118C.79D ．－1 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118. 【答案】 B6．(2015·浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，最小值是________．【解析】 利用三角恒等变换，化为正弦型函数再求解．f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝32＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 故最小正周期T ＝2π2＝π.当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝－1时， f (x )取得最小值为32－22＝3－22. 【答案】 π 3－227．设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________． 【解析】 方法一：因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率． 又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二：y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan x >0. ∴32tan x ＋12tan x ≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝⎛⎭⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号 即函数的最小值为 3.【答案】 3 8．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________． 【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 【答案】 －459．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．【解析】 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4. 10．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 【解析】 (1)由题设知：f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)由题设知：1013＝f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝2sin α， 65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cos β， 即sin α＝513，cos β＝35， 又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos α＝1213，sin β＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·邯郸期末联考)cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于( ) A.14 B.18C.116D.132【解析】 原式＝sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°2sin 20°＝sin 40°cos 40°cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝sin 160°16sin 20°＝116. 【答案】 C12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3，故选D. 【答案】 D13．sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝24，则sin 2α＝________． 【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝24， ∴sin α＋cos α＝12， (sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝14，故sin 2α＝－34. 【答案】 －3414．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， 且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12. 15．(2015·安徽合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 【解析】 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3·sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第四章 三角函数、解三角形 4-4 Word版
4-4A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2015·陕西西安八校联考)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2，故选B. 【答案】 B2．(2015·云南统考)已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22·sin x cos x ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4轴对称C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同【解析】 设f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A 、B ，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，g ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2≠0，易知A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C. 【答案】 C3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 【解析】 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D. 【答案】 D4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安【解析】 由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．⎝⎛⎭⎫1300，10为五点中的第二个点， ∴100π×1300＋φ＝π2.∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安．【答案】 A5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪6，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，－92∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C ．(－∞，－2]∪6，＋∞) D ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 【答案】 D6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为________．【解析】 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 【答案】347．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6），当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝⎛⎭⎫－12＝20.5. 【答案】 20.58．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④9．已知函数f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3.(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．【解析】 (1)f ⎝⎛⎭⎫2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－⎝⎛⎭⎫122＝－14. (2)f (x )＝cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14. f (x )<14等价于12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14<14，即cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3<0，于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z. 10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值． 【解析】 (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ，令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．将函数y ＝sin(x ＋φ)的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0，则φ的一个可能取值是( ) A.π12 B.π6 C.5π6 D.7π12【解析】 图象F ′对应的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ，则π4＋π6＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－5π12，k ∈Z ， 当k ＝1时，φ＝7π12，故选D.【答案】 D12．(2016·黄冈市高三年级质量检测)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6【解析】 因为CD →在x 轴上的投影为π12，又点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以函数的四分之一个最小正周期为π6＋π12＝π4.即函数的最小正周期为π，故ω＝2ππ＝2.