2019_2020学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式1不等式2.基本不等式课件新人教A版

∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具 备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式 进行证明．
2．当且仅当 a＝b＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个 式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取 不到．
基本不等式的理解与判定
[探究问题] 1．在基本不等式a＋2 b≥ ab中，为什么要求 a>0，b>0?
[提示] 对于不等式a＋2 b≥ ab，如果 a，b 中有两个或一个为 0， 虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当 a，b 都为负数时，不等 式不成立；当 a，b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．
为 a，b 的几何平均．
下列不等式中，正确的个数是( )
①若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab；
②若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2≥2；
③若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2；
④若 a，b 为正实数，则
a＋ 2
b≥
ab.
A．0 C．2
B．1 D．3
C [显然①不正确；③正确；对于②，虽然 x2＋2＝x2＋1 2无解，
因为 CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为
a＋2 b，根据半弦长不大于半径，得不等式 ab≤a＋2 b.
显然，上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合，即当
a
＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大
于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．
【例 4】 命题：①任意 x>0，lg x＋lg1x≥2；②任意 x∈R，
但 x2＋2＋x2＋1 2＞2 成立，故②正确； ④不正确，如 a＝1，b＝4.]
教材整理 2 利用基本不等式求最值
阅读教材 P6～P8，完成下列问题． 已知 x，y 为正数，x＋y＝S，xy＝P，则 (1)如果 P 是 定值 ，那么当且仅当x＝y 时，S 取得最小值_2__P_；
S2 (2)如果 S 是 定值 ，那么当且仅当 x＝y 时，P 取得最大值__4__.
1．已知 x，y，z 均为正数，求证：yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋1z. [证明] ∵x，y，z 都是正数， ∴yxz＋zyx＝1zxy＋xy≥2z. 同理可得zyx＋xzy≥2x，xzy＋yxz≥2y. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2， 得yxz＋zyx＋xzy≥1x＋1y＋1z.
若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－1x22 的最大值是__________，取得最值 时 x 的值是________．
[解析] f(x)＝2－3x2＋x42≤2－3×4＝－10， 当且仅当 x2＝x42，即 x＝± 2时取等号． [答案] －10 ± 2
合作探究 提素养
利用基本不等式证明不等式
2．当
b≥a>0
时，有变形不等式
a≤
2ab a＋b
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
a2＋2 b2≤b.
4．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab

C．1a＋1b>
2 ab
D．ba＋ab≥2
D [A 选项中，当 a＝b 时，a2＋b2＝2ab，则排除 A；
＝akb≥34－2 k
64＝1k8. t·t
当且仅当 t＝6t4，即 a＋2＝a6＋42时，取“＝”，∴a＝6.
由 a＝6，可得 b＝3.
综上所述：当 a＝6 m，b＝3 m 时，经沉淀后流出的水中杂质的
质量分数最小．
法二 设流出的水中杂质的质量分数为 y，依题意 y＝akb，其中 k 为比例系数(k>0)．要求 y 的最小值必须先求出 ab 的最大值．
基本不等式的实际应用
【例 3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在 2020 年里某运动会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的 年销售量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3－x 与 t＋1 成反比例的关系， 如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是 1 万件．已知 2020 年生产化 妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元，每生产 1 万件化妆品需要投 入 32 万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与 平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不等式 2.基本不等式
学习目标：1.了解两个正数的算术平均数与几何平均数.2.理解定 理 1 和定理 2(基本不等式)．(重点)3.掌握用基本不等式求一些函数的 最值及实际的应用问题．(难点、易混点)
自主预习 探新知
教材整理 1 两个定理及算数平均与几何平均
阅读教材 P5～P6“例 3”以上部分，完成下列问题．
A．xy＋yx
B．
x2＋5 x2＋4
C．tan θ＋tan1 θ
D．2x＋2－x
D [∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥2 2x·2－x＝2，当且仅当 2x＝2－ x，即 x＝0 时，等号成立．故选 D.]
