初二数学-角的平分线的性质

初二数学
第8课时 角的平分线的性质（1）
教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．
2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点
角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计
设计意图 一、创设情境 导入新课
在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．
求证：∠MOC=∠NOC ．
通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC•与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了．
思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？
要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．
小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究
【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．
求作：∠AOB 的平分线． 作法：
动手制图（尺规），边
（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．
（2）分别以M 、N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB
内部交于点C ．
（3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 【议一议】
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1
2
MN 的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 【总结】
1．去掉“大于1
2
MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所
以就找不到角的平分线．
2．若分别以M 、N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画两弧，两弧的交点
可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
【探究2】如图，将∠AOB 的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？
实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”
【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E
求证：PD=PE ．
证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，
∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE
画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．
三、应用迁移巩固提高
【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一
道题，题目的图形如图所示，•图中的BD是∠ABC的
平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学
忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造
了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的
方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE
⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
【练习】课本Р19 练习
四、总结反思拓展升华
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．
五、课堂作业
P22 1 2
教学理念/反思
第9课时角的平分线的性质（2）
教学目标1．角的平分线的性质
2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
教学重点角平分线的性质及其应用．
教学难点灵活应用两个性质解决问题．
教学互动设计设计意图
一、创设情境导入新课
【问题1】画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点？
【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到
公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应
建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：
20 000）？
二、合作交流 解读探究 【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上．
证明如下：
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：经过点P 作射线OC ． ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，
,
,OP OP PD PE =⎧⎨
=⎩
∴Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ， ∴OC 是∠AOB 的平分线．
【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．
自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．
三、应用迁移 巩固提高
【例1】如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，求证：点P•到三边AB ，BC ，CA 的距离相等．
【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体
说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P 到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．
证明：过点P 作PD 、PE 、PF 分别垂直于AB 、BC 、CA ，垂足为D 、E 、F ． ∴BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM 上． ∴PD=PE 同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
即点P 到边AB 、BC 、CA 的距离相等．
【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．
学生参与教师分析，主
动探究学习．
三角形的三条角平分线相交于一点．
【例2】如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点
F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
学生根据上一问题的解决过程独立解决本
问题，在必要时教师适当引导．
【练习】课本Р22 练习
四、总结反思拓展升华
我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；
②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
五、课堂作业
P22 3 4 5 6
教学理念/反思。