又点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0是处于递增区间上的零点，所以2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2k π(k ∈Z )，则φ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.【答案】 A13．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)【解析】 根据三角函数的性质确定ω，φ的值，结合图象进行判断． 方法一：由题意，得T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，而当x ＝2π3时，2×2π3＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值．下面只需判断2，－2，0与最近的最大值处的对称轴距离大小，距离越大，函数值越小． 当k ＝0时，x ＝π6，⎪⎪⎪⎪0－π6≈0.52，⎪⎪⎪⎪2－π6≈1.48，当k ＝－1时，x ＝－5π6，⎪⎪⎪⎪－2－⎝⎛⎭⎫－5π6≈0.6，∴f (2)<f (－2)<f (0)．方法二：将要比较的函数值化归到函数的同一单调区间上． ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (－2)＝f (π－2)． 又当x ＝2π3时，f (x )取得最小值，故当x ＝π6时，f (x )取得最大值，⎣⎡⎦⎤π6，2π3是函数f (x )的一个递减区间．又∵π6<π－2<2<2π3，∴f (π－2)>f (2)，即f (－2)>f (2)．再比较0，π－2与对称轴x ＝π6距离的大小．∵⎪⎪⎪⎪π－2－π6－⎪⎪⎪⎪0－π6＝5π6－2－π6＝2π3－2>0，∴f (0)>f (π－2)，即f (0)>f (－2)． 综上，f (0)>f (－2)>f (2)．故选A. 【答案】 A14．(2015·福建)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．【解析】 (1)因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5 的图象，再向下平移a (a >0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.15．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．【解析】 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以g (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1 又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1， 所以实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－32，32∪{－1}．。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2-2
2-2A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x【解析】 ∵函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数，∴在(0，＋∞)上也是增函数．【答案】 A2．(2016·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有ff (x )－3x ]＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( )A ．2B ．4C ．8D ．12【解析】 由已知条件可知存在唯一实数k 使f (k )＝4，且f (x )＝3x ＋k ，令x ＝k ，得f (k )＝3k ＋k ＝4. 可得k ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，∴f (x )＋f (－x )＝3x ＋13x ＋2≥2 3x ·13x ＋2＝4， 当且仅当x ＝0时取等号．故选B.【答案】 B3．(2014·天津)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【解析】 因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．【答案】 D4．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x >f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，0)∪(0，1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)【解析】 依题意得1x <1，即x －1x>0， 所以x 的取值范围是x >1或x <0.5．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12【解析】 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.【答案】 C6．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调增区间为________．【解析】 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数在(－∞，－1]上单调递减，在3，＋∞)上单调递增．又因为y ＝t 在0，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的增区间为3，＋∞)．【答案】 3，＋∞)7．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3.所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．【答案】 (－3，－1)∪(3，＋∞)8．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．【解析】 利用m ，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间的子区间求解．因为f (x )＝2|x －a |， 所以f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是1，＋∞)， 由函数f (x )在m ，＋∞)上单调递增，知m ，＋∞)⊆1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.9．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)， (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 【解析】 (1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0， ∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2， 又f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 易得a ＝25. 10．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈0，2]，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【解析】 设x 1，x 2是区间0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1 ＝－2（x 2＋1－x 1－1）（x 1＋1）（x 2＋1）＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）. 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间0，2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）x ＋5， x ≤1，2a x， x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，3]C ．(0，2)D ．(0，2]【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，a >0，a －3＋5≥2a ，解得0<a ≤2.【答案】 D12．函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)【解析】 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 中，f (x )＝1x满足要求； B 中，f (x )＝(x －1)2在0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e x 是增函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数．【答案】 A13．(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( )A ．sgn g (x )]＝sgn xB ．sgn g (x )]＝sgn f (x )]C ．sgn g (x )]＝－sgn xD ．sgn g (x )]＝－sgn f (x )]【解析】 分类比较x 与ax 的大小，根据f (x )的单调性确定g (x )的符号，从而确定sgn g (x )]，再结合选项判断．因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故C 正确．【答案】 C14．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．【解析】 (1)证明：任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述，a 的取值范围是(0，1]．15．(2016·昆明模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2， 设1≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－12x 1x 2， ∵1≤x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2>2，∴0<12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在区间1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间1，＋∞)上f (x )>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间1，＋∞)上是增函数． 所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第三章 导数及其应用 3-2 含解析
