初二数学-角的平分线的性质

初二数学

第8课时 角的平分线的性质（1）

教 学 目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．

2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法． 教学重点 领会角的平分线的性质定理． 教学难点

角的平分线的性质定理的实际应用． 教 学 互 动 设 计

设计意图 一、创设情境 导入新课

在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．

求证：∠MOC=∠NOC ．

通过证明Rt △MOC ≌Rt △NOC ，即可证明∠MOC=∠NOC ，所以射线OC 就是∠AOB 的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，再分别过M 、N 作MC ⊥OA ，NC ⊥OB ，MC•与NC 交于C 点，连接OC ，那么OC 就是∠AOB 的平分线了．

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．

∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．

即射线AC 就是∠DAB 的平分线．

首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理． 二、合作交流 解读探究

【探究1】作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．

求作：∠AOB 的平分线． 作法：

动手制图（尺规），边

（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．

（2）分别以M 、N 为圆心，大于1

2

MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB

内部交于点C ．

（3）作射线OC ，射线OC 即为所求． 【议一议】

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1

2

MN 的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？ 【总结】

1．去掉“大于1

2

MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所

以就找不到角的平分线．

2．若分别以M 、N 为圆心，大于1

2

MN 的长为半径画两弧，两弧的交点

可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AOB 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．

3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．

4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

【探究2】如图，将∠AOB 的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？

实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕PD 、PE 是角的平分线上一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等．”

【总结】角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E

求证：PD=PE ．

证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，

∴∠PDO=∠PEO=90° 在△PDO 和△PEO 中， ,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE

画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．

三、应用迁移巩固提高

【例】在一节数学课上，老师要求同学们练习一

道题，题目的图形如图所示，•图中的BD是∠ABC的

平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学

忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造

了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的

方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE

⊥AB交AC于D，•那么BD•就是∠ABC的平分线．

有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．

【练习】课本Р19 练习

四、总结反思拓展升华

本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质．

五、课堂作业

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教学理念/反思

第9课时角的平分线的性质（2）

教学目标1．角的平分线的性质

2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．

教学重点角平分线的性质及其应用．

教学难点灵活应用两个性质解决问题．

教学互动设计设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】画出三角形三个内角的平分线

你发现了什么特点？

【问题2】如课本图11．3─5，要在S区建一个集贸市场，使它到

公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应

建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：

20 000）？