(1)若计划 2020 年生产的化妆品正好能销售完，试将 2020 年的 利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数；
(2)该企业 2020 年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最 大？
[精彩点拨] (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入 －生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；
1．两个定理
定理
内容
等号成立的条件
定理 1 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) 当且仅当 a＝b 时，等号成立
定理 2 a＋2 b≥__a_b_(a，b＞0) 当且仅当 a＝b 时，等号成立
2.算术平均与几何平均
a＋b
如果 a，b 都是正数，我们称____2____为 a，b 的算术平均，_a_b__
≥142 xz·9xz＋6＝3. 当且仅当 x＝y＝3z 时，xyz2取得最小值 3. [答案] 3
1．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的 y，通过 对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问 题．
2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均 为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三 相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行 性，决定着成败的关键．
利用基本不等式求最值
【例 2】 设 x，y，z 均是正数，x－2y＋3z＝0，则xyz2的最小值 为________．
[精彩点拨] 由条件表示 y，代入到xyz2中，变形为能运用基本不 等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．
[自主解答] 由 x－2y＋3z＝0，得 y＝x＋23z， ∴xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz＝14xz＋9xz＋6
在②中，ax>0，ax＋a1x≥2 号，则②是真命题；
ax·a1x＝2，当且仅当 x＝0 时，取等
在③中，当 x∈0，π2时，tan x>0，有 tan x＋ta1n x≥2，且 x＝π4时 取等号，∴③是真命题．]
1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理 1 和定理 2 中，“a＝b”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又 有联系：(1)a＋2 b≥ ab是 a2＋b2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同， 前者要求 a，b 均为正数，后者只要求 a，b∈R；(2)a，b 大于 0 是a＋2 b ≥ ab的充分不必要条件；a，b 为实数是 a2＋b2≥2ab 的充要条件．
依题设 4b＋2ab＋2a＝60，即 ab＋a＋2b＝30(a>0，b>0)． ∵a＋2b≥2 2ab(当且仅当 a＝2b 时取“＝”)， ∴ab＋2 2 ab≤30，可解得 0<ab≤18. 由 a＝2b 及 ab＋a＋2b＝30，可得 a＝6，b＝3， 即 a＝6，b＝3 时，ab 取得最大值，从而 y 的值最小．
当 a<0，b<0 时，a＋b<0<2
ab，1a＋1b<0<
2 ，则排除 ab
B，C
选
项；D 选项中，由 ab>0，则ba>0，ab>0，
∴ba＋ab≥2 ba·ba＝2，当且仅当 a＝b 时取“＝”，所以选 D.]
当堂达标 固双基
1．下列结论中不正确的是( )
A．a＞0 时，a＋1a≥2
B.ba＋ab≥2
当销售 x 万件时，年销售收入为 150%×32×3－t＋2 1＋3＋12t. 由题意，生产 x 万件化妆品正好销完， 得年利润 y＝－t22＋t＋981t＋ 35(t≥0)．
(2)y＝－t22＋t＋981t＋ 35＝50－t＋2 1＋t＋321 ≤50－2 t＋2 1×t＋321＝50－2 16＝42， 当且仅当t＋2 1＝t＋321，即 t＝7 时，等号成立，ymax＝42， ∴当促销费定在 7 万元时，年利润最大．
设出变量 ―建―立→ 数学模型 定―义 ―→域 利用均值不等式求最值 ―“ 立―的 ＝―条 ”―件 成→ 结论
3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水， 要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀箱， 污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱 体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中 该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有制箱材料 60 m2， 问当 a，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A， B 孔的面积忽略不计)?
[解] 法一 设流出的水中杂质的质量分数为 y，由题意 y＝akb， 其中 k 为比例系数(k>0)．根据题意，得 2×2b＋2ab＋2a＝60(a>0， b>0)，