3—2A组专项基础训练（时间：45分钟)1．函数y＝(3－x2）e x的单调递增区间是（）A．(－∞，0）B．（0，＋∞）C．（－∞，－3）和（1，＋∞) D．(－3,1）【解析】y′＝－2x e x＋（3－x2）e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3〈0⇒－3<x〈1,故函数y＝(3－x2）e x的单调递增区间是(－3,1)．【答案】D2．若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象可能为（）【解析】根据f′（x）的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降，排除A,D；从适合f′（x）＝0的点可以排除B.3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点,则（）A．a〈－1 B．a〉－1C．a>－错误!D．a〈－错误!【解析】∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x>0时,－e x<－1，∴a＝－e x〈－1。
【答案】A4．设函数f(x)＝错误!x2－9ln x在区间a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．1<a≤2 B．a≥4C．a≤2 D．0〈a≤3【解析】∵f(x)＝错误!x2－9ln x，∴f′（x）＝x－错误!（x>0)，当x－错误!≤0时，有0<x≤3，即在(0，3］上原函数是减函数,∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2。
5．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈－1,1],则f（m)＋f′(n)的最小值是( ）A．－13 B．－15C．10 D．15【解析】对函数f（x)求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′（2）＝0，即－3×4＋2a×2＝0,∴a＝3.由此可得f(x）＝－x3＋3x2－4，f′（x）＝－3x2＋6x，易知f(x)在－1，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增，∴当m∈－1,1］时,f（m）min＝f(0)＝－4。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第七章 不等式 7-1 Word版
7-1A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 由同向不等式的可加性知“a >b 且c >d ”⇒“a ＋c >b ＋d ”，反之不对．【答案】 A2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |【解析】 ∵1a <1b<0，∴b <a <0. ∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.【答案】 D3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |【解析】 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 【答案】 C4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 【解析】 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.【答案】D5．设a>1，且m＝log a(a2＋1)，n＝log a(a－1)，p＝log a(2a)，则m，n，p的大小关系为()A．n>m>p B．m>p>nC．m>n>p D．p>m>n【解析】因为a>1，所以a2＋1－2a＝(a－1)2>0，即a2＋1>2a，又2a>a－1，所以由对数函数的单调性可知log a(a2＋1)>log a(2a)>log a(a－1)，即m>p>n.【答案】B6．已知a<0，－1<b<0，那么a，ab，ab2的大小关系是________．(用“>”连接)【解析】由－1<b<0，可得b<b2<1.又a<0，∴ab>ab2>a.【答案】ab>ab2>a7．设a>b>c>0，x＝a2＋（b＋c）2，y＝b2＋（c＋a）2，z＝c2＋（a＋b）2，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)【解析】方法一：y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.方法二：令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝18，y＝20，z＝26，故z>y>x.【答案】z>y>x8．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；②若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0.其中正确的命题是________．【解析】∵ab>0，bc－ad>0，∴ca－db＝bc－adab>0，∴①正确；∵ab>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴bc－ad>0，∴②正确；∵bc－ad>0，又ca－db>0，即bc－adab>0，∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．【答案】①②③9．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a的大小． 【解析】 ∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1， ∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a. 10．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？【解析】 设路程为s ，跑步速度为v 1，步行速度为v 2，t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s （v 1＋v 2）2v 1v 2， s ＝t 乙2·v 1＋t 乙2·v 2⇒t 乙＝2s v 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝（v 1＋v 2）24v 1v 2≥（2v 1v 2）24v 1v 2＝1. ∴t 甲≥t 乙，当且仅当v 1＝v 2时“＝”成立．由实际情况知v 1>v 2，∴t 甲>t 乙．∴乙先到教室．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b【解析】 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数， 但函数g (x )＝x ＋1x在(0，1]上递减， 在1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a， 但g (a )>g (b )未必成立，故选A.【答案】 A12．已知a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为________．(用“<”连接) 【解析】 a ＝log 32＝ln 2ln 3，∵0<ln 2<1，ln 3>1，∴a <ln 2＝b ，即a <b ，a ＝1log 23，c ＝15， ∵0<log 23<2而5>2，∴0<log 23<5，∴a >c ，∴c <a <b .【答案】 c <a <b13．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8，4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 【解析】 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81. 又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27. 又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 【答案】 2714．已知－12<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“>”连接) 【解析】 －12<a <0，不妨取a ＝－14， 这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45. 由此猜测：C >A >B >D .C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a （a 2＋a ＋1）1＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a ＋122＋341＋a .∵1＋a >0，－a >0，⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0，∴C >A . ∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0，∴A >B .B －D ＝1－a 2－11－a ＝a （a 2－a －1）1－a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫a －122－541－a .∵－12<a <0，∴1－a >0. 又∵⎝⎛⎭⎫a －122－54<⎝⎛⎭⎫－12－122－54<0， ∴B >D .综上所述，C >A >B >D .【答案】 C >A >B >D15．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．【解析】 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．。
创新导学案高考总复习3-1
第三章 导数及其应用
【思维升华】 (1)求函数 f(x)的导数步骤： ①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； Δy f（x2）－f（x1） ②计算平均变化率 ＝ ； Δx x2－x1 Δy ③计算导数 f′(x)＝lim . Δx (2)利用定义法求解 f′(a)，可以先求出函数的导数 f′(x)，然 后令 x＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．
【解析】 ∵y′ ＝－ 2e － 2x ，曲线在点 (0 ， 2) 处的切线斜 率k＝－2， ∴切线方程为y＝－2x＋2， 该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，
高考总复习· 文科数学（RJ）
第三章 导数及其应用
其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点为 1 2 1 ∴三角形的面积 S＝2×1×3＝3. 1 【答案】 3
高考总复习· 文科数学（RJ）
第三章 导数及其应用
题型二 导数的运算
【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x；
2 1 1 (2)y＝xx ＋x ＋x3；
(3)y＝sin
2
π 2x＋ ； 3
(4)y＝ln(2x＋5)． 1 【解析】 (1)y′＝(e ·ln x)′＝e ln x＋e ·x
设中间变量，确定复合过程，然后由外向内逐层求导．
高考总复习· 文科数学（RJ）
第三章 导数及其应用
跟踪训练 2 (1)f(x)＝x(2 015＋ln x)，若 f′(x0)＝2 016，则 x0 等 于( ) A．e2 C．ln 2 B．1 D．e
(2) 若函数 f(x) ＝ ax4 ＋ bx2 ＋ c 满足 f′(1) ＝2 ，则 f′( － 1)等于 ( ) A．－1 C．2 B．－2 D．0
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第七章 不等式 7-4 Word版
7-4A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R )【解析】 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C2．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( )A.14 B ．1C ．4D ．8【解析】 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b＝1，a >0，b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1⎝⎛⎭⎫122＝4.当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．【答案】 C3．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为()A.22B ．2 2 C. 2 D ．2【解析】 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.【答案】 D4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b 2【解析】 设甲、乙两地相距s ， 则小王往返两地用时为s a ＋s b， 从而v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b . ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab 2b ＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ，∴a <v <ab . 【答案】 A5．(2015·福建)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【解析】 将点的坐标代入直线的方程，得到a ，b 所满足的关系式，再利用基本不等式求最值．将(1，1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0， 故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2＝4， 等号当且仅当a ＝b 时取到，故选C.【答案】 C6．若对于任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【解析】 x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ， 因为x >0，所以x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x≤13＋2＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 【答案】 a ≥157．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 【解析】 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2 ≥5＋2 1x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 【答案】 98．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．【解析】 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次， 则一年的总运费为200x ×2＝400x， 一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x ＋x ≥2 400x·x ＝40， 当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立， 故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．【答案】 209．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x （4－2x ）的最大值．【解析】 (1)y ＝x ＋82x －3＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52.故函数的最大值为－52. (2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x （4－2x ）＝2·x （2－x ） ≤2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x （4－2x ）的最大值为 2.10．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？【解析】 设铁栅长为x (x >0)米，一侧砖墙长为y (y >0)米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·江西南昌月考)若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．0，2]B ．－2，0]C ．－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1， ∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2.选D. 【答案】 D12．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．【解析】 由内到外依次代入计算可得f (f (－3))，在分段函数的两段内分别计算最小值，取二者中较小的为f (x )的最小值．∵f (－3)＝lg(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝1＋2－3＝0.当x ≥1时，x ＋2x －3≥2 x ·2x－3＝22－3， 当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，lg(x 2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f (x )min ＝0.所以f (x )的最小值为22－3.【答案】 0 22－313．规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a 、b 为正实数)．若1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x的最小值为________． 【解析】 1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，即k ＋k －2＝0， ∴k ＝1或k ＝－2(舍去)．∴k ＝1.f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时等号成立． 【答案】 1 314．已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为________． 【解析】 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得 m ≤⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立． 因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16.【答案】 1615．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．【解析】 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t －4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈1，20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋2 4t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)．当t ∈(20，30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈1，30]时，W (t )的最小值为441万元．。
2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习 高考专题突破三
高考专题突破三(时间：80分钟)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *有a n ＋S n ＝n .(1)设b n ＝a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c 1＝a 1且c n ＝a n －a n －1(n ≥2)，求{c n }的通项公式．【解析】 (1)证明：由a 1＋S 1＝1及a 1＝S 1得a 1＝12. 又由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1.∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2b n ＋1＝b n .∴数列{b n }是以b 1＝a 1－1＝－12为首项， 12为公比的等比数列． (2)由(1)知2a n ＋1＝a n ＋1，∴2a n ＝a n －1＋1(n ≥2)．∴2a n ＋1－2a n ＝a n －a n －1(n ≥2)，即2c n ＋1＝c n (n ≥2)．又c 1＝a 1＝12，2a 2＝a 1＋1，∴a 2＝34.∴c 2＝34－12＝14，即c 2＝12c 1. ∴数列{c n }是首项为12，公比为12的等比数列． ∴c n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，它们满足S 4＝2S 2＋8，b 2＝19，T 2＝49，且当n ＝4或5时，S n 取得最小值． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(S n －λ)⎝⎛⎭⎫12－T n ，n ∈N *，如果{c n }是单调数列，求实数λ的取值范围． 【解析】 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，因为当n ＝4或5时，S n 取得最小值，所以a 5＝0，所以a 1＝－4d ，所以a n ＝(n －5)d ，又由a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋8，得d ＝2，a 1＝－8，所以a n ＝2n －10；由b 2＝19，T 2＝49得b 1＝13，所以q ＝13，所以b n ＝13n . (2)由(1)得S n ＝n 2－9n ，T n ＝12－12·3n ，c n ＝n 2－9n －λ2·3n ， 当{c n }为递增数列时，c n <c n ＋1，即λ>n 2－10n ＋4恒成立，∴λ∈∅，当{c n }为递减数列时，c n >c n ＋1，即λ<n 2－10n ＋4恒成立，∴λ<－21，综上，实数λ的取值范围为(－∞，－21)．5．已知正项数列{a n }，{b n }满足：a 1＝3，a 2＝6，{b n }是等差数列，且对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，试比较2S n 与2－b 2n ＋1a n ＋1的大小． 【解析】 (1)∵对任意正整数n ，都有b n ，a n ，b n ＋1成等比数列，且数列{a n }，{b n }均为正项数列，∴a n ＝b n b n ＋1(n ∈N *)．由a 1＝3，a 2＝6得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1b 2＝3，a 2＝b 2b 3＝6， 又{b n }为等差数列，即有b 1＋b 3＝2b 2，解得b 1＝2，b 2＝322， ∴数列{b n }是首项为2，公差为22的等差数列． ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2（n ＋1）2(n ∈N *)． (2)由(1)得，对任意n ∈N *，a n ＝b n b n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2， 从而有1a n ＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2， ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝1－2n ＋2. ∴2S n ＝2－4n ＋2.又2－b 2n ＋1a n ＋1＝2－n ＋2n ＋3， ∴2S n －⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 2n ＋1a n ＋1＝n ＋2n ＋3－4n ＋2＝n 2－8（n ＋2）（n ＋3）. ∴当n ＝1，n ＝2时，2S n <2－b 2n ＋1a n ＋1； 当n ≥3时，2S n >2－b 2n ＋1a n ＋1.6．(2014·四川)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .【解析】 (1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝aa 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以T n ＝2n ＋1－n －22n .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3-1A 组 专项基础训练(时间：45分钟)1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22 D ．ln 2【解析】 由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.【答案】 B2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于()A ．－eB ．－1C ．1D ．e【解析】 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.【答案】 B3．(2014·大纲全国)曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1【解析】 y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.【答案】 C4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0【解析】 对y ＝x 2求导得y ′＝2x .设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为k ＝2x 0.由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 D5．曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112B.16C.13D.12【解析】 求导得y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)，结合图象易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是⎝⎛⎭⎫23，0，(1，0)，(1，1)，于是三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫1－23×1＝16，故选B. 【答案】 B6．(2015·天津)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.【答案】 37．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．【解析】 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2，0)，所以切线方程为x －y －2＝0.【答案】 x －y －2＝08．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．【解析】 先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2，7)求出a 的值．∵f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.【答案】 19．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．【解析】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．【解析】 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＋6＝13(x －2)即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过坐标点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11．(2016·江西新余一中、宜春中学高三8月联考)函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4C ．1 D.π2【解析】 由f (x )＝e x cos x ，得f ′(x )＝e x cos x －e x sin x .所以f ′(0)＝e 0cos 0－e 0sin 0＝1，即倾斜角α满足tan α＝1.根据α∈0，π)，得α＝π4. 【答案】 B12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 【解析】 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，∴f ′(x )＝－sin x ＋1. ∵当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数， 又－π2<－π3<π3<π2，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 【答案】 C13．(2016·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．【解析】 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1，0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32. 分别将t ＝0和t ＝32代入①式， 得k 1＝－a 和k 2＝274－a ， 由题意，它们互为相反数得a ＝278. 【答案】 27814．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，当a ＝________时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． 【解析】 设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0，0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝12，a ＝－34. 因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线． 【答案】 －3415．已知函数f (x )＝x －2x，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)． 若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值．并判断两条切线是否为同一条直线．【解析】 根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0.曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以两条切线不是同一条直